第二章2.2圆心角圆周角练习试卷
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文档简介
2.2 圆心角、圆周角
2．2.1 圆心角
基础题
知识点1 认识圆心角
1．下面四个图中的角，是圆心角的是(D)
A B C D
2．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是(D)
A．54° B．72° C．90° D．126°
知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系
3．下列说法中，正确的是(B)
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
4．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝122°，则∠AOC的度数为(A)
A．122° B．120° C．61° D．58°
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为(B)
A．AB>CD B．AB＝CD
C．AB6．如图，已知在⊙O中，BC是直径，＝，∠AOD＝80°，则∠ABC等于(B)
A．40° B．65° C．100° D．105°
7．如图所示，在⊙O中，AC，BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则＝，∠AOC＝∠BOC；
(2)若＝，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则＝，AC＝BC．
8．如图，在⊙O中，点C是的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC等于40°．
9．如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝40°．
10．(教材P49练习T2变式)如图所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，求∠AEO的度数．
解：∵＝＝，
∠COD＝34°，
∴∠BOE＝102°.
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAO＝∠BOE＝51°.
中档题
11．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA.则∠BCD等于(C)
A．100° B．110° C．120° D．135°
12．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中，正确的个数为(D)
①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知，是同圆的两段弧，且＝2，则弦AB与2CD之间的关系为(B)
A．AB＝2CD
B．AB＜2CD
C．AB＞2CD
D．不能确定
提示：如图，在圆上截取＝，连接DE，CE，则有＝.∴AB＝CE.又CD＋DE＝2CD>CE＝AB，∴AB＜2CD，故选B.
14．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且有＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数；
(2)连接AB，BC，CA，试确定△ABC的形状．
解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA.
∴△ABC是等边三角形．
15．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD＝DE.
证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA.
∵AE∥CD，
∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA.
∴∠BOD＝∠DOE.
∴BD＝DE.
16．如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：＝.
证明：连接OC，OD，
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．
∴∠COM＝∠DON.
∴＝.
综合题
17．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
(2)如果OE＝OF，那么与的大小有什么关系？为什么？
解：(1)OE＝OF.理由：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD.
在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD(AAS)．
∴OE＝OF.
(2)＝.
理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO＝BO，CO＝DO，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°.
∴点E，F分别是AB，CD的中点．
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)．
∴BE＝DF.
∵AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD.
∴＝.
2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1
基础题
知识点1 认识圆周角
1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)
知识点2 圆周角定理
2．(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(B)
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于(D)
A．180°－2α B．2α
C．90°＋α D．90°－α
4．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30°．
5．(2018·广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．
知识点3 圆周角定理推论1
6．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD＝(A)
A．∠ACD B．∠ADB
C．∠AED D．∠ACB
7．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A)
A．28° B．42° C．56° D．84°
8．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于(C)
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(D)
A．60° B．45° C．35° D．30°
10．如图所示，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．
11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠BDC＝∠ADB.
∴DB平分∠ADC.
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
12．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°．
中档题
13．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(D)
A．45° B．40° C．25° D．20°
14．(2018·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA等于(D)
A．64° B．58° C．32° D．26°
15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正弦值等于．
16．如图所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为50°．
17．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝35°．
18．如图，点A，B，C三点在⊙O上，过C作CD∥AB与⊙O相交于D点，E是上一点，且满足AD＝DE，连接BD与AE相交于点F.求证：△AFD∽△ABC.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD.
∵AD＝DE，∴＝.
∴∠DAE＝∠AED.
∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.
∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，
∴△AFD∽△ABC.
综合题
19．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
证明：(1)△ABC是等边三角形．
在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，
∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC为等边三角形．
(2)在PC上截取PD＝AP，连接AD，
∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形．
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，
即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)．
∴BP＝CD.
又∵PD＝AP.
∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.
