第一课时 集合的含义
【选题明细表】
知识点、方法
题号
集合的概念
1,5
集合中元素的性质
2,4,7,10
元素与集合的关系
3,6,8,9,11,12,13
1.下列所给对象能构成集合的是( D )
(A)某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生能组成一个集合
(B)《数学1(必修)》课本中所有的难题能组成一个集合
(C)性格开朗的女生可以组成一个集合
(D)圆心为定点,半径为1的圆内的点能组成一个集合
解析:A、某校高一(5)班数学成绩非常突出的男生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;B.《数学1(必修)》课本中所有的难题不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;C.性格开朗的女生不确定,无法确定集合的元素,不能构成集合,故本选项错误;D.圆心为定点,半径为1的圆内的点,元素确定,能构成集合,故本选项正确.故选D.
2.若由a2,2 016a组成的集合M中有两个元素,则a的取值可以是( C )
(A)0 (B)2 016
(C)1 (D)0或2 016
解析:若集合M中有两个元素,则a2≠2 016a.
即a≠0且a≠2 016.
故选C.
3.集合M是由大于-2且小于1的实数构成的,则下列关系式正确的是( D )
(A)∈M (B)0?M
(C)1∈M (D)-∈M
解析:>1,故A错;-2<0<1,故B错;1不小于1,故C错;-2<-<1,故D正确.
4.由实数x,-x,|x|,,-所组成的集合,最多含元素( A )
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
解析:当x>0时,x=|x|=,-=-x<0,此时集合共有2个元素,
当x=0时,x=|x|==-=-x=0,此时集合共有1个元素,
当x<0时,=|x|=-x,-=-x,此时集合共有2个元素,
综上,此集合最多有2个元素,
故选A.
5.下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是( A )
(A)P是由元素1,,π构成的集合,Q是由元素π,1,|-|构成的
集合
(B)P是由π构成的集合,Q是由3.14159构成的集合
(C)P是由2,3构成的集合,Q是由有序数对(2,3)构成的集合
(D)P是满足不等式-1≤x≤1的自然数构成的集合,Q是方程x2=1的
解集
解析:由于A中P,Q的元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B,C,D中P,Q的元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合.故选A.
6.设A是方程x2-ax-5=0的解集,且-5∈A,则实数a的值为( A )
(A)-4 (B)4 (C)1 (D)-1
解析:因为-5∈A,所以(-5)2-a×(-5)-5=0,所以a=-4.故选A.
7.集合A中含有三个元素0,-1,x,且x2∈A,则实数x的值为 .?
解析:因为x2∈{-1,0,x},
所以x2=0或x2=-1或x2=x,
由x2=0,得x=0,由x2=-1得x无实数解,
由x2=x得x=0或x=1.
综上x=1,或x=0.
当x=0时,集合为{-1,0,0}不成立.
当x=1时,集合为{-1,0,1}成立.
答案:1
8.已知集合A含有三个元素1,0,x,若x2∈A,则实数x= .?
解析:因为x2∈A,所以x2=1,或x2=0,或x2=x,所以x=±1,或x=0,当x=0,或x=1时,不满足集合中元素的互异性,所以x=-1.
答案:-1
9.(2018·徐州高一期中)设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1?A,
(1)若3∈A,求A;
(2)证明:若a∈A,则1-∈A;
(3)A能否只有一个元素,若能,求出集合A,若不能,说明理由.
(1)解:因为3∈A,
所以=-∈A,
所以=∈A,
所以=3∈A,
所以A=（3,-,）.
(2)证明:因为a∈A,
所以∈A,
所以==1-∈A.
(3)解:假设集合A只有一个元素,记A={a},
则a=,
即a2-a+1=0有且只有一个解,
又因为Δ=(-1)2-4=-3<0,
所以a2-a+1=0无实数解.
与a2-a+1=0有且只有一个实数解矛盾.
所以假设不成立,即集合A不能只有一个元素.
10.由实数-a,a,|a|,所组成的集合最多含有元素( B )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:对a进行分类讨论:①当a=0时,四个数都为0,只含有一个元素;②当a≠0时,含有两个元素a,-a,所以集合中最多含有2个元素.故选B.
11.已知集合M={m|m=a+b,a,b∈Q},则下列元素中属于集合M的元素个数是( )
①m=1+π ②m= ③m= ④m=+
(A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:①m=1+π,π?Q,故m?M;
②m==2+?M;
③m==1-∈M;
④m=+=?M.
故选B.
12.已知集合A含有两个元素a和a2,若1∈A,求实数a的值.
解:因为集合A含有两个元素a和a2,且1∈A,
所以若a=1,此时a2=1,不满足元素的互异性,不成立.
若a2=1,则a=1(舍去)或a=-1,
当a=-1时,两个元素为1,-1,满足条件.故a=-1.
13.设A表示集合{2,3,a2+2a-3},B表示集合{|a+3|,2},已知5∈A且5?B.求a的值.
解:因为5∈A,5?B,
所以即
所以a=-4.
第二课时 集合的表示
【选题明细表】
知识点、方法
题号
列举法
1,7,9
描述法
2,3,4,5,8,9
集合表示法应用
6,10,11,12,13,14
1.下列命题中正确的是( C )
①0与{0}表示同一个集合
②由1,2,3组成的集合可表示为{1,2,3}或{3,2,1}
③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解组成的集合可表示为{1,1,2}
④集合{x|4
(A)只有①和④ (B)只有②和③
(C)只有② (D)只有②和④
解析:①中“0”不能表示集合,而“{0}”可以表示集合.根据集合中元素的无序性可知②正确;根据集合的互异性可知③错误;④不能用列举法表示,原因是集合中有无数个元素,不能一一列举,故选C.
2.(2018·张家口高一月考)设集合M={大于0小于1的有理数},N={小于1050的正整数},P={定圆C的内接三角形},Q={能被7整除的数},其中无限集是( B )
(A)M,N,P (B)M,P,Q (C)N,P,Q (D)M,N,Q
解析:集合M={大于0小于1的有理数},是无限集,N={小于1050的正整数},是有限集,P={定圆C的内接三角形},是无限集,Q={能被7整除的数},是无限集.故选B.
3.集合{1,3,5,7,9}用描述法表示应是( A )
(A){x|x是不大于9的非负奇数}
(B){x|x≤9,x∈N}
(C){x|1≤x≤9,x∈N}
(D){x|0≤x≤9,x∈Z}
4.集合{(x,y)|y=2x-1}表示( D )
(A)方程y=2x-1
(B)点(x,y)
(C)平面直角坐标系中的所有点组成的集合
(D)函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合
5.已知集合M={x∈N|8-x∈N},则M中元素的个数是( B )
(A)10 (B)9 (C)8 (D)无数个
解析:当x=0时,8-x=8∈N;当x=1时,8-1=7∈N;依次类推当x=0,
1,2,3,4,5,6,7,8都成立,所以M中元素的个数是9,故选B.
6.下列集合中,不是方程(x-1)x(x+1)=0解集的集合是( D )
(A){1,0,-1} (B){0,-1,1}
(C){x|x(x+1)(x-1)=0} (D){(-1,0,1)}
解析:{(-1,0,1)}表示是一个有序数组的集合,该集合只含一个元素,不是方程(x-1)x(x+1)=0的解集.
7.已知集合A={(x,y)|x2=y+1,|x|<2,x∈Z},试用列举法表示集合A= .?
解析:因为集合A={(x,y)|x2=y+1,|x|<2,x∈Z},
所以A={(-1,0),(0,-1),(1,0)}.
答案:{(-1,0),(0,-1),(1,0)}
8.-5∈{x|x2-ax-5=0},则集合{x|x2-4x-a=0}中所有元素之和为
.?
解析:因为-5∈{x|x2-ax-5=0},
所以52+5a-5=0,
所以a=-4,
所以集合{x|x2-4x-a=0}={x|x2-4x+4=0}={x|(x-2)2=0}={2}.
答案:2
9.已知集合A={x∈Z|∈Z},
(1)用列举法表示集合A;
(2)求集合A的所有元素之和.
解:(1)由∈Z,得3-x=±1,±2,±4.解得x=-1,1,2,4,5,7.
又因为x∈Z,
所以A={-1,1,2,4,5,7}.
(2)由(1)得集合A中的所有元素之和为-1+1+2+4+5+7=18.
10.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为( C )
(A)5 (B)4 (C)3 (D)2
解析:利用集合中元素的互异性确定集合.
当x=-1,y=0时,z=x+y=-1;当x=1,y=0时,z=x+y=1;当x=-1,y=2时,z=x+y=1;当x=1,y=2时,z=x+y=3,由集合中元素的互异性可知集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},即元素个数为3.
11.(2018·衡阳高一检测)已知集合A={2,0,1,4},B={k|k∈R,k2-2∈A,k-2?A},则集合B中所有元素之和为( B )
(A)2 (B)-2 (C)0 (D)
解析:当k2-2=2?k=-2或k=2,
又k-2?A,所以k=-2,
当k2-2=0?k=±,又k-2?A,
所以k=,k=-,
当k2-2=1?k=,k=-,k-2?A,
所以k=,k=-,
当k2-2=4?k=,k=-,k-2?A,
所以k=,k=-,
所以B={-2,,-,-,,,-}.
所以集合B中所有元素之和为-2.故选B.
