第二章2.5直线与圆的位置关系练习试卷

2．5　直线与圆的位置关系
2．5.1　直线与圆的位置关系
基础题
知识点1　直线与圆的位置关系的判定
1．下图中直线l是⊙O的切线的是(C)
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点C为圆心，以2.5 cm为半径画圆，则⊙C与直线AB的位置关系是(A)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不能确定
3．如图为平面上⊙O与四条直线l1，l2，l3，l4的位置关系．若⊙O的半径为2 cm，且O点到其中一条直线的距离为2.2 cm，则这条直线是(C)
A．ll B．l2
C．l3 D．l4

4．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是(D)
A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切
C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切
5．在平面直角坐标系xOy中，以点(－3，4)为圆心，4为半径的圆(C)
A．与x轴相交，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，⊙O是以AB为直径的圆，则直线DC与⊙O的位置关系是相离．
7．(教材P65例1变式)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4 cm，BC＝2 cm，以C为圆心，r为半径的圆与AB有何种位置关系？请你写出判断过程．
(1)r＝1.5 cm；(2)r＝ cm；(3)r＝2 cm.
解：(1)相离．判断过程略．
(2)相切．判断过程略．
(3)相交．判断过程略．
知识点2　直线与圆的位置关系的性质
8．已知，⊙O的直径等于12 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的交点个数为(C)
A．0 B．1
C．2 D．无法确定
9．已知⊙O的半径为5，直线l是⊙O的切线，则点O到直线l的距离是(C)
A．2.5 B．3 C．5 D．10
10．已知⊙O的半径为4，直线l与⊙O不相交，则圆心到直线l的距离d一定满足(C)
A．d＞4 B．d＝4 C．d≥4 D．d≤4
易错点　直线与圆的位置关系未考虑全面而漏解
11．已知⊙O半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是相切与相交．
中档题
12．如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(B)
A．1
B．1或5
C．3
D．5
13．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点O为边AD的中点．如果以点O为圆心，r为半径的圆与对角线BD所在的直线相切，那么r的值是．
14．已知⊙O的半径是5，圆心O到直线AB的距离为2，则⊙O上有且只有3个点到直线AB的距离为3.
15．已知圆心O到直线m的距离为d，⊙O的半径为r.
(1)当d，r是方程x2－9x＋20＝0的两根时，判断直线m与⊙O的位置关系？
(2)当d，r是方程x2－4x＋p＝0的两根时，直线m与⊙O相切，求p的值．
解：(1)解方程x2－9x＋20＝0，得d＝5，r＝4或d＝4，r＝5.
当d＝5，r＝4时，d＞r，此时直线m与⊙O相离．
当d＝4，r＝5时，d＜r，此时直线m与⊙O相交．
(2)当直线m与⊙O相切时，d＝r，(x1－x2)2＝0＝(x1＋x2)2－4x1x2，
即16－4p＝0，解得p＝4.
16．如图，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝6，O是AB边上的一动点，以O为圆心，OA为半径画圆．
(1)设OA＝x，则x为多少时，⊙O与BC相切？
(2)当⊙O与直线BC相离或相交时，分别写出x的取值范围．
解：(1)在Rt△ABC中，
∵∠B＝30°，∠C＝90°，AC＝6，
∴AB＝12.
若⊙O与BC相切于点D，过点O作OD⊥BC，则
OD＝OA.
∵OB＝12－x.
∴OD＝OB＝6－x.
∴6－x＝x.
解得x＝4.
∴当x＝4时，⊙O与BC相切．
(2)当⊙O与直线BC相离时，0＜x＜4；
当⊙O与直线BC相交时，4＜x≤12.
综合题
17．设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的⊙O的圆心O在直线l上运动，点A，O间距离为d.
图1　　　　　　　图2　　　　　　　图3
(1)如图1，当r＜a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d，a，r之间关系
公共点的个数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a－r＜d＜a＋r
2
d＝a－r
1
d＜a－r
0
所以，当r＜a时，⊙O与正方形的公共点的个数可能有0，1，2个；
(2)如图2，当r＝a时，根据d与a，r之间关系，将⊙O与正方形的公共点个数填入下表：
d，a，r之间关系
公共点的个数
d＞a＋r
0
d＝a＋r
1
a≤d＜a＋r
2
d＜a
4
所以，当r＝a时，⊙O与正方形的公共点个数可能有0，1，2，4个；
(3)如图3，当⊙O与正方形有5个公共点时，试说明：r＝a.
解：连接OC.则OE＝OC＝r，OF＝EF－OE＝2a－r.在Rt△OCF中，由勾股定理，得
OF2＋FC2＝OC2，即(2a－r)2＋a2＝r2，4a2－4ar＋r2＋a2＝r2，5a2＝4ar，5a＝4r.
∴r＝a.
第2课时　切线的性质
基础题
知识点　圆的切线的性质
1．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，OP＝4，∠APO＝30°，则⊙O的半径为(C)
A．1 B. C．2 D．4

