2018-2019学年 高中数学必修二第二章训练卷（一）Word版含答案-

2018-2019学年必修二第二章训练卷
点、直线、平面之间的位置关系（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．长方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AB，A1D1所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．已知平面α和直线l，则α内至少有一条直线与l（ ）
A．平行 B．相交 C．垂直 D．异面
3．下列命题中，错误的是（ ）
A．一条直线与两个平行平面中的一个平面相交，则必与另一个平面相交
B．平行于同一平面的两个不同平面平行
C．若直线l不平行于平面α，则在平面α内不存在与l平行的直线
D．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
4．已知α、β是两个平面，直线，若以①l⊥α；②l∥β；③α⊥β中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有（ ）
A．①③?②；①②?③ B．①③?②；②③?①
C．①②?③；②③?① D．①③?②；①②?③；②③?①
5．对于两条不相交的空间直线a与b，必存在平面α，使得（ ）
A．a?α，b?α B．a?α，b∥α
C．a⊥α，b⊥α D．a?α，b⊥α
6．设直线l?平面α，过平面α外一点A与l，α都成30°角的直线有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
7．如图，A是平面BCD外一点，E、F、G分别是BD、DC、CA的中点，设过这三点的平面为α，则在图中的6条直线AB、AC、AD、BC、CD、DB中，与平面α平行的直线有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．3条
8．已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面边长都相等，A1在底面ABC内的射影为△ABC的中心O，则AB1与底面ABC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，
折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
10．如图，α⊥β，α∩β＝l，，，A，B到l的距离分别是a和b，AB与α，β所成的角分别是θ和φ，AB在α，β内的射影长分别是m和n，若，
则（ ）
A． B．
C． D．
11．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心，从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该三棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则点P为（ ）
A．K B．H C．G D．B′
12．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列结论正确的是（ ）
A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．直线l与平面α所成角为30°，l∩α＝A，m?α，，则m与l所成角的取值范围是________．
14．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN等于________．
15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD（只要填写一个你认为是正确的条件即可）．
16．如图正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为1，P为BC中点，Q为线段CC1上的动点，过A、P、Q的平面截该正方体所得的截面记为S，则下列命题正确的是________．（写出所有正确命题的编号）
①当时，S为四边形
②当CQ＝时，S为等腰梯形
③当CQ＝时，S与C1D1交点满足C1R1＝
④当时，S为六边形
⑤当CQ＝1时，S的面积为．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（10分）如图，在三棱锥P－ABC中，D、E、F分别为棱PC、AC、AB的中点，已知PA⊥AC，PA＝6，BC＝8，DF＝5．
求证：（1）直线PA∥面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．
18．(12分)如下图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点．
（1）求证：AC⊥BC1；
（2）求证：AC1∥平面CDB1；
（3）求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值．
19．（12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1＝2，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．
（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面 A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；
（2）设（1）中的直线l交AC于点Q，求三棱锥A1－QC1D的体积．（锥体体积公式：V＝Sh，其中S为底面面积，h为高）