12.(2018·湖北宜昌一中高一月考)已知集合A={a-2,2a2+5a,10},若-3∈A,则a= .?
解析:因为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3,
当a-2=-3时,a=-1,
此时2a2+5a=-3,
与元素的互异性不符,
所以a≠-1.
当2a2+5a=-3时,即2a2+5a+3=0,
解得a=-1或a=-.
显然a=-1不合题意.
当a=-时,a-2=-,满足互异性.
综上,a=-.
答案:-
13.用适当的方法表示下列集合.
(1)方程(x+1)(x-)2(x2-2)(x2+1)=0的有理根组成的集合A;
(2)被3除余1的自然数组成的集合;
(3)坐标平面内,不在第一、三象限的点的集合;
(4)自然数的平方组成的集合.
解:(1)列举法:
由(x+1)(x-)2(x2-2)(x2+1)=0,
得x=-1∈Q,x=∈Q,x=±?Q.
所以A={-1,}.
(2)描述法:{x|x=3k+1,k∈N}.
(3)描述法:坐标平面内在第一、三象限的点的特点是纵、横坐标同号,
所以不在第一、三象限的点的集合可表示为{(x,y)|xy≤0,x∈R,
y∈R}.
(4)列举法:{0,12,22,32,…};也可用描述法:{x|x=n2,n∈N}.
14.已知集合A={x∈R|ax2+2x+1=0},其中a∈R.
(1)若1∈A,用列举法表示A;
(2)若A中有且仅有一个元素,求a的值组成的集合B.
解:(1)因为1∈A,
所以1是方程ax2+2x+1=0的根.
所以a·12+2×1+1=0,即a=-3.
所以方程为-3x2+2x+1=0.
所以x1=1,x2=-,此时A={-,1}.
(2)若a=0,则方程化为2x+1=0,x=-,
A中仅有一个元素;
若a≠0,A中仅有一个元素,当且仅当Δ=4-4a=0,
即a=1,方程有两个相等的实根x1=x2=-1.
所以所求集合B={0,1}.
1.1.2集合间的基本关系
【选题明细表】
知识点、方法
题号
集合间关系的判断
1,2,3,7,8,10
子集的确定
4,5
由集合关系求参数范围
6,9,11,12,13
1.下列关系正确的是( B )
(A)0= (B)1∈{1}
(C)={0} (D)0?{0,1}
解析:对于A:0是一个元素,是一个集合,元素与集合是属于(∈)或者不属于(?)关系,二者必居其一,A不对.
对于B:1是一个元素,{1}是一个集合,1∈{1},所以B对.
对于C:是一个集合,没有任何元素,{0}是一个集合,有一个元素0,所以C不对.
对于D:0是一个元素,{0,1}是一个集合,元素与集合是属于(∈)或者不属于(?)关系,二者必居其一,D不对.故选B.
2.集合A={2n+1|n∈Z},集合B={4k±1|k∈Z},则A与B间的关系是( D )
(A)A∈B (B)AB (C)A?B (D)A=B
解析:因为整数包括奇数与偶数,所以n=2k或2k-1(k∈Z),当n=2k时,2n+1=4k+1,当n=2k-1时,2n+1=4k-1,故A=B.
3.下列关于的说法正确的是( D )
(A)0∈ (B)∈{0}
(C){0}? (D)?{0}
解析: 是不含任何元素的集合,
所以0?,?{0}.故选D.
4.已知非空集合M满足:对任意x∈M,总有x2?M且?M,若M?{0,1,2,
3,4,5},则满足条件M的个数是( A )
(A)11 (B)12 (C)15 (D)16
解析:由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集,有15个,且2,4不同时出现,同时出现有4个,故满足题意的M有11个.故选A.
5.(2018·石家庄二中高一月考)定义集合运算A⊕B={c|c=a+b,a∈A,b∈B},设A={0,1,2},B={3,4,5},则集合A⊕B的真子集个数为( B )
(A)63 (B)31 (C)15 (D)16
解析:当a=0时,b=3或4或5,则c=3或4或5共3个值;当a=1时,b=3或4或5,则c=4或5或6共3个值;当a=2时,b=3或4或5,则c=5或6或7共3个值,所以A⊕B={3,4,5,6,7},则集合A⊕B的真子集个数为25-1=31(个).故选B.
6.设A={x|2(A){m|m>3} (B){m|m≥3}
(C){m|m<3} (D){m|m≤3}
解析:A={x|2将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≥3.
7.(2018·钦州高一月考)下列集合中,表示同一集合的是( B )
(A)M={(3,2)},N={(2,3)}
(B)M={3,2},N={2,3}
(C)M={(x,y)|x+y=1},N={y|x+y=1}
(D)M={1,2},N={(1,2)}
解析:A中,M,N都是点集,但(2,3)与(3,2)是不同点,故M≠N;
B中,M,N都是数集,且元素相同,故M=N,
C中,M是点集,N是数集,故M≠N,
D中,M是数集,N是点集,故M≠N.
故选B.
8.若集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|=0},则集合A与B的关系为 .?
解析:A={1,2},B={1},
所以BA.
答案:BA
9.已知集合A={x|x2-4x+3=0},B={x|mx-3=0},且B?A,求实数m的
集合.
解:由x2-4x+3=0,得x=1或x=3.
所以集合A={1,3}.
(1)当B=时,此时m=0,满足B?A.
(2)当B≠时,则m≠0,B={x|mx-3=0}={}.
因为B?A,所以=1或=3,
解之得m=3或m=1.
综上可知,所求实数m的集合为{0,1,3}.
10.已知集合A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=-,b∈Z},C={x|x=+,c∈Z},则A,B,C之间的关系是( B )
(A)A=BC (B)AB=C
(C)ABC (D)BC=A
解析:将三个集合同时扩大6倍,再来看A={x|x=6a+1},B={x|x=3b-
2},C={x|x=3c+1},
故B=C,而A的周期为6,很明显真包含于B,C的,所以AB=C.故选B.
11.已知集合A={-1,3,m},集合B={3,4},若B?A,则实数m= .?
解析:因为B?A,A={-1,3,m},所以m=4.
答案:4
12.已知集合A={x|1解:(1)当a=0时,A=,满足A?B.
(2)当a>0时,A={x|又因为B={x|-1所以所以a≥2.
(3)当a<0时,A={x|因为A?B,所以所以a≤-2.
综上所述,a的取值范围为{a|a≥2,或a≤-2,或a=0}.
13.设集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则满足B?A的实数m的值组成的集合为 .?
解析:因为A={x|x2+x-6=0}={-3,2},又因为B?A,
当m=0,mx+1=0无解,故B=,满足条件,
若B≠,则B={-3},或B={2},
即m=,或m=-,
故满足条件的实数m∈{0,,-}.
答案:{0,,-}
第一课时 并集、交集
【选题明细表】
知识点、方法
题号
并集、交集的简单运算
1,2,4,7
含参数集合的并集、交集运算
5,10
已知集合的交集、并集求参数
6,12
并集、交集性质的应用
3,8,9,11,13
1.设集合M={y|y=x2+1,x∈R},N={y|y=-x2+1,x∈R},则M∩N是( C )
(A){0,1} (B){(0,1)}
(C){1} (D)以上都不对
解析:M∩N={y|y≥1}∩{y|y≤1}={1},选C.
2.已知集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},C={3,7,8},则(A∩B)∪C等于( C )
(A){0,1,2,6,8} (B){3,7,8}
(C){1,3,7,8} (D){1,3,6,7,8}
解析:因为集合A={0,1,2,3,4,5},B={1,3,6,9},
所以A∩B={1,3},
因为C={3,7,8},
所以(A∩B)∪C={1,3,7,8},故选C.
3.满足{1,3}∪A={1,3,5}的所有集合A的个数是( D )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:因为{1,3}∪A={1,3,5},
所以1和3可能是集合A的元素,5一定是集合A的元素,
则集合A可能是{5},{1,5},{3,5},{1,5,3}共4个.
故选D.
4.(2018·重庆市第一中学高一月考)设集合A={(x,y)|x+y=1},
B={(x,y)|2x-y=-4},则A∩B等于( D )
(A){x=-1,y=2} (B)(-1,2)
(C){-1,2} (D){(-1,2)}
解析:由得
所以A∩B={(-1,2)},故选D.
5.已知集合A={1,3,m2},B={1,m},A∪B=A,则m等于( B )
(A)3 (B)0或3 (C)1或0 (D)1或3
解析:因为B∪A=A,所以B?A,
因为集合A={1,3,m2},B={1,m},
所以m=3,或m2=m,
所以m=3或m=0.故选B.
6.设集合A={x|x2-(a+3)x+3a=0},B={x|x2-5x+4=0},集合A∪B中所有元素之和为8,则实数a的取值集合为( D )
(A){0} (B){0,3}
(C){1,3,4} (D){0,1,3,4}
解析:解方程x2-5x+4=0得x=4或1,所以B={1,4},
解方程x2-(a+3)x+3a=0得x=3或a,
所以A={3}或{3,a},
因为1+4+3=8,所以A={3}或{3,0}或{3,1}或{3,4}.
所以a=0或1或3或4.故选D.
7.(2018·桂林一中高一期中)若集合A={x|2x+1>0},B={x|2x-1<2},则A∩B= .?
