活页作业(十) 函数的单调性
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列函数中，在区间(0,2]上为增函数的是( )
A．y＝3－x B．y＝x2＋1
C．y＝ D．y＝－|x|
解析：y＝3－x，y＝和y＝－|x|在区间(0,2]上为减函数，y＝x2＋1在区间(0,2]上为增函数，故选B.
答案：B
2．函数y＝的单调递减区间是( )
A．[0，＋∞) B．(－∞，0]
C．(－∞，0)，(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)
解析：函数y＝的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．当0＜x1＜x2时，－＝＞0成立，即＞.
∴y＝在(0，＋∞)上是减函数．
同理可证y＝在(－∞，0)上也是减函数．故选C.
答案：C
3．若函数f(x)的定义域为R，且在(0，＋∞)上是减函数，则下列不等式成立的是( )
A．f＞f(a2－a＋1) B．f≥f(a2－a＋1)
C．f＜f(a2－a＋1) D．f≤f(a2－a＋1)
解析：∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数，且a2－a＋1＝2＋≥＞0，∴f(a2－a＋1)≤f.
答案：B
4．函数y＝f(x)在R上为增函数，且f(2m)＞f(－m＋9)，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(0，＋∞)
C．(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(3，＋∞)
解析：因为函数y＝f(x)在R上为增函数，且
f(2m)＞f(－m＋9)，所以2m＞－m＋9，即m＞3.
答案：C
5．如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，则下列结论中不正确的是( )
A.＞0
B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0
C．f(a)＜f(x1)＜f(x2)＜f(b)
D.＞0
解析：∵函数f(x)在[a，b]上是增函数，∴对任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，当x1＜x2时，有f(x1)＜f(x2)，选项A、B、D正确，且f(a)≤f(x1)＜f(x2)≤f(b)，选项C错误．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数f(x)＝的单调递增区间是________________．
解析：作出函数f(x)的图象(如图)．
由图象可知f(x)的增区间为(－∞，＋∞)．
答案：(－∞，＋∞)
7．若函数f(x)＝2x2－mx＋3在(－∞，－2]上为减函数，在[－2，＋∞)上为增函数，则f(1)＝______.
解析：f(x)的图象的对称轴为x＝＝－2，
∴m＝－8.∴f(x)＝2x2＋8x＋3.
∴f(1)＝2＋8＋3＝13.
答案：13
8．已知函数f(x)在R上是减函数，A(0，－2)，B(－3,2)是其图象上的两点，那么不等式－2＜f(x)＜2的解集为________．
解析：因为A(0，－2)，B(－3,2)在函数y＝f(x)的图象上，所以f(0)＝－2，f(－3)＝2，故－2＜f(x)＜2可化为f(0)＜f(x)＜f(－3)，又f(x)在R上是减函数，因此－3＜x＜0.
答案：(－3,0)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求证：函数f(x)＝－在定义域上为减函数．
证明：f(x)＝－的定义域为[0，＋∞)．
设0≤x1＜x2，则x2－x1＞0，
f(x2)－f(x1)＝(－)－(－)
＝－＝
＝.
∵x1－x2＜0，＋＞0，
∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．
∴f(x)＝－在它的定义域[0，＋∞)上是减函数．
10．若函数f(x)＝－在(0，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围．
解：任取x1，x2∈(0，＋∞)，
且x1＜x2，由题意知，
f(x1)＜f(x2)，即－＜－，
∴＞0.
又0＜x1＜x2，
∴x1x2＞0，x2－x1＞0.∴a＞0.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的，那么实数a的取值范围是( )
A．a＞－ B．a≥－
C．－≤a＜0 D．－≤a≤0
解析：当a＝0时，f(x)＝2x－3在区间(－∞，4)上是单调递增的；当a＞0时，由函数f(x)＝ax2＋2x－3的图象知，不可能在区间(－∞，4)上是单调递增；当a＜0时，只有－≥4，即a≥－满足函数f(x)在区间(－∞，4)上是单调递增的．综上可知实数a的取值范围是－≤a≤0.
答案：D
2．已知函数f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D．
解析：当x＜0时，函数f(x)＝x2－ax＋1是减函数，解得a≥0，
当x≥0时，函数f(x)＝－x＋3a是减函数，分段点0处的值应满足1≥3a，解得a≤，
∴0≤a≤.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．f(x)是定义在[0，＋∞)上的减函数，则不等式f(x)＜f(－2x＋8)的解集是________．
解析：由题意知解得＜x≤4.
答案：x＜x≤4
4．函数f(x)是R上的单调递减函数，且过点(－3,2)和(1，－2)，则使|f(x)|＜2的自变量x的取值范围是________．
解析：∵f(x)是R上的减函数，f(－3)＝2，
f(1)＝－2，∴当x＞－3时，f(x)＜2，当x＜1时，
f(x)＞－2，则当－3＜x＜1时，|f(x)|＜2.
答案：(－3,1)
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知f(x)，g(x)在(a，b)上是增函数，且a
证明：设a∴g(x1)又∵f(x)在(a，b)上是增函数，
∴f(g(x1))∴f(g(x))在(a，b)上是增函数．
6．判断函数f(x)＝(a≠0)在区间(－1,1)上的单调性．
解：任意的x1，x2∈(－1,1)，设－1＜x1＜x2＜1，则f(x1)－f(x2)＝－
＝，
∵x－1＜0，x－1＜0，x1x2＋1＞0，x2－x1＞0，
∴＞0.
∴当a＞0时，f(x1)－f(x2)＞0，函数y＝f(x)在(－1，1)上是减函数；当a＜0时，f(x1)－f(x2)＜0，函数y＝f(x)在(－1,1)上是增函数．
活页作业(十一) 函数的最大(小)值
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设函数f(x)＝2x－1(x＜0)，则f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：画出函数f(x)＝2x－1(x＜0)的图象，如图中实线部分所示．由图象可知，函数f(x)＝2x－1(x＜0)是增函数，无最大值及最小值．
答案：C
2．函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5,5)上的最大、最小值分别为( )
A．42,12 B．42，－
C．12，－ D．无最大值，最小值为－
解析：∵f(x)＝2－，x∈(－5,5)，
∴当x＝－时，f(x)有最小值－，f(x)无最大值．
答案：D
3．已知f(x)＝，则y＝f(x＋2)在区间[2,8]上的最小值与最大值分别为( )
A．， B．，1
C．， D．，
解析：∵f(x)＝，∴f(x＋2)＝＝.
∵y＝在[2,8]上为减函数，
∴ymax＝，ymin＝.
答案：A
4．函数f(x)＝则f(x)的最大值、最小值分别为( )
A．10,6 B．10,8
C．8,6 D．以上都不对
解析：当－1≤x＜1时，6≤x＋7＜8，
当1≤x≤2时，8≤2x＋6≤10.
∴f(x)min＝f(－1)＝6，
f(x)max＝f(2)＝10.故选A.
答案：A
5．某公司在甲、乙两地同时销售一种品牌车，销售x辆该品牌车的利润(单位：万元)分别为L1＝－x2＋21x和L2＝2x.若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为( )
A．90万元 B．60万元
C．120万元 D．120.25万元
解析：设公司在甲地销售x辆，
则在乙地销售(15－x)辆，
公司获利为L＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－2＋30＋，
∴当x＝9或10时，L最大为120万元．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．函数y＝－，x∈[－3，－1]的最大值与最小值的差是________．
解析：易证函数y＝－在[－3，－1]上为增函数，
∴ymin＝，ymax＝1.∴ymax－ymin＝1－＝.
答案：
7．函数f()＝x－1的最小值是________．
解析：设＝t，t≥0，所以f(t)＝t2－1，t≥0，所以f(x)＝x2－1，x≥0，因为f(x)＝x2－1在[0，＋∞)上为增函数，所以f(x)的最小值为－1.即f()＝x－1的最小值是－1.
答案：－1
8．函数y＝ax＋1在区间[1,3]上的最大值为4，则a＝________.
解析：若a＜0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是减函数，则在区间左端点处取得最大值，即a＋1＝4，a＝3，不满足a＜0；若a＞0，则函数y＝ax＋1在区间[1,3]上是增函数，则在区间右端点处取得最大值，即3a＋1＝4，a＝1，满足a＞0，所以a＝1.
答案：1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．求函数f(x)＝的最值．
解：函数f(x)的图象如图，
由图象可知f(x)的最小值为f(1)＝1.无最大值．
10．已知函数f(x)＝x2－2ax＋5(a＞1)，若f(x)的定义域和值域均是[1，a]，求实数a的值．
解：∵f(x)开口向上，对称轴x＝a＞1，∴f(x)在[1，a]上是减函数．
∴f(x)的最大值为f(1)＝6－2a，f(x)的最小值为f(a)＝5－a2.∴6－2a＝a,5－a2＝1.∴a＝2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)＝的最大值是( )
A. B.
C. D．
解析：f(x)＝＝＝，∴当x＝时，f(x)max＝.
答案：D
2．当0≤x≤2时，a＜－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1] B．(－∞，0]
C．(－∞，0) D．(0，＋∞)
解析：a＜－x2＋2x恒成立，则a小于函数f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值，而f(x)＝－x2＋2x，x∈[0,2]的最小值为0，故a＜0.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．对于函数f(x)＝x2＋2x，在使f(x)≥M成立的所有实数M中，我们把M的最大值Mmax＝－1叫做函数f(x)＝x2＋2x的下确界，则对于a∈R，且a≠0，a2－4a＋6的下确界为________．
解析：a2－4a＋6＝(a－2)2＋2≥2，
则a2－4a＋6的下确界为2.
答案：2
4．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2，总有＞0成立，且f(－3)＝a，f(－1)＝b，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是________．
解析：由＞0，得f(x)在R上是增函数，则f(x)在[－3，－1]上的最大值是f(－1)＝b.
答案：b
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)>0恒成立，试求a的取值范围．
解：在区间[1，＋∞)上，f(x)＝>0恒成立?x2＋2x＋a>0恒成立，即a>－(x2＋2x)在[1，＋∞)上恒成立．由于g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，
∴g(x)max＝g(1)＝－3.∴a>－3.
6．某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足如下函数：
R(x)＝其中x是仪器的产量．
(1)将利润f(x)表示为产量x的函数．(利润＝总收益－总成本)
(2)当产量x为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？
解：(1)由题意知f(x)＝R(x)－100x－20 000＝
(2)当0≤x≤400时，f(x)＝－(x－300)2＋25 000，
即当x＝300时，f(x)有最大值25 000，
当x>400时，f(x)<20 000.
综上可知，当月产量为300台时，公司获得最大利润25 000元．
活页作业(十二) 函数奇偶性的概念
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．下列函数中，是偶函数的是( )
A．y＝x2(x＞0) B．y＝|x＋1|
C．y＝ D．y＝3x－1
解析：y＝x2(x＞0)定义域不关于原点对称，
∴不是偶函数；对y＝|x＋1|取两个自变量的值－1与1，它们的函数值0与2不相等，∴也不是偶函数；
同理，可验证y＝3x－1不是偶函数．
答案：C
2．如图，给出了奇函数y＝f(x)的局部图象，则f(－2)的值为( )
A. B．－
C． D．－
解析：奇函数的图象关于原点对称，
因此，f(－2)＝－f(2)＝－.
答案：B
3．函数f(x)＝x2＋的奇偶性为( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
解析：函数的定义域为[0，＋∞)，不关于原点对称，
∴f(x)为非奇非偶函数．
答案：D
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．设f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2＋1，则f(－2)＋f(0)＝________.
解析：由题意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，
∴f(－2)＋f(0)＝－5.
答案：－5
5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，当x∈[0,5]时，函数y＝f(x)的图象如图，则使函数值y<0的x的取值集合为________________．
解析：利用奇函数图象的性质，画出函数在[－5,0]上的图象，直接从图象中读出信息．
由原函数是奇函数，所以y＝f(x)在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称．由y＝f(x)在[0,5]上的图象，知它在[－5,0]上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．
答案：(－2,0)∪(2,5)
三、解答题
6．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝3.
(1)求m的值；
(2)判断函数f(x)的奇偶性．
解：(1)∵f(1)＝3，即1＋m＝3，
∴m＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝x＋，其定义域是
{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，
∴此函数是奇函数．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．奇函数y＝f(x)(x∈R)的图象必定经过点( )
A．(a，f(－a)) B．(－a，f(a))
C．(－a，－f(a)) D．
解析：∵y＝f(x)是奇函数，
∴f(－a)＝－f(a)．∴选C.
答案：C
2．对于定义域是R的任意奇函数f(x)，都有( )
A．f(x)－f(－x)＞0
B．f(x)－f(－x)≤0
C．f(x)·f(－x)≤0
D．f(x)·f(－x)＞0
解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2.
又∵f(0)＝0，
∴－[f(x)]2≤0.故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝－，则函数f(x)的解析式f(x)＝________.
解析：f(x)的定义域为∪，若f(x)是奇函数，则＝0，得q＝0.故f(x)＝，又f(2)＝－，得＝－，得p＝2，因此f(x)＝＝－.
答案：－
4.已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域是[－3,3]，且它们在x∈[0,3]上的图象如图所示，则不等式＜0的解集是______________________．
解析：由于y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，根据奇、偶函数图象对称性画出y＝f(x)，y＝g(x)在区间[－3,0]上的图象如图所示，
所以＜0等价于或
由图可得其解集是{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}．
答案：{x|－2＜x＜－1或0＜x＜1或2＜x＜3}
三、解答题
5．(本小题满分10分)已知函数y＝f(x)(x∈R)对任意实数x，y，有
f(x)＋f(y)＝2f·f恒成立，且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值；
(2)试判断函数y＝f(x)(x∈R)的奇偶性．
解：(1)令x＝y＝0，∴2f(0)＝2f(0)·f(0)．
∴f(0)＝0或f(0)＝1.而f(0)≠0，
∴f(0)＝1.
(2)令y＝－x，
∴f(x)＋f(－x)＝2f(0)·f(x)．
由(1)知f(0)＝1，
∴f(－x)＝f(x)．
∵f(x)的定义域为R，∴f(x)为偶函数．
活页作业(十三) 函数奇偶性的应用
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3为偶函数，则f(x)在区间(2,5)上是( )
A．增函数 B．减函数
C．有增有减 D．增减性不确定
解析：f(x)是偶函数，即f(－x)＝f(x)，得m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，画出函数f(x)＝－x2＋3的图象知，在区间(2,5)上为减函数．
答案：B
2．设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)＞0}＝( )
A．{x|x＜－2或x＞4} B．{x|x＜0或x＞4}
C．{x|x＜0或x＞6} D．{x|x＜－2或x＞2}
解析：当x≥0时，f(x)＝x3－8＞0?x＞2，由于f(x)是偶函数，所以当x∈R时，f(x)＞0的解集为{x|x＜－2或x＞2}，故f(x－2)＞0的解集为{x|x＜0或x＞4}．
答案：B
3．设偶函数f(x) 的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3)
C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
解析：∵f(x)为偶函数，
且当x∈[0，＋∞)时f(x)为增函数，
又∵f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)，且2＜3＜π，
∴f(2)＜f(3)＜f(π)，
即f(－2)＜f(－3)＜f(π)．
答案：A
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．设函数y＝f(x)是奇函数．若f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，则f(1)＋f(2)＝__________.
解析：∵f(x)是奇函数，
∴f(－2)＝－f(2)，f(－1)＝－f(1)．
又f(－2)＋f(－1)－3＝f(1)＋f(2)＋3，
∴f(1)＋f(2)＝－3.
答案：－3
5．已知函数f(x)是奇函数，当x＞0时，f(x)＝＋1，则当x＜0时，f(x)＝____________.
解析：设x＜0，则－x＞0，f(－x)＝＋1，
又函数f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)．
所以f(x)＝－f(－x)＝－－1.
因此，当x＜0时，f(x)的解析式为f(x)＝－－1.
答案：－－1
三、解答题
6．(本小题满分10分)已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x2－2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式；
(2)画出函数f(x)的图象．
解：(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，
则f(0)＝0；②当x＜0时，－x＞0，
∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]
＝－x2－2x.
