第二章2.6弧长与扇形面积练习试卷
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文档简介
2．6 弧长与扇形面积
第1课时 弧长
基础题
知识点 弧长公式(l＝)及其应用
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)
A. B．π C. D.
2．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C)
A．300° B．240° C．120° D．60°
3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C)
A．6 B．9 C．18 D．36
4．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为(D)
A.π B.π C．2π D.π
5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为(B)
A. B. C.π D．Π
6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为2米，秋千绕点O旋转了60°，点A旋转到点A′，则的长为米．(结果保留π)
7．如图，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)
8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则的长l＝π.
9．如图，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是，绳子AC和BD所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分的长．(结果保留π)
解：连接OC，OD，则OC⊥AC，BD⊥OD.
又∵AC与BD的夹角为30°，
∴∠COD＝150°.
∴的长为＝25π(cm)．
易错点 忽视题中条件
10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.
中档题
11．(2017·烟台)如图，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为(B)
A. B. C. D.
12．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)
A．5π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2 018次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)
A．2 018π B．3 024π
C．3 025.5π D．3 028.5π
14．如图，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2 cm.
(1)求⊙O的半径r；
(2)求劣弧的长．(结果保留π)
解：(1)过点O作OC⊥AB于点C，
则AC＝AB＝ cm.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝30°.
∴在Rt△AOC中，
r＝OA＝＝2 cm.
(2)劣弧的长为＝ cm.
15．图1，2，…，m分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…，n条弧．
(1)图1中3条弧的弧长的和为π，图2中4条弧的弧长的和为2π；
(2)求图m中n条弧的弧长的和．(用n表示)
解：(n－2)π.
综合题
16．某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心(即图中的C处)固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260 cm，OA，OB为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA，OB关于CD对称，的长为30π cm.当木杆CD向右摆动使点B落在地面上(即圆弧与直线l相切于点B)时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少厘米？
解：∵的长为30π cm，OA，OB为圆弧的半径，长为90 cm，
根据弧长公式l＝，得30π＝，
解得n＝60°.
即∠AOB＝60°，从而∠BOE＝∠COA＝30°.
∵OB＝90 cm，∴OE＝60 cm.
∴DE＝(170＋60)cm.
∴DF＝(90＋85 )cm.
第2课时 扇形的面积
基础题
知识点1 扇形的面积
1．已知扇形的半径为6 cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积是(B)
A．36π cm2 B．12π cm2
C．9π cm2 D．6π cm2
2．如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm2，那么扇形的半径为(B)
A．48 cm B．24 cm
C．12 cm D．6 cm
3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是(D)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π．(结果保留π)
5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是24cm，面积是240πcm2.(结果保留π)
6．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是．
7．(2018·巴中)如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为2π．
知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积
8．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是(A)
A.－ B.－2 C.－ D.－
9．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是(D)
A．4π－4 B．2π－4 C．4π D．2π
10．(2018·重庆A卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是6－π．(结果保留π)
11．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，连接AO，BO.
(1)所对的圆心角∠AOB＝120°；
(2)若OA＝3，求阴影部分的面积．
解：连接OP，
则∠OPA＝∠OPB＝∠APB＝30°.
在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝3.
∴S△OPA＝×3×3＝.
∴S阴影＝2×－＝9－3π.
中档题
12．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)
A. m2 B.π m2 C．π m2 D．2π m2
13．如图，CD是半圆O的直径，弦AB∥CD，且CD＝6，∠ADB＝30°，则阴影部分的面积是(B)
A．π B.π C．3π D．6π
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(－2，0)，△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°.现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为π．
15．(2017·郴州)如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA＝3.
(1)求证：AB平分∠OAD；
(2)若点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面积．(计算结果保留π)
解：(1)证明：连接OB，
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC.
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB.
∴∠DAB＝∠OBA.
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∴∠DAB＝∠OAB.
∴AB平分∠OAD.
(2)∵点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，
∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，
∴扇形OAB的面积为＝3π.
16．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6，AB＝6.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)连接OC，则OC⊥AB.∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝×6＝3.
在Rt△AOC中，OC＝＝3，
∴⊙O的半径为3.
(2)∵OC＝OB，∴∠B＝30°，∠COD＝60°.
