第二章方程与不等式第10节 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1. 增长率问题
增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【来源：21·世纪·教育·网】
■考点2.销售问题
销售利润＝销售价－进价
销售利润率=利润总额/营业收入×100% 销售毛利率=（营业收入－营业成本）/营业收入×100% 利润总额=营业收入－营业成本－费用
■考点3.几何问题
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4.求互相联系的两数
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5.赛制循环问题
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )
■考点6.利率问题
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7.传染问题
公式：(a+x)n =M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
■考点1：增长率问题
◇典例：
1.（2018年广西钦州市）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． 80（1+x）2=100 B． 100（1﹣x）2=80 C． 80（1+2x）=100 D． 80（1+x2）=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
2. （2018年辽宁省沈阳市）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
◆变式训练
1.（2018年四川省眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（??? ）.
A． 8% B． 9% C． 10% D． 11%
【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1-x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
详解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1-x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
2. （2017年 湖北襄阳）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
【分析】（1）设年平均增长率为x，则2016年利润为2(1+x)亿元，则2017年的年利润为2(1+x)(1+x)，根据2017年利润为2.88亿元列方程即可。
（2）2018年的利润在2017年的基础上再增加(1+x)，据此计算即可.
【详解】(1)设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x.根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，
解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．
答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%.
(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，
所以该企业2018年的利润能超过3.4亿元．
【点睛】此题考查一元二次方程的应用---增长率问题，根据题意寻找相等关系列方程是关键，难度不大．
■考点2：销售问题
◇典例
1. “一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车，以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000台．设平均每年的出口增长率为x，可列方程为（ ）
A．1000（1+x%）2=3000 B．1000（1﹣x%）2=3000
C．1000（1+x）2=3000 D．1000（1﹣x）2=3000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意得出2018年的台数为1000（1+x）台，2019年为1000（1+x）2台，列出方程即可．
解：根据题意：2019年为1000（1+x）2台．
则1000（1+x）2=3000；
故选：C．
2.(2016随州中考)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．21cnjy.com
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
【分析】(1)根据分段函数可以表示出当0解：(1)由题意，得
当0当5∴y＝
(2)当0当5解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.
答：该月需售出10辆汽车．
◆变式训练
1.( 2017年辽宁辽阳) 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
1000（1+x）2=1000+440，
故选A．
2.（2017年湖北省宜昌）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2．
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．
【考点】一元二次方程的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）由线路敷设三年总投资为54亿元及这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2，可得答案．
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，根据“线路敷设三年总投资为54亿元、辅助配套三年的总投资为36亿元”列方程组，解之求得x、b的值可得答案．
（3）由x=5得出2015年初搬迁安置的投资为20亿元，设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，根据“2017年年初搬迁安置的为投资5亿”列方程求解可得．
解：（1）三年用于辅助配套的投资将达到54×=36（亿元）；
（2）设2015年年初，对辅助配套的投资为x亿元，则线路敷设的投资为2x亿元，搬迁安置的投资是4x亿元，21教育网
根据题意，得：，
解得：，
∴市政府2015年年初对三项工程的总投资是7x=35亿元；
（3）由x=5得，2015年初搬迁安置的投资为20亿元，