综上，f(x)＝
(2)图象如图．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知f(x)在[a，b]上是奇函数，且f(x)在[a，b]上的最大值为m，则函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为( )
A．2m＋3 B．2m＋6
C．6－2m D．6
解析：因为奇函数f(x)在[a，b]上的最大值为m，所以它在[a，b]上的最小值为－m.所以函数F(x)＝f(x)＋3在[a，b]上的最大值与最小值之和为m＋3＋(－m＋3)＝6.故选D.
答案：D
2．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有( )
A．最小值－5 B．最大值－5
C．最小值－1 D．最大值－3
解析：由已知，对任意x∈(0，＋∞)，
f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≤5.
对任意x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)，
且φ(x)，g(x)都是奇函数，
有f(－x)＝aφ(－x)＋bg(－x)＋2≤5.
即－aφ(x)－bg(x)＋2≤5，
∴aφ(x)＋bg(x)≥－3.
∴f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2≥－3＋2＝－1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知f(x)，g(x)均为奇函数，F(x)＝af(x)＋bg(x)－2，且F(－3)＝5，则F(3)的值为________．
解析：设G(x)＝af(x)＋bg(x)．
∵f(x)，g(x)为奇函数，
∴G(x)为奇函数．
∵F(－3)＝G(－3)－2＝5，
∴G(－3)＝7.
∴G(3)＝－G(－3)＝－7.
∴F(3)＝G(3)－2＝－7－2＝－9.
答案：－9
4．若f(x)＝(m－1)x2＋6mx＋2是偶函数，则f(0)，f(1)，f(－2)从小到大的顺序是______________．
解析：因为f(x)是偶函数，
所以f(－x)＝f(x)恒成立，
即(m－1)x2－6mx＋2＝(m－1)x2＋6mx＋2恒成立．
所以m＝0，即f(x)＝－x2＋2.
因为f(x)的图象开口向下，对称轴为y轴，
所以f(2)＜f(1)＜f(0)，
即f(－2)＜f(1)＜f(0)．
答案：f(－2)＜f(1)＜f(0)
三、解答题
5．(本小题满分10分)设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意a，b∈R，当a＋b≠0时，都有＞0.
(1)若a＞b，试比较f(a)与f(b)的大小关系；
(2)若f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，求实数m的取值范围．
解：(1)∵a＞b，∴a－b＞0.
由题意得＞0，
∴f(a)＋f(－b)＞0.
又f(x)是定义在R上的奇函数，
∴f(－b)＝－f(b)．
∴f(a)－f(b)＞0，
即f(a)＞f(b)．
(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数．
∵f(1＋m)＋f(3－2m)≥0，
∴f(1＋m)≥－f(3－2m)，
即f(1＋m)≥f(2m－3)．
∴1＋m≥2m－3.
∴m≤4.
∴实数m的取值范围是(－∞，4]．
活页作业(十四) 根式
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．下列说法：
①16的4次方根是2；
② 的运算结果是±2；
③当n为大于1的奇数时，对任意a∈R有意义；
④当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义．
其中正确的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①错，∵(±2)4＝16，∴16的4次方根是±2；
②错，＝2，而±＝±2.③④正确，故选B.
答案：B
2．已知m10＝2，则m等于( )
A. B．－
C. D．±
解析：∵m10＝2，∴m是2的10次方根．
又∵10是偶数，∴2的10次方根有两个，
且互为相反数．∴m＝±.
答案：D
3．化简＋的结果是( )
A．3b－2a B．2a－3b
C．b或2a－3b D．b
解析：原式＝(a－b)＋|a－2b|＝b或2a－3b.
答案：C
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．若x＜0，则|x|＋＋＝________.
解析：因为x＜0，所以原式＝－x－x＋1＝1－2x.
答案：1－2x
5．若＋(a－4)0有意义，则a的取值范围是__________________．
解析：由得a≥2，且a≠4.
答案：[2,4)∪(4，＋∞)
三、解答题
6．(本小题满分10分)化简： ＋ － .
解： ＋ －
＝ ＋
－
＝ ＋ －
＝ |＋ |＋|2－|－|2－|
＝ ＋＋2－－(2－)＝2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若·有意义，则x的取值范围是( )
A．x≥2 B．x≤3
C．2≤x≤3 D．x∈R
解析：由解得2≤x≤3.
答案：C
2．如果xy≠0，那么等式＝－2xy成立的条件是( )
A．x＞0，y＞0 B．x＞0，y＜0
C．x＜0，y＞0 D．x＜0，y＜0
解析：∵xy≠0，∴x≠0，y≠0.
由得故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若＝3a－1，则a的取值范围是________．
解析：由题意，＝＝3a－1，∴3a－1≥0，∴a≥.
答案：
4．设f(x)＝ ，若0＜a≤1，则f＝________.
解析：f＝ ＝
＝ ＝，
由于0＜a≤1，所以a≤.
故f＝－a.
答案：－a
三、解答题
5．(本小题满分10分)若x＞0，y＞0，且x－－2y＝0，求的值．
解：∵x－－2y＝0，x＞0，y＞0，
∴()2－－2()2＝0.
∴(＋)(－2)＝0.
∵＋＞0，
∴－2＝0.∴x＝4y.
∴＝＝
活页作业(十五) 指数幂及运算
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．[(－)2]－的值为( )
A. B．－
C． D．－
解析：原式＝2－＝＝.
答案：C
2．计算(2a－3b－)·(－3a－1b)÷(4a－4b－)得( )
A．－b2 B.b2
C．－b D．b
解析：原式＝＝－b2.
答案：A
3．化简·的结果是( )
A. B．－
C． D．－
解析：·＝·(－)
＝－(－a)·(－a)＝－(－a)＋
＝－(－a)＝－＝－.
答案：B
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．计算64－的值是________．
解析：64－＝－＝2－4＝.
答案：
5．化简()4·()4的结果为________．
解析：原式＝4·4＝4·4
＝a2·a2＝a4.
答案：a4
三、解答题
6．(本小题满分10分)化简下列各式：
(1)1.5－×0＋80.25×＋(×)6－ ；
(2)－·.
解：(1)原式＝＋2×2＋22×33－
＝21＋4×27＝110；
(2)原式＝a·b－·a－·b
＝a0b0＝.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若(1－2x)－有意义，则x的取值范围是( )
A．x∈R B．x≠
C．x＞ D．x＜
解析：(1－2x)－＝，由1－2x＞0，得x＜，故选D.
答案：D
2．在－1,2－，－，2－1中，最大的是( )
A.－1 B．2－
C. － D．2－1
解析：∵－1＝－2,2－＝，－＝，2－1＝，∴>>>－2.故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知a＞0，化简(a＋a－)2－(a－a－)2＝________.
解析：因为a＞0，所以(a＋a－)2－(a－a－)2＝(a＋2＋a－)－(a－2＋a－)＝4.
答案：4
4．若10m＝2,10n＝3，则10＝______.
解析：10＝＝＝.
答案：
三、解答题
5．(本小题满分10分)已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求：
(1)x＋y；(2)x－y；(3)x－y.
解：(1)2＝x＋y＋2＝18，
∴x＋y＝3.
(2)2＝x＋y－2＝6，
又x＜y，∴x－y＝－.
(3)x－y＝2－2＝
＝3×(－)＝－3×2×2×3
＝－6.
活页作业(十六) 指数函数的图象及性质
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列一定是指数函数的是( )
A．形如y＝ax的函数
B．y＝xa(a＞0，且a≠1)
C．y＝(|a|＋2)－x
D．y＝(a－2)ax
解析：∵y＝(|a|＋2)－x＝x，|a|＋2≥2，
∴0＜≤，符合指数函数定义．
答案：C
2．已知对不同的a值，函数f(x)＝2＋ax－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是( )
A．(0,3) B．(0,2)
C．(1,3) D．(1,2)
解析：令x－1＝0，得x＝1，此时y＝2＋1＝3，
∴图象恒过定点(1,3)．
答案：C
3．定义运算：a?b＝则函数f(x)＝1?2x的图象大致为( )
解析：由题意，f(x)＝1?2x＝故选A．
答案：A
4．函数f(x)＝ 的定义域是( )
A．(－∞，0] B．[0，＋∞)
C．(－∞，0) D．(－∞，＋∞)
解析：要使函数有意义，则1－2x≥0，即2x≤1，
∴x≤0.
答案：A
5．当x∈[－1,1]时，函数f(x)＝3x－2的值域是( )
A. B．[－1,1]
C. D．[0,1]
解析：因为f(x)＝3x－2是x∈[－1,1]上的增函数，
所以3－1－2≤f(x) ≤3－2，即－≤f(x)≤1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.
解析：由指数函数的定义得解得a＝1.
答案：1
7．已知函数f(x)＝ax＋b(a＞0，a≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝______.
解析：当0＜a＜1时，f(x)为减函数，∴解得∴a＋b＝－；当a＞1时，f(x)为增函数，∴不合题意，舍去．
答案：－
8．关于下列说法：
(1)若函数y＝2x的定义域是{x|x≤0}，则它的值域是{y|y≤1}．
(2)若函数y＝的定义域是{x|x≥2}，则它的值域是.
(3)若函数y＝2x的值域是{y|0＜y≤4}，则它的定义域一定是{x|0＜x≤2}．
其中不正确的说法的序号是______________．
解析：(1)不正确．由x≤0得0＜2x≤20＝1，值域是{y|0＜y≤1}．
(2)不正确．由x≥2得0＜≤，值域是.
(3)不正确．由2x≤4＝22，得x≤2，所以若函数y＝2x的值域是{y|0＜y≤4}，则它的定义域一定是{x|x≤2}．
答案：(1)(2)(3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点(其中a>0，且a≠1)．
(1)求a的值；
(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．
解：(1)函数图象过点，
所以a2－1＝，则a＝.
(2)f(x)＝x－1(x≥0)，
由x≥0得，x－1≥－1，
于是0所以函数的值域为(0,2]．
10．已知函数f(x)＝2x＋a×2－x＋1，x∈R.
(1)若a＝0，画出此时函数的图象．(不列表)
(2)若a＜0，判断函数f(x)在定义域内的单调性，并加以证明．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝2x＋1，其图象如图所示：
(2)当a＜0时，函数f(x)在定义域上是增函数．证明如下：任取x1，x2∈R，且x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝2x1＋＋1－＝2x1－2x2＋－
＝2x1－2x2＋
＝(2x1－2x2)
＝.
∵y＝2x是R上的增函数，∴2x1＜2x2.
即2x1－2x2＜0，
又2x1＋x2＞0，a＜0，∴2 x1＋x2－a＞0.
∴f(x1)－f(x2)＜0.∴f(x1)＜f(x2)．
∴f(x)在定义域上是增函数．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1.函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b均为常数，则下列结论正确的是( )
A．a＞1，b＞0 B．a＞1，b＜0
C．0＜a＜1，b＞0 D．0＜a＜1，b＜0
解析：从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0＜a＜1；从曲线位置看，f(x)是由函数y＝ax(0＜a＜1)的图象向左平移(－b)个单位而得，所以－b＞0，即b＜0.
答案：D
2．若函数y＝(2a－3)x是指数函数，则a的取值范围是( )
A．a＞ B．a＞，且a≠2
C．a＜ D．a≠2
解析：由得
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．当x＞0时，函数f(x)＝(a2－1)x的值总是大于1，则a的取值范围是________．
解析：由题意知，a2－1＞1，即a2＞2，
解得a＞或a＜－.
答案：a＞或a＜－
4．若函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1,1]上的最大值为14，则a的值为________．
解析：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1,1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上所述，a＝3或.
答案：3或
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．若函数f(x)＝ax－1(a＞0，且a≠1)的定义域和值域都是[0,2]，求实数a的值．
解：当a＞1时，f(x)在[0,2]上递增，
∴即∴a＝±.
又a＞1，∴a＝.
当0＜a＜1时，f(x)在[0,2]上递减，
∴即解得a∈?.
综上所述，a＝
6．设函数f(x)＝－.
(1)求证：函数f(x)是奇函数．
(2)求证：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．
(1)证明：由题意，得x∈R，即函数的定义域关于原点对称，f(－x)＝－＝－
＝＝－＋＝－f(x)，
∴函数f(x)为奇函数．
(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝.
∵x1＜x2，∴2x1－2x2＜0.∴f(x1)－f(x2)＜0.
∴函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．
(3)解：∵函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，
∴函数f(x)在[1,2]上也是增函数．
∴f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(2)＝.
∴函数f(x)在[1,2]上的值域为
活页作业(十七) 指数函数及其性质的应用
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数y＝1－x的单调递增区间为( )
A．(－∞，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(0,1)
解析：y＝1－x＝×2x，
∴在(－∞，＋∞)上为增函数．
答案：A
2．已知a＝30.2，b＝0.2－3，c＝(－3)0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞a＞b D．b＞c＞a
解析：c＜0，b＝53＞3,1＜a＜3，∴b＞a＞c.
答案：B
3．若函数f(x)＝是奇函数，则使f(x)＞3成立的x的取值范围为( )
A．(－∞，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
解析：∵函数f(x)为奇函数，∴由f(－x)＝－f(x)，得a＝1，∴f(x)＝＝1＋＞3，∴0＜2x－1＜1,0＜x＜1.
答案：C
4．已知函数f(x)＝ax在(0,2)内的值域是(a2,1)，则函数y＝f(x)的图象是( )
解析：∵f(x)＝ax在(0,2)内的值域是(a2,1)，
∴f(x)在(0,2)内单调递减．∴0＜a＜1.故选A.
答案：A
5．已知奇函数f(x)与偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，且g(b)＝a，则f(2)的值为( )
A．a2 B．2
C. D．
解析：由题意得f(－x)＋g(－x)＝a－x－ax＋2，
即－f(x)＋g(x)＝－ax＋a－x＋2，①
又f(x)＋g(x)＝ax－a－x＋2，②
①＋②得g(x)＝2，
②－①得f(x)＝ax－a－x.
∵g(b)＝a，∴a＝2，∴f(x)＝2x－2－x，∴f(2)＝22－2－2＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．设a＝40.8，b＝80.46，c＝－1.2，则a，b，c的大小关系为________．
解析：∵a＝40.8＝21.6，b＝80.46＝21.38，c＝－1.2＝21.2，又∵1.6＞1.38＞1.2，∴21.6＞21.38＞21.2.即a＞b＞c.
答案：a＞b＞c
7．若函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x2在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.
解析：当a＞1时，有a2＝4，a－1＝m，
所以a＝2，m＝.
此时g(x)＝－x2在[0，＋∞)上是减函数，不合题意．
当0＜a＜1时，有a－1＝4，a2＝m，
所以a＝，m＝.检验知符合题意．
答案：
8．若函数f(x)＝ 的定义域为R，则a的取值范围是________．
解析：∵f(x)的定义域为R，∴2 x2＋2ax－a－1≥0恒成立，即x2＋2ax－a≥0恒成立．
∴Δ＝4a2＋4a≤0，－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．若ax＋1＞5－3x(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．
解：ax＋1＞5－3x?ax＋1＞a3x－5，
当a＞1时，可得x＋1＞3x－5，∴x＜3.
当0＜a＜1时，可得x＋1＜3x－5，∴x＞3.
综上，当a＞1时，x＜3，当0＜a＜1时，x＞3.
10．求函数y＝3－x2＋2x＋3的单调区间和值域．
解：设u＝－x2＋2x＋3，则f(u)＝3u.
∵f(u)＝3u在R上是增函数，
且u＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，
在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数，
∴y＝f(x)在(－∞，1]上是增函数，在[1，＋∞)上是减函数．
∴当x＝1时，ymax＝f(1)＝81.
而y＝3－x2＋2x＋3>0，
∴函数的值域为(0,81]
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若－1＜x＜0，则下列不等式中成立的是( )
A．5－x＜5x＜x B．5x＜x＜5－x
C．5x＜5－x＜x D．x＜5－x＜5x
解析：∵－1＜x＜0，∴5x＜1，x＞1.又x＜x，即x＜5－x，∴5x＜x＜5－x.
