第四节 力的合成

§3.4 力的合成
【学习目标 细解考纲】
1.深刻理解合力与分力的等效替代关系。
2.区分矢量与标量，知道矢量的合成，应用平行四边形定则。
3.通过实验探究，理解力的合成，能用力的合成分析日常生活中的问题。
4.能够用图解法和计算法求多个力的合力的大小和方向。
【必记概念 必记公式】
如果一个力和其他几个力的____________相同，就把这一个力叫那几个力的合力。
互成角度的二力合成时，可以用表示这两个力的线段为___________作平行四边形。
这两个邻边之间的对角线就表示合力的_______________和_______________。
物体受几个力的作用，这几个力作用于一点上或__________________交于一点，这样的一组力就叫做_________________，平等四边形定则只适用于_________________。
【知识梳理 双基再现】
一.力的合成
一袋面粉可由一个人提起,也可由两个人抬起;
拉纤,同样的船,同样的水流,可由一个人拉,……这就是生活中我们常见到的一个力的作用效果与两个或者多个力作用效果相同的事例。
概念：一个力产生的效果跟几个力共同作用效果相同，那么这个力叫做几个力的合力，那几个力叫这个力的分力。
特点：①合力和分力的关系是等效替代关系，强调的是效果相同；
②合力并不是单独存在的力。
力的合成：求几个力的合力的过程叫做力的合成。
例题1：关于合力和分力，下列说法中正确的是（ ）
A.合力和分力是等效的 B.合力和分力的性质相同
C.合力和分力同时作用在物体上 D.合力和分力的性质不影响作用效果
例题2：关于合力与其两个分力的关系，下列说法正确的是（ ）
A.合力的作用效果与两个分力的作用效果相同
B.合力的大小一定等于两个分力的大小之和
C.合力可能小于它的任一个分力
D.合力大小可能等于某一个分力的大小
二.共点力和平行四边形法则
1.共点力：如果物体受到两个或两个以上的力作用，这些力作用在物体的同一点，或者它们的延长线相交于一点，这样的一组力叫共点力。
力的合成法则——平行四边形法则只适用于共点力
2.平行四边形定则
内容：两个力合成时，以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对
角线就代表合力的大小和方向，这个法则就叫平行四边形法则。
注意：①平行四边形定则是物理学中一个重要的原则，不仅对力的合成适用，对所有矢量的合成都是成立的。
②作平行四边形时，两个分力跟合力的作用点相同，虚-实要分清，要严格按比例作图。
③多个力合成时，先求出任意两个力的合力，再求出这个合力与第三个力的合力，直到把所有的力都合成进去，最后得到的结果就是这些力的合力
3.合力和分力的关系
合力可以大于两个分力中的任何一个分力，也可以小于其中任何一个分力，也可以等于分力，合力的大小随两分力夹角的增大而减小，两力合力的取值范围：
例题3：三个大小分别为3N.7N.9N的力的合力，最大为 ，最小为
例题4：两个大小相等的共点力,当它们间的夹角为时，合力大小为，则当它
们间夹角为时，合力的大小为（ ）
A. B. C. D.
例题5：一个物体受到两个共点力的作用，大小为和，则合力的数值可能是（ ）
A. B. C. D.
例题6：两个共点力，大小都为，如果使这两个力的合力也是，这两个力之间的夹角应为（ ）
A. B. C. D.
三．两个共点力合力大小的判断
两个共点力大小一定时，合力的大小和方向随着之间的夹角的改变而改变
（1）当夹角时，力在同一直线上且方向相同，，方向跟两个力的方向相同。此时，合力最大。
（2）当夹角时，力、在同一直线上且方向相反，,方向跟两个力中较大的那个力的方向相同，此时，合力最大。
（3）当，.
由上述分析可知，合力的大小可在最大值最小值之间取值，取值范围为。
例7，大小不变的两个共点力与，其合力为,则（ ）
A.合力一定大于一分力
B.合力大小既可等于，也可等于
C.合力有可能小于任何一个分力
D.合力大小随、之间的夹角增大而增大。
四、力的合成的方法
（1）力的合成的三种方法：
①作图法：要选取统一标度，严格作出力的图示及平行四边形，用统一标度去度量作出的平行四边形的对角线，求出合力的大小。
②计算法：根据平行四边形定则作出示意图，然后利用解三角形的方法求出对角线，即为合力。
③公式法：如图3-4-1所示，合力的大小及方向。
a．大小：.
b．方向：(为与的夹角，为合力与分力间的夹角)
(2)力的合成的几种特殊情况：
①相互垂直的两个力的合成，如图所示，。合力与分力的夹角(为合力与的夹角)。
②夹角为，两个等大的力的合成，如图3－4－3所示，作出的平行四边形，利用其对角线垂直的特点可得直角三角形，解直角三角形求得合力，合力与每一个分力的夹角等于，
③夹角为的两个等大的力的合成，如图3－4－4所示，实际②的特殊情况：，即合力大小等于分力。从图上看出，对角线把画出的菱形分为两个等边三角形，所以合力与分力等大。
例题：大小不变的两个共点力与，其合力为，则（ ）
A.合力一定大于任何一分力
B.合力大小既可等于，也可等于
C.合力有可能小于任何一个分力
D.合力大小随，之间的夹角增大而减小
例题：如图所示，表示五个共点力的有向线段恰分别构成正六边形和三条对角线，已知，这五个共点力的合力大小为（ ）
A. B. C. D.
例题：两个共点力的合力大小在之间，当这两个共点力互相垂直时，其合力的大小为（ ）
A. B. C. D.条件不足，无法确定
五．正交分解法：?
