第二章2.3垂径定理练习试卷
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2.3 垂径定理
基础题
知识点1 垂径定理
1．(长沙中考改编)如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径长为(B)
A. B. C．2 D．4
2．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，交⊙O于E，则下列说法错误的是(D)
A．AD＝BD B．∠AOE＝∠BOE
C.＝ D．OD＝DE
3．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB.若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(D)
A．25° B．30° C．40° D．50°
4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是(A)
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，则OE＝4cm.
6．(教材P59例1变式)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为24．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径．
解：∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8.
设OB＝x，∵BE＝4，
∴x2＝(x－4)2＋82.
解得x＝10.
∴⊙O的直径是20.
知识点2 垂径定理的实际应用
8．(教材P60习题T1变式)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(A)
A．16
B．10
C．8
D．6
9．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r.
解：由题意，知OA＝OE＝r.
∵EF＝1，∴OF＝r－1.
∵OE⊥AB，
∴AF＝AB＝×3＝1.5.
在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，
即(r－1)2＋1.52＝r2.解得r＝.
∴圆O的半径为 m.
易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”
10．下列说法正确的是(D)
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
中档题
11．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(C)
A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm
12．(2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为(C)
A. B．2 C．2 D．8
提示：过点O作OH⊥PD于H，连接OD.AP＝2，BP＝6，则AO＝BO＝4，则PO＝2，又∠OPH＝∠APC＝30°，∴OH＝1，OD＝OB＝4，在Rt△HOD中，HD＝＝，∴CD＝2HD＝2.
13．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为(6，0)．
14．(2018·黄冈)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB.若AD＝6，则AC＝2．
15．(2018·孝感)已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.
16．(2018·安徽)如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
解：(1)画图如图所示．
(2)∵AE平分∠BAC，
∴＝.
连接OE，OC，EC，则OE⊥BC于点F，EF＝3.
在Rt△OFC中，由勾股定理可得，
FC＝＝＝.
在Rt△EFC中，由勾股定理可得，
CE＝＝＝.
17．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，
得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，
∴△AEC∽△DEB.
(2)∵CD⊥AB，O为圆心，
∴BE＝AB＝4.
设⊙O的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2.
∴在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2，
即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.
∴⊙O的半径为5.
综合题
18．如图，已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
解：过点O作OF⊥BC于点F.
∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝2，
∴∠OBC＝45°，
BC＝＝2.
∵OF⊥BC，∴BF＝BC＝，∠BOF＝45°.
∴∠OBF＝∠BOF.
∴OF＝BF＝.
∵∠MAN＝30°，∴OA＝2OF＝2.
∴AD＝2－2，
即当x＝2－2时，∠BOC＝90°.
小专题(五) 与圆的基本性质有关的计算与证明
1．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.
(1)求证：＝；
(2)求BD的长．
解：(1)证明：∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴＋＝＋.
∴＝.
(2)∵＝，
∴AC＝BD.
∵AC＝3 cm，
∴BD＝3 cm.
2．A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．
(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°；
(2)如图，若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数．
解：连接OA，OB，AB.
∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，
又∵AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2.
由勾股定理的逆定理可得，∠AOB＝90°.
∴∠APB＝∠AOB＝45°.
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上．若∠C＝45°.
(1)求∠ABD的度数；
(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．
解：(1)连接AD.
∵∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝45°.
(2)连接AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，
∴AB＝6.
∴⊙O的半径为3.
4．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，
∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴∠ACB＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2.
∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°.
∴BD＝AB＝2.
∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，
∴∠PBC＝∠PBD＝90°.
在Rt△PBD中，PD＝＝＝4.
5．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：
(1)桥拱的半径；
(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米？
解：(1)过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交圆于点D，则由题意得DF＝20.
由垂径定理知，
点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，
EF＝ED－FD＝AE－DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.
设圆的半径是r，
则r2＝402＋(r－20)2，
解得r＝50.
即桥拱的半径为50米．
(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，
MN交ED于H，连接EM，
则MH＝NH＝MN＝30米，
∴EH＝＝40(米)．
∵EF＝50－20＝30(米)，
∴HF＝EH－EF＝10米．
6．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED.若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
解：(1)证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C.
∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠B＝180°，
∴∠EDC＝∠B.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
(2)连接AE，∵AB为直径，
∴AE⊥BC.
由(1)知，AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝.
在△ABC与△EDC中，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△ABC∽△EDC.
∴＝.
∴CE·CB＝CD·CA.
∵AC＝AB＝4，
∴×2＝4CD.
∴CD＝.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长；
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.
∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC为等边三角形．
(2)连接BE.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点．
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×2＝1.
