第一课时 根 式
【选题明细表】
知识点、方法
题号
根式的性质
1,2,5,6,7
化简
3,4,8,9,10,11,12,13
1.化简-得( C )
(A)6 (B)2x
(C)6或-2x (D)6或2x或-2x
解析:原式=|x+3|-(x-3),当x≥-3时,原式=6;当x<-3时,原式=-2x,故选C.
2.+π等于( A )
(A)4 (B)2π-4
(C)2π-4或4 (D)4-2π
解析:+π=4-π+π=4.故选A.
3.若2
(A)5-2a (B)2a-5
(C)1 (D)-1
解析:原式=|2-a|+|3-a|,因为24.化简-得( C )
(A)6 (B)2x
(C)6或-2x (D)-2x或6或2
解析:-=|x+3|-(x-3)=故选C.
5.若x<0,则|x|-+= .?
解析:因为x<0,
所以原式=-x-(-x)+=-x+x+1=1.
答案:1
6.若81的平方根为a,-8的立方根为b,则a+b= .?
解析:因为81的平方根为±9,
所以a=±9.
又因为-8的立方根为b,
所以b=-2.
所以a+b=-11或a+b=7.
答案:-11或7
7.等式=(5-x)成立的x取值范围是 .?
解析:要使==|x-5|=(5-x),
则所以-5≤x≤5.
答案:[-5,5]
8.若代数式+有意义,化简+2.
解:由+有意义,
则即≤x≤2.
故+2
=+2
=|2x-1|+2|x-2|
=2x-1+2(2-x)=3.
9.若a<,则的化简结果是( C )
(A) (B)-
(C) (D)-
解析:因为a<,
所以2a-1<0,
所以=.
又==.故选C.
10.设f(x)=,若0解析:f(a+)==
==|a-|,
由于0所以a≤,
故f(a+)=-a.
答案:-a
11.已知+1=a,化简()2++= .?
解析:由已知+1=a,
即|a-1|=a-1知a≥1.
所以原式=(a-1)+(a-1)+(1-a)=a-1.
答案:a-1
12.已知a1,n∈N*,化简+.
解:当n是奇数时,原式=(a-b)+(a+b)=2a;
当n是偶数时,
因为a所以原式=|a-b|+|a+b|
=(b-a)+(-a-b)=-2a.
所以+=
13.若a2-b2>0,试化简a-b.
名师点拨:由于本题待化简式中的分母一个为a-b,另一个为a+b,因此可想到统一分母的形式便于化简后通分,从而第一个式子分子分母同乘以a+b,第二个式子分子分母同乘以a-b,变形后的两个式子的分子均含完全平方式,开方时要考虑它们的符号,从而需分类讨论.
解:原式=a-b
=-,
因为a2-b2>0,
所以a+b>0且a-b>0或a+b<0且a-b<0.
当a+b>0且a-b>0时,
原式==
=.
当a+b<0且a-b<0时,
原式==.
第二课时 指数幂及其运算性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
根式与指数幂互化
1,4,5
利用指数幂的运算性质化简求值
2,3,6,8,9,10,12,13,14,15
附加条件的幂的求值问题
7,11
1.将·化成分数指数幂为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:·=·==.故选B.
2.下列运算中,正确的是( A )
(A)x3·x2=x5 (B)x+x2=x3
(C)2x3÷x2=x (D)()3=
解析:对于A,根据同底数的运算法则可得,x3·x2=x5,故正确;
对于B,不是同类项,不能合并,故错误;
C,2x3÷x2=2=2x,故错误;
D,()3=,故错误.故选A.
3.(1)0-(1-0.5-2)÷()的值为( D )
(A)- (B) (C) (D)
解析:原式=1-(1-4)÷=1+3×=.
4.下列各式中成立的一项是( D )
(A)()7=n7 (B)=
(C)=(x+y (D)=
解析:A中()7=n7m-7,故A错;B中的===,故B错;C中不可进行化简运算;D中的=(=(=,故D正确.
5.设a>0,将表示成分数指数幂,其结果是( C )
(A) (B) (C) (D)
解析:由题意==.故选C.
6.[81-0.25+()]+lg 4-lg= .?
解析:[81-0.25+()]+lg 4-lg=[(34)-0.25+()]+lg 2+lg 5=(+)+1=2.
答案:2
7.若a+b=3,则代数式a3+b3+9ab的值为 .?
解析:因为a+b=3,
所以代数式a3+b3+9ab=(a+b)(a2+b2-ab)+9ab=-ab)+9ab=3[(a+b)2-3ab]+9ab=3(9-3ab)+9ab=27.
答案:27
8.(a>0,b>0)= .?
解析:原式==·
=ab-1=.
答案:
9.计算:
求(2)-(-9.6)0-(3)+1.5-2的值.
解:原式=-1-()+
=-+
=.
10.(1)计算:-××;
(2)已知x+x-1=3(x>0),求+的值.
解:(1)原式=3-=3-2=1.
(2)因为x+x-1=3,所以x2+x-2=7,
所以(+)2
=x3+x-3+2=(x+x-1)(x2+x-2-1)+2=3×6+2=20,
所以+=2.
11.若x+x-1=3,那么x2-x-2的值为( A )
(A)±3 (B)- (C)3 (D)
解析:因为x+x-1=3,
所以(x+x-1)2=x2+x-2+2=9,
所以x2+x-2=7.
所以(x-x-1)2=x2+x-2-2=5,
所以x-x-1=±.
当x-x-1=-时,
x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=-3,
当x-x-1=时,x2-x-2=(x+x-1)(x-x-1)=3.故选A.
12.设-=m,则= .?
解析:将-=m平方得(-)2=m2,
即a-2+a-1=m2,
所以a+a-1=m2+2,
即a+=m2+2?=m2+2.
