课件30张PPT。第2章 平面解析几何初步2．1 直线与方程
2．1.1 直线的斜率第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．直线的倾斜角
(1)定义：在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按______________方向旋转到和直线________时所转过的___________称为这条直线的倾斜角．与x轴平行或重合的直线的倾斜角为______________.
(2)直线倾斜角α的取值范围是_________________________逆时针重合最小正角0°0°≤α＜180°x1≠x2不存在tan α3．斜率与倾斜角的对应关系α＝90°k＝0k＞0k＜01．在下列四个命题中，错误的命题是__________________．
(写出所有错误命题的序号)
①坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率；
②直线的倾斜角的取值范围为[0°，180°]；
③若一条直线的斜率为tan α，则此直线的倾斜角为α；
④若一条直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为tan α.
解析：当倾斜角为90°时,其斜率不存在,故命题①④不正确．由直线的倾斜角的定义知倾斜角的取值范围为[0°,180°)，而不是[0°，180°]，故命题②不正确．直线的斜率可以是tan 210°，但其倾斜角是30°，而不是210°，所以命题③也不正确．根据以上判断，四个命题均不正确．①②③④(3,0)或(0,3)3．已知直线的倾斜角为60°，则该直线斜率为________．
?
4．若直线l的斜率小于零，则直线l的倾斜角α的取值范围为_________________．
解析：由k＝tan α＜0，且0°≤α＜180°，α≠90°，知90°＜α＜180°.90°<α<180° (1)关于直线的倾斜角和斜率，下列说法中正确的是________．(填序号)
①任意一条直线都有倾斜角，也都有斜率；
②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；
③平行于x轴的直线的倾斜角是0°或180°；
④两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等；
⑤直线斜率的范围是(－∞，＋∞)． 直线的倾斜角、斜率⑤ 当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°，当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°135°方法归纳
求直线的倾斜角时，一要注意分类讨论，二要注意数形结合，对求较复杂的直线倾斜角有时往往借助于三角形外角与内角之间的关系求解．1．本例(3)中，若已知α1＝15°，l2的斜率为－1，求l1和l2所夹的锐角的大小． 已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．
(1)求直线AB和AC的斜率；
(2)若点D在线段BC上(包括端点)移动时，求直线AD的斜率的变化范围．求直线的斜率方法归纳
当已知两定点坐标求过这两点的直线斜率时可直接利用斜率公式求解，应用斜率公式时应先判定两定点的横坐标是否相等，若相等，直线垂直于x轴，斜率不存在；若不等，再代入斜率公式求解．三点共线问题方法归纳
若点A，B，C均在斜率存在的直线l上，那么任意两点的坐标都可表示直线l的斜率k，即kAB＝kAC(或kAB＝kBC)；反过来，若kAB＝kAC(或kAB＝kBC)，则直线AB与直线AC(BC) 的倾斜角相同，即AB与AC(BC)所在的直线重合，所以可利用斜率公式解决点共线问题． 求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．
[解] 当m＝1时，直线AB的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°.
当m≠1时，由斜率公式可得直线AB的斜率为[错因与防范] (1)利用斜率公式求直线的斜率的条件是“x1≠x2”．解答本题的过程中，容易出现因不考虑m＝1的情况，即忽略了斜率不存在的情况而导致出错．
(2)在解决与斜率有关的问题时，一定要根据题目条件对斜率是否存在作出判断．求直线倾斜角，要注意范围；求直线斜率，要注意斜率不存在的情况．课件28张PPT。2．1.2 直线的方程
第一课时 点斜式第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步斜率kk(x－x1)2．直线的斜截式方程
条件：斜率k和________________________
图示：
方程：____________
3．直线在y轴上的截距
定义：直线l与y轴交点(0，b)的______________
取值：可正，可负，也可为零．纵坐标b直线在y轴上的截距by＝kx＋b22．斜率为2，且过点(1,2)的直线的点斜式方程为__________
解析：由过点(x0，y0)，斜率为k的直线点斜式方程为y－y0＝k(x－x0)
得所求直线的点斜式方程为y－2＝2(x－1)．y－2＝2(x－1)② (1)直线y＝x＋1绕着其上一点P(3,4)逆时针旋转90°后得直线l，求直线l的点斜式方程；
(2)已知在第一象限的△ABC中，A(1,1)，B(5,1)，且∠CAB＝60°，∠CBA＝45°，求边AB，AC和BC所在直线的点斜式方程．
(链接教材P81例1)求直线的点斜式方程方法归纳
(1)用点斜式求直线方程，首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标．注意在斜率存在的条件下，才能用点斜式表示直线方程．
(2)求直线的点斜式方程的方法步骤
1．把本例(2)中的条件“已知在第一象限的△ABC中”，改为“已知△ABC中”，其他条件不变，如何求解？
解：由A(1,1)，B(5,1)可知边AB所在直线的斜率为0，故AB边所在直线方程为y－1＝0.
