3.2 一定是直角三角形吗同步练习
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3.2 一定是直角三角形吗
新知识记：
1.勾股定理逆定理：
（1）内容：如果一个三角形的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是 三角形。
（2）作用：判定一个三角形为 三角形。
2.勾股数
满足 的三个正整数。
典例精析·拓新知
知识点一 勾股定理逆定理的应用——直角三角形的判定
【典例1】(2018·沈丘县期末)在△ABC中,∠A,∠B，∠C的对边分别是a,b,c,AB=8,BC=15,CA=17,则下列结论不正确的是（ ）
A.△ABC是直角三角形,且CA为斜边
B.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°
C.△ABC的面积是60
D.△ABC是直角三角形,且∠A=60°
【规范解答】因为AB=8,BC=15,CA=17,
所以AB2=64,BC2=225,CA2=289……平方数
所以AB2+BC2=CA2,……等式性质
所以△ABC是直角三角形……勾股定理逆定理
因为∠B的对边为17最大
所以CA为斜边,∠ABC=90°……最大角是90°
所以△ABC的面积=1/2×8×15……角形的面积公式
=60……有理数运算
故错误的选项是D.
●学霸提醒
由三边判定直角三角形的“三步法”
1.确定:确定三角形的最大边
2.计算:算出最大边的平方及其他两边的平方和
3.判断:根据计算后的数量关系判断三角形的形状
【变式训练】(2018·乌海期末)下列三角形中,是直角三角形的是（ ）
A.三角形的三边满足关系a+b=c
B.三角形的三边比为1:2:3
C.三角形的一边等于另一边的一半
D.三角形的三边长分别为9,40,41
知识点二 勾股数
【典例2】(2018·裕华区模拟)在下列四组数中,不是勾股数的一组数是（ ）
A.a=15 b=8 c=17 B.a=9 b=12 c=15
C.a=10 b=24 c=26 D.a=3 b=5 c=7
【规范解答】由题意可知,在A组中,152+82=172=289 ,在B组中,92+122=152=225,
在C组中,102+242=262=676,……勾股数
而在D组中,32+52≠72,所以D组不是勾股数
●学霸提醒
1.判断三个数是否为一组勾股数的“三步法”
(1)判断:这三个数是不是正整数,不是正整数则不是勾股数
(2)计算:计算最大数的平方与其他两个数的平方和
(3)判断:若最大数的平方等于另外两个数的平方和,则是勾股数,否则不是.
2.常见勾股数
a
b
c
条件
2mn
m2-n2
m2+n2
m>n,且m,n都是正整数
2n+1
2n2+2n
2n2+2n+1
n是正整数
2n
n2-1
n2+1
n>1且是正整数
【变式训练】(2018·云梦县期中)下列几组数:①6 ，8,10;②7,24,25;③5,12,13;④9,40,41,其中是勾股数的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点三 勾股定理逆定理的实际应用
【典例3】一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做出AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
【规范解答】因为42+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2,
故∠B=90°,……勾股定理逆定理
同理,∠ACD=90°,
所以S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD………总量等于部分量的和
=×3×4+×5×12………代入
=6+30………有理数乘法
=36…………有理数加法
●学霸提醒
利用勾股定理的逆定理求解相关直角三角形的问题
1.明确三边:明确最长边并且求出各边的平方。
2.根据勾股定理逆定理或常见勾股数判断是否是直角三角形。
3.再结合直角三角形相关知识去求面积和周长。
【变式训练】(2018·江海区期末)如图所示,有一块地, 已知AD=4m,CD=3m ∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积。
达标训练·夯基础
知识点一 勾股定理逆定理的应用——直角三角形的判定