设从2016年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分数为y，
由题意，得：20（1﹣y）2=5，
解得：y1=0.5，y2=1.5（舍）
答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为50%．
■考点3：几何问题
◇典例：
（2017年甘肃兰州）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
◆变式训练
（2017年广东省深圳）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．
（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=180，
解得x1=10（舍去），x2=18，
28﹣x=28﹣18=10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=200，
即x2﹣28x+200=0，
则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无解，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
■考点4.求互相联系的两数
◇典例：
积是63的两个连续奇数是????．
【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是63列出方程求解即可． 解：设较小的奇数为2n-1，则依题意得 （2n-1）（2n+1）=63， 4n2-1=63， n=4或n=-4， 当n=4时 奇数为7，9． 当n=-4时，奇数为-9、-7 故答案为：7、9或-9、-7．
如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9
个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和．
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x（x+16）=192， 解得：x1=8，x2=-24，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
◆变式训练
已知两个数的和为-4，积为-21，则这两个数为????．
【分析】设其中一个数为x，另一个数为（-4-x），根据积为21可列方程求解． 解：设其中一个数为x，另一个数为（-4-x）， （-4-x）x=-21． x=-7或x=3． 故答案为：-7和3．
一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知
这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
【分析】设该三位数的百位数字是x，则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．所以根据“这个三位数比个位数字的平方的5倍大12”列出方程． 解：设该三位数的百位数字是x（x为正整数），则十位数字是（x+3），个位数字是（2x+3）．则 100x+10（x+3）+（2x+3）=5（2x+3）2+12， 整理，得 5x2-13x+6=0， 所以，（x-2）（5x-3）=0． 所以x-2=0或5x-3=0， 解得，x=2，则x+3=5，2x+3=7， 则该三位数是257． ?答：这个数是257．
■考点5.赛制循环问题
◇典例：
在一次同学聚会上，有一位同学建议在场的45位同学均要与其他同学握一次手，则他
们共握了????次手．
【分析】此题利用基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为??x（x-1）解决问题即可． 解：由题意列代数式得：x（x-1）， 当x=45，代入得：×45×（45-1）=990 故答案为：990．
某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36
场，则选手有????名
【分析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，根据单循环的比赛场数为36场建立方程求出其解即可． 解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，由题意，得 =36， 解得：x1=-8（舍去），x2=9， ∴x=9． 故答案为：9．
◆变式训练
春节期间有10名同学互相打电话拜年，每两人打电话一次，一共需打电话（ ）次． A．55 B．40 C．45 D．50
【分析】每人与另外的9人打电话，共90次，打电话是在两人之间进行的，故一共打电话90÷2=45次． 解：10×（10-1）÷2， =10×9÷2， =45（次）； 故选C．
参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是????．
【分析】握手要做到不重不漏，可类比线段上放点数有多少线段来做．人数类似线段上的点数，握手次数类似线段的总条数．因此可列出方程． 解：设到会的人数是n． =91 n=14或n=-13（舍去） 故答案为14．
■考点6.利率问题
◇典例：
小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为????21*cnjy*com
【分析】直接假设出这种债券的年利率，从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出． 解：假设这种债券的年利率为x，列方程得： 5000+2×5000x=5400， 解得：x=4%． 故填：4%．
◆变式训练
某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（ ） A．10% B．11% C．12% D．13%
【分析】本题考查的是方程思想，将所求的未知数设为x，将其代入题给的条件中，列出式子后便可求得x． 解：第一年的利润是500x万元，则第二年的投入资金为（500+500x）万元，第二年的利润率为x+8%，利润为112万元， 所以可得方程：（500+500x）（x+8%）=112， 解方程可得x=12% 故选C．
■考点7.传染问题
◇典例：
有一只鸡患了H7N9流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的只数为????．
【分析】设每轮传染中平均每只鸡传染了x只鸡，第一轮后有（1+x）只鸡患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）只鸡，则两轮以后共有1+x+x（1+x）只鸡得病，然后根据共有100只鸡患了流感就可以列出方程求解． 解：设每轮传染中平均每个人传染了x只鸡． 依题意得1+x+x（1+x）=100， ∴x2+2x-99=0， ∴x=9或x=-11（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一只鸡传染给9个只鸡． 故答案为：9．