解析:由A中不等式解得x>-,
即A={x|x>-},
由B中不等式解得x<,
即B={x|x<},
则A∩B={x|-答案:{x|-8.已知集合A={x|1≤x≤2},B={x|x解析:根据题意,集合A={x|1≤x≤2},
若A∩B=A,则有A?B,必有a>2,
若A∩B=,必有a≤1.
答案:{a|a>2} {a|a≤1}
9.集合A,B各有两个元素,A∩B中有一个元素,若集合C同时满足:
(1)C?(A∪B),(2)C?(A∩B),则满足条件C的个数为( D )
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析:设A={a,b},B={b,c},由(1)知C?{a,b,c},由(2)知{b}?C,
所以C中必有元素b,则C的个数为22=4,故选D.
10.设A={x|2x2-px+q=0},B={x|6x2+(p+2)x+5+q=0},若A∩B={},则
A∪B等于( A )
(A){,,-4} (B){,-4}
(C){,} (D){}
解析:由A∩B={}知,∈A,∈B,
所以?
所以A={x|2x2+7x-4=0}={-4,},
B={x|6x2-5x+1=0}={,}.
显然,A∪B={,,-4}.故选A.
11.已知集合A={4,5,2},B={4,m},若A∪B=A,则m= .?
解析:因为A∪B=A,所以B?A.
又A={4,5,2},B={4,m}.
所以m=5或m=2.
由m=2知m=0或m=4.
当m=4时与集合中元素的互异性矛盾,故m=0或5.
答案:0或5
12.已知集合A={x|2a+1≤x≤3a-5},B={x|x<-1,或x>16},若A?(A∩B),求实数a的取值范围.
解:因为A?(A∩B),且(A∩B)?A,
所以A∩B=A,即A?B.
显然A=满足条件,此时a<6.
若A≠,如图所示,
则或
由解得a∈;
由解得a>.
综上,满足条件A?(A∩B)的实数a的取值范围是{a|a<6,或a>}.
13.已知集合A={x|2m-1理由.
解:若A∩B=,分A=和A≠讨论:
(1)若A=,则2m-1≥3m+2,
解得m≤-3,此时A∩B=;
(2)若A≠,要使A∩B=,
则应有即所以-≤m≤1.
综上,当A∩B=时,m≤-3或-≤m≤1,
所以当m取值范围为{m|-31}时,A∩B≠.
第二课时补集及综合应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
补集的运算
1,3
集合的交、并、补集综合运算
2,4,5,9,12
Venn图的应用
6,7
综合应用
8,10,11,13,14
1.设全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,2},则?U A 等于( B )
(A){1,2} (B){3,4,5}
(C){1,2,3,4,5} (D)
解析:因为U={1,2,3,4,5},A={1,2},
所以?U A={3,4,5}.
2.已知集合A,B,全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},B={1,2},则A∩(?UB)等于( A )
(A){3} (B){4} (C){3,4} (D)
解析:因为全集U={1,2,3,4},且?U(A∪B)={4},
所以A∪B={1,2,3},
因为B={1,2},
所以?UB={3,4},
A={3}或{1,3}或{3,2}或{1,2,3}.
所以A∩(?UB)={3}.故选A.
3.设全集U={x|x>1},集合A={x|x>2},则?UA等于( A )
(A){x|1(C){x|x>2} (D){x|x≤2}
解析:画出数轴可知,?UA={x|14.设集合A={1,2,3,4},B={3,4,5},全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)的元素个数有( C )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:A∪B={1,2,3,4,5},A∩B={3,4},
所以?U(A∩B)={1,2,5}.故选C.
5.已知全集S={x∈N+|-2(A)M∪P (B)M∩P
(C)(?SM)∪(?SP) (D)(?SM)∩(?SP)
解析:因为S={1,2,3,4,5,6,7,8},所以?SM={1,2,6,7,8},?SP=
{2,4,5,7,8},所以(?SM)∩(?SP)={2,7,8},选D.
6.已知集合U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3},B={2,4,5},则图中阴影部分表示的集合是( D )
(A){2,4,6} (B){1,3,5} (C){2,6} (D){1,6}
解析:阴影部分可表示为?U(A∪B),
因为A∪B={2,3}∪{2,4,5}={2,3,4,5},
所以?U(A∪B)={1,6}.故选D.
7.已知全集U=N*,集合A={x|x=2n,n∈N*},B={x|x=4n,n∈N*},则( C )
(A)U=A∪B (B)U=(?UA)∪B
(C)U=A∪(?UB) (D)U=(?UA)∪(?UB)
解析:由题意易得BA,画出如图所示的示意图,显然U=A∪(?U B),故选C.
8.已知U=R,A={x|a≤x≤b},?U A={x|x<3或x>4},则ab= .?
解析:因为A∪(?U A)=R,
所以a=3,b=4,
所以ab=12.
答案:12
9.已知R为实数集,集合A={x|1≤x≤2},若B∪(?RA)=R,B∩(?RA)=
{x|0解:因为A={x|1≤x≤2},
所以?RA={x|x<1,或x>2}.
又B∪(?RA)=R,A∪?RA=R,可得A?B.
而B∩(?RA)={x|0所以{x|0借助于数轴可得
B=A∪{x|010.已知全集U={x|-2 016≤x≤2 016},A={x|0(A)a<2 016 (B)a≤2 016
(C)a≥2 016 (D)0解析:因为?UA≠U,所以A≠,
所以a>0,
又A是全集U的子集,故还应有a≤2 016.
所以011.设集合M={x|x=3k,k∈Z},P={x|x=3k+1,k∈Z},Q={x|x=3k-1,k∈Z},则?Z(P∪Q)等于( A )
(A)M (B)P (C)Q (D)
解析:集合M={x|x=3k,k∈Z}表示3的倍数构成的集合,
集合P={x|x=3k+1,k∈Z}表示除以3余数为1的整数构成的集合,
Q={x|x=3k-1,k∈Z}={x|x=3n+2,n∈Z},表示除以3余数为2的整数构成的集合,
故P∪Q表示除以3余数为1或余数为2的整数构成的集合,?Z(P∪Q)=
M.故选A.
12.全集U=R,A={x|x<-3或x≥2},B={x|-12}= (用A,B或其补集表示).?
解析:如图所示,
由图可知C??UA,且C?B,
所以C=B∩(?UA).
答案:B∩(?UA)
13.已知集合A={x|x2+ax+12b=0}和B={x|x2-ax+b=0},满足(?RA)∩B={2},A∩(?RB)={4},求实数a,b的值.
解:由条件(?RA)∩B={2}和A∩(?RB)={4},知2∈B,但2?A;4∈A,但
4?B.
将x=2和x=4分别代入B,A两集合中的方程得
即
解得a=,b=-即为所求.
14.设全集U=R,M={x|3a解:?UP={x|x<-2或x>1},
因为M?UP,
所以分M=,M≠两种情况讨论.
(1)M≠时,如图可得
或
所以a≤-或≤a<5.
(2)M=时,应有3a≥2a+5?a≥5.
综上可知,a≥或a≤-.
第一课时 函数的概念
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数概念的理解
1,2,8,11
函数图象的特征
3,5,6,9
函数的定义域
4,7,10,12
1.下列四种说法中,不正确的是( B )
(A)在函数值域中的每一个数,在定义域中都至少有一个数与之对应
(B)函数的定义域和值域一定是无限集合
(C)定义域和对应关系确定后,函数的值域也就确定了
(D)若函数的定义域中只含有一个元素,则值域也只含有一个元素
解析:根据函数的概念可知B不正确.
2.下列给出的四组函数是同一个函数的是( C )
(A)f(x)=x,g(x)=()2 (B)f(x)=x,g(x)=
(C)f(x)=x,g(x)= (D)f(x)=1,g(x)=x0
解析:对于A,f(x)=x的定义域为R,g(x)=()2的定义域为{x|x≥0},两函数定义域不相同,所以不是同一个函数;对于B,g(x)==|x|,它与f(x)=x的对应法则不一样,所以不是同一个函数;对于C,g(x)=
=x,它与f(x)=x是同一个函数;对于D,g(x)=x0=1,其定义域为{x|
x≠0},它与f(x)=1的定义域不同.
3.下列各图中,可表示函数y=f(x)的图象的只可能是图中的( A )
解析:根据函数的定义可知,B,C,D对应的图象不满足y值的唯一性,故A正确.故选A.
4.函数f(x)=+的定义域为( D )
(A){x|x≤-1} (B){x|x≥-1}
(C)R (D){x|-1≤x<1或x>1}
解析:由解得故定义域为{x|-1≤x<1或x>1},故选D.
5.甲、乙两人在一次赛跑中,从同一地点出发,路程s与时间t的函数关系如图所示,则下列说法正确的是( D )
(A)甲比乙先出发
(B)乙比甲跑的路程多
(C)甲、乙两人的速度相同
(D)甲比乙先到达终点
解析:从图中直线看出s甲=s乙;甲、乙同时出发,跑了相同的路程,甲先于乙到达.故选D.
6.下列图象中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,以N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( C )
解析:由选项可知B不是以M为定义域的函数,D不是函数,A的值域不是N,只有C符合题意,故选C.
