3.3 勾股定理的应用举例同步练习
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3.3 勾股定理的应用举例
新知识记：
1.最短路程问题
几何体上的最短路程是将立体图形的 展开,转化为 上的路程问题,再利用 上两点之间, 最短,解决最短路程问题。
2.要判断一个角是否是直角的方法
(1)以角的 为端点,在两边上分别截取长度为 的线段,连接两截点得一个 。
(2)测量 长度。
(3)试算三边的平方,判断是否满足 ;满足,则该角是 。
3.勾股定理的实际应用
(1)构造合适的 三角形。
(2)利用勾股定理构造 解决实际问题。
典例精析·拓新知
知识点一 路径最短问题
【典例1】(2018·上蔡县期末)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B到点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（ ）
A.20 B.25 C.30 D.32
【规范解答】只要把长方体的右侧表面剪开与前面所在的平面形成一个长方形,
如图1：……………………长方体的侧面展开图
①因为长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,
所以BD=CD+BC……………线段的和
=10+5=15……………代入计算AD=20,
在直角三角形ABD中，
所以AB2=BD2+AD2=152+202=625……勾股定理
所以AB=25。
②只要把长方体的右侧表面剪开与上面所在的平面形成一个长方形,如图2：
长方体侧面展开图
因为长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,所以BD=CD+BC……线段的和=20+525……代入计算
AD=10,在直角三角形ABD中
所以AB2=BD2+AD2=252+102=725……勾股定理
③只要把长方体的上表面剪开与后面所在的平面形成一个长方形,如图3：
长方体侧面展开图
因为长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5，
所以AC=CD+AD……线段的和
=10+20=30……代入计算在直角三角形ABC中
所以AB2=AC2+BC2=302+52=925…股定理 因为625<725<925
所以蚂蚁爬行的最短距离是25.
●学霸提醒
求立体图形中最短路径问题的“四步法
1.将立体图形展开为平面图形
注意:(1)只需展开包含相关点的面；(2)可能存在多种展开法
2.确定相关点的位置
3.连接相关点,构造直角三角形
4.根据勾股定理求解
【变式训练】(2018·揭西县期末)如图是一个棱长为6的正方体盒子,一只蚂蚁从棱CD上的中点A出发,沿盒子的表面爬到棱DE上后,接着又沿盒子的表面爬到盒底的B处,那么,整个爬行中,蚂蚁要爬行的最短路程为 。
知识点二 勾股定理和逆定理的实际应用
【典例2】(2018·滕州市期末)如图,一个工人拿一个2.5m长的梯子,底端A放在距离墙根C点的0.7m处,另一头B点靠墙,如果梯子的顶部下滑0.4m,梯子的底部向外滑出多少?
【规范解答】因为AB=2.5m,AC=0.7m, 所以BC2=AB2-AC2=2.42,所以BC=2.4m
… … … ……… … … … 勾股定理
因为梯子的顶部下滑0.4m,所以BE=0.4m,
所以EC=BC-0.4=2m……线段的差
所以DC2=DE2-EC2=1.52,所以DC=1.5m
… … … ………勾股定理
所以梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=0.8m … … … ………线段的差
●学霸提醒
勾股定理及其逆定理实际应用的一般步骤
1.要把实际问题转化成数学问题,对于需要画图表示的,一定要从数学问题中抽象出正确的几何图形。
2.通过分析,运用勾股定理的逆定理来验证它是否为直角三角形,然后利用直角三角形的性质解决实际问题。
【变式训练】(2018·市北区期中)如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了8米,那么梯子的顶端下滑（ ）
A.10米 B.8米 C.6米 D.4米
达标训练·夯基础
知识点一 路径最短问题
1.(2018·邵东县三模)如图,校园内有两棵树,相距8m,一棵树高13m,另一棵树高7m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞（ ）
A.8m B.9 m C.10m D.11m
2.(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺。
知识点二 勾股定理和逆定理的实际应用
(2018·临沭县期中)李明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 m。
●纠错园
如图所示,一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3的小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最短路径长的平方是多少?
解:将正方的点A所在的面展开,展开前面到右面。
由勾股定理得:AB2=(Z+3)2+2=29
所以最短路经长的平方为29.