第2课时 圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质
基础题
知识点1 圆周角定理推论2
1．(2017·福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．则下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(D)
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
2．如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位长度，OF＝6个单位长度，则圆的直径为(B)
A．12个单位长度 B．10个单位长度
C．4个单位长度 D．15个单位长度
3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)
A．20° B．40° C．50° D．70°
4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)
A．30° B．45° C．60° D．70°
5．如图，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)
A. cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数．
解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝40°.
知识点2 圆内接四边形对角互补
7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A．115° B．105° C．100° D．95°
8．(教材P55例4变式)(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)
A．80° B．120° C．100° D．90°
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70°．
10．如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD＝DC.求证：AD平分∠EAC.
证明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB.
∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误
11．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．
中档题
12．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于(B)
A．60° B．120° C．140° D．150°
13．如图，AB为⊙O的直径，关于角p，q，r，s之间的关系：①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正确的是(A)
A．只有①和② B．只有①和③
C．只有②和③ D．①②③
14．(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)
A．15° B．30° C．45° D．60°
15．(2018·北京)如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．
16．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线．
(1)求证：△ABD为等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径．
解：(1)证明：
∵CD平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形．
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°.
∴∠BDA＝90°.∴AB是直径．
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝＝＝6.
∴⊙O的半径为3.
17．(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．
解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四边形ABFC是平行四边形．
又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)
∴平行四边形ABFC是菱形．
(2)连接BD.
∵AD＝7，BE＝CE＝2，
设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.
∵AB为半圆的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴AB2－AD2＝CB2－CD2.
∴(7＋x)2－72＝42－x2.
∴x1＝1或x2＝－8(舍去)．
∴S半圆＝×π×42＝8π.
∴BD＝.
∴S菱形ABFC＝8.
综合题
18．如图，在⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，点P在上运动(不与A，B重合)，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.
(1)试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？(不要求证明)
(2)当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCB？并给出证明．
解：(1)△PCQ∽△ACB.
(2)当为半圆时，
△ABC≌△PCB.
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∵为半圆，
∴CP是直径．
∴∠PBC＝90°，AB＝CP.
∵CB是公共边，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．
2．2.1 圆心角
基础题
知识点1 认识圆心角
1．下面四个图中的角，是圆心角的是(D)
A B C D
2．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是(D)
A．54° B．72° C．90° D．126°
知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系
3．下列说法中，正确的是(B)
A．等弦所对的弧相等
B．等弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等
D．弦相等所对的圆心角相等
4．如图，在⊙O中，＝，∠AOB＝122°，则∠AOC的度数为(A)
A．122° B．120° C．61° D．58°
5．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为(B)
A．AB>CD B．AB＝CD
C．AB
A．40° B．65° C．100° D．105°
7．如图所示，在⊙O中，AC，BC是弦，根据条件填空：
(1)若AC＝BC，则＝，∠AOC＝∠BOC；
(2)若＝，则AC＝BC，∠AOC＝∠BOC；
(3)若∠AOC＝∠BOC，则＝，AC＝BC．
8．如图，在⊙O中，点C是的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC等于40°．
9．如图所示，在⊙O中，＝，∠B＝70°，则∠A＝40°．
10．(教材P49练习T2变式)如图所示，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，求∠AEO的度数．
解：∵＝＝，
∠COD＝34°，
∴∠BOE＝102°.
∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠EAO＝∠BOE＝51°.
中档题
11．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA.则∠BCD等于(C)
A．100° B．110° C．120° D．135°
12．如图，在⊙O中，已知弦AB＝DE，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C，F，则下列说法中，正确的个数为(D)
①∠DOE＝∠AOB；②＝；③OF＝OC；④AC＝EF.
A．1 B．2 C．3 D．4
13．已知，是同圆的两段弧，且＝2，则弦AB与2CD之间的关系为(B)
A．AB＝2CD
B．AB＜2CD
C．AB＞2CD
D．不能确定
提示：如图，在圆上截取＝，连接DE，CE，则有＝.∴AB＝CE.又CD＋DE＝2CD>CE＝AB，∴AB＜2CD，故选B.
