课件31张PPT。第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.1 方程的根与函数的零点
1．理解函数零点的概念，以及了解函数的零点与方程根的关系．(易混点)
2．会求函数的零点．(重点)
3．掌握函数零点的存在性定理并会判断函数零点的个数．(难点)学习目标1．函数的零点
对于函数y＝f(x)，把使________的实数____叫做函数y＝f(x)的零点．
2．函数的零点与方程的根的联系
函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的________．f(x)＝0x实数根横坐标
3．函数零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有___________，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得________.这个c也就是方程f(x)＝0的根．f(a)·f(b)＜0f(c)＝0判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
1．函数f(x)的零点就是函数y＝f(x)的图象与x轴的交点．( )
2．在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＜0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内仅有一个零点．( )
3．在闭区间[a，b]上连续的曲线y＝f(x)，若f(a)·f(b)＞0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内没有一个零点．( )
答案：1.× 2.× 3.×函数零点及求法1．函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
2．根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点?方程f(x)＝0的实根?函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
3．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根；
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．判断函数零点所在的区间1．确定函数零点所在区间的方法
确定函数的零点、方程的根所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为判断区间两端点对应的函数值的符号是否相反．2．判断函数零点所在区间的三个步骤
(1)代：将区间端点代入函数求出函数的值．
(2)判：把所得函数值相乘，并进行符号判断．
(3)结：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点． 判断函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．判断函数零点的个数【互动探究】 将本例中函数解析式改为f(x)＝x－3＋ln x呢？
解：方法一：令f(x)＝x－3＋ln x＝0，
则ln x＝3－x，
在同一平面直角坐标系内画出函数y＝ln x与y＝－x＋3的图象，如图所示．判断函数零点个数的方法
判断函数零点的个数主要有以下几种方法．
方法一：直接求出函数的零点进行判断；
方法二：结合函数图象进行判断；
方法三：借助函数的单调性进行判断．若函数f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且在区间(a，b)上单调，满足f(a)·f(b)<0，则函数f(x)在区间(a，b)上有且仅有一个零点，如图所示．
1．方程f(x)＝g(x)的根是函数f(x)与g(x)的图象交点的横坐标，也是函数y＝f(x)－g(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．在函数零点存在性定理中，要注意三点：
(1)函数是连续的；
(2)定理不可逆；
(3)至少存在一个零点．3．解决函数的零点存在性问题常用的办法有三种：
(1)用定理；
(2)解方程；
(3)用图象．
4．函数与方程有着密切的联系，有些方程问题可以转化为函数问题求解，同样，函数问题有时化为方程问题，这正是函数与方程思想的基础．谢谢观看！课件26张PPT。第三章 函数的应用3.1 函数与方程
3.1.2 用二分法求方程的近似解
1．会用二分法求方程的近似解．(重点)
2．明确精确度ε与近似值的区别．(易混点)
3．应用二分法解题时，会判断函数零点所在的区间．(难点)学习目标1．二分法的定义
对于在区间[a，b]上__________且___________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．连续不断f(a)·f(b)＜0一分为二零点以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点的是( )
解析：根据二分法的思想，函数f(x)在区间[a，b]上的图象连续不断，且f(a)·f(b)＜0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a，b]一分为二，逐步得到零点的近似值，对各图象分析可知，A，B，D都符合条件，而选项C不符合，因为图象经过零点时函数值不变号，因此不能用二分法求函数零点．
答案：C2．二分法的步骤
给定精确度ε，用二分法求f(x)零点近似值的步骤如下：
(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确度ε.
(2)求区间(a，b)的中点c.
(3)计算f(c)：
①若f(c)＝0，则________________；
②若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈_______)；
③若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈_______)．
(4)判断a，b是否达到精确度ε：即若_________，则得到零点近似值a(或b)；否则重复(2)～(4)．f(a)·f(b)＜0c就是函数的零点(a，c)(c，b)|a－b|＜ε判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
1．所有函数的零点都可以用二分法来求．( )
2．函数f(x)＝|x|可以用二分法求其零点．( )
3．二分法只可用来求方程的近似解．( )
答案：1.× 2.× 3.× 下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )二分法的概念解析：利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号．在B中，不满足f(a)·f(b)＜0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点．故选B.