7.已知函数f(x)的定义域是{x|0≤x≤2},则函数g(x)=f(x+)+f(x-)的定义域是( D )
(A){x|0≤x≤2} (B){x|-≤x≤}
(C){x|≤x≤} (D){x|≤x≤}
解析:因为f(x)的定义域是[0,2],所以
即
所以≤x≤,故选D.
8.已知一个函数的解析式为y=x2,它的值域为{1,4},这样的函数有
个.?
解析:因为一个函数的解析式为y=x2,它的值域为{1,4},
所以函数的定义域可以为{1,2},{-1,2},{1,-2},{-1,-2},{1,-1,2},
{-1,1,-2},{1,2,-2},{-1,2,-2},{1,-1,-2,2},共9种可能,故这样的函数共9个.
答案:9
9.某同学骑车上学,离开家不久,发现作业本忘家里了,于是返回家找到作业本再上学,为了赶时间快速行驶.如图中横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离.则较符合该同学走法的图是( D )
解析:坐标系中,横轴表示出发后的时间,纵轴表示离学校的距离.
据此,将该同学上学的过程分为四个时间段:
①第一时间段,该同学从家出发往学校走,随时间的增长,他到学校的距离越来越小,图象呈现减函数的趋势;
②第二时间段,该同学在中途返回家里,随时间的增长,他到学校的距离越来越大,图象呈现增函数的趋势;
③第三时间段,该同学停在家里找作业本,此时他到学校的距离不变,是一个常数,图象呈现水平的线段;
④第四时间段,该同学从家出发,急速往学校跑,随时间的增长,他到学校的距离越来越小,而且由于他跑的速度很快,故图象呈现“直线下降”的锐减趋势.
由以上分析,可知符合题意的图象是D.故选D.
10.已知函数f(x+3)的定义域为[-2,4),则函数f(2x-3)的定义域为 .?
解析:函数f(x+3)的定义域为[-2,4),
所以x∈[-2,4),
所以1≤x+3<7,
对于函数f(2x-3),1≤2x-3<7,即2≤x<5,
所以函数y=f(2x-3)的定义域为{x|2≤x<5}.
答案:{x|2≤x<5}
11.下列的对应关系f是集合A到集合B的函数的是 .?
(1)A={1,2,3},B={7,8,9},f(1)=f(2)=7,f(3)=8.
(2)A=B={1,2,3},f(x)=2x-1.
(3)A=B={x|x≥-1},f(x)=2x+1.
(4)A=Z,B={-1,1},n为奇数时,f(n)=-1,n为偶数时,f(n)=1.
解析:根据函数的概念判断:
(1)满足集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应,故正确;
(2)集合A中元素3在集合B中没有元素对应,故不正确;
(3)满足集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的元素与它对应,故正确;
(4)满足集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一元素与它对应,故正确.
答案:(1)(3)(4)
12.已知集合A={1,2,3,k},B={4,7,a4,a2+3a},a∈N*,k∈N*,x∈A,y∈B,f:x→y=3x+1是从定义域A到值域B的一个函数,求a,k,A,B.
解:根据对应关系f,有1→4;2→7;3→10;k→3k+1.
若a4=10,则a?N*,不符合题意,舍去;
若a2+3a=10,则a=2(a=-5不符合题意,舍去).
故3k+1=a4=16,得k=5.
综上,a=2,k=5,集合A={1,2,3,5},B={4,7,10,16}.
【教师备用】 已知函数f(x)=-的定义域是集合A,函数g(x)=
+的定义域是集合B,若A∪B=A,求实数a的取值范围.
名师点拨:求解本题首先应根据函数解析式的特征求出函数的定义域A,B,再根据A∪B=A,将问题转化为B?A.
由于B是函数的定义域不可能为,因此不需考虑B为的特殊情况.
解:要使函数f(x)有意义,需
解得-1所以A={x|-1要使函数g(x)有意义,需即
由于函数的定义域不是空集,
所以有2a即a<1,所以B={x|2a由于A∪B=A,所以B?A.
则有解得-≤a≤0.
所以实数a的取值范围是{a|-≤a≤0}.
第二课时 函数概念的应用
【选题明细表】
知识点、方法
题号
区间的表示
1,6,11
函数相等的判定及应用
2,5,9
求函数值或值域
3,4,7,8,10,12,13
1.区间(2m-1,m+1)中m的取值范围是( B )
(A)(-∞,2] (B)(-∞,2)
(C)(2,+∞) (D)[2,+∞)
解析:由区间的定义可知2m-12.下列各组函数中,表示同一函数的是( D )
(A)y=x+1和y=
(B)y=和y=()2
(C)f(x)=x2和g(x)=(x+1)2
(D)f(x)=和g(x)=
解析:只有D是相同的函数,A与B中定义域不同,C是对应法则不同.
3.已知函数f(x)=,则f()等于( D )
(A) (B) (C)a (D)3a
解析:f()==3a.
4.函数y=x2-4x+1,x∈[1,5]的值域是( D )
(A)[1,6] (B)[-3,1]
(C)[-3,+∞) (D)[-3,6]
解析:对于函数y=x2-4x+1,它的图象是开口向上的抛物线.
对称轴x=-=2,所以函数在区间[1,5]上面是先减到最小值再递
增的.
所以在区间上的最小值为f(2)=-3.又f(1)=-25.若函数f(x)=()2与g(x)=x(x∈D)是相等函数,则D可以是( C )
(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)
(C)[0,+∞) (D)(-∞,0]
解析:函数f(x)的定义域为[0,+∞),即D=[0,+∞).故选C.
6.函数f(x)=+的定义域是( B )
(A)[-3,]
(B)[-3,-)∪(-,)
(C)[-3,)
(D)[-3,-)∪(-,]
解析:由题意得
解得-3≤x<且x≠-,故选B.
7.函数y=的值域是 .?
解析:因为0≤16-x2≤16,所以∈[0,4].
答案:[0,4]
8.函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的定义域为 ,值域为 .?
解析:由f(x)的图象可知-5≤x≤5,-2≤y≤3.
答案:[-5,5] [-2,3]
9.下列各组函数中,f(x)与g(x)表示相等函数的是( A )
(A)f(x)=,g(x)=()2
(B)f(x)=|x|,g(x)=
(C)f(x)=2x,g(x)=
(D)f(x)=x2,g(x)=（）-2
解析:选项B中g(x)=x与f(x)的对应法则不同,选项C中对应法则不同,选项D中定义域不同,故选A.
10.(2018·淄博高一期末)已知函数y=x2的值域是[1,4],则其定义域不可能是( B )
(A)[1,2] (B)[-,2]
(C)[-2,-1] (D)[-2,-1)∪{1}
解析:根据函数y=x2在[1,2]上单调递增,故函数的值域是[1,4],故选项A正确;
根据函数y=x2在[-,0]上单调递减,在[0,2]上单调递增,故函数的值域是[0,4],故选项B不正确;
根据函数y=x2在[-2,-1]上单调递减,故函数的值域是[1,4],故选项C正确;
根据函数y=x2在[-2,-1)上单调递减,则函数在[-2,-1)∪{1}上的值域是[1,4],故选项D正确.
11.若函数f(x)的定义域为[2a-1,a+1],值域为[a+3,4a],则a的取值范围是 .?
解析:由题意知,解之得1答案:(1,2)
12.试求下列函数的定义域与值域:
(1)f(x)=(x-1)2+1;
(2)y=;
(3)y=x-.
解:(1)函数的定义域为R,因为(x-1)2+1≥1,所以函数的值域为{y|
y≥1}.
(2)函数的定义域为{x|x≠1},y==5+,所以函数的值域为{y|
y≠5}.
(3)要使函数式有意义,需x+1≥0,即x≥-1,故函数的定义域为{x|
x≥-1}.设t=,则x=t2-1(t≥0),于是y=t2-1-t=(t-)2-,又t≥0,故y≥-,所以函数的值域为{y|y≥-}.
13.已知xy<0,并且4x2-9y2=36.由此能否确定一个函数关系y=f(x)?如果能,求出其解析式、定义域和值域;如果不能,请说明理由.
解:xy<0?或
因为4x2-9y2=36,故y2=x2-4.
又?x>3或?x<-3.
因此能确定一个函数关系y=f(x).其定义域为(-∞,-3)∪(3,+∞),且不难得到其值域为(-∞,0)∪(0,+∞).
第一课时 函数的表示法
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数解析式的求法
3,8,11
函数的表示方法
1,2,9
函数表示法的应用
4,5,6,7,10,12
1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元,若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为( D )
(A)y=2x
(B)y=2x(x∈R)
(C)y=2x(x∈{1,2,3,…})
(D)y=2x(x∈{1,2,3,4})
解析:题中已给出自变量的取值范围,x∈{1,2,3,4},故选D.
2.如图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知,下列说法中错误的是( C )
(A)这天15时的温度最高
(B)这天3时的温度最低
(C)这天的最高温度与最低温度相差13℃
(D)这天21时的温度是30℃
解析:这天的最高温度与最低温度相差为36-22=14℃,故C错.
3.已知f(x-1)=x2+4x-5,则f(x)的表达式是( A )
(A)f(x)=x2+6x
(B)f(x)=x2+8x+7
(C)f(x)=x2+2x-3
(D)f(x)=x2+6x-10
解析:法一 设t=x-1,则x=t+1,
因为f(x-1)=x2+4x-5,
所以f(t)=(t+1)2+4(t+1)-5=t2+6t,f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
法二 因为f(x-1)=x2+4x-5=(x-1)2+6(x-1),
所以f(x)=x2+6x,
所以f(x)的表达式是f(x)=x2+6x.