1.(2018·阳谷县模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )
A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.不是直角三角形
2.(2018·韶关期末)已知a,b,c是△ABC三边的长,且满足关系式(c2+a2-b2)2+|c-a|=0,则△ABC的形状是 。
知识点二 勾股数
1.(2018·日照模拟)下列各组数,是勾股数的是（ ）
A.1.3,4.7，5 B.-15,36,39 C.20,45,50 D.8,15,17
2.(2018·通州区期中)若14,a(a为正整数),50是一组勾股数,则a= 。
知识点三 勾股定理逆定理的实际应用
在新农村建设中,一农民在建房时挖了一个地基,如图是地基的平面图形.按建房标准,四边形ABCD应为长方形,他在挖完后测量发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你帮他看一下挖的地基是否合格。
●纠错园
下列线段能构成直角三角形的是（ ）
A.三条线段的比为5:6:7 B.三条线段的比为9:40:41
C.三条线段的长为32,42,52 D.三条线段的长为13,14,15
解：选C
因为32+42=52所以该三角形是直角三角形。
【错因】 。
考题变式·提能力
(2018·永城市期中)探索勾股数的规律：
观察下列各组数:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),…,
可发现,…,请写出第5个数组： 。
●母题变式
【变式一】我们知道,像3,4,5这样能构成直角三角形三边长的三个正整数,称为勾股数,古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式为:如果m表示大于1的整数,a=2m,c=m2+1,b=m2-1,则a,b,c为勾股数。
利用柏拉图公式构造出的勾股数,斜边和其中一直角边的差为2,特别地,当n为大于2的整数时,可以构造出最短边的长度为偶数的勾股数。
任务:(1)请你证明柏拉图公式的正确性。
(2)请你利用柏拉图公式,写出两组勾股数(数据从小到大排列)
第一组:8、 、 ；
第二组： 、 、37。
【变式二】阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为:
a=(m2-n2),
b=mn, 其中m>n>0,m,n是互质的奇数.
C=(m2+n2),
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长。
参考答案及解析
新知识记
1.(1)直角 (2)直角
2.a2+b2=c2
典例精析·拓新知
【典例1】【变式训练】 D
【典例2】【变式训练】 D
【典例3】【变式训练】
解:如图,连接AC在△ACD中,因为AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,所以AC=5m, 又因为AC2+BC2=52+122=132=AB2,所以△ABC是直角三角形,所以这块地的面积=△ABC的面积-△ACD的面积=×5×12-×3×4=24(m2)
达标训练·夯基础
知识点一
1.A 2.等腰直角三角形
知识点二 1.D 2.48
知识点三
解:先看∠ADC是不是直角。
在△ADC中,因为AD2+DC2=62+82 =100,AC2=92=81,
所以AD2+DC2≠AC2,所以△ADC不是直角三角形,所以∠ADC不是直角。但标准是长方形,四个角都应是直角,所以该农民挖的不合格。
【纠错园】
对勾股定理的逆定理理解不透彻,只停留在表面形式上,误把三边长32,42,52看成了3,4,5
考题变式·提能力
(11,60,61)
【母题变式】
[变式一]解:(1)因为m表示大于1的整数,所以a,b,c都是正整数,且c是最大边,因为(2m)2+(m2-1)2=(m2+1)2所以a2+b2=c2,即a,b,c为勾股数。
(2)第一组:8,15,17
第二组:12,35,37
答案:15 17 12 35
[变式二]解:当n=1时,a=(m2-1)①， b=m②,c=(m2+1)③,
因为直角三角形有一边长为5,
所以I.当a=5时,(m2-1)=5,解得m=(舍去)
Ⅱ.当b=5时,即m=5,代入①③得,a =12,c=13；
Ⅲ.当c=5时,(m2+1)=5,解得m=3,代入①②得,a=4,b=3.
综上所述,直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.
