1.1 集合
三维目标 1.知识与技能认识和理解集合的概念,认识和理解它的有关性质和运算.2.过程与方法通过背景的给出,通过经历、体验和实践探索过程的展现,通过数学思想方法的渗透,让学生体会过程的重要,并在过程中学习知识,同时领会一定的数学思想和方法.3.情感、态度与价值观教育的根本目的是育人.通过对本内容的教学,使学生在学习和运用知识的过程中提高对数学学习的兴趣,并在新的内容学习的基础上,对数学有更深刻的感受,提高说理、批判和质疑精神,形成锲而不舍追求真理的科学态度和习惯,树立良好的情感态度和价值观.
授课题目 第1课 集合的含义与表示（1） 拟 课时
第 课时
明确目标 通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系
重点难点 集合的含义、元素与集合关系
课型 □讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它
教 学 内 容 与 教 师 活 动 设 计 学生活动设计
一、先学后讲 （一）引入 军训前学校通知:8月26日8点,高一年级学生到操场集合进行军训.试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？在这里,集合是我们常用的一个词语,我们感兴趣的是问题中某些特定(是高一而不是高二、高三)对象的总体,而不是个别的对象,为此,我们将学习一个新的概念——集合.（二）基本概念1、把研究的对象统称为元素, 把一些元素组成的总体叫集合. 2、集合的三要素是: 确定性、互异性、无序性 3、如果是集合的元素，则与可记为；如果不是集合的元素，则与可记为 4、填写下表 数学中一些常用的数集及记法 表示的意义 数学符号 例如 自然数集 有理数集 （三）经典例题 1.集合中元素的确定性例1 (1)“某单位的大胖子”；? (2)“某公司身高超过1.80米的高个子”；?(3)“广州亚运会中的比赛项目”；?(4)接近0的数的全体.? 以上四者不能组成集合的是哪几个?? 【思路分析】集合中的元素必须是确定的. 【解析】 【点评】 判断指定的对象能不能形成集合，关键在于能否找到一个明确标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素.☆变式练习 1.下列各组对象中不能形成集合的是( ) A.高一年级男生全体. B.高一(1)班学生家长全体. C.高一年级开设的所有课程. D.高一(6)班个子较高的学生 【答案】【解析】 2.集合中元素的互异性例2 对于集合,则集合中的元素应满足什么条件？? 【思路分析】根据集合的互异性进行解答. 【解析】 【点评】 集合元素的互异性是指它的任何两个元素都是不同的，因此，本例中应同时满足二个条件，注意不要遗漏.☆变式练习2. 集合中，应满足的条件是________________。 【答案】3. 集合与元素的关系例3 给出下面五个关系：①∈R;②Q;③0∈{0};④0∈N;⑤2∈{(2,3)},其中正确的个数是( )? A.5 B.4 C.3 D.1? 【思路分析】先弄清集合的元素：①集合R的元素由实数组成;②集合Q的元素由有理数组成;③集合{0}的元素只有一个实数0;④集合N的元素由自然数组成;⑤集合{(2,3)} 的元素由点(2,3)构成；再看元素是否是集合的元素并作出判断. 【答案】 【解析】 【点评】 研究元素与集合的关系，应首先明确集合是由怎样的元素组成，然后再判断所给对象是否为集合中的元素.☆变式练习3．给出下面五个关系：①;②;③;④;⑤,其中正确的序号是 ?二、总结提升1、本节课你主要学习了 教师口述 学生自主学习 教师分析后，学生独立或合作完成后，教师点评 学生独立或合作完成 教师分析后，学生独立或合作完成后，教师点评 学生独立或合作完成 教师分析后，学生独立或合作完成后，教师点评
因材施教
教学后记：
（授课日期： 年 月 日 星期 班级 ）
授课题目 第2课 集合的含义与表示（2） 拟 课时
第 课时
明确目标 能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
重点难点 集合的两种表示法
课型 □讲授 □习题 □复习 □讨论 □其它
教 学 内 容 与 教 师 活 动 设 计 学生活动设计
一、先学后讲 （一）引入—基础知识回顾上节课主要学习了 (二) 知识要点1、集合的表示方法有3种，一是 ，二是 ，三是文氏图（韦恩图）法 2、用描述法表示集合的一般格式是{x∈A|P(x)}，“|”前表示集合中元素的形式，“|”后表示这个集合中元素的公共属性.?对于集合：A={(x,y)|y=2x2,x∈R},元素是 ，公共属性是 ，对于集合：B={y|y=2x2,x∈R}，元素是 ，公共属性是 3、集合相等： .（二）经典例题1. 集合的表示方法—列举法例1 用列举法表示下列集合.? (1) 小于5的所有自然数组成的集合.? (2)大于且小于5的所有整数组成的集合..? (3)方程的实数解组成的集合.? 【思路分析】 首先搞清楚集合的元素是什么,然后将它写在大括号内. 【解析】 ☆变式练习1(1) 小于3的所有自然数组成的集合表示为 .? (2)大于且小于4的所有整数组成的集合表示为 . (3)方程的实数解组成的集合表示为 .?2. 集合的表示方法—描述法例2 用描述法表示下列集合.? (1) 小于5的所有自然数组成的集合.? (2)大于且小于5的所有整数组成的集合.? (3)方程的实数解组成的集合.? （4）直线上所有点组成的集合. (5) 不等式的解组成的集合. (6)所有偶数组成的集合. (7)一次函数与的图象的交点组成的集合.【思路分析】 首先搞清楚集合的元素是什么,然后将它写在大括号内. 【解析】 ☆变式练习2(1) 小于3的所有自然数组成的集合表示为 .? (2)大于且小于4的所有整数组成的集合表示为 . (3)方程的实数解组成的集合表示为 .? （4）曲线上所有点组成的集合表示为 . (5) 不等式的解组成的集合表示为 .. (6)所有奇数组成的集合表示为 . (7)一次函数与二次函数的图象的交点组成的集合表示为 .3.元素与集合的关系例3 用“”或“”填空 （1） （2） （3） （4） （5）【思路分析】 首先搞清楚集合的元素是什么,然后再用“”或“”填空. 【解析】 ☆变式练习3（1）用“”或“”填空 （1）; （2） ; （3）; （4）;（5）4、集合相等例4 下列各组集合是否相等？ （1）若，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 （5）若，则 （6）若，则【思路分析】 首先搞清楚两集合的元素是否相同，然后进行判断.【解析】 ☆变式练习4下列各组集合是否相等？ （1）若，则 （2）若，则 （3）若，则 （4）若，则 （5）若， 则 （6）若，则二、总结提升1、本节课你主要学习了 2、学习本节课你认为那些知识点是要注意的 学生口述 学生自主学习 教师分析后，学生独立或合作完成后，教师点评 学生独立或合作完成 教师分析后，学生独立或合作完成后，教师点评 学生独立或合作完成 教师分析后，学生独立或合作完成后，教师点评 学生独立或合作完成 教师分析后，学生独立或合作完成后，教师点评
因材施教
教学后记：
§1.1.1 集合的含义与表示
【教材分析】
集合语言是现代数学的基本语言，可以简洁、准确、规范的表达数学内容.本节学习集合的一些基本知识，用最基本的集合语言表示有关数学对象和数学问题等，并能在自然语言、图形语言、集合语言之间进行转换，初步运用集合的观点和思想来分析数学，解决简单的数学问题.