答案：B
2．已知函数f(n)＝是增函数，则实数a的取值范围是( )
A．(0,1) B．(7,8)
C．[7,8) D．(4,8)
解析：因为函数f(n)＝
是增函数，所以
解得4＜a＜8.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．函数y＝x－3x在区间[－1,1]上的最大值为__________．
解析：设－1≤x1＜x2≤1，
因为函数y＝x在[－1,1]上为减函数，
所以x1＞x2.①
因为函数y＝3x在[－1,1]上为增函数，所以3x1＜3x2.所以－3x1＞－3x2.②
由①②可知，x1－3x1＞x2－3x2.
所以函数y＝x－3x在[－1,1]上为减函数．
当x＝－1时，函数y＝x－3x在[－1,1]上取最大值，最大值为－1－3－1＝.
答案：
4．已知f(x)＝x2，g(x)＝x－m.若对任意x1∈[－1,3]，总存在x2∈[0,2]，使得f(x1)≥g(x2)成立，则实数m的取值范围是____________________________．
解析：对任意x1∈[－1,3]，f(x1)＝x∈[0,9]，
故f(x)min＝0.
因为x2∈[0,2]，所以g(x2)＝x2－m∈.
所以g(x)min＝－m.
因为对任意x1∈[－1,3]，存在x2∈[0,2]，f(x1)≥g(x2)，
所以f(x)min≥g(x)min.
所以0≥－m.所以m≥.
答案：
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．函数f(x)＝(ax＋a－x)(a＞0，且a≠1)的图象经过点.
(1)求f(x)的解析式．
(2)求证：f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
(1)解：∵f(x)的图象经过点，
∴(a2＋a－2)＝，即9a4－82a2＋9＝0，解得a2＝9或a2＝.
∵a＞0，且a≠1，∴a＝3或.
当a＝3时，f(x)＝(3x＋3－x)；
当a＝时，f(x)＝＝(3x＋3－x)．
∴所求解析式为f(x)＝(3x＋3－x)．
(2)证明：设x1，x2∈[0，＋∞)，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－＝(3x1－3x2)，由0≤x1＜x2得，3x1－3x2＜0,3x1＋x2＞1，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．∴f(x)在[0，＋∞)上是增函数．
6．已知函数f(x)＝a－(a∈R)．
(1)判断并证明函数的单调性；
(2)若函数f(x)为奇函数，求实数a的值；
(3)在(2)的条件下，若对任意的t∈R，不等式f(t2＋2)＋f(t2－tk)＞0恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)函数f(x)为R上的增函数．证明如下：
显然函数f(x)的定义域为R，对任意x1，x2∈R，设x1＜x2，
则f(x1)－f(x2)＝－＝.
因为y＝2x是R上的增函数，且x1＜x2，所以2x1－2x2＜0.
所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．故函数f(x)为R上的增函数．
(2)因为函数f(x)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即f(0)＝a－＝0，解得a＝1.
(3)因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2＋2)＋f(t2－tk)＞0对任意的t∈R恒成立等价于不等式f(t2＋2)＞f(tk－t2)对任意的t∈R恒成立．
又因为f(x)在R上为增函数，所以等价于不等式t2＋2＞tk－t2对任意的t∈R恒成立，即不等式2t2－kt＋2＞0对任意的t∈R恒成立．
所以必须有Δ＝k2－16＜0，即－4＜k＜4.所以，实数k的取值范围是(－4,4)．
活页作业(十八) 对 数
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．若N＝a2(a＞0，且a≠1)，则有( )
A．log2N＝a B．log2a＝N
C．logNa＝2 D．logaN＝2
解析：由N＝a2(a＞0，且a≠1)化为对数得logaN＝2.
答案：D
2．在等式b＝log(a－2)(5－a)中，实数a的取值范围是( )
A．{a|a＞5或a＜2} B．{a|2＜a＜3或3＜a＜5}
C．{a|2＜a＜5} D．{a|3＜a＜4}
解析：由解得2＜a＜5且a≠3.
答案：B
3．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是( )
A．1 B．0
C．x D．y
解析：由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，
∴x＝2，y＝1；logx(yx)＝log2(12)＝0.
答案：B
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．设loga2＝m，loga3＝n，则a2m＋n的值为______________．
解析：∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3.
∴a2m＋n＝a2m·an＝(am)2·an＝22×3＝12.
答案：12
5．若a＝log43，则2a＋2－a＝________.
解析：∵a＝log43，∴4a＝3?2a＝，∴2a＋2－a＝＋＝.
答案：
三、解答题
6．(本小题满分10分)求下列各式中x的值．
(1)log5(log3x)＝0；
(2)logx27＝；
(3)ln[log2(lg x)]＝0.
解：(1)设t＝log3x，则log5t＝0，
∴t＝1，即log3x＝1.∴x＝3.
(2)由logx27＝可得x＝27，
∴x＝27＝(33)＝9.
(3)∵ln[log2(lg x)]＝0，∴log2(lg x)＝1.
∴lg x＝2.∴x＝102＝100.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知f(x3)＝logax，且f(8)＝1，则a＝( )
A. B．
C．2 D．3
解析：f(8)＝f(23)＝loga2＝1，∴a＝2.
答案：C
2．已知函数f(x)＝，且f(a)＝－3.则f(6－a)＝( )
A．－ B．－
C．－ D．－
解析：当a≤1时，2a－1－2＝－3，无解；当a＞1时，－log2(a＋1)＝－3，得a＝7，所以f(6－a)＝f(－1)＝2－2－2＝－，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若2log3x＝，则x等于________．
解析：∵2log3x＝＝2－2，∴log3x＝－2.
∴x＝3－2＝.
答案：
4．化简：log(－)(＋)＝________.
解析：设log(－)(＋)＝x，则(－)x＝＋，又因为＋＝，所以x＝－1.
答案：－1
三、解答题
5．(本小题满分10分)设M＝{0,1}，N＝{11－a，lg a,2a，a}，是否存在实数a，使M∩N＝{1}?
解：若M∩N＝{1}，则1∈N.
(1)若11－a＝1，则a＝10，于是lg a＝1，这与集合中元素的互异性矛盾．
(2)若lg a＝1，则a＝10，于是11－a＝1，这与集合中元素的互异性矛盾．
(3)若2a＝1，则a＝0，这与a＞0矛盾．
(4)若a＝1，则11－a＝10，lg a＝0,2a＝2，N＝{10,0,2,1}，于是M∩N＝{0,1}，这与M∩N＝{1}矛盾．
综上可知，不存在实数a，使M∩N＝{1}．
活页作业(十九) 对数的运算
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．计算：log3＋2log310＝( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：原式＝log3＋log3100＝log39＝2.
答案：C
2．已知log32＝a,3b＝5，则log3用a，b表示为( )
A.(a＋b＋1) B.(a＋b)＋1
C.(a＋b＋1) D．＋b＋1
解析：由3b＝5得，b＝log35，而log3＝(log310＋1)＝(log32＋log35＋1)＝(a＋b＋1)，故选A.
答案：A
3．设log34·log48·log8m＝log416，则m的值为( )
A. B．9
C．18 D．27
解析：由题意得··＝log416＝log442＝2.
∴＝2，即lg m＝2lg 3＝lg 9.
∴m＝9.故选B.
答案：B
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．计算：＝______.
解析：原式＝＝＝－4.
答案：－4
5．(log43＋log83)(log32＋log98)＝________.
解析：原式＝
＝＝·＝.
答案：
三、解答题
6．(本小题满分10分)求值：
(1)＋lg.
(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25.
解：(1)原式＝＋lg
＝
＝＝＝.
(2)∵lg 2＋lg 5＝lg(2×5)＝lg 10＝1，
∴原式＝(lg 2)2＋lg 2·lg(2×52)＋lg 52
＝(lg 2)2＋lg 2·(lg 2＋2lg 5)＋2lg 5
＝(lg 2)2＋(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋2lg 5
＝2(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋2lg 5
＝2lg 2·(lg 2 ＋lg 5)＋2lg 5
＝2lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知2x＝3，log4 ＝y，则x＋2y等于( )
A．3 B．8
C．4 D．log48
解析：∵2x＝3，∴x＝log23.
又log4 ＝y，∴x＋2y＝log23＋2log4
＝log23＋2(log4 8－log43)
＝log23＋2
＝log23＋3－log23＝3.故选A.
答案：A
2．定义新运算“&”与“*”：x&y＝xy－1，x*y＝log(x－1)y，则函数f(x)＝是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
解析：因为f(x)＝＝＝＝(x≠0)，
且f(－x)＝＝－＝－f(x)，
所以f(x)为奇函数．故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3.已知lg x＋lg y＝2lg(2x－3y)，则log的值为________．
解析：由，得(4x－9y)(x－y)＝0，且x≠y，
∴4x－9y＝0，即＝．
∴log＝log＝2.
答案：2
4．已知f(x)＝kx＋－4(k∈R)，f(lg 2)＝0，则f＝________.
解析：f(lg 2)＝klg 2＋－4＝0，
∴k＝＝，
f＝·(－lg 2)－－4＝－8.
答案：－8
三、解答题
5．(本小题满分10分)若a，b，c∈N*，且满足a2＋b2＝c2.
(1)求log2＋log2的值．
(2)若log4＝1，log8(a＋b－c)＝，求a，b，c的值．
解：(1)∵a2＋b2＝c2，
∴log2＋log2
＝log2
＝log2
＝log2＝log2＝1.
(2)∵log4＝1，
∴＝4.即3a－b－c＝0.①
∵log8(a＋b－c)＝，
∴a＋b－c＝4.②
∵a2＋b2＝c2，③
且a，b，c∈N*，
∴由①②③解得a＝6，b＝8，c＝10.
活页作业(一) 集合的含义
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列几组对象可以构成集合的是( )
A．充分接近π的实数的全体
B．善良的人
C．世界著名的科学家
D．某单位所有身高在1.7 m以上的人
解析：A、B、C中标准不明确，故选D.
答案：D
2．下面有四个语句：
①集合N*中最小的数是0；
②－a?N，则a∈N；
③a∈N，b∈N，则a＋b的最小值是2；
④x2＋1＝2x的解集中含有两个元素．
其中正确语句的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：N*是不含0的自然数，所以①错误；
取a＝，则－?N，?N，所以②错误；
对于③，当a＝b＝0时，a＋b取得最小值是0，而不是2，所以③错误；对于④，解集中只含有元素1，故④错误．
答案：A
3．已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，则a为( )
A．2 B．2或4
C．4 D．0
解析：若a＝2∈A，则6－a＝4∈A；或a＝4∈A，则6－a＝2∈A；若a＝6∈A，则6－a＝0?A.故选B.
答案：B
4．若集合M中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则△ABC一定不是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
解析：由集合中元素的互异性可知△ABC的三边长满足a≠b≠c.故选D.
答案：D
5．设a，b∈R，集合A中含有0，b，三个元素，集合B中含有1，a，a＋b三个元素，且集合A与集合B相等，则a＋2b＝( )
A．1 B．0
C．－1 D．不确定
解析：由题意知a＋b＝0，∴＝－1，∴a＝－1，b＝1，∴a＋2b＝1.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合A中只含有1，a2两个元素，则实数a不能取的值为________．
解析：由a2≠1，得a≠±1.
答案：±1
7．若集合P含有两个元素1,2，集合Q含有两个元素1，a2，且P，Q相等，则a＝________.
解析：由于P，Q相等，故a2＝2，从而a＝±.
答案：±
8．已知集合P中元素x满足：x∈N，且2＜x＜a，又集合P中恰有三个元素，则整数a＝________.
解析：∵x∈N，且2＜x＜a，∴结合数轴可得a＝6.
答案：6
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．若所有形如3a＋b(a∈Z，b∈Z)的数组成集合A，判断6－2是不是集合A中的元素．
解：∵3a＋b(a∈Z，b∈Z)中，
令a＝2，b＝－2，可得6－2，
∴6－2是集合A中的元素．
10．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x.
(1)求实数x应满足的条件；
(2)若－2∈A，求实数x.
解：(1)由集合中元素的互异性可知，x≠3，
且x≠x2－2x，x2－2x≠3.
解得x≠3，且 x≠0，且x≠－1.
(2)∵－2∈A，∴x＝－2或x2－2x＝－2.
由于x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，∴x＝－2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知2a∈A，a2－a∈A，若A只含这两个元素，则下列说法中正确的是( )
A．a可取全体实数
B．a可取除去0以外的所有实数
C．a可取除去3以外的所有实数
D．a可取除去0和3以外的所有实数
解析：∵2a∈A，a2－a∈A，∴2a≠a2－a.∴a(a－3)≠0.∴a≠0且a≠3.故选D.
答案：D
2．集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为( )
A．0 B．1
C．0或1 D．小于等于1
解析：∵y∈N且y＝－x2＋1≤1，∴y＝0或1.∵t∈A，∴t＝0或1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知集合A是由m－1,3m，m2－1三个元素组成的集合，且3∈A，则实数m的值为________．
解析：由m－1＝3，得m＝4，此时3m＝12，m2－1＝15，故m＝4符合题意；由3m＝3，得m＝1，此时m－1＝m2－1＝0，故舍去；由m2－1＝3，得m＝±2，经检验m＝±2符合题意．故填4或±2.
答案：4或±2
4．若a，b∈R且a≠0，b≠0，则＋的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．
解析：当a＞0，b＞0时，＋＝2；
当ab＜0时，＋＝0；
当a＜0，b＜0时，＋＝－2.
所以集合中的元素为2,0，－2.即集合中元素的个数为3.
答案：3
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素只有一个，求k的值．
解：由题意知A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的解．
若k＝0，则x＝，知A中只有一个元素，符合题意；
若k≠0，则方程为一元二次方程．
当Δ＝9－8k＝0，即k＝时，方程kx2－3x＋2＝0有两个相等的实数解，此时A中只有一个元素．
综上所述，k＝0或.
6．已知集合A中的元素全为实数，且满足：若a∈A，则∈A.
(1)若a＝2，求出A中其他所有元素．
(2)0是不是集合A中的元素？请说明理由．
解：(1)由2∈A，得＝－3∈A.
又由－3∈A, 得＝－∈A.
再由－∈A，得＝∈A.
由∈A，得＝2∈A.
故A中除2外，其他所有元素为－3，－，.
(2)0不是集合A中的元素．理由如下：
若0∈A，则＝1∈A，
而当1∈A时，不存在，故0不是集合A中的元素．
活页作业(二十) 对数函数的图象及性质
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．y＝x－1与y＝
B．y＝与y＝
C．y＝4lg x与y＝2lg x2
D．y＝lg x－2与y＝lg
解析：D中两函数的定义域均为(0，＋∞)，且y＝lg＝lg x－lg100＝lg x－2.故选D.
答案：D
2．已知函数f(x)＝ln x，g(x)＝lg x，h(x)＝log3x，直线y＝a (a＜0)与这三个函数的交点的横坐标分别是x1，x2，x3，则x1，x2，x3的大小关系是( )
A．x2＜x3＜x1 B．x1＜x3＜x2
C．x1＜x2＜x3 D．x3＜x2＜x1
解析：分别作出三个函数的大致图象，如图所示．由图可知，x2＜x3＜x1.
答案：A
3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝( )
A．log2x B.
C．logx D．2x－2
解析：函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函数是f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2，故f(x)＝log2x.
答案：A
4．函数f(x)＝＋lg(2x－1)的定义域为( )
A．(－∞，1) B．(0,1]
C．(0,1) D．(0，＋∞)
解析：要使函数解析式有意义，则有即所以0＜x＜1，即函数定义域为(0,1)．故选C.
答案：C
5．若loga2＜logb2＜0，则下列结论正确的是( )
A．0＜a＜b＜1 B．0＜b＜a＜1
C．a＞b＞1 D．b＞a＞1
解析：∵loga2＜logb2＜0，如图所示，
∴0＜b＜a＜1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知g(x)＝则g＝________.
解析：∵>0，∴g＝ln<0.
∴g＝g＝eln＝.
答案：
7．对数函数f(x)的图象过点P(8,3)，则f＝______.
解析：设f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，由3＝loga8，得a＝2，
∴f(x)＝log2 x．∴f＝log2＝－1.
