23.2.1 中心对称
测试时间:20分钟
一、选择题
1.下列说法中,正确的有( )
①线段两端点关于它的中点对称;②菱形的一组对边关于对角线的交点对称;③成中心对称的两个图形一定全等;④如果两个图形全等,那么这两个图形一定关于某点成中心对称;⑤如果两个三角形的对应点连线都经过一点,那么这两个三角形成中心对称.( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
2.如图所示,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,若AB=3,BC=4,那么阴影部分的面积为( )
A.4 B.12 C.6 D.3
3.如图,四边形ABCD与四边形FGHE关于点O成中心对称,下列说法中错误的是( )
A.AD∥EF,AB∥GF B.BO=GO
C.CD=HE,BC=GH D.DO=HO
二、填空题
4.如图,若四边形ABCD与四边形FGCE成中心对称,则它们的对称中心是 ,点A的对称点是 ,点E的对称点是 .BD∥ 且BD= .连接点A和点F的线段经过点 ,且被C点 ,△ABD≌ .?
5.如图,已知 AB=3,AC=1,∠D=90°,△DEC 与△ABC关于点C成中心对称,点F是DE的中点,连接CF,则CF的长是 .?
三、解答题
6.如图,△ABC与△DEF关于点O对称,请你写出这两个三角形中的对称点、相等的线段、相等的角.
7.如图,线段AC、BD相交于点O,AB∥CD,AB=CD.线段AC上的两点E、F关于点O对称.求证:BF=DE.
8.(2017山东日照莒县期末)如图,在正方形网格上有A、B、O三点,用(3,3)表示A点的位置,用(1,1)表示B点的位置,O点也在网格格点上.
(1)作出点B关于直线OA的对称点C,写出点C的坐标(不写作法,但要在图中标出字母);
(2)作出△ABC关于点O的中心对称图形△A'B'C',写出A'、B'、C'三点的坐标(不写作法,但要标出字母);
(3)若网格上的最小正方形边长为1,求出△A'B'C'的面积.
23.2.1 中心对称
一、选择题
1.答案 B ①正确;②正确;③正确;两个图形全等,这两个图形不一定关于某点成中心对称,但关于某点中心对称的两个图形一定全等,故④错误;如果两个三角形的对应点连线都经过一点,那么这两个三角形位似,但不一定全等,故这两个三角形不一定成中心对称,故⑤错误.故选B.
2.答案 D 由矩形是中心对称图形,对称中心是对角线的交点O易知△BOE≌△DOF.∴S阴影=△AOB的面积=AB·BC=3.故选D.
3.答案 D 选项A,∵AD与FE关于点O成中心对称,∴AD∥EF,同理可得AB∥GF,∴A正确;选项B,∵点B与点G关于点O成中心对称,∴BO=GO,∴B正确;选项C,∵CD与HE关于点O成中心对称,∴CD=HE,同理可得BC=GH,∴C正确;选项D,∵点D与点E关于点O成中心对称,∴DO=EO,又∵EO与HO不一定相等,∴DO与HO不一定相等.故选D.
二、填空题
4.答案 C;F;D;EG;EG;C;平分;△FGE
解析 四边形ABCD与四边形FGCE成中心对称,则它们的对称中心是C,点A的对称点是F,点E的对称点是D.BD∥EG且BD=EG.连接点A和点F的线段经过点C,且被C点平分,△ABD≌△FGE.
5.答案
解析 ∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称,AB=3,AC=1,∴DC=AC=1,DE=AB=3,
∴在Rt△EDA中,AE=.∵点F是DE的中点,∴CF是△ADE的中位线,∴CF=AE=.
三、解答题
6.解析 对称点:A和D、B和E、C和F;
相等的线段:AC=DF、AB=DE、BC=EF;
相等的角:∠CAB=∠FDE,∠ABC=∠DEF,∠BCA=∠EFD.
7.证明 如图,连接AD、BC,
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=DO,
∵点E、F关于点O对称,
∴OF=OE,
在△BOF和△DOE中,∴△BOF≌△DOE(SAS),
∴BF=DE.
8.解析 (1)如图所示:点C即为所求,C(5,1).
(2)如图所示:△A'B'C'即为所求,A'(3,-3),B'(5,-1),C'(1,-1).
(3)△A'B'C'的面积S△A'B'C'=×4×2=4.
23.2.1 中心对称
基础闯关全练
拓展训练
1.如图,△ABC与△A'B'C'成中心对称,下列说法不正确的是( )
A.S△ACB=S△A'B'C'
B.AB=A'B'
C.AB∥A'B',A'C'∥AC,BC∥B'C'
D.S△A'B'O=S△ACO
2.点A和点B的坐标分别为A(0,2),B(1,0),若将△OAB绕点B顺时针旋转180°后,得到△O'A'B,则点A的对应点A'的坐标是( )
A.(0,2) B.(2,2)
C.(-2,2) D.(2,-2)
能力提升全练
拓展训练
1.如图,把抛物线y=-x2绕y轴上的点A旋转180°得到抛物线y=x2-2,抛物线y=x2-2与x轴的一个交点为B,则直线AB的解析式为 .?