答案：B二分法的适用条件
判断一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．1．已知函数f(x)的图象如图，其中零点的个数与可以用二分法求解的个数分别为( )
A．4,4 B．3,4
C．5,4 D．4,3解析：由图象知函数f(x)与x轴有4个交点，因此零点个数为4，从左往右数第4个交点两侧不满足f(a)·f(b)＜0，因此不能用二分法求零点，而其余3个均可使用二分法求零点．
答案：D 求函数f(x)＝x2－5的负零点(精确度0.1)．
思路点拨：先确定f(－2)与f(－3)的符号，再按照二分法求函数零点近似值的步骤求解．
解：由于f(－2)＝－1<0，
f(－3)＝4>0，
故取区间(－3，－2)作为计算的初始区间，用二分法求函数的近似零点用二分法逐次计算，列表如下：
由于|－2.25－(－2.187 5)|＝0.062 5<0.1，
所以函数的一个近似负零点可取－2.25.【互动探究】 只将本例中的“负”改为“正”呢？
解：由于f(2)＝－1<0，f(3)＝4>0，故取区间[2,3]作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：
根据上表计算知，区间[2.187 5,2.25]的长度是0.062 5< 0.1，所以这个区间的两个端点值就可作为其近似值．所以其近似值可以为2.187 5.1．利用二分法求函数近似零点应关注三点：
(1)要选好计算的初始区间，这个区间既要包含函数的零点，又要使其长度尽量小．
(2)用列表法往往能比较清晰地表达函数零点所在的区间．
(3)根据给定的精确度，及时检验所得区间长度是否达到要求，以决定是停止计算还是继续计算． 求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数解，精确到0.1.
思路点拨：要求方程2x3＋3x－3＝0的正实根，可转化为用二分法求函数f(x)＝2x3＋3x－3的正的零点，故首先要选定初始区间[a，b]，满足f(a)·f(b)＜0，然后逐步逼近．
解：令f(x)＝2x3＋3x－3，易知函数f(x)＝2x3＋3x－3在R上为单调递增函数．经计算，f(0)＝－3＜0，f(1)＝2＞0，所以该函数在(0,1)内存在零点，且为该函数的唯一正数零点．用二分法求方程的近似解取(0,1)的中点0.5，经计算，f(0.5)＜0，f(1)＞0，所以该函数在(0.5,1)内存在零点．如此继续下去，得到函数零点所在的区间，如下表：
至此，可看出函数的零点落在区间长度小于0.1的区间(0.687 5,0.75)内．因为该区间内的每一个值精确到0.1都等于0.7，因此0.7就是函数f(x)＝2x3＋3x－3精确到0.1的近似零点，也就是方程2x3＋3x－3＝0的近似解．用二分法求方程的近似解应明确两点
(1)根据函数的零点与相应方程的解的关系，求函数的零点与求相应方程的解是等价的．求方程f(x)＝0的近似解，即按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．
(2)对于求形如f(x)＝g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)＝f(x)－g(x)＝0的方程的近似解，然后按照用二分法求函数零点近似值的步骤求解．2．求方程lg x＝3－x的近似解(精确度0.1)．设f(x)＝lg x＋x－3，利用计算器计算得：
f(2)<0，f(3)>0?x1∈(2,3)；
f(2.5)<0，f(3)>0?x1∈(2.5,3)；
f(2.5)<0，f(2.75)>0?x1∈(2.5,2.75)；
f(2.5)<0，f(2.625)>0?x1∈(2.5,2.625);
f(2.562 5)<0，f(2.625)>0?x1∈(2.562 5，2.625)．
因为|2.625－2.562 5|＝0.062 5<0.1，所以此方程的近似解可取为2.625.
1．判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是，其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值仅对函数的变号零点适合，对函数的不变号零点不适用．2．利用二分法求方程近似解的步骤：
(1)构造函数，利用图象确定方程的解所在的大致区间，通常限制在区间(n，n＋1)，n∈Z；
(2)利用二分法求出满足精确度的方程的解所在的区间M；
(3)区间M内的任一实数均是方程的近似解，通常取区间M的一个端点．谢谢观看！课件32张PPT。第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用
3.2.1 几类不同增长的函数模型
1．利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幂函数间的增长差异．(重点)
2．理解直线上升、对数增长、指数爆炸等不同函数类型增长的含义，及其对应函数模型的性质的差异．(易混点)
3．会分析具体的实际问题，能够通过建模解决实际问题．(难点)学习目标三种函数模型的性质y轴平行x轴平行越来越快越来越慢ax>xn>logax三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：
则关于x分别呈对数型函数、指数型函数、幂函数型函数变化的变量依次为( )
A．y1，y2，y3 B．y2，y1，y3
C．y3，y2，y1 D．y1，y3，y2
解析：通过指数型函数、对数型函数、幂函数型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；幂函数型函数的增长速度越来越快，y1随x的变化符合此规律，故选C.