【错因】
考题变式·提能力
(2018·天心区三模)已知圆柱形茶杯的高为12cm,底面直径为5cm,将长为20cm的筷子沿底面放入杯中,筷子露在杯子口外的长度是xcm,则x的取值范围是 cm。
●母题变式
【变式一】如图,一透明的圆柱体玻璃杯,从内部测得底部直径为6cm,杯深8cm.今有一根长为16cm的吸管如图放入杯中,露在杯口外的长度为h,则h的变化范围是: 。
【变式二】如图,一枝铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这枝铅笔的长度可能是（ ）
A.9 cm B. 12 cm C. 15 cm D.18 cm
参考答案及解析
新知识记：
1.侧面 平面 平面 线段
2.(1)顶点 整数 三角形
(2)第三边
(3)a2+b2=c2 直角
3.(1)直角 (2)方程
典例精析·拓新知
【典例1】【变式训练】解:如图,作点A关于E的对称点A′,连接A'B，
则A'B即为蚂蚁要爬行的最短路程,
所以A'B2=(6+3)2+(6+6)2=225,所以A’B=15
答案:15
【典例2】【变式训练】D如图标上字母.
在Rt△AOB中∠AOB=90°,AB=25米,OB=7米,
所以OA2=AB2-OB2=576,所以OA=24米
在Rt△COD中,∠COD=90°,CD=25米,OD=7+8=15米,
所以OC2=CD2-OD2=202,所以OC=20米,
所以AC=OA-OC=4米.
达标训练·夯基础
知识点一 1. C 2. 25
知识点二 12
【纠错园】
最短路径不是展开前面和右面,而是底面和右面
考题变式·提能力
7≤x≤8
【母题变式】[变式一]6cm≤h≤8cm
[变式二] D
新知识记：
1.最短路程问题
几何体上的最短路程是将立体图形的 展开,转化为 上的路程问题,再利用 上两点之间, 最短,解决最短路程问题。
2.要判断一个角是否是直角的方法
(1)以角的 为端点,在两边上分别截取长度为 的线段,连接两截点得一个 。
(2)测量 长度。
(3)试算三边的平方,判断是否满足 ;满足,则该角是 。
3.勾股定理的实际应用
(1)构造合适的 三角形。
(2)利用勾股定理构造 解决实际问题。
典例精析·拓新知
知识点一 路径最短问题
【典例1】(2018·上蔡县期末)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B到点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是（ ）
A.20 B.25 C.30 D.32
【规范解答】只要把长方体的右侧表面剪开与前面所在的平面形成一个长方形,
如图1：……………………长方体的侧面展开图
①因为长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,
所以BD=CD+BC……………线段的和
=10+5=15……………代入计算AD=20,
在直角三角形ABD中，
所以AB2=BD2+AD2=152+202=625……勾股定理
所以AB=25。
②只要把长方体的右侧表面剪开与上面所在的平面形成一个长方形,如图2：
长方体侧面展开图
因为长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5,所以BD=CD+BC……线段的和=20+525……代入计算
AD=10,在直角三角形ABD中
所以AB2=BD2+AD2=252+102=725……勾股定理
③只要把长方体的上表面剪开与后面所在的平面形成一个长方形,如图3：
长方体侧面展开图
因为长方体的宽为10,高为20,点B到点C的距离是5，
所以AC=CD+AD……线段的和
=10+20=30……代入计算在直角三角形ABC中
所以AB2=AC2+BC2=302+52=925…股定理 因为625<725<925
所以蚂蚁爬行的最短距离是25.
●学霸提醒
求立体图形中最短路径问题的“四步法
1.将立体图形展开为平面图形
注意:(1)只需展开包含相关点的面；(2)可能存在多种展开法
2.确定相关点的位置
3.连接相关点,构造直角三角形
4.根据勾股定理求解
【变式训练】(2018·揭西县期末)如图是一个棱长为6的正方体盒子,一只蚂蚁从棱CD上的中点A出发,沿盒子的表面爬到棱DE上后,接着又沿盒子的表面爬到盒底的B处,那么,整个爬行中,蚂蚁要爬行的最短路程为 。
知识点二 勾股定理和逆定理的实际应用
【典例2】(2018·滕州市期末)如图,一个工人拿一个2.5m长的梯子,底端A放在距离墙根C点的0.7m处,另一头B点靠墙,如果梯子的顶部下滑0.4m,梯子的底部向外滑出多少?
