23.1 图形的旋转
测试时间:25分钟
一、选择题
1.(2018遵义绥阳期中)下列物体的运动不是旋转的是( )
A.坐在摩天轮里的小朋友 B.正在走动的时针
C.骑自行车的人 D.正在转动的风车叶片
2.(2018广东肇庆端州期中)将图形按顺时针方向旋转90°后的图形是( )
3.如图,在△ABC中,AB=1,AC=2,现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A'B'C,连接AB',并有AB'=3,则∠A'的度数为( )
A.125° B.130° C.135° D.140°
二、填空题
4.(2017天津期末)如图,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,得到△A'B'C,A'B'交AC于点D,若∠A'DC=90°,则∠A= .?
5.(2018山东济宁期末)如图,P为正方形ABCD内的一点,PC=1,将△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE,则PE= .?
6.(2017辽宁大连甘井子期末)如图,在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0),B(3,2),将线段AB绕点A旋转90°,得到线段AB',则点B'的坐标是____________________.
三、解答题
7.如图,在平面直角坐标系中,每个小正方形的边长为1 cm,△ABC各顶点都在格点上,点A,C的坐标分别为(-1,2),(0,-1),结合所给的平面直角坐标系解答下列问题:
(1)AC的长等于 ;?
(2)画出△ABC向右平移2个单位得到的△A1B1C1,则A点的对应点A1的坐标是 ;?
(3)将△ABC绕点C按逆时针方向旋转90°,画出旋转后的△A2B2C2,则A点的对应点A2的坐标是 .?
8.(2018广东汕头潮南期末)如图,在等边△ABC中,AC=9,点O在AC上,且AO=3,点P是AB上的一动点,连接OP,将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,要使点D恰好落在BC上,求AP的长.
23.1 图形的旋转
测试时间:25分钟
一、选择题
1.答案 C 骑自行车的人在前进的过程中没有发生旋转.故选C.
2.答案 B 根据旋转的意义,知图形按顺时针方向旋转90°后可得选项B中图形.故选B.
3.答案 C 如图,连接AA'.由题意得AC=A'C=2,A'B'=AB=1,∠ACA'=90°,
∴∠AA'C=45°,AA'2=22+22=8.∵AB'2=32=9,A'B'2=12=1,∴AB'2=AA'2+A'B'2,
∴∠AA'B'=90°,∴∠B'A'C=90°+45°=135°,故选C.
二、填空题
4.答案 55°
解析 ∵△ABC绕着点C顺时针旋转35°,得到△A'B'C,∴∠ACA'=35°,
∵∠A'DC=90°,∴∠A'=55°.∵∠A的对应角是∠A',∴∠A=∠A',∴∠A=55°.
5.答案
解析 ∵△CDP绕点C逆时针旋转得到△CBE,∴其旋转中心是点C,旋转角度是90°,∴∠PCE=90°,EC=PC,∵PC=1,∴EC=PC=1,∴△CPE是等腰直角三角形,∴PE===.
6.答案 (-3,4)或(1,-4)
解析 过点B作BC⊥x轴于点C.如图1,当AB绕点A逆时针旋转90°时,过点B'作B'D⊥x轴于点D,易知∠BAC+∠B'AD=90°,∵∠DB'A+∠B'AD=90°,∴∠BAC=∠DB'A,在△B'DA与△ACB中,∴△B'DA≌△ACB(AAS),
∴AD=BC,B'D=AC.∵A(-1,0),B(3,2),∴BC=2,AC=4,∴B'(-3,4).如图2,当AB绕点A顺时针旋转90°时,过点B'作B'E⊥x轴于点E,同理,可求得B'(1,-4).故答案为(-3,4)或(1,-4).
三、解答题
7.解析 (1)AC==(cm).故填 cm.
(2)所画图形如下:
A点的对应点A1的坐标是(1,2).
(3)所画图形如下:
A点的对应点A2的坐标是(-3,-2).
8.解析 如图,
∵AC=9,AO=3,
∴CO=6.
∵△ABC为等边三角形,
∴∠A=∠C=60°.
∵线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD,且点D恰好落在BC上,
∴OD=OP,∠POD=60°.
∵∠1+∠2+∠A=180°,∠1+∠3+∠POD=180°,
∴∠1+∠2=120°,∠1+∠3=120°,
∴∠2=∠3.
在△AOP和△CDO中,
∴△AOP≌△CDO,
∴AP=CO=6.
即AP的长为6.
