24．1.1 圆
01 基础题
知识点1 圆的有关概念
1．下列条件中，能确定唯一一个圆的是(C)
A．以点O为圆心
B．以2 cm长为半径
C．以点O为圆心，5 cm长为半径
D．经过点A
2．下列命题中正确的有(A)
①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
3．过圆上一点可以作出圆的最长弦的条数为(A)
A．1条 B．2条
C．3条 D．无数条
4．如图，在⊙O中，弦有AC，AB，直径是AB，优弧有，，劣弧有，.
5．如图，在⊙O中，点B在⊙O上，四边形AOCB是矩形，对角线AC的长为5，则⊙O的半径长为5．
知识点2 圆中的半径相等
6．如图，MN为⊙O的弦，∠N＝52°，则∠MON的度数为(C)
A．38° B．52°
C．76° D．104°
7．(朔州月考)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD＝(A)
A．10° B．15°
C．20° D．25°
8．如图，AB为⊙O的直径，点C，D在⊙O上，已知∠BOC＝70°，AD∥OC，则∠AOD＝40°.
9．如图，AB，AC为⊙O的弦，连接CO，BO并延长，分别交弦AB，AC于点E，F，∠B＝∠C.求证：CE＝BF.
证明：∵OB，OC是⊙O的半径，
∴OB＝OC.
又∵∠B＝∠C，∠BOE＝∠COF，
∴△EOB≌△FOC(ASA)．
∴OE＝OF.
∴OE＋OC＝OF＋OB，即CE＝BF.
10．如图，CE是⊙O的直径，AD的延长线与CE的延长线交于点B，若BD＝OD，∠AOC＝114°，求∠AOD的度数．
解：设∠B＝x.
∵BD＝OD，
∴∠DOB＝∠B＝x.
∴∠ADO＝∠DOB＋∠B＝2x.
∵OA＝OD，
∴∠A＝∠ADO＝2x.
∵∠AOC＝∠A＋∠B，
∴2x＋x＝114°，解得x＝38°.
∴∠AOD＝180°－∠A－∠ADO＝180°－4x＝180°－4×38°＝28°.
02 中档题
11．如图，在△ABC中，AB为⊙O的直径，∠B＝60°，∠BOD＝100°，则∠C的度数为(C)
A．50° B．60° C．70° D．80°
12．下列四边形：①平行四边形；②菱形；③矩形；④正方形．其中四个顶点在同一个圆上的有(B)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
13．下面3个命题：①半径相等的两个圆是等圆；②长度相等的弧是等弧；③一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧．其中真命题的个数为(B)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
14．如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为(B)
A.r B.r C．r D．2r
15．已知A，B是半径为6 cm的圆上的两个不同的点，则弦长AB的取值范围是0
16．如图，AB是⊙O的弦，半径OC，OD分别交AB于点E，F，且AE＝BF，请你写出线段OE与OF的数量关系，并给予证明．
解：OE＝OF.
证明：连接OA，OB.
∵OA，OB是⊙O的半径，
∴OA＝OB.
∴∠OAB＝∠OBA.
又∵AE＝BF，
∴△OAE≌△OBF(SAS)．
∴OE＝OF.
17．(教材P81练习T3变式)如图，在△ABC中，BD，CE是两条高，点O为BC的中点，连接OD，OE.求证：B，C，D，E四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
证明：∵BD，CE是两条高，
∴∠BDC＝∠BEC＝90°.
∵点O为BC的中点，
∴OE＝OB＝OC＝BC.
同理：OD＝OB＝OC＝BC.
∴OB＝OC＝OD＝OE.
∴B，C，D，E四个点在以点O为圆心的同一个圆上．
03 综合题
18．如图，过A，C，D三点的圆的圆心为E，过B，F，E三点的圆的圆心为D，∠A＝63°，求∠B的度数．
解：连接EC，ED.
∵AE＝CE，
∴∠ACE＝∠A＝63°.
∴∠AEC＝180°－63°×2＝54°.
∵DE＝DB，
∴∠DEB＝∠B.
∴∠CDE＝∠DEB＋∠B＝2∠B.
∵CE＝DE，
∴∠ECD＝∠CDE＝2∠B.
∴∠AEC＝∠ECD＋∠B＝3∠B.
∴3∠B＝54°.
∴∠B＝18°.