故选A.
4.如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有( A )
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
解析:对于第一幅图,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其他均正确.
5.已知函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),则函数y=-f(x)的图象一定过点( D )
(A)(2,-2) (B)(2,2) (C)(-4,2) (D)(4,-2)
解析:因为函数y=f(x+1)的图象过点(3,2),
所以f(4)=2,
所以函数y=-f(x)的图象一定过点(4,-2).故选D.
6.一等腰三角形的周长是20,底边长y是关于腰长x的函数,则它的解析式为( D )
(A)y=20-2x (B)y=20-2x(0(C)y=20-2x(5≤x≤10) (D)y=20-2x(5解析:由题意得y+2x=20,
所以y=20-2x,
又2x>y,即2x>20-2x,即x>5,
由y>0即20-2x>0得x<10,
所以57.已知f(2x+1)=x2-2x,则f(3)= .?
解析:法一 因为f(2x+1)=x2-2x,
设2x+1=t,则x=,
所以f(t)=()2-2×=t2-t+,
所以f(3)=×32-×3+=-1.
法二 因为f(2x+1)=x2-2x,令2x+1=3,
解得x=1,
所以f(3)=12-2×1=-1.
答案:-1
8.已知f(x)=2x+3,g(x+2)=f(x),则g(x)= .?
解析:由已知得g(x+2)=2x+3,令t=x+2,则x=t-2,代入g(x+2)=2x+3,
则有g(t)=2(t-2)+3=2t-1.所以g(x)=2x-1.
答案:2x-1
9.已知函数f(x)=(a,b为常数,且a≠0)满足f(2)=1,且f(x)=x有唯一解,求函数y=f(x)的解析式和f(f(-3))的值.
解:因为f(2)=1,所以=1,
即2a+b=2,①
又因为f(x)=x有唯一解,即=x有唯一解,
所以ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根,
所以Δ=(b-1)2=0,即b=1.
代入①得a=.
所以f(x)==.
所以f(f(-3))=f()=f(6)==.
10.定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),
f(1)=2,则f(-3)等于( B )
(A)12 (B)6 (C)3 (D)2
解析:令x=y=0,得f(0)=0;
令x=y=1,得f(2)=2f(1)+2=6;
令x=2,y=1,得f(3)=f(2)+f(1)+4=12;
令x=3,y=-3,得0=f(3-3)=f(3)+f(-3)-18=12+f(-3)-18,
所以f(-3)=6.故选B.
11.(1)已知f(+2)=x+1,求f(x);
(2)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).
解:(1)已知f(+2)=x+1,
令t=+2,(t≠2)
则x=.
那么f(+2)=x+1转化为f(t)=+1=(t≠2),所以f(x)=(x≠2).
(2)f(x)是一次函数,设f(x)=kx+b(k≠0),
因为3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,
则有3(kx+k+b)-2(kx-k+b)=2x+17.
化简得kx+5k+b=2x+17,由
解得k=2,b=7.
所以一次函数f(x)=2x+7.
12.某企业生产某种产品时的能耗y与产品件数x之间的关系式为y=ax+.且当x=2时,y=100;当x=7时,y=35.且此产品生产件数不超过20件.
(1)写出函数y关于x的解析式;
(2)用列表法表示此函数,并画出图象.
解:(1)将
代入y=ax+中,
得??
所以所求函数解析式为y=x+(x∈N,0(2)当x∈{1,2,3,4,5,…,20}时,列表:
x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
y
197
100
68.3
53
44.2
38.7
35
32.5
30.8
29.6
x
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
y
28.8
28.3
28.1
28
28.1
28.3
28.5
28.9
29.3
29.8
依据上表,画出函数y的图象如图所示,是由20个点构成的点列.
第二课时 分段函数与映射
【选题明细表】
知识点、方法
题号
分段函数的解析式
11,13
分段函数的求值
2,5,8,10,12
分段函数的图象
4,12
映射
1,3,6,7,9
1.下列各对应中,构成映射的是( D )
解析:选项A,C中集合A中的元素1,在集合B中有2个元素与之对应;选项B中集合A中的元素2在集合B中无元素与之对应,所以都不是映射,只有D项符合映射的定义.故选D.
2.下列给出的函数是分段函数的是( B )
①f(x)=
②f(x)=
③f(x)=
④f(x)=
(A)①② (B)①④ (C)②④ (D)③④
解析:对于②取x=2,f(2)=3或4,对于③取x=1,f(1)=5或1,所以②③都不合题意.故选B.
3.a,b是实数,集合M={,1},N={a,0},映射f:x→x即将集合M中的元素x映射到N中仍是x,则a+b的值等于( A )
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)±1
解析:由已知得b=0,a=1,所以a+b=1.故选A.
4.函数y=x|x|的图象是( D )
解析:因为y=x|x|=根据二次函数图象可知D正确,故选D.
5.(2018·德州高一检测)已知函数f(x)=则f(1)-f(3)等于( B )
(A)-2 (B)7 (C)27 (D)-7
解析:f(1)=f(1+3)=f(4)=42+1=17,
f(3)=32+1=10,所以f(1)-f(3)=7.故选B.
6.下列对应法则是从集合A到集合B的映射的是( D )
(A)A=R,B={y|y>0},f:x→y=|x|
(B)A={x|x≥0},B={y|y>0},f:x→y=
(C)A=N,B=N*,f:x→y=|x-1|
(D)A=R,B={y|y≥0},f:x→y=x2-2x+2
解析:A中当x=0时,y=0?B.同理B错,C中,当x=1时,y=0?B,故C不正确;由于x2-2x+2=(x-1)2+1≥1,故D正确.
7.已知A=B={(x,y)|x∈R,y∈R},从A到B的映射f:(x,y)→(x+y,
x·y),A中元素(x,y)与B中元素(4,-5)对应,则此元素为 .?
解析:依题意可得
所以或
答案:(5,-1)或(-1,5)
8.设函数f(x)=若f(x0)>1,则x0的取值范围是 .?
解析:当x0≤0时,由-x0-1>1,得x0<-2,
当x0>0时,由>1,得x0>1.
所以x0的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)
9.集合A={a,b},B={-1,0,1},从A到B的映射f:A→B满足 f(a)+
f(b)=0,那么这样的映射f:A→B的个数是( B )
(A)2 (B)3 (C)5 (D)8
解析:(1)a,b都对应0时,f(a)+f(b)=0,有一个;
(2)a,b两个一个对应1,一个对应-1时,f(a)+f(b)=0,有两个,所以共有3个.故选B.
10.若定义运算a☉b=则函数f(x)=x☉(2-x)的值域是
.?
解析:由题意得f(x)=结合函数f(x)的图象得值域是
(-∞,1].
答案:(-∞,1]
11.某在校大学生提前创业,想开一家服装专卖店,经过预算,店面装修费为10 000元,每天需要房租水电等费用100元,受营销方法、经营信誉度等因素的影响,专卖店销售总收入P与店面经营天数x的关系是P(x)=则总利润最大时店面经营天数是 .?
解析:设总利润为L(x),
则L(x)=
则L(x)=
当0≤x<300时,L(x)max=10 000,
当x≥300时,L(x)max=5 000,
所以总利润最大时店面经营天数是200.
答案:200
12.已知函数f(x)=
(1)求f(f(f(5)))的值;
(2)画出函数的图象.
解:(1)因为5>4,所以f(5)=-5+2=-3.
因为-3<0,所以f(f(5))=f(-3)=-3+4=1.
因为0<1<4,
所以f(f(f(5)))=f(1)=12-2×1=-1,
即f(f(f(5)))=-1.
(2)图象如图所示.
13.某村电费收取有以下两种方案供农户选择:
方案一:每户每月收管理费2元,月用电不超过30度时,每度0.5元,超过30度时,超过部分按每度0.6元收取.
方案二:不收管理费,每度0.58元.
(1)求方案一收费L(x)元与用电量x(度)间的函数关系;
(2)老王家九月份按方案一交费35元,问老王家该月用电多少度?
(3)老王家月用电量在什么范围时,选择方案一比选择方案二更好?
解:(1)当0≤x≤30时,L(x)=2+0.5x,
当x>30时,
L(x)=2+30×0.5+(x-30)×0.6=0.6x-1,
所以L(x)=(注:x也可不取0)
(2)当0≤x≤30时,由L(x)=2+0.5x=35得x=66,舍去.
当x>30时,由L(x)=0.6x-1=35得x=60.
所以老王家该月用电60度.
(3)设按方案二收费为F(x)元,则F(x)=0.58x.
当0≤x≤30时,由L(x)所以x>25,所以25当x>30时,由L(x)所以x<50,所以30综上,25故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含25度、50度)时,选择方案一比方案二更好.
第一课时 函数的单调性
【选题明细表】
知识点、方法
题号
函数单调性概念
1,2
函数单调性的判定、证明
3,7,9,12
函数单调性的应用
4,5,6,8,10,11,13
1.函数y=x2+x+1(x∈R)的单调递减区间是( C )
(A)[-,+∞) (B)[-1,+∞)
(C)(-∞,-] (D)(-∞,+∞)
解析:y=x2+x+1=(x+)2+,其对称轴为x=-,在对称轴左侧单调递减,所以当x≤-时单调递减.故选C.