答案:m2+2
13.计算:0.06-(-)0+1+0.2= .?
解析:原式=0.-1++
=2.5-1+8+0.5
=10.
答案:10
14.计算下列各式的值:
(1)1.×(-)0+80.25×+(×)6-;
(2)÷÷.
解:(1)原式=()×1+(23×+(×)6-()=2+4×27=110.
(2)原式=÷÷=÷÷=÷÷(a-2=÷==.
15.(1)化简:··(xy)-1(xy≠0);
(2)计算:++-·.
解:(1)原式=[xy2·(xy-1·(xy·(xy)-1
=··|x|y·|x·|y
=·|x=
(2)原式=+++1-22=2-3.
第一课时 指数函数的图象及性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
指数函数的概念
1,4,6
指数函数的图象特征
2,3,10,11,12,13
指数函数的性质
5,7,8,9
1.下列一定是指数函数的是( C )
(A)y=ax (B)y=xa(a>0且a≠1)
(C)y=()x (D)y=(a-2)ax
解析:根据指数函数的定义:形如y=ax(a>0,且a≠1)的函数叫做指数函数,结合选项从而可判断选项C正确.
故选C.
2.在同一坐标系中,函数y=2x与y=()x的图象之间的关系是( A )
(A)关于y轴对称 (B)关于x轴对称
(C)关于原点对称 (D)关于直线y=x对称
解析:由作出两函数图象可知,两函数图象关于y轴对称,故选A.
3.若函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有( D )
(A)b≥1 (B)b≤1
(C)b≥0 (D)b≤0
解析:因为y=2x,当x<0时,y∈(0,1),所以,函数f(x)=2x+b-1(b∈R)的图象不经过第二象限,则有b-1≤-1,解得b≤0.故选D.
4.函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数,则有( C )
(A)a=1或a=4 (B)a=1
(C)a=4 (D)a>0且a≠1
解析:因为函数y=(a2-5a+5)ax是指数函数,
所以解得a=4.故选C.
5.已知a>0,且a≠1,若函数f(x)=2ax-4在区间[-1,2]上的最大值为10,则a= .?
解析:若a>1,则函数y=ax在区间[-1,2]上是递增的,
当x=2时,f(x)取得最大值f(2)=2a2-4=10,
即a2=7,
又a>1,所以a=.
若0当x=-1时,f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,
所以a=.
综上所述,a的值为或.
答案:或
6.若指数函数y=f(x)的图象经过点(-2,),则f(-)= .?
解析:设f(x)=ax(a>0且a≠1).
因为f(x)过点(-2,),
所以=a-2,所以a=4.所以f(x)=4x,
所以f(-)==.
答案:
7.方程|2x-1|=a有唯一实数解,则a的取值范围是 .?
解析:作出y=|2x-1|的图象,如图,要使直线y=a与y=|2x-1|图象的交点只有一个,
所以a≥1或a=0.
答案:{a|a≥1,或a=0}
8.函数y=()的值域是 .?
解析:由≥0且y=()x是减函数,知0答案:(0,1]
9.若函数f(x)=ax-1(a>0,a≠1)的定义域和值域都是[0,2],求实数a的值.
解:当a>1时,f(x)在[0,2]上递增,
所以即
所以a=±.
又a>1,所以a=;
当0所以
即解得a∈.
综上所述,实数a的值为.
10.不论a取何正实数,函数f(x)=ax+1-2的图象恒过点( A )
(A)(-1,-1) (B)(-1,0)
(C)(0,-1) (D)(-1,-3)
解析:f(-1)=-1,所以函数f(x)=ax+1-2的图象一定过点(-1,-1).
11.若函数f(x)=3x+b的图象不经过第二象限,则b的取值范围为 .?
解析:由函数y=3x+b的图象不经过第二象限,
可得1+b≤0,求得b≤-1.
答案:(-∞,-1]
12.(2018·海南中学高一期中)已知函数f(x)=且f(-2) =3,f(-1)=f(1).
(1)求f(x)的解析式,并求f(f(-2))的值;
(2)请在给定的直角坐标系内,利用“描点法”画出y=f(x)的大致 图象.
解:(1)由f(-2)=3,f(-1)=f(1)得
解得a=-1,b=1,
所以f(x)=
从而f(f(-2))=f(3)=23=8.
(2)“描点法”作图,①列表:
x
-2
-1
0
1
2
f(x)
3
2
1
2
4
②描点;③连线
f(x)的图象如图所示.
13.已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则函数g(x)=ax+b的图象大致为( A )
解析:由二次方程的解法易得(x-a)(x-b)=0的两根为a,b;根据函数零点与方程的根的关系,可得f(x)=(x-a)(x-b)的零点就是a,b,即函数图象与x轴交点的横坐标;观察f(x)=(x-a)(x-b)的图象,可得其与x轴的两个交点分别在区间(-∞,-1)与(0,1)上,又由a>b,可得b<-1, 0第二课时 指数函数图象及性质的应用(习题课)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
比较大小
2,5
解指数方程或不等式
1,6,10
指数函数性质的综合应用
3,4,7,9
与指数函数有关的问题
8,11,12
1.若3<()x<27,则( C )
(A)-13或x<-1
(C)-3解析:3<()x<27?3<3-x<33?1<-x<3?-32.下列判断正确的是( D )
(A)2.52.5>2.53 (B)0.82<0.83
(C)π2< (D)0.90.3>0.90.5
解析:函数y=0.9x在R上为减函数,所以0.90.3>0.90.5.
3.设f(x)=()|x|,x∈R,那么f(x)是( D )
(A)奇函数且在(0,+∞)上是增函数
(B)偶函数且在(0,+∞)上是增函数
(C)奇函数且在(0,+∞)上是减函数
(D)偶函数且在(0,+∞)上是减函数
解析:因为f(-x)=()|-x|=()|x|=f(x),
所以f(x)为偶函数.
