人教版数学八年级上册
第十二章 全等三角形
12.3 角的平分线的性质
第2课时 角的平分线的判定
知识梳理 分点训练
知识点1 角平分线的判定
1. 如图，PC⊥OA于点C， PD⊥OB于点D，若PC=PD，则( )
A. ∠POC>∠POD B. ∠POC=∠POD
C. ∠POC<∠POD D. 不能确定
第1题 第2题
2. 如图，点P在∠AOB的内部，PC⊥OA于C， PD⊥OB于D， PC= 3cm，当PD = cm时，P点在∠AOB的平分线上.
3. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点D，连接AD.
求证：∠BAD=∠CAD.
知识点2 角平分线的性质与判定的应用
4. 如图是生态公园里一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )
A. △ABC的三条中线的交点 B. △ABC三条边的垂直平分线的交点
C. △ABC三条角平分线的交点 D. △ABC三条高所在直线的交点
第4题 第5题
5. 如图，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点O，OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，则OD与OE的大小关系是( )
A. OD>OE B. OD=OE
C. OD6. 如图，△ABC中，∠A=100°，∠ABC和∠ACB的角平分线相交于O，则∠BOC的度数是( )
A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°
7. 如图，△ABC中，BP，CP分别是∠B，∠C的外角平分线.
求证：点P在∠A的平分线上.
课后提升 巩固训练
8. 如图所示，已知点P到BE，BD，AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确的个数是( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
第8题 第9题
9. 如图，l1，l2，l3，是三条两两相交的笔直公路，现欲修建一个加油站，使它到三条公路的距离相等，这个加油站的位置共有( )
A. 1处 B. 2处 C. 3处 D. 4处
10. 如图，已知DB⊥AN于B，交AE于点O，OC⊥AM于点C，且OB = OC.如果∠OAB = 27°，则∠ADB= .
第10题 第11题
11. 如图，O是△ABC内的一点，且点O到△ABC三边AB，BC，AC的距离OE=OD=OF，若
∠A = 72°，则∠BOC= .
12. 如图所示，已知BE=CF， DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D.
求证：AD平分∠BAC.
13. 如图，已知CD⊥AB于点D， BE⊥AC于点E，BE，CD相交于点O.
求证：(1)当∠1=∠2时，OB=OC；
(2)当OB = OC时，∠1=∠2.
拓展探究 综合训练
14. 如图，△ABC的角平分线AD，BE相交于点P.
(1)在图1中，分别画出点P到边AC， BC， BA的垂线段PF，PG，PH，这三条线段相等吗?为什么?
(2)在图2中，∠ABC是直角，∠C= 60°，其余条件都不变，请你判断并写出PE与PD之间的数量关系，并说明理由.
图1 图2
参考答案
1. B
2. 3
3. 证明：过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，DG⊥AC，垂足分别为E，F， C，DB平分∠ABC，DE=DF，同理DF=DG，DE=DG，点D在∠BAC平分线上，∠BAD=∠CAD.
4. C
5. B
6. D
7. 证明：过点P作PM⊥AB，PN⊥AC，PQ⊥BC，垂足分别为M，N，Q，∵点P在∠B的外角∠CBM的平分线上，∴PM=PQ.∵点P在∠C的外角∠BCN的平分线上，∴PN=PQ，∴PM=PN，∴点P在∠A的平分线上.
8. A
9. D
10. 36°
11. 126°
12. 证明：∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E， ∴∠DEB=∠DFC=90°. 在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△CDF(AAS).∴DE=DF. 又∵DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，∴ AD平分∠BAC.
13. 证明：∵(1)∠1=∠2，OD⊥AB，OE⊥AC， ∴OE=OD，∠ODB=∠OEC=90°. 在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(ASA).∴OB=OC.
(2)在△BOD和△COE中，∴△BOD≌△COE(AAS).∴OD=OE. 又∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴ AO平分∠BAC，即∠1=∠2.
14. 解：(1)PF=PH=PG. 理由如下：∵AD平分∠BAC，PF⊥AC，PH⊥AB，∴PF=PH.∵BE平分
∠ABC， PG⊥BC， PH⊥AB，∴PG=PH.∴PF=PH=PG.
