第三章 勾股定理检测题（含答案）
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第三单元检测题
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,
已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=（ ）
A.25 B.31 C.32 D.40
2.已知△ABC的三边分别是a,b,c,下列条件中不能判断△ABC为
直角三角形的是（ ）
A.a2+b2=c2 B.∠A+∠B=90°
C.a=3,b=4,c=5 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
3.在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是( )
A.12,15,27 B.32,42,52 C.5a,12a,13a(a>0) D.a,2a,3a(a>0)
4.如图,在△ABD中,∠D=90o,CD=6,AD=8,∠ACD=2∠B,
则BD的长是( )
A.12 B.14 C.16 D.18
5.已知△ABC的三边分别长为a,b,c,且满足(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0,则△ABC是( )
A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形
6.一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角,将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中,由此可知（ ）
A.∠A符合要求
B.∠BDC符合要求
C.∠A和∠BDC都符合要求
D.∠A和∠BDC都不符合要求
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,以AC边和BC边为底,向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2,则S1+S2=（ ）
A.4 B.9 C.18 D.36
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.有一组勾股数,知道其中的两个数分别是17和8,则第三个数是 。
9.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2-n2,2mn(m,n均为正整数,m>n);④a2,a2+1,a2+2.其中能组成直角三角形的三边长的是 (填序号)
10.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。
11.如图,在Rt△ABC中,斜边AB上的垂直平分线交直角边BC于点D,交AB于点E,若BC=10cm，AC=6cm,则△ADC的周长为 cm。
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D，已知AB=10,BC=16,则AD的长为 。
三、解答题(共47分)
13.(10分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC,AB于点D,E。
(1)求证:△ABC为直角三角形。
(2)求AE的长。
14.(12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置,连接CC’,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC’D’的面积验证勾股定理。
15.(12分)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表：
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:a= ；
b= ；c= 。
(2)猜想:以a,b,c为边长的三角形是否是直角三角形?为什么?
16.(13分)如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少?
参考答案及解析
1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B
8.15 9.②③ 10.4 11.16 12.6
13.解:(1)因为在△ABC中,AB =4,AC=3,BC=5，
又因为 42+32=52,即AB2+AC2=BC2,所以△ABC是直角三角形。
(2)连接CE。因为DE是BC的垂直平分线,所以EC=EB,
设AE=X，则EC=4-X，所以X2+32=（4-X）2
解得x=,即AE的长是。
14.解:因为四边形BCC’D’为直角梯形,所以S梯形BCC’D’=(BC+C’D’).BD’=
因为Rt△ABC≌Rt△AB’C’,所以∠BAC=∠B’AC’,
所以∠CAC’=∠CAB’+∠B’AC’=∠CAB’+∠BAC=90o。
所以S梯形BCC’D’=S△ABC+S△CAC’+S△D’AC’=,即,
整理得。
15.解：（1）
(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
理由:因为，，
所以a2+b2=c2,所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
16.解:如图：
因为高为12 cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒。此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A处。
所以将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A’，连接A’B，
则A'B即为最短距离，所以A’D=5cm,BD=12-3+AE=12cm,
A’B2=A’D2+BD2=52+122=169=132,所以A’B=13cm.