由AB∥x轴知，△ABC的顶点C或在直线AB的上方或在直线AB的下方． 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为2，在y轴上的截距是5；
(2)倾斜角为150°，在y轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
(链接教材P82例2) 直线的斜截式方程方法归纳
用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可．需特别注意截距和距离的区别．
直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k，b的值，直线的图象就一目了然了．因此，在解决直线的图象问题时，常通过把直线方程化为斜截式，利用k，b的几何意义作出判断．用待定系数法求直线的方程方法归纳
(1)在直线的点斜式或斜截式方程中，都有斜率k，我们常把k作为未知数引入待定．(2)在截距上加绝对值后才能表示线段长度． (本题满分16分)如图过点P(2,1)作直线l，分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点．
(1)当△OAB的面积最小时，求直线l的点斜式方程；
(2)当PA·PB取最小值时，求直线l的点斜式方程． 直线l过点P(1,2)，求满足下列条件的直线l的方程：(1)l与x轴平行；(2)l与y轴平行．
[解] (1)∵直线l与x轴平行，
∴直线l的倾斜角α＝0°，斜率k＝tan 0°＝0，
∴直线l的方程为y－2＝0·(x－1)，即y－2＝0.
(2)∵直线l与y轴平行，∴直线l的倾斜角α＝90°，斜率不存在，其方程不能用点斜式表示，但因l上每一点的横坐标都等于1，所以它的方程是x＝1.[错因与防范] (1)直线l与y轴平行时，斜率不存 在，但直线l方程存在，初学者容易对此认识不清而导致解答错误．
(2)涉及直线斜率问题，一定要分别讨论斜率不存在与存在两种情况．另外，斜率可以不存在，但倾斜角α存在，且α＝90°，直线方程也存在．4．经过(1，－2)，倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的2倍的直线方程是________．
解析：直线y＝x－3的斜率为1，故其倾斜角为45°，所以所求直线的倾斜角为90°，又因所求直线经过点(1，－2)，所以该直线方程为x＝1.x＝1课件30张PPT。第三课时 一般式第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．直线与二元一次方程的对应
在平面直角坐标系中
(1)任意一条直线都可以用形如Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的方程来表示．
(2)关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)，它都_____________________表示一条直线2．直线的一般式方程
式子：关于x、y的二元一次方程______________________；
条件：A，B______________；
简称：一般式．
3．直线的一般式方程与其他四种形式的转化Ax＋By＋C＝0不全为01．直线方程x＝2与y＝3改写成Ax＋By＋C＝0(A，B不全为0)的形式分别为______________________________．
解析：x＝2可以写成x＋0·y－2＝0，即A＝1，B＝0，C＝－2.y＝3可以写成0·x＋y－3＝0，即A＝0，B＝1，C＝－3.均符合A，B不全为0的条件．
2．直线的斜率为2，且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为_________________．
解析：由直线的点斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式方程为2x－y＋1＝0.x＋0·y－2＝0与0·x＋y－3＝02x－y＋1＝0 求直线的一般式方程方法归纳
(1)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．
(2)四种特殊形式的直线方程的确定只需要两个量：一点一斜率或两点，确定方程时，要选择合适的形式，且最后结果要转化为直线的一般式方程．1．根据下列条件写出直线方程，并化为一般式方程．
(1)经过点A(2,5)，斜率是4；
(2)倾斜角为150°，在y轴的截距是－2；
(3)经过A(－2，－1)，B(2,2)两点． 求证：直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0无论k取何实数必过定点，并求出此定点．
(链接教材P88练习T14)
[证明] 法一：原直线方程可整理为：
(x＋y)＋k(x－y－2)＝0，直线过定点问题方法归纳