答案：C判断下列说法是否正确，正确的在后面的括号内打“√”，错误的打“×”．
1．函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )
2．当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax
3．能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．( )
答案：1.× 2.× 3.√ 研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
思路点拨：解答本题的关键是在同一坐标下画出它们的图象，结合图象说明它们的增长情况．三种函数模型的增长差异解：分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象，如图，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象，即存在一个满足0.5ex0－2＝x－1的x0，当x＞x0时，ln(x＋1)＜x2－1＜0.5ex－2.三种函数模型的表达形式及其增长特点
(1)指数函数模型：能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a>0，b>1)表达的函数模型，其增长特点是随着自变量x的增大，函数值增大的速度越来越快，常称之为“指数爆炸”．
(2)对数函数模型：能用对数型函数f(x)＝mlogax＋n(m，n，a为常数，m>0，x>0，a>1)表达的函数模型，其增长的特点是开始阶段增长得较快，但随着x的逐渐增大，其函数值变化得越来越慢，常称之为“蜗牛式增长”．
(3)幂函数模型：能用幂型函数f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠1)表达的函数模型，其增长情况由a和α的取值确定，常见的有二次函数模型和反比例函数模型．1．函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示．设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.
(1)请指出示意图中曲线C1，C2分别对应哪一个函数；
(2)结合函数图象，比较f(8)，g(8)，f(2 014)，g(2 014)的大小．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.
(2)∵g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000，f(10)＝1 024，
∴f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)．
∴1＜x1＜2,9＜x2＜10.
∴x1＜8＜x2＜2 014.
从图象上知，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)；
当x＞x2时，f(x)＞g(x)，且g(x)在(0，＋∞)上是增函数，
∴f(2 014)＞g(2 014)＞g(8)＞f(8)． 电信局为了满足客户的不同需要，设有A、B两种优惠方案，这两种方案的应付话费(元)与通话时间(min)之间的关系如图所示(实线部分)．(注：图中MN∥CD)试问：根据图象分析函数模型的增长趋势(1)若通话时间为2 h，按方案A、B各付话费多少元？
(2)方案B从500 min以后，每分钟收费多少元？
(3)通话时间在什么范围内，方案B才会比方案A优惠？
思路点拨：首先根据图象求出函数的解析式，然后利用函数的观点求解．
解：由题图可知M(60,98)，N(500,230)，C(500,168)，MN∥CD.
设这两种方案的应付话费与通话时间的函数关系分别为fA(x)，fB(x)，则对于给出图象的应用问题，关键是读图，要将图形给出的有用信息准确、全面地提炼出来，为此要注意以下几点：
①明确横轴、纵轴的意义，如本题中横轴x表示通话时间，纵轴y表示电话费；
②从图象形状上判定函数模型，如本题中两种方案，对应的函数分别在两个区间内都是直线型函数；
③抓住特殊点的实际意义，特殊点一般包括最高点(最大值点)，最低点(最小值点)，及折线的拐角点等；
④通过方程、不等式、函数等数学模型化实际问题为数学问题．2．为方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示：(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡更便宜． 某汽车制造商在2016年初公告：公司计划2016年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：
如果我们分别将2013、2014、2015、2016定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？函数模型的选取不同函数模型的选取标准
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；
(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；
(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．3．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y随生源利润x的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？
解：借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．
几类常见函数模型的增长特点