◆变式训练
截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为????；?n轮感染后，被感染的活禽只数为????只．（用含n的代数式表示）
【分析】可设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只，则第一轮后共有1+x只感染，两轮后有1+x+x（1+x）知感染，列出方程求解即可； 解：设每轮感染中平均一只活禽会感染x个只， 则由题意知：1+x+x（1+x）=36 整理得：（x+1）2=36 解得x1=5，x2=-7（舍去） n轮感染后，被感染的活禽只数为（5+1）n=6n 故答案为：（x+1）2=36；6n
（2017年贵州黔南州）“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北
京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车，
以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一
带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将
向海外出口清洁能源公交车达到3000台．设平均每年的出口增长率为x，可列方程为（ ）
A．1000（1+x%）2=3000 B．1000（1﹣x%）2=3000
C．1000（1+x）2=3000 D．1000（1﹣x）2=3000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意得出2018年的台数为1000（1+x）台，2019年为1000（1+x）2台，列出方程即可．
解：根据题意：2019年为1000（1+x）2台．
则1000（1+x）2=3000；
故选：C．
2.（2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都
比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
【分析】先列出x支篮球队，每两队之间都比赛一场，共可以比赛x（x﹣1）场，再根据题意列出方程为x（x﹣1）=45．21世纪教育网版权所有
解：∵有x支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，
∴共比赛场数为x（x﹣1），
∴共比赛了45场，
∴x（x﹣1）=45，
（2017年江苏无锡市）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，
从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每月增长率为x，据题意可知：三月份销售额为2（1+x）2万元，依此等量关系列出方程，求解即可．
解：设该店销售额平均每月的增长率为x，则二月份销售额为2（1+x）万元，三月份销售额为2（1+x）2万元，
由题意可得：2（1+x）2=4.5，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（不合题意舍去），
答：该店销售额平均每月的增长率为50%；
故选：C．
（2018年浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画
Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根
是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
【考点】解一元二次方程﹣配方法；勾股定理
【分析】表示出AD的长，利用勾股定理求出即可．
解：欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=，
设AD=x，根据勾股定理得：（x+）2=b2+（）2，
整理得：x2+ax=b2，
则该方程的一个正根是AD的长，
故选：B．
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
5.（2016·四川眉山）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情
大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 ．
【分析】根据年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，可以列出相应的方程．
解：由题意可得，
100（1+x）2=169，
故答案为：100（1+x）2=169．
（2017年四川省宜宾市）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据某药品经过连续两次降价，销售单价由原来50元降到32元，平均每次降价的百分率为x，可以列出相应的方程即可．
解：由题意可得，
50（1﹣x）2=32，
故答案为：50（1﹣x）2=32．
（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州试卷）三角形的两边长分别为3和6，第三
边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是 ．
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系
【分析】求出方程的解，有两种情况：x=2时，看看是否符合三角形三边关系定理；x=4时，看看是否符合三角形三边关系定理；求出即可．
解：x2﹣6x+8=0，
（x﹣2）（x﹣4）=0，
x﹣2=0，x﹣4=0，
x1=2，x2=4，
当x=2时，2+3＜6，不符合三角形的三边关系定理，所以x=2舍去，
当x=4时，符合三角形的三边关系定理，三角形的周长是3+6+4=13，
故答案为：13．
【点评】本题考查了三角形的三边关系定理和解一元二次方程等知识点，关键是确定第三边的大小，三角形的两边之和大于第三边，分类讨论思想的运用，题型较好，难度适中．
8.(2016永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，
并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
解：(1)设该种商品每次降价的百分率为x%，
依题意得：400×(1－x%)2＝324，
解得x＝10，或x＝190(舍去)．
答：该种商品每次降价的百分率为10%.
(2)设第一次降价后售出该种商品m件，则第二次降价后售出该种商品(100－m)件，
第一次降价后的单件利润为：400×(1－10%)－300＝60(元/件)；
第二次降价后的单件利润为：324－300＝24(元/件)．
依题意得：60m＋24×(100－m)＝36m＋2 400≥3 210，
解得m≥22.5.∴m≥23.