又当x>0时,f(x)=()x在(0,+∞)上是减函数,
故选D.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=1-2-x,则不等式f(x)<-的解集是 .?
解析:因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0.
当x<0时,f(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2x-1.
当x>0时,由1-2-x<-,()x>,得x∈;
当x=0时,f(0)=0<-不成立;
当x<0时,由2x-1<-,2x<2-1,得x<-1.
综上可知x∈(-∞,-1).
答案:(-∞,-1)
5.三个数(),(),()中,最大的是 ,最小的是 .?
解析:因为函数y=()x在R上是减函数,
所以()>(),
又在y轴右侧函数y=()x的图象始终在函数y=()x的图象的下方,
所以()>(),即()>()>().
答案:()()
6.方程9x+3x-2=0的解是 .?
解析:因为9x+3x-2=0,即(3x)2+3x-2=0,
所以(3x+2)(3x-1)=0?3x=-2(舍去),3x=1.
解得x=0.
答案:0
7.已知0(A)第一象限 (B)第二象限
(C)第三象限 (D)第四象限
解析:因为0由图象可知,函数y=ax+b的图象不经过第一象限.
8.若函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),则f(-4)与f(1)的大小关系是( A )
(A)f(-4)>f(1) (B)f(-4)=f(1)
(C)f(-4)解析:因为|x+1|≥0,函数f(x)=a|x+1|(a>0,a≠1)的值域为[1,+∞),
所以a>1.
由函数f(x)=a|x+1|在(-1,+∞)上是增函数,且它的图象关于直线x=-1对称,可得函数f(x)在(-∞,-1)上是减函数.再由f(1)=f(-3),可得f(-4)>f(1),故选A.
9.若()2a+1<()3-2a,则实数a的取值范围是 .?
解析:因为函数y=()x在R上为减函数,
所以2a+1>3-2a,所以a>.
答案:(,+∞)
10.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-+,则此函数的值域为 .?
解析:设t=,当x≥0时,2x≥1,所以0f(t)=-t2+t=-(t-)2+,
所以0≤f(t)≤,
故当x≥0时,f(x)∈[0,];
因为y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以当x≤0时,f(x)∈[-,0];
故函数的值域是[-,].
答案:[-,]
11.已知物体初始温度是T0,经过t分钟后物体温度是T,且满足T=Ta+(T0-Ta)·2-kt(Ta为室温,k是正常数).某浴场热水是由附近发电厂供应,已知从发电厂出来的95 ℃的热水,在15 ℃室温下,经过100分钟后降至25 ℃.
(1)求k的值;
(2)该浴场先用冷水将供应的热水从95 ℃迅速降至55 ℃,然后在室温15 ℃下缓慢降温供顾客使用.当水温在33 ℃至43 ℃之间,称之为“洗浴温区”.问:某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴多长时间?(结果保留整数)(参考数据:2-0.5=0.70,2-1.2=0.45).
解:(1)将Ta=15,T0=95,t=100代入关系式T=Ta+(T0-Ta)·2-kt,
得25=15+(95-15)·2-100k,2-100k==2-3,
解得k=.
(2)由(1),将T0=55代入关系式T=Ta+(T0-Ta)·2-kt,
得T=15+(55-15)·=15+40·,
令33≤15+40·≤43,即0.45≤≤0.7,
因为2-0.5=0.70,2-1.2=0.45,
所以2-1.2≤≤2-0.5,解得≤t≤40,
所以某人在“洗浴温区”内洗浴时,最多可洗浴40-≈23分钟.
12.已知函数f(x)=+2a是奇函数.
(1)求常数a的值;
(2)判断函数f(x)在区间(-∞,0)上的单调性,并给出证明.
解:(1)因为f(x)=+2a是奇函数,
所以定义域是{x|x≠0},f(1)+f(-1)=0,
则+2a++2a=0,解得a=.
(2)由(1)得,f(x)=+,
则f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是减函数.
证明如下:任取0f(x1)-f(x2)=+-(+)=-=.
因为x1,x2∈(0,+∞),
所以-1>0,-1>0,
又x10,
所以f(x1)-f(x2)>0,则f(x1)>f(x2),
所以f(x)在(0,+∞)上是减函数,
当x1,x2∈(-∞,0)时,同理可证f(x)在(-∞,0)上是减函数.
综上知,函数f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上都是减函数.
第一课时 对 数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对数的概念
1,11
对数的性质
7,10
指对互化的应用
2,3,4,5,6,13
对数恒等式
8,9,12
1.有下列说法:
①零和负数没有对数;②任何一个指数式都可以化成对数式;③以10为底的对数叫做常用对数;④=-5成立.
其中正确命题的个数为( B )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:②错误,如(-1)2=1,不能写成对数式;④错误,log3(-5)没有意义.故正确命题的个数为2.
2.已知lob=c,则有( B )
(A)a2b=c (B)a2c=b
(C)bc=2a (D)c2a=b
解析:因为lob=c,所以(a2)c=b,
所以a2c=b.故选B.
3.下列指数式与对数式互化不正确的一组是( B )
(A)e0=1与ln 1=0
(B)log39=2与=3
(C)=与log8=-
(D)log77=1与71=7
解析:对于A,e0=1可化为0=loge1=ln 1,所以A正确;对于B,log39=2可化为32=9,所以B不正确;对于C,=可化为log8=-,所以C正确;对于D,log77=1可化为71=7,所以D正确.故选B.
4.已知log2x=3,则等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为log2x=3,所以x=23,
所以=(23===.故选D.
5.已知loga=m,loga3=n,则am+2n等于( D )
(A)3 (B) (C)9 (D)
解析:由已知得am=,an=3.
