“二次函数图象与性质的复习”（ 第1课时）
教学设计
一、教学目标
1．通过本节教与学的活动，使学生掌握二次函数的定义、图象和性质，并达到灵活应用。
2．通过专题练习，达到知识的熟练运用，并在解决问题的过程中培养分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想.
?3．通过具体问题的解决，培养学生思维的深刻性。
二、教学重、难点
重点：掌握二次函数的图象和性质，并熟练应用；学生掌握分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想。
难点：分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想的掌握。
三、支持条件分析
教学中恰当利用PPT的演示功能
四、教学过程设计
活动一：出示二次函数图象，引入课题。
引入：这是什么的图象？
设计目的：以二次函数图象直接引入课题，让学生明确本节课的学习任务。
问题（1）二次函数的定义：
例：下列函数是二次函数的有_________________（填序号）；；；；(5) y=2(x+3)2－2x2.
设计目的：一、让学生明确学习函数的顺序：定义、图象与性质、应用。二、巩固了二次函数的定义知识。
活动方式：学生口答，引导学生归纳：1）等式右边是一个整式；（2）在辨析一个函数是不是二次函数时，若二次项系数含有字母，须注明它不等于0；（3）等式右边化到最简，须满足最高次项的次数是二次。
活动二：根据函数图象，回忆与二次函数有关的性质
设计目的：学生通过独立思考与小组合作交流形式复习二次函数的基础知识，有助于学生整理零碎、杂乱的知识，做到知识的梳理、整化、强化，加深理解。
活动方式：学生口答，教师板书知识框架的方式。主要研究开口方向、对称轴、顶点、最值情况、增减性、与坐标轴交点、平移这些性质，使学生意识到数形结合思想。其中在解析式这一环节找一生板书，并采用口答形式说出另两种求解析式的方法。
教师总结：对于二次函数的图象与性质，我们一般就从开口方向、对称轴、顶点、最值情况、增减性、与坐标轴交点、平移等方面来进行分析，并指出顶点式中的三种特殊形式。（课件展示）
二次函数的图象及性质
抛物线
y=ax2
y=ax2+k
y=a(x-h)2
y=a(x-h)2+k
y=ax2+bx+c
开口方向
?当a>0时开口向上，并向上无限延伸；
当a<0时开口向下，并向下无限延伸.
顶点坐标
?(0,0)
?(0,k)
??(h,0)
??(h,k)
??配方法或公式
对称轴
y轴
y轴
直线x=h
直线x=h
直线x=
最值
a>0
?x=0时， y最小值=0
?x=0时， y最小值=k
?x=h时， y最小值=0
?x=h时， y最小值=k
?x=-时，
y最小值=
a<0
?x=0时， y最大值=0
?x=0时， y最大值=k
?x=h时， y最大值=0
?x=h时， y最大值=k
?x=-时，
y最大值=
增减性
a>0
?在对称轴左侧，y随x的增大而减小
?
?在对称轴右侧，y随x的增大而增大
a<0
?在对称轴左侧，y随x的增大而增大
?在对称轴右侧，y随x的增大而减小
坐标轴交点
x轴
?令y=0，解关于x的一元二次方程
y轴
?令x=0，求y的值
活动三：专题练习
专题一：
1.通过配方把y =－2x2－4x+6写成y=a(x-h)2+k的形式后为___________，当x=___时，y取得最____（填“大”或“小”）值是_____，函数图象与x轴的交点坐标为__________________，与y轴的交点坐标为________。
2. y= -0.5(x－2)2＋3 上有三点(－2，y1), (－1，y2), (3，y3)，则y1,y2,y3的大小顺序是____________.
3.将抛 物线y=2(x+2)2-1 先向____平移____个单位，再向____平移____个单位可得到抛物线y=2(x -1)2+3。
4.抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是( )
A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位
5．二次函数y=x2+6x－2的最小值为（ ） A. 11 B. －11 C. 9 D. －9
6．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为__________．
设计目的：学生通过练习达到知识的熟练运用、易错点的暴露加强知识的强化。
活动方式：学案方式独立完成后定正答案，对有疑问的问题采用学生讲解方式。其中第1题利用配方法将顶点式化为一般式，由于易出错，让两名学生运用配方和公式两种方法板演进行对比，第2题学生说方法，教师总结。第6题学生运用对称性求解时，对于求解的方法进行点拔：等距离或中点坐标（平均数）方法。
活动四：二次函数的识图问题：
1.根据学生回忆的知识采用课件系统复习。
二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中识图问题
a
?a决定开口方向
?a＞０时开口向上
?a＜０时开口向下
a,b
?a、b同时决定对称轴位置
?a、b同号时对称轴在y轴左侧
?a、b异号时对称轴在y轴右侧
?b＝０时对称轴是y轴
c
?c决定抛物线与y轴的交点
?c＞０时抛物线交于y轴的正半轴
?c＝０时抛物线过原点
?c＜０时抛物线交于y轴的负半轴
△
?△决定抛物线与x轴交点的个数
?△ ＞０时抛物线与x轴有两个交点
?△ ＝０时抛物线与x轴有一个交点
?△ ＜０时抛物线与x轴没有交点
2a+b
-与1比较大小
（特殊：当对称轴为直线x=1时2a+b=0 ）
2a-b
-与-1比较大小
（特殊：当对称轴为直线x=-1时2a-b=0 ）
特殊值
a+b+c，
a-b+c,
4a+2b+c,
4a-2b+c等
?
