第二章2.7正多边形与圆练习试卷
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2.7 正多边形与圆
基础题
知识点1 认识正多边形
1．正八边形的每个内角为(B)
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 (B)
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(C)
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
知识点2 正多边形的有关作图
4．用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆四等分，再将直角平分，最后依次连接各分点即可得正八边形．
5．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：
(1)如图，作直径AD；
(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
(3)连接AB，AC，则△ABC为所求的三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：两位同学的方法正确．
连接BO，CO，设BC交AD于点E.
∵BC垂直平分OD，
∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝＝.
∴∠BOE＝60°.
由垂径定理，得∠COE＝∠BOE＝60°.
∵AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴AB＝BC＝CA，
即△ABC为等边三角形．
知识点3 正多边形与圆的有关计算
6．(2017·滨州)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)
A. B．2 C. D．1
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝(A)
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S.
解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA＝OB，
∴AM＝AB＝a.
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R＝＝＝.
∴周长P＝na.
∴面积S＝nS△OAB＝n×a×r＝nar.
中档题
9．(2017·达州)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A)
A. B. C. D.
10．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(A)
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
11．(教材P86习题T3变式)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为π．
12．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．
13．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连接AE.已知⊙O的半径为2 cm.
(1)求∠AED的度数和的长；
(2)求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．
解：(1)连接OA，OB.
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠F＝120°，∠AEF＝30°.
∴∠AED＝120°－30°＝90°.
∴∠AOB＝360°×＝60°，
的长为＝ cm.
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为H，
∵∠AOH＝30°，OA＝2 cm，
∴由勾股定理得OH＝ cm，S△AOB＝AB·OH＝×2×＝(cm2)．
∴正六边形ABCDEF的面积为6S△AOB＝6 cm2，⊙O的面积为π·22＝4π cm2.
∴正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比＝6∶4π＝3∶2π.
14．如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数．
解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM.
在△BCF和△CDM中，
∴△BCF≌△CDM(SAS)．
(2)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCF＝＝108°.
∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°.
∵△BCF≌△CDM，
∴∠MCD＝∠CBF.
∴∠MCD＋∠CFB＝72°.
∴∠BPM＝∠CPF
＝180°－(∠MCD＋∠CFB)
＝108°.
综合题
15．如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
解：(1)连接OB，OC.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠BOC＝120°.
而BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN(SAS)．
∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
(3)∠MON＝.
基础题
知识点1 认识正多边形
1．正八边形的每个内角为(B)
A．120° B．135° C．140° D．144°
2．对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 (B)
A．正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴
B．正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心
C．正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角
D．正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补
3．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(C)
①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
知识点2 正多边形的有关作图
4．用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆四等分，再将直角平分，最后依次连接各分点即可得正八边形．
5．在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：
(1)如图，作直径AD；
(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；
(3)连接AB，AC，则△ABC为所求的三角形．
请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由．
解：两位同学的方法正确．
连接BO，CO，设BC交AD于点E.
∵BC垂直平分OD，
∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝＝.
∴∠BOE＝60°.
由垂径定理，得∠COE＝∠BOE＝60°.
∵AD为直径，∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴AB＝BC＝CA，
即△ABC为等边三角形．
知识点3 正多边形与圆的有关计算
6．(2017·滨州)若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(A)
A. B．2 C. D．1
7．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝(A)
A．30° B．35° C．45° D．60°
8．如图，已知正n边形边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S.
解：∵正n边形边长为a，OM⊥AB，OA＝OB，
∴AM＝AB＝a.
∵边心距为r，
∴正n边形的半径R＝＝＝.
∴周长P＝na.
∴面积S＝nS△OAB＝n×a×r＝nar.
中档题
9．(2017·达州)以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(A)
A. B. C. D.
10．为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域．设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(A)
A．2a2 B．3a2 C．4a2 D．5a2
11．(教材P86习题T3变式)如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的⊙O，则劣弧AB的长度为π．
12．(2018·株洲)如图，正五边形ABCDE和正三角形AMN都是⊙O的内接多边形，则∠BOM＝48°．
13．如图，正六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，连接AE.已知⊙O的半径为2 cm.
(1)求∠AED的度数和的长；
(2)求正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比．
解：(1)连接OA，OB.
∵ABCDEF为正六边形，
∴∠F＝120°，∠AEF＝30°.
∴∠AED＝120°－30°＝90°.
∴∠AOB＝360°×＝60°，
的长为＝ cm.
(2)过点O作OH⊥AB，垂足为H，
∵∠AOH＝30°，OA＝2 cm，
∴由勾股定理得OH＝ cm，S△AOB＝AB·OH＝×2×＝(cm2)．
∴正六边形ABCDEF的面积为6S△AOB＝6 cm2，⊙O的面积为π·22＝4π cm2.
∴正六边形ABCDEF与⊙O的面积之比＝6∶4π＝3∶2π.
14．如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.
(1)求证：△BCF≌△CDM；
(2)求∠BPM的度数．
解：(1)证明：∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM.
在△BCF和△CDM中，
∴△BCF≌△CDM(SAS)．
(2)∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCF＝＝108°.
∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°.
∵△BCF≌△CDM，
∴∠MCD＝∠CBF.
∴∠MCD＋∠CFB＝72°.
∴∠BPM＝∠CPF
＝180°－(∠MCD＋∠CFB)
＝108°.
综合题
15．如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.
(1)求图1中∠MON的度数；
(2)图2中∠MON的度数是90°，图3中∠MON的度数是72°；
(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系．(直接写出答案)
解：(1)连接OB，OC.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠BOC＝120°.
而BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN(SAS)．
∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOC＝120°.
(3)∠MON＝.