直线过定点问题的求解方法
直线过定点问题是直线方程这一章常见的问题，解决方法主要是根据参数的任意性列方程组求解，常见方法有：(1)特殊值法(法三)；(2)点斜式法(法二)；(3)整理成f1(x，y)＋λf2(x，y)＝0，再解方程组求解(法一)．2．证明：无论k取何值，直线3(k＋2)x＋(5k－1)y－(4k－3)＝0恒过定点． 已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
(链接教材P87练习T3) 直线的一般式方程的综合应用方法归纳
(1)要证直线l总经过某一象限，只需证直线l总经过该象限内的一个定点即可．
(2)要证直线l不经过某一象限，可将该直线方程转化为斜截式后,借助于数形结合的方法确定斜率与截距的符号解决．3．设直线l的方程为(a＋1)x＋y－2＋a＝0,若l经过第一象限，求实数a的取值范围．
解：将一般式方程化为点斜式方程：y－3＝－(a＋1)(x＋1)，
∴l的斜率为－(a＋1)，
且过定点A(－1,3)．
∵直线OA斜率为k＝－3，
∴要使直线l经过第一象限，
只须使－(a＋1)＞－3，解得a＜2.?[解] (1)证明：直线l的方程可化为：
y－1＝k(x＋2)，
∴直线l恒过定点(－2,1)．
(2)∵直线恒过定点(－2,1)，且(－2,1)在第二象限，
直线l的斜率为k.
要使直线不经过第四象限，
必有k≥0.[感悟提高] (1)当一条直线过定点P0(x0，y0)时，我们可设直线方程为y－y0＝k(x－x0)．由此方程可知，k取不同的值，它就表示不同的直线，且每一条直线都经过定点P0(x0，y0)，当k取遍所允许的每一个值后，这个方程就表示经过定点P0的许多直线，因此就把这个方程叫做定点P0的直线系．
(2)由于过P0(x0，y0)与x轴垂直的直线不能用方程y－y0＝k(x－x0)表示，因此直线系y－y0＝k(x－x0)，k∈R中没有直线x＝x0.
(3)直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)表示过定点P0(x0，y0)的直线系(不含x＝x0)，借助直线系可以简化一些运算．[名师点评] ①通过建立直角坐标系，用坐标表示点，用方程表示直线，为实现从实际问题到代数问题的转化创造了条件．
②确定线段方程时，充分注意到x的取值范围，也就为以下建立的面积函数找到了定义域．
③全面讨论一个顶点所在的位置，做到不重不漏，解答完备．
④找到点分线段的比值，以方便陈述设计方法． 课件29张PPT。第二课时 两点式第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．直线的两点式方程
(1)条件：P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2，y1≠y2)．
(2)方程：______________
2．直线的截距式方程
(1)条件：A(a,0)，B(0，b)且______________
(2)方程：______________ab≠0②解析：①错，直线斜率不存在或斜率为0时，不能用两点式表示直线方程；③错，截距式方程的应用前提是a≠0，b≠0；④错；斜率不存在时，不能用斜截式表示直线方程．
2．经过点M(2,2)，N(2,4)的直线方程为________．
解析：所求直线的斜率不存在．
故所求直线方程为x＝2.x＝2－2和3 直线的两点式方程方法归纳
(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．
(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．1．在例1的条件下，求过点B且平行于AC的直线方程．
求过定点P(2,3)且在两轴上截距相等的直线方程．
(链接教材P88T13(1)) 直线的截距式方程方法归纳
(1)由截距式方程可直接确定直线与x轴和y轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便．
(2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．
(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时,两个截距均为零.在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．解题时，如需讨论的问题解题过程比较繁琐，可设法选用适当的解法，减少讨论层次或避免分类讨论，以达到准确、快捷解题的目的． 直线方程的综合问题方法归纳
(1)已知直线方程已是直线的截距式方程，所以必有m≠0,4－m≠0.
(2)直线与坐标轴相交围成的面积问题，要把直线的方程和三角形的面积结合起来，要注意截距与线段长的关系，必要时要加绝对值符号，求函数的最值时，要注意定义域．3．已知1≤t≤2，经过两点(m,2t)和(t－2，m)的直线l的斜率为2.
