3.1 探索勾股定理同步练习（第1课时）
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第三章 勾股定理
1 探索勾股定理
第1课时
新知识记：
1.勾股定理：
(1)文字叙述:直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
(2)字母表示:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么： 。
(3)我国古代把直角三角形中较 的直角边称为勾,较 的直角边称为股,斜边称为弦。
2.勾股定理存在和应用的前提条件是在 ,如果不是 ,那么三边就不存在这样的关系。
典例精析·拓新知
知识点一 勾股定理的简单应用
【典例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,AC=2.1，AB=3.5。
求:(1)BC的长。
(2)△ABC的面积。
(3)斜边AB上的高CD的长。
(4)斜边被分成的两部分AD和BD的长。
【自主解答】
●学霸提醒
运用勾股定理求解线段长度问题的“四步法”
1.找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形。
2.定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系。
3.计算:根据勾股定理计算相关线段的平方。
4.求值:估算所求数值是哪个数的平方,然后确定线段长度。
【变式训练】(2018·卢龙县期中)一直角三角形的三边长分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为（ ）
A.13 B.5 C.13或5 D.无法确定
知识点二 勾股定理与图形面积
【典例2】(2018·济南历下期中)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm,则正方形D的面积为（ ）
A 14 cm2 B.16 cm2 C. 15 cm2 D.9cm2
●学霸提醒
利用面积关系可以证明勾股定理,反过来可以利用勾股定理解决与面积有关的问题,解题关键是将一个大正方形的面积转化为四个较小正方形的面积要认真体会勾股定理在这类面积问题中的作用。
【变式训练】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15cm.以直角边AC、BC为边作正方形,则这两个正方形面积的和为（ ）
A.150cm2 B 200 cm2 C.225cm2 D.350 cm2
达标训练·夯基础
知识点一 勾股定理的简单应用
1.(2018·丹江口期末)若在Rt△ABC中,∠C=90°且 AB=13,BC=12,则AC=（ ）
A.11 B.8 C.5 D.3
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 。
5.如图所示,在5×5的正方形网格中,每个最小正方形的边长都等于1,则AB2= 。
6.(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为 。
知识点二 勾股定理与图形面积
1.(2018·东台市期中)如图中的四边形均为正方形,三角形为直角三角形,则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A.12 B.13 C.144 D.194
2.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.7
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,在AB的同侧分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,图中阴影部分的面积分别记作S1和S2.试说明:S1+S2=S△ABC
纠错:
已知直角三角形的三边长为6,8,x,则以x为边长的正方形的面积为 .
解：由定理得62+82=X2，即X2=100.又正方形的边长为X,所以其面积为X2=100.
答案：100
【错因】
考题变式·提能力
(2018·谷城县期末)在△ABC中,边AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是（ ）
A.42 B.32 C.42或32 D.不能确定
●母题变式
【变式一】已知直角三角形两边的长分别为3cm,4cm,则以第三边为边长的正方形的面积为 。
【变式二】已知:如图,在△ABC中AD是BC边上的高,AB=13cm,AC =15cm,AD=12cm,求△ABC的面积。
参考答案及解析
新知识记：
1.(1)平方和 平方 (2)a2+b2=c2
2.直角三角形中 直角三角形
典例精析·拓新知
【典例1】【自主解答】(1)BC2=AB2-AC2=3.52-2.12=2.82 。所以BC=2.8.
(2)S△ABC=AC×BC=×2.1×2.8=2.94.
(3)由三角形的面积公式得AC×BC=AB×CD，所以×2.1×2.8=×3.5×CD，解得CD=1.68.
(4)在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2。所以AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=（2.1+1.68）×（2.1-1.68）=3.78×0.42=2×1.98×2×0.21=22 ×9×0.21×0.21，所以AD=2×3×0.21=1.26.
所以BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24
【变式训练】C
【典例2】 A 【变式训练】 C
达标训练·夯基础
知识点一 1.C 2.C 3.A 4.10 5.13
6.解：直角三角形的面积为(14×14-2×2)÷8=24,正方形EFGH的面积为24×4＋2×2=96+4=100，所以正方形EFGH的边长为10.答案：10
知识点二 1.C 2.D
3.解：在Rt△ABC中，有BC2+AC2=AB2，S1+S2=+S△ABC =+S△ABC = S△ABC
【纠错园】 是直角边还是斜边不确定,故需分情况讨论：
①当x为斜边时,由勾股定理得62+82=X2，即X2=100.