(3)存在点P使△PBD≌△AED，
由(1)(2)知，BD＝ED，
∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°.
∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°.
∴∠PBD＝∠AED.
要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.
基础题
知识点1 垂径定理
1．(长沙中考改编)如图，在⊙O中，弦AB＝6，圆心O到AB的距离OC＝2，则⊙O的半径长为(B)
A. B. C．2 D．4
2．如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，交⊙O于E，则下列说法错误的是(D)
A．AD＝BD B．∠AOE＝∠BOE
C.＝ D．OD＝DE
3．如图，在⊙O中，直径CD垂直于弦AB.若∠C＝25°，则∠BOD的度数是(D)
A．25° B．30° C．40° D．50°
4．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D.若⊙O的半径为5，AB＝8，则CD的长是(A)
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝6 cm，则OE＝4cm.
6．(教材P59例1变式)如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点M，AM＝18，BM＝8，则CD的长为24．
7．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB.若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径．
解：∵AB⊥CD，CD＝16，
∴CE＝DE＝8.
设OB＝x，∵BE＝4，
∴x2＝(x－4)2＋82.
解得x＝10.
∴⊙O的直径是20.
知识点2 垂径定理的实际应用
8．(教材P60习题T1变式)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB＝10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是(A)
A．16
B．10
C．8
D．6
9．如图所示，某窗户是由矩形和弓形组成，已知弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃，请帮工程师求出所在圆O的半径r.
解：由题意，知OA＝OE＝r.
∵EF＝1，∴OF＝r－1.
∵OE⊥AB，
∴AF＝AB＝×3＝1.5.
在Rt△OAF中，OF2＋AF2＝OA2，
即(r－1)2＋1.52＝r2.解得r＝.
∴圆O的半径为 m.
易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”
10．下列说法正确的是(D)
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
中档题
11．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为(C)
A．2 cm B. cm C．2 cm D．2 cm
12．(2018·枣庄)如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°.则CD的长为(C)
A. B．2 C．2 D．8
提示：过点O作OH⊥PD于H，连接OD.AP＝2，BP＝6，则AO＝BO＝4，则PO＝2，又∠OPH＝∠APC＝30°，∴OH＝1，OD＝OB＝4，在Rt△HOD中，HD＝＝，∴CD＝2HD＝2.
13．如图，以点P为圆心的圆弧与x轴交于A，B两点，点P的坐标为(4，2)，点A的坐标为(2，0)，则点B的坐标为(6，0)．
14．(2018·黄冈)如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠CAB＝60°，弦AD平分∠CAB.若AD＝6，则AC＝2．
15．(2018·孝感)已知⊙O的半径为10 cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm.
16．(2018·安徽)如图，⊙O为锐角△ABC的外接圆，半径为5.
(1)用尺规作图作出∠BAC的平分线，并标出它与劣弧BC的交点E；(保留作图痕迹，不写作法)
(2)若(1)中的点E到弦BC的距离为3，求弦CE的长．
解：(1)画图如图所示．
(2)∵AE平分∠BAC，
∴＝.
连接OE，OC，EC，则OE⊥BC于点F，EF＝3.
在Rt△OFC中，由勾股定理可得，
FC＝＝＝.
在Rt△EFC中，由勾股定理可得，
CE＝＝＝.
17．如图，CD为⊙O的直径，弦AB交CD于点E，连接BD，OB.
(1)求证：△AEC∽△DEB；
(2)若CD⊥AB，AB＝8，DE＝2，求⊙O的半径．
解：(1)证明：根据“同弧所对的圆周角相等”，
得∠A＝∠D，∠C＝∠ABD，
∴△AEC∽△DEB.
(2)∵CD⊥AB，O为圆心，
∴BE＝AB＝4.
设⊙O的半径为r，∵DE＝2，则OE＝r－2.
∴在Rt△OEB中，由勾股定理，得OE2＋EB2＝OB2，
即(r－2)2＋42＝r2，解得r＝5.
∴⊙O的半径为5.
综合题
18．如图，已知∠MAN＝30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD＝x.当x为何值时，⊙O与AM相交于B，C两点，且∠BOC＝90°？
解：过点O作OF⊥BC于点F.
∵∠BOC＝90°，OB＝OC＝2，
∴∠OBC＝45°，
BC＝＝2.
∵OF⊥BC，∴BF＝BC＝，∠BOF＝45°.
∴∠OBF＝∠BOF.
∴OF＝BF＝.
∵∠MAN＝30°，∴OA＝2OF＝2.
∴AD＝2－2，
即当x＝2－2时，∠BOC＝90°.