本课是本节的第一课，也是同学们刚进入高中阶段的第一课.常言道“良好的开端是成功的一半”.本课主要是让学生从已有的集合知识和实际生活中的例子入手，体会集合的含义.集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换.
【教学目标】
1.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.
2.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.
3.在从实例理解集合的含义过程中，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识.
4.在理解集合含义及特性过程中，运用元素分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题的能力.
【教学重难点】
教学重点：集合的含义与表示方法.
教学难点：选择恰当的方法表示一些简单的集合.
【教学设计建议】
一、导入新课
1.生活中的集合现象：体育课的集合、军训的集合；蔬菜、水果、家电、服装等总称、整体现象.
2.数学里的集合现象：整体、全体、所有等统称问题.
【设计意图：从生活中和数学里已有的集合知识概括性的导入新课，学生体会到数学与生活的联系，激发学习兴趣】
二、探索新知
（一）、集合的含义
1、小学初中数学涉及到的“集合”
如:数集 所有整数、所有有理数、实数，方程（组）、不等式的解，几何中圆的轨迹、线段的垂直平分线等.
2、再看一些生活实例P2
（1）1～20以内所有的质数；
（2）我国从1991～2003年的13年内所发射的所有人造卫星；
（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；
（4）2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家；
（5）所有的正方形；
（6）到直线l的距离等于定长d的所有的点；
（7）方程x2+3x－2=0的所有实数根；
（8）新华中学2004年9月入学的高一学生的全体.
3、问题思考
（1）8个实例的共同特征.
（2）具体分析每一个实例的元素和这些元素的全体所组成一个集合.
4、归纳新知
（1）集合的含义
一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.
（2）集合与元素的表示
①通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.
②元素与集合的“属于”关系
如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.
③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.
【设计意图：集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉.】
（二）集合元素的特性
（1）问题思考
①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？
②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？
（2）集合元素的特性
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
【设计意图：集合元素的特性及其中的约定通过实例的分析和思考，目的是让学生形成认知冲突，体会元素的确定性、约定元素的无序性和互异性的必要.】
（二）集合元素的特性
（1）问题思考
①世界上最高的山能不能构成一个集合？世界上的高山能不能构成一个集合？
②由实数1、2、3、1组成的集合有几个元素？
③由实数1、2、3组成的集合记为M,由实数3、1、2组成的集合记为N,这两个集合是不是相同的集合呢？
（2）集合元素的特性
①确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
②互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的.
③无序性：集合中的元素是无先后顺序的，也就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素可以交换位置.只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的.
（三）集合的表示方法
（1）自然语言描述
（2）大写字母表示
（3）列举法
①问题引出：书上的例1如何表示集合引出列举法
例1怎样表示下列集合？
（1）小于10的所有自然数组成的集合;
（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合;
（3）由1~20以内的所有质数组成的集合.
②列举法
把集合中的全部元素一一列举出来,并用大括号“{ }”括起来表示集合,这种表示集合的方法叫做列举法.
（4）描述法
①问题引出：你能用列举法表示
不等式的解集吗?
数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合吗?
②描述法
在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.
注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
【设计意图：集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法.】
三、反思提升
（一）集合的含义及表示方法
（1）集合的含义（高中唯一不定义的概念，仅描述性说明含义）
（2）表示方法：
字母表示法、自然语言描述、列举法、描述法
（二）自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象
自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.
【设计意图：学生浸润在新课导入的情境中，对集合的新知进行探索后，有了较深刻的学习体验，通过对反思小结，提升集合的知识和方法，说明集合的表示方法各有优点，需要根据具体问题确定采用哪种表示方法，启发学生关注知识间的联系和区别，并能根据问题情境适时进行语言转换.】
四、反馈例练
（一）基础例练
书P5练习1、2
书P4例2.试分别用列举法和描述法表示下列集合:
(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合;
(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.
（二）巩固例练
例1.下列各组对象不能组成集合的是( )
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y=图象上所有的点
例2.用列举法表示下列集合:
(1)小于5的正奇数组成的集合;
(2)能被3整除且大于4小于15的自然数组成的集合;
(3)方程x2-9=0的解组成的集合;
(4){15以内的质数};
(5).
例3.用描述法分别表示下列集合:
(1)二次函数y=x2图象上的点组成的集合;
(2)数轴上离原点的距离大于6的点组成的集合;
(3)不等式2x-7<3的解集.
(三)拓展例练
1.数集中,实数满足什么条件?
2.集合A中的元素由关于x的方程的解构成,其中,若A中仅有一个元素,求k的值.
3、集合,判断下列元素、、与集合A之间的关系.
4、设集合与，试问集合与是同一集合吗?说明理由.
5、集合满足：若且，则.
①若，求集合中其他元素.②证明：集合不可能只有一个元素.
③证明：若且，则.
【设计意图：通过三种层次的反馈例练，由浅入深，逐渐达到运用新知的目的，同时反馈学生学习理解的程度，进行学习监控和补救.】
五、课后作业
课本P11习题1.1 A组1、2、3、4、5 B组1、2
建议校本教材辅助练习
【教学设计感悟】
集合语言是现代数学的基本语言,在高中数学课程中,它也是学习、掌握和使用数学语言的基础.由于集合的含义、表示方法及特征比较难以理解，很容易囫囵吞枣,因此设计时采用渐进式问题引导、尝试探索、归纳新知的学习方法.
集合作为一种基本的数学语言，学习并掌握它的最好方法是使用.因此，教学中要多引导学生针对具体问题，恰当使用集合语言描述对象，进行自然语言与集合语言间的转换，这不仅是学习集合语言的需要，更是培养学生数学语义转换能力的需要，为接下来的运用集合和对应的语言来进一步描述函数概念，感受建立函数模型的过程和方法打下一定的基础.教师在教学过程中时时监控,对学生不可能解决的问题,对学生解题过程中遇到的困难给予适当点拨.从一开始引导学生养成良好学习习惯,思维习惯，最大限度地挖掘学生的学习潜力.