(1)用t表示m；
(2)求直线l在y轴上的截距的取值范围．2课件38张PPT。2．1.3 两条直线的平行与垂直第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．两条直线平行与斜率之间的关系
设两条不重合的直线l1，l2，倾斜角分别为α1，α2，当斜率存在时分别设为k1，k2.
则对应关系如下表：
k1＝k2l1∥l22.两条直线垂直与斜率的关系
k1k2＝－1l1⊥l21．对于两条不重合的直线l1，l2：①若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线平行；②若直线l1，l2都有斜率且斜率相等,则l1∥l2；③若直线l1⊥l2,则它们的斜率互为负倒数；④若直线l1，l2的斜率互为负倒数，则l1⊥l2.其中正确命题的个数是________．
解析：③不正确，它们的斜率还可以一个为0，而另一个不存在．344x－3y＋8＝0x－2y＋4＝0两条直线平行的判定方法归纳
(1)判断两直线是否平行时，若两直线的斜率都存在，则依据斜率是否相等来判断(注意重合这种情形)；若两条直线的斜率都不存在，则需考虑直线上点的情况，再判断．
(2)判断不重合两条直线是否平行的步骤 分别写出满足下列条件的直线l1，l2的方程，并判断l1与l2是否垂直．
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(1,2),l2经过点M(－2，－1)，N(2,1)；
(2)l1的斜率为－10，且过点(0,3)，l2经过点A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40)．
(链接教材P93练习T3) 两条直线垂直的判定方法归纳
(1)判断两直线是否垂直时，若两直线的斜率都存在，则依据斜率之积是否为－1来判断；若有直线的斜率不存在，则需利用直线的特殊性来判断．
(2)利用斜率公式判定两直线垂直的步骤
①一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步．
②二用：就是将点的坐标代入斜率公式．
③求值：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．2．判断本例(1)中直线AM和直线BM是否垂直？ 已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形(A、B、C、D按逆时针方向排列)．
(链接教材P93练习T2)平行与垂直的综合应用方法归纳
判定两条直线是平行还是垂直要“三看”：一看斜率是否存在，若两直线的斜率都不存在，则两直线平行，若一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在,则两直线垂直；斜率都存在时，二看斜率是否相等或斜率乘积是否为－1；两直线斜率相等时，三看两直线是否重合，若不重合，则两直线平行．3．记直线(m＋2)x＋3my＋1＝0与直线(m－2)x＋(m＋2)·y－3＝0相互垂直时m的取值集合为M，直线x＋ny＋3＝0与直线nx＋4y＋6＝0平行时n的取值集合为N，则M∪N＝___________.[感悟提高] (1)用坐标法研究数学问题是指在平面直角坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线，通过对坐标和方程的代数化处理，来解决平面图形的性质或平面图形中一些位置关系的判定，如本节就可用坐标法解决平面图形中的平行或垂直问题．坐标法把“形”的研究转化为“数”的运算，巧妙地解决了“形”与“形”之间的关系，给出了研究图形关系的一种简洁而有效的方法．
(2)用坐标法研究平面几何问题时，要建立平面直角坐标系，一般以图形中已知的垂直线段为x轴，y轴，原则上让尽可能多的点落在坐标轴上或使坐标容易求得．[错因与防范] (1)斜率相等，两条直线可能平行，还可能重合．
(2)借助斜率研究直线位置关系，一要注意斜率不存在，二要注意直线重合这两种特殊情况．－1课件38张PPT。2．1.4 两条直线的交点第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．两直线的位置关系与二元一次方程组的关系
设两条直线的方程分别是l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
如果这两条直线相交，由于交点同时在这两条直线上，交点的坐标一定是这两个方程的______________；反之，如果这两个二元一次方程只有______________公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1与l2的交点．公共解一个2．方程组的解的组数与两直线的位置关系
无有一个无数3.过两条直线交点的直线系方程
若两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0有交点，则过l1与l2交点的直线系方程为(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包含直线l2)或(A2x＋B2y＋C2)＋λ(A1x＋B1y＋C1)＝0(不包含直线l1)(其中λ为常数)．(2，－1)2．过点(－1,1)和两直线x＋3y－10＝0，y＝3x的交点的直线方程为_______________________．
解析：设所求直线方程为x＋3y－10＋λ(3x－y)＝0，整理得(1＋3λ)x＋(3－λ)y－10＝0.