所以am+2n=am×a2n=am×(an)2=×32=.
故选D.
6.已知logx16=2,则x等于( A )
(A)4 (B)±4 (C)256 (D)2
解析:改写为指数式x2=16,但x作为对数的底数,必须取正值,所以x=4.
7.设a=log310,b=log37,则3a-b= .?
解析:因为a=log310,b=log37,所以3a=10,3b=7,
所以3a-b==.
答案:
8.= .?
解析:原式=2·=2.
答案:2
9.计算下列各式:
(1)10lg 3-(+eln 6;
(2)+.
解:(1)原式=3-()0+6
=3-1+6
=8.
(2)原式=22÷+3-2·
=4÷3+×6
=+
=2.
10.-2-lg 0.01+ln e3等于( B )
(A)14 (B)0 (C)1 (D)6
解析:-2-lg 0.01+ln e3=4--lg+3=4-32-(-2)+3=0.故选B.
11.若logx-1(3-x)有意义,则x的取值范围是 .?
解析:由已知得
解得1即x的取值范围是(1,2)∪(2,3).
答案:(1,2)∪(2,3)
12.已知log2(log3(log4x))=0,且log4(log2y)=1.求·的值.
解:因为log2(log3(log4x))=0,所以log3(log4x)=1,
所以log4x=3,所以x=43=64.
由log4(log2y)=1,知log2y=4,所以y=24=16.
因此·=×1=8×8=64.
13.(1)求值:0.1-2 0180+1+;
(2)解关于x的方程:(log2x)2-2log2x-3=0.
解:(1)原式=0.-1++
=()-1-1+23+
=-1+8+=10.
(2)设t=log2x,
则原方程可化为t2-2t-3=0,
(t-3)(t+1)=0,
解得t=3或t=-1,
所以log2x=3或log2x=-1,
所以x=8或x=.
第二课时 对数的运算
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对数的运算性质
1,6,8,10,11,13
换底公式
2,7
附加条件的对数式求值
3,4,5,9
与对数有关的方程问题
12
1.下列等式成立的是( C )
(A)log2(8-4)=log28-log24
(B)=log2
(C)log28=3log22
(D)log2(8+4)=log28+log24
解析:由对数的运算性质易知C正确.
2.计算(log54)·(log1625)等于( B )
(A)2 (B)1 (C) (D)
解析:(log54)·(log1625)=×=×=1.故选B.
3.设lg 2=a,lg 3=b,则log125等于( A )
(A) (B) (C) (D)
解析:因为lg 2=a,lg 3=b,则log125==.故选A.
4.如果lg 2=m,lg 3=n,则等于( C )
(A) (B)
(C) (D)
解析:因为lg 2=m,lg 3=n,
所以===.故选C.
5.若lg x=m,lg y=n,则lg -lg()2的值为( D )
(A)m-2n-2 (B)m-2n-1
(C)m-2n+1 (D)m-2n+2
解析:因为lg x=m,lg y=n,
所以lg -lg()2=lg x-2lg y+2=m-2n+2.故选D.
6.(2017·上海高一月考)若lo2=a,则log123= .?
解析:lo2=a,可得2log32=a,
log123===.
答案:
7.已知3a=5b=A,若+=2,则A= .?
解析:因为3a=5b=A>0,所以a=log3A,b=log5A.
由+=logA3+logA5=logA15=2,
得A2=15,A=.
答案:
8.计算下列各题:
(1)0.008 +()2+(-16-0.75;
(2)(lg 5)2+lg 2·lg 50+.
解:(1)原式=(0.34++-24×(-0.75)=0.3+2-3+2-2-2-3=0.55.
(2)原式=(lg 5)2+lg 2·lg(2×52)+2·
=(lg 5)2+lg 2·(lg 2+2lg 5)+2
=(lg 5+lg 2)2+2=1+2.
9.已知lg 2=a,lg 3=b,则log36等于( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:log36===,故选B.
10.化简+log2,得( B )
(A)2 (B)2-2log23
(C)-2 (D)2log23-2
解析:==2-log23,所以原式=2-log23+log23-1=2-2log23.
11.下列给出了x与10x的七组近似对应值:
组号
一
二
三
四
五
六
七
x
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
10x
2
3
5
6
8
10
12
假设在上表的各组对应值中,有且仅有一组是错误的,它是第 组.?
解析:由指数式与对数式的互化可知,
10x=N?x=lg N,
将已知表格转化为下表:
组号
一
二
三
四
五
六
七
N
2
3
5
6
8
10
12
lg N
0.301 03
0.477 11
0.698 97
0.778 15
0.903 09
1.000 00
1.079 18
因为lg 2+lg 5=0.301 03+0.698 97=1,
所以第一组、第三组对应值正确.
又显然第六组正确,
因为lg 8=3lg 2=3×0.301 03=0.903 09,
所以第五组对应值正确.
因为lg 12=lg 2+lg 6=0.301 03+0.778 15=1.079 18,
所以第四组、第七组对应值正确.
所以只有第二组错误.
答案:二
12.已知a,b,c是△ABC的三边,并且关于x的二次方程x2-2x+lg(c2-b2)-2lg a+1=0有等根,试判断△ABC的形状.
解:由题意知Δ=0,
即(-2)2-4[lg(c2-b2)-2lg a+1]=0,
2lg a-lg(c2-b2)=0,
lg =0,=1,a2+b2=c2,
故△ABC是直角三角形.
13.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为R=(lg E-11.4).A地地震级别为9.0级,B地地震级别为8.0级,那么A地地震的能量是B地地震能量的 倍.?
解析:由R=(lg E-11.4),得R+11.4=lg E,
故E=1.
设A地和B地地震能量分别为E1,E2,
则==1=10.
即A地地震的能量是B地地震能量的10倍.
