第一章1.3不共线三点确定二次函数的表达式练习试卷

1.3　不共线三点确定二次函数的表达式
基础题
知识点　不共线三点确定二次函数的表达式
1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(1，－1)，(2，－4)和(0，4)三点，那么a，b，c的值分别是(D)
A．a＝－1，b＝－6，c＝4
B．a＝1，b＝－6，c＝－4
C．a＝－1，b＝－6，c＝－4
D．a＝1，b＝－6，c＝4
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝－2时，y＝5，当x＝1时，y＝－4，当x＝3时，y＝0，则抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3．
3．已知二次函数的图象如图，则这个二次函数的表达式为y＝x2－2x－3．
4．(2018·湖州)已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，求a，b的值．
解：∵抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过点(－1，0)，(3，0)，
∴解得
∴a的值是1，b的值是－2.
5．(教材P21例2变式)已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？
(1)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，0)；
(2)A(0，－1)，B(1，2)，C(－1，－4)．
解：(1)设二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：
解得
∴二次函数y＝2x2＋x－1的图象经过A，B，C三点．
(2)设二次函数y＝a1x2＋b1x＋c1的图象经过A，B，C三点，则得到关于a1，b1，c1的三元一次方程组：
解得
∴一次函数的图象y＝3x－1经过A，B，C三点，这说明没有一个二次函数的图象经过A，B，C三点．
6．已知二次函数的图象的顶点为A(2，－2)，并且经过B(1，0)，C(3，0)，求这条抛物线的函数表达式．
解：解法1：设二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，将A(2，－2)，B(1，0)，C(3，0)代入，得
解得
所以y＝2x2－8x＋6.
解法2：设二次函数表达式为y＝a(x－2)2－2，将B(1，0)代入，得0＝a(1－2)2－2，解得a＝2.所以y＝2(x－2)2－2，即y＝2x2－8x＋6.
解法3：设二次函数表达式为y＝a(x－1)(x－3)，将A(2，－2)代入，得－2＝a(2－1)(2－3)，解得a＝2.所以y＝2(x－1)(x－3)，即y＝2x2－8x＋6.
7．(教材P21例1变式)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)，B(0，2)，C(1，3)．
(1)求二次函数的表达式；
(2)画出二次函数的图象．
解：(1)设y＝ax2＋bx＋2.
把A(－1，－1)，C(1，3)代入，得
解得
∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2.
(2)二次函数的图象如图所示．
中档题
8．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点为(－1，0)，(3，0)，其形状和开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则抛物线y＝ax2＋bx＋c的表达式为(D)
A．y＝－2x2－x＋3
B．y＝－2x2＋4x＋5
C．y＝－2x2＋4x＋8
D．y＝－2x2＋4x＋6
9．(2018·宁波)已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点(1，0)，(0，)．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)将抛物线y＝－x2＋bx＋c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．
解：(1)把(1，0)，(0，)代入抛物线表达式，得
解得
则抛物线表达式为y＝－x2－x＋.
(2)抛物线表达式为y＝－x2－x＋＝－(x＋1)2＋2，
将抛物线向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，表达式变为y＝－x2.
10．(教材P23习题T2变式)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
…
－1
0
1
2
4
…
y
…
0
－3
－4
－3
5
…
(1)求该二次函数的表达式；
(2)若A(－4，y1)，B(，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小；
(3)若A(m－1，y1)，B(m＋1，y2)两点都在该函数的图象上，试比较y1与y2的大小．
解：(1)把(－1，0)，(0，－3)，(1，－4)代入函数表达式y＝ax2＋bx＋c中，可得
解得
∴二次函数的表达式为y＝x2－2x－3.
(2)把x＝－4代入函数，可得y1＝21，把x＝代入函数，可得y2＝，∴y1＞y2.
(3)把x＝m－1代入函数表达式，可得y1＝m2－4m，
把x＝m＋1代入函数表达式，可得y2＝m2－4，
∴y1－y2＝－4m＋4＞0，即m＜1时，y1＞y2.
同理可得：当m＞1时，y1＜y2；
当m＝1时，y1＝y2.
综合题
11．如图，已知二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(4，0)两点，且函数的最大值为9.
(1)求二次函数的表达式；
(2)设此二次函数图象的顶点为C，与y轴交点为D，求四边形ABCD的面积．
解：(1)由抛物线的对称性知，它的对称轴是直线x＝＝1.
又∵函数的最大值为9，
∴抛物线的顶点为(1，9)．
设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2＋9，
代入B(4，0)，得a＝－1.
∴二次函数的表达式是y＝－(x－1)2＋9，
即y＝－x2＋2x＋8.
(2)当x＝0时，y＝8，即抛物线与y轴的交点坐标为D(0，8)．
过C作CE⊥x轴于点E.
∴S四边形ABCD＝S△AOD＋S四边形DOEC＋S△BCE
＝×2×8＋×(8＋9)×1＋×3×9
＝30.