又直线过点(－1,1)，所以(1＋3λ)×(－1)＋(3－λ)×1－10＝0.
解得λ＝－2，得所求直线方程为[1＋3×(－2)]x＋[3－(－2)]·y－10＝0，即x－y＋2＝0.x－y＋2＝0±6两条直线位置关系的判断方法归纳
(1)在平面解析几何中，判断两条直线的位置关系，可以根据两条直线方程组成的方程组的解的情况，也可以根据斜率，也可以根据两条直线方程的系数比．
(2)根据两条直线的方程组成的方程组的解的情况判断两条直线的位置关系，这是根本，但如果能够敏锐地察觉两条直线方程系数上的对应关系，解决两条直线的平行与垂直的相关问题，可谓事半功倍．求过两条直线交点的直线方程方法归纳
(1)解答本题有两种方法：一是常规方法，先通过解方程组求出两直线交点，再根据平行关系求斜率；二是采用过两直线A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，直接设出过两直线交点的方程，再根据平行关系求待定系数．
(2)直线系是直线和方程的理论发展，是数学符号语言中一种有用的工具和解题技巧，应注意掌握和应用．与交点有关的取值范围问题方法归纳
(1)要使交点在第一象限，可以先解两直线的方程组，求出交点坐标，让该点的纵、横坐标都大于0，解不等式组即可求出k的范围．
(2)法二是用直线系方程结合数形结合法求解，数形结合法所起的作用是代数运算往往达不到的．[错因与防范] (1)三条直线能围成三角形的反面是不能围成三角形，包括两种情况：①有两条直线平行或重合；②三条直线相交于一点．在解题过程中容易遗漏情况②，而导致出错．
(2)①要使三条直线能围成一个三角形，则它们中任意两条都不平行，且三条直线不相交于同一点．尤其三线共点这一条极易被忽略
②对于正面求解有困难的题目，求解时可考虑从问题的反面着手，迂回转化求解，有时能收到意想不到的效果．
③考虑问题时，要尽量全面，不要以偏概全(如本题)．课件32张PPT。2．1.5 平面上两点间的距离第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．两点间的距离公式
平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2＝______________________________，特别地，O(0,0)与P(x，y)的距离OP＝______________
2．中点坐标公式
对于平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则线段P1P2的中点为：________________________．5(a－2)2＋(b－1)2＝255(6,5) 已知△ABC三顶点坐标A(－3,1)、B(3，－3)、C(1,7)，试判断△ABC的形状．
(链接教材P97引例)两点间距离公式的应用方法归纳
(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状，以确定证明的方向．
(2)在分析三角形的形状时，要从两个方面来考虑：一是考虑角的特征，如本例的法二，主要考查是否为直角或等角，在解析几何中一般借助于斜率；二是要考虑三角形边的长度特征，要用到勾股定理，如本例的法一． 已知△ABC三边AB，BC，CA的中点分别是P(3，－2)，Q(1,6)，R(－4,2)，求点A的坐标．
(链接教材P100例2) 中点坐标公式的应用方法归纳
(1)中点坐标公式的应用与数形结合相联系，是解题的好途径．
(2)本例关键是探求三角形各顶点和中点的关系，使用中点坐标公式列方程组求解即可，也可以使用三角形中位线性质求解．2．本题条件不变，试求△APQ的边PQ上的中线长． 对称问题3．已知A(2，－3)，直线l：x－y＋1＝0.求：
(1)点A关于直线l的对称点B的坐标；
(2)直线l关于点A的对称直线l1的方程；
(3)直线2x－y－3＝0关于直线l的对称直线l2的方程．[错因与防范](1)在解题过程中，①容易忽视建立坐标系；②建立的坐标系不适当，造成计算错误；③各几何量用坐标表示时没有注意原图形的几何性质，设未知量太多．
(2)一些平面几何问题用解析法解决时更简单，但要把坐标系建立在适当的位置上，注意利用图形的几何性质．
①要使尽可能多的已知点落在坐标轴上，这样便于计算．