2．如图，AB是⊙O的弦，BC与⊙O相切于点B，连接OA.若∠ABC＝70°，则∠A等于(C)
A．10° B．15° C．20° D．30°
3．如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B.已知∠A＝30°，则∠C的大小是(A)
A．30° B．45° C．60° D．40°
　
4．如图，两个同心圆的半径分别为4 cm和5 cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为(C)
A．3 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
5．(2018·眉山)如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC.若∠P＝36°，则∠B等于(A)
A．27° B．32° C．36° D．54°

6．(教材P69练习T2变式)如图所示，⊙O与AC相切于点A，且AB＝AC，BC与⊙O相交于点D，下列说法不正确的是(D)
A．∠C＝45° B．CD＝BD
C．∠DAB＝∠DAC D．CD＝AB
7．(2018·湘潭)如图，AB是⊙O的切线，点B为切线．若∠A＝30°，则∠AOB＝60°．

8．如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB＝30°，则∠B＝60°.
9．如图，在等腰△OAB中，OA＝OB，以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证：AC＝BC.
证明：∵AB切⊙O于点C，
∴OC⊥AB.
∵OA＝OB，∴AC＝BC.
10．(教材P69练习T2变式)如图，已知AB是⊙O的直径，直线BC与⊙O相切于点B，∠ABC的平分线BD交⊙O于点D，AD的延长线交BC于点C.
(1)求∠BAC的度数；
(2)求证：AD＝CD.
解：(1)∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
∵直线BC与⊙O相切于点B，
∴∠ABC＝90°.
∴∠ABD＝45°.
∴∠BAC＝180°－90°－45°＝45°.
(2)证明：∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，
∴∠C＝45°.∴AB＝CB.
又∵BD⊥AC，∴AD＝CD.
中档题
11．(2018·泰安)如图，BM与⊙O相切于点B.若∠MBA＝140°，则∠ACB的度数为(A)
A．40° B．50° C．60° D．70°

12．如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB＝AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是(A)
A．30° B．45° C．60° D．90°
13．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，过C点的切线与AB的延长线交于P点．若∠P＝40°，则∠D的度数为115°．