【规范解答】因为AB=2.5m,AC=0.7m, 所以BC2=AB2-AC2=2.42,所以BC=2.4m
… … … ……… … … … 勾股定理
因为梯子的顶部下滑0.4m,所以BE=0.4m,
所以EC=BC-0.4=2m……线段的差
所以DC2=DE2-EC2=1.52,所以DC=1.5m
… … … ………勾股定理
所以梯子的底部向外滑出AD=1.5-0.7=0.8m … … … ………线段的差
●学霸提醒
勾股定理及其逆定理实际应用的一般步骤
1.要把实际问题转化成数学问题,对于需要画图表示的,一定要从数学问题中抽象出正确的几何图形。
2.通过分析,运用勾股定理的逆定理来验证它是否为直角三角形,然后利用直角三角形的性质解决实际问题。
【变式训练】(2018·市北区期中)如图,一架云梯长25米,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米,如果梯子的底部在水平方向上向右滑动了8米,那么梯子的顶端下滑（ ）
A.10米 B.8米 C.6米 D.4米
达标训练·夯基础
知识点一 路径最短问题
1.(2018·邵东县三模)如图,校园内有两棵树,相距8m,一棵树高13m,另一棵树高7m,一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端,小鸟至少要飞（ ）
A.8m B.9 m C.10m D.11m
2.(2017·东营中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处,则问题中葛藤的最短长度是 尺。
知识点二 勾股定理和逆定理的实际应用
(2018·临沭县期中)李明想知道学校旗杆的高,他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1m,当它把绳子的下端拉开5m后,发现下端刚好接触地面,则旗杆的高为 m。
●纠错园
如图所示,一棱长为3cm的正方体,把所有的面均分成3×3的小正方形.其边长都为1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点A沿表面爬行至侧面的B点,最短路径长的平方是多少?
解:将正方的点A所在的面展开,展开前面到右面。
由勾股定理得:AB2=(Z+3)2+2=29
所以最短路经长的平方为29.
【错因】
考题变式·提能力
(2018·天心区三模)已知圆柱形茶杯的高为12cm,底面直径为5cm,将长为20cm的筷子沿底面放入杯中,筷子露在杯子口外的长度是xcm,则x的取值范围是 cm。
●母题变式
【变式一】如图,一透明的圆柱体玻璃杯,从内部测得底部直径为6cm,杯深8cm.今有一根长为16cm的吸管如图放入杯中,露在杯口外的长度为h,则h的变化范围是: 。
【变式二】如图,一枝铅笔放在圆柱体笔筒中,笔筒的内部底面直径是9cm,内壁高12cm,则这枝铅笔的长度可能是（ ）
A.9 cm B. 12 cm C. 15 cm D.18 cm
参考答案及解析
新知识记：
1.侧面 平面 平面 线段
2.(1)顶点 整数 三角形
(2)第三边
(3)a2+b2=c2 直角
3.(1)直角 (2)方程
典例精析·拓新知
【典例1】【变式训练】解:如图,作点A关于E的对称点A′,连接A'B，
则A'B即为蚂蚁要爬行的最短路程,
所以A'B2=(6+3)2+(6+6)2=225,所以A’B=15
答案:15
【典例2】【变式训练】D如图标上字母.
在Rt△AOB中∠AOB=90°,AB=25米,OB=7米,
所以OA2=AB2-OB2=576,所以OA=24米
在Rt△COD中,∠COD=90°,CD=25米,OD=7+8=15米,
所以OC2=CD2-OD2=202,所以OC=20米,
所以AC=OA-OC=4米.
达标训练·夯基础
知识点一 1. C 2. 25
知识点二 12
【纠错园】
最短路径不是展开前面和右面,而是底面和右面
考题变式·提能力
7≤x≤8
【母题变式】[变式一]6cm≤h≤8cm
[变式二] D