②如果图形中有互相垂直的两条线，可以考虑将其作为坐标轴；如果图形具有中心对称性，可以考虑将图形中心作为坐标原点；如果图形具有轴对称性，可以考虑将对称轴作为坐标轴．4．用坐标法证明：如果四边形ABCD是矩形，则对任一点M，等式AM2＋CM2＝BM2＋DM2成立．
证明：取矩形ABCD的两条边AB，AD所在的直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，设矩形ABCD的四个顶点A(0,0)，B(a,0)，C(a，b)，D(0，b)．
在平面上任取一点M(m，n)，
则AM2＋CM2＝m2＋n2＋(m－a)2＋(n－b)2，
BM2＋DM2＝(m－a)2＋n2＋m2＋(n－b)2，
∴AM2＋CM2＝BM2＋DM2.课件34张PPT。2．1.6 点到直线的距离第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步点到直线的距离与两条平行线间的距离
公垂线段1．原点(0,0)到直线l：5x－12y－9＝0的距离为________．x－2y＋2＝0点到直线的距离方法归纳
运用点到直线的距离公式时，要将直线方程转化成一般式的形式．与坐标轴垂直的直线，直接由数形结合的方法求解即可．两条平行线间的距离2．已知直线l1：3x－2y－1＝0和l2：3x－2y－13＝0，直线l与l1，l2的距离分别是d1，d2，若d1∶d2＝2∶1，求l的方程． 证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
(链接教材P104例3)点到直线的距离公式的综合应用方法归纳
(1)解决此类问题的步骤是：建系得到相关的点的坐标，从而写出直线方程，进而运用距离公式建立长度之间的关系．解题的关键仍然是从几何图形的特征出发,建立适当的坐标系，使尽量多的点在坐标轴上，减少计算量．
(2)用点到直线的距离公式时,要注意将直线方程化为一般式，同时注意公式的结构特征．3．用解析法证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高．[感悟提高] (1)函数的思想就是要用运动变化的观点，分析和研究具体问题中的数量关系，通过函数的形式把这种关系表示出来，并研究函数的性质，从而使问题得以解决．
(2)几何最值问题的求法有两种：
①利用解析几何知识，设一个函数，然后用函数求最值．
②几何法：利用：“两点之间线段最短”“直角三角形斜边大于直角边”“三角形的两边之和(差)与第三边的关系”等求解. 已知直线l过点A(1,2)，且原点到直线l的距离为1，求直线l的方程．
[解] 当直线l过点A(1,2)且斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，原点到直线l的距离为1，满足题意．[错因与防范] (1)符合题意的直线有两条，其中一条直线的斜率不存在，在解题过程中，常因忽视斜率不存在的情况而导致漏解．
(2)直线的点斜式方程是以直线的斜率存在为前提的，当直线的斜率不存在时，不能建立和使用直线的点斜式方程．当用待定系数法确定直线的斜率时，一定要对斜率是否存在进行分类讨论，否则容易漏解，犯解析不全的错误．4．已知一直线经过点P(1,2)，并且与点A(2,3)和点B(0，－5)的距离相等，求此直线的方程．
解：法一：当所求的直线斜率存在时，可设其直线方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y－k＋2＝0.
因为所求直线到A点与B点的距离相等，课件34张PPT。2．2 圆与方程
2．2.1 圆的方程
第一课时 圆的标准方程第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．圆的定义
平面内到定点距离等于定长的点的轨迹是圆．
定点→圆的______________；定长→圆的______________
2．圆的标准方程圆心半径圆上圆内圆外1．圆(x＋2)2＋(y＋3)2＝9的圆心坐标为_________________，半径为________．
解析：由圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2对照已知得所求圆心为(－2，－3)，半径为3.