14．如图，一个边长为4 cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等，⊙O与BC相切于点C，与AC相交于点E，则CE的长为3cm.
15．如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD.
(1)求证：△ABD≌△CDB；
(2)若∠DBE＝37°，求∠ADC的度数．
解：(1)证明：∵AB，CD是直径，
∴∠ADB＝∠CBD＝90°.
在Rt△ABD和Rt△CDB中，
∴Rt△ABD≌Rt△CDB(HL)．
(2)∵BE是切线，
∴AB⊥BE.∴∠ABE＝90°.
∴∠ABD＋∠DBE＝90°.
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.∴∠BAD＝∠DBE.
∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠CDA.
∴∠ADC的度数为37°.
16．如图，AC是⊙O的直径，四边形ABCD是平行四边形，AD，BC分别交⊙O于点F，E，连接AE，CF.
(1)试判断四边形AECF是哪种特殊的四边形，并说明理由；
(2)若AB与⊙O相切于点A，且⊙O的半径为5 cm，弦CE的长为8 cm，求AB的长．
解：(1)四边形AECF是矩形．理由如下：
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC＝∠AFC＝90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AF∥EC.∴∠EAF＝∠AEC＝90°.
∴四边形AECF是矩形．
(2)∵AB与⊙O相切于点A，∴∠BAC＝90°.
∵∠ACE＝∠BCA.
∴Rt△CAE∽Rt△CBA.
∴CA∶CB＝CE∶CA，即10∶CB＝8∶10.
∴CB＝，AB＝＝.
综合题
17．(2018·娄底)如图，C，D是以AB为直径的⊙O上的点，＝，弦CD交AB于点E.
(1)当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD＝∠DAB；
(2)求证：BC2－CE2＝CE·DE；
(3)已知OA＝4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．
解：(1)证明：∵AB是直径，
∴∠ADB＝90°，即∠DAB＋∠ABD＝90°.
又∵PB是⊙O的切线，
∴PB⊥AB.
∴∠ABP＝90°，即∠ABD＋∠PBD＝90°.
∴∠PBD＝∠DAB.
(2)证明：∵＝，
∴∠EBC＝∠BDC.
又∵∠BCE＝∠BCD，
∴△BCE∽△DCB.
∴＝.
∴BC2＝CE·CD.
∴BC2＝CE·(CE＋DE)．
∴BC2＝CE2＋CE·DE.
∴BC2－CE2＝CE·DE.
(3)连接OC.
∵E是OA的中点，
∴AE＝OE＝2.
∴BE＝4＋2＝6.
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°.
在Rt△COE中，OC＝4，OE＝2，
由勾股定理，得CE＝2.
∵＝.
∴∠DAB＝∠BCD.
又∵∠AED＝∠CEB，
∴△ADE∽△CBE.
∴＝.
∴＝.
∴DE＝.
*2.5.3　切线长定理
基础题
知识点　切线长定理
1．如图，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．如果∠PAB＝60°，PA＝2，那么AB的长为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4

2．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，切点分别是A，B.如果OP＝2，OA＝1，那么PB等于(C)
A．1 B．2 C. D．2
3．如图，PA，PB是⊙O的切线，切点为A，B.若OP＝4，PA＝2，则∠AOB的度数为(C)
A．60° B．90° C．120° D．无法确定
4．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E.若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝2．
5．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点．若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于1．

6．如图，四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA和⊙O相切，且AB＝8 cm，CD＝5 cm，则AD＋BC＝13cm.
7．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO与⊙O相交于点C，连接AC，BC，求证：AC＝BC.
证明：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴PA＝PB，
∠APC＝∠BPC.
又∵PC＝PC，
∴△APC≌△BPC(SAS)．
∴AC＝BC.
8．如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，∠P＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)当OA＝2时，求AB的长．
解：(1)∵PA，PB是⊙O的切线，
∴AP＝BP，
∠PAC＝90°.
又∵∠P＝60°，
∴∠PAB＝60°.
∴∠BAC＝∠PAC－∠PAB＝30°.
(2)连接OP.
在Rt△AOP中，OA＝2，∠APO＝30°.
∴OP＝4.
由勾股定理，得AP＝2.
∵AP＝BP，∠APB＝60°，
∴△APB是等边三角形．
∴AB＝AP＝2.
中档题
9．(教材P71例5变式)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O外一点，CA，CD是⊙O的切线，A，D为切点，连接BD，AD.若∠ACD＝30°，则∠DBA的大小是(D)
A．15°
B．30°
C．60°
D．75°
10．如图，⊙O内切于四边形ABCD，AB＝10，BC＝7，CD＝8，则AD的长度为(D)
A．8 B．9 C．10 D．11