24.1.2 垂直于弦的直径
01 基础题
知识点1 圆的对称性
1．下列说法正确的是(B)
A．直径是圆的对称轴
B．经过圆心的直线是圆的对称轴
C．与圆相交的直线是圆的对称轴
D．与半径垂直的直线是圆的对称轴
2．圆是轴对称图形，它的对称轴有(D)
A．1条 B．2条 C．4条 D．无数条
知识点2 垂径定理
3．(黄石中考)如图所示，⊙O的半径为13，弦AB的长度是24，ON⊥AB，垂足为N，则ON＝(A)
A．5 B．7 C．9 D．11
4．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不一定成立的是(D)
A．CM＝DM B.＝
C．△OCM≌△ODM D．OM＝MB
5．(大同期中)如图，在半径为5 cm的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为4 cm，则AB＝6__cm．
6．(长沙中考)如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，已知CD＝6，EB＝1，则⊙O的半径为5．
7．如图，已知⊙O的半径为4，OC垂直弦AB于点C，∠AOB＝120°，则弦AB的长为4．
知识点3 垂径定理的推论
8．如图，⊙O的半径为10，M是AB的中点，且OM＝6，则⊙O的弦AB等于(D)
A．8 B．10 C．12 D．16
知识点4 垂径定理的应用
9．(金华中考)如图，在半径为13 cm的圆形铁片上切下一块高为8 cm的弓形铁片，则弓形弦AB的长为(C)
A．10 cm
B．16 cm
C．24 cm
D．26 cm
10．(茂名中考)如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(即CD)为0.5米．
11．如图是某风景区的一个圆拱形门，路面AB宽为2米，净高5米，求圆拱形门所在圆的半径是多少米．
解：连接OA.
∵CD⊥AB，且CD过圆心O，
∴AD＝AB＝1米，∠CDA＝90°.
设⊙O的半径为R，则
OA＝OC＝R，OD＝5－R.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得
OA2＝OD2＋AD2，即
R2＝(5－R)2＋12，解得R＝2.6.
∴圆拱形门所在圆的半径为2.6米．
易错点 忽略垂径定理的推论中的条件“不是直径”
12．下列说法正确的是(D)
A．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧
B．弦的垂直平分线平分它所对的两条弧，但不一定过圆心
C．过弦的中点的直径垂直于弦
D．平分弦所对的两条弧的直径平分弦
02 中档题
13．(呼和浩特中考)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为M.若AB＝12，OM∶MD＝5∶8，则⊙O的周长为(B)
A．26π B．13π
C. D.
14．如图，在⊙O中，AB，AC是互相垂直的两条弦，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，且AB＝8 cm，AC＝6 cm，那么⊙O的半径OA长为5__cm.
15．(宿迁中考)如图，在△ABC中，已知∠ACB＝130°，∠BAC＝20°，BC＝2，以点C为圆心，CB为半径的
圆交AB于点D，则BD的长为2．
16．如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为4．
17．(雅安中考)⊙O的直径为10，弦AB＝6，P是弦AB上一动点，则OP的取值范围是4≤OP≤5．
18．如图，已知⊙O的直径AB垂直弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD.
(1)求证：点E是OB的中点；
(2)若AB＝8，求CD的长．
解：(1)证明：连接AC.
∵OB⊥CD，
∴CE＝ED，即OB是CD的垂直平分线．
∴AC＝AD.
同理AC＝CD.
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°，∠DCF＝30°.
在Rt△COE中，OE＝OC＝OB.
∴点E是OB的中点．
(2)∵AB＝8，∴OC＝AB＝4.
又∵BE＝OE，∴OE＝2.
∴CE＝＝＝2.
∴CD＝2CE＝4.
19．(湖州中考)已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D(如图所示)．
(1)求证：AC＝BD；
(2)若大圆的半径R＝10，小圆的半径r＝8，且圆心O到直线AB的距离为6，求AC的长．
解：(1)证明：过点O作OE⊥AB于点E.
则CE＝DE，AE＝BE.
∴AE－CE＝BE－DE，
即AC＝BD.
(2)连接OA，OC.
由(1)可知，OE⊥AB且OE⊥CD，
∴CE＝＝＝2，
AE＝＝＝8.
∴AC＝AE－CE＝8－2.
03 综合题
20．太原市城市风貌提升工程正在火热进行中，检查中发现一些破旧的公交车候车亭有碍观瞻，现准备制作一批新的候车亭，查看了网上的一些候车亭图片后(如图1)，设计师画出了如图2所示的侧面示意图，FG为水平线段，PQ⊥FG，点H为垂足，FG＝2 m，FH＝1.2 m，点P在弧FG上，且弧FG所在圆的圆心O到FG，PQ的距离之比为5∶2，则PH的长约为0.6__m.