必修一第一章 1.1.1 集合的含义与表示
【教学目标】
1．了解集合的含义；理解元素与集合的“属于”关系；熟记常用数集专用符号．
2．深刻理解集合元素的确定性、互异性、无序性；能够用其解决有关问题．
3．能选择不同的形式表示具体问题中的集合．
【重点难点】
重点：集合的基本概念与表示方法．
难点：选择适当的方法表示具体问题中的集合．
【教学策略与方法】
问题引导 讲练结合
【教学过程】
教学流程 教师活动 学生活动 设计意图
环节一： 一、创设情境；(1)集合对我们来说可谓是“最熟悉的陌生人”．说它熟悉，是因为我们在现实生活中常常用到“集合”这个名词；比如说，军训的时候，教官是不是经常喊：“高一(1)班的同学，集合啦！”那么说它陌生，是因为我们还未从数学的角度理解集合，从数学的层面挖掘集合的内涵．那么，在数学的领域中，集合究竟是什么呢？集合又有着怎样的含义呢？就让我们通过今天这堂课的学习，一起揭开“集合”神秘的面纱． 在教师的引导下，帮助学生从最熟悉的生活情境出发，来认识和学习“集合”的概念。 让学生感受到数学来源于生活。
环节二： 二、探究新知； 1. 中国的四大发明; 2. 高一（1）班的全体学生; 3. 到线段两端距离相等的点.4. 正整数；1,2,3.....问题1.你能举出一些相似的例子吗？（1）集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体叫做集合（set）.问题2；（1）A={所有素质好的人}，能否表示为集合？B={身材较高的人}呢？（2）A={2，2，4}，表示是否准确？（3）A={太平洋，大西洋}，B={大西洋，太平洋}，是否表示为同一集合？（2）结论：集合中的元素具有三个特征：__确定性_、 互异性、无序性__。问题3；元素与集合的关系；a是集合B中的元素，就说a属于集合B，记作a∈B；a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.因此元素与集合的关系有两种，即属于和不属于．问题4；常用数集及记法1）自然数集：全体非负整数的集合记作N， 2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ ，3）整数集：全体整数的集合记作Z , 4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , 5）实数集：全体实数的集合记作R， 问题5；集合的表示方法 1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x∈A| P（x）} 含义：集合A中满足条件P（x）的x的集合例如，不等式的解集可以表示为：或 所有直角三角形的集合可以表示为：3、Venn图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法（6）集合的分类 三、例题解析例1用列举法和描述法表示下列集合：(1)用列举法表示集合{x∈N|x＜5}为________．(2)方程x2－6x＋9＝0的解集用列举法可表示为________．(3)用描述法表示大于3且不大于8的实数的集合为________[答案] (1) {0,1,2,3,4} (2) {3} (3) {x|3＜x≤8}[解析] (1)因为x∈N，且x＜5，所以x＝0,1,2,3,4.(2)由x2－6x＋9＝0，得x1＝3，x2＝3.(3)实数x大于3且不大于8可表示为3＜x≤8.例2.已知A＝{m－1,3m，m2－1}，若3∈A 求m的值. 探究1. 3∈A说明了什么？ 探究2. 集合A中的元素对m有什么限解： 由m－1＝3，得m＝4，此时3m＝12，m2－1＝15，故m＝4满足集合中元素的互异性；由3m＝3，得m＝1，此时m－1＝m2－1＝0，故舍去由m2－1＝3，得m＝±2，经检验m＝±2满足集合中元素的互异性．故m＝ 4或±2. 学生根据观察分析，自己举出一些集合的例子；并对举出的例子进行分析交流，从而为抽象出集合的概念做好准备。 通过教师举例，引导学生辨析来认识集合中元素的三性。 列举法说明： (1)书写时，元素与元素之间用逗号分开；(2)一般不必考虑元素之间的顺序；(3)在表示数列之类的特殊集合时,通常仍按惯用的次序；(4)在列出集合中所有元素不方便或不可能时，可以列出该集合的一部分元素,以提供某种规律,其余元素以省略号代替； 描述法说明:用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．例如，不等式x－2＞5的解集可以表示为{x∈R|x＞7}；所有的正方形的集合可以表示为{x|x是正方形}，也可写成{正方形}．注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分 如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数} 活动探究：讲解的过程中，可以设计让学生分别用两种方法表示集合，进而体会列举法和描述法的特点和适用条件。 分析中注意引导学生对集合语言的理解及元素特性的运用，可采用师生对话的形式。 由问题思考，引导学生观察思考，为集合概念的理解做好铺垫。 通过举例的方法来帮助学生了解集合中元素的特性。 由具体的例子使抽象的性质和概念具体化，容易为学生接受和理解。 同时集合概念的学习也让学生感受到数学概念学习的一般套路，即；概念---性质---表示---应用。 例题的选取注意对集合语言的熟悉和正确运用。
环节三 课堂小结：集合的含义； (2)集合中元素的性质；(3)元素与集合的关系； (4)集合的表示方法． 学生总结，师补充 导学生对所学的知识进行小结，由利于学生对已有的知识结构进行编码处理，加强理解记忆，引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中，进行有效调控打下良好的基础。
环节四 课后作业：1.必做题：习题1.1 A组 P11 1，2，3 2.选做题：习题1.1 A组P11 4 学生通过作业进行课外反思，通过思考发散 作业布置有弹性，避免一刀切，使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥。
§1.1.1集合的含义与表示
一. 教学目标：
l.知识与技能
(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；
(2)知道常用数集及其专用记号；
(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性；
(4)会用集合语言表示有关数学对象；
(5)培养学生抽象概括的能力.
2. 过程与方法
(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义.
(2)让学生归纳整理本节所学知识.
3. 情感、态度与价值观
使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性.
二．重点难点?
1.重点：集合的基本概念与表示方法?