23.1 图形的旋转
基础闯关全练
拓展训练
1.如图,将等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,连接AD,BD.则下列结论:①AC=AD;②BD⊥AC;③四边形ACED是菱形.其中正确的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
2.如图,△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,下列说法中不正确的是( )
A.线段AB与线段CD互相垂直
B.线段AC与线段CE互相垂直
C.点A与点E是两个三角形的对应点
D.线段BC与线段DE互相垂直
3.如图,△ABC为等腰直角三角形,∠ACB=90°,将△ABC绕点A逆时针旋转75°,得到△AB'C',过点B'作B'D⊥CA,交CA的延长线于点D,若AC=6,则AD的长为( )
A.2 B.3 C.2 D.3
4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点A(3,4),将OA绕坐标原点O逆时针旋转90°至OA',则点A'的坐标是 .?
能力提升全练
拓展训练
1.如图,△ABD是等边三角形,以AD为边向外作△ADE,使∠AED=30°,且AE=3,DE=2,连接BE,则BE的长为( )
A.4 B. C.5 D.
2.(2016安徽合肥模拟)如图,已知△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC',连接BC',E为BC'的中点,连接CE,则CE的最大值为( )
A. B.+1 C.+1 D.+1
3.(2018江西南昌东湖期中)如图,∠AOB=30°,P点在∠AOB内部,M点在射线OA上,将线段PM绕P点逆时针旋转90°,M点恰好落在OB上的N点(OM>ON),若PM=,ON=8,则OM= .?
4.如图,边长为6的等边三角形ABC中,E是对称轴AD上的一个动点,连接EC,将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC,连接DF,则在点E运动过程中,DF的最小值是 .?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2017福建厦门同安六校联考期中,8,★★☆)如图,在正方形ABCD中,△ABE经旋转,可与△CBF重合,AE的延长线交FC于点M,以下结论正确的是( )
A.BE=CE B.FM=MC C.AM⊥FC D.BF⊥CF
2.(2017山东枣庄薛城期中,12,★★☆)如图,P是等边三角形ABC内一点,将线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,连接BQ,若PA=6,PB=8,PC=10,则四边形APBQ的面积为( )
A.24 B.12+6 C.24+9 D.12+9
3.(2017天津滨海新区期中,16,★★☆)如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE,则DF与AC的数量关系是 .?
4.(2018广西柳州期中,18,★★☆)在等边△ABC中,D是边AC上一点,连接BD,将△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED,若BC=5,BD=4.则下列四个结论:①AE∥BC;②∠ADE=∠BDC;③△BDE是等边三角形;④△AED的周长是9.其中正确的结论是 (把你认为正确结论的序号都填上).?
五年中考全练
拓展训练
1.(2016江苏无锡中考,10,★★☆)如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,
△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C,当A1落在AB边上时,连接B1B,取BB1的中点D,连接A1D,则A1D的长度是( )
A. B.2 C.3 D.2
2.(2017广西贺州中考,18,★★☆)如图,在正方形ABCD内作∠EAF=45°,AE交BC于点E,AF交CD于点F,连接EF,过点A作AH⊥EF,垂足为H,将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG,若BE=2,DF=3,则AH的长为 .?
3.如图,在△ABC中,AC=BC=8,∠C=90°,点D为BC的中点,将△ABC绕点D逆时针旋转45°,得到△A'B'C',B'C'与AB交于点E,则S四边形ACDE= .?
4.(2017四川南充中考,16,★★☆)如图,正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b,正方形CEFG绕点C旋转,给出下列结论:①BE=DG;②BE⊥DG;③DE2+BG2=2a2+2b2.其中正确的结论是 (填序号).?
核心素养全练
拓展训练
1.如图,已知P为正方形ABCD外的一点,PA=1,PB=2,将△ABP绕点B顺时针旋转90°,使点P旋转至点P',且AP'=3,则∠BP'C的度数为( )
A.105° B.112.5° C.120° D.135°
2.(2016山东德州庆云期中)如图1,将三角板ABC与三角板ADE摆放在一起;如图2,固定三角板ABC,将三角板ADE绕点A按顺时针方向旋转,记旋转角∠CAE=α(0°<α<180°).当△ADE的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时,旋转角α的所有可能的度数为 .?
23.1 图形的旋转
基础闯关全练
拓展训练
答案 D ∵等边△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△EDC,
∴AC=BC=DC=EC,∠BCD=120°,
∵∠ACB=60°,∴∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形,
∴AC=AD,∴①正确;
∵AB=AC=EC=ED=AD,
∴四边形ACED是菱形,∴③正确;
由AB=BC,得B在AC的垂直平分线上,
由AD=CD,得D在AC的垂直平分线上,
∴BD垂直平分AC,∴②正确.