11．如图，AE，AD和BC分别切⊙O于点E，D，F.如果AD＝20，那么△ABC的周长为(C)
A．20 B．30 C．40 D．50
12．如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，连接PO，与AB相交于点D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.
(1)求∠APB的大小；
(2)若PO＝20 cm，求△AOB的面积．
解：(1)∵∠C＝60°，
∴∠AOB＝120°.
∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°.
∴∠APB＝60°.
(2)∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，∴PA＝PB.
∴点P在AB的垂直平分线上．同理，点O在AB的垂直平分线上．∴PO垂直平分AB.
∵∠APB＝60°，∠AOB＝120°，
∴∠OPB＝∠OPA＝30°，∠POB＝∠POA＝60°.
∵PO＝20 cm，∴OB＝10 cm.
∴OD＝OB·cos∠POB＝5 cm.
∴BD＝OB·sin∠POB＝5 cm.
∴AB＝2BD＝10 cm.
∴S△AOB＝×10×5＝25 cm2.
13．(教材P72练习T1变式)如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.求：
(1)∠BOC的度数；
(2)BE＋CG的长；
(3)⊙O的半径．
解：(1)连接OF.
根据切线长定理，得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，
∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴∠OBC＋∠OCF＝90°.
∴∠BOC＝90°.
(2)由(1)知，∠BOC＝90°.
∵OB＝6 cm，OC＝8 cm，
∴由勾股定理，得BC＝＝10 cm.
∴BE＋CG＝BC＝10 cm.
(3)∵OF⊥BC，由面积相等，得OF＝＝4.8 cm.
综合题
14．如图，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E.已知AB＝8，边BC比AD大6.
(1)求边AD，BC的长；
(2)在直径AB上是否存在一动点P，使以A，D，P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．
解：(1)过点D作DF⊥BC于F，
在Rt△DFC中，DF＝AB＝8，FC＝BC－AD＝6，
∴DC2＝62＋82＝100，即DC＝10.
设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x＋6，
∴x＋(x＋6)＝10.
∴x＝2.∴AD＝2，BC＝2＋6＝8.
(2)存在符合条件的P点．设AP＝y，则BP＝8－y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：
①△ADP∽△BCP时，有
＝，即＝，∴y＝.
②△ADP∽△BPC时，有
＝，即＝.∴y＝4.
故存在符合条件的点P，此时AP＝或4.
2.5.4　三角形的内切圆
基础题
知识点1　三角形的内切圆、内心及作图
1．已知△ABC的内切圆O和各边分别相切于点D，E，F，则点O是△DEF的(D)
A．三条中线的交点
B．三条高的交点
C．三条角平分线的交点
D．三条边的中垂线的交点
2．关于三角形的内心：①到三边的距离相等；②到三个顶点的距离相等；③是三边垂直平分线的交点；④是三条内角平分线的交点．其中正确的说法有(B )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如图，某石油公司计划在三条公路围成的一块平地上建一个加油站，综合各种因素，要求这个加油站到三条公路的距离相等，则应建在(A)
A．△ABC的三条内角平分线的交点处
B．△ABC的三条高线的交点处
C．△ABC三边的中垂线的交点处
D．△ABC的三条中线的交点处
4．若三角形的内心和外心重合，那么这个三角形是(D)
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
5．制作铁皮桶，需在一块三角形材料上截取一个面积最大的圆，请画出该圆．(保留作图痕迹，不要求写作法)
解：⊙O即为所求作的圆．
知识点2　三角形的内心、内切圆的有关计算与证明
6．(2017·眉山)如图，在△ABC中，∠A＝66°，点I是内心，则∠BIC的大小为(C)
A．114°
B．122°
C．123°
D．132°
7．等边三角形外接圆的半径为2，那么它内切圆的半径为(A)
A．1 B. C. D．2