2.难点:运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合。
三．教学方法：
引导发现和归纳概括相结合的教学方法。
四．教学手段：
多媒体。
五．教学过程：
1.导入新课
军训前学校通知：8月15日8点，高一年级学生到操场集合进行军训.试问 这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定(是 高一而不是高二、高三)对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学 习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体。
2 .初中时你听说过“集合”这一词吗？你在学习那些知识点中提到了“集合” 这一词？（试举几例）问题设计意图：结合学生已有知识经验，启发学生思考，激发学生学习兴趣。
（引导学生回忆、举例，对学生活动评价）
不等式的解集:一般地，一个含有未知数的不等式的解组成的集合，如组成这个不等式X-7<3的解的集合。
圆:集合中，圆的概念是用集合描述的，到一个定点的距离等于定长的点的集合。
数集：自然数的集合，有理数的集合，分数的集合等。
3． 教学内容
1】 集合的含义
下面再来看课本第2页中间的八个例子。
提问 1、教材第2页的（3）-(8)例子中元素是什么？集合是什么？
2、2008年厦门市中考所有考生，元素是什么？集合是什么？
3、本教室内所有人，元素是什么？集合是什么？
4、一副扑克牌，元素是什么？集合是什么？
5、《魔兽》游戏超级爱好者，能否组成集合？
通过上面的教学大家现在对集合、元素已有一定的概念，那么从特殊到一般，我们对元素、集合给出一个定义。
1、那么什么叫元素？集合？
概念：一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。
（通俗一点说：由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的.我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集.）
集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……
2、集合中的元素的有哪些特征？
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。
（3）无序性：集合中的元素没有固定的顺序.
（举例，让教室中的同学坐到不同的位置，问本教室内所有人，这个集合是否有变化）
3、什么叫集合是相等的？
集合相等：构成两个集合的元素完全一样（元素相同，但顺序不一定相同）
4、如何表示元素与集合的关系？
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作aA
例如：1、扑克牌的黑桃为集合A，则红心2A，黑桃2∈A
5、常用数集及其记法有哪些？
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N*或N+ ，
（3）整数集：全体整数的集合记作Z ,
（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,
（5）实数集：全体实数的集合记作R，
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
（2）非负整数集内排除0的集记作N*或N+ 。
其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z*
练习：用符号“∈”或“”填空：
2 N 0 N 0 N+ 0 Z 3 Q
Q 7 R 1.5 Z
2】集合的表示方法
1、列出集合的表示方法：自然语言、列举法和描述法表示集合。
我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。
2、列举法
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；
例1．（课本例题）
说明：集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序。
用列举法必须注意的事项：
（1）大括号不能缺失.
(2)有些集合中元素个数较多，元素又呈现出一定的规律，在不至于发生误解的情况下，亦可如下表示：从1到100的所有整数组成的集合：{1，2，3，…，100};自然数集N：{1，2，3，4，…,n,…}.
1.区分a与{a}：{a}表示一个集合，该集合只有一个元素. a表示这个集合的一个元素.
（4）用列举法表示集合时不必考虑元素的前后次序.相同的元素不能出现两次.
有些集合的元素是列举不完的或用列举法表示不方便，此时就要用下面的方法来表示。
3、描述法
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{直角三角形}，…；
例2．（课本例2）
强调：描述法表示集合应注意集合的代表元素
{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}不同。
只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{整数}，即代表整数集Z。
例 3集合与集合是同一个集合吗？
答：不是因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合= 是函数的所有函数值构成的数集
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集}，{R}也是错误的。
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
4、何时用列举法？何时用描述法？
⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合
⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法如：集合；集合{1000以内的质数}
5 、优点：
列举法：可以明确的看到集合的元素。
描述法：清晰地反映出元素的特征性质。
3】课堂练习
做练习前， 对集合中元素三个特性再认识：
（2）确定性：指的是作为一个集合中元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于不属于这个集合是确定的。要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合。
（3）互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的。如方程的解构成的集合为，而不能记为。这个特性通常被用来判断集合的表示是否正确，或用来求集合中的未知元素。如果已知两个集合的关系，求集合中字母的取值时，求出后一定要检验，以满足集合中元素的互异性。
（4）无序性：集合与其中的元素的排列顺序无关，如集合与是相等的集合，这个特性通常用来判断两个集合的关系。
1、教材第五页：练习
2、下列各组对象能确定一个集合吗？
（1）所有很大的实数
（2）好心的人
（3）1，2，2，3，4，5．
3、设a,b是非零实数，那么可能取的值组成集合的元素是__
4、由实数x,－x,｜x｜,所组成的集合，最多含（ ）
A、2个元素 B、3个元素 C、4个元素 D、5个元素
5、下列关系中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、在数集中，实数的取值范围是
7、已知集合，若集合A中至多有一个元素，求实数的取值范围。
8、下列各组中的两个集合P和Q，表示同一集合的是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、已知集合,则是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、，求实数的值。
11、已知,则与之间是什么关系？
12、用列举法表示下列集合
（1）；（2）
（3）方程的解集
4】、课堂小结?（学生归纳）
1.集合的含义；? 2.集合元素的性质：确定性、互异性、无序性；?3.元素与集合的关系；? 4.数集及有关符号；5.集合的表示方法；6.归纳概括的数学思想。
5】、课后作业
1、（1）“某中学的大胖子”(2)“某校身高超过1.80米的学生”（3）“08年北京奥运会的比赛项目”（4） 。 以上四者不能组成集合的哪几个？
2、集合表示（ ）
A、方程 B、点 C、平面直角坐标系中的所有点组成的集合 D、函数图象上的所有点组成的集合
3、（08江西高考理科）定义集合运算：．设，则集合的所有元素之和为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
4、用列举法表示集合为（ ）
A、 B、 C、 D、
5、若以集合中三个元素为边可以构成一个三角形，那么该三角形一定不是（ ）
A、锐角三角形 B、等腰三角形 C、钝角三角形 D、直角三角形
6、方程组的解集是（ ）
A、 B、 C、 D、（-1，2）
7、含有3个实数的集合可表示为，也可以表示为，则
8、、若，求实数
9、已知，且，求值。
10、已知集合，且中只有一个元素，求的值。
六、板书设计?
1.1.1??集合的含义与表示
（1）集合的含义?
（2）集合元素的三个特性?
（3）元素与集合的关系?
（4）常用数集与记法?