(1)直线模型：即一次函数模型，现实生活中很多事例可以用直线模型表示，例如匀速直线运动中时间和位移的关系，弹簧的伸长与拉力的关系等，直线模型的增长特点是直线上升(x的系数k>1)，通过图象可以很直观地认识它．(2)指数函数模型：能用指数型函数表达的函数模型叫做指数函数模型．指数增长的特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快(底数a>1)，常形象地称之为“指数爆炸”．通过细胞分裂的实例以及函数图象的变化都可以清楚地看到“指数爆炸”的威力．
(3)对数函数模型：能用对数型函数表达的函数模型叫对数函数模型．对数增长的特点是随着自变量的增大(底数a>1)，函数值增大的速度越来越慢．谢谢观看！课件36张PPT。第三章 函数的应用3.2 函数模型及其应用
3.2.2 函数模型的应用实例
1．了解函数模型的广泛应用．(重点、难点)
2．掌握通过建立函数模型解决应用题的基本方法和步骤．(重点、难点)学习目标y＝ax2＋bx＋c(a、b、c为常数，a≠0) y＝axn＋b(a、b、n为常数，a≠0，n≠1)y＝abx＋c(a、b、c为常数，a≠0，b＞0，b≠1)2．应用函数模型解决问题的基本过程2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系是( )
A．y＝2x B．y＝2x－1
C．y＝2x D．y＝2x＋1
解析：分裂一次后由2个变成2×2＝22(个)，分裂两次后变成4×2＝23(个)，……，分裂x次后变成y＝2x＋1个．
答案：D 某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商品可分别获得y1，y2万元的利润，利润曲线P1：y1＝axn，P2：y2＝bx＋c如图所示．
(1)求函数y1，y2的解析式．利用已知函数模型解决问题1．已知函数模型解决实际问题的应用题主要有以下两种类型：
(1)给出函数解析式的；
(2)给出函数类型，可利用待定系数法求得函数解析式的．
2．读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解题思路和下一步的努力方向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助图象和列表来理清它．自建函数模型解决问题思路点拨：可建立指数函数模型求解．建立数学模型一定要过好三关：
(1)事理关：通过阅读、理解，明白问题讲的是什么，熟悉实际背景，为解题打开突破口．
(2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达文字关系．
(3)数理关：在构建数学模型的过程中，对已知数学知识进行检索，从而认定或构建相应的数学模型．2．医学上为研究传染病传播中病毒细胞的发展规律及其预防，将病毒细胞注入一只小白鼠体内进行实验，经检测，病毒细胞的个数与天数的记录如下表.
已知该种病毒细胞在小白鼠体内的个数超过108的时候小白鼠将死亡．但注射某种药物，可杀死其体内该病毒细胞的98%.(1)为了使小白鼠在实验过程中不死亡，第一次最迟应在何时注射该种药物？(精确到天)
(2)第二次最迟应在何时注射该种药物，才能维持小白鼠的生命？(精确到天，lg 2＝0.301 0)
解：(1)由题意知病毒细胞个数y关于天数n(n∈N*)的函数关系式为y＝2n－1(n∈N*)．为了使小白鼠在实验过程中不死亡，则2n－1≤108，两边取对数，解得n≤27，即第一次最迟应在第27天注射该种药物．
(2)由题意知注射药物后小白鼠体内剩余的病毒细胞个数为226×2%.再经过x天后小白鼠体内的病毒细胞个数为226×2%×2x，由题意226×2%×2x≤108，两边取对数得26lg 2＋lg 2－2＋xlg 2≤8，解得x≤6，即再经过6天必须注射药物，即第二次最迟应在第33天注射药物． 我国农业科学家研究某地区玉米植株生长高度与时间的函数关系，通过观测、分析，列出了该地区玉米在不同阶段的高度数据：建立拟合函数解决实际问题(1)作出函数图象，近似地写出y与x之间的关系式．
(2)利用得到的关系式，与表中实际数据作比较，通过比较，你得到了什么信息？解：(1)作出散点图，变化趋势线近似于“S”形，如图．
以我们现有的知识很难找出一个函数关系式来近似地表达这个图形，但我们仔细观察第1个生长阶段至第25个生长阶段的函数图象后会发现，它与我们比较熟悉的指数函数的图象相似．(2)由得到的关系式计算出各个生长阶段的近似值如下：
从表中我们可以清楚地看出，第1到第6生长阶段与实际得到的数据误差很小，后面数据误差较大．
这个指数函数反映了在玉米生长的后几个阶段增长较快，与实际数据中稳定于某一数值附近不符．数据拟合问题的三种求解策略
(1)直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解．
(2)列式比较法：若题所涉及的是最优化方案问题，则可根据表格中的数据先列式，然后进行比较．
(3)描点观察法：若根据题设条件不能直接确定需要用哪种数学模型，则可根据表中的数据在直角坐标系中进行描点，作出散点图，然后观察这些点的位置变化情况，确定所需要用的数学模型，问题即可顺利解决．3．为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示：
(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象．
(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．
(3)根据所建立的函数模型，若今年最大积雪深度为25 cm，可以灌溉土地多少公顷？解：(1)描点作图如下：
(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y＝a＋bx.
用函数模型解应用题的四个步骤．(“四步八字”)
谢谢观看！