20．（12分）如下图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝4，
BC＝3，AD＝5，∠DAB＝∠ABC＝90°，E是CD的中点．
（1）证明：CD⊥平面PAE；
（2）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P－ABCD的体积．
21．（12分）如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝1，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°，
（1）求三棱锥P－ABC的体积；
（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．
22．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB＝3，AD＝2，PA＝2，PD＝，∠PAB＝60°．
（1）求证：AD⊥平面PAB；
（2）求异面直线PC与AD所成的角的正切值；
（3）求二面角P－BD－A的正切值．
2018-2019学年必修二第二章训练卷
点、直线、平面之间的位置关系（一）
答 案
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】由于AD∥A1D1，则∠BAD是异面直线AB，A1D1所成的角，
很明显∠BAD＝90°．故选D．
2．【答案】C
【解析】1．直线l与平面α斜交时，在平面α内不存在与l平行的直线，A错；
2．l?α时，在α内不存在直线与l异面，D错；
3．l∥α时，在α内不存在直线与l相交．
无论哪种情形在平面α内都有无数条直线与l垂直．故选C．
3．【答案】C
【解析】直线l不平行于平面α，可能直线l在平面α内，此时，在平面α内存在与l平行的直线．故选C．
4．【答案】A
【解析】因为α⊥β，所以在β内找到一条直线m，使m⊥α，
又因为l⊥α，所以l∥m．又因为，所以l∥β，即①③?②；
因为l∥β，所以过l可作一平面γ∩β＝n，所以l∥n，
又因为l⊥α，所以n⊥α，又因为n?β，所以α⊥β，即①②?③．故选A．
5．【答案】B
【解析】因为已知两条不相交的空间直线a和b．所以可以在直线a上任取一点A，则．过A作直线c∥b，则过a，c必存在平面α且使得a?α，b∥α．
6．【答案】B
【解析】如图，和α成30°角的直线一定是以A为顶点的圆锥的母线所在直线，
当∠ABC＝∠ACB＝30°且BC∥l时，直线AC，AB都满足条件，故选B．
7．【答案】C
【解析】显然AB与平面α相交，且交点是AB中点，AB，AC，DB，DC四条直线均与平面α相交．在△BCD中，由已知得EF∥BC，又EF?α，，
∴BC∥α．同理，AD∥α，∴在题图中的6条直线中，与平面α平行的直线有2条，故选C．
8．【答案】B
【解析】由题意知三棱锥A1－ABC为正四面体，设棱长为a，则AB1＝a，
棱柱的高A1O＝＝＝a（即点B1到底面ABC的距离），故AB1与底面ABC所成角的正弦值为＝．故选B．
9．【答案】C
【解析】如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°，知A′C＝．
∵M为A′C的中点，∴MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，
∴∠CMA为二面角C－BM－A的平面角．
∵AC＝1，MC＝MA＝，∴MC2＋MA2＝AC2，∴∠CMA＝90°，故选C．
10．【答案】D
【解析】由勾股定理得．又，∴．
由已知得sinθ＝，sinφ＝，而，∴，又θ，φ，
∴．故选D．
11．【答案】C
【解析】应用验证法：选G点为P时，EF∥A′B′且EF∥AB，此时恰有A′B′和AB平行于平面PEF，故选C．
12．【答案】D
【解析】由平面图形易知∠BDC＝90°．∵平面ABD⊥平面BCD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面ABD．∴CD⊥AB．又AB⊥AD，CD∩AD＝D，∴AB⊥平面ADC．
又AB?平面ABC，∴平面ADC⊥平面ABC．故选D．
二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上）
13．【答案】[30°，90°]
【解析】直线l与平面α所成的30°的角为m与l所成角的最小值，当m在α内适当旋转就可以得到l⊥m，即m与l所成角的最大值为90°．
14．【答案】90°
【解析】因为C1B1⊥平面ABB1A1，MN?平面ABB1A1，所以C1B1⊥MN．
又因为MN⊥MB1，MB1，C1B1?平面C1MB1，MB1∩C1B1＝B1，所以MN⊥平面C1MB1，
所以MN⊥C1M，所以∠C1MN＝90°．
15．【答案】DM⊥PC（或BM⊥PC）
【解析】连接AC，则BD⊥AC，由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，∴BD⊥平面PAC，∴BD⊥PC．故当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，平面MBD⊥平面PCD．
16．【答案】①②③⑤
【解析】设截面与DD1相交于T，则AT∥PQ，且AT＝2PQ?DT＝2CQ．
对于①，当时，则，所以截面S为四边形，且S为梯形，
所以为真．
对于②，当CQ＝时，DT＝1，T与D重合，截面S为四边形APQD1，
所以AP＝D1Q，截面为等腰梯形，所以为真．
对于③，当CQ＝，QC1＝，DT＝，D1T＝，利用三角形相似解得，
C1R1＝，所以为真．
对于④，当时，，截面S与线段A1D1，D1C1相交，所以四边形S为五边形，所以为假．
对于⑤，当CQ＝1时，Q与C1重合，截面S与线段A1D1相交于中点G，即即为菱形APC1G，对角线长度为和，S的面积为，所以为真，