（5）集合的表示方法
例1?例2?例3? 课堂小结?课堂练习 课后作业
七、教学反思
八、课后预习：
九、教学时间：
备注：应分为两课时讲；集合的定义改为集合的概念；导入改为教材上的导入。
课 题：1.1集合
教学目的：（1）使学生初步理解集合的概念，知道常用数集的概念及记法（2）使学生初步了解“属于”关系的意义（3）使学生初步了解有限集、无限集、空集的意义
教学重点：集合的基本概念及表示方法
教学难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合
授课类型：新授课
课时安排：1课时
教学过程：
一、复习引入：
1．简介数集的发展；2．教材中的章头引言；3．集合论的创始人——康托尔（德国数学家）；4．“物以类聚”，“人以群分”；5．教材中例子。
二、讲解新课：
阅读教材第一部分，问题如下：
（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表示的？
（3）集合中元素的特性是什么？
（一）集合的有关概念：
由一些数、一些点、一些图形、一些整式、一些物体、一些人组成的，我们说，每一组对象的全体形成一个集合，或者说，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。集合中的每个对象叫做这个集合的元素。
定义：一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合。
1、集合的概念
（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）。
（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素。
2、常用数集及记法
（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N，
（2）正整数集：非负整数集内排除0的集合记作N 或N+，如
（3）整数集：全体整数的集合，记作 ,
（4）有理数集：全体有理数的集合，记作Q ,
（5）实数集：全体实数的集合，记作R，
注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0。
（2）非负整数集内排除0的集。记作N 或N+ 。Q、 、R等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成
3、元素对于集合的隶属关系
（1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A
（2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作
4、集合中元素的特性
（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可。
（2）互异性：集合中的元素没有重复
（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）
5、（1）集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、P、Q……
元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、p、q……
（2）“∈”的开口方向，不能把a∈A颠倒过来写。
（二）集合的表示方法。
1、列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
例如，由方程的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}
注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100}，所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}
（2）a与{a}不同：a表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素。
2、描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条
件写在大括号内表示集合的方法
格式：{x∈A| P（x）} 含义：在集合A中满足条件P（x）的x的集合
例如，不等式的解集可以表示为：或；
所有直角三角形的集合可以表示为：
注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分，如：{直角三角形}；{大于104的实数}
（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}
3、何时用列举法？何时用描述法？
（1）有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法。如：集合
（2）有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法。
如：集合；集合{1000以内的质数}
例 集合与集合是同一个集合吗？
答：不是。因为集合是抛物线上所有的点构成的集合，集合= 是函数的所有函数值构成的数集。
（三） 有限集与无限集
1、 有限集：含有有限个元素的集合。
2、 无限集：含有无限个元素的集合。
3、 空集：不含任何元素的集合。记作Φ，如：
三、练习题：
1、用描述法表示下列集合
①{1，4，7，10，13}
②{-2，-4，-6，-8，-10}
2、用列举法表示下列集合
①{x∈N|x是15的约数} {1，3，5，15}
②{（x，y）|x∈{1，2}，y∈{1，2}}
{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}
注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}
③
④ {-1，1}
⑤ {（0，8）（2，5），（4，2）}
⑥
{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}
3、关于x的方程ax＋b=0，当a,b满足条件____时，解集是有限集；当a,b满足条件_____时，解集是无限集
4、用描述法表示下列集合：
(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= (2) { 0,±, ±, ±, ±, ……}=
四、小结：本节课学习了以下内容：
1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于）
2．集合元素的性质：确定性，互异性，无序性
3．常用数集的定义及记法 4．集合的有关概念：有限集、无限集、空集
5．集合的表示方法：列举法、描述法
五、课后作业：
第1课时 集合的含义与表示
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）初步理解集合的含义，知道常用数集及其记法．
（2）初步了解“属于”关系的意义．理解集合相等的含义.
（3）初步了解有限集、无限集的意义，并能恰当地应用列举法或描述法表示集合.
2．过程与方法
（1）通过实例，初步体会元素与集合的“属于”关系，从观察分析集合的元素入手，正确地理解集合．
（2）观察关于集合的几组实例，并通过自己动手举出各种集合的例子，初步感受集合语言在描述客观现实和数学对象中的意义．
（3）学会借助实例分析、探究数学问题（如集合中元素的确定性、互异性）．
（4）通过实例体会有限集与无限集，理解列举法和描述法的含义，学会用恰当的形式表示给定集合掌握集合表示的方法.
3．情感、态度与价值观
（1）了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系．
（2）在学习运用集合语言的过程中，增强学生认识事物的能力．初步培养学生实事求是、扎实严谨的科学态度．
（二）教学重点、难点
重点是集合的概念及集合的表示．难点是集合的特征性质和概念以及运用特征性质描述法正确地表示一些简单集合.
（三）教学方法
尝试指导与合作交流相结合．通过提出问题、观察实例，引导学生理解集合的概念，分析、讨论、探究集合中元素表达的基本要求，并能依照要求举出符合条件的例子，加深对概念的理解、性质的掌握．通过命题表示集合，培养运用数学符合的意识.
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 一个百货商店，第一批进货是帽子、皮鞋、热水瓶、闹钟共计4个品种，第二批进货是收音机、皮鞋、尼龙袜、茶杯、闹钟共计5个品种，问一共进了多少品种的货?能否回答一共进了4 + 5 = 9种呢？ 学生回答（不能，应为7种），然后教师和学生共同分析原因：由于两次进货共同的品种有两种，故应为4 +5 – 2 = 7种．从而指出： ……这好像涉及了另一种新的运算．…… 设疑激趣，导入课题．
复习引入 ①初中代数中涉及“集合”的提法．②初中几何中涉及“集合”的提法． 引导学生回顾，初中代数中不等式的解法一节中提到的有关知识：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集． 几何中，圆的概念是用集合描述的． 通过复习回顾，引出集合的概念．