②当x为直角边时,由勾股定理得62+X2=82，即X2=28，即以X为边长的正方形的面积为100或28。
答案：100或28
考题变式·提能力
C
【母题变式】
[变式一]7cm2或25cm2
[变式二]△ABC的面积是84 cm2
1 探索勾股定理
第1课时
新知识记：
1.勾股定理：
(1)文字叙述:直角三角形两直角边的 等于斜边的 。
(2)字母表示:如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么： 。
(3)我国古代把直角三角形中较 的直角边称为勾,较 的直角边称为股,斜边称为弦。
2.勾股定理存在和应用的前提条件是在 ,如果不是 ,那么三边就不存在这样的关系。
典例精析·拓新知
知识点一 勾股定理的简单应用
【典例1】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,D为垂足,AC=2.1，AB=3.5。
求:(1)BC的长。
(2)△ABC的面积。
(3)斜边AB上的高CD的长。
(4)斜边被分成的两部分AD和BD的长。
【自主解答】
●学霸提醒
运用勾股定理求解线段长度问题的“四步法”
1.找直角:找出图中的直角三角形,或作辅助线构造直角三角形。
2.定关系:找出所求线段与直角三角形三边的关系。
3.计算:根据勾股定理计算相关线段的平方。
4.求值:估算所求数值是哪个数的平方,然后确定线段长度。
【变式训练】(2018·卢龙县期中)一直角三角形的三边长分别为2,3,x,那么以x为边长的正方形的面积为（ ）
A.13 B.5 C.13或5 D.无法确定
知识点二 勾股定理与图形面积
【典例2】(2018·济南历下期中)如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,其中最大的正方形的边长为10cm,正方形A的边长为6cm、B的边长为5cm、C的边长为5cm,则正方形D的面积为（ ）
A 14 cm2 B.16 cm2 C. 15 cm2 D.9cm2
●学霸提醒
利用面积关系可以证明勾股定理,反过来可以利用勾股定理解决与面积有关的问题,解题关键是将一个大正方形的面积转化为四个较小正方形的面积要认真体会勾股定理在这类面积问题中的作用。
【变式训练】如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=15cm.以直角边AC、BC为边作正方形,则这两个正方形面积的和为（ ）
A.150cm2 B 200 cm2 C.225cm2 D.350 cm2
达标训练·夯基础
知识点一 勾股定理的简单应用
1.(2018·丹江口期末)若在Rt△ABC中,∠C=90°且 AB=13,BC=12,则AC=（ ）
A.11 B.8 C.5 D.3
2.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,已知AB=5,AD=3,则BC的长为（ ）
A.5 B.6 C.8 D.10
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,BD平分∠ABC,交AC于点D,且AB=4,BD=5,则点D到BC的距离是（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
4.一个直角三角形的三边长的平方和为200,则斜边长为 。
5.如图所示,在5×5的正方形网格中,每个最小正方形的边长都等于1,则AB2= 。
6.(2017·丽水中考)我国三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理,创造了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图1所示.在图2中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为 。
知识点二 勾股定理与图形面积
1.(2018·东台市期中)如图中的四边形均为正方形,三角形为直角三角形,则字母B所代表的正方形的面积是（ ）
A.12 B.13 C.144 D.194
2.如图,直线l上有三个正方形a,b,c,若a,c的面积分别为3和4,则b的面积为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.7
3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,在AB的同侧分别以AB,BC,AC为直径作三个半圆,图中阴影部分的面积分别记作S1和S2.试说明:S1+S2=S△ABC
纠错:
已知直角三角形的三边长为6,8,x,则以x为边长的正方形的面积为 .
解：由定理得62+82=X2，即X2=100.又正方形的边长为X,所以其面积为X2=100.
答案：100
【错因】
考题变式·提能力
(2018·谷城县期末)在△ABC中,边AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是（ ）
A.42 B.32 C.42或32 D.不能确定
●母题变式
【变式一】已知直角三角形两边的长分别为3cm,4cm,则以第三边为边长的正方形的面积为 。
【变式二】已知:如图,在△ABC中AD是BC边上的高,AB=13cm,AC =15cm,AD=12cm,求△ABC的面积。
参考答案及解析
新知识记：
1.(1)平方和 平方 (2)a2+b2=c2
2.直角三角形中 直角三角形
典例精析·拓新知
【典例1】【自主解答】(1)BC2=AB2-AC2=3.52-2.12=2.82 。所以BC=2.8.
(2)S△ABC=AC×BC=×2.1×2.8=2.94.
(3)由三角形的面积公式得AC×BC=AB×CD，所以×2.1×2.8=×3.5×CD，解得CD=1.68.
(4)在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2。所以AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=（2.1+1.68）×（2.1-1.68）=3.78×0.42=2×1.98×2×0.21=22 ×9×0.21×0.21，所以AD=2×3×0.21=1.26.
所以BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24
【变式训练】C
【典例2】 A 【变式训练】 C
达标训练·夯基础
知识点一 1.C 2.C 3.A 4.10 5.13
6.解：直角三角形的面积为(14×14-2×2)÷8=24,正方形EFGH的面积为24×4＋2×2=96+4=100，所以正方形EFGH的边长为10.答案：10
知识点二 1.C 2.D
3.解：在Rt△ABC中，有BC2+AC2=AB2，S1+S2=+S△ABC =+S△ABC = S△ABC
【纠错园】 是直角边还是斜边不确定,故需分情况讨论：
①当x为斜边时,由勾股定理得62+82=X2，即X2=100.
②当x为直角边时,由勾股定理得62+X2=82，即X2=28，即以X为边长的正方形的面积为100或28。
答案：100或28
考题变式·提能力
C
【母题变式】
[变式一]7cm2或25cm2
[变式二]△ABC的面积是84 cm2