答：为使两次降价销售的总利润不少于3 210元，第一次降价后至少要售出该种商品23件．
9.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，
横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
【考点】一元二次方程的应用；根据实际问题列二次函数关系式．
【分析】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为xcm，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式；
（2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的，可列出关于x的一元二次方程，整理后求解可得．
解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为xcm，
∴y=20×x+2×12?x﹣2×x?x=﹣3x2+54x，
即y与x之间的函数关系式为y=﹣3x2+54x；
（2）根据题意，得：﹣3x2+54x=×20×12，
整理，得：x2﹣18x+32=0，
解得：x1=2，x2=16（舍），
∴x=3，
答：横彩条的宽度为3cm，竖彩条的宽度为2cm．
10.（2018年四川省宜宾市）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A． 2% B． 4.4% C． 20% D． 44%
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
详解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选C．
点睛：本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2018年四川省绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯55次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设参加酒会的人数为x人，
根据题意得：x（x﹣1）=55，
整理，得：x2﹣x﹣110=0，
解得：x1=11，x2=﹣10（不合题意，舍去）．
答：参加酒会的人数为11人．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（2017年辽宁辽阳）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意可以列出相应的一元二次方程，从而可以解答本题．
解：由题意可得，
1000（1+x）2=1000+440，
故选A．
（2018年贵州省安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【分析】求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可．
解：x2﹣7x+10=0，
（x﹣2）（x﹣5）=0，
x﹣2=0，x﹣5=0，
x1=2，x2=5，
①等腰三角形的三边是2，2，5
∵2+2＜5，
∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意；
②等腰三角形的三边是2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是2+5+5=12；
即等腰三角形的周长是12．
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识，关键是求出三角形的三边长．
（2018年四川省眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有
关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过
连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8% B．9% C．10% D．11%
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设平均每次下调的百分率为x，则两次降价后的价格为6000（1﹣x）2，根据降低率问题的数量关系建立方程求出其解即可．
解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得
6000（1﹣x）2=4860，
解得：x1=0.1，x2=1.9（舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，降低率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据降低率问题的数量关系建立方程是关键．
（2018年浙江省温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股
形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法
所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该
矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
【考点】数学常识；勾股定理的证明，一元二次方程的运用
【分析】欲求矩形的面积，则求出小正方形的边长即可，由此可设小正方形的边长为x，在直角三角形ACB中，利用勾股定理可建立关于x的方程，解方程求出x的值，进而可求出该矩形的面积．
解：设小正方形的边长为x，
∵a=3，b=4，
∴AB=3+4=7，
在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，
即（3+x）2+（x+4）2=72，
整理得，x2+7x﹣12=0，
解得x=或x=（舍去），
∴该矩形的面积=（+3）（+4）=24，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理的证明以及运用和一元二次方程的运用，求出小正方形的边长是解题的关键．
（2018年江苏省南通）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、
三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是 ．
【考点】由实际问题列一元二次方程
【分析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据一月份生产机器100台，三月份生产机器160台，可列出方程．
解：设二，三月份每月平均增长率为x，
100（1+x）2=160．
故答案为：100（1+x）2=160．
【点评】本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程．
（2017年黑龙江龙东地区试卷（农垦、森工用））原价100元的某商品，连续两次降价后
售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 ．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】先设平均每次降价的百分率为x，得出第一次降价后的售价是原来的（1﹣x），第二次降价后的售价是原来的（1﹣x）2，再根据题意列出方程解答即可．
解：设这两次的百分率是x，根据题意列方程得
100×（1﹣x）2=81，
解得x1=0.1=10%，x2=1.9（不符合题意，舍去）．
答：这两次的百分率是10%．
故答案为：10%．
（2018年浙江省杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，
点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG
翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则
AD= ．
【考点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题），一元二次方程的应用
【分析】设AD=x，则AB=x+2，利用折叠的性质得DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，则可判断四边形AEFD为正方形，所以AE=AD=x，再根据折叠的性质得DH=DC=x+2，则AH=AE﹣HE=x﹣1，然后根据勾股定理得到x2+（x﹣1）2=（x+2）2，再解方程求出x即可．
解：设AD=x，则AB=x+2，
∵把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，
∴DF=AD，EA=EF，∠DFE=∠A=90°，
∴四边形AEFD为正方形，
∴AE=AD=x，
∵把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，
∴DH=DC=x+2，
∵HE=1，
∴AH=AE﹣HE=x﹣1，
在Rt△ADH中，∵AD2+AH2=DH2，
∴x2+（x﹣1）2=（x+2）2，
整理得x2﹣6x﹣3=0，解得x1=3+2，x2=3﹣2（舍去），
即AD的长为3+2．
故答案为3+2．
【点评】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
（2017年四川省巴中市）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有
关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，
对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相
同，求平均每次下调的百分率．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设平均每次下调的百分率为x，根据调价前后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取小于1的正值即可得出结论．
解：设平均每次下调的百分率为x，
根据题意得：5000（1﹣x）2=4050，
解得：x1=0.1=10%，x2=1.9（不合题意，舍去）．
答：平均每次下调的百分率为10%．
（2017年广东省深圳市）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）设出矩形的一边长为未知数，用周长公式表示出另一边长，根据面积列出相应方程求解即可．
（2）同样列出方程，若方程有解则可，否则就不可以．
解：（1）设矩形的长为x厘米，则另一边长为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=180，
解得x1=10（舍去），x2=18，
28﹣x=28﹣18=10．
故长为18厘米，宽为10厘米；
（2）设矩形的长为x厘米，则宽为（28﹣x）厘米，依题意有
x（28﹣x）=200，
即x2﹣28x+200=0，
则△=282﹣4×200=784﹣800＜0，原方程无解，
故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形．
（2017年山东菏泽）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】根据单件利润×销售量=总利润，列方程求解即可．
解：设销售单价为x元，
由题意，得：（x﹣360）[160+2（480﹣x）]=20000，
整理，得：x2﹣920x+211600=0，
解得：x1=x2=460，
答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20000元．
（2018年江苏省盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.