14．如图，A，B，C是⊙O上的三点，且有＝＝.
(1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC的度数；
(2)连接AB，BC，CA，试确定△ABC的形状．
解：(1)∵＝＝，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°.
(2)∵＝＝，
∴AB＝BC＝CA.
∴△ABC是等边三角形．
15．如图，AB，CD是⊙O的两条直径，过点A作AE∥CD交⊙O于点E，连接BD，DE，求证：BD＝DE.
证明：连接OE，
∵OA＝OE，
∴∠A＝∠OEA.
∵AE∥CD，
∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA.
∴∠BOD＝∠DOE.
∴BD＝DE.
16．如图，已知AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：＝.
证明：连接OC，OD，
∵AB是⊙O的直径，M，N分别是AO，BO的中点，
∴OM＝ON.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠OMC＝∠OND＝90°.
在Rt△OMC和Rt△OND中，
∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)．
∴∠COM＝∠DON.
∴＝.
综合题
17．如图，在⊙O中，AB，CD是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E，F.
(1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE与OF的大小有什么关系？为什么？
(2)如果OE＝OF，那么与的大小有什么关系？为什么？
解：(1)OE＝OF.理由：
∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝∠AOB，∠FOD＝∠COD.
∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD.
在△EOB和△FOD中，
∴△EOB≌△FOD(AAS)．
∴OE＝OF.
(2)＝.
理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO＝BO，CO＝DO，
∴∠OEB＝∠OFD＝90°.
∴点E，F分别是AB，CD的中点．
在Rt△BEO和Rt△DFO中，
∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)．
∴BE＝DF.
∵AB＝2BE，CD＝2DF，
∴AB＝CD.
∴＝.
2.2.2 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论1
基础题
知识点1 认识圆周角
1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)
知识点2 圆周角定理
2．(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(B)
A．75° B．70° C．65° D．35°
3．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于(D)
A．180°－2α B．2α
C．90°＋α D．90°－α
4．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30°．
5．(2018·广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．
知识点3 圆周角定理推论1
6．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，AC，BD相交于点E，则∠ABD＝(A)
A．∠ACD B．∠ADB
C．∠AED D．∠ACB
7．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A)
A．28° B．42° C．56° D．84°
8．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B等于(C)
A．30° B．35° C．40° D．50°
9．如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(D)
A．60° B．45° C．35° D．30°
10．如图所示，弦AB，CD相交于点O，连接AD，BC，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．
11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠BDC＝∠ADB.
∴DB平分∠ADC.
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
12．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°．
中档题
13．如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(D)
A．45° B．40° C．25° D．20°
14．(2018·菏泽)如图，在⊙O中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA等于(D)
A．64° B．58° C．32° D．26°
15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则∠AED的正弦值等于．
16．如图所示，在⊙O中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO的度数为50°．
17．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O中，A，B是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC，则∠BAC＝35°．
18．如图，点A，B，C三点在⊙O上，过C作CD∥AB与⊙O相交于D点，E是上一点，且满足AD＝DE，连接BD与AE相交于点F.求证：△AFD∽△ABC.
证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD.
∵AD＝DE，∴＝.
∴∠DAE＝∠AED.
∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.
∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC，
∴△AFD∽△ABC.
综合题
19．如图，⊙O的半径为1，A，P，B，C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°.
(1)判断△ABC的形状，并证明你的结论；
(2)试探究线段PA，PB，PC之间的数量关系，并证明你的结论．
证明：(1)△ABC是等边三角形．
在⊙O中，
∵∠BAC与∠CPB是所对的圆周角，
∠ABC与∠APC是所对的圆周角，
∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC.
又∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴△ABC为等边三角形．
(2)在PC上截取PD＝AP，连接AD，
∵∠APC＝60°，
∴△APD是等边三角形．
∴AD＝AP＝PD，∠ADP＝60°，
即∠ADC＝120°.