2.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x),则下列关于函数f(x)的说法错误的是( C )
(A)函数在区间[-5,-3]上单调递增
(B)函数在区间[1,4]上单调递增
(C)函数在区间[-3,1]∪[4,5]上单调递减
(D)函数在区间[-5,5]上没有单调性
解析:若一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接.故选C.
3.在区间(0,+∞)上不是增函数的是( C )
(A)y=2x+1 (B)y=3x2+1
(C)y= (D)y=2x2+x+1
解析:由反比例函数的性质可得,y=在区间(0,+∞)上是减函数,故满足条件.故选C.
4.函数f(x)=|x|-3的单调增区间是( B )
(A)(-∞,0) (B)(0,+∞)
(C)(-∞,3) (D)(3,+∞)
解析:根据题意,f(x)=|x|-3=其图象如图所示,则其单调增区间是(0,+∞).故选B.
5.已知函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则实数a的取值范围是( A )
(A)(-∞,4] (B)(-∞,4)
(C)[4,+∞) (D)(4,+∞)
解析:若使函数f(x)=2x2-ax+5在区间[1,+∞)上是单调递增函数,则对称轴应满足≤1,所以a≤4,选A.
6.已知函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,则满足f(2x-1)<
f()的x的取值范围是( D )
(A)(,) (B)[,)
(C)(,) (D)[,)
解析:因为函数f(x)是定义在区间[0,+∞)上的增函数,且满足f(2x-1)所以0≤2x-1<,解得≤x<.故选D.
7.已知函数f(x)=则f(x)的单调递减区间是 .?
解析:当x≥1时,f(x)是增函数;当x<1时,f(x)是减函数,所以f(x)的单调递减区间为(-∞,1).
答案:(-∞,1)
8.函数f(x)=x2-2mx-3在区间[1,2]上单调,则m的取值范围是
.?
解析:二次函数在某区间内是否单调取决于对称轴的位置,函数f(x)=
x2-2mx-3的对称轴为x=m,函数在区间[1,2]上单调,则m≤1或m≥2.
答案:(-∞,1]∪[2,+∞)
9.已知f(x)=,试判断f(x)在[1,+∞)上的单调性,并证明.
解:f(x)=在[1,+∞)上是增函数.
证明:任取x1,x2∈[1,+∞),且x1则f(x2)-f(x1)=-==.
因为1≤x1所以x2+x1>0,x2-x1>0,+>0.
所以f(x2)-f(x1)>0,
即f(x2)>f(x1).
故函数f(x)在[1,+∞)上是增函数.
10.函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且f(2m)>f(-m+9),则实数m的取值范围是( B )
(A)(-∞,3) (B)(0,3)
(C)(3,+∞) (D)(3,9)
解析:因为函数y=f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(2m)>f(-m+9),所以解得011.已知f(x)是定义在区间[-1,1]上的增函数,且f(x-2)解析:由题意,得解得1≤x<,
故满足条件的x的取值范围是1≤x<.
答案:[1,)
12.已知函数f(x)的定义域是(0,+∞),且f(x·y)=f(x)+f(y),当x>1时,f(x)>0.
(1)求f(1);
(2)证明f(x)在定义域上是增函数;
(3)如果f()=-1,求满足不等式f(x)-f(x-2)≥2的x的取值范围.
(1)解:令x=y=1,得f(1)=2f(1),故f(1)=0.
(2)证明:令y=,得f(1)=f(x)+f()=0,故f()=-f(x).任取x1,x2∈(0,+∞),且x1由于>1,故f()>0,从而f(x2)>f(x1).
所以f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(3)解:由于f()=-1,而f()=-f(3),故f(3)=1.
在f(x·y)=f(x)+f(y)中,令x=y=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2.
故所给不等式可化为f(x)-f(x-2)≥f(9),所以f(x)≥f[9(x-2)],所以x≤.又
所以2所以x的取值范围是(2,].
13.已知函数f(x)=是R上的增函数,则a的取值范围是 .?
解析:由题意得
解得-3≤a≤-2.
答案:[-3,-2]
第二课时函数的最大(小)值
【选题明细表】
知识点、方法
题号
图象法求函数最值
1,12
单调性法求函数最值
3,4,5,7
二次函数的最值
2,6,8,13
函数最值的应用
8,9,10,11
1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是( C )
(A)-1,3 (B)0,2 (C)-1,2 (D)3,2
解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.
2.函数f(x)=-x2+4x-6,x∈[0,5]的值域为( B )
(A)[-6,-2] (B)[-11,-2]
(C)[-11,-6] (D)[-11,-1]
解析:函数f(x)=-x2+4x-6=-(x-2)2-2,
又x∈[0,5],
所以当x=2时,f(x)取得最大值为-(2-2)2-2=-2;
当x=5时,f(x)取得最小值为-(5-2)2-2=-11;
所以函数f(x)的值域是[-11,-2].故选B.
3.函数f(x)=-x+在[-2,-]上的最大值是( A )
(A) (B)- (C)-2 (D)2
解析:因为f(x)=-x+在[-2,-]上为减函数,
所以当x=-2时取得最大值,且为2-=.故选A.
4.函数f(x)=2-在区间[1,3]上的最大值是( D )
(A)2 (B)3 (C)-1 (D)1
解析:因为函数f(x)=2-在区间[1,3]上为增函数,
所以f(x)max=f(3)=2-1=1.故选D.
5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是( A )
(A)f(x)有最大值,无最小值
(B)f(x)有最大值,最小值
(C)f(x)有最大值,无最小值
(D)f(x)有最大值2,最小值
解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=,无最小值.故选A.
6.函数f(x)=x2-2ax+a在区间(-∞,1)上有最小值,则a的取值范围是( A )
(A)(-∞,1) (B)(-∞,1]
(C)(1,+∞) (D)[1,+∞)
解析:由题意,f(x)=(x-a)2-a2+a,
所以函数的对称轴为x=a.
若a≥1,则函数在区间(-∞,1)上是减函数,
因为是开区间,所以没有最小值
所以a<1,此时当x=a时取得最小值,
故选A.
7.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为 .?
解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},函数自变量x的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3.
答案:3
8.若函数f(x)=x2-2x+m,在x∈[0,3]上的最大值为1,则实数m的值为 .?
解析:函数f(x)=x2-2x+m=(x-1)2+m-1,其对称轴为x=1,
则f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,3]上单调递增,
则当x=3时,函数有最大值,
即为9-6+m=1,
解得m=-2.
答案:-2
9.f(x)=2x4-3x2+1在[,2]上的最大值、最小值分别是( A )
(A)21,- (B)1,-
(C)21,0 (D)0,-
解析:由f(x)=2x4-3x2+1,x∈[,2],
可设t=x2,t∈[,4],
所以f(x)=g(t)=2t2-3t+1,对称轴t=,
g()=-,g(4)=21,g()=,
所以最大值为21,最小值为-.故选A.
10.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为( A )
(A)1 (B)0 (C)-1 (D)2
解析:函数f(x)=-x2+4x+a=-(x-2)2+a+4,
因为x∈[0,1],
所以函数f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上单调递增,
所以当x=0时,f(x)有最小值f(0)=a=-2,
当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3+a=3-2=1.
故选A.
11.用min{a,b,c}表示a,b,c三个数中的最小值,则函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的最大值是 .?
解析:在同一坐标系中分别作出函数y=4x+1,y=x+4,y=-x+8的图象后,取位于下方的部分得函数f(x)=min{4x+1,x+4,-x+8}的图象,如图
所示.
由图象可知,函数f(x)在x=2时取得最大值6.
答案:6
12.已知函数f(x)=,x∈[3,5].
(1)判断函数在区间[3,5]上的单调性,并给出证明;
(2)求该函数的最大值和最小值.
解:(1)函数f(x)在[3,5]上是增函数,
证明:设任意x1,x2,满足3≤x1因为f(x1)-f(x2)=-
=
=,因为3≤x10,x2+1>0,x1-x2<0.
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)所以f(x)=在[3,5]上是增函数.
(2)由(1)知f(x)min=f(3)==,
f(x)max=f(5)==.
13.已知函数f(x)=x2-2ax+2,当x∈[-1,+∞)时,f(x)≥a恒成立,求a的取值范围.
解:因为f(x)=(x-a)2+2-a2,
所以此二次函数图象的对称轴为x=a.
①当a∈(-∞,-1)时,f(x)在[-1,+∞)上单调递增,
所以f(x)min=f(-1)=2a+3.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,
即2a+3≥a,解得a≥-3,即-3≤a<-1.
②当a∈[-1,+∞)时,f(x)min=f(a)=2-a2.
要使f(x)≥a恒成立,只需f(x)min≥a,即2-a2≥a,
解得-2≤a≤1,即-1≤a≤1.
综上所述,实数a的取值范围为[-3,1].