新知识记：
1.勾股定理逆定理：
（1）内容：如果一个三角形的三边长a,b,c,满足a2+b2=c2,那么这个三角形是 三角形。
（2）作用：判定一个三角形为 三角形。
2.勾股数
满足 的三个正整数。
典例精析·拓新知
知识点一 勾股定理逆定理的应用——直角三角形的判定
【典例1】(2018·沈丘县期末)在△ABC中,∠A,∠B，∠C的对边分别是a,b,c,AB=8,BC=15,CA=17,则下列结论不正确的是（ ）
A.△ABC是直角三角形,且CA为斜边
B.△ABC是直角三角形,且∠ABC=90°
C.△ABC的面积是60
D.△ABC是直角三角形,且∠A=60°
【规范解答】因为AB=8,BC=15,CA=17,
所以AB2=64,BC2=225,CA2=289……平方数
所以AB2+BC2=CA2,……等式性质
所以△ABC是直角三角形……勾股定理逆定理
因为∠B的对边为17最大
所以CA为斜边,∠ABC=90°……最大角是90°
所以△ABC的面积=1/2×8×15……角形的面积公式
=60……有理数运算
故错误的选项是D.
●学霸提醒
由三边判定直角三角形的“三步法”
1.确定:确定三角形的最大边
2.计算:算出最大边的平方及其他两边的平方和
3.判断:根据计算后的数量关系判断三角形的形状
【变式训练】(2018·乌海期末)下列三角形中,是直角三角形的是（ ）
A.三角形的三边满足关系a+b=c
B.三角形的三边比为1:2:3
C.三角形的一边等于另一边的一半
D.三角形的三边长分别为9,40,41
知识点二 勾股数
【典例2】(2018·裕华区模拟)在下列四组数中,不是勾股数的一组数是（ ）
A.a=15 b=8 c=17 B.a=9 b=12 c=15
C.a=10 b=24 c=26 D.a=3 b=5 c=7
【规范解答】由题意可知,在A组中,152+82=172=289 ,在B组中,92+122=152=225,
在C组中,102+242=262=676,……勾股数
而在D组中,32+52≠72,所以D组不是勾股数
●学霸提醒
1.判断三个数是否为一组勾股数的“三步法”
(1)判断:这三个数是不是正整数,不是正整数则不是勾股数
(2)计算:计算最大数的平方与其他两个数的平方和
(3)判断:若最大数的平方等于另外两个数的平方和,则是勾股数,否则不是.
2.常见勾股数
a
b
c
条件
2mn
m2-n2
m2+n2
m>n,且m,n都是正整数
2n+1
2n2+2n
2n2+2n+1
n是正整数
2n
n2-1
n2+1
n>1且是正整数
【变式训练】(2018·云梦县期中)下列几组数:①6 ，8,10;②7,24,25;③5,12,13;④9,40,41,其中是勾股数的有（ ）
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
知识点三 勾股定理逆定理的实际应用
【典例3】一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做出AB=3,BC=4,AC=5,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
【规范解答】因为42+32=52,52+122=132,即AB2+BC2=AC2,
故∠B=90°,……勾股定理逆定理
同理,∠ACD=90°,
所以S四边形ABCD =S△ABC+S△ACD………总量等于部分量的和
=×3×4+×5×12………代入
=6+30………有理数乘法
=36…………有理数加法
●学霸提醒
利用勾股定理的逆定理求解相关直角三角形的问题
1.明确三边:明确最长边并且求出各边的平方。
2.根据勾股定理逆定理或常见勾股数判断是否是直角三角形。
3.再结合直角三角形相关知识去求面积和周长。
【变式训练】(2018·江海区期末)如图所示,有一块地, 已知AD=4m,CD=3m ∠ADC=90°,AB=13m,BC=12m,求这块地的面积。
达标训练·夯基础
知识点一 勾股定理逆定理的应用——直角三角形的判定
1.(2018·阳谷县模拟)在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则( )