答案:10
【教师备用】 求值:
(1)2log2-lg 2-lg 5+;
(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18;
(3)计算:.
解:(1)2log2-lg 2-lg 5+=2×-lg 10+()=1-1+=.
(2)lg 14-2lg+lg 7-lg 18=lg[14÷()2×7÷18]=lg 1=0.
(3)分子=lg 5(3+3lg 2)+3(lg 2)2=3lg 5+3lg 2(lg 5+
lg 2)=3,
分母=(lg 6+2)-lg 6+1=3,
所以原式=1.
第一课时 对数函数的图象及性质
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对数函数的定义及性质
1,2,10,11,12,13
对数函数的图象特征
4,6,9
与对数函数有关的定义域问题
3,7,8
反函数
5
1.对数函数的图象过点M(16,4),则此对数函数的解析式为( D )
(A)y=log4x (B)y=lox
(C)y=lox (D)y=log2x
解析:设对数函数为y=logax(a>0,且a≠1),由于对数函数的图象过点M(16,4),所以4=loga16,得a=2.
所以对数函数的解析式为y=log2x,故选D.
2.下列函数①y=2x;②y=log0.5(x+1);③y=;④y=|x-1|中,在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( D )
(A)①③ (B)②③ (C)①④ (D)②④
解析:函数①y=2x在区间(0,1)上单调递增;
②y=log0.5(x+1)在区间(0,1)上单调递减;
③y=在区间(0,1)上单调递增;
④y=|x-1|在区间(0,1)上单调递减.故选D.
3.(2018·长沙高一月考)函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( C )
(A)(-∞,-1) (B)(1,+∞)
(C)(-1,1)∪(1,+∞) (D)(-∞,+∞)
解析:由题意知解得x>-1,且x≠1.故选C.
4.(2018·唐山高一检测)若函数f(x)=loga(x+b)的图象如图,其中a,b为常数,则函数g(x)=ax+b的图象大致是( D )
解析:由函数f(x)=loga(x+b)的图象可知,函数f(x)=loga(x+b)在(-b, +∞)上是减函数,所以05.若函数y=f(x)是函数y=3x的反函数,则f()的值为( B )
(A)-log23 (B)-log32 (C) (D)
解析:由题意可知f(x)=log3x,所以f()=log3=-log32,故选B.
6.函数f(x)=|lox|的单调增区间为 .?
解析:由函数f(x)=|lox|可得函数的大致图象如图所示,
所以函数的单调增区间为[1,+∞).
答案:[1,+∞)
7.函数f(x)=log2(4-x2)的定义域为 ,值域为 ,不等式f(x)>1的解集为 .?
解析:依题意得4-x2>0,解得-2所以该函数的定义域为(-2,2).
因为4-x2>0,所以(4-x2)max=4,
所以在(-2,2)上,该函数的值域为(-∞,2].
由f(x)>1得到log2(4-x2)>1,则4-x2>2,
解得-故不等式f(x)>1的解集为(-,).
答案:(-2,2) (-∞,2] (-,)
8.已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(1-x)(a>0且a≠1).
(1)设a=2,函数f(x)的定义域为[3,63],求函数f(x)的最值;
(2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围.
解:(1)当a=2时,函数f(x)=log2(x+1)为[3,63]上的增函数,
故f(x)max=f(63)=log2(63+1)=6,
f(x)min=f(3)=log2(3+1)=2.
(2)f(x)-g(x)>0,即loga(1+x)>loga(1-x).
①当a>1时,1+x>1-x>0,得0②当0综上,a>1时,x∈(0,1),09.函数y=log2|x|的图象大致是( A )
解析:因为函数y=log2|x|是偶函数,且在(0,+∞)上为增函数,结合图象可知A正确.
10.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,若当x∈(0,+∞)时,f(x)=lg x,则满足f(x)>0的x的取值范围是 .?
解析:根据题意画出f(x)的草图,由图象可知,f(x)>0的x的取值范围是-11.
答案:(-1,0)∪(1,+∞)
11.函数f(x)=log2(-1)(x>8)的值域是 .?
解析:因为x>8,所以-1>2,由于对数函数的底数2大于1,说明函数为增函数.所以f(x)>log22=1,故函数的值域为(1,+∞).
答案:(1,+∞)
12.设f(x)=
(1)求f(log2)的值;
(2)求f(x)的最小值.
解:(1)因为log2所以f(log2)===.
(2)当x∈(-∞,1]时,f(x)=2-x=()x在(-∞,1]上是减函数,所以f(x)的最小值为f(1)=.
当x∈(1,+∞)时,f(x)=(log3x-1)(log3x-2),
令t=log3x,则t∈(0,+∞),
f(x)=g(t)=(t-1)(t-2)=(t-)2-,
所以f(x)的最小值为g()=-.
综上可知,f(x)的最小值为-.
13.已知函数f(x)=2x-.
(1)若f(x)=2,求x的值;
(2)若2tf(2t)+mf(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立,求实数m的取值范围.
解:(1)当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2x-.
由条件可知2x-=2,
即22x-2·2x-1=0,
解得2x=1±.
因为2x>0,所以2x=1+,x=log2(1+).
(2)当t∈[1,2]时,2t(22t-)+m(2t-)≥0,
即m(22t-1)≥-(24t-1).
因为22t-1>0,
所以m≥-(22t+1).
因为t∈[1,2],
所以-(1+22t)∈[-17,-5].
故m的取值范围是[-5,+∞).
第二课时 对数函数的图象及性质的应用(习题课)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
对数值大小的比较
1,3
利用对数函数单调性解不等式或方程
4,9,10
对数函数性质的综合应用
5,6,7,8,11,12,13
反函数
2
1.若m∈(,1),a=lg m,b=lg m2,c=(lg m)3,则( C )
(A)a(C)b解析:因为m∈(,1),所以a=lg m<0,1>m>m2>0,
所以a>b,c=(lg m)3>lg m=a,所以c>a>b.故选C.