2.在平面直角坐标系中,正方形ABCD的顶点分别为A(1,1)、B(1,-1)、C(-1,-1)、D(-1,1),y轴上有一点P(0,2).作点P关于点A的对称点P1,作点P1关于点B的对称点P2,作点P2关于点C的对称点P3,作点P3关于点D的对称点P4,作点P4关于点A的对称点P5,作点P5关于点B的对称点P6,……,按此操作下去,则点P2 019的坐标为 .?
三年模拟全练
拓展训练
1.(2016江苏南京高淳期中,6,★★☆)如图,E、F分别是正方形ABCD的边CD、AD上的点,且CE=DF,AE、BF相交于点O,下列结论:①AE=BF;②AE⊥BF;③△ABF与△DAE成中心对称.其中正确的结论有( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.(2017山东滨州无棣期中,16,★★☆)四边形ABCD中,AD∥BC,E是CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,连接BE,则点C与点 关于点E对称,△ADE与△FCE成 对称;若AB=AD+BC,则△ABF是 三角形,BE是△ABF的 (将你认为正确的结论填上一个即可).?
五年中考全练
拓展训练
(2016云南昆明中考,17,★★☆)如图,△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1),B(4,2),C(3,4).
(1)请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1;
(2)请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2;
(3)在x轴上找一点P,使PA+PB的值最小,请直接写出点P的坐标.
核心素养全练
拓展训练
(2016山东日照五莲期末)在如图所示的平面直角坐标系中,△OA1B1是边长为2的等边三角形,作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,如此作下去,则△B2nA2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是 .?
23.2.1 中心对称
基础闯关全练
拓展训练
1.答案 D 根据中心对称的两个图形全等,可知△ACB≌△A'C'B',所以S△ACB=S△A'B'C',AB=A'B',故A,B正确;根据对称点到对称中心的距离相等,及对顶角相等易证得对应线段平行,故C正确;S△A'B'O=S△ABO≠S△ACO,故D错误.故选D.
2.答案 D 如图所示,点A和点B的坐标分别为A(0,2),B(1,0),∴OA=2,OB=1,∠AOB=90°.将△OAB绕点B顺时针旋转180°后,得到△O'A'B,∴O'B=OB=1,O'A'=OA=2,∠A'O'B=90°,∴点A的对应点A'的坐标为(2,-2).
能力提升全练
拓展训练
1.答案 y=x-1
解析 ∵抛物线y=-x2的顶点为(0,0),抛物线y=x2-2的顶点为(0,-2),∴点A的坐标为(0,-1).把y=0代入y=x2-2,得x2-2=0,解得x=±,∴点B的坐标为(,0).设直线AB的解析式为y=kx+b,把(0,-1)和(,0)代入可得解得∴直线AB的解析式为y=x-1.
2.答案 (-2,0)
解析 如图,点P1的坐标为(2,0),点P2的坐标为(0,-2),点P3的坐标为(-2,0),点P4的坐标为(0,2),点P5的坐标为(2,0),而2 019=4×504+3,所以点P2 019的坐标与点P3的坐标相同,为(-2,0).
三年模拟全练
拓展训练
1.答案 C ∵四边形ABCD为正方形,∴AB=DA=DC,∠D=∠BAD=90°,
∵CE=DF,∴DE=AF,∴△DEA≌△AFB,∴AE=BF,∠DEA=∠AFB,
又∠DEA+∠DAE=90°,∴∠AFB+∠DAE=90°,∴∠AOF=90°,即AE⊥BF,∴①②正确.∵△ABF绕对角线的交点,顺时针旋转90°可得△DAE,∴△ABF与△DAE不成中心对称,故③错误.故选C.
2.答案 D;中心;等腰;高(或中线或角平分线)
五年中考全练
拓展训练
解析 (1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)点P的坐标为(2,0).
核心素养全练
拓展训练
答案 (4n+1,)
解析 ∵△OA1B1是边长为2的等边三角形,
∴A1的坐标为(1,),B1的坐标为(2,0).
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称,
∴点A2与点A1关于点B1成中心对称,
∵2×2-1=3,2×0-=-,
∴点A2的坐标是(3,-).
∵△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称,
∴点A3与点A2关于点B2成中心对称,
∵2×4-3=5,2×0-(-)=,
∴点A3的坐标是(5,).
∵△B3A4B4与△B3A3B2关于点B3成中心对称,
∴点A4与点A3关于点B3成中心对称,
∵2×6-5=7,2×0-=-,
∴点A4的坐标是(7,-),……,
∵1=2×1-1,3=2×2-1,5=2×3-1,7=2×4-1,……,
∴An的横坐标是2n-1,A2n+1的横坐标是2(2n+1)-1=4n+1,
∵当n为奇数时,An的纵坐标是,
当n为偶数时,An的纵坐标是-,
∴顶点A2n+1的纵坐标是,
∴△B2nA2n+1B2n+1(n是正整数)的顶点A2n+1的坐标是(4n+1,).