8．(2018·湖州)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是70°．
9．如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，CA于点D，E，F，设⊙O的半径为r，BC＝a，CA＝b，AB＝c.求证：S△ABC＝r(a＋b＋c)．
证明：连接OA，OB，OC，OD，OE，OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD＝OE＝OF＝r.
∵S△ABC＝S△AOB＋S△BOC＋S△COA，
∴S△ABC＝cr＋ar＋br＝r(a＋b＋c)．
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点．
(1)求证：四边形ODCE是正方形；
(2)如果AC＝6，BC＝8，求内切圆⊙O的半径．
解：(1)证明：∵⊙O是△ABC的内切圆，
∴OD⊥BC，OE⊥AC.
又∠C＝90°，
∴四边形ODCE是矩形．
∵OD＝OE，
∴四边形ODCE是正方形．
(2)∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，
∴AB＝＝10.
由切线长定理，得AF＝AE，BD＝BF，CD＝CE，
∴CD＋CE＝BC＋AC－BD－AE＝BC＋AC－AB＝4，则CE＝2.
即⊙O的半径为2.
易错点　内心与外心概念混淆不清
11．如图，△ABC是圆的内接三角形，点P是△ABC的内心，∠A＝50°，则∠BPC的度数为115°．
中档题
12．《九章算术》中“今有勾七步，股有二十四步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为7步，股(长直角边)长为24步，问该直角三角形的容圆(内切圆)直径是多少？”(C)
A．4步 B．5步 C．6步 D．8步
13．(2018·威海)如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为135°．
14．已知，在△ABC中，内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F.
(1)若∠A＝60°，求∠FDE的度数；
(2)若∠A＝130°，求∠FDE的度数；
(3)你能猜想出∠FDE与∠A有什么数量关系吗？不需要证明．
解：(1)连接IE，IF.
∵内切圆I和边BC，CA，AB分别相切于点D，E，F，
∴∠AEI＝∠AFI＝90°.
∵∠A＝60°，
∴∠EIF＝360°－∠AEI－∠AFI－∠A＝120°.
∴∠FDE＝∠EIF＝60°.
(2)方法同上，∠EIF＝50°.
∴∠FDE＝∠EIF＝25°.
(3)∠FDE＝90°－∠A.
15．如图所示，已知△ABC的内心为I，外心为O.
(1)试找出∠A与∠BOC，∠A与∠BIC的数量关系；
(2)由(1)题的结论写出∠BOC与∠BIC的关系．
解：(1)∠A＝∠BOC.
∵I是△ABC的内心，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB.
∴∠BIC＝180°－(∠IBC＋∠ICB)
＝180°－(∠ABC＋∠ACB)
＝180°－(180°－∠A)
＝90°＋∠A.
(2)∠BIC＝90°＋∠A
＝90°＋×∠BOC
＝90°＋∠BOC.
综合题
16．如图，有一块三角形余料ABC，∠B＝90°，BC＝3 m，AB＝4 m，现有两种余料的再利用方案，分别制作正方形和圆形桌面．
方案一，如图1，作正方形DEFB，使它的四个顶点都在△ABC边上；
方案二，如图2，作△ABC的内切圆O，它与三边分别相切于点G，H，I.
请通过计算，比较哪种方案的利用率高．
图1　　　　　　　图2
解：设DE＝x，则AD＝4－x，
∵DE⊥AB，∴△ADE∽△ABC.
∴＝，即＝.解得x＝.
∴S正方形DEFB＝()2＝.
∵△ABC中，∠B＝90°，BC＝3 m，AB＝4 m，
∴AC＝5 m.
∵点O是△ABC的内心，∴OI＝OG＝OH＝r.
∴(AB＋BC＋AC)·r＝AB·BC，即
(4＋3＋5)r＝4×3，解得r＝1.
∴S⊙O＝π.
∵＜π，∴方案二的利用率高．
2.5.2　圆的切线
第1课时　切线的判定
基础题
知识点　圆的切线的判定
1．下列直线中，能判定为圆的切线的是(D)
A．与圆有公共点的直线
B．过圆的半径的外端点的直线
C．垂直于圆的半径的直线
D．经过直径的一个端点，且垂直于这条直径的直线
2．如图，A是圆O上一点，AO＝5，PO＝13，AP＝12，则PA与圆O的位置关系是(C)
A．无法确定
B．相交
C．相切
D．相离
3．如图，△ABC的一边AB是⊙O的直径，请你添加一个条件，使得BC是⊙O的切线，你所添加的条件为AB⊥BC.