2.若函数y=f(x)与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)等于( A )
(A)e2x-2 (B)e2x
(C)e2x+1 (D)e2x+2
解析:若两个函数的图象关于直线y=x对称,那么这两个函数互为反函数,而y=ln+1的反函数为y=e2x-2,故选A.
3.若logm3(A)m>n>1 (B)n>m>1
(C)1>n>m>0 (D)1>m>n>0
解析:因为logm3所以0即lg 3(-)<0?lg 3()<0.
因为lg 3>0,lg m<0,lg n<0,所以lg n-lg m<0,
即lg nm>n>0.故选D.
4.已知函数f(x)=log(a-1)(2x+1)在(-,0)内恒有f(x)>0,则a的取值范围是( D )
(A)(1,+∞) (B)(0,1)
(C)(0,2) (D)(1,2)
解析:由-若f(x)>0恒成立,则05.函数f(x)=lo(x2-2x)的单调递增区间是( D )
(A)(1,+∞) (B)(2,+∞)
(C)(-∞,1) (D)(-∞,0)
解析:函数f(x)=lo(x2-2x)的定义域为
(2,+∞)∪(-∞,0),
设
函数的单调增区间即u=x2-2x的单调减区间,
u=x2-2x的单调减区间为(-∞,0).故选D.
6.若函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,则实数a的值为 .?
解析:函数f(x)=ln(x2+ax+1)是偶函数,
所以f(x)=f(-x),即ln(x2+ax+1)=ln(x2-ax+1),
所以ax=-ax在函数的定义域中总成立,所以a=0.
答案:0
7.不等式lo(4x+2x+1)>0的解集为 .?
解析:由lo(4x+2x+1)>0,得4x+2x+1<1,即(2x)2+2·2x<1,配方得(2x+1)2<2,
所以2x<-1,两边取以2为底的对数,
得x答案:(-∞,log2(-1))
8.已知函数f(x)=lg(1+x)+lg(1-x).
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)判断函数f(x)的奇偶性;
(3)求函数f(x)的值域.
解:(1)由求得-1所以函数f(x)的定义域为(-1,1).
(2)定义域关于原点对称,对于任意的x∈(-1,1),
因为f(-x)=lg(1-x)+lg(1+x)=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(3)f(x)=lg[(1+x)(1-x)]=lg(1-x2).
由x∈(-1,1)可得t=1-x2∈(0,1],
所以y≤lg 1=0,
所以函数f(x)的值域为(-∞,0].
9.已知log2b(A)()b>()a>()c
(B)()a>()b>()c
(C)()c>()b>()a
(D)()c>()a>()b
解析:因为log2ba>b,
所以()b>()a>()c.故选A.
10.(2018·许昌五校高一联考)函数f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,那么f(x)在(1,+∞)上( A )
(A)递增且无最大值 (B)递减且无最小值
(C)递增且有最大值 (D)递减且有最小值
解析:由|x-1|>0得,函数y=loga|x-1|的定义域为{x|x≠1}.
设g(x)=|x-1|=
则有g(x)在(-∞,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数.
因为f(x)=loga|x-1|在(0,1)上是减函数,
所以a>1.
所以f(x)=loga|x-1|在(1,+∞)上递增且无最大值.
11.函数y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,则m的取值范围为 .?
解析:令t=-x2+6x-5,由t>0得x∈(1,5),
因为y=lot为减函数,
所以要使y=lo(-x2+6x-5)在区间(m,m+1)上为减函数,
则需要t=-x2+6x-5在区间(m,m+1)上为增函数,
又函数t=-x2+6x-5的对称轴方程为x=3,
所以
解得1≤m≤2.
答案:[1,2]
12.已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)的图象关于原点对称,求m 的值.
解:根据已知条件,对于定义域内的一切x,都有f(-x)=-f(x),即f(-x)+f(x)=0,
所以loga+loga=0.
整理得loga=0,
所以=1,即(m2-1)x2=0.
所以m2-1=0.所以m=1或m=-1.
若m=1,=-1,f(x)无意义,
则舍去m=1,所以m=-1.
13.已知f(x)=2+log3x,x∈[1,9],求y=[f(x)]2+f(x2)的最大值以及y取最大值时x的值.
解:因为f(x)=2+log3x,
所以y=[f(x)]2+f(x2)
=(2+log3x)2+2+log3x2
=(2+log3x)2+2+2log3x
=(log3x)2+6log3x+6
=(log3x+3)2-3.
因为函数f(x)的定义域为[1,9],
所以要使函数y=[f(x)]2+f(x2)有意义,
必须满足所以1≤x≤3,
所以0≤log3x≤1.所以6≤y=(log3x+3)2-3≤13.
当log3x=1,即x=3时,y=13.
所以当x=3时,函数y=[f(x)]2+f(x2)取得最大值13.
2.3 幂函数
【选题明细表】
知识点、方法
题号
幂函数的定义
2,4,12
幂函数的图象
3,6,7,10
幂函数的性质
1,5,8,9,11,12,13,14,15
1.下列幂函数在(-∞,0)上为减函数的是( C )
(A)y= (B)y=x3
(C)y=x2 (D)y=x
解析:y=,y=x3,y=x在(-∞,0)上都是增函数,故选C.
2.幂函数f(x)=(m2-4m+4)在(0,+∞)为减函数,则m的值为( C )
(A)1或3 (B)1 (C)3 (D)2
解析:因为f(x)=(m2-4m+4)为幂函数,
所以m2-4m+4=1,
解得m=3或m=1.
由x∈(0,+∞)时幂函数为减函数,则m2-6m+8<0,
解得2所以m=3,故选C.