综上，选①②③⑤．
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）在△PAC中，D、E分别为PC、AC中点，
则PA∥DE，PA面DEF，DE?面DEF，因此PA∥面DEF．
（2）△DEF中，DE＝PA＝3，EF＝BC＝4，DF＝5，
∴DF2＝DE2＋EF2，∴DE⊥EF，又PA⊥AC，∴DE⊥AC．
∴DE⊥面ABC，∴面BDE⊥面ABC．
18．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）证明：在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝4，
AB＝5，∴AC⊥BC．又∵C1C⊥AC．∴AC⊥平面BCC1B1．∵BC1?平面BCC1B，
∴AC⊥BC1．
（2）证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，又四边形BCC1B1为正方形．
∵D是AB的中点，E是BC1的中点，∴DE∥AC1．
∵DE?平面CDB1，AC1平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1．
（3）解：∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角．
在△CED中，ED＝AC1＝，CD＝AB＝，CE＝CB1＝，
∴．∴异面直线AC1与B1C所成角的余弦值为．
19．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．理由如下：
由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，故直线l与平面A1BC平行．
在△ABC中，∵AB＝AC，D是线段AC的中点，∴AD⊥BC，∴l⊥AD．
又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l．而AA1∩AD＝A，∴直线l⊥平面ADD1A1．
（2）过点D作DE⊥AC于点E．∵侧棱AA1⊥底面ABC，
∴三棱柱ABC－A1B1C1为直三棱柱，则易得DE⊥平面AA1C1C．
在Rt△ACD中，∵AC＝2，∠CAD＝60°，∴AD＝AC·cos60°＝1，
∴DE＝AD·sin60°＝．∴S△QA1C1＝·A1C1·AA1＝×2×1＝1，
∴三棱锥A1－QC1D的体积．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如下图所示，连接AC，由AB＝4，BC＝3，∠ABC＝90°，
得AC＝5．又AD＝5，E是CD的中点，所以CD⊥AE．
∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，所以PA⊥CD．
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，所以CD⊥平面PAE．
（2）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于F，G，连接PF．
由（1）CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE．于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．由PA⊥平面ABCD知，∠PBA为直线PB与平面ABCD所成的角．由题意，知∠PBA＝∠BPF，因为，，所以PA＝BF．
由∠DAB＝∠ABC＝90°，知AD∥BC，又BG∥CD，所以四边形BCDG是平行四边形，故GD＝BC＝3．于是AG＝2．在Rt△BAG中，AB＝4，AG＝2，BG⊥AF，所以， ．于是PA＝BF＝．
又梯形ABCD的面积为S＝×(5＋3)×4＝16，
所以四棱锥P－ABCD的体积为V＝×S×PA＝×16×＝．
21．【答案】（1）；（2）见解析，．
【解析】（1）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，∠BAC＝60°
?S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝×1×2×sin60°＝．
又∵PA⊥面ABC，∴PA是三棱锥P－ABC的高，
∴．
（2）过点B作BN垂直AC于点N，过N作NM∥PA交PC于M，
则???AC⊥BM，
此时M即为所找点，在△ABN中，易知AN＝?＝?＝?＝．
22．【答案】（1）见解析；（2）；（3）．
【解析】（1）证明：在△PAD中，∵PA＝2，AD＝2，PD＝，
∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA．在矩形ABCD中，AD⊥AB．
∵PA∩AB＝A，∴AD⊥平面PAB．
（2）∵BC∥AD，∴∠PCB是异面直线PC与AD所成的角．
在△PAB中，由余弦定理得PB＝．
由（1）知AD⊥平面PAB，PB?平面PAB，∴AD⊥PB，∴BC⊥PB，
则△PBC是直角三角形，故tan∠PCB＝＝．
∴异面直线PC与AD所成的角的正切值为．
（3）过点P作PH⊥AB于点H，过点H作HE⊥BD于点E，连结PE．
∵AD⊥平面PAB，PH?平面ABCD，∴AD⊥PH．
又∵AD∩AB＝A，∴PH⊥平面ABCD．
又∵PH?平面PHE，∴平面PHE⊥平面ABCD．
又∵平面PHE∩平面ABCD＝HE，BD⊥HE，∴BD⊥平面PHE．
而PE?平面PHE，∴BD⊥PE，故∠PEH是二面角P－BD－A的平面角．
由题设可得，PH＝PA·sin60°＝，AH＝PA·cos60°＝1，BH＝AB－AH＝2，
BD＝，HE＝·BH＝．
∴在Rt△PHE中，tan∠PEH＝＝．
∴二面角P－BD－A的正切值为．