为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过
一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
【考点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【分析】（1）根据等量关系“原销售件数+2×降价数=降价后的销售件数”计算；（2）根据等量关系“每件盈利×销量=利润”，可设降价x元，则销量根据（1）的等量关系可得为（20+2x）件，而每件盈利为（40-x）元，利润为1200元，代入等量关系解答即可。
解：（1）26
（2）解：设每件商品降价x元时，该商店每天销售利润为1200元，则平均每天销售数量为（20+2x）件，每件盈利为（40-x）元，且40-x≥25,即x≤15.根据题意可得（40-x）（20+2x）=1200，
整理得x2-30x+200=0,
解得x1=10,x2=20（舍去），
答：每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为1200元。
（2017年广西桂林）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，
已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据2015年及2017年投入的基础教育经费金额，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可取其正值即可得出结论；
（2）根据年平均增长率求出2018年基础教育经费投入的金额，再根据总价=单价×数量，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，取其中的最大值即可．
解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2=7200，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2018年投入基础教育经费为7200×（1+20%）=8640（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500﹣m）台，
根据题意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%，
解得：m≤880．
答：2018年最多可购买电脑880台．
（2018年贵州省安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地
安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用
【分析】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据2015年及2017年该地投入异地安置资金，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据投入的总资金=前1000户奖励的资金+超出1000户奖励的资金结合该地投入的奖励资金不低于500万元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．
解：（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，
根据题意得：1280（1+x）2=1280+1600，
解得：x1=0.5=50%，x2=﹣2.5（舍去）．
答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%．
（2）设2017年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，
根据题意得：8×1000×400+5×400（a﹣1000）≥5000000，
解得：a≥1900．
答：2017年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据各数量之间的关系，列出关于a的一元一次不等式．
（2018年湖北省宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染
源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿
江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进
行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n
计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水
质明显改善．
（1）求n的值；
（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；
（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．
【考点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用
【分析】（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12，得出等式求出答案；
（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；
（3）利用n的值即可得出关于a的等式求出答案．
解：（1）由题意可得：40n=12，
解得：n=0.3；
（2）由题意可得：40+40（1+m）+40（1+m）2=190，
解得：m1=，m2=﹣（舍去），
∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m）=40（1+50%）=60（家），
（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
则（30﹣a）+2a=39.5，
解得：a=9.5，
则Q=20.5．
设第一年用甲方案整理降低的Q值为x，
第二年Q值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，
解法一：（30﹣a）+2a=39.5
a=9.5
x=20.5
解法二：
解得：
【点评】考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．
第二章方程与不等式第10节 一元二次方程的应用
列一元二次方程解应用题的一般步骤：
(1)审题；(2)设未知数；(3)找等量关系；(4)列方程；(5)解方程；(6)检验；(7)写出答案．
■考点1. 增长率问题
增长后的量=增长前的量×（1+增长率），一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．【出处：21教育名师】
■考点2.销售问题
销售利润＝
销售利润率= 销售毛利率= 利润总额=
■考点3.几何问题
这类问题要结合几何图形的性质、特征、定理或者法则来寻找等量关系，构建方程，对结果要结合几何知识检验。如，几何图形的面积、体积问题，可以按照面积、体积的计算公式列方程。
■考点4.求互相联系的两数
求互相联系的两数：解答这类问题要能正确地用代数式表示出多位数，奇偶数，连续整数等形式.