3.如图,曲线C1与C2分别是y=xm,y=xn在第一象限的图象,则( B )
(A)n(B)m(C)n>m>0
(D)m>n>0
解析:由题图及其单调性可得m4.若幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,则实数m等于( A )
(A)-1 (B)2
(C)3 (D)-1或2
解析:因为幂函数f(x)=(m2-m-1)x1-m是偶函数,
所以
解得m=-1.故选A.
5.三个数a=(),b=(),c=()的大小顺序是( B )
(A)c(C)a解析:因为-<-,所以a=()>b=().
因为函数f(x)=在(0,+∞)上单调递减,
所以b=()>c=(),
所以a>b>c.故选B.
6.已知幂函数f(x)=xα的图象经过点(2,),则f(4)的值等于 .?
解析:由f(x)=xα的图象经过点(2,),得=2α,所以α=-,则f(4)==2-1=.
答案:
7.函数y=xα+2(x>0)的图象恒过定点 .?
解析:由x=1,y=3得图象过定点(1,3).
答案:(1,3)
8.若幂函数f(x)的图象过点(4,),则f(x)的值域为 .?
解析:由题意设f(x)=xm,由点(4,)在函数图象上得4m=,解得m=-2.
所以f(x)=x-2=,
故其值域为(0,+∞).
答案:(0,+∞)
9.已知(m2+m≤(3-m,求实数m的取值范围.
解:设函数y=,
函数为R上的单调递增函数,
得m2+m≤-m+3,
即m2+2m-3≤0,
得(m-1)(m+3)≤0,
所以m的取值范围为m∈[-3,1].
10.下列结论中,正确的是( C )
(A)幂函数的图象都通过点(0,0),(1,1)
(B)幂函数的图象可以出现在第四象限
(C)当幂指数α取1,3,时,幂函数y=xα是增函数
(D)当幂指数α=-1时,幂函数y=xα在定义域上是减函数
解析:当幂指数α=-1时,幂函数y=x-1的图象不通过原点,故选项A不正确;因为所有的幂函数在区间(0,+∞)上都有定义,且y=xα(α∈R), y>0,所以幂函数的图象不可能出现在第四象限,故选项B不正确;当α=-1时,y=x-1在区间(-∞,0)和(0,+∞)上是减函数,但在它的定义域上不是减函数,故选项D不正确.故选C.
11.幂函数f(x)=(m2-m-1)在(0,+∞)上为减函数,则m的取值是( B )
(A)m=2 (B)m=-1
(C)m=2或m=-1 (D)-3≤m≤1
解析:因为函数f(x)=(m2-m-1)是幂函数,
所以m2-m-1=1,解得m=2,或m=-1.
又x∈(0,+∞)时f(x)为减函数,
当m=2时,m2+2m-3=5,幂函数为f(x)=x5,不满足题意;
当m=-1时,m2+2m-3=-4,幂函数为f(x)=x-4,满足题意.
综上,m=-1.故选B.
12.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为 .?
解析:由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,
解得n=1或n=-3,经检验只有n=1适合题意.
答案:1
13.已知,幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,则f(2)的值为 .?
解析:因为幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,
则指数是偶数且大于0,
因为-m2-2m+3=-(m+1)2+4≤4,
因此指数等于2或4,当指数等于2时,求得m非整数,
所以m=-1,即f(x)=x4.
所以f(2)=24=16.
答案:16
14.若不等式x2-logmx<0在(0,)内恒成立,求实数m的取值范围.
解:由x2-logmx<0,得x2要使x2在同一坐标系中作y=x2和y=logmx的草图,如图所示.
因为x=时,y=x2=,
所以只要x=时,y=logm≥=logm.
所以≤,即≤m.
又0即实数m的取值范围是[,1).
15.已知函数f(x)=+1.
(1)判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性并证明;
(2)求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
证明如下:
设x1,x2是区间(0,+∞)上任意两个实数,且x1则f(x1)-f(x2)=(+1)-(+1)=,
因为x2>x1>0,
所以x1+x2>0,x2-x1>0,(x1x2)2>0,
所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2),
所以函数f(x)在区间(0,+∞)上是减函数.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[1,3]上是减函数,
所以当x=1时,取最大值,最大值为f(1)=2,
当x=3时,取最小值,最小值为f(3)=.
第二章 检测试题
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
幂、指、对数运算
1,4,13,17
幂、指、对数函数的图象
3,7,8
幂、指、对数函数的性质
2,5,6,15,18,19
幂、指、对数函数的综合应用
9,10,11,12,14,16,20
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知log7[log3(log2x)]=0,那么等于( D )
(A) (B) (C) (D)
解析:由条件知,log3(log2x)=1,所以log2x=3,
所以x=8,所以=.
2.若幂函数y=xm是偶函数,且x∈(0,+∞)时为减函数,则实数m的值可能为( A )
(A)-2 (B)- (C) (D)2
解析:因为幂函数y=xm是偶函数,且x∈(0,+∞)时为减函数,所以m为负偶数,
所以实数m的值可能为-2.
3.函数f(x)=的图象大致为( A )
解析:y=x3+1可看作是y=x3向上平移1个单位而得到,因此可排除C,D,根据y=()x图象可知,选A.
4.若lg x-lg y=a,则lg()3-lg()3等于( A )
(A)3a (B)a (C)3a-2 (D)a
解析:lg()3-lg()3=3(lg-lg)=3[(lg x-lg 2)-(lg y-lg 2)]= 3(lg x-lg y)=3a.故选A.
5.若a=log36,b=log612,c=log816,则( D )
(A)c>b>a (B)b>c>a
(C)a>c>b (D)a>b>c
解析:a=log36=1+log32,b=log612=1+log62,
c=log816=1+log82.
因为y=log2x是增函数,
所以log28>log26>log23>log22=1,
所以log32>log62>log82,所以a>b>c.