2.答案 C 由于△ABC绕着点O按顺时针方向旋转90°后到达了△CDE的位置,则线段AB与CD垂直,线段AC与CE垂直,点A与点C为对应点,线段BC与DE垂直.故选C.
3.答案 D 在等腰直角△ABC中,AB===6,由旋转的性质知AB'=AB=6,∠BAB'=75°.在直角△B'AD中,∠B'AD=180°-∠BAC-∠BAB'
=180°-45°-75°=60°,则AD=6×=3.故选D.
4.答案 (-4,3)
解析 如图,过点A作AB⊥x轴于点B,过点A'作A'B'⊥x轴于点B',
由题意知OA=OA',∠AOA'=90°,
∴∠A'OB'+∠AOB=90°,
∵∠AOB+∠OAB=90°,
∴∠OAB=∠A'OB',
在△AOB和△OA'B'中,
∴△AOB≌△OA'B'(AAS),∴OB'=AB=4,A'B'=OB=3,∴点A'的坐标为(-4,3).
能力提升全练
拓展训练
1.答案 B 如图,作EF⊥AE,且EF=DE,连接AF、DF,因为∠AEF=90°,
所以∠DEF=90°-30°=60°,又因为DE=EF,所以△DEF是等边三角形,
所以∠EDF=60°,∠ADF=∠BDE,又因为AD=BD,DE=DF,所以△BDE≌△ADF,
所以BE=AF==.故选B.
2.答案 B 取AB的中点M,连接CM,EM,∴当CE=CM+EM时,CE的值最大,∵将直角边AC绕A点逆时针旋转至AC',∴AC'=AC=2.∵E为BC'的中点,∴EM=AC'=1,∵∠ACB=90°,AC=BC=2,∴AB=2,∴CM=AB=,∴CE的取大值为CM+EM=+1.故选B.
3.答案 4+2
解析 如图,连接MN,过N作NH⊥OA于H,∵线段PM绕P点逆时针旋转90°,M点恰好落在OB上的N点,∴∠MPN=90°,PN=PM=,∴△PMN为等腰直角三角形,∴MN===2,在Rt△OHN中,∵∠NOH=30°,ON=8,∴NH=ON=4,OH===4.
在Rt△MNH中,∵NH=4,MN=2,
∴MH==2,∴OM=OH+MH=4+2.
4.答案 1.5
解析 如图,取AC的中点G,连接EG,
∵旋转角为60°,
∴∠ECD+∠DCF=60°.
又∵∠ECD+∠GCE=∠ACB=60°,
∴∠DCF=∠GCE.
∵AD是等边△ABC的对称轴,
∴CD=BC,∴CD=CG.
又∵CE旋转到CF,∴CE=CF,
∴△DCF≌△GCE,∴DF=EG,
根据垂线段最短知EG⊥AD时,EG最短,即DF最短,
此时,∵∠CAD=×60°=30°,AG=AC=×6=3,
∴EG=AG=×3=1.5,∴DF=1.5.
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 C 因为E不一定是BC的中点,故A错误;根据旋转的性质可得△ABE≌△CBF,则∠AEB=∠F,又∵直角△ABE中,∠BAE+∠AEB=90°,
∴∠BAE+∠F=90°,∴∠AMF=90°,∴AM⊥FC,故C正确;连接AC,因为E是BC上任意一点,BF=BE,所以AC和AF不一定相等,则M不一定是FC的中点,故B错误;∵BF⊥BC,∴BF⊥CF一定错误,故D错误.故选C.
2.答案 C 如图,连接PQ,∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AB=AC,∵线段AP绕点A顺时针旋转60°得到线段AQ,∴AP=AQ=6,∠PAQ=60°,∴△APQ为等边三角形,∴PQ=AP=6.
∵∠CAP+∠BAP=60°,∠BAP+∠BAQ=60°,
∴∠CAP=∠BAQ.
在△APC和△AQB中,AC=AB,∠CAP=∠BAQ,AP=AQ,
∴△APC≌△AQB(SAS),∴PC=QB=10.
在△BPQ中,∵PB2=82=64,PQ2=62=36,BQ2=102=100,
又64+36=100,∴PB2+PQ2=BQ2,∴△PBQ为直角三角形,∠BPQ=90°,
∴S四边形APBQ=S△BPQ+S△APQ=×6×8+×62=24+9.故选C.
3.答案 DF=AC
解析 ∵AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,∴DE=BC,AE=AC,
∵AC=BC,∴AE=DE.∵将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,
∴△ADE≌△CFE,∴AE=CE,DE=FE,∴AE=CE=DE=FE,∴DF=AC.