■考点5.赛制循环问题
单循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )/2
双循环赛比赛场次数＝参赛选手数×（参赛选手数-1 )
■考点6.利率问题
利息=本金×年利率（百分数）×存期
存n年的本息和=本金×（1+年利率）n，即本金×（1+a%）n
■考点7.传染问题
公式：(a+x)n =M 其中a为传染源（一般a=1），n为传染轮数，M为最后得病总人数
■考点1：增长率问题
◇典例：
1.（2018年广西钦州市）某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A． 80（1+x）2=100 B． 100（1﹣x）2=80 C． 80（1+2x）=100 D． 80（1+x2）=100
【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到100吨”，即可得出方程．
【详解】由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，
根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，
2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到100吨，
即： 80（1+x）2=100，
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．
2. （2018年辽宁省沈阳市）某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．
（1）求每个月生产成本的下降率；
（2）请你预测4月份该公司的生产成本．
【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；
（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．
【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，
根据题意得：400（1﹣x）2=361，
解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．
答：每个月生产成本的下降率为5%；
（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），
答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．
◆变式训练
1.（2018年四川省眉山市）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（??? ）.
A． 8% B． 9% C． 10% D． 11%
2. （2017年 湖北襄阳）受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2014年利润为2亿元，2016年利润为2.88亿元．
（1）求该企业从2014年到2016年利润的年平均增长率；
（2）若2017年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2017年的利润能否超过3.4亿元？
■考点2：销售问题
◇典例
1. “一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车，以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将向海外出口清洁能源公交车达到3000台．设平均每年的出口增长率为x，可列方程为（ ）
A．1000（1+x%）2=3000 B．1000（1﹣x%）2=3000
C．1000（1+x）2=3000 D．1000（1﹣x）2=3000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意得出2018年的台数为1000（1+x）台，2019年为1000（1+x）2台，列出方程即可．
解：根据题意：2019年为1000（1+x）2台．
则1000（1+x）2=3000；
故选：C．
2.(2016随州中考)楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价
为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．21cnjy.com
(1)设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x为正整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；
(2)已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么该月需售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)
【分析】(1)根据分段函数可以表示出当0解：(1)由题意，得
当0当5∴y＝
(2)当0当5解得x1＝－25(舍去)，x2＝10.
答：该月需售出10辆汽车．
◆变式训练
1.( 2017年辽宁辽阳) 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440
2.（2017年湖北省宜昌）某市总预算a亿元用三年时间建成一条轨道交通线．轨道交通线由线路敷设、搬迁安置、辅助配套三项工程组成．从2015年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资．
2015年年初，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的2倍、4倍．随后两年，线路敷设投资每年都增加b亿元，预计线路敷设三年总投资为54亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从2016年初开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017年年初只需投资5亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工程在2016年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设2016年投资增长率的1.5倍，2017年年初的投资比该项工程前两年投资的总和还多4亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工．经测算，这三年的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到3：2．
（1）这三年用于辅助配套的投资将达到多少亿元？
（2）市政府2015年年初对三项工程的总投资是多少亿元？
（3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数．
■考点3：几何问题
◇典例：
