23.3.2 相似三角形的判定(1)课时作业

23.3相似三角形（2）课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．如图，△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，DE⊥AC，则图中与△ABC相似的三角形有（　　）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
2．在直角三角形ABC中，CD是斜边上的高线，则下列各式能成立的是(　　)

A． B． C． D．
3．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列结论正确的是（　　）

A． BD=AD B． BC2=AB?CD C． AD2=BD?AB D． CD2=AD?BD
4．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（　　）

A． 1 B． C． 3 D． 2
5．如图，在△ABC中，∠AED=∠B，则下列等式成立的是 （　　）

A． B． C． D．
6．如图，菱形ABCD中，点M，N在AC上，，，；若，则　　

A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
7．如图，等边△ABC的边长为3，P为BC上一点，且BP=1，D为AC上一点，若∠APD=60°，则CD的长是（　　）

A． B． C． D．
8．如图，在中，，，平分交于点，则

A． B． C． D． 或


二、填空题
9．如图，中，是中线，，，则线段的长为________．

10．如图，中，，，垂足为，若，，则为________．

11．如图，∠BAC＝80°，∠B＝40°，∠E=60°,若将图中的△ADE旋转(平移)，则所得到的新三角形与△ABC________，与△ADE____________

12．如图，点D、E分别在AB、AC上，且∠ABC＝∠AED．若DE＝4，AE＝5，BC＝8，则AB的长为____

13．如图，在△ABC中，AB＝3, AC＝6，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A1B1C使CB1∥AD，分别延长AB，CA1相交于点D，则线段BD的长为_____．

14．如图，△ABC中，∠AED=∠B，AD=2，DB=4，AE=3，则EC=_____．

15．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为_____．


三、解答题
16．如图，在△ABC和△CDE中，∠B=∠D=90°，C为线段BD上一点，且AC⊥CE，证明：△ABC∽△CDE．


17．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F． 求证：△ACD∽△BFD．

18．如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE．求证：△ABE∽△ACD．

19．如图，在等腰三角形ABC中，点E、F、O分别是腰AB、AC及底BC边上任意一点，且∠EOF=∠B=∠C．求证：OE?FC=FO?OB．

20．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90°，且对角线BD⊥DC，试问：
(1)△ABD与△DCB相似吗？请说明理由．
(2)若AD＝2，BC＝8，请求出BD的长．

21．如图，BE是△ABC的角平分线，延长BE至D，使得BC=CD．
（1）求证：△AEB∽△CED；
（2）若AB=2，BC=4，AE=1，求CE长．







参考答案
1．D
【解析】分析：根据相似三角形的判定定理，利用已知条件判定相似的三角形．
详解：
∵DE⊥BC，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠A=∠EDC=∠BCD
∴△CAD∽△DCE∽△BDE∽△BCD∽△ABC
∴共有四个三角形与Rt△ABC相似．
有四个，分别是△DBE，△ACD，△CDE，△CBD，可以运用相似三角形的判定进行验证．
故选D．
点睛：主要考查学生对相似三角形的判定方法的掌握情况，是证明相似的关键．
2．D
【解析】试题分析：根据三角形的面积计算公式可得：AC·BC=AB·CD，即，故选D．
3．D
【解析】分析：根据题意得出△ACD和△CBD相似，从而得出答案．
详解：∵△ACD∽△CBD， ∴， 即， 故选D．
点睛：本题主要考查的是相似三角形的判定与性质，属于基础题型．得出三角形相似是解决这个问题的关键．
4．C
【解析】∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ADC=∠BAC=90°，
∵∠C=∠C，
∴△ABC∽△DAC，
∴ ，
∵AB=2，BC=4，
∴AC=2，
∴，
∴DC=3．
故选：C．
5．C
【解析】∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，∴ ．故选C．
6．C
【解析】
【分析】
先证明∽，可得，由此即可解决问题.
【详解】
四边形ABCD是菱形，
，
，
∽，
，
，
故选：C．
【点睛】
本题考查菱形的性质、相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．
7．C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理求出△ABP∽△PCD，再根据相似三角形对应边的比等于相似比的平方解答．
【详解】
∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
又∵∠APD+∠DPC=∠B+∠BAP，且∠APD=60°，
∴∠BAP=∠DPC，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∵AB=BC=3，BP=1，
∴PC=2，
∴，
∴CD=，
故选C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键.
8．B
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算出图中各角的度数，易得AD＝BD＝BC，再证明△ABC∽△BCD，根据相似的性质得AC：BC＝BC：CD，则AC：AD＝AD：CD，然后根据黄金分割点的定义计算．
【详解】
∵AB＝AC＝8，
∴∠ABC＝∠C＝（180°?∠A）＝（180°?36°）＝72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°，
∴∠A＝∠ABD，
∴AD＝BD，
∵∠BDC＝∠A＋∠ABD＝72°，
∴∠BDC＝∠C，
∴BD＝BC，
∴AD＝BD＝BC，
∴∠A＝∠CBD，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BCD，
∴AC：BC＝BC：CD，
∴AC：AD＝AD：CD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD＝AC＝×8＝4（?1）＝4?4．
故选：B．
【点睛】
本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC＝AB≈0.618AB．并且线段AB的黄金分割点有两个．
9．
【解析】
【分析】
根据∠B=∠DAC，∠ACD=∠BCA，得出△ACD∽△BCA，根据“相似三角形对应边成比例”得出，即可求出答案．
【详解】
解：∵在△ABC中，AD是中线，BC=8，
∴CD=4，
∵∠B=∠DAC，∠ACD=∠BCA，
∴△ACD∽△BCA，
∴，
即 ，
∴AC=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的知识是解决本题的关键．
10．
【解析】
【分析】
首先证，然后根据相似三角形的对应边成比例求出的长.
【详解】
中，，，
，
又 ，
，
，即.
故答案为：.
【点睛】
此题主要考查的是相似三角形的判定和性质以及直角三角形的性质，题目比较简单.
11．相似全等
【解析】
【分析】
根据已知条件易证△ADE∽△ABC，根据平移和旋转的性质即可解答.
【详解】
∵∠BAC＝80°，∠B＝40°，
∴∠C＝60°，
∵∠BAC＝∠DAE, ∠C＝∠E＝60°，
∴△ADE∽△ABC，
∵将图中的△ADE旋转(平移)，
∴得到的新三角形与△ADE全等，与△ABC相似.
故答案为：相似；全等.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定及平移和旋转的性质，熟记判定和性质是解题的关键.
12．10
【解析】试题解析：在△ABC和△AED中，
∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD，
∴△AED∽△ABC，