4.答案 ①③④
解析 ∵△ABC为等边三角形,∴BA=BC=AC,∠ABC=∠C=∠BAC=60°,∵△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,∴∠BAE=∠C=60°,∴∠BAE=∠ABC,∴AE∥BC,故①正确;∵△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,∴BD=BE,∠DBE=60°,∴△BDE是等边三角形,故③正确;∵∠BDE=60°,又∠BDC=∠BAC+∠ABD>60°,
∴∠ADE<60°,∴∠ADE≠∠BDC,故②错误;∵△BDE是等边三角形,∴DE=BD=4,而△BCD绕点B逆时针旋转60°,得到△BAE,∴AE=CD,∴△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+4=5+4=9,故④正确.故答案为①③④.
五年中考全练
拓展训练
1.答案 A ∵∠ACB=90°,∠ABC=30°,AC=2,∴∠A=90°-∠ABC=60°,AB=4,BC=2,
∵CA=CA1,∴△ACA1是等边三角形,∴AA1=AC=CA1=2,∴BA1=AA1=2.易知∠BCB1=∠ACA1=60°.∵CB=CB1,∴△BCB1是等边三角形,∴BB1=2,∠A1BB1=90°,
∵D为BB1的中点,∴BD=DB1=,∴A1D==.故选A.
2.答案 6
解析 由旋转的性质可知AF=AG,∠DAF=∠BAG.∵四边形ABCD为正方形,∴∠BAD=90°.又∵∠EAF=45°,∴∠BAE+∠DAF=45°,∴∠BAG+∠BAE=45°,
∴∠GAE=∠FAE.在△GAE和△FAE中,AG=AF,∠GAE=∠FAE,AE=AE,
∴△GAE≌△FAE.∵AB⊥GE,AH⊥EF,∴AB=AH,GE=EF=5.设正方形的边长为x,则EC=x-2,FC=x-3.在Rt△EFC中,由勾股定理得EF2=EC2+FC2,即(x-2)2+(x-3)2=25.解得x=6(x=-1舍),∴AB=6,∴AH=6.
3.答案 28
解析 ∵在△ABC中,AC=BC=8,∠C=90°,∴∠B=45°.∵旋转角是45°,即∠BDE=45°,∴∠BED=90°,∴△BDE是等腰直角三角形.∵D是BC的中点,∴BD=BC=4.根据勾股定理可得BE=DE=2,∴S四边形ACDE=AC·BC-BE·DE=×8×8-×2×2=28.
4.答案 ①②③
解析 设BE,DG交于点O,BE,CD交于点H,
∵四边形ABCD和CEFG都为正方形,
∴BC=CD,CE=CG,∠BCD=∠ECG=90°,
∴∠BCD+∠DCE=∠ECG+∠DCE,
即∠BCE=∠DCG.
在△BCE和△DCG中,
BC=DC,∠BCE=∠DCG,CE=CG,
∴△BCE≌△DCG(SAS),
∴BE=DG,∠CBE=∠CDG,
∵∠CHB=∠DHE,∠CBE+∠CHB=90°,
∴∠CDG+∠DHE=90°,∴∠BOD=90°,
∴BE⊥DG,故①②正确.
连接BD,EG,如图所示,
易知DO2+BO2=BD2=BC2+CD2=2a2,EO2+OG2=EG2=CG2+CE2=2b2,
∴DE2+BG2=DO2+EO2+BO2+OG2=2a2+2b2,故③正确.
故答案为①②③.
核心素养全练
拓展训练
1.答案 D 连接PP',如图,∵四边形ABCD为正方形,
∴∠ABC=90°,BA=BC,
∴△ABP绕点B顺时针旋转90°得到△CBP',
∴BP=BP',∠BPA=∠BP'C,
∴∠PBP'=90°,
∴△PBP'为等腰直角三角形,
∴∠BPP'=45°,PP'=PB=2.
在△APP'中,∵PA=1,PP'=2,AP'=3,
∴PA2+PP'2=AP'2,
∴△APP'为直角三角形,∠APP'=90°,
∴∠BPA=∠BPP'+∠APP'=45°+90°=135°,
∴∠BP'C=135°.故选D.
2.答案 15°,45°,105°,135°,150°
解析 当△ADE的一边与△ABC的某一边平行(不共线)时,旋转角α的所有可能的情况如下图所示:
图1
①如图1,当AD∥BC时,α=15°;②如图2,当DE∥AB时,α=45°;③如图3,当DE∥BC时,α=105°;④如图4,当DE∥AC时,α=135°;⑤如图5,当AE∥BC时,α=150°.