?
y ＞ 0
?图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围
y ＜0
?图象在x轴下方部分对应的自变量的取值范围
设计目的：知识的系统
活动方式：对于每一个知识点都采用学生口答，教师及时进行总结方式。
活动五：专题二：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，（口答）
1.填空（填“＞”、“＜”或“=”）：（1）a___0；（2）b___0；
（3）c____0；（4）△＝b2－4ac___0；
（5）a＋b＋c_____0；（6）a＋c_____ b；（7）2a＋b_____0。
2.当自变量x在什么范围内，y ＞ 0.
3.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围（ ）A．x≥0 B．0≤x≤1 C．-2≤x≤1 D．x≤1
4.如图所示，当b<0时，函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )
设计目的：学生通过专题二的练习，熟练掌握知识的运用，并渗透各种数学思想与方法。
活动方式：独立完成学案后定正答案，对有疑问的问题采用学生讲解方式。预设第1题的第6个学生会有疑问，可引导学生结合解析式把b移到等式的左边观察其系数是-1，再结合图象观察-1对应的值的正负。对第4题学生口答说方法，并根据学生口答的情况进行点评。
活动六：综合练习：二次函数与一次函数的综合性题目是中考中的热点问题。
专题三：
已知：二次函数y1=x2-2x-3与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为点M（1，-4），一次函数y2=kx+b过点B、C两点。
（1）你能求出哪个三角形的面积？
（2）求一次函数的解析式。
（3）当自变量x在什么范围内，一次函数值大于二次函数的值？
（4）点P为抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。
设计目的:通过本专题提高学生的分析问题与解决问题的能力，培养学生的分类讨论、数形结合、划归与转化、函数与方程的思想。使学生掌握二次与一次函数综合性题的思路。
活动方式：因为本题难度较大，故引导学生分析：（1）对于求三角形的面积，我们可以分为直接求和间接求，当三角形的一条边在坐标轴上时，我们一般采取直接求的方法，当不满足这个条件时，采取割补的方法。若有同学提出求△BCM的面积，可紧跟着再问若求这个三角形的形状，如何解决？你还能求出哪个四边形的面积？学生口答。
（2）对于求二次函数与一次函数比较大小时，找准它们交点的横坐标，写出相应的自变量的取值范围。口答。
（3）对于有两个定点和一个动点，其中这个动点在一条直线上运动，求动点到两个定点的距离之和的最小值问题，把它转化为两点一线问题，利用两点之间线段最短的原理解决。具体做法是先看清它们是在直线的同侧还是异侧，若在异侧直接连接这两个点，它们与线的交点即为所求的点；若是同侧，先做出一个点关于这条线的对称点，然后连接这个对称点与另一个点，它们与线的交点即是所求的点。（注意：抛物线本身的特殊对称性，这条直线必须是对称轴。）并联系到圆、菱形、正方形这类具有轴对称性质的图形求两线段和最小时的相同性。这个题还可以求△APC周长最小的问题。找一学生板书，其他学生完成学案。
活动七：归纳小结，自主反思，优化概念
1.知识点：
我们在学习二次函数时，需掌握定义、开口方向、对称轴、顶点坐标、最值情况、增减性、与坐标轴（x轴、y轴）交点、平移、对称、符号问题、与方程、不等式的联系等方面的知识。
2.数形结合思想;
3.知识系统化。
设计目的：通过回顾和反思，让学生对二次函数的知识有深刻的认识和理解，通过学生归纳和教师释疑，让学生内化知识，同时让学生看到自己的进步，增强学生运用数学解决实际问题的信心，促进形成良好的心理品质.
活动方式：反思学习过程，归纳并形成知识体系，交流体会和感受.