把一个力分解成两个互相垂直的分力，这种分解方法称为正交分解法。
用正交分解法求合力的步骤：
①首先建立平面直角坐标系，并确定正方向
②把各个力向x轴、y轴上投影，但应注意的是：与确定的正方向相同的力为正，与确定的正方向相反的为负，这样，就用正、负号表示了被正交分解的力的分力的方向
③求在x轴上的各分力的代数和Fx合和在y轴上的各分力的代数和Fy合
④求合力的大小
合力的方向：tanα=（α为合力F与x轴的夹角）
点评：力的正交分解法是把作用在物体上的所有力分解到两个互相垂直的坐标轴上，分解最终往往是为了求合力（某一方向的合力或总的合力）
【例5】质量为m的木块在推力F作用下，在水平地面上做匀速运动．已知木块与地面间的动摩擦因数为 ，那么木块受到的滑动摩擦力为下列各值的哪个
A． mg Ｂ． （mg+Fsinθ）
Ｃ． （mg+Fsinθ） Ｄ．Fcosθ
解析：木块匀速运动时受到四个力的作用：重力mg、推力F、支持力FN、摩擦力F ．沿水平方向建立x轴，将F进行正交分解如图(这样建立坐标系只需分解F)，由于木块做匀速直线运动，所以，在x轴上，向左的力等于向右的力（水平方向二力平衡）；在y轴上向上的力等于向下的力（竖直方向二力平衡）．即
Fcosθ＝F ①
FN＝mg+Fsinθ ②
又由于F ＝ FN ③
∴F ＝ （mg+Fsinθ） 故Ｂ、Ｄ答案是正确的．
小结：（1）在分析同一个问题时，合矢量和分矢量不能同时使用。也就是说，在分析问题时，考虑了合矢量就不能再考虑分矢量；考虑了分矢量就不能再考虑合矢量。
（2）矢量的合成分解，一定要认真作图。在用平行四边形定则时，分矢量和合矢量要画成带箭头的实线，平行四边形的另外两个边必须画成虚线。
（3）各个矢量的大小和方向一定要画得合理。
（4）在应用正交分解时，两个分矢量和合矢量的夹角一定要分清哪个是大锐角，哪个是小锐角，不可随意画成45°。（当题目规定为45°时除外）
【典型例题】
【例1】物体受到互相垂直的两个力F1、F2的作用，若两力大小分别为5N、５ N，求这两个力的合力．
解析：根据平行四边形定则作出平行四边形，如图所示，由于F1、F2相互垂直，所以作出的平行四边形为矩形，对角线分成的两个三角形为直角三角形，由勾股定理得：
N=10 N
合力的方向与F1的夹角θ为：
θ＝30°
点评：今后我们遇到的求合力的问题，多数都用计算法，即根据平行四边形定则作出平行四边形后，通过解其中的三角形求合力．在这种情况下作的是示意图，不需要很严格，但要规范，明确哪些该画实线，哪些该画虚线，箭头应标在什么位置等．
【例2】如图甲所示，物体受到大小相等的两个拉力的作用，每个拉力均为200 N，两力之间的夹角为60°，求这两个拉力的合力．
解析：根据平行四边形定则，作出示意图乙，它是一个菱形，我们可以利用其对角线垂直平分，通过解其中的直角三角形求合力．
N=346 N
合力与F1、F2的夹角均为30°．
点评：
（1）求矢量时要注意不仅要求出其大小，还要求出其方向，其方向通常用它与已知矢量的夹角表示．
（2）要学好物理，除掌握物理概念和规律外，还要注意提高自己应用数学知识解决物理问题的能力．
【例3】（1）下列哪组力作用在物体上，有可能使物体处于平衡状态
A．3N，4N，8N B．3N，5N，1N
C．4N，7N，8N D．7N，9N，6N
（2）用手施水平力将物体压在竖直墙壁上，在物体始终保持静止的情况下
A．压力加大，物体受的静摩擦力也加大
B．压力减小，物体受的静摩擦力也减小
C．物体所受静摩擦力为定值，与压力大小无关
D．不论物体的压力改变与否，它受到的静摩擦力总等于重力
（3）如下图所示，木块在水平桌面上，受水平力F1 =10N，F2 =3N而静止，当撤去F1后，木块仍静止，则此时木块受的合力为
A．0 B．水平向右，3N
C．水平向左，7N D．水平向右，7N
解析：（1）CD 在共点力作用下物体的平衡条件是合力为零，即F合＝0。只有CD两个选项中的三个力合力为零。
（2）CD?物体始终保持静止，即是指物体一直处于平衡状态，则据共点力作用下物体的平衡条件有
对物体受力分析，如下图
可得F = FN ，Ff = G
（3）A 撤去F1后，木块仍静止，则此时木块仍处于平衡状态，故木块受的合力为0．
【例4】氢气球重10 N，空气对它的浮力为16 N，用绳拴住，由于受水平风力作用，绳子与竖直方向成30°角，则绳子的拉力大小是__________，水平风力的大小是________.
解析：气球受到四个力的作用：重力G、浮力F1、水平风力F2和绳的拉力F3，如图所示由平衡条件可得
F1=G+F3cos30°
F2=F3sin30°
解得 F3=N F1=2N
答案：4N 2N
【例5】水平横粱的一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B，一轻绳的一端C固定于墙上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量m=10 kg的重物，∠CBA＝30°，如图甲所示，则滑轮受到绳子的作用力为（g=10m/s2）
A．50N B．50N C．100N D．100N
解析：取小滑轮作为研究对象，悬挂重物的绳中的弹力是T＝mg=10×10N=100 N，故小滑轮受绳的作用力沿BC、BD方向的大小都是100N，分析受力如图（乙）所示． ∠CBD＝120°，∠CBF＝∠DBF，∴∠CBF=60°，⊿CBF是等边三角形．故F＝100 N。故选C。