小专题(五) 与圆的基本性质有关的计算与证明
1．已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，AC＝3 cm.
(1)求证：＝；
(2)求BD的长．
解：(1)证明：∵∠1＝∠2，
∴＝，
∴＋＝＋.
∴＝.
(2)∵＝，
∴AC＝BD.
∵AC＝3 cm，
∴BD＝3 cm.
2．A，B是⊙O上的两个定点，P是⊙O上的动点(P不与A，B重合)，我们称∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．已知∠APB是⊙O上关于点A，B的滑动角．
(1)若AB是⊙O的直径，则∠APB＝90°；
(2)如图，若⊙O的半径是1，AB＝，求∠APB的度数．
解：连接OA，OB，AB.
∵⊙O的半径是1，即OA＝OB＝1，
又∵AB＝，
∴OA2＋OB2＝AB2.
由勾股定理的逆定理可得，∠AOB＝90°.
∴∠APB＝∠AOB＝45°.
3．如图，AB是⊙O的直径，C，D两点在⊙O上．若∠C＝45°.
(1)求∠ABD的度数；
(2)若∠CDB＝30°，BC＝3，求⊙O的半径．
解：(1)连接AD.
∵∠BCD＝45°，
∴∠DAB＝∠BCD＝45°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∴∠ABD＝45°.
(2)连接AC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠CAB＝∠CDB＝30°，BC＝3，
∴AB＝6.
∴⊙O的半径为3.
4．如图，A，P，B，C是圆上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，AP，CB的延长线相交于点D.
(1)求证：△ABC是等边三角形；
(2)若∠PAC＝90°，AB＝2，求PD的长．
解：(1)证明：∵A，P，B，C是圆上的四个点，
∴∠ABC＝∠APC，∠CPB＝∠BAC.
∵∠APC＝∠CPB＝60°，
∴∠ABC＝∠BAC＝60°.
∴∠ACB＝60°.
∴△ABC是等边三角形．
(2)∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝AB＝BC＝2.
∵∠PAC＝90°，∴∠DAB＝∠D＝30°.
∴BD＝AB＝2.
∵四边形APBC是圆内接四边形，∠PAC＝90°，
∴∠PBC＝∠PBD＝90°.
在Rt△PBD中，PD＝＝＝4.
5．如图，一圆弧形桥拱的圆心为E，拱桥的水面跨度AB＝80米，桥拱到水面的最大高度为20米．求：
(1)桥拱的半径；
(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度为多少米？
解：(1)过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交圆于点D，则由题意得DF＝20.
由垂径定理知，
点F是AB的中点，AF＝FB＝AB＝40米，
EF＝ED－FD＝AE－DF，
由勾股定理知，AE2＝AF2＋EF2＝AF2＋(AE－DF)2.
设圆的半径是r，
则r2＝402＋(r－20)2，
解得r＝50.
即桥拱的半径为50米．
(2)设水面上涨后水面跨度MN为60米，
MN交ED于H，连接EM，
则MH＝NH＝MN＝30米，
∴EH＝＝40(米)．
∵EF＝50－20＝30(米)，
∴HF＝EH－EF＝10米．
6．已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接ED.若ED＝EC.
(1)求证：AB＝AC；
(2)若AB＝4，BC＝2，求CD的长．
解：(1)证明：∵ED＝EC，
∴∠EDC＝∠C.
∵∠EDC＋∠ADE＝180°，∠ADE＋∠B＝180°，
∴∠EDC＝∠B.
∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
(2)连接AE，∵AB为直径，
∴AE⊥BC.
由(1)知，AB＝AC，
∴BE＝CE＝BC＝.
在△ABC与△EDC中，
∵∠C＝∠C，∠CDE＝∠B，
∴△ABC∽△EDC.
∴＝.
∴CE·CB＝CD·CA.
∵AC＝AB＝4，
∴×2＝4CD.
∴CD＝.
7．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长；
(3)在线段AB的延长线上是否存在一点P，使△PBD≌△AED，若存在，请求出PB的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是线段BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.
∵AB＝BC，∴AB＝BC＝AC.
∴△ABC为等边三角形．
(2)连接BE.
∵AB是直径，∴∠AEB＝90°.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点．
∵D是BC的中点，故DE为△ABC的中位线，
∴DE＝AB＝×2＝1.
(3)存在点P使△PBD≌△AED，
由(1)(2)知，BD＝ED，
∵∠BAC＝60°，DE∥AB，∴∠AED＝120°.
∵∠ABC＝60°，∴∠PBD＝120°.
∴∠PBD＝∠AED.
要使△PBD≌△AED，只需PB＝AE＝1.