答案：－1
8．函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．
解析：方法一 当x＝2时，不论底数a取何值，总有y＝f(x)＝4成立，即函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象恒过定点P(2,4)．
方法二 因为函数y＝logax的图象恒过定点(1,0)，由函数y＝logax的图象得到函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象，需将函数y＝logax的图象作如下变换：向右平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，故函数f(x)＝4＋loga(x－1)的图象恒过定点P(2,4)．故填(2,4)．
答案：(2,4)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．(1)求函数y＝log(x＋1)(16－4x)的定义域．
(2)求函数f(x)＝(x2＋2x＋3)的值域．
解：(1)由得
∴函数的定义域为(－1,0)∪(0,2)．
(2)∵x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2≥2，
∴定义域为R.
∴f(x)≤2＝－1.
∴值域为(－∞，－1]．
10．已知f(x)＝log3x.
(1)作出这个函数的图象；
(2)若f(a)＜f(2)，利用图象求a的取值范围．
解：(1)作出函数y＝log3x的图象，如图所示．
(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.
由图象知：当0＜a＜2时，
恒有f(a)＜f(2)．
∴所求a的取值范围为0＜a＜2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知函数f(x)＝lg ，若f(a)＝b，则f(－a)等于( )
A．b B．－b
C. D．－
解析：f(a)＝lg ＝b，f(－a)＝lg ＝－b.
答案：B
2．若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图所示，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的图象大致是( )
解析：由函数f(x)＝loga(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝loga(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．
所以0＜a＜1，－1＜－b＜0.
故0＜b＜1.
因为0＜a＜1，所以g(x)＝ax＋b在R上是减函数．故排除A、B.
因为0＜b＜1，函数g(x)＝ax＋b的值域为(b，＋∞)，所以g(x)＝ax＋b的图象应在直线y＝b的上方．故排除C.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数f(x)＝2x的值域为[－1,1]，则函数f(x)的定义域是________．
解析：?≤x ≤ .
答案：
4．f(x)是对数函数，若f(＋1)＋f(－1)＝，则f(＋1)＋f(－1)＝______.
解析：∵f(x)是对数函数，
∴设f(x)＝logax(a＞0，a≠1)，
∵f(＋1)＋f(－1)＝，
∴loga(＋1)＋loga(－1)＝loga(－1)(＋1)＝loga 2＝，
∴a＝2.又a＞0，∴a＝4，
∴f(＋1)＋f(－1)＝log4(＋1)(－1)＝log416＝2.
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知f(x)＝log2(x＋1)，当点(x，y)在函数y＝f(x)的图象上时，点在函数y＝g(x)的图象上．
(1)写出y＝g(x)的解析式．
(2)求方程f(x)－g(x)＝0的根．
解：(1)依题意，
则g＝log2(x＋1)，
故g(x)＝log2(3x＋1)．
(2)由f(x)－g(x)＝0得，
log2(x＋1)＝log2(3x＋1)．
∴
解得，x＝0或x＝1.
6．已知函数f(x)＝loga(x＋1)(a＞1)，若函数y＝g(x)图象上任意一点P关于原点对称的点Q在函数f(x)的图象上．
(1)写出函数g(x)的解析式；
(2)当x∈[0,1)时总有f(x)＋g(x)≥m成立，求m的取值范围．
解：(1)设P(x，y)为g(x)图象上任意一点，则Q(－x，－y)是点P关于原点的对称点，
∵Q(－x，－y)在f(x)的图象上，
∴－y＝loga(－x＋1)，即y＝g(x)＝－loga(1－x)．
(2)f(x)＋g(x)≥m，即loga≥m.
设F(x)＝loga＝loga，x∈[0,1)，
由题意知，只要F(x)min≥m即可．
∵F(x)在[0,1)上是增函数，
∴F(x)min＝F(0)＝0.故m≤0即为所求．
活页作业(二十一) 对数函数及其性质的应用
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列不等式成立的是( )
A．log32＜log23＜log25 B．log32＜log25＜log23
C．log23＜log32＜log25 D．log23＜log25＜log32
解析：由于log31＜log32＜log33，log22＜log23＜log25，即0＜log32＜1,1＜log23＜log25，所以log32＜log23＜log25.故选A.
答案：A
2．若函数f(x)＝loga x(0A. B.
C. D．
解析：∵0∴在[a,2a]上，f(x)max＝loga a＝1，
f(x)min＝loga(2a)＝1＋loga2.
由题意得3(1＋loga2)＝1，解得a＝.
答案：A
3．已知定义在R上的函数f(x)＝2|x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25)，c＝f(2m)，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＜b＜c B．a＜c＜b
C．c＜a＜b D．c＜b＜a
解析：∵f(x)为偶函数，∴2|x－m|－1＝2|－x－m|－1，∴|x－m|＝|－x－m|.
∴－x－m＝m－x，∴m＝0，∴f(x)＝2|x|－1，
∴f(x)的图象关于y轴对称且在[0，＋∞)上是增函数，又∵0＞log0.53＞log0.54＝－2，log25＞log24＝2,2m＝0，∴c＜a＜b.
答案：C
4．函数f(x)＝lg 是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数
解析：f(x)＝lg ＝lg (－x)．
∵＞≥x，
∴对任意x∈R，－x＞0，
即函数f(x)定义域为R，R关于原点对称．
又f(－x)＝lg[－(－x)]＝lg(＋x)，
f(x)＝lg(＋x)－1＝－lg(＋x)，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．
答案：A
5.函数f(x)(x∈R)的图象如图所示，则g(x)＝f(logax)(0＜a＜1)的单调递减区间为( )
A. B．(－∞，0)∪
C．[，1] D．[，]
解析：函数y＝g(x)由下列函数复合而成，u＝logax，y＝f(u)．由0＜a＜1知，u＝logax在(0，＋∞)上递减，由复合函数单调性“同增异减”规律知，欲求y＝f(logax)的递减区间，应求y＝f(u)的递增区间．
由图象可知y＝f(u)的递增区间为u∈，
∴0≤logax≤，解得≤x≤1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)＝若f(a)＝，则a＝________.
解析：当a＞0时，log2a＝，则a＝；当a＜0时，2a＝，则a＝－1.
答案：或－1
7．已知f(x)＝log3x的值域是[－1,1]，那么它的反函数的值域为________．
解析：∵－1≤log3x≤1，∴log3 ≤log3x≤log33.
∴≤x≤3.
∴f(x)＝log3x的定义域是.
∴f(x)＝log3x的反函数的值域是.
答案：
8．已知实数a，b满足a＝b，下列五个关系式：①a＞b＞1，②0＜b＜a＜1，③b＞a＞1，④0＜a＜b＜1，⑤a＝b.其中可能成立的关系式序号为________．
解析：当a＝b＝1或a＝，b＝或a＝2，b＝3时，都有a＝b.故②③⑤均可能成立．
答案：②③⑤
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．解不等式2loga(x－4)＞loga(x－2)．
解：原不等式等价于
(1)当a＞1时，又等价于
解得x＞6.
(2)当0＜a＜1时，又等价于
解得4＜x＜6.
综上所述，当a＞1时，原不等式的解集为(6，＋∞)；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为(4,6)．
10．已知f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，求函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及y取得最大值时的x的值．
解：由f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]得f(x2)＝2＋log3x2，x2∈[1,9]，
得函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，
y＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2，
即y＝(log3x)2＋6log3x＋6＝(log3x＋3)2－3，
令log3x＝t,0≤t≤1，y＝(t＋3)2－3，
当t＝log3x＝1，
即x＝3时，ymax＝13.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若＝loga，且|logba|＝－logba，则a，b满足的关系式是( )
A．a＞1，且b＞1 B．a＞1且0＜b＜1
C．0＜a＜1，且b＞1 D．0＜a＜1，且0＜b＜1
解析：∵＝loga，∴loga＞0，∴0＜a＜1.∵|logba|＝－logba，∴logba＜0，∴b＞1.故选C.
答案：C
2．已知函数f(x)＝loga(x2＋2x－3)，若f(2)＞0，则此函数的单调递增区间是( )
A．(－∞，－3) B．(－∞，－3)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)
解析：∵f(2)＝loga5＞0＝loga1，
∴a＞1.
由x2＋2x－3＞0，
得函数f(x)的定义域为(－∞，－3)∪(1，＋∞)．
设u＝x2＋2x－3，则u在(1，＋∞)上为增函数．
又y＝logau(a＞1)在(0，＋∞)上也为增函数，
∴函数f(x)的单调递增区间是(1，＋∞)．故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知定义在R上的偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是单调减函数，若f(1)＞f，则x的取值范围为__________________．
解析：因为f(x)是定义在R上的偶函数且在区间[0，＋∞)上是单调减函数，所以f(x)在区间(－∞，0)上是增函数．所以不等式f(1)＞f可化为＞1，即lg＞1或lg＜－1，
所以lg ＞lg 10或lg ＜lg .
所以＞10或0＜＜.
所以0＜x＜或x＞10.
答案：0＜x＜或x＞10
4．若f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax是偶函数，则a＝________.
解析：函数f(x)＝ln(e3x＋1)＋ax为偶函数，故f(－x)＝f(x)，即ln(e－3x＋1)－ax＝ln(e3x＋1)＋ax，化简得ln ＝2ax＝ln e2ax，即＝e2ax，整理得e3x＋1＝e2ax＋3x(e3x＋1)，所以2ax＋3x＝0，解得a＝－.
答案：－
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)，其中0＜a＜1.
(1)求函数f(x)的定义域．
(2)若函数f(x)的最小值为－4，求a的值．
解：(1)要使函数有意义，则有解之得－3＜x＜1，所以函数的定义域为(－3,1)．
(2)函数可化为：f(x)＝loga[(1－x)(x＋3)]＝loga(－x2－2x＋3)＝loga[－(x＋1)2＋4]，
因为－3＜x＜1，
所以0＜－(x＋1)2＋4≤4.
因为0＜a＜1，所以loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，
即f(x)min＝loga4，由loga4＝－4得a－4＝4，所以a＝4－＝.
6．已知函数f(x)＝loga(3＋2x)，g(x)＝loga(3－2x)(a＞0，且a≠1)．
(1)求函数f(x)－g(x)的定义域；
(2)判断函数f(x)－g(x)的奇偶性，并予以证明；
(3)求使f(x)－g(x)＞0的x的取值范围．
解：(1)使函数f(x)－g(x)有意义，必须有解得－＜x＜.
所以函数 f(x)－g(x)的定义域是.
(2)由(1)知函数f(x)－g(x)的定义域关于原点对称．
f(－x)－g(－x)＝loga(3－2x)－loga(3＋2x)＝－[loga(3＋2x)－loga(3－2x)]＝－[f(x)－g(x)]，
∴函数f(x)－g(x)是奇函数．
(3)f(x)－g(x)＞0，即loga(3＋2x)＞loga(3－2x)．
当a＞1时，有
解得x的取值范围是.
当0＜a＜1时，有
解得x的取值范围是，
综上所述，当a＞1时x的取值范围是，
当0＜a＜1时x的取值范围是.
活页作业(二十二) 幂函数
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列幂函数中，定义域不是R的是( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：B中y＝x＝，定义域为{x|x≥0}．A中y＝x，C中y＝x＝，D中y＝x＝，定义域均为R.
答案：B
2．设a＝0.40.5，b＝0.60.5，c＝0.60.3，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜c＜b B．b＜a＜c
C．a＜b＜c D．c＜a＜b
解析：∵y＝x0.5为(0，＋∞)的增函数，∴0.40.5＜0.60.5.又y＝0.6x为R上的减函数，
∴0.60.5＜0.60.3.∴a＜b＜c.
答案：C
3．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0，＋∞)上单调递减的函数是( )
A．y＝x－2 B．y＝x－1
C．y＝x2 D．y＝x
解析：∵y＝x－1和y＝x都是奇函数，故B、D错误．又y＝x2虽为偶函数，但在(0，＋∞)上为增函数，故C错误．y＝x－2＝在(0，＋∞)上为减函数，且为偶函数，故A满足题意．
答案：A
4．下面给出四个幂函数的图象，则图象与函数大致对应的是( )
A．①y＝x2，②y＝x，③y＝x，④y＝x－1
B．①y＝x3，②y＝x2，③y＝x，④y＝x－1
C．①y＝x2，②y＝x3，③y＝x，④y＝x－1
D．①y＝x，②y＝x，③y＝x2，④y＝x－1
解析：注意到函数 y＝x2≥0，且该函数是偶函数，其图象关于y轴对称，该函数图象应与②对应；y＝x＝的定义域、值域都是[0，＋∞)，该函数图象应与③对应；y＝x－1＝，其图象应与④对应．
答案：B
5．若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm－2的图象关于原点对称，则m的取值范围为( )
A．1≤m≤2 B．m＝1或m＝2
C．m＝2 D．m＝1
解析：∵函数y＝(m2－3m＋3)xm－2为幂函数，∴m2－3m＋3＝1，即m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，y＝x－1，其图象关于原点对称；
当m＝2时，y＝x0＝1(x≠0)，其图象关于y轴对称，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若y＝axa2－是幂函数，则该函数的值域是__________．
解析：∵a＝1，∴y＝x，其值域为[0，＋∞)．
答案：[0，＋∞)
7．若(3－2m)＞(m＋1)，则实数m的取值范围为______．
解析：考察幂函数y＝x，因为y＝x在定义域[0，＋∞)上是增函数，
所以
解得－1≤m＜.
故m的取值范围是.
答案：
8.，3－，2的大小关系是______________．
解析：∵幂函数y＝x在(0，＋∞)上是增函数，
又∵3－＝，且＜＜2，
∴3－＜＜2.
答案：3－＜＜2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．讨论函数y＝x的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出函数图象的草图．
解：∵y＝x＝≥0，
∴函数y＝f(x)的定义域为R，
值域为[0，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)＝ ＝＝x＝f(x)，
∴f(x)是偶函数．
由于＞0，
∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增．
又f(x)是偶函数，
∴f(x)在(－∞，0]上单调递减．
根据以上性质可画出函数y＝x图象的草图如图所示．
10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，m为何值时，f(x)：
(1)是幂函数？
(2)是正比例函数？
(3)是反比例函数？
(4)是二次函数？
解：(1)∵f(x)是幂函数，∴m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0，
解得m＝2或m＝－1.
(2)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1，解得m＝－.此时m2－m－1≠0，故m＝－.
(3)若f(x)是反比例函数，
则－5m－3＝－1，
则m＝－，此时m2－m－1≠0，
故m＝－.
(4)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1，此时m2－m－1≠0，故m＝－1.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数y＝x的图象大致是( )
解析：由于＞0，故可排除选项A，D.根据幂函数的性质可知，当α＞1时，幂函数的图象在第一象限内向下凸，故排除选项C，只有选项B正确．
答案：B
2．幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，且f(－x)＝f(x)，则m可能等于( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：幂函数f(x)＝x3m－5(m∈N)在(0，＋∞)上是减函数，
∴3m－5＜0，即m＜.
又m∈N，∴m＝0,1.
∵f(－x)＝f(x)，
∴函数f(x)是偶函数．
当m＝0时，f(x)＝x－5是奇函数；
当m＝1时，f(x)＝x－2是偶函数．
∴m＝1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知幂函数f(x)＝xm2－1(m∈N)的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f(x)的解析式是______________．
解析：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2－1＜0，解得－1＜m＜1.
∵图象关于原点对称，且m∈N，
∴m＝0.∴f(x)＝x－1.
答案：f(x)＝x－1
4．已知幂函数y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足(a＋1)－＜(3－2a)－的a的取值范围为______________________．
解析：由y＝xm2－2m－3在(0，＋∞)上是减函数，
可知m2－2m－3＜0，∴－1＜m＜3.
又∵m∈N*，∴m＝1,2.
当m＝1时，y＝x－4是偶函数；
当m＝2时，y＝x－3是奇函数．
∵函数图象关于y轴对称，
∴该函数是偶函数．
∴m＝1.∴(a＋1)－＜(3－2a)－.
∴a＋1＞3－2a＞0或－3－2a＜a＋1＜0或a＋1＜0＜3－2a.
∴a＜－1或＜a＜.