第一课时 函数奇偶性的定义与判定
【选题明细表】
知识点、方法
题号
奇偶函数的图象特征
2,4,6,11
奇偶性的概念与判定
1,3,10,11
奇偶性的应用
5,7,8,9,12
1.函数f(x)=x4+2x2是( B )
(A)奇函数
(B)偶函数
(C)既是奇函数又是偶函数
(D)非奇非偶函数
解析:因为f(-x)=(-x)4+2(-x)2=x4+2x2=f(x),
所以函数f(x)=x4+2x2是偶函数.故选B.
2.已知函数f(x)=x3+的图象关于( A )
(A)原点对称 (B)y轴对称
(C)y=x对称 (D)y=-x对称
解析:函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),
因为f(-x)=(-x)3+=-(x3+)=-f(x),
所以函数为奇函数.
所以函数f(x)=x3+的图象关于原点对称,故选A.
3.如果f(x)是定义在R上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是( B )
(A)y=x+f(x) (B)y=xf(x)
(C)y=x2+f(x) (D)y=x2f(x)
解析:因为f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x).
对于A,g(-x)=-x+f(-x)=-x-f(x)=-g(x),
所以y=x+f(x)是奇函数.
对于B,g(-x)=-xf(-x)=xf(x)=g(x),
所以y=xf(x)是偶函数.
对于C,g(-x)=(-x)2+f(-x)=x2-f(x),
所以y=x2+f(x)为非奇非偶函数,
对于D,g(-x)=(-x)2f(-x)=-x2f(x)=-g(x),
所以y=x2f(x)是奇函数.
故选B.
4.下列结论中正确的是( B )
(A)偶函数的图象一定与y轴相交
(B)奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0
(C)奇函数y=f(x)的图象一定过原点
(D)图象过原点的奇函数必是单调函数
解析:A项中若定义域不含0,则图象与y轴不相交,C项中若定义域不含0,则图象不过原点,D项中奇函数不一定单调,故选B.
5.已知f(x)=ax3+bx+1(ab≠0),若f(2 018)=k,则f(-2 018)等于( D )
(A)k (B)-k (C)1-k (D)2-k
解析:设g(x)=ax3+bx,易知g(x)为奇函数,则f(x)=g(x)+1.因为
f(2 018)=k,则g(2 018)=f(2 018)-1=k-1,所以g(-2 018)=
-g(2 018)=1-k.所以f(-2 018)=g(-2 018)+1=1-k+1=2-k.故选D.
6.如图,给出奇函数y=f(x)的局部图象,则f(-2)+f(-1)的值为( A )
(A)-2 (B)2
(C)1 (D)0
解析:由图知f(1)=,f(2)=,
又f(x)为奇函数,
所以f(-2)+f(-1)=-f(2)-f(1)=--=-2.
故选A.
7.若函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,则k等于 .?
解析:由于函数f(x)=kx2+(k-1)x+3是偶函数,因此k-1=0,k=1.
答案:1
8.设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)= .?
解析:由f(x+2)=-f(x),得f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=
f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.
答案:-0.5
9.已知函数f(x)=1-.
(1)若g(x)=f(x)-a为奇函数,求a的值;
(2)试判断f(x)在(0,+∞)内的单调性,并用定义证明.
解:(1)由已知g(x)=f(x)-a得,g(x)=1-a-,
因为g(x)是奇函数,所以g(-x)=-g(x),
即1-a-=-(1-a-),解得a=1.
(2)函数f(x)在(0,+∞)内为增函数.
证明:设0因为00,
从而<0,即f(x1)所以函数f(x)在(0,+∞)内是单调增函数.
10.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( D )
(A)y=x+1 (B)y=-x2
(C)y= (D)y=x|x|
解析:A.y=x+1为非奇非偶函数,不满足条件.
B.y=-x2是偶函数,不满足条件.
C.y=是奇函数,但在定义域上不是增函数,不满足条件.
D.设f(x)=x|x|,则f(-x)=-x|x|=-f(x),则函数为奇函数,
当x>0时,y=x|x|=x2,此时为增函数,
当x≤0时,y=x|x|=-x2,此时为增函数.
综上在R上函数为增函数.故选D.
11.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-2x.
(1)求出函数f(x)在R上的解析式;
(2)画出函数f(x)的图象.
解:(1)①由于函数f(x)是定义域为R的奇函数,
则f(0)=0;
②当x<0时,-x>0,因为f(x)是奇函数,
所以f(-x)=-f(x),
所以f(x)=-f(-x)
=-[(-x)2-2(-x)]
=-x2-2x,
综上,f(x)=
(2)图象如图.
12.设函数f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上递增,且f(2a2+a+1)解:由f(x)在R上是偶函数,且在区间(-∞,0)上递增,
可知f(x)在(0,+∞)上递减.
因为2a2+a+1=2(a+)2+>0,
2a2-2a+3=2(a-)2+>0,
且f(2a2+a+1)所以2a2+a+1>2a2-2a+3,
即3a-2>0,解得a>.
故a的取值范围为(,+∞).
第二课时 函数奇偶性的应用(习题课)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
利用奇偶性求函数值
2,3,7
利用奇偶性求解析式
5,8
奇偶性与单调性的综合应用
1,4,6,9,10,11,12,13
1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为( C )
(A)y= (B)y=x2+1
(C)y= (D)y=x
解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.
2.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f(2)等于( D )
(A)6 (B)-6 (C)10 (D)-10
解析:由于f(x)是定义在R上的奇函数,
因此f(2)=-f(-2),根据已知条件可得
f(-2)=2×(-2)2-(-2)=10.故f(2)=-10.选D.
3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为( A )
(A)4 (B)0 (C)2m (D)-m+4
解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2
=-a·57+b·55-c·53+2
=m,
得a·57-b·55+c·53=2-m,
则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.
所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.
4.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,则( C )
(A)f(-2)(C)f(3)解析:因为对任意的x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2)-
f(x1)]>0,
故f(x)在x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)上单调递增.
又因为f(x)是偶函数,
所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,且满足n∈N*时,
f(-2)=f(2),
由3>2>1>0,得f(3)故选C.
5.(2018·石家庄高一检测)已知x>0时,f(x)=x-2 013,且知f(x)在定义域上是奇函数,则当x<0时,f(x)的解析式是( A )
(A)f(x)=x+2 013 (B)f(x)=-x+2 013
(C)f(x)=-x-2 013 (D)f(x)=x-2 013
解析:设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-2 013,又因为f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=x+2 013,故选A.
6.若f(x)和g(x)都是奇函数,且F(x)=f(x)+g(x)+2,在(0,+∞)上有最大值8,则在(-∞,0)上F(x)有( D )
(A)最小值-8 (B)最大值-8
(C)最小值-6 (D)最小值-4
解析:根据题意有f(x)+g(x)在(0,+∞)上有最大值6,又因为f(x)和g(x)都是奇函数,所以f(x)+g(x)是奇函数且f(x)+g(x)在(-∞,0)上有最小值-6,则F(x)在(-∞,0)上也有最小值-6+2=-4,故选D.
7.若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))= .?
解析:根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,
g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3,
则f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15.
答案:-15
8.设函数y=f(x)是偶函数,它在[0,1]上的图象如图.则它在[-1,0]上的解析式为 .?
解析:由题意知f(x)在[-1,0]上为一条线段,且过(-1,1),(0,2),
设f(x)=kx+b,
代入解得k=1,b=2,
所以f(x)=x+2.
答案:f(x)=x+2
9.(2017·孟坝中学高一期中)f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1-m)解:因为f(x)在[0,2]上单调递减,且f(x)是定义在[-2,2]上的偶
函数,
故f(x)在[-2,0]上单调递增,
故不等式f(1-m)解得-1≤m<,
即实数m的取值范围为[-1,)
10.设偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时函数f(x)是减函数,则f(-3),f(π),f(-3.14)的大小关系为( B )
(A)f(π)=f(-3.14)>f(-3)
(B)f(π)(C)f(π)>f(-3.14)>f(-3)
(D)f(π)解析:由题意函数f(x)为偶函数,
所以f(x)=f(|x|).
因为|-3|<|-3.14|<π,
当x∈[0,+∞)时,f(x)是减函数,
所以f(|-3|)>f(|-3.14|)>f(π),
所以f(π)故选B.
11.函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,函数y=f(x+2)是偶函数,则下列结论正确的是( D )
(A)f(1)(B)f()(C)f()(D)f()解析:函数y=f(x)在(0,2)上是增函数,
所以函数y=f(x+2)在(-2,0)上是增函数,
又函数y=f(x+2)为偶函数,
所以函数y=f(x+2)在(0,2)上是减函数,
即函数y=f(x)在(2,4)上为减函数;则函数y=f(x)的图象如图所示,
由图知f(2)>f()>f(1)>f()成立.故选D.
12.已知函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,则f(2x+1)>f(+1)的解集为 .?
解析:根据函数f(x)为定义在[-1,1]上的偶函数,且在[0,1]上为单调递增函数,
则由f(2x+1)>f（+1）,可得|2x+1|>|+1|, ①
且|2x+1|≤1. ②
把①平方可得x（x+1）>0,
所以x<-,或x>0.
由②可得-1≤2x+1≤1,解得-1≤x≤0.
综合可得,-1≤x<-.
答案:[-1,-)
13.定义在R上的函数f(x)对任意实数a,b都有f(a+b)+f(a-b)=
2f(a)·f(b)成立,且f(0)≠0.
(1)求f(0)的值;
(2)试判断f(x)的奇偶性.