故蚂蚁爬行的最短距离是13cm。
（45分钟 100分）
一、选择题(每小题4分,共28分)
1.如图,所有三角形都是直角三角形,所有四边形都是正方形,
已知S1=4,S2=9,S3=8,S4=10,则S=（ ）
A.25 B.31 C.32 D.40
2.已知△ABC的三边分别是a,b,c,下列条件中不能判断△ABC为
直角三角形的是（ ）
A.a2+b2=c2 B.∠A+∠B=90°
C.a=3,b=4,c=5 D.∠A:∠B:∠C=3:4:5
3.在下列长度的各组线段中,能构成直角三角形的是( )
A.12,15,27 B.32,42,52 C.5a,12a,13a(a>0) D.a,2a,3a(a>0)
4.如图,在△ABD中,∠D=90o,CD=6,AD=8,∠ACD=2∠B,
则BD的长是( )
A.12 B.14 C.16 D.18
5.已知△ABC的三边分别长为a,b,c,且满足(a-17)2+|b-15|+c2-16c+64=0,则△ABC是( )
A.以a为斜边的直角三角形 B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形 D.不是直角三角形
6.一个零件的形状如图所示,按规定这个零件中的∠A和∠BDC都应为直角,将量得的这个零件的各边尺寸标注在图中,由此可知（ ）
A.∠A符合要求
B.∠BDC符合要求
C.∠A和∠BDC都符合要求
D.∠A和∠BDC都不符合要求
7.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,以AC边和BC边为底,向外作等腰直角三角形AFC和等腰直角三角形BEC.若△BEC的面积为S1，△AFC的面积为S2,则S1+S2=（ ）
A.4 B.9 C.18 D.36
二、填空题(每小题5分,共25分)
8.有一组勾股数,知道其中的两个数分别是17和8,则第三个数是 。
9.下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m2+n2,m2-n2,2mn(m,n均为正整数,m>n);④a2,a2+1,a2+2.其中能组成直角三角形的三边长的是 (填序号)
10.如图,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出了一条“路”,他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。
11.如图,在Rt△ABC中,斜边AB上的垂直平分线交直角边BC于点D,交AB于点E,若BC=10cm，AC=6cm,则△ADC的周长为 cm。
12.如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为点D，已知AB=10,BC=16,则AD的长为 。
三、解答题(共47分)
13.(10分)如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分线,DE分别交BC,AB于点D,E。
(1)求证:△ABC为直角三角形。
(2)求AE的长。
14.(12分)一个直立的火柴盒在桌面上倒下,启迪人们发现了勾股定理的一种新的验证方法.如图,火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB’C’D’的位置,连接CC’,设AB=a,BC=b,AC=c,请利用四边形BCC’D’的面积验证勾股定理。
15.(12分)张老师在一次“探究性学习”课中,设计了如下数表：
(1)请你分别观察a,b,c与n之间的关系,并用含自然数n(n>1)的代数式表示:a= ；
b= ；c= 。
(2)猜想:以a,b,c为边长的三角形是否是直角三角形?为什么?
16.(13分)如图,透明的圆柱形容器(容器厚度忽略不计)的高为12cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒,此时一只蚂蚁正好在容器外壁,且离容器上沿3cm的点A处,则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少?
参考答案及解析
1.B 2.D 3.C 4.C 5.A 6.D 7.B
8.15 9.②③ 10.4 11.16 12.6
13.解:(1)因为在△ABC中,AB =4,AC=3,BC=5，
又因为 42+32=52,即AB2+AC2=BC2,所以△ABC是直角三角形。
(2)连接CE。因为DE是BC的垂直平分线,所以EC=EB,
设AE=X，则EC=4-X，所以X2+32=（4-X）2
解得x=,即AE的长是。
14.解:因为四边形BCC’D’为直角梯形,所以S梯形BCC’D’=(BC+C’D’).BD’=
因为Rt△ABC≌Rt△AB’C’,所以∠BAC=∠B’AC’,
所以∠CAC’=∠CAB’+∠B’AC’=∠CAB’+∠BAC=90o。
所以S梯形BCC’D’=S△ABC+S△CAC’+S△D’AC’=,即,
整理得。
15.解：（1）
(2)以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
理由:因为，，
所以a2+b2=c2,所以以a,b,c为边长的三角形是直角三角形。
16.解:如图：
因为高为12 cm,底面周长为10cm,在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒。此时蚂蚁正好在容器外壁,离容器上沿3 cm与饭粒相对的点A处。
所以将容器侧面展开,作A关于EF的对称点A’，连接A’B，
则A'B即为最短距离，所以A’D=5cm,BD=12-3+AE=12cm,
A’B2=A’D2+BD2=52+122=169=132,所以A’B=13cm.
故蚂蚁爬行的最短距离是13cm。