答案：(－∞，－1)∪
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上为增函数，求满足条件(a＋1)＜(3－2a)的实数a的取值范围．
解：∵幂函数y＝x3－p(p∈N*)的图象关于y轴对称，
∴函数y＝x3－p是偶函数．
又y＝x3－p在(0，＋∞)上为增函数，
∴3－p是偶数且3－p＞0.
∵p∈N*，∴p＝1.
∴不等式(a＋1)＜(3－2a)化为(a＋1)＜(3－2a).
∵函数y＝是[0，＋∞)上的增函数，
∴?
?－1≤a＜.故实数a的取值范围为.
6．已知幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，满足f(2)＜f(3)．
(1)求实数k的值，并写出相应的函数f(x)的解析式；
(2)对于(1)中的函数f(x)，试判断是否存在正数m，使函数g(x)＝1－mf(x)＋(2m－1)x在区间[0,1]上的最大值为5.若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
解：(1)对于幂函数f(x)＝x2－k(k∈N*)，
满足f(2)＜f(3)．
因此2－k＞0，解得k＜2.
因为k∈N*，所以k＝1，f(x)＝x.
(2)g(x)＝1＋(m－1)x，
当m＞1时，函数g(x)为增函数，
故最大值为g(1)＝m＝5.
当0＜m＜1时，函数g(x)为减函数，
故最大值为g(0)＝1≠5，不成立．
当m＝1时，g(x)＝1，不合题意．
综上所述，m＝5.
活页作业(二十三) 方程的根与函数的零点
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．函数f(x)＝x2－3x－4的零点是( )
A．1，－4 B．4，－1
C．1,3 D．不存在
解析：函数f(x)＝x2－3x－4的零点就是方程x2－3x－4＝0的两根4与－1.
答案：B
2．函数f(x)＝3x＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
解析：f(0)＝－1<0，f(1)＝2>0，且函数f(x)＝3x＋x－2的图象在(0,1)上连续不断．
答案：C
3．已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
123.5
21.5
－7.82
11.57
－53.7
－126.7
－129.6
那么函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有( )
A．2个 B．3个
C．4个 D．5个
解析：由表可知f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，
f(4)·f(5)<0.
∴f(x)在[1,6]上至少有3个零点．故选B.
答案：B
4．已知x0是函数f(x)＝2x－logx的零点，若0A．f(x1)>0
B．f(x1)<0
C．f(x1)＝0
D．f(x1)>0与f(x1)<0均有可能
解析：由于f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)答案：B
5．已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)的零点的区间是( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,4) D．(4，＋∞)
解析： 法一：对于函数f(x)＝－log2x，因为f(2)＝2＞0，f(4)＝－0.5＜0，根据零点的存在性定理知选C.
法二：在同一坐标系中作出函数h(x)＝与g(x)＝log2x的大致图象，如图所示，可得f(x)的零点所在的区间为(2,4)．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．对于方程x3＋x2－2x－1＝0，有下列判断：
①在(－2，－1)内有实数根；
②在(－1,0)内有实数根；
③在(1,2)内有实数根；
④在(－∞，＋∞)内没有实数根．
其中正确的有________．(填序号)
解析：设f(x)＝x3＋x2－2x－1，
则f(－2)＝－1＜0，f(－1)＝1＞0，
f(0)＝－1＜0，f(1)＝－1＜0，f(2)＝7＞0，
则f(x)在(－2，－1)，(－1,0)(1,2)内均有零点，即①②③正确．
答案：①②③
7．方程lg x＋x－1＝0有________个实数根．
解析：由原方程得lg x＝－x＋1，问题转化为函数y＝lg x的图象与函数y＝－x＋1的图象交点的个数．
作出相应函数的图象，如图：
由图可知，有一个交点，故原方程有且仅有一个根．
答案：1
8．二次函数y＝x2－2ax＋a－1有一个零点大于1，一个零点小于1，则a的取值范围是________．
解析：∵二次函数y＝x2－2ax＋a－1的开口向上，又其一个零点大于1，另一个零点小于1，∴当x＝1时，其函数值小于零，即12－2a×1＋a－1＜0.∴a＞0.
答案：a＞0
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．
(1)f(x)＝x2＋x＋2；
(2)f(x)＝；
(3)f(x)＝3x＋1－7；
(4)f(x)＝log5(2x－3)．
解：(1)令x2＋x＋2＝0，因为Δ＝12－4×1×2＝－7＜0，所以方程无实数根．所以f(x)＝x2＋x＋2不存在零点．
(2)因为f(x)＝＝，
令＝0，解得x＝－6，所以函数的零点为－6.
(3)令3x＋1－7＝0，解得x＝log3，
所以函数的零点是log3.
(4)令log5(2x－3)＝0，
解得x＝2，所以函数的零点是2.
10．已知函数f(x)＝－3x2＋2x－m＋1.
(1)当m为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点．
(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m的值．
解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x2＋2x－m＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m)＞0，可解得m＜.
由Δ＝0，可解得m＝；
由Δ＜0，可解得m＞.
故当m＜时，函数有两个零点；
当m＝时，函数有一个零点；
当m＞时，函数无零点．
(2)因为0是对应方程的根，有1－m＝0，可解得m＝1.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．函数f(x)＝x3－x的零点个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．无数个
解析：作出y＝x3与y＝x的图象，如图所示，两个函数的图象只有一个交点，所以函数f(x)只有一个零点．故选B.
答案：B
2．若方程x＝log2x的解为x1，方程－x＝log2x的解为x2，则x1x2的取值范围为( )
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(1,2) D．[1，＋∞)
解析：由已知，得x1＝log2x1，－x2＝log2x2，在同一坐标系中，画出函数y＝x，y＝－x及y＝log2x的图象，如图所示．
观察图象可知，x1＞1,0＜x2＜1，∴0＜x1＜，－x2＜－，即0＜log2x1＜，log2x2＜－，两式相加，得log2x1＋log2x2＜0，∴log2(x1x2)＜0，即0＜x1x2＜1.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若方程log3x＋x＝3的解所在的区间是(k，k＋1)，则整数k＝______.
解析：方程为log3x＋x－3＝0，设f(x)＝log3x＋x－3，
∵f(2)＝log32－1<0，f(3)＝1>0，
即f(2)·f(3)<0，
∴函数在(2,3)内存在零点．∴k＝2.
答案：2
4．函数f(x)＝log2x－x＋2的零点的个数为________．
解析：令f(x)＝0，即log2x－x＋2＝0，即log2x＝x－2.
令y1＝log2x，y2＝x－2.
画出两个函数的大致图象，如图所示．
有两个不同的交点．
所以函数f(x)＝log2x－x＋2有两个零点．
答案：2
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知函数f(x)＝ax2－4x＋2.
(1)若f(2－x)＝f(2＋x)，求f(x)的解析式．
(2)已知a≤1，若函数y＝f(x)－log2在区间[1,2]内有且只有一个零点，试确定实数a的取值范围．
解：(1)因为f(2－x)＝f(2＋x)，所以f(x)的对称轴为x＝2，
即－＝2，即a＝1.
所以f(x)＝x2－4x＋2.
(2)因为y＝f(x)－log2＝ax2－4x＋5－log2x，
设r(x)＝ax2－4x＋5，s(x)＝log2x(x∈[1,2])，
则原命题等价于两个函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点，
当a＝0时，r(x)＝－4x＋5在区间[1,2]内为减函数，
s(x)＝log2x(x∈[1,2])为增函数，
且r(1)＝1＞s(1)＝0，r(2)＝－3＜s(2)＝1，
所以函数r(x)与s(x)的图象在区间[1,2]内有唯一交点．
当a＜0时，r(x)图象开口向下，对称轴为x＝＜0，
所以r(x)在区间[1,2]内为减函数，s(x)＝log2x(x∈[1,2])为增函数，
则由??－1≤a≤1，所以－1≤a＜0.
当0＜a≤1时，r(x)图象开口向上，对称轴为x＝≥2，
所以r(x)在区间[1,2]内为减函数，s(x)＝log2x(x∈[1,2])为增函数，
则由??－1≤a≤1，所以0＜a≤1.
综上所述，实数a的取值范围为[－1,1]．
6．已知函数f(x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点．
(1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值；
(2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围．
解：(1)∵－1和－3是函数f(x)的两个零点，
∴－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根．
则解得k＝－2.
(2)若函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根，
∴
则
∴α2＋β 2在区间上的最大值是18，最小值是，即α2＋β2的取值范围为.
活页作业(二十四) 用二分法求方程的近似解
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．如图是函数f(x)的图象，它与x轴有4个不同的公共点．给出的下列四个区间之中，存在不能用二分法求出的零点，该零点所在的区间是( )
A．[－2.1，－1] B．[4.1,5]
C．[1.9,2.3] D．[5,6.1]
解析：用二分法只能求出变号零点的值，对于非变号零点，则不能使用二分法．
答案：C
2．用二分法研究函数f(x)＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算f(0)＜0，f(0.5)＞0，可得其中一个零点x0∈____________，第二次应计算____________ .以上横线上应填的内容为( )
A．(0,0.5)，f(0.25) B．(0,1)，f(0.25)
C．(0.5,1)，f(0.25) D．(0,0.5)，f(0.125)
解析：∵f(0)＜0，f(0.5)＞0，∴f(0)·f(0.5)＜0.故f(x)在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f＝f(0.25)．
答案：A
3．根据表中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为( )
x
－1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x＋2
1
2
3
4
5
A.(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3)
解析：令f(x)＝ex－x－2，
则f(－1)＝0.37－1＜0，
f(0)＝1－2＜0，
f(1)＝2.72－3＜0，
f(2)＝7.39－4＞0，
f(3)＝20.09－5＞0，
∴f(1)·f(2)＜0.故函数f(x)的零点位于区间(1,2)内，即方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间为(1,2)．
答案：C
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.687 5)＜0，即可得出方程的一个近似解为______(精确度为0.1)．
解析：因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．
答案：0.75或0.687 5(答案可以是[0.687 5,0.75]内的任一数值)
5．利用计算器，列出自变量和函数值的对应值如下表：
x
－1.6
－1.4
－1.2
－1
－0.8
－0.6
－0.4
－0.2
0
…
y＝2x
0.329 8
0.378 9
0.435 2
0.5
0.574 3
0.659 7
0.757 8
0.870 5
1
…
y＝x2
2.56
1.96
1.44
1
0.64
0.36
0.16
0.04
0
…
若方程2x＝x2有一个根位于区间(a，a＋0.4)(a在表格中第一栏里的数据中取值)，则a的值为____________．
解析：令f(x)＝2x－x2，由表中的数据可得f(－1)<0，
f(－0.6)>0；f(－0.8)<0, f(－0.4)>0，
∴根在区间(－1，－0.6)与(－0.8，－0.4)内．
∴a＝－1或a＝－0.8.
答案：－1或－0.8
三、解答题
6．(本小题满分10分)求方程3x＋＝0的近似解(精确度0.1)．
解：原方程可化为3x－＋1＝0，即3x＝－1.
在同一坐标系中，分别画出函数g(x)＝3x与h(x)＝－1的简图．
g(x)与h(x)的图象交点的横坐标位于区间(－1,0)，且只有一交点，所以原方程只有一解x＝x0.
令f(x)＝3x＋＝3x－＋1，
∵f(0)＝1－1＋1＝1>0，
f(－0.5)＝－2＋1＝<0，
∴x0∈(－0.5,0)．
用二分法求解列表如下：
中点值
中点(端点)函数值及符号
选取区间
f(－0.5)<0，f(0)>0
(－0.5,0)
－0.25
f(－0.25)≈0.426 5>0
(－0.5，－0.25)
－0.375
f(－0.375)≈0.062 3>0
(－0.5，－0.375)
－0.437 5
f(－0.437 5)≈－0.159 4<0
(－0.437 5，－0.375)
∵|－0.437 5－(－0.375)|＝0.062 5<0.1，
∴原方程的近似解可取为－0.4.
一、选择题(每小题5分，共10分)
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2x＋3 B．f(x)＝ln x＋2x－6
C．f(x)＝x2－2x＋1 D．f(x)＝2x－1
解析：在C中，因为含零点x＝1的区间[a，b]，不满足f(a)·f(b)＜0，所以不能用二分法求零点．
答案：C
2．已知曲线y＝x与y＝x的交点的横坐标是x0，则x0的取值范围是( )
A. B.
C. D．(1,2)
解析：设f(x)＝x－x，则f(0)＝1>0，
f＝－＝ －<0，
f(1)＝－1<0，f(2)＝2－2<0，
显然有f(0)·f<0.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．用二分法求方程x3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，则经过________次二分后精确度能达到0.01.
解析：区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为＝<＝0.01，故经过7次二分后精确度能达到0.01.
答案：7
4．设x1，x2，x3依次是方程logx＋2＝x，log2(x＋2)＝，2x＋x＝2的实根，则x1，x2，x3的大小关系为________________．
解析：logx＝x－2，在同一坐标系中，作出y＝logx与y＝x－2的图象，如图(1)所示．由图象可知，两图象交点横坐标x1＞1.
图(1)
同理，作出y＝log2(x＋2)与y＝的图象，如图(2)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标x2＜0.
图(2) 图(3)
作出y＝2x与y＝－x＋2的图象，如图(3)所示．由图象可知，两函数交点的横坐标0＜x3＜1.
综上可得，x2＜x3＜x1.
答案：x2＜x3＜x1
三、解答题
5．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在区间(－1,1)上有一个零点．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根．
解：(1)若a＝0，则f(x)＝－4，与题意不符，∴a≠0.
由题意得f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)<0，
即或∴1(2)若a＝，则f(x)＝x3－x＋，
∴f(－1)＝>0，f(0)＝>0，f(1)＝－<0.
∴函数零点在(0,1)上．又f＝0，
∴方程f(x)＝0在区间(－1,1)上的根为.
活页作业(二十五) 几类不同增长的函数模型
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程fi(x)(i＝1,2,3,4)关于时间x(x>1)的函数关系是f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )
A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2x
解析：由增长速度可知，当自变量充分大时，指数函数的值最大．故选D.
答案：D
2．某商品前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，则四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是( )
A．减少7.84% B．增加7.84%
C．减少9.5% D．不增不减
解析：设原来商品价格为1个单位，
则1×(1＋20%)2×(1－20%)2＝0.921 6＝92.16%，
∴减少了7.84%.
答案：A
3．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)．
函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象．故选D.
答案：D
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．某工厂一年中十二月份的产量是一月份的a倍，那么该工厂这一年中的月平均增长率是______．
解析：设这一年中月平均增长率为x,1月份的产量为M，则M(1＋x)11＝a·M，∴x＝－1.
答案：－1
5．如图表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：
(1)骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；
(2)骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；
(3)骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；
(4)骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．
其中正确信息的序号是______________．
解析：看时间轴易知(1)正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此(2)正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故(3)正确，(4)错误．
答案：(1)(2)(3)
三、解答题
6．(本小题满分10分)函数f(x)＝1.1x，g(x)＝ln x＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．
解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得
曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，
曲线C2对应的函数是h(x)＝x，
曲线C3对应的函数是g(x)＝ln x＋1.
由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；
当1g(x)>h(x)；
当ef(x)>h(x)；
当ah(x)>f(x)；
当bg(x)>f(x)；
当cf(x)>g(x)；
当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．有一组实验数据如下表所示：
x
1
2
3
4
5
y
1.5
5.9
13.4
24.1
37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1) B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0) D．y＝logax＋b(a>1)
解析：通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A、D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.
答案：C
2.在某种金属材料的耐高温实验中，温度y(℃)随着时间t(min)变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．
现给出下列说法：
①前5 min温度增加越来越快；
②前5 min温度增加越来越慢；
③5 min后温度保持匀速增加；
④5 min后温度保持不变．
其中说法正确的是( )
A．①④ B．②④
C．②③ D．①③
解析：前5 min，温度y随x增加而增加，增长速度越来越慢；5 min后，温度y随x的变化曲线是直线，即温度匀速增加．故说法②③正确．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，则当2＜x＜4时，y1，y2，y3的大小关系为________．
解析：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2和y＝2x的图象，如图，在区间(2,4)内从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，所以x2＞2x＞log2x，即y2＞y1＞y3.