（2017年甘肃兰州）王叔叔从市场上买了一块长80cm，宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱．如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为3000cm2的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为（ ）
A．（80﹣x）（70﹣x）=3000 B．80×70﹣4x2=3000
C．（80﹣2x）（70﹣2x）=3000 D．80×70﹣4x2﹣（70+80）x=3000
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】根据题意可知裁剪后的底面的长为（80﹣2x）cm，宽为（70﹣2x）cm，从而可以列出相应的方程，本题得以解决．
解：由题意可得，
（80﹣2x）（70﹣2x）=3000，
故选C．
◆变式训练
（2017年广东省深圳）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．
■考点4.求互相联系的两数
◇典例：
积是63的两个连续奇数是??? ?．
【分析】设较小的奇数为未知数，根据连续奇数相差2得到较大的奇数，根据两个数的积是63列出方程求解即可． 解：设较小的奇数为2n-1，则依题意得 （2n-1）（2n+1）=63， 4n2-1=63， n=4或n=-4， 当n=4时 奇数为7，9． 当n=-4时，奇数为-9、-7 故答案为：7、9或-9、-7．
如图所示的是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9
个数（如6，7，8，13，14，15，20，21，22）．若圈出的9个数，最大数与最小数的积为192，求这9个数的和．
【分析】根据日历上数字规律得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，以及利用最大数与最小数的积为192，求出两数，再利用上下对应数字关系得出其他数即可． 解：根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x+16，根据题意得出： x（x+16）=192， 解得：x1=8，x2=-24，（不合题意舍去）， 故最小的三个数为：8，9，10， 下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为：15，16，17， 第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为：22，23，24， 故这9个数的和为：8+9+10+15+16+17+22+23+24=144．
◆变式训练
已知两个数的和为-4，积为-21，则这两个数为????．
一个三位数，十位数字比百位数字大3，个位数字等于百位数字与十位数字的和．已知
这个三位数比个位数字的平方的5倍大12，求这个三位数．
■考点5.赛制循环问题
◇典例：
在一次同学聚会上，有一位同学建议在场的45位同学均要与其他同学握一次手，则他
们共握了????次手．
【分析】此题利用基本数量关系：x人参加聚会，两人只握一次手，握手总次数为??x（x-1）解决问题即可． 解：由题意列代数式得：x（x-1）， 当x=45，代入得：×45×（45-1）=990 故答案为：990．
某次围棋比赛采用单循环制（即每个选手必须和其余的选手都比赛一场），共赛了36
场，则选手有????名
【分析】设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，根据单循环的比赛场数为36场建立方程求出其解即可． 解：设选手有x名，则共进行的比赛场数为场，由题意，得 =36， 解得：x1=-8（舍去），x2=9， ∴x=9． 故答案为：9．
◆变式训练
春节期间有10名同学互相打电话拜年，每两人打电话一次，一共需打电话（ ）次． A．55 B．40 C．45 D．50
参加会议的人，每两人都握过一次手．有人统计共握了91次手，那么到会的人数是????．
■考点6.利率问题
◇典例：
小明的妈妈前年买了某公司的两年期债券5000元，今年到期（不计利息税）共得本息和为5400元，则这种债券的年利率为????21*cnjy*com
【分析】直接假设出这种债券的年利率，从而列出方程，利用两年利率相同，可以求出． 解：假设这种债券的年利率为x，列方程得： 5000+2×5000x=5400， 解得：x=4%． 故填：4%．
◆变式训练
某厂把500万元资金投入新产品生产，一年后获得了一定的利润，在不抽掉资金和利润的前提下，第二年的利润率比第一年的利润率增加了8%，这样第二年净得利润112万元，为求第一年的利润率，可设它为x，则解得第一年的利润率是（ ） A．10% B．11% C．12% D．13%
■考点7.传染问题
◇典例：
有一只鸡患了H7N9流感，经过两轮传染后共有100只鸡患了流感，那么每轮传染中，平均一只鸡传染的只数为????．
【分析】设每轮传染中平均每只鸡传染了x只鸡，第一轮后有（1+x）只鸡患了流感，第二轮后会传染给x（1+x）只鸡，则两轮以后共有1+x+x（1+x）只鸡得病，然后根据共有100只鸡患了流感就可以列出方程求解． 解：设每轮传染中平均每个人传染了x只鸡． 依题意得1+x+x（1+x）=100， ∴x2+2x-99=0， ∴x=9或x=-11（不合题意，舍去）． 所以，每轮传染中平均一只鸡传染给9个只鸡． 故答案为：9．
◆变式训练
截止4月15日全国已通报确诊63例人感染H7N9禽流感病例，H7N9是禽流感的一种亚型，在禽类中传播速度较快，上海等地已开始捕杀活禽．如果一只活禽，经过两轮感染后就会有36只活禽被感染，假设每轮传染中平均每只活禽传染了x只活禽，那么可列方程为????；?n轮感染后，被感染的活禽只数为????只．（用含n的代数式表示）
（2017年贵州黔南州）“一带一路”国际合作高峰论坛于2017年5月14日至15日在北
京举行，在论坛召开之际，福田欧辉陆续向缅甸仰光公交公司交付1000台清洁能源公交车，
以2017客车海外出口第一大单的成绩，创下了客车行业出口之最，同时，这也是在国家“一
带一路”战略下，福田欧辉代表“中国制造”走出去的成果．预计到2019年，福田公司将
向海外出口清洁能源公交车达到3000台．设平均每年的出口增长率为x，可列方程为（ ）
A．1000（1+x%）2=3000 B．1000（1﹣x%）2=3000
C．1000（1+x）2=3000 D．1000（1﹣x）2=3000
2.（2016?台州）有x支球队参加篮球比赛，共比赛了45场，每两队之间都
比赛一场，则下列方程中符合题意的是（ ）
A． x（x﹣1）=45 B． x（x+1）=45
C．x（x﹣1）=45 D．x（x+1）=45
（2017年江苏无锡市）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，
从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ）
A．20% B．25% C．50% D．62.5%
（2018年浙江省舟山）欧几里得的《原本》记载，形如x2+ax=b2的方程的图解法是：画
Rt△ABC，使∠ACB=90°，BC=，AC=b，再在斜边AB上截取BD=．则该方程的一个正根
是（ ）
A．AC的长 B．AD的长 C．BC的长 D．CD的长
5.（2016·四川眉山）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情