活动八：目标检测设计
(一)选择题
已知二次函数（≠0）与一次函数（≠0）的图像交于点A（－2，4），B（8，2），如图所示，则能使成立的的取值范围是（ ） A. B. C. D.或
(二)填空题：
1.已知函数，当 时，它是二次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
…
…
…
…
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为 ，时对应的函数值 。
3.函数y=x2－2x－2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
课件19张PPT。人教版九年级上册第二十二章二次函数
课题：二次函数图象与性质的复习
二次函数图象与性质的复习一、二次函数的定义（1） 二、二次函数的图象与性质根据函数图象，回忆与二次函数有关的性质
要求：独立思考后小组交流，展示。函数解析式的求法
一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；
二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k求解。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。二次函数的图象及性质当a>0时开口向上，并向上无限延伸；
当a<0时开口向下，并向下无限延伸.(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)y轴在对称轴左侧，y随x的增大而减小在对称轴右侧，y随x的增大而增大在对称轴左侧，y随x的增大而增大在对称轴右侧，y随x的增大而减小y轴直线x=h直线x=hx=0时，y最小值=0x=h时， y最小值=0x=0时， y最小值=kx=h时，y最小值=kx=0时，y最大值=0x=0时， y最大值=kx=h时， y最大值=0x=h时，y最大值=k令y=0，解关于x的一元二次方程令x=0，求y的值专题一：
1.通过配方把y =－2x2－4x+6写成y=a(x-h)2+k的形式后为______________，当x=___时，y取得最____（填“大”或“小”）值是_____，函数图象与x轴的交点坐标为__________________，与y轴的交点坐标为________。
2. y= -0.5(x－2)2＋3 上有三点(－2，y1), (－1，y2), (3，y3)，则y1,y2,y3的大小顺序是____________.
3.将抛 物线y=2(x+2)2-1 先向____平移____个单位，再向____平移____个单位可得到抛物线
y=2(x -1)2+3。大y=-2(x+1)2+8-18(-3,0)，(1,0)(0,6)4上3右y1＜y2＜y34.抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到
y=－2x2，平移方法是( )
A.向左平移1个单位，再向下平移3个单位
B.向左平移1个单位，再向上平移3个单位
C.向右平移1个单位，再向下平移3个单位
D.向右平移1个单位，再向上平移3个单位
5．二次函数y=x2+6x－2的最小值为（ ）
A. 11 B. －11 C. 9 D. －9DB6．已知二次函数y＝－x2＋2x＋m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程－x2＋2x＋m＝0的解为__________．X1=3，X2=-1三、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中识图问题a决定开口方向a＞０时开口向上a＜０时开口向下a、b同时决定对称轴位置c决定抛物线与y轴的交点△决定抛物线与x轴交点的个数a、b同号时对称轴在y轴左侧a、b异号时对称轴在y轴右侧b＝０时对称轴是y轴c＞０时抛物线交于y轴的正半轴c＝０时抛物线过原点c＜０时抛物线交于y轴的负半轴△ ＞０时抛物线与x轴有两个交点△ ＝０时抛物线与x轴有一个交点△ ＜０时抛物线与x轴没有交点图象在x轴上方部分对应的自变量的取值范围图象在x轴下方部分对应的自变量的取值范围1.填空（填“＞”、“＜”或“=”）
（1）a_____0；
（2）b_____0；
（3）c______0；
（4）△＝b2－4ac___0；
（5）a＋b＋c_____0；
（6）a＋c_____ b；
（7）2a＋b_____0.
＞＜＞＞＞＜=-0.5＜x ＜2.52.当自变量x在什么范围内，y ＞ 0.专题二：
二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，
2.5 3.如图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图象，观察图象写出y2≥y1时，x的取值范围（ ）
A．x≥0 B．0≤x≤1 C．-2≤x≤1 D．x≤1C4.如图所示，当b<0时，函数y=ax+b与y=ax2+bx+c在同一坐标系内的图象可能是( )By=x2-2x-3专题三
已知：二次函数y1=x2-2x-3与x轴交于A（-1,0）、B（3,0）两点，与y轴交于点C（0，-3），顶点为点M（1，-4），一次
函数y2=kx+b过点B、C两点。
（1）你能求出哪个三角形的面积？A BCM（2）当自变量x在什么范围内，一次函数值大于二次函数的值？（3）点P为抛物线对称轴上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标。课堂小结一、知识点
定义、开口问题、对称轴、顶点坐标、最值情况、增减性、与坐标轴（x轴、y轴）交点、平移问题、对称问题、符号问题、二次函数与一元二次方程、不等式的联系。二、数形结合思想三、知识系统化一、选择题：
已知二次函数y1=ax2+bx+c（a≠0）与一次函数
y2=kx+m（k≠0）的图像交于点A（－2，4），
B（8，2），如图所示，则能使y1 >y2 成立的的取
值范围是（ ）
A.x<-2 B.x > 8 C. -2 8
二、填空题：
1.已知函数y=（m-1）xm2+1+3x，当m=___时，它是二次函数.
2.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表：
二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为__________,x=2时对应的函数值 。
检测D-1直线x=-183.函数y=x2－2x－2的图象如图所示，根据其中提供的信息，可求得使y≥1成立的x的取值范围是（ ）
x≤-1或x ≥ 3再见