又∵DE=4，AE=5，BC=8，

∴AB=10.
故答案为：10.
13．9
【解析】解：∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C，∴AC=CA′=6，AB=B′A′=3，∠A=∠CA′B′，∵CB′∥AB，∴∠B′CA′=∠D，∴△CAD∽△B′A′C，∴，∴，解得AD=12，∴BD=AD﹣AB=12﹣3=9．故答案为：9．
点睛：此题主要考查了旋转的性质以及相似三角形的判定与性质等知识，得出△CAD∽△B′A′C是解题关键．
14．1
【解析】∵AD=2，DB=4，
∴AB=6，
∵∠AED=∠B，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴=，
即=，AC=4，
∴EC=4－3=1.
故答案为1.
点睛：熟练掌握三角形相似的判定及性质.
15．
【解析】【分析】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长，根据相似三角形对应边的比可得结论．
【详解】如图，作A关于BC的对称点A'，连接AA'，交BC于F，过A'作AE⊥AC于E，交BC于D，则AD=A'D，此时AD+DE的值最小，就是A'E的长；
Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6，
∴BC==9，
S△ABC=AB?AC=BC?AF，
∴3×6=9AF，
AF=2，
∴AA'=2AF=4，
∵∠A'FD=∠DEC=90°，∠A'DF=∠CDE，
∴∠A'=∠C，
∵∠AEA'=∠BAC=90°，
∴△AEA'∽△BAC，
∴，
∴，
∴A'E=，
即AD+DE的最小值是，
故答案为：．

【点睛】本题考查轴对称﹣最短问题、三角形相似的性质和判定、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，解题的关键是灵活运用轴对称以及垂线段最短解决最短问题.
16．证明过程见解析
【解析】
试题分析：证出∠A=∠ECD，再由∠B=∠D=90°，即可得出△ABC∽△CDE．
试题解析：∵∠B=90°， ∴∠A+∠ACB=90°， ∵C为线段BD上一点，且AC⊥CE，
∴∠ACB+∠ECD=90°， ∴∠A=∠ECD， ∵∠B=∠D=90°， ∴△ABC∽△CDE．
考点：相似三角形的判定．
17．见解析
【解析】
【分析】
根据AD⊥BC，BE⊥AC可得∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠DBF=∠DAC，根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可得证.
【详解】
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠BDF=∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠C+∠DBF=90°，∠C+∠DAC=90°，
∴∠DBF=∠DAC，
∴△ACD∽△BFD．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
18．见解析.
【解析】分析：先由∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，得出∠ABE=∠ACD，再根据∠BAC=∠DAE可得出∠DAC=∠EAB，故可得出结论．
详解：
∵∠BAC=∠BDC，∠AOB=∠DOC，
∴∠ABE=∠ACD
又∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC+∠EAC=∠DAE+∠EAC
∴∠DAC=∠EAB
∴△ABE∽△ACD．
点睛：考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
19．见解析
【解析】
【分析】
根据三角形的外角的性质得到∠FOC=∠OEB，得到△BOE∽△CFO，根据相似三角形的性质证明．
【详解】
证明：∵∠EOC=∠EOF+∠FOC，∠EOC=∠B+∠BOE，∠EOF=∠B，
∴∠FOC=∠OEB，又∠B=∠C，
∴△BOE∽△CFO，，
∴OE?FC=FO?OB．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
20．（1）相似，理由见解析；（2）BD＝4.
【解析】试题分析：(1)、根据BD⊥DC和∠BAD＝90°得出∠BDC＝∠BAD，根据平行线的性质得出∠ADB＝∠CBD，从而得出三角形相似；(2)、根据三角形相似得出，从而求出BD的长度．
试题解析：解：(1)、相似．理由：∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°，而∠BAD＝90°，
∴∠BDC＝∠BAD.又∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴△ABD∽△DCB.
(2)、∵△ABD∽△DCB，∴＝，而AD＝2，BC＝8，∴＝，
∴DB2＝16，∴BD＝4．
21．（1）详见解析；（2）2.
【解析】
【分析】
（1）根据角平分线的性质结合等腰三角形的性质可得出∠CDE=∠ABE，结合对顶角相等，即可证出△AEB∽△CED；?
（2）根据相似三角形的性质，即可得出?，代入数据即可求出CE的长度．
【详解】
（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠ABE=∠CBE．
∵BC=CD，
∴∠CDE=∠CBE=∠ABE．
又∵∠AEB=∠CED，
∴△AEB∽△CED；
（2）解：∵BC=4，
∴CD=4．
∵△AEB∽△CED，
∴=，即=，
∴CE=2．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.




试卷第4页，总5页


试卷第1页，总5页