2．(2014·福建六校联考)以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是_____________________．
(－2，－3)3(x－1)2＋(y－2)2＝250≤a＜1点在圆外求圆的标准方程方法归纳
一般情况下，如果已知圆心(或易于求出)或圆心到某直线的距离(或易于求出)，可用圆的标准方程来求解．用待定系数法求出圆心坐标和半径．(5)的三种解法各有优劣，法一采用圆的定义；法二采用待定系数法构造方程，此解法是通法，但计算量较大；法三从另一个角度，借助圆的几何性质进行求解，此法较好，减少了计算量． 已知两点P1(3,8)和P2(5,4)，求以线段P1P2为直径的圆的方程，并判断点M(5,3)，N(3,4)，P(3,5)是在此圆上，在圆内，还是在圆外？
(链接教材P111练习T5)判断点与圆的位置关系方法归纳
判断点P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系有几何法和代数法两种：
(1)对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．
(2)对于代数法，主要把点的坐标代入圆的标准方程，具体判断如下：
①当(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2时，点在圆内；
②当(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2时，点在圆上；
③当(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2时，点在圆外．圆的标准方程的应用方法归纳
本题的关键是建立平面直角坐标系，求出圆拱所在的圆的方程，用代数方法研究几何问题．?－2因此，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)叫做圆的一般方程．
2．待定系数法求圆的方程的步骤
(1)根据题意选择圆的标准方程或一般方程(选择标准方程或一般方程的一般原则是：若有与圆心坐标或圆的半径长相关的条件，设标准方程，否则设一般方程)；
(2)根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组；
(3)解出a，b，r或D，E,F,代入标准方程或一般方程即得．D2＋E2－4F＜01．圆x2＋y2＋2x－4y＋3＝0的圆心坐标是________，半径长是________．(－1,2)2．圆x2＋y2＋ax＝0的圆心的横坐标为1，则a等于________．
3．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是__________________．
解析：圆x2＋2x＋y2＝0的圆心为(－1,0)所求直线与直线x＋y＝0垂直，故所求直线的斜率k＝1,所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.－2x－y＋1＝0 下列方程是否表示圆，若表示圆，写出圆心坐标和半径长．
(1)2x2＋y2－7y＋5＝0；(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2＋x＋2＝0；(4)ax2＋ay2－4(a－1)x＋4y＝0(a≠0)．
(链接教材P111练习T4)判断圆的方程方法归纳
判断二元二次方程是否是圆的方程时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．1．判断方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径．
解：法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，
因此，当m＝2时，它表示一个点；当m≠2时，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m，－m)， 用待定系数法求圆的一般方程方法归纳
(1)与圆的标准方程一样,圆的一般方程也含有三个独立参数，因此，必须具备三个独立条件，才能确定圆的一般方程．
(2)如果已知条件和圆心或半径无直接关系，一般设出圆的一般方程，利用待定系数法求解．2．本题还有其他解法吗？请给出另外的解法．
解：还有其他解法，以下给出其中的两种．
法一：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程，于是有 已知△ABC中，CB＝3，CA＝4，AB＝5，点P是△ABC内切圆上一点，求PA2＋PB2＋PC2的最大值和最小值．
(链接教材P112练习T11)圆的方程的综合应用3．已知两定点A(－2,0)、B(8,0)，动点P在圆C：(x－3)2＋y2＝1上移动．
(1)求证：AP2＋BP2恒为定值；
(2)据(1)猜测：对任意圆C′，当两定点A、B与点C′满足什么关系时，AP2＋BP2恒为定值．课件35张PPT。2．2.2 直线与圆的位置关系第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系及判断210<＝>>＝<1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．相交2 已知圆x2＋y2＝2和直线y＝x＋b，当b为何值时，直线与圆满足下列条件．
(1)相交；(2)相切；(3)相离？
(链接教材P117练习T2)直线与圆的位置关系的判定方法归纳
直线与圆的位置关系的两种判断方法中，若直线和圆的方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法较简单；若直线或圆的方程中含有参数，且圆心到直线的距离表达较复杂，则用代数法较简单． 求圆的切线方程 弦长问题3．已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；
(2)求直线被圆C截得的弦长最小时直线l的方程．
解：(1)证明：直线l的方程可变形为
(x＋y－4)＋m(2x＋y－7)＝0.