又∵∠APB＝∠APC＋∠BPC＝120°，
∴∠ADC＝∠APB.
在△APB和△ADC中，
∴△APB≌△ADC(AAS)．
∴BP＝CD.
又∵PD＝AP.
∴CP＝CD＋PD＝BP＋AP.
第2课时 圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质
基础题
知识点1 圆周角定理推论2
1．(2017·福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．则下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(D)
A．∠ADC B．∠ABD
C．∠BAC D．∠BAD
2．如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位长度，OF＝6个单位长度，则圆的直径为(B)
A．12个单位长度 B．10个单位长度
C．4个单位长度 D．15个单位长度
3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)
A．20° B．40° C．50° D．70°
4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)
A．30° B．45° C．60° D．70°
5．如图，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)
A. cm
B．5 cm
C．6 cm
D．10 cm
6．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数．
解：∵∠AOD＝130°，
∴∠BOD＝50°.
∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＝90°－∠B＝40°.
知识点2 圆内接四边形对角互补
7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A．115° B．105° C．100° D．95°
8．(教材P55例4变式)(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)
A．80° B．120° C．100° D．90°
9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70°．
10．如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD＝DC.求证：AD平分∠EAC.
证明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠EAD＝∠DCB.
∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.
又∵∠DBC＝∠DAC，
∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.
易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误
11．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．
中档题
12．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于(B)
A．60° B．120° C．140° D．150°
13．如图，AB为⊙O的直径，关于角p，q，r，s之间的关系：①p＝2q；②q＝r；③p＋s＝180°中，正确的是(A)
A．只有①和② B．只有①和③
C．只有②和③ D．①②③
14．(2018·白银)如图，⊙A过点O(0，0)，C(，0)，D(0，1)，点B是x轴下方⊙A上的一点，连接BO，BD，则∠OBD的度数是(B)
A．15° B．30° C．45° D．60°
15．(2018·北京)如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．
16．如图，已知点A，B，C，D均在⊙O上，CD为∠ACE的平分线．
(1)求证：△ABD为等腰三角形；
(2)若∠DCE＝45°，BD＝6，求⊙O的半径．
解：(1)证明：
∵CD平分∠ECA，
∴∠ECD＝∠DCA.
∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，
∴∠ECD＝∠DAB.
又∵∠DCA＝∠DBA，
∴∠DBA＝∠DAB.
∴DB＝DA.
∴△ABD是等腰三角形．
(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，
∴∠ECA＝∠ACB＝90°.
∴∠BDA＝90°.∴AB是直径．
∵BD＝AD＝6，
∴AB＝＝＝6.
∴⊙O的半径为3.
17．(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.
(1)求证：四边形ABFC是菱形；
(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．
解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵AB＝AC，
∴CE＝BE.
又∵EF＝AE，
∴四边形ABFC是平行四边形．
又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)
∴平行四边形ABFC是菱形．
(2)连接BD.
∵AD＝7，BE＝CE＝2，
设CD＝x，则AB＝AC＝7＋x.
∵AB为半圆的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴AB2－AD2＝CB2－CD2.
∴(7＋x)2－72＝42－x2.
∴x1＝1或x2＝－8(舍去)．
∴S半圆＝×π×42＝8π.
∴BD＝.
∴S菱形ABFC＝8.
综合题
18．如图，在⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，点P在上运动(不与A，B重合)，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q.
(1)试猜想：△PCQ与△ACB具有何种关系？(不要求证明)
(2)当点P运动到什么位置时，△ABC≌△PCB？并给出证明．
解：(1)△PCQ∽△ACB.
(2)当为半圆时，
△ABC≌△PCB.
证明：∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°.
∵为半圆，
∴CP是直径．
∴∠PBC＝90°，AB＝CP.
∵CB是公共边，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．