24．1.3 弧、弦、圆心角
01 基础题
知识点1 圆心角的概念及其计算
1．下面图形中的角是圆心角的是(D)
A B C D
2．已知⊙O的半径为5 cm，弦AB的长为5 cm，则弦AB所对的圆心角∠AOB＝60°.
知识点2 弧、弦、圆心角之间的关系
3．下列说法正确的是(B)
A．相等的圆心角所对的弧相等
B．在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C．弦相等，圆心到弦的距离相等
D．圆心到弦的距离相等，则弦相等
4．(兰州中考)如图，在⊙O中，点C是的中点，∠A＝50°，则∠BOC＝(A)
A．40° B．45° C．50° D．60°
5．(教材P85练习T2变式)(贵港中考)如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是(A)
A．51° B．56° C．68° D．78°
6．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的点，∠1＝∠2，则下列结论中正确的有(D)
①＝；②＝；③AC＝BD；④∠BOD＝∠AOC.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，则∠BCD的度数为(C)
A．100° B．110°
C．120° D．135°
8．如图，AB，DE是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，且＝.BE与CE的大小有什么关系？为什么？
解：BE＝CE.理由如下：
∵AB，DE是⊙O的直径，
∴∠AOD＝∠BOE.
∴＝.
∵＝，∴＝.
∴BE＝CE.
9．如图，M为⊙O上一点，OD⊥AM于点D，OE⊥BM于点E.若OD＝OE，求证：＝.
证明：连接OM.
∵OD⊥AM，OE⊥BM，
∴AD＝MD，ME＝BE，∠ODM＝∠OEM＝90°.
在Rt△DMO和Rt△EMO中，
∴Rt△DMO≌Rt△EMO(HL)．
∴DM＝EM.∴AM＝BM.
∴＝.
易错点 对圆中的有关线段的关系运用不当而致错
10．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且AD＝BC，则AB与CD的大小关系为(B)
A．AB>CD
B．AB＝CD
C．ABD．不能确定
02 中档题
11．如图，已知A，B，C在圆O上，D，E，F是三边的中点．若＝，则四边形AEDF的形状是(B)
A．平行四边形 B．菱形
C．正方形 D．矩形
12．已知⊙O中，M为的中点，则下列结论正确的是(C)
A．AB＞2AM
B．AB＝2AM
C．AB＜2AM
D．AB与2AM的大小不能确定
13．如图，AB是半圆O的直径，E是OA的中点，F是OB的中点，ME⊥AB于点E，NF⊥AB于点F.在下列结论中：
①＝＝；②ME＝NF；③AE＝BF；④ME＝2AE.
正确的有①②③．
14．如图，AB是⊙O的直径，＝，∠COD＝60°.
(1)△AOC是等边三角形吗？请说明理由；
(2)求证：OC∥BD.
解：(1)△AOC是等边三角形．
理由：∵＝，
∴∠AOC＝∠COD＝60°.
又∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形．
(2)证明：∵∠AOC＝∠COD＝60°，
∴∠BOD＝180°－(∠AOC＋∠COD)＝60°.
∵OD＝OB，∴△ODB为等边三角形．
∴∠ODB＝60°.
∴∠ODB＝∠COD＝60°.
∴OC∥BD.
15．(教材P84例3变式)如图，A，B，C为圆O上的三等分点．
(1)求∠BOC的度数；
(2)若AB＝3，求圆O的半径长及S△ABC.
解：(1)∵A，B，C为圆O上的三等分点，
∴＝＝.
∴∠BOC＝×360°＝120°.
(2)过点O作OD⊥AB于点D，
∵A，B，C为圆O上的三等分点，
∴AB＝AC＝BC＝3，
即△ABC是等边三角形．
∴∠BAO＝∠OBA＝30°.
则AD＝，故DO＝，OA＝，即圆O半径长为.
∴S△ABC＝3××DO·AB＝.
03 综合题
16．如图，∠AOB＝90°，C，D是的三等分点，连接AB分别交OC，OD于点E，F，求证：AE＝BF＝CD.
证明：连接AC，BD.
∵C，D是的三等分点，
∴＝＝.
∴AC＝CD＝DB.
又∠AOB＝90°，
∴∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝∠AOB＝×90°＝30°.
∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45°.
∴∠AEC＝∠AOC＋∠OAB＝75°.