4．如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线．如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB的度数等于60°时，AC才能成为⊙O的切线．
5．(2018·邵阳)如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为D，连接BC，BC平分∠ABD.求证：CD为⊙O的切线．
证明：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠DBC.
∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB.
∴∠DBC＝∠OCB.∴OC∥BD.
∵BD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线．
6．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠DCB＝∠A.求证：CD是⊙O的切线．
证明：连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠A＋∠ABC＝90°.
又∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB.
又∵∠DCB＝∠A，
∴∠A＋∠ABC＝∠DCB＋∠OCB＝90°.
∴OC⊥DC.
又∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
7．(教材P67练习T2变式)如图，在△ABO中，OA＝OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C.
(1)求证：AB与⊙O相切；
(2)若∠AOB＝120°，AB＝4，求⊙O的面积．
解：(1)证明：连接CO.
∵AO＝BO，
∴△AOB是等腰三角形．
∵C是边AB的中点，
∴OC⊥AB.
∵OC是⊙O的半径，
∴AB与⊙O相切．
(2)在等腰△AOB中，∠AOB＝120°，
∴∠A＝∠B＝30°.
∵C是边AB的中点，AB＝4，∴AC＝2.
在Rt△ACO中，∠ACO＝90°，∠A＝30°，AC＝2，
∴OC＝AC＝2.
∴S＝π×22＝4π.
易错点　判断圆和各边相切时考虑不全面而漏解
8．如图，在平面直角坐标系第一象限内有一矩形OABC，B(4，2)，现有一圆同时和这个矩形的三边都相切，则此圆的圆心P的坐标为(1，1)或(3，1)或(2，0)或(2，2)．
中档题
9．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，还需补充一个条件，则补充的条件不正确的是(A)
A．DE＝DO
B．AB＝AC
C．CD＝DB
D．AC∥OD
10．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上的一点．若∠BAC＝∠CAM，过点C作直线l垂直于射线AM，垂足为D.试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
解：直线CD与⊙O相切．理由如下：
连接OC.
∵OA＝OC，
∴∠BAC＝∠OCA.
∵∠BAC＝∠CAM，
∴∠OCA＝∠CAM.∴OC∥AM.
∵CD⊥AM，∴OC⊥CD.
∵OC为半径，
∴直线CD与⊙O相切．
11．(1)如图1，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CAE＝∠B，试说明AE与⊙O相切于点A；
(2)在图2中，若AB为非直径的弦，∠CAE＝∠B，AE还与⊙O相切于点A吗？请说明理由．
图1　　　　　　　　　图2
解：(1)证明：∵AB为直径，
∴∠ACB＝90°.
∴∠B＋∠BAC＝90°.而∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°.
∴OA⊥AE.
又∵OA是⊙O的半径，
∴AE与⊙O相切于点A.
(2)AE还与⊙O相切于点A.理由如下：
作直径AD，连接DC，
∴∠D＋∠DAC＝90°.
∵∠B＝∠D，而∠CAE＝∠B，
∴∠CAE＋∠DAC＝90°，即∠DAE＝90°.
∴OA⊥AE.
又∵OA是⊙O的半径，
∴AE与⊙O相切于点A.
综合题
12．如图，已知⊙O的直径为AB，AC⊥AB于点A，BC与⊙O相交于点D，在AC上取一点E，使得ED＝EA.
(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)当OA＝3，AE＝4时，求BC的长度．
解：(1)证明：连接OD.
∵AC⊥AB，
∴∠BAC＝90°，
即∠OAE＝90°.
在△AOE与△DOE中，
∴△AOE≌△DOE(SSS)．
∴∠OAE＝∠ODE＝90°，即OD⊥ED.
又∵OD是⊙O的半径，
∴ED是⊙O的切线．
(2)∵AB是直径，∴∠ADB＝90°.
∴∠ADC＝90°.
∴∠ADE＋∠CDE＝90°，∠DAE＋∠ACD＝90°.
∵AE＝DE，∴∠ADE＝∠DAE.
∴∠CDE＝∠ACD.
∴DE＝CE.
又AE＝DE，
∴AE＝CE.
∴AC＝2AE＝8.
∵OA＝3，∴AB＝6.
在Rt△ABC中，
BC＝＝＝10.
∴BC的长度是10.