答案：y2＞y1＞y3
4．为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝t－a(a为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
(1)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y(mg)与时间t(h)之间的函数关系式为________________.
(2)据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25 mg以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过______h后，学生才能回到教室．
解析：(1)∵药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y与时间t成正比，
∴设y＝kt，代入点(0.1,1)，得k＝10.
∴y＝10t(0≤t≤0.1)．
同理，将点(0.1,1)代入解析式y＝t－a，
得a＝0.1，
综上可知y＝
(2)令y＝0.25，代入y＝t－0.1，
解得t＝0.6，
∴从药物释放开始，至少需要经过0.6 h后，学生才能回到教室．
答案：(1)y＝
(2)0.6
三、解答题
5．(本小题满分10分)商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20元，茶杯每个定价5元，该店推出两种优惠办法：
①买一个茶壶赠送一个茶杯；②按总价的92%付款．某顾客需购茶壶4个，茶杯若干个(不少于4个)．若购买茶杯数为x(个)，付款数为y(元)，试分别建立两种优惠办法中y与x之间的函数关系式，并讨论该顾客买同样多的茶杯时，两种办法哪种更省钱．
解：由优惠办法(1)可得函数关系式为y1＝20×4＋5(x－4)＝5x＋60(x≥4，且x∈N)；
由优惠办法(2)可得函数关系式为y2＝(5x＋20×4)×92%＝4.6x＋73.6(x≥4，且x∈N)．
对以上两种优惠办法比较得：
y1－y2＝0.4x－13.6(x≥4，且x∈N)．
令y1－y2＝0，得x＝34.
可知当购买34个茶杯时，两种付款相同；
当4≤x＜34时，y1＜y2，优惠办法(1)省钱；
当x＞34时，y1＞y2，优惠办法(2)省钱．
活页作业(二十六) 函数模型的应用实例
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( )
A．14 400亩 B．172 800亩
C．20 736亩 D．17 280亩
解析：设年份为x，造林亩数为y，则
y＝10 000×(1＋20%)x－1，
∴x＝4时，y＝17 280(亩)．故选D.
答案：D
2.甲、乙两人在一次赛跑中，路程s与时间t的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A．甲比乙先出发
B．乙比甲跑的路程多
C．甲、乙两人的速度相同
D．甲先到达终点
解析：从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t＝0)，跑相同多的路程(s0)，甲用时(t1)比乙用时(t2)较少，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
答案：D
3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为：y＝其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若应聘的面试人数为60，则该公司拟录用人数为( )
A．15 B．40
C．25 D．130
解析：令y＝60，
若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；
若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；
若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意；
故拟录用人数为25.故选C.
答案：C
4．用长度为24 m的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为( )
A．3 m B．4 m
C．5 m D．6 m
解析：设隔墙的长为x m，矩形面积为S，则
S＝x·＝x(12－2x)
＝－2x2＋12x＝－2(x－3)2＋18(0所以当x＝3时，S有最大值18.
答案：A
5．今有一组实验数据如下表所示：
t
1.99
3.0
4.0
5.1
6.12
u
1.5
4.04
7.5
12
18.01
则体现这些数据关系的最佳函数模型是( )
A．u＝log2t B．u＝2t－2
C．u＝ D．u＝2t－2
解析：由散点图可知，图象不是直线，排除D；
图象不符合对数函数和一次函数的图象特征，排除A、D；
当t＝3时，2t－2＝23－2＝6，
＝＝4，
而由表格知当t＝3时，u＝4.04，故模型u＝能较好地体现这些数据关系．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．从盛满20 L纯酒精的容器里倒出1 L，然后用水加满，再倒出1 L混合溶液，再用水加满，这样继续下去，则所倒次数x和酒精残留量y之间的函数关系为____________________．
解析：第一次倒完后，y＝19；
第二次倒完后，y＝19×＝；
第三次倒完后，y＝19××＝；
…
第x次倒完后，y＝＝20×x.
答案：y＝20×x
7．将进货单价为8元的商品按10元/个销售时，每天可卖出100个，若此商品的销售单价涨1元，日销售量就减少10个，为了获取最大利润，此商品的销售单价应定为________元．
解析：设销售单价应涨x元，
则实际销售单价为(10＋x)元，
此时日销售量为(100－10x)个，
每个商品的利润为(10＋x)－8＝2＋x(元)，
∴总利润y＝(2＋x)(100－10x)
＝－10x2＋80x＋200
＝－10(x－4)2＋360(0＜x＜10，且x∈N*)．
∴当x＝4时y有最大值，此时单价为14元．
答案：14
8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．
解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，则25t2＋25t－66≥0，解得t≥或者t≤－(舍去)，故1＋x%≥，解得x≥20.
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵，研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数v＝·log3，单位是m/s，其中Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数．
(1)当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是多少？
(2)计算一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数．
解：(1)由题意得v＝log3＝(m/s)．
当一条鲑鱼的耗氧量是2 700个单位时，它的游速是 m/s.
(2)当一条鲑鱼静止时，即v＝0(m/s)．
则0＝log3，
解得Q＝100.
所以当一条鲑鱼静止时耗氧量的单位数是100.
10．某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面的统计规律：每生产产品x百台，其总成本为G(x)万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，销售收入R(x)(单位：万元)满足R(x)＝假定该产品产销平衡，那么根据上述统计规律，解决下列问题：
(1)要使工厂有盈利，产品数量x应控制在什么范围？
(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？并求此时每台产品的售价为多少．
解：依题意，G(x)＝x＋2，设利润函数为f(x)，
则f(x)＝
(1)要使工厂有盈利，则有f(x)＞0.
当0≤x≤5时，有－0.4x2＋3.2x－2.8＞0.
解得1＜x＜7，
∴1＜x≤5.
当x＞5时，由8.2－x＞0，
解得x＜8.2，∴5＜x＜8.2.
综上，要使工厂盈利，应满足1＜x＜8.2，即产品数量应控制在大于100台小于820台的范围内．
(2)当0≤x≤5时，f(x)＝－0.4(x－4)2＋3.6，故当x＝4时，f(x)有最大值3.6，当x＞5时，f(x)＜8.2－5＝3.2.
故当工厂生产400台产品时，盈利最大，此时，每台产品的售价为＝240(元)．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．某企业制定奖励条例，对企业产品的销售取得优异成绩的员工实行奖励，奖励金额(元)f(n)＝k(n)(n－500)(n为年销售额)，而k(n)＝，若一员工获得400元的奖励，那么该员工一年的销售额为( )
A．800 B．1 000
C．1 200 D．1 500
解析：根据题意，奖励金额f(n)可以看成年销售额n的函数，那么该问题就是已知函数值为400时，求自变量n的值的问题．据题中所给的函数关系式可算得n＝1 500，故选D.
答案：D
2.如图，点P在边长为1的正方形边上运动，设M是CD的中点，则当P沿A－B－C－M运动时，点P经过的路程x与△APM的面积y之间的函数y＝f(x)的图象大致是( )
解析：依题意，当0当1S△APM＝S梯形ABCM－S△ABP－S△PCM
＝××1－×1×(x－1)－××(2－x)＝－x＋；
当2S△APM＝S梯形ABCM－S梯形ABCP
＝××1－×(1＋x－2)×1
＝－x＋
＝－x＋.
∴y＝f(x)＝
再结合图象知应选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．某个病毒经30 min繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：h，y表示病毒个数)，则k＝______，经过5 h,1个病毒能繁殖为________个．
解析：当t＝0.5时，y＝2，
∴2＝ek.∴k＝2ln 2.
∴y＝e2tln 2.
当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.
答案：2ln 2 1 024
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为__________m.
解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F，易知＝＝＝，又AH＝BC＝40 m，则DE＝AF＝x，FH＝40－x.则S＝x(40－x)＝－(x－20)2＋400.当x＝20 m时，S取得最大值400 m2.故填20.
答案：20
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．一块形状为直角三角形的铁皮，直角边长分别是40 cm与60 cm，现在将它剪成一个矩形，并以此三角形的直角为矩形的一个角，问怎样剪才能使剩下的残料最少？并求出此时残料的面积．
解：设直角三角形为△ABC，AC＝40 cm，BC＝60 cm，矩形为CDEF，如图所示，
设CD＝x cm，CF＝y cm，则由Rt△AFE∽Rt△EDB得＝，即＝，解得y＝40－x.
记剩下的残料面积为S，则
S＝×60×40－xy＝x2－40x＋1 200＝(x－30)2＋600(0故当x＝30时，Smin＝600，此时y＝20.
所以当CD＝30 cm，CF＝20 cm时，剩下的残料面积最小，为600 cm2.
6．下表是某款车的车速与刹车后的停车距离，试分别就y＝a·ekx，y＝axn，y＝ax2＋bx＋c三种函数关系建立数学模型，并探讨最佳模拟，根据最佳模拟求车速为120 km/h时的刹车距离.
车速/(km/h)
10
15
30
40
50
停车距离/m
4
7
12
18
25
车速/(km/h)
60
70
80
90
100
停车距离/m
34
43
54
66
80
解：若以y＝a·ekx为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代入函数关系式，得
解得
∴y＝2.422 8e0.050 136x.
以此函数式计算车速为90 km/h,100 km/h时，停车距离分别为220.8 m,364.5 m，与实际数据相比，误差较大．
若以y＝a·xn为模拟函数，将(10,4)，(40,18)代入函数关系式，得解得
∴y＝0.328 9x1.085.
以此函数关系计算车速为90 km/h,100 km/h时，停车距离分别为43.39 m,48.65 m，与实际情况误差也较大．
若以y＝ax2＋bx＋c为模拟函数，将(10,4)，(40,18)，(60,34)代入函数关系式，得
解得
∴y＝x2＋x＋2.
以此函数解析式计算车速为90 km/h,100 km/h时，停车距离分别为68 m,82 m，与前两个相比，它较符合实际情况．
当x＝120时，y＝114.即当车速为120 km/h时，停车距离为114 m.
活页作业(二) 集合的表示
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知集合A＝{x∈N|－≤x≤}，则有( )
A．－1∈A B．0∈A
C.∈A D．2∈A
解析：∵0∈N且－＜0＜，∴0∈A.
答案：B
2．已知集合M＝{y|y＝x2}，用自然语言描述M应为( )
A．函数y＝x2的函数值组成的集合
B．函数y＝x2的自变量的值组成的集合
C．函数y＝x2的图象上的点组成的集合
D．以上说法都不对
解析：从描述法表示的集合来看，代表元素是函数值，即集合M表示函数y＝x2的函数值组成的集合．
答案：A
3．集合{－2,1}等于( )
A．{(x－1)(x＋2)＝0} B．{y|y＝x＋1，x∈Z}
C．{x|(x＋1)(x－2)＝0} D．{x|(x－1)(x＋2)＝0}
解析：选项A是含有一个一元二次方程的集合，选项B是函数y＝x＋1，x∈Z的函数值组成的集合，有无数多个元素，选项C是方程(x＋1)(x－2)＝0的解的集合为{－1,2}，选项D是方程(x－1)(x＋2)＝0的解的集合为{1，－2}．故选D.
答案：D
4．若1∈{x，x2}，则x＝( )
A．1 B．－1
C．0或1 D．0或1或－1
解析：∵1∈{x，x2}，∴x＝1或x2＝1，∴x＝1或－1.若x＝1，则x＝x2＝1，不符合集合中元素的互异性．
答案：B
5．下列集合中表示同一集合的是( )
A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}
B．M＝{3,2}，N＝{2,3}
C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}
D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}
解析：A中M、N都为点集，元素为点的坐标，顺序不同表示的点不同；C中M、N分别表示点集和数集；D中M为数集，N为点集，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合A＝{x|x2＝a，x∈R}，则实数a的取值范围是________．
解析：当x∈R时，a＝x2≥0.
答案：a≥0
7．已知集合A＝{－1,0,1}，集合B＝{y|y＝|x|，x∈A}，则B＝____________.
解析：∵|－1|＝1，|0|＝0，|1|＝1，∴B＝{0,1}．
答案：{0,1}
8．已知集合A＝，则用列举法表示为__________________．
解析：根据题意，5－x应该是12的因数，故其可能的取值为1,2,3,4,6,12，从而可得到对应x的值为4,3,2,1，－1，－7.因为x∈N，所以x的值为4,3,2,1.
答案：{4,3,2,1}
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．用另一种方法表示下列集合．
(1){绝对值不大于2的整数}；
(2){能被3整除，且小于10的正数}；
(3){x|x＝|x|，x＜5，且x∈Z}；
(4){(x，y)|x＋y＝6，x∈N*，y∈N*}；
(5){－3，－1,1,3,5}．
解：(1){－2，－1,0,1,2}．
(2){3,6,9}．
(3)∵x＝|x|，∴x≥0.又∵x∈Z，且x＜5，
∴x＝0或1或2或3或4.
∴集合可以表示为{0,1,2,3,4}．
(4){(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
(5){x|x＝2k－1，－1≤k≤3，k∈Z}．
10．已知集合A＝{x|ax2－3x－4＝0，x∈R}，若A中至多有一个元素，求实数a的取值范围．
解：当a＝0时，A＝；
当a≠0时，关于x的方程ax2－3x－4＝0应有两个相等的实数根或无实数根，
∴Δ＝9＋16a≤0，即a≤－.
综上，所求实数a的取值范围是a＝0或a≤－.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．设x＝，y＝3＋π，集合M＝{m|m＝a＋b，a∈Q，b∈Q}，那么x，y与集合M的关系是( )
A．x∈M，y∈M B．x∈M，y?M
C．x?M，y∈M D．x?M，y?M
解析：x＝＝＝
－－×∈M，y?M.故选B.
答案：B
2．用描述法表示如图所示阴影部分的点(包括边界上的点)的坐标的集合是( )
A．{－2≤x≤0且－2≤y≤0}
B．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y≤0}
C．{(x，y)|－2≤x≤0且－2≤y＜0}
D．{(x，y)|－2≤x≤0或－2≤y≤0}
解析：阴影部分为点集，且包括边界上的点，所以－2≤x≤0且－2≤y≤0.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A且a∈B，则a为________．
解析：∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解．解方程组得∴a为(2,5)．
答案：(2,5)
4．A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义集合间的运算A＋B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则集合A＋B中元素的最大值是________．
解析：当x1＝1，x2＝1或2时，x＝2或3；当x1＝2，x2＝1或2时，x＝3或4；当x1＝3，x2＝1或2时，x＝4或5.∴集合A＋B中元素的最大值是5.
答案：5
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知集合A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，若点P(2,3)∈A，且P(2,3)?B，试求m，n的取值范围．
解：∵点P∈A，∴2×2－3＋m＞0.∴m＞－1.
∵点P?B，∴2＋3－n＞0.∴n＜5.
∴所求m，n的取值范围分别是{m|m＞－1}，{n|n＜5}．
6．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，M＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，a∈P，b∈M，设c＝a＋b，则c与集合M有什么关系？
解：∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，
设a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z，
∴c＝2k1＋2k2＋1＝2(k1＋k2)＋1.
又k1＋k2∈Z，
∴c∈M.
活页作业(三) 集合间的基本关系
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．下列关系中，表示正确的是( )
A．1∈{0,1} B．1?{0,1}
C．1?{0,1} D．{1}∈{0,1}
解析：?、?表示集合之间的关系，故B、C错误；∈表示元素与集合之间的关系，故D错误．
答案：A
2．若x，y∈R，A＝{(x，y)|y＝x}，B＝，则A，B的关系为( )
A．A?B B．A?B
C．A＝B D．A?B
解析：集合A表示函数y＝x图象上所有点组成的集合，集合B中要求x≠0，所以集合B表示除点(0,0)以外的y＝x图象上的点组成的集合，A?B成立．
答案：B
3．已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的韦恩(Venn)图是( )
解析：∵M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，
∴N?M.故选B.