6.若函数f(x)=是R上的增函数,则实数a的取值范围为( D )
(A)(1,+∞) (B)(1,8)
(C)(4,8) (D)[4,8)
解析:由题意得
解得4≤a<8.故选D.
7.若函数y=ax+b(a>0且a≠1)的图象经过第二、三、四象限,则有( A )
(A)01
(C)a>1,b<-1 (D)a>1,b>1
解析:因为a>1时,函数为增函数,必定过第一象限,所以当函数经过第二、三、四象限一定有08.已知函数f(x)=ax(a>0,a≠1)的反函数为g(x),且满足g(2)<0,则函数g(x+1)的图象是图中的( A )
解析:令y=f(x)=ax,则x=logay,
所以g(x)=logax.
又g(2)<0,所以09.设函数f(x)=已知f(a)>1,则实数a的取值范围是( B )
(A)(-2,1) (B)(-∞,-2)∪(1,+∞)
(C)(1,+∞) (D)(-∞,-1)∪(0,+∞)
解析:当a≤0时,f(a)=()a-3>1,解得a<-2;
当a>0时,f(a)=>1,解得a>1.
综上,a的取值范围是(-∞,-2)∪(1,+∞),故选B.
10.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=2x,则f(-2)等于( B )
(A) (B)-4 (C)- (D)4
解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-2)=-f(2)=-22=-4.
11.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图,则下列结论成立的是( D )
(A)a>1,c>1
(B)a>1,0(C)01
(D)0解析:由对数函数的性质得00时是由函数y=logax的图象向左平移c个单位得到的,所以根据题中图象可知012.设f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且它在[0,+∞)上单调递增,若a=f(lo),b=f(lo),c=f(-2),则a,b,c的大小关系是( C )
(A)a>b>c (B)b>c>a
(C)c>a>b (D)c>b>a
解析:因为1所以lo因为f(x)在[0,+∞)上单调递增,
所以f(lo)因为f(x)是偶函数,所以
a=f(lo)=f(-lo)=f(lo),
b=f(lo)=f(-lo)=f(lo),
c=f(-2)=f(2).所以c>a>b.故选C.
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.化简(log43+log83)(log32+log92)= .?
解析:原式=(+)(+)
=log23·=.
答案:
14.若函数y=f(x)是函数y=ax(a>0且a≠1)的反函数,其图象经过点(,a),则f(x)= .?
解析:y=f(x)=logax,过点(,a),代入后得loga=a,解得a=,所以函数是f(x)=lox.
答案:lox
15.若函数f(x)=2|x-a|(a∈R)满足f(1+x)=f(1-x),且f(x)在[m,+∞)上单调递增,则实数m的最小值为 .?
解析:因为f(1+x)=f(1-x),所以函数f(x)关于直线x=1对称,所以a=1,所以函数f(x)=2|x-1|的图象如图所示,因为函数f(x)在[m,+∞)上单调递增,所以m≥1,所以实数m的最小值为1.
答案:1
16.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间 [0,+∞)上单调递增.若实数a满足f(log2a)+f(loa)≤2f(1),则a的取值范围是 .?
解析:因为f(loa)=f(-log2a)=f(log2a),
所以原不等式可化为f(log2a)≤f(1).
又因为f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,
所以0≤log2a≤1,即1≤a≤2.
因为f(x)是偶函数,所以f(log2a)≤f(-1).
又f(x)在区间(-∞,0]上单调递减,
所以-1≤log2a≤0,所以≤a≤1.
综上可知≤a≤2.
答案:[,2]
三、解答题(共40分)
17.(本小题满分8分)
计算:(1)(3)-(5)0.5+0.00÷0.0×;
(2)2(lg )2+lg ·lg 5+.
解:(1)原式=()-()+()÷×=-+25××=-+2=.
(2)原式=(lg 2)2+lg 2(1-lg 2)+=(lg 2)2+lg 2-(lg 2)2+ 1-lg 2=1.
18.(本小题满分10分)
如果函数y=a2x+2ax-1(a>0且a≠1)在[-1,1]上的最大值为14,求a 的值.
解:令ax=t,则y=t2+2t-1=(t+1)2-2,其对称轴t=-1,二次函数在[-1, +∞)上单调递增,
又ax=t,且x∈[-1,1],所以t=ax∈[a-1,a](a>1)或t∈[a,a-1](0当a>1时,取t=a,即x=1时,ymax=a2+2a-1=14,解得a=3或a=-5(舍去);
当0综上,a=3或a=.
19.(本小题满分10分)
已知x满足不等式2(lox)2+7lox+3≤0,求函数f(x)=(log2)· (log2)的最大值和最小值.
解:由2(lox)2+7lox+3≤0,
可解得-3≤lox≤-,即≤x≤8,
所以≤log2x≤3.
因为f(x)=(log2x-2)(log2x-1)
=(log2x-)2-,
所以当log2x=,即x=2时,f(x)有最小值-.
当log2x=3,即x=8时,f(x)有最大值2.
所以f(x)min=-,f(x)max=2.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=.
(1)证明f(x)为奇函数;
(2)判断f(x)的单调性,并用定义加以证明;
(3)求f(x)的值域.
(1)证明:由题意知f(x)的定义域为R,
f(-x)====-f(x),
所以f(x)为奇函数.
(2)解:f(x)在定义域上是增函数.
证明如下:
任取x1,x2∈R,且x1f(x2)-f(x1)=-
=(1-)-(1-)
=.
因为x10,+1>0,+1>0,
所以f(x2)>f(x1),
所以f(x)为R上的增函数.
(3)解:f(x)==1-,
因为3x>0?3x+1>1?0<<2?-2<-<0,
所以-1<1-<1,
即f(x)的值域为(-1,1).