概念形成 第一组实例（幻灯片一）： （1）“小于l0”的自然数0，1，2，3，……，9． （2）满足3x – 2 ＞x + 3的全体实数．（3）所有直角三角形．（4）到两定点距离的和等于两定点间的距离的点．（5）高一（1）班全体同学．（6）参与中国加入WTO谈判的中方成员．1．集合：一般地，把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合（或集）．2．集合的元素（或成员）： 即构成集合的每个对象（或成员）， 教师提问：①以上各例（构成集合）有什么特点?请大家讨论．学生讨论交流，得出集合概念的要点，然后教师肯定或补充．②我们能否给出集合一个大体描述?……学生思考后回答，然后教师总结．③上述六个例子中集合的元素各是什么? ④请同学们自己举一些集合的例子． 通过实例，引导学生经历并体会集合（描述性）概念形成的过程，引导学生进一步明确集合及集合元素的概念，会用自然语言描述集合．
概念深化 第二组实例（幻灯片二）：（1）参加亚特兰大奥运会的所有中国代表团的成员构成的集合．（2）方程x2 = 1的解的全体构成的集合．（3）平行四边形的全体构成的集合．（4）平面上与一定点O的距离等于r的点的全体构成的集合．3．元素与集合的关系： 教师要求学生看第二组实例，并提问：①你能指出各个集合的元素吗？②各个集合的元素与集合之间是什么关系？③例（2）中数0，–2是这个集合的元素吗? 学生讨论交流，弄清元素与集合之间是从属关系，即“属于”或“不属于”关系． 引入集合语言描述集合．
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
念深化 集合通常用英语大写字母A、B、C…表示，它们的元素通常用英语小写字母a、b、c…表示．如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A，读作“a属于A”．如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作aA，读作“a不属于A”．4．集合的元素的基本性质；（1）确定性：集合的元素必须是确定的．不能确定的对象不能构成集合．（2）互异性：集合的元素一定是互异的．相同的几个对象归于同一个集合时只能算作一个元素．第三组实例（幻灯片三）： （1）由x2，3x + 1，2x2 – x + 5三个式子构成的集合．（2）平面上与一个定点O的距离等于1的点的全体构成的集合．（3）方程x2 = – 1的全体实数解构成的集合． 5．空集：不含任何元素的集合，记作．6．集合的分类：按所含元素的个数分为有限集和无限集．7．常用的数集及其记号（幻灯片四）． N：非负整数集（或自然数集）． N*或N+：正整数集（或自然数集去掉0）．Z：整数集．Q：有理数集．R：实数集． 教师提问：“我们班中高个子的同学”、“年轻人”、“接近数0的数”能否分别组成一个集合，为什么？学生分组讨论、交流，并在教师的引导下明确：给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素也就确定了．另外，集合的元素一定是互异的．相同的对象归于同一个集合时只能算作集合的一个元素．教师要求学生观察第三组实例，并提问：它们各有元素多少个? 学生通过观察思考并回答问题．然后，依据元素个数的多少将集合分类．让学生指出第三组实例中，哪些是有限集？哪些是无限集？…… 请同学们熟记上述符号及其意义． 通过讨论，使学生明确集合元素所具有的性质，从而进一步准确理解集合的概念． 通过观察实例，发现集合的元素个数具有不同的类别，从而使学生感受到有限集、无限集、空集存在的客观意义．
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应用 举例 列举法： 定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法. 例1 用列举法表示下列集合： （1）小于10的所有自然数组成的集合； （2）方程x2 = x的所有实数根组成的集合； （3）由1～20以内的所有质数组成的集合.描述法： 定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法. 具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征. 例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合： （1）方程x2 –2 = 0的所有实数根组成的集合； （2）由大于10小于20的所有整数组成的集合. 师生合作应用定义表示集合. 例1 解答：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A，那么A = {0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}.由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合A可以有不同的列举法. 例如：A = {9，8，7，6，5，4，3，2，1，0}.（2）设方程x2 = x 的所有实数根组成的集合为B，那么B = {0，1}. （3）设由1～20以内的所有质数组成的集合为C，那么C = {2，3，5，7，11，13，17，19}. 例2 解答：（1）设方程x2 – 2 = 0的实数根为 x，并且满足条件x2 – 2 = 0，因此，用描述法表示为A = {x∈R| x2 –2 = 0}. 方程x2 –2 = 0有两个实数根，，因此，用列举法表示为A = {，}. （2）设大于10小于20的整数为 x，它满足条件x∈Z，且10＜x＜20. 因此，用描述法表示为B = {x∈Z | 10＜x＜20}. 大于10小于20的整数有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列举法表示为B = {11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
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应用 举例 例3 已知由l，x，x2，三个实数构成一个集合，求x应满足的条件． 解：根据集合元素的互异性，得 所以x∈R且x≠±1，x≠0．课堂练习：教材第5页练习A1、2、3．例2 用∈、填空．① Q；② Z；③ R；④0 N；⑤0 N*；⑥0 Z． 学生分析求解，教师板书． 幻灯片五（练习答案），反馈矫正． 通过应 用，进一步 理解集合的 有关概念、 性质．
例4 试选择适当的方法表示下列集合：（1）由方程x2 – 9 = 0的所有实数根组成的集合； （2）由小于8的所有素数组成的集合； （3）一次函数y = x + 3与 y = –2x + 6的图象的交点组成的集合； （4）不等式4x – 5＜3的解集. 生：独立完成；题：点评说明. 例4 解答：（1）{3，–3}； （2）{2，3，5，7}； （3）{(1，4)}； （4）{x| x＜2}.
归纳 总结 ①请同学们回顾总结，本节课学过的集合的概念等有关知识；②通过回顾本节课的探索学习过程，请同学们体会集合等有关知识是怎样形成、发展和完善的． ③通过回顾学习过程比较列举法和描述法. 归纳适用题型. 师生共同总结——交流——完善． 引导学生学会自己总结；让学 生进一步（回顾）体 会知识的形成、发展、完善的过程．
课后 作业 1.1 第一课时习案 由学生独立完成． 巩固深化；预习下一节内容，培养自学能力．
备选例题
例1（1）利用列举法表法下列集合：①{15的正约数}；②不大于10的非负偶数集.
（2）用描述法表示下列集合：①正偶数集； ②{1，–3，5，–7，…，–39，41}.
【分析】考查集合的两种表示方法的概念及其应用.
【解析】（1）①{1，3，5，15}
②{0，2，4，6，8，10}
（2）①{x | x = 2n，n∈N*}
②{x | x = (–1) n–1·(2n –1)，n∈N*且n≤21}.
【评析】（1）题需把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合，多用于集合中的元素有有限个的情况.
（2）题是将元素的公共属性描述出来，多用于集合中的元素有无限多个的无限集或元素个数较多的有限集.
例2 用列举法把下列集合表示出来：
（1）A = {x∈N |∈N}；
（2）B = {∈N | x∈N }；
（3）C = { y = y = – x2 + 6，x∈N ，y∈N }；
（4）D = {(x，y) | y = –x2 +6，x∈N }；
（5）E = {x |= x，p + q = 5，p∈N ，q∈N*}.
【分析】先看五个集合各自的特点：集合A的元素是自然数x，它必须满足条件也是自然数；集合B中的元素是自然数，它必须满足条件x也是自然数；集合C中的元素是自然数y，它实际上是二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的函数值；集合D中的元素是点，这些点必须在二次函数y = – x2 + 6 (x∈N )的图象上；集合E中的元素是x，它必须满足的条件是x =，其中p + q = 5，且p∈N，q∈N*.
【解析】（1）当x = 0，6，8这三个自然数时，=1，3，9也是自然数.
∴ A = {0，6，9}
（2）由（1）知，B = {1，3，9}.
（3）由y = – x2 + 6，x∈N，y∈N知y≤6.
∴ x = 0，1，2时，y = 6，5，2 符合题意.
∴ C = {2，5，6}.