∵m∈R.课件36张PPT。2．3 空间直角坐标系
2．3.1 空间直角坐标系 空间两点间的距离第2章 平面解析几何初步学习导航第2章 平面解析几何初步1．空间直角坐标系
(1)空间直角坐标系的概念
从空间某一个定点O引三条______________且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角坐标系O－xyz，点O叫做__________________，x轴、y轴和z轴叫做______________，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别称为______________、______________和______________互相垂直坐标原点坐标轴xOy平面yOz平面zOx平面(2)右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向______________的正方向，食指指向______________的正方向，若中指指向______________的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
(3)空间直角坐标系的画法
在平面上画空间直角坐标系时，x轴与y轴、x轴与z轴均成________________，而z轴垂直于y轴．y轴和z轴的单位长____________________，x轴的单位长等于y轴(或z轴)单位长的一半，如图所示．x轴y轴z轴135°相同2．空间直角坐标系中点的坐标
对于空间任意一点A，作点A在三条坐标轴上的__________，即经过点A作三个平面分别_____________于x轴、y轴和z轴，它们与x轴、y轴和z轴分别交于P，Q，R.点P，Q，R在相应数轴上的坐标依次为x，y，z，我们把有序实数组(x，y，z)叫做点A的坐标，记为______________
3．空间两点间的距离公式与中点坐标公式
(1)空间两点间的距离公式
一般地，空间中的任意两点P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)间的距离为P1P2＝______________________________ 射影垂直A(x，y，z)(0,2,0)或(0，－2,0) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点，且正方体棱长为1，请建立适当的直角坐标系，写出正方体各顶点及E、F、G的坐标．
(链接教材P119例2)确定空间任一点的坐标 空间中点的对称问题2．在空间直角坐标系中，点P(－2,1,4)．
(1)求点P关于x轴的对称点的坐标；
(2)求点P关于xOy平面的对称点的坐标；
(3)求点P关于点M(2，－1，－4)的对称点的坐标．
解：(1)由于点P关于x轴对称后，它在x轴的分量不变，在y轴、z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P1
(－2，－1，－4)．(2)由于点P关于xOy平面对称后，它在x轴、y轴的分量不变，在z轴的分量变为原来的相反数，所以对称点为P2(－2,1，－4)．
(3)设对称点为P3(x，y，z)，则点M为线段PP3的中点，由中点坐标公式，可得x＝2×2－(－2)＝6，
y＝2×(－1)－1＝－3，z＝2×(－4)－4＝－12.
所以P3(6，－3，－12)．空间两点间距离公式的应用方法归纳
由于图形中出现了两两垂直的三条直线，因此采用了建立空间直角坐标系，把几何问题转化为代数问题的方法求解，利用空间两点间的距离公式求得MN的长度，并利用二次函数求MN的最小值． 如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，所有的棱长都是1，建立适当的坐标系，并写出各点的坐标．课件31张PPT。第2章 平面解析几何初步第2章 平面解析几何初步(1)直线的倾斜角和斜率是直线方程中最基本的两个概念，它们从“形”与“数”两个方面刻画了直线的倾斜程度．倾斜角α与斜率k的对应关系和单调性，是做题的易错点，应引起特别的重视．
①对应关系
a．α≠90°时，k＝tan α.b.α＝90°时，斜率不存在．直线的倾斜角与斜率 过点M(0，－3)的直线l与以点A(3,0)，B(－4,1)为端点的线段AB有公共点，求直线l的斜率k的取值范围及倾斜角的范围．
[解] 如图所示，
①直线l过点A(3,0)时，即为直线MA，倾斜角α1为最小值，(1)直线方程的五种形式各有优劣，在使用时要根据题目条件灵活选择，尤其在选用四种特殊形式的直线方程时，注意其适用条件，必要时要对特殊情况进行讨论．
(2)两条直线的位置关系有相交、平行、重合三种，主要考查两条直线的平行和垂直．通常借助直线的斜截式方程来判断两条直线的位置关系，解题时要注意分析斜率是否存在，用一般式方程来判断，可以避免讨论斜率不存在的情况．直线的方程及两直线的位置关系x＋2y＝0或x＋y＋3＝01求圆的方程主要是联想圆系方程、圆的标准方程和一般方程，利用待定系数法解题．采用待定系数法求圆的方程的一般步骤：
(1)选择圆的方程的某一形式．
(2)由题意得a，b，r(或D，E，F)的方程(组)．
(3)解出a，b，r(或D，E，F)．
(4)代入圆的方程．求圆的方程直线与圆的位置关系(2)在两圆的位置关系中一般有两个主要问题．一个是判断两圆的位置关系，其关键就是抓住两圆的圆心和半径，根据圆心距和半径的和差大小关系作出判断；二是当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．对称问题 已知直线l：y＝3x＋3，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点坐标；
(2)直线y＝x－2关于l的对称直线的方程；
(3)直线l关于点A(3,2)的对称直线的方程．
[解] (1)设点P关于直线l的对称点P′(x′，y′)，则PP′的中点M在直线l上，且直线PP′垂直于直线l，数形结合的思想