在△AOC中，OA＝OC，
∴∠ACO＝＝＝75°.
∴∠AEC＝∠ACO.∴AE＝AC.
同理BF＝BD.
∴AE＝BF＝CD.
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及其推论
01 基础题
知识点1 圆周角的概念
1．下列图形中的角是圆周角的是(B)
知识点2 圆周角定理
2．(茂名中考)如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠B＝75°，则∠AOC的度数是(A)
A．150° B．140° C．130° D．120°
3．(滨州中考)如图，在⊙O中，圆心角∠BOC＝78°，则圆周角∠BAC的大小为(C)
A．156° B．78° C．39° D．12°
4．(山西模拟)如图，直径为AB的⊙O中，＝2，连接BC，则∠B的度数为(B)
A．35° B．30° C．20° D．15°
知识点3 圆周角定理的推论
5．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A＝35°，则∠B的度数是(C)
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．(绍兴中考)如图，BD是⊙O的直径，点A，C在⊙O上，＝，∠AOB＝60°，则∠BDC的度数是(D)
A．60° B．45° C．35° D．30°
7．(黔西南中考)如图，在⊙O中，＝，∠BAC＝50°，则∠AEC的度数为(A)
A．65° B．75° C．50° D．55°
8．(太原二模)如图，BD是圆O的直径，∠CBD＝30°，则∠A的度数为(C)
A．30° B．45° C．60° D．75°
9．(常州中考)如图，把直角三角板的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)
A. cm B．5 cm
C．6 cm D．10 cm
10．(朝阳中考)如图是一个圆形人工湖的平面图，弦AB是湖上的一座桥，已知桥长100 m，测得圆周角∠ACB＝30°，则这个人工湖的直径为200m.
11．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，AB＝BC，BD交AC于点E，连接CD，AD.求证：DB平分∠ADC.
证明：∵AB＝BC，
∴＝.
∴∠ADB＝∠BDC.
∴DB平分∠ADC.
易错点 忽略弦所对的圆周角不唯一而致错
12．已知⊙O的弦AB的长等于⊙O的半径，则此弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．
02 中档题
13．(海南中考)如图，点A、B、C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝25°，则∠BOC的度数为(B)
A．25° B．50°
C．60° D．80°
14．(吕梁孝义市期中)如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为(B)
A．100° B．110°
C．115° D．120°
15．(广州中考)如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，垂足为E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，则下列说法中正确的是(D)
A．AD＝2OB B．CE＝EO
C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD
16．如图，⊙C经过原点，并与两坐标轴分别交于A，D两点，已知∠OBA＝30°，点A的坐标为(2，0)，则点D的坐标为(0，2)．
17．如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D.
(1)求BC的长；
(2)求BD的长．
解：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝∠ADB＝90°.
∴在Rt△ABC中，
BC＝＝＝5.
(2)∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝45°.
∴∠BAD＝∠ABD＝45°.
∴AD＝BD.
设BD＝AD＝x，
在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD2＋BD2＝AB2.
∴x2＋x2＝102.
解得x＝5.
∴BD＝5.
18．如图，在△ABC中，AB＝BC＝2，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，且点D为边BC的中点．
(1)求证：△ABC为等边三角形；
(2)求DE的长．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵点D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线．
∴AB＝AC.
又∵AB＝BC，
∴AB＝AC＝BC.
∴△ABC为等边三角形．
(2)连接BE.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°.
∴BE⊥AC.
∵△ABC是等边三角形，
∴AE＝EC，即E为AC的中点．
又∵D是BC的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DE＝AB＝×2＝1.
03 综合题
19．(东营中考)如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AB＝8 cm，＝＝，M是AB上一动点，CM＋DM的最小值为8__cm．
第2课时 圆内接四边形
01 基础题
知识点 圆内接四边形的性质
1．(湘潭中考)如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB＝60°，则∠BCD的度数是(D)
A．60° B．90°
C．100° D．120°
2．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)
A．115° B．105°
C．100° D．95°
3．(娄底中考)如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠C＝∠D，则AB与CD的位置关系是AB∥CD．
4．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，D是的中点，则∠DAC的度数是30°．
5．如图所示，已知圆心角∠AOB＝100°，求∠ACD的度数．
解：在优弧AMB 上任取一点N，连接AN，BN，
由圆周角定理，得∠N＝∠AOB＝×100°＝50°.
∴∠ACB＝180°－∠N＝180°－50°＝130°.