大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为 ．
（2017年四川省宜宾市）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，
设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 ．
故答案为：50（1﹣x）2=32．
（2018年贵州省黔南州、黔东南州、黔西南州试卷）三角形的两边长分别为3和6，第三
边的长是方程x2﹣6x+8=0的解，则此三角形的周长是 ．
8.(2016永州中考)某种商品的标价为400元/件，经过两次降价后的价格为324元/件，
并且两次降价的百分率相同．
(1)求该种商品每次降价的百分率；
(2)若该种商品进价为300元/件，两次降价共售出此种商品100件，为使两次降价销售的总利润不少于3 210元．问第一次降价后至少要售出该种商品多少件？
9.（2016·内蒙古包头）一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，
横、竖彩条的宽度比为3：2．设竖彩条的宽度为xcm，图案中三条彩条所占面积为ycm2．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．
10.（2018年四川省宜宾市）某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（ ）
A． 2% B． 4.4% C． 20% D． 44%
（2018年四川省绵阳）在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯55次，则参加酒会的人数为（ ）
A．9人 B．10人 C．11人 D．12人
（2017年辽宁辽阳）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为（ ）
A．1000（1+x）2=1000+440 B．1000（1+x）2=440
C．440（1+x）2=1000 D．1000（1+2x）=1000+440
（2018年贵州省安顺）一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2﹣7x+10=0的两根，则该等腰三角形的周长是（ ）
A．12 B．9 C．13 D．12或9
（2018年四川省眉山）我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售，由于国务院有
关房地产的新政策出台后，购房者持币观望，为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过
连续两次下调后，决定以每平方4860元的均价开盘销售，则平均每次下调的百分率是（ ）
A．8% B．9% C．10% D．11%
（2018年浙江省温州）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股
形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法
所得的图形证明了勾股定理，如图所示的矩形由两个这样的图形拼成，若a=3，b=4，则该
矩形的面积为（ ）
A．20 B．24 C． D．
（2018年江苏省南通）某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产160台．设二、
三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是 ．
（2017年黑龙江龙东地区试卷（农垦、森工用））原价100元的某商品，连续两次降价后
售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 ．
（2018年浙江省杭州）折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，
点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG
翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB=AD+2，EH=1，则
AD= ．
（2017年四川省巴中市）巴中市某楼盘准备以每平方米5000元的均价对外销售，由于有
关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，
对价格经过两次下调后，决定以每平方米4050元的均价开盘销售，若两次下调的百分率相
同，求平均每次下调的百分率．
（2017年广东省深圳市）一个矩形周长为56厘米．
（1）当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别为多少？
（2）能围成面积为200平方米的矩形吗？请说明理由．
（2017年山东菏泽）列方程解应用题：
某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？
（2018年江苏省盐城）一商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元.
为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过
一段时间销售，发现销售单价每降低1元，平均每天可多售出2件.
（1）若降价3元，则平均每天销售数量为________件；
（2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
（2017年广西桂林）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，
已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
（2018年贵州省安顺）某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地
安置，并规划投入资金逐年增加，2017年在2015年的基础上增加投入资金1600万元．
（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？
（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天奖励5元，按租房400天计算，求2017年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励．
（2018年湖北省宜昌）某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染
源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿
江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进
行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n
计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12．经过三年治理，境内长江水
质明显改善．