∴S扇形OCD＝＝π.
∴S阴影＝SRt△OBC－S扇形OCD＝OC·CB－π＝－.
综合题
17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若图中阴影部分的面积是π cm2，OA＝2 cm，求OC的长．
解：(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD.
∴∠AOC＝∠BOD.
∵AO＝BO，CO＝DO，
∴△AOC≌△BOD(SAS)．
∴AC＝BD.
(2)根据题意，得
S阴影＝－＝，
∴π＝，解得OC＝1.
∴OC＝1cm.
第1课时 弧长
基础题
知识点 弧长公式(l＝)及其应用
1．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为(D)
A. B．π C. D.
2．已知一弧的半径为3，弧长为2π，则此弧所对的圆心角为(C)
A．300° B．240° C．120° D．60°
3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为(C)
A．6 B．9 C．18 D．36
4．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为(D)
A.π B.π C．2π D.π
5．(教材P78例2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝2.将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，则点B转过的路径长为(B)
A. B. C.π D．Π
6．如图所示，小亮坐在秋千上，秋千的绳长OA为2米，秋千绕点O旋转了60°，点A旋转到点A′，则的长为米．(结果保留π)
7．如图，已知正方形的边长为2 cm，以对角的两个顶点为圆心，2 cm长为半径画弧，则所得到的两条弧长度之和为2π__cm.(结果保留π)
8．如图，网格图中每个小正方形的边长为1，则的长l＝π.
9．如图，一根绳子与半径为30 cm的滑轮的接触部分是，绳子AC和BD所在的直线成30°角．请你测算一下接触部分的长．(结果保留π)
解：连接OC，OD，则OC⊥AC，BD⊥OD.
又∵AC与BD的夹角为30°，
∴∠COD＝150°.
∴的长为＝25π(cm)．
易错点 忽视题中条件
10．如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为25 cm，贴纸部分的宽BD为15 cm.若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为350πcm2.
中档题
11．(2017·烟台)如图，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则的长为(B)
A. B. C. D.
12．如图，用一个半径为5 cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索(粗细不计)与滑轮之间没有摩擦，则重物上升了(B)
A．5π cm B．3π cm C．2π cm D．π cm
13．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直线l上绕其右下角的顶点B向右旋转90°至图①位置，再绕右下角的顶点继续向右旋转90°至图②位置，…，以此类推，这样连续旋转2 018次后，顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之和是(D)
A．2 018π B．3 024π
C．3 025.5π D．3 028.5π
14．如图，圆心角∠AOB＝120°，弦AB＝2 cm.
(1)求⊙O的半径r；
(2)求劣弧的长．(结果保留π)
解：(1)过点O作OC⊥AB于点C，
则AC＝AB＝ cm.
∵∠AOB＝120°，OA＝OB，
∴∠A＝30°.
∴在Rt△AOC中，
r＝OA＝＝2 cm.
(2)劣弧的长为＝ cm.
15．图1，2，…，m分别是边长均大于2的三角形，四边形，…，凸n边形，分别以它们的各顶点为圆心，以1为半径画弧与两邻边相交，得到3条弧，4条弧，…，n条弧．
(1)图1中3条弧的弧长的和为π，图2中4条弧的弧长的和为2π；
(2)求图m中n条弧的弧长的和．(用n表示)
解：(n－2)π.
综合题
16．某商场为了迎接“六一”儿童节的到来，制造了一个超大的“不倒翁”．小灵对“不倒翁”很感兴趣，原来“不倒翁”的底部是由一个空心的半球做成的，并在底部的中心(即图中的C处)固定一个重物，再从正中心立起一根杆子，在杆子上做些装饰，在重力和杠杆的作用下，“不倒翁”就会左摇右晃，又不会完全倒下去．小灵画出剖面图，进行细致研究：圆弧的圆心为点O，过点O的木杆CD长为260 cm，OA，OB为圆弧的半径，长为90 cm(作为木杆的支架)，且OA，OB关于CD对称，的长为30π cm.当木杆CD向右摆动使点B落在地面上(即圆弧与直线l相切于点B)时，木杆的顶端点D到直线l的距离DF是多少厘米？
解：∵的长为30π cm，OA，OB为圆弧的半径，长为90 cm，
根据弧长公式l＝，得30π＝，
解得n＝60°.