答案：B
4．集合A＝{x|0≤x＜3，x∈N}的真子集的个数是( )
A．16 B．8
C．7 D．4
解析：易知集合A＝{0,1,2}，∴A的真子集为?，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共有7个．
答案：C
5．设A＝{x|1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A?B，则a的取值范围是( )
A．a≤2 B．a≤1
C．a≥1 D．a≥2
解析：如图，在数轴上表示出两集合，只要a≥2，就满足A?B.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共15分)
6.右图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系，则A，B，C，D，E分别代表的图形的集合为______________．
解析：由以上概念之间的包含关系可知：集合A＝{四边形}，集合B＝{梯形}，集合C＝{平行四边形}，集合D＝{菱形}，集合E＝{正方形}．
答案：A＝{四边形}，B＝{梯形}，C＝{平行四边形}，D＝{菱形}，E＝{正方形}
7．设集合M＝{(x，y)|x＋y＜0，xy＞0}和P＝{(x，y)|x＜0，y＜0}，那么M与P的关系为________．
解析：∵xy＞0，∴x，y同号．又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点．而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.
答案：M＝P
8．已知集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x≥m}，若A?B，则实数m的取值范围为_________________________________．
解析：集合A，B在数轴上的表示如图所示．
由图可知，若A?B，则m≤－2.
答案：m≤－2
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集．
解：∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，
∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
∴A的子集有：?，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．
10．已知集合A＝{x|1解：B＝{x|－2＜x＜2}．
(1)当a＝0时，A＝?，显然A?B.
(2)当a＞0时，
A＝.
∵A?B，由下图可知，
∴解得a≥1.
(3)当a<0时，
A＝.
∵A?B，由下图可知，
∴解得a≤－1.
综上可知， a＝0，或a≥1，或a≤－1时，A?B.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A?C?B的集合C的个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：因为集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3,4}，所以当满足A?C?B时，集合C可以为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，故满足条件的集合C有4个．
答案：D
2．已知集合M＝，N＝，则集合M，N的关系是( )
A．M?N B．M?N
C．N?M D．N?M
解析：设n＝2m或2m＋1，m∈Z，
则有N＝
＝.
又∵M＝，∴M?N.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．若A＝{1,2}，B＝{x|x?A}，则B＝________.
解析：∵x?A，∴x＝?，{1}，{2}，{1,2}，∴B＝{?，{1}，{2}，{1,2}}．
答案：{?，{1}，{2}，{1,2}}
4．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________________．
解析：∵集合A有且仅有2个子集，∴A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．
当a＝0时，方程化为2x＝0，
∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．
当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.
此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．
∴a＝0或a＝±1.
答案：{0,1，－1}
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．设集合A＝，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B?A，求实数a的值．
解：由题意得A＝{0，－4}．
(1)当B＝?时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0无解，
∴Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＜0.
∴a＜－1.
(2)当B?A(B≠?)时，则B＝{0}或B＝{－4}，
即方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0只有一解，
∴Δ＝8a＋8＝0.
∴a＝－1.此时B＝{0}满足条件．
(3)当B＝A时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0
有两实根0，－4，
∴∴a＝1.
综上可知，a≤－1，或a＝1.
6．设集合A＝{x|－1≤x＋1≤6}，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}．
(1)当x∈Z时，求A的非空真子集的个数；
(2)若A?B，求m的取值范围．
解：化简集合A得A＝{x|－2≤x≤5}．
(1)∵x∈Z，∴A＝{－2，－1,0,1,2,3,4,5}，
即A中含有8个元素．
∴A的非空真子集的个数为28－2＝254(个)．
(2)①当m≤－2时，B＝??A；
②当m＞－2时，B＝{x|m－1＜x＜2m＋1}，
因此，要B?A，
则只要?－1≤m≤2.
综上所述，m的取值范围是{m|－1≤m≤2或m≤－2}．
活页作业(四)并集、交集
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．设集合M＝{m∈Z|－3A．{0,1} B．{－1,0,1}
C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
解析：由题意，得M＝{－2，－1,0,1}，
N＝{－1,0,1,2,3}，
∴M∩N＝{－1,0,1}．
答案：B
2．若集合M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N等于( )
A．{0} B．{1}
C．{0,1,2} D．{0,1}
解析：M＝{x|－2≤x＜2}，N＝{0,1,2}，则M∩N＝{0,1}，故选D.
答案：D
3．下列各组集合，符合Venn图所示情况的是( )
A．M＝{4,5,6,8}，N＝{4,5,6,7,8}
B．M＝{x|0＜x＜2}，N＝{x|x＜3}
C．M＝{2,5,6,7,8}，N＝{4,5,6,8}
D．M＝{x|x＜3}，N＝{x|0＜x＜2}
解析：因为{4,5,6,8}?{4,5,6,7,8}，即M?N，所以选项A错误．又因{x|0＜x＜2}?{x|x＜3}，所以选项B错误，选项C显然错误，选项D正确．
答案：D
4．设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是( )
A．1 B．3
C．4 D．8
解析：∵A＝{1,2}，且A∪B＝{1,2,3}，∴B＝{3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3}．
答案：C
5．设集合A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则图中阴影表示的集合为( )
A．{2} B．{3}
C．{－3,2} D．{－2,3}
解析：∵A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B＝{－3,2}，∴图中阴影表示的集合为A∩B＝{2}．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合M＝{x|－3＜x≤5}，N＝{x|－5＜x＜－2，或x＞5}，则M∪N＝____________，M∩N＝__________________.
解析：借助数轴可知：
M∪N＝{x|x＞－5}，M∩N＝{x|－3＜x＜－2}．
答案：{x|x＞－5} {x|－3＜x＜－2}
7．已知集合A＝{(x，y)|y＝x2，x∈R}，B＝{(x，y)|y＝x，x∈R}，则A∩B中的元素个数为________．
解析：由得或
答案：2
8．设集合A＝{x|－1＜x＜2}，B＝{x|x＜a}，若A∩B≠?，则a的取值范围是________．
解析：利用数轴分析可知，a＞－1.
答案：a＞－1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知集合A＝{1,3,5}，B＝{1,2，x2－1}，若A∪B＝{1,2,3,5}，求x及A∩B.
解：∵B?(A∪B)，
∴x2－1∈(A∪B)．
∴x2－1＝3或x2－1＝5，解得x＝±2或x＝±.
若x2－1＝3，则A∩B＝{1,3}；
若x2－1＝5，则A∩B＝{1,5}．
10．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－4x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．
解：A＝{1,2}，∵A∪B＝A，
∴B?A.集合B有两种情况：B＝?或B≠?.
(1)B＝?时，方程x2－4x＋a＝0无实数根，
∴Δ＝16－4a＜0.∴a＞4.
(2)B≠?时，当Δ＝0时，
a＝4，B＝{2}?A满足条件；
当Δ＞0时，若1,2是方程x2－4x＋a＝0的根，
由根与系数的关系知1＋2＝3≠4，矛盾，∴a＝4.
综上，a的取值范围是a≥4.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，则符合条件的实数m的值组成的集合为( )
A. B．
C. D．
解析：当m＝0时，B＝?，A∩B＝B；当m≠0时，x＝，要使A∩B＝B，则＝1或＝2，即m＝1或m＝，选C.
答案：C
2．定义集合{x|a≤x≤b}的“长度”是b－a.已知m，n∈R，集合M＝xm≤x≤m＋，N＝xn－≤x≤n，且集合M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，那么集合M∩N的“长度”的最小值是( )
A. B.
C. D．
解析：集合M，N的“长度”分别为，，又M，N都是集合{x|1≤x≤2}的子集，如图，由图可知M∩N的“长度”的最小值为－＝.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知集合A＝{1,3，}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m＝________.
解析：由A∪B＝A得B?A，所以有m＝3或m＝.由m＝得m＝0或1，经检验，m＝1时，B＝{1,1}矛盾，m＝0或3时符合题意．
答案：0或3
4．设集合A＝{5，a＋1}，集合B＝{a，b}．若A∩B＝{2}，则A∪B＝______________.
解析：∵A∩B＝{2}，∴2∈A.故a＋1＝2，a＝1，即A＝{5,2}；又2∈B，∴b＝2，即B＝{1,2}．∴A∪B＝{1,2,5}．
答案：{1,2,5}
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．已知A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}，若A∩B＝?，求a的取值范围．
解：A∩B＝?，A＝{x|2a≤x≤a＋3}．
(1)若A＝?，有2a＞a＋3，∴a＞3.
(2)若A≠?，如图所示．
则有解得－≤a≤2.
综上所述，a的取值范围是－≤a≤2或a＞3.
6．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，N＝{x|x2－3x＋m＝0}．
(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.
(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．
解：由已知得M＝{2}．
(1)当m＝2时，N＝{1,2}．
∴M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．
(2)若M∩N＝M，则M?N，
∴2∈N.
∴4－6＋m＝0.
∴m＝2.
活页作业(五) 补集及集合运算的综合应用
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知全集U＝{0,1,2}，且?UA＝{2}，则A等于( )
A．{0} B．{1}
C．? D．{0,1}
解析：∵?UA＝{2}，∴A＝{0,1}．
答案：D
2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(?RA)∩B＝( )
A．{－2，－1} B．{－2}
C．{－1,0,1} D．{0,1}
解析：解不等式求出集合A，进而得?RA，再由集合交集的定义求解．
因为集合A＝{x|x＞－1}，所以?RA＝{x|x≤－1}．
则(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1}
＝{－2，－1}．
答案：A
3．如图所示，U是全集，A，B是U的子集，则图中阴影部分表示的集合是( )
A．A∩B B．B∩(?UA)
C．A∪B D．A∩(?UB)
解析：阴影部分在B中且在A的外部，由补集与交集的定义可知阴影部分可表示为B∩(?UA)．
答案：B
4．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则?Z(P∪Q)＝( )
A．M B．P
C．Q D．?
解析：x＝3k，k∈Z表示被3整除的整数；x＝3k＋1，k∈Z表示被3整除余1的整数；x＝3k－1表示被3整除余2的整数，所以?Z(P∪Q)＝M.
答案：A
5．已知集合A＝{x|xA．a≤1 B．a<1
C．a≥2 D．a>2
解析：如图所示，若能保证并集为R，则只需实数a在数2的右边，注意等号的选取．选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知集合U＝{2,3,6,8}，A＝{2,3}，B＝{2,6,8}，则(?UA)∩B＝________.
解析：(?UA)∩B＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．
答案：{6,8}
7．设全集U＝R，集合A＝{x|x ≥0}，B＝{y|y≥1}，则?UA与?UB的包含关系是______________．
解析：∵?UA＝{x|x<0}，?UB＝{y|y<1}，∴?UA??UB.如图．
答案：?UA??UB
8．设全集S＝{1,2,3,4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若?SA＝{2,3}，则m＝________.
解析：因为S＝{1,2,3,4}，?SA＝{2,3}，所以A＝{1,4}，即1,4是方程x2－5x＋m＝0的两根，由根与系数的关系可得m＝1×4＝4.
答案：4
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知全集U＝{2,3，a2－2a－3}，A＝{2，|a－7|}，?UA＝{5}，求a的值．
解：由|a－7|＝3，得a＝4或a＝10.
当a＝4时，a2－2a－3＝5，
当a＝10时，a2－2a－3＝77?U，所以a＝4.
10．已知集合A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，C＝{x|x＜a}．
(1)求(?RA)∩B；
(2)若A?C，求a的取值范围．
解：(1)∵A＝{x|3≤x＜7}，
∴?RA＝{x|x＜3或x≥7}．
∴(?RA)∩B＝{x|2＜x＜3或7≤x＜10}．
(2)∵C＝{x|x＜a}，且A?C，如图所示，
∴a≥7.∴a的取值范围是{a|a≥7}．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知全集U＝R，集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x＜－2或x＞4}，那么集合(?UA)∩(?UB)等于( )
A．{x|3＜x≤4} B．{x|x≤3或x≥4}
C．{x|3≤x＜4} D．{x|－1≤x≤3}
解析：∵?UA＝{x|x＜－2或x＞3}，?UB＝{x|－2≤x≤4}，如图，
∴(?UA)∩(?UB)＝{x|3＜x≤4}．故选A.
答案：A
2．设A，B，I均为非空集合，且满足A?B?I，则下列各式中错误的是( )
A．(?IA)∪B＝I B．(?IA)∪(?IB)＝I
C．A∩(?IB)＝? D．(?IA)∩(?IB)＝?IB
解析：方法一 符合题意的Venn图，如图．
观察可知选项A，C，D均正确，(?IA)∪(?IB)＝?IA，故选项B错误．
方法二 运用特例法，如A＝{1,2,3}，B＝{1,2,3,4}，I＝{1,2,3,4,5}．逐个检验只有选项B错误．
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．全集U＝R，A＝{x|x＜－3，或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，则集合C＝{x|－1＜x＜2}＝______________.(用A，B或其补集表示)
解析：如图所示，由图可知C??UA，且C?B，
∴C＝B∩(?UA)．
答案：B∩(?UA)
4．某班共50人，参加A项比赛的共有30人，参加B项比赛的共有33人，且A，B两项都不参加的人数比A，B都参加的人数的多1人，则只参加A项不参加B项的有____人．
解析：如图所示，设A，B两项都参加的有x人，则仅参加A项的共(30－x)人，仅参加B项的共(33－x)人，A，B两项都不参加的共人，根据题意得x＋(30－x)＋(33－x)＋＝50，解得x＝21，所以只参加A项不参加B项的共有30－21＝9(人)．故填9.
答案：9
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a＜0}．
(1)当a＝－4时，求A∩B和A∪B；
(2)若(?RA)∩B＝B，求实数a的取值范围．
解：(1)∵A＝，
当a＝－4时，B＝{x|－2＜x＜2}，
∴A∩B＝，
A∪B＝{x|－2＜x≤3}．
(2)?RA＝，
当(?RA)∩B＝B时，B??RA.
①当B＝?，即a≥0时，满足B??RA；
②当B≠?，即a＜0时，B＝{x|－＜x＜}．
要使B??RA，需≤，
解得－≤a＜0.
综上可得，实数a的取值范围是.
6．设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．
(1)求(?IM)∩N；
(2)记集合A＝(?IM)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．
解：(1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，
N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}．
∴?IM＝{x|x∈R且x≠－3}．
∴(?IM)∩N＝{2}．
(2)A＝(?IM)∩N＝{2}，
∵B∪A＝A，∴B?A.
∴B＝?或B＝{2}．
当B＝?时，a－1>5－a，∴a>3；
当B＝{2}时，解得a＝3.
综上所述，所求a的取值范围是{a|a≥3}．
活页作业(六) 函数的概念
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．设f：x→x2是集合A到集合B的函数，如果集合B＝{1}，那么集合A不可能是( )
A．{1} B．{－1}
C．{－1,1} D．{－1,0}
解析：若集合A＝{－1,0}，则0∈A，但02＝0?B.故选D.
答案：D
2．各个图形中，不可能是函数y＝f(x)的图象的是( )
解析：因垂直x轴的直线与函数y＝f(x)的图象至多有一个交点．故选A.
答案：A
3．若函数y＝f(x)的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2}，则函数y＝f(x)的图象可能是( )
解析：选项A，定义域为{x|－2≤x≤0}，不正确．选项C，当x在(－2,2]取值时，y有两个值和x对应，不符合函数的概念．选项D，值域为[0,1]，不正确，选项B正确．
答案：B
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．若(2m，m＋1)表示一个开区间，则m的取值范围是________．
解析：由2m＜m＋1，解得m＜1.
答案：(－∞，1)
5．函数y＝f(x)的图象如图所示，那么f(x)的定义域是________________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________________．
解析：观察函数图象可知f(x)的定义域是[－3,0]∪[2,3]；
只与x的一个值对应的y值的范围是[1,2)∪(4,5]．
答案：[－3,0]∪[2,3] [1,2)∪(4,5]
三、解答题
6．(本小题满分10分)求下列函数的定义域．
(1)y＝＋.
(2)y＝.
解：由已知得
∴函数的定义域为.
(2)由已知得，|x＋2|－1≠0，
∴|x＋2|≠1.得x≠－3，x≠－1.
∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(－1，＋∞)．
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．四个函数：(1)y＝x＋1；(2)y＝x3；(3)y＝x2－1；
(4)y＝.其中定义域相同的函数有( )
A．(1)，(2)和(3) B．(1)和(2)
C．(2)和(3) D．(2)，(3)和(4)
解析：(1)，(2)和(3)中函数的定义域均为R，而(4)函数的定义域为{x|x≠0}．
答案：A
2．已知函数f(x)＝－1，则f(2)的值为( )
A．－2 B．－1
C．0 D．不确定
解析：∵f(x)＝－1，∴f(2)＝－1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，则从A到B的函数f(x)有________个．
解析：抓住函数的“取元任意性，取值唯一性”，利用列表方法确定函数的个数.
f(1)
4
4
4
4
5
5
5
5
f(2)
4
4
5
5
4
4
5
5
f(3)
4
5
4
5
4
5
4
5
由表可知，这样的函数有8个，故填8.
答案：8
4．函数y＝的定义域为________．(并用区间表示)
解析：要使函数解析式有意义，需满足
??－2≤x≤3，且x≠.
∴函数的定义域为.
答案：
三、解答题
5．(本小题满分10分)将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于边长x的解析式，并写出此函数的定义域．
解：设矩形一边长为x，则另一边长为(a－2x)，
所以y＝x·(a－2x)＝－x2＋ax.
由题意可得解得0＜x＜，
即函数定义域为.
活页作业(七) 函数概念的综合应用
(时间：30分钟 满分：60分)
一、选择题(每小题4分，共12分)
1．已知函数f(x)＝，则f(1)等于( )
A．1 B．2
C．3 D．0
解析：f(1)＝＝2.
答案：B
2．下列各组函数表示相等函数的是( )
A．y＝与y＝x＋3
B．y＝－1与y＝x－1
C．y＝x0(x≠0)与y＝1(x≠0)
D．y＝2x＋1，x∈Z与y＝2x－1，x∈Z
解析：A中两函数定义域不同，B、D中两函数对应关系不同，C中定义域与对应关系都相同．
答案：C
3．函数y＝的值域为( )
A．[－1，＋∞) B．[0，＋∞)
C．(－∞，0] D．(－∞，－1]
解析：∵x＋1≥0，∴y＝ ≥0.
答案：B
二、填空题(每小题4分，共8分)
4．函数y＝的定义域为________．
解析：要使函数式有意义，需使，所以函数的定义域为{x|x≥－1且x≠0}．
答案：{x|x≥－1且x≠0}
5．已知函数f(x)＝2x－3，x∈{x∈N|1≤x≤5}，则函数的值域为__________________．
解析：函数的定义域为{1,2,3,4,5}．
故当x＝1,2,3,4,5时，y＝－1,1,3,5,7，
即函数的值域为{－1,1,3,5,7}．
答案：{－1,1,3,5,7}
三、解答题
6．(本小题满分10分)若f(x)＝ax2－，且f(f())＝－，求a的值．
解：因为f()＝a()2－＝2a－，所以
f(f())＝a(2a－)2－＝－.于是a(2a－)2＝0,2a－＝0或a＝0，所以a＝或a＝0.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝ D．y＝x2＋x＋1
解析：A中y＝的值域为[0，＋∞)；
C中y＝的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
D中y＝x2＋x＋1＝2＋的值域为；
B中函数的值域为(0，＋∞)，故选B.
答案：B
2．若函数f(x)＝(a2－2a－3)x2＋(a－3)x＋1的定义域和值域都为R，则a的值是( )
A．－1或3 B．－1
C．3 D．不存在
解析：由得a＝－1.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知函数f(x)＝.若f(a)＝3，则实数a＝________.
解析：因为f(a)＝＝3，所以a－1＝9，即a＝10.
答案：10
4．给出定义：若m－＜x≤m＋(其中m为整数)，则m叫做离实数x最近的整数，记作{x}，即{x}＝m.在此基础上给出下列关于函数f(x)＝|x－{x}|的四个结论．
①f＝；
②f(3.4)＝－0.4；
③f＝f；
④y＝f(x)的定义域为R，值域是.
则其中正确的序号是________．
解析：由题意得f＝－－－＝－－(－1)＝，①正确；
f(3.4)＝|3.4－{3.4}|＝|3.4－3|＝0.4，②错误；
f＝－－－＝＝，
f＝－＝＝，
∴f＝f，③正确；
y＝f(x)的定义域为R，值域为，④错误．
答案：①③
三、解答题
5．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝.
(1)求f(2)＋f，f(3)＋f的值．
(2)求证：f(x)＋f是定值．
(3)求f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋
f(2 017)＋f的值．
(1)解：∵f(x)＝，
∴f(2)＋f＝＋＝1.
f(3)＋f＝＋＝1.
(2)证明：f(x)＋f＝＋
＝＋＝＝1.
(3)解：由(2)知f(x)＋f＝1，
∴f(2)＋f＝1，f(3)＋f＝1，
f(4)＋f＝1，…，f(2 017)＋f＝1.
∴f(2)＋f＋f(3)＋f＋…＋f(2 017)＋f＝2 016.
活页作业(八) 函数的表示法
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶．与以上事件吻合得最好的图象是( )
解析：方法一：出发时距学校最远，先排除A，中途堵塞停留，距离不变，再排除D，堵塞停留后比原来骑得快，因此排除B，选C.
方法二：由小明的运动规律知，小明距学校的距离应逐渐减小，由于小明先是匀速运动，故前段是直线段，途中停留时距离不变，后段加速，直线段比前段下降得快，故应选C.
答案：C
2．已知f＝x，则f(x)＝( )
A. B．
C. D．
解析：设t＝，则x＝，f(t)＝，即f(x)＝.
答案：B
3．已知函数f(x)是一次函数，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，则f(x)＝( )
A．3x＋2 B．3x－2
C．2x＋3 D．2x－3
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，
则解得
∴f(x)＝3x－2.
答案：B
4．已知f＝2x＋3，且f(m)＝6，则m等于( )
A．－ B.
C. D．－
解析：设x－1＝m，则x＝2m＋2，∴f(m)＝2(2m＋2)＋3＝4m＋7＝6，∴m＝－.
答案：A
5．已知函数f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝2，则a的值等于( )
A．1 B．3
C．5 D．－1
解析：由f(2x＋1)＝3x＋2，令2x＋1＝t，
∴x＝.∴f(t)＝3·＋2.
∴f(x)＝＋2.
∴f(a)＝＋2＝2.∴a＝1.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f的值等于________．
解析：∵f(3)＝1，＝1，∴f＝f(1)＝2.
答案：2
7．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出：
x
1
2
3
f(x)
1
3
1
x
1
2
3
g(x)
3
2
1
则f(g(1))＝______；满足f(g(x))＞g(f(x))的x的值是______．
解析：∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.
又∵x，f(g(x))，g(f(x))的对应值表为
x
1
2
3
f(g(x))
1
3
1
g(f(x))
3
1
3
∴f(g(x))＞g(f(x))的解为x＝2.
答案：1 2
8．若f(x)是一次函数，f(f(x))＝4x－1，则f(x)＝______.
解析：设f(x)＝kx＋b(k≠0)，则f(f(x))＝kf(x)＋b＝k(kx＋b)＋b＝k2x＋kb＋b＝4x－1.所以解得或所以f(x)＝2x－或f(x)＝－2x＋1.
答案：2x－或－2x＋1
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．下表表示函数y＝f(x).
x
0＜x＜5
5≤x＜10
10≤x＜15
15≤x≤20
y＝f(x)
－4
6
8
10
(1)写出函数的定义域、值域；
(2)写出满足f(x)≥x的整数解的集合．
解：(1)从表格中可以看出函数的定义域为(0,5)∪[5,10)∪[10,15)∪[15,20]＝(0,20]．
函数的值域为{－4,6,8,10}．
(2)由于当5≤x＜10时，f(x)＝6，因此满足f(x)≥x的x的取值范围是5≤x≤6.又x∈Z，故x∈{5,6}．
10．已知函数f(x)＝g(x)＋h(x)，g(x)关于x2成正比，h(x)关于成反比，且g(1)＝2，h(1)＝－3，求：
(1)函数f(x)的解析式及其定义域；
(2)f(4)的值．
解：(1)设g(x)＝k1x2(k1≠0)，
h(x)＝(k2≠0)，
由于g(1)＝2，h(1)＝－3，
所以k1＝2，k2＝－3.
所以f(x)＝2x2－，
定义域是(0，＋∞)．
(2)由(1)得f(4)＝2×42－＝.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．已知正方形的周长为x，它的外接圆的半径为y，则y关于x的解析式为( )
A．y＝x B．y＝x
C．y＝x D．y＝x
解析：正方形边长为，而(2y)2＝2＋2，
∴y2＝.∴y＝＝x.
答案：C
2．下列函数中，不满足f(2x)＝2f(x)的是( )
A．f(x)＝|x| B．f(x)＝x－|x|
C．f(x)＝x＋1 D．f(x)＝－x
解析：对于A，f(2x)＝|2x|＝2|x|＝2f(x)；对于B，f(2x)＝2x－|2x|＝2(x－|x|)＝2f(x)；对于C，f(2x)＝2x＋1≠2f(x)；对于D，f(2x)＝－2x＝2f(x)．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．观察下列图形和所给表格中的数据后回答问题：
梯形个数
1
2
3
4
5
…
图形周长
5
8
11
14
17
…
当梯形个数为n时，这时图形的周长l与n的函数解析式为____________________．
解析：由表格可推算出两变量的关系，或由图形观察周长与梯形个数关系为l＝3n＋2(n∈N*)．
答案：l＝3n＋2(n∈N*)
4．R上的函数f(x)满足：(1)f(0)＝1；(2)对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，则f(x)＝________.
解析：因为对任意实数x，y，有f(x－y)＝f(x)－y(2x－y＋1)，所以令y＝x，有f(0)＝f(x)－x(2x－x＋1)，即f(0)＝f(x)－x(x＋1)，又f(0)＝1，所以f(x)＝x(x＋1)＋1＝x2＋x＋1，即f(x)＝x2＋x＋1.
答案：x2＋x＋1
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：
(1)比较f(0)，f(1)，f(3)的大小；
(2)若x1(3)求函数f(x)的值域．
解：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：
x
…
－2
－1
0
1
2
3
4
…
y
…
－5
0
3
4
3
0
－5
…
连线，描点，得函数图象如图：
(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)＜f(0)＜f(1)．
(2)根据图象，容易发现当x1＜x2＜1时，有f(x1)＜f(x2)．
(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数值域为(－∞，4]．
6．已知函数f(x)＝(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)＝1，方程f(x)＝x有唯一解，求函数f(x)的解析式，并求f(f(－3))的值．
解：由f(x)＝x，得＝x，
即ax2＋(b－1)x＝0.
因为方程f(x)＝x有唯一解，
所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1.
又f(2)＝1，
所以＝1，a＝.
所以f(x)＝＝.
所以f(f(－3))＝f(6)＝＝.
活页作业(九) 分段函数、映射
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．已知集合M＝{x|0≤x≤6}，P＝{y|0≤y≤3}，则下列对应关系中，不能构成M到P的映射的是( )
A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x
C．f：x→y＝x D．f：x→y＝x
解析：由映射定义判断，选项C中，x＝6时，y＝6?P.
答案：C
2．在给定映射f：A→B，即f：(x，y)→(2x＋y，xy)(x，y∈R)的条件下，与B中元素对应的A中元素是( )
A. B.或
C. D.或
解析：由得或故选B.
答案：B
3．下列图象是函数y＝的图象的是( )
解析：由于f(0)＝0－1＝－1，所以函数图象过点(0，－1)；当x＜0时，y＝x2，则函数图象是开口向上的抛物线y＝x2在y轴左侧的部分．因此只有图象C符合．
答案：C
4．已知f(x)＝则f(3)为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
解析：f(3)＝f(5)＝f(7)＝7－5＝2.
答案：A
5．已知f(x)＝则f＋f等于( )
A．－2 B．4
C．2 D．－4
解析：∵f＝2×＝，f＝f＝f＝f＝2×＝，∴f＋f＝＋＝4.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式是____________________．
解析：由图可知，图象是由两条线段组成．
当－1≤x＜0时，设f(x)＝ax＋b，将(－1,0)，(0,1)代入解析式，则
∴∴f(x)＝x＋1.
当0≤x≤1时，设f(x)＝kx，将(1，－1)代入，则
k＝－1，∴f(x)＝－x.
综上，f(x)＝
答案：f(x)＝
7．设函数f(x)＝则f的值为________．
解析：f(2)＝22＋2－2＝4，∴＝.
∴f＝f＝1－2＝.
答案：
8．已知集合A＝R，B＝{(x，y)|x，y∈R}，f：A→B是从A到B的映射，f：x→(x＋1，x2＋1)，则A中元素在B中的对应元素为________，B中元素在A中的对应元素为________．
解析：将x＝代入对应关系，可求出其在B中的对应元素(＋1,3)．
由得x＝.
所以在B中的对应元素为(＋1,3)，在A中的对应元素为.
答案：(＋1,3)
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．如图是一个电子元件在处理数据时的流程图：
(1)试确定y与x的函数解析式．
(2)求f(－3)，f(1)的值．
(3)若f(x)＝16，求x的值．
解：(1)y＝
(2)f(－3)＝(－3)2＋2＝11；
f(1)＝(1＋2)2＝9.
(3)若x≥1，则(x＋2)2＝16，
解得x＝2或x＝－6(舍去)．
若x＜1，则x2＋2＝16，
解得x＝(舍去)或x＝－.
综上，可得x＝2或x＝－.
10．已知函数f(x)＝
(1)求f(－5)，f(－)，f的值；
(2)若f(a)＝3，求实数a的值．
解：(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]，知f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－)＝(－)2＋2(－)＝3－2.
∵f＝－＋1＝－，
且－2＜－＜2，
∴f＝f＝2＋2×＝－3＝－.
(2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2＞－2，不合题意，舍去．
当－2＜a＜2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0.
∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1，或a＝－3.
∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意．
当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意．
综上可得，当f(a)＝3时，a＝1，或a＝2.
一、选择题(每小题5分，共10分)
1．若函数f(x)＝则f(x)的值域是( )
A．(－1,2) B．(－1,3]
C．(－1,2] D．(－1,2)∪{3}
解析：对f(x)来说，当－1＜x＜0时，f(x)＝2x＋2∈(0,2)；当0≤x＜2时，f(x)＝－x∈(－1,0]；当≥2时，f(x)＝3.故函数y＝f(x)的值域为(－1,2)∪{3}．故选D.
答案：D
2．设函数f(x)＝，若f(a)＋f(－1)＝2，则a＝( )
A．－3 B．－3或3
C．－1 D．－1或1
解析：∵f(－1)＝＝1，∴f(a)＝1.
(1)当a≥0时，f(a)＝＝1，∴a＝1.
(2)当a＜0时，f(a)＝＝1，∴a＝－1.
综上可知a＝1或－1.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共10分)
3．已知集合A＝{a，b}，B＝{c，d}，则从A到B的不同映射有________个．
解析：从集合A到集合B的映射共有4个，如下图：
答案：4
4．若定义运算a⊙b＝则函数f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．
解析：由题意得f(x)＝画函数f(x)的图象，得值域是(－∞，1]．
答案：(－∞，1]
三、解答题(每小题10分，共20分)
5．甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(min)的关系，试写出y＝f(x)的函数解析式．
解：当∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，
由已知得解得∴y＝x.
当x∈(30,40)时，y＝2.
当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得解得∴y＝x－2.
综上，f(x)＝
6．已知函数f(x)＝
(1)试比较f(f(－3))与f(f(3))的大小；
(2)求使f(x)＝3的x的值．
解：(1)∵－3＜1，∴f(－3)＝－2×(－3)＋1＝7.
∵7＞1，∴f(7)＝72－2×7＝35.
∴f(f(－3))＝f(7)＝35.
同理可得f(3)＝3，∴f(f(3))＝f(3)＝3.
∴f(f(－3))＞f(f(3))．
(2)由于f(x)＝3，故当x＜1时，由－2x＋1＝3，
解得x＝－1；
当x≥1时，由x2－2x＝3，解得x＝－1(舍去)或x＝3.
故使f(x)＝3的x的值有两个：－1和3.