（4）点 {x，y}满足条件y = – x2 + 6，x∈N，y∈N，则有：
∴ D = {(0，6) (1，5) (2，2) }
（5）依题意知p + q = 5，p∈N，q∈N*，则
x 要满足条件x =，
∴E = {0，，，，4}.
【评析】用描述法表示的集合，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应该符合什么条件，从而准确理解集合的意义.
例3 已知–3∈A = {a –3，2a – 1，a2 + 1}，求a的值及对应的集合A.
–3∈A，可知–3是集合的一个元素，则可能a –3 = –3，或2a – 1 = –3，求出a，再代入A，求出集合A.
【解析】由–3∈A，可知，a –3 = –3或2a –1 = –3，当a –3 = –3，即a = 0时，A = {–3，–1，1}
当2a – 1 = –3，即a = –1时，A = {– 4，–3，2}.
【评析】元素与集合的关系是确定的，–3∈A，则必有一个式子的值为 –3，以此展开讨论，便可求得a.
1.1.1《集合的含义与表示》教案
【教学目标】
1.了解集合、元素的概念，体会集合中元素的三个特征；
2. 理解元素与集合的“属于”和“不属于”关系；
3. 掌握常用数集及其记法；
4.了解集合的表示方法；
5.能正确选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
【导入新课】
一、实例引入：
军训前学校通知：8月20日8点，高一年级在体育馆集合进行军训动员；试问这个通知的对象是全体的高一学生还是个别学生？
在这里，集合是我们常用的一个词语，我们感兴趣的是问题中某些特定（是高一而不是高二、高三）对象的总体，而不是个别的对象，为此，我们将学习一个新的概念——集合，即是一些研究对象的总体.
二、问题情境引入：我们高一（一）班一共52人，其中班长张三，现有以下问题：
⑴ 52人组成的班集体能否组成一个整体？
⑵ 张三和52人所组成的班集体是什么关系?
⑶ 假设李四是相邻班的学生，问他与高一·一班是什么关系？
新授课阶段
（一）集合的有关概念
1. 集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们
能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体.
2. 一般地，我们把研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集.
3. 思考1：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1） 大于3小于11的偶数；
（2） 我国的小河流；
（3） 非负奇数；
（4） 方程的解；
（5） 某校2012级新生；
（6） 血压很高的人；
（7） 著名的数学家；
（8） 平面直角坐标系内所有第三象限的点；
（9） 全班成绩好的学生.
对学生的解答予以讨论、点评，进而讲解下面的问题.
4. 关于集合的元素的特征
（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立.
（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素.
（3）无序性：给定一个集合与集合里面元素的顺序无关.
（4）集合相等：构成两个集合的元素完全一样.
(二) 元素与集合的关系
1. （1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作：a∈A；
（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作：aA，
例如，我们A表示“1~20以内的所有质数”组成的集合，则有3∈A， 4A，等等.
2．集合与元素的字母表示： 集合通常用大写的拉丁字母A，B，C…表示，集合的元素用小写的拉丁字母a,b,c,…表示.
3．常用的数集及记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N*或N+；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R.
例1 若集合A为所以大于1 二小于3的实数组成的集合，则下面说法正确的为（ ）
A． Ｂ. C. D.
解析：根据元素与集合的关系可得，答案C.
答案： C
例2用“∈”或“”符号填空：
（1）8 N； （2）0 N；
（3）-3 Z； （4） Q；
（5）设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国 A，美国 A，印度 A，英国 A.
答案：
例3 判断下列各句的说法是否正确：
(1) 所有在N中的元素都在N*中 ( )
(2) 所有在N中的元素都在Z中 ( )
(3) 所有不在N*中的数都不在Z中 ( )
(4) 所有不在Q中的实数都在R中 ( )
(5) 由既在R中又在N中的数组成的集合中一定包含数0 ( )
(6) 不在N中的数不能使方程4x＝8成立 ( )
答案： ×，√，×，√，×，√
例 4 已知集合P的元素为, 若且-1P，求实数m的值
解：根据，得若 此时不满足题意；若解得
此时或（舍），综上 符合条件的 .
点评：本题综合运用集合的定义和元素与集合的关系解题，注意集合的性质的运用.
（三）集合的表示方法
我们可以用自然语言和图形语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合
(1) 列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫列举法.
如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…
说明：1．集合中的元素具有无序性，所以用列举法表示集合时不必考虑元素的顺序.
2．各个元素之间要用逗号隔开；
3．元素不能重复；
4．集合中的元素可以数，点，代数式等；
5．对于含有较多元素的集合，用列举法表示时，必须把元素间的规律显示清楚后方能用省略号，象自然数集Ｎ用列举法表示为.
例5 用列举法表示下列集合：
(1)x2－4的一次因式组成的集合. (2){y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}.
(3)方程x2＋6x＋9＝0的解集. (4){20以内的质数}.
(5){（x，y）｜x2＋y2＝1，x∈Z,y∈Z}. (6){大于0小于3的整数}
(7){x∈R｜x2＋5x－14＝0}.
(8){（x，y）}｜x∈N，且1≤x＜4，y－2x＝0}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}.
分析：用列举法表示集合的关键是找出集合中的所有元素，要注意不重不漏，不计次序地用“，”隔开放在大括号内.
解：(1)因x2－4＝（x－2）（x＋2），故符合题意的集合为{x－2，x＋2}.
(2)y＝－x2－2x＋3＝－（x＋1）2＋4，即y≤4，又y∈N，∴y＝0，1，2，3，4.
故{y｜y＝－x2－2x＋3，x∈R,y∈N}＝{0，1，2，3，4}.
(3)由x2＋6x＋9＝0得 x1＝x2＝－3，∴方程x2＋6x＋9＝0的解集为{－3}.
(4){20以内的质数}＝{2，3，5，7，11，13，17，19}.
(5)因x∈Z , y∈Z ，则x＝－1，0，1时，y＝0，1，－1.
那么{(x，y)｜x2＋y2＝1，x∈Z ,y∈Z}＝{（－1，0），（0，1），（0，－1），（1，0）}.
(6){大于0小于3的整数}＝{1，2}.
(7)因x2＋5x－14＝0的解为x1＝－7，x2＝2，则{x∈R｜x2＋5x－14＝0}＝{－7，2}.
(8)当x∈N且1≤x＜4时，x＝1，2，3，此时y＝2x，即y＝2，4，6.
那么{（x，y）｜x∈N且1≤x＜4，y－2x＝0}＝{（1，2），（2，4），（3，6）}.
(9){（x，y）｜x＋y＝6，x∈N，y∈N}＝{（0，6）（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}.