即∠AOB＝60°，从而∠BOE＝∠COA＝30°.
∵OB＝90 cm，∴OE＝60 cm.
∴DE＝(170＋60)cm.
∴DF＝(90＋85 )cm.
第2课时 扇形的面积
基础题
知识点1 扇形的面积
1．已知扇形的半径为6 cm，圆心角为120°，则这个扇形的面积是(B)
A．36π cm2 B．12π cm2
C．9π cm2 D．6π cm2
2．如果扇形的圆心角为150°，它的面积为240π cm2，那么扇形的半径为(B)
A．48 cm B．24 cm
C．12 cm D．6 cm
3．若一个扇形的面积是12π，它的弧长是4π，则它的半径是(D)
A．3 B．4 C．5 D．6
4．圆心角是60°且半径为2的扇形面积为π．(结果保留π)
5．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是24cm，面积是240πcm2.(结果保留π)
6．如图所示，在3×3的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点O，A，B均为格点，则扇形OAB的面积大小是．
7．(2018·巴中)如图所示，以六边形的每个顶点为圆心，1为半径画圆，则图中阴影部分的面积为2π．
知识点2 与扇形有关的阴影部分的面积
8．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是(A)
A.－ B.－2 C.－ D.－
9．(2017·湘潭)如图，在半径为4的⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，垂足为E，∠AOB＝90°，则阴影部分的面积是(D)
A．4π－4 B．2π－4 C．4π D．2π
10．(2018·重庆A卷)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝2，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，图中阴影部分的面积是6－π．(结果保留π)
11．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝60°，连接AO，BO.
(1)所对的圆心角∠AOB＝120°；
(2)若OA＝3，求阴影部分的面积．
解：连接OP，
则∠OPA＝∠OPB＝∠APB＝30°.
在Rt△OAP中，OA＝3，∴AP＝3.
∴S△OPA＝×3×3＝.
∴S阴影＝2×－＝9－3π.
中档题
12．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为(A)
A. m2 B.π m2 C．π m2 D．2π m2
13．如图，CD是半圆O的直径，弦AB∥CD，且CD＝6，∠ADB＝30°，则阴影部分的面积是(B)
A．π B.π C．3π D．6π
14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标(－2，0)，△ABO是直角三角形，∠AOB＝60°.现将Rt△ABO绕原点O按顺时针方向旋转到Rt△A′B′O的位置，则此时边OB扫过的面积为π．
15．(2017·郴州)如图，AB是⊙O的弦，BC切⊙O于点B，AD⊥BC，垂足为D，OA是⊙O的半径，且OA＝3.
(1)求证：AB平分∠OAD；
(2)若点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，求扇形OAB的面积．(计算结果保留π)
解：(1)证明：连接OB，
∵BC切⊙O于点B，
∴OB⊥BC.
∵AD⊥BC，
∴AD∥OB.
∴∠DAB＝∠OBA.
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA.
∴∠DAB＝∠OAB.
∴AB平分∠OAD.
(2)∵点E是优弧上一点，且∠AEB＝60°，
∴∠AOB＝2∠AEB＝120°，
∴扇形OAB的面积为＝3π.
16．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA＝OB＝6，AB＝6.
(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)连接OC，则OC⊥AB.∵OA＝OB，
∴AC＝BC＝AB＝×6＝3.
在Rt△AOC中，OC＝＝3，
∴⊙O的半径为3.
(2)∵OC＝OB，∴∠B＝30°，∠COD＝60°.
∴S扇形OCD＝＝π.
∴S阴影＝SRt△OBC－S扇形OCD＝OC·CB－π＝－.
综合题
17．如图，圆心角都是90°的扇形OAB与扇形OCD叠放在一起，连接AC，BD.
(1)求证：AC＝BD；
(2)若图中阴影部分的面积是π cm2，OA＝2 cm，求OC的长．
解：(1)证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOC＋∠AOD＝∠BOD＋∠AOD.
∴∠AOC＝∠BOD.
∵AO＝BO，CO＝DO，
∴△AOC≌△BOD(SAS)．
∴AC＝BD.
(2)根据题意，得
S阴影＝－＝，
∴π＝，解得OC＝1.
∴OC＝1cm.