解:(1)令a=b=0,则f(0)+f(0)=2f(0)·f(0),即f(0)=f2(0).
因为f(0)≠0,所以f(0)=1.
(2)令a=0,b=x,则f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x).
因为f(0)=1,所以f(x)+f(-x)=2f(x).
所以f(x)=f(-x).
所以f(x)是R上的偶函数.
第一章 检测试题
(时间:90分钟 满分:120分)
【选题明细表】
知识点、方法
题号
集合的概念及关系
1,3,11
函数的概念与表示、映射
2,4,6,13
奇偶性
8
单调性与最值
5,7,9,12,15,17
函数的综合应用
10,14,16,18,19,20
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.已知集合P={x||x-1|≤1,x∈R},Q={x|x∈N},则P∩Q等于( D )
(A)P (B)Q
(C){1,2} (D){0,1,2}
解析:由于P={x|0≤x≤2},Q=N,故有P∩Q={0,1,2}.
2.设f(x)=则f(5)的值是( A )
(A)24 (B)21 (C)18 (D)16
解析:f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))=f(f(18))=f(21)=24.故选A.
3.已知集合A={x|x(A)(-∞,1] (B)(-∞,1)
(C)[2,+∞) (D)(2,+∞)
解析:由题意,集合A={x|x因为A∩B=B,所以B?A,
则a≥2.
故选C.
4.函数y=的定义域为( B )
(A)(-1,2)
(B)(-1,1)∪(1,2)
(C)(-∞,1)∪(1,+∞)
(D)[-1,1)∪(1,2]
解析:要使函数有意义,则解得-15.函数y=x2+bx+c当x∈(-∞,1)时是单调函数,则b的取值范围是( B )
(A)[-2,+∞) (B)(-∞,-2]
(C)(-2,+∞) (D)(-∞,-2)
解析:函数y=x2+bx+c的对称轴是x=-,
因为函数y=x2+bx+c(x∈(-∞,1))是单调函数,又函数图象开口向上,
所以函数y=x2+bx+c(x∈(-∞,1))是单调减函数,
所以1≤-,所以b≤-2,
所以b的取值范围是(-∞,-2].故选B.
6.f(x)=若f(x)=3,则x的值为( C )
(A)-1 (B)3
(C)-1或3 (D)-1或2
解析:因为f(x)=3,
所以有或
解得x=-1或x=3.选C.
7.设f(x)是奇函数,且在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则x·f(x)
<0的解集是( D )
(A)(-3,0)∪(3,+∞) (B)(-∞,-3)∪(0,3)
(C)(-∞,-3)∪(3,+∞) (D)(-3,0)∪(0,3)
解析:由条件得f(3)=-f(-3)=0,
x·f(x)<0?或?或?08.函数f(x)=ax2+(2+a)x+1是偶函数,则函数的单调递增区间为( B )
(A)[0,+∞) (B)(-∞,0]
(C)(-∞,+∞) (D)[1,+∞)
解析:因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),
所以ax2-(2+a)x+1=ax2+(2+a)x+1,
化为(2+a)x=0,对于任意实数x恒成立,
所以2+a=0,解得a=-2.
所以f(x)=-2x2+1,其单调递增区间为(-∞,0].故选B.
9.函数y=x2-2x+3(x∈(0,3])的值域为( B )
(A)[2,+∞) (B)[2,6]
(C)[3,6] (D)(3,6]
解析:y=f(x)=x2-2x+3=(x-1)2+2,
因为函数f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,3]上单调递增.
所以当x=1时,函数f(x)取得最小值f(1)=2,
而f(3)=6>f(2)=f(0),
所以当x=3时,函数f(x)取得最大值6,
综上可得函数f(x)的值域是[2,6].故选B.
10.若x∈R,f(x)是y=2-x2,y=x这两个函数中的较小者,则f(x)的最大值为( B )
(A)2 (B)1 (C)-1 (D)无最大值
解析:由题知
f(x)=f(x)的图象如图,
由图可知x=1时,f(x)max=1.故选B.
11.设集合P={2,3},Q={4,5,6,7},定义P※Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P※Q中元素的个数为( C )
(A)5个 (B)6个 (C)8个 (D)16个
解析:由定义可得P※Q={(2,4),(2,5),(2,6),(2,7),(3,4),(3,5),
(3,6),(3,7)}共8个元素,故选C.
12.已知函数f(x)=x2-6x+8在[1,a]上的最小值为f(a),则实数a的取值范围为( A )
(A)(1,3] (B)(1,+∞)
(C)(1,5) (D)[3,5]
解析:将函数配方,f(x)=x2-6x+8=(x-3)2-1,
所以函数的图象开口向上,对称轴为直线x=3,
因为函数f(x)=x2-6x+8在[1,a]上的最小值为f(a),
所以1二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.方程组的解集不可表示为 .?
①｛(x,y)|｝ ②｛(x,y)|｝ ③{1,2}
④{(1,2)}
解析:方程组的集合中最多含有一个元素,且元素是一个有序实数对,故③不符合.
答案:③
14.设奇函数f(x)在(0,+∞)上为减函数,且f(1)=0,则不等式<
0的解集为 .?
解析:因为f(x)为奇函数,<0,所以<0,即<0,
因为f(x)在(0,+∞)上为减函数且f(1)=0,
所以当x>1时,f(x)<0.
因为奇函数图象关于原点对称,
所以在(-∞,0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,
即x<-1时,f(x)>0.
综上使<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
15.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,则满足f(2x)解析:偶函数满足f(x)=f(|x|),根据这个结论,有f(2x)答案:（-,）
16.已知函数f(x)的定义域为R,对任意实数x,y满足f(x+y)=f(x)+
f(y)+,且f（）=0,当x>时,f(x)>0.给出以下结论:
①f(0)=-;②f(-1)=-;③f(x)为R上的减函数;④f(x)+为奇函数;⑤f(x)+1为偶函数.其中正确结论的序号是 .?
解析:令x=y=0,代入可得f(0)=2f(0)+,
因此f(0)=-,①对;令x=-y=,
代入可得f(0)=f（）+f（-）+,
即-=0+f（-）+,因此f（-）=-1,
再令x=y=-,代入可得
f(-1)=f（-）+f(-)+=-,因此②对;
令y=-1,代入可得f(x-1)=f(x)+f(-1)+,
即f(x-1)-f(x)=f(-1)+=-1<0,
因此f(x-1)令y=-x,代入可得f(0)=f(x)+f(-x)+,
即f(x)++f(-x)+=0,因此f(x)+为奇函数,④对;因为f(x)+1=f(x)+
+,由④可知g(x)=f(x)+为奇函数,g(x)+-g(-x)-=2g(x)不恒为0,故⑤错.
答案:①②④
三、解答题(共40分)
17.(本小题满分8分)
已知函数f(x)=x2+ax+b的图象关于直线x=1对称.
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)的图象过(2,0)点,求x∈[0,3]时,f(x)的值域.
解:(1)二次函数f(x)=x2+ax+b的对称轴为x=-,所以-=1,所以a=-2.
(2)若f(x)过(2,0)点,所以f(2)=0.
所以22-2×2+b=0,所以b=0,所以f(x)=x2-2x.
当x=1时f(x)最小为f(1)=-1,当x=3时,f(x)最大为f(3)=3,
所以f(x)在[0,3]上的值域为[-1,3].
18.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=x2-2|x|-1,-3≤x≤3.
(1)证明:f(x)是偶函数;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)求函数的值域.
(1)证明:因为-3≤x≤3,所以定义域关于原点对称.
因为f(-x)=(-x)2-2|-x|-1=f(x),
所以f(x)为偶函数.
(2)解:f(x)=
函数f(x)的图象如图所示.
f(x)的单调增区间为[-1,0],[1,3];单调减区间为[-3,-1],[0,1].
(3)当x=±3时,f(x)max=2,当x=±1时,f(x)min=-2,故f(x)的值域为[-2,2].
19.(本小题满分10分)
已知函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,且其定义域为[m-1,2m].
(1)求m,n的值.
(2)求函数f(x)在其定义域上的最大值.
解:(1)因为函数f(x)=mx2+nx+3m+n是偶函数,
所以函数的定义域关于原点对称.
又因为函数f(x)的定义域为[m-1,2m].
所以m-1+2m=0,
解得m=.
又因为函数f(x)是偶函数,
所以f(-x)=mx2-nx+3m+n=f(x)=mx2+nx+3m+n,
解得n=0.
(2)由(1)得函数的解析式为f(x)=x2+1,
定义域为[-,],
其图象是开口向上,且以y轴为对称轴的抛物线,
所以当x=±时,f(x)取最大值.
20.(本小题满分12分)
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)的单调区间;
(3)当x∈[-1,2]时,求函数的最大值和最小值.
解:(1)由f(0)=2,得c=2,
又f(x+1)-f(x)=2x-1,
得2ax+a+b=2x-1,
故解得a=1,b=-2.
所以f(x)=x2-2x+2.
(2)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,函数图象的对称轴为x=1,且开口向上,
所以f(x)单调递增区间为(1,+∞),
单调递减区间为(-∞,1).
(3)f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,
对称轴为x=1∈[-1,2],
故f(x)min=f(1)=1,
又f(-1)=5,f(2)=2,所以f(x)max=f(-1)=5.