（2）描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在花括号{ }内.
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
一般格式：
如：{x|x-3>2}，{(x,y)|y=x2+1}，{x︳直角三角形}，…；
说明：
1．课本P5最后一段话；
2．描述法表示集合应注意集合的代表元素，如{(x,y)|y= x2+3x+2}与 {y|y= x2+3x+2}是不同的两个集合，只要不引起误解，集合的代表元素也可省略，例如：{x︳整数}，即代表整数集Z.
辨析：这里的{ }已包含“所有”的意思，所以不必写{全体整数}.下列写法{实数集}，{R}也是错误的.
说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法.
例6 用描述法表示下列集合：
(1)方程2x＋y＝5的解集. (2)小于10的所有非负整数的集合.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解. (4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合.
(6)方程组的解的集合. (7){1，3，5，7，…}.
(8)x轴上所有点的集合. (9)非负偶数.
(10)能被3整除的整数.
分析：用描述法表示集合的关键是找出集合中元素的公共属性，确定代表元素，公共属性可以用文字直接表述，也可用数学关系表示，但要抓住其实质.
解：(1){（x，y）｜2x＋y＝5}.
(2)小于10的所有非负整数的集合用描述法表示为{x｜0≤x＜10，x∈Z}.
(3)方程ax＋by＝0（ab≠0）的解用描述法表示为{（x，y）｜ax＋by＝0（ab≠0）}.
(4)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合用描述法表示为{x｜x＞3}.
(5)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合用描述法表示为{（x，y）｜xy＜0}.
(6)方程组的解的集合用描述法表示为{（x，y）｜}.
(7){1，3，5，7，…}用描述法表示为{x｜x＝2k－1，k∈N*}.
(8)x轴上所有点的集合用描述法表示为{（x，y）｜x∈R，y＝0}.
(9)非负偶数用描述法表示为{x｜x＝2k，k∈N}.
(10)能被3整除的整数用描述法表示为{x｜x＝3k，k∈Z}.
（3）文恩图法：集合的表示除了列举法和描述法外，还有恩韦图(文氏图)叙述如下：
画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合.如图：
表示任意一个集合A
边界用直线还是曲线，用实线还是虚线都无关紧要，只要封闭并把有关元素和子集统统包含在里边就行，但不能理解成圈内每个点都是集合的元素.
例7设集合A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}，又有a∈A，b∈B，判断元素a＋b与集合A、B和C的关系.
解：因A＝{x｜x＝2k，k∈Z}，B＝{x｜x＝2k＋1，k∈Z}，则集合A由偶数构成，集合B由奇数构成.
即a是偶数，b是奇数 设a＝2m，b＝2n＋1（m∈Z ,n∈Z）
则a＋b＝2（m＋n）＋1是奇数，那么a＋bA，a＋b∈B.
又C＝{x｜x＝4k＋1，k∈Z}是由部分奇数构成且x＝4k＋1＝2·2k＋1.
故m＋n是偶数时，a＋b∈C；m＋n不是偶数时，a＋bC
综上a＋bA，a＋b∈B，a＋bC.
课堂小结
1.集合的概念中，“某些指定的对象”，可以是任意的具体确定的事物，例如数、式、点、形、物等.
2.集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性，要能熟练运用之.
3. 集合的常用表示方法，包括列举法、描述法.
作业
1．习题1.1，第1- 2题；
2．预习集合的表示方法.
拓展提升
1.用集合符号表示下列集合，并写出集合中的元素：
(1)所有绝对值等于8的数的集合A； (2)所有绝对值小于8的整数的集合B.
2.下列各组对象不能形成集合的是（ ）
A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题
C.被3除余2的所有整数 D.函数y＝图象上所有的点
3.下列条件能形成集合的是（ ）
A.充分小的负数全体 B.爱好飞机的一些人
C.某班本学期视力较差的同学 D.某校某班某一天所有课程
4.集合A的元素由kx2－3x＋2＝0的解构成，其中k∈R，若A中的元素至多有一个，求k值的范围.
5.若x∈R，则{3，x，x2－2x}中的元素x应满足什么条件?
6.方程 ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，则a＝_______，c＝_______.
7.集合A的元素是由x＝a＋b（a∈Z,b∈Z）组成，判断下列元素x与集合A之间的关系：0，，.
参考答案
1. 分析：由集合定义：一组确定对象的全体形成集合，所以能否形成集合，就看所提对象是否确定；其次集合元素的特征也是解决问题依据所在.
解：(1)A＝{绝对值等于8的数} 其元素为：－8，8
(2)B＝{绝对值小于8的整数}
其元素为：－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6，7.
2. 解：综观四个选择支，A、C、D的对象是确定的，惟有B中的对象不确定，故不能形成集合的是B.
3 解：综观该题的四个选择支，A、B、C的对象不确定，惟有D某校某班某一天所有课程的对象确定，故能形成集合的是D.
4. 解：由题A中元素即方程kx2－3x＋2＝0(k∈R)的根
若k＝0，则x＝，知A中有一个元素，符合题设[
若k≠0，则方程为一元二次方程.
当Δ＝9－8k＝0即k＝时，kx2－3x＋2＝0有两相等的实数根，此时A中有一个元素.又当9－8k＜0即k＞时,kx2－3x＋2＝0无解.
此时A中无任何元素，即A＝也符合条件
综上所述 k＝0或k≥
评述：解决涉及一元二次方程问题，先看二次项系数是否确定，若不确定，如该题，则须分类讨论.其次至多有一个元素，决定了这样的集合或者含一个元素，或者不含元素，分两种情况.
5. 解：集合元素的特征说明{3，x，x2－2x}中元素应满足关系式
即 也就是
即x≠－1，0，3满足条件.
6. 解：方程ax2＋5x＋c＝0的解集是{，}，那么、是方程两根
即有 eq \b\lc\{(\a\al(＋＝－,·＝)) 得 那么 a＝－6，c＝－1
7.解：因x＝a＋b，a∈Z ,b∈Z
则当a＝b＝0时，x＝0
又＝＋1＝1＋
当a＝b＝1时，x＝1＋
又＝＋
当a＝，b＝1时，a＋b＝＋
而此时Z，故有：A，
故0∈A，∈A，A.
8.解：若x是整数，则有x＋x＝15，x＝与x是整数相矛盾，若x不是整数，则x必在两个连续整数之间
设n＜x＜n＋1
则有n＋（n＋1）＝15，2n＝14，n＝7 即7＜x＜8 ∴x∈（7，8）
表示{3，9，27}
表示{4，6，10}