∴∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－130°＝50°.
6．已知圆内接四边形相邻三个内角度数的比为2∶1∶7，求这个四边形各内角的度数．
解：根据圆内接四边形的对角互补可知，其对角和相等，所以四个内角的度数的比为2∶1∶7∶8.
设这四个内角的度数分别为2x°、x°、7x°、8x°，则
2x＋x＋7x＋8x＝360.解得x＝20.
则2x＝40，7x＝140，8x＝160.
答：这个四边形各内角的度数分别为40°、20°、140°、160°.
7．(T4的变式)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠B＝50°，∠ACD＝25°，∠BAD＝65°.求证：
(1)AD＝CD；
(2)AB是⊙O的直径．
证明：(1)∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠D＝180°－∠B＝130°.
∵∠ACD＝25°，
∴∠DAC＝180°－∠D－∠ACD＝180°－130°－25°＝25°.
∴∠DAC＝∠ACD.
∴AD＝CD.
(2)∵∠BAC＝∠BAD－∠DAC＝65°－25°＝40°，∠B＝50°，
∴∠ACB＝180°－∠B－∠BAC＝180°－50°－40°＝90°.
∴AB是⊙O的直径．
易错点 对圆内接四边形的概念理解不清导致错误
8．(来宾中考)如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．
02 中档题
9．(山西中考模拟百校联考)如图，点A，B，C，D为⊙O上的点，四边形AOBC是菱形，则∠ADB的度数是(C)
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．(聊城中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，F是上一点，且＝，连接CF并延长交AD的延长线于点E，连接AC.若∠ABC＝105°，∠BAC＝25°，则∠E的度数为(B)
A．45° B．50° C．55° D．60°
11．(南京中考)如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中，∠CAD＝35°，则∠B＋∠E＝215°．
12．(吉林中考)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝130°，连接OC，点P是半径OC上任意一点，连接DP，BP，则∠BPD可能为80(50°≤∠BPD≤100°)(写出一个即可)．
13．如图，⊙C经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点A与点B，点A的坐标为(0，4)，M是圆上一点，∠BMO＝120°.求⊙C的半径．
解：∵四边形ABMO内接于⊙C，
∴∠BAO＋∠BMO＝180°.
∵∠BMO＝120°，
∴∠BAO＝60°.
在Rt△ABO中，AO＝4，∠BAO＝60°，
∴AB＝8.
∵∠AOB＝90°，
∴AB为⊙C的直径．
∴⊙C的半径为4.
14．(苏州中考)如图，AB是圆O的直径，D，E为圆O上位于AB异侧的两点，连接BD并延长至点C，使得CD＝BD.连接AC交圆O于点F，连接AE，DE，DF.
(1)求证：∠E＝∠C；
(2)若∠E＝55°，求∠BDF的度数．
解：(1)证明：连接AD.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC.
∵CD＝BD，∴AD垂直平分BC.∴AB＝AC.∴∠B＝∠C.
又∵∠B＝∠E，∴∠E＝∠C.
(2)∵四边形AEDF是⊙O的内接四边形，
∴∠AFD＝180°－∠E.
又∵∠CFD＝180°－∠AFD，
∴∠CFD＝∠E＝55°.
∵∠E＝∠C＝55°，
∴∠BDF＝∠C＋∠CFD＝110°.
03 综合题
15．(佛山中考)如图，⊙O的内接四边形ABCD两组对边的延长线分别交于点E，F.
(1)若∠E＝∠F，求证：∠ADC＝∠ABC；
(2)若∠E＝∠F＝42°，求∠A的度数；
(3)若∠E＝α，∠F＝β，且α≠β.请你用含有α，β的代数式表示∠A的大小．
解：(1)证明：∵∠DCE＝∠BCF，∠E＝∠F，
又∵∠ADC＝∠E＋∠DCE，∠ABC＝∠F＋∠BCF，
∴∠ADC＝∠ABC.
(2)由(1)知∠ADC＝∠ABC，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC＋∠ABC＝180°.
∴∠ADC＝90°.
在Rt△ADF中，∠A＝90°－∠F＝90°－42°＝48°.
(3)连接EF.
∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠ECD＝∠A.
∵∠ECD＝∠CEF＋∠CFE，
∴∠A＝∠CEF＋∠CFE.
∵∠A＋∠CEF＋∠CFE＋∠DEC＋∠BFC＝180°，
∴2∠A＋α＋β＝180°.
∴∠A＝90°－.