A.∠A为直角 B.∠C为直角 C.∠B为直角 D.不是直角三角形
2.(2018·韶关期末)已知a,b,c是△ABC三边的长,且满足关系式(c2+a2-b2)2+|c-a|=0,则△ABC的形状是 。
知识点二 勾股数
1.(2018·日照模拟)下列各组数,是勾股数的是（ ）
A.1.3,4.7，5 B.-15,36,39 C.20,45,50 D.8,15,17
2.(2018·通州区期中)若14,a(a为正整数),50是一组勾股数,则a= 。
知识点三 勾股定理逆定理的实际应用
在新农村建设中,一农民在建房时挖了一个地基,如图是地基的平面图形.按建房标准,四边形ABCD应为长方形,他在挖完后测量发现AB=DC=8m,AD=BC=6m,AC=9m,请你帮他看一下挖的地基是否合格。
●纠错园
下列线段能构成直角三角形的是（ ）
A.三条线段的比为5:6:7 B.三条线段的比为9:40:41
C.三条线段的长为32,42,52 D.三条线段的长为13,14,15
解：选C
因为32+42=52所以该三角形是直角三角形。
【错因】 。
考题变式·提能力
(2018·永城市期中)探索勾股数的规律：
观察下列各组数:(3,4,5),(5,12,13),(7,24,25),(9,40,41),…,
可发现,…,请写出第5个数组： 。
●母题变式
【变式一】我们知道,像3,4,5这样能构成直角三角形三边长的三个正整数,称为勾股数,古希腊的哲学家柏拉图提出的构造勾股数组的公式为:如果m表示大于1的整数,a=2m,c=m2+1,b=m2-1,则a,b,c为勾股数。
利用柏拉图公式构造出的勾股数,斜边和其中一直角边的差为2,特别地,当n为大于2的整数时,可以构造出最短边的长度为偶数的勾股数。
任务:(1)请你证明柏拉图公式的正确性。
(2)请你利用柏拉图公式,写出两组勾股数(数据从小到大排列)
第一组:8、 、 ；
第二组： 、 、37。
【变式二】阅读:能够成为直角三角形三条边长的三个正整数a,b,c称为勾股数.世界上第一次给出勾股数通解公式的是我国古代数学著作《九章算术》,其勾股数组公式为:
a=(m2-n2),
b=mn, 其中m>n>0,m,n是互质的奇数.
C=(m2+n2),
应用：当n=1时，求有一边长为5的直角三角形的另外两条边长。
参考答案及解析
新知识记
1.(1)直角 (2)直角
2.a2+b2=c2
典例精析·拓新知
【典例1】【变式训练】 D
【典例2】【变式训练】 D
【典例3】【变式训练】
解:如图,连接AC在△ACD中,因为AD=4m,CD=3m,∠ADC=90°,所以AC=5m, 又因为AC2+BC2=52+122=132=AB2,所以△ABC是直角三角形,所以这块地的面积=△ABC的面积-△ACD的面积=×5×12-×3×4=24(m2)
达标训练·夯基础
知识点一
1.A 2.等腰直角三角形
知识点二 1.D 2.48
知识点三
解:先看∠ADC是不是直角。
在△ADC中,因为AD2+DC2=62+82 =100,AC2=92=81,
所以AD2+DC2≠AC2,所以△ADC不是直角三角形,所以∠ADC不是直角。但标准是长方形,四个角都应是直角,所以该农民挖的不合格。
【纠错园】
对勾股定理的逆定理理解不透彻,只停留在表面形式上,误把三边长32,42,52看成了3,4,5
考题变式·提能力
(11,60,61)
【母题变式】
[变式一]解:(1)因为m表示大于1的整数,所以a,b,c都是正整数,且c是最大边,因为(2m)2+(m2-1)2=(m2+1)2所以a2+b2=c2,即a,b,c为勾股数。
(2)第一组:8,15,17
第二组:12,35,37
答案:15 17 12 35
[变式二]解:当n=1时,a=(m2-1)①， b=m②,c=(m2+1)③,
因为直角三角形有一边长为5,
所以I.当a=5时,(m2-1)=5,解得m=(舍去)
Ⅱ.当b=5时,即m=5,代入①③得,a =12,c=13；
Ⅲ.当c=5时,(m2+1)=5,解得m=3,代入①②得,a=4,b=3.
综上所述,直角三角形的另外两条边长分别为12,13或3,4.