23.3.2 相似三角形的判定(2)课时作业

23.3.2 相似三角形的判定（3）课时作业
姓名：__________班级：__________考号：__________
、选择题
1.如图，若果∠1=∠2，那么添加下列任何一个条件：
（1）=，（2）=， （3）∠B=∠D，（4）∠C=∠AED，
其中能判定△ABC∽△ADE的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2.在△ABC和△DEF中，∠A=40°，∠D=60°，∠E=80°，，那么∠B的度数是（　　）
A．40° B．60° C．80° D．100°
3.下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（　　）
A．∠ABD=∠ACB B．∠ADB=∠ABC C．AB2=AD?AC D．=
4.下列各组条件中，一定能推得△ABC与△DEF相似的是（　　）
A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠F
C．∠A=∠E且 D．∠A=∠E且
5.下列说法正确的是（　　）
A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形
B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两角分别相等的两个三角形相似
D．两边成比例且一角相等的两个三角形相似
6.如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（　　）
A． = B． = C． = D． =
7.如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
、填空题
8.已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是　　　　　　．（写出一个即可）
9.如图，在△ABC中，AB≠AC．D、E分别为边AB、AC上的点．AC=3AD，AB=3AE，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
10.如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是　 　．（只填一个即可）
11.如图，（1）若AE：AB=　 　，则△ABC∽△AEF；（2）若∠E=　 　，则△ABC∽△AEF．
12.如图，在△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点．=，点F为BC边上一点，添加一个条件：　 　，可以使得△FDB与△ADE相似．（只需写出一个）
13.如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC边上的点，欲使△ADE∽△ACB，则需添加的一个条件是　 　．（只写一种情况即可）
14.如图，点D为△ABC外一点，AD与BC边的交点为E，AE=3，DE=5，BE=4，要使△BDE∽△ACE，且点B，D的对应点为A，C，那么线段CE的长应等于　 　．
、解答题
15.如图，在△ABC中，D、E分别在AB与AC上，且AD=5，DB=7，AE=6，EC=4．
求证：△ADE∽△ACB．
16.如图所示，点D在△ABC的AB边上，AD=2，BD=4，AC=2．求证：△ACD∽△ABC．
17.如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC?CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
18.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．

19.已知：如图，△ABD∽△ACE．求证：
（1）∠DAE=∠BAC；
（2）△DAE∽△BAC．
20.如图，在△ABC中，AC=8厘米，BC=16厘米，点P从点A出发，沿着AC边向点C以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发，沿着CB边向点B以2cm/s的速度运动，如果P与Q同时出发，经过几秒△PQC和△ABC相似？
答案解析
、选择题
1.【考点】相似三角形的判定
【分析】先根据∠1=∠2得出∠BAC=∠DAE，再由相似三角形的判定定理判定即可．
解：∵∠1=∠2，
∴∠BAC=∠DAE．
∵∠B=∠D，
∴△ABC∽△ADE，
∵∠C=∠AED，
∴△ABC∽△ADE，
∵=，
∴△ABC∽△ADE，
故选：C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
2.【考点】相似三角形的判定与性质
【分析】根据可以确定对应角，根据对应角相等的性质即可求得∠B的大小，即可解题．
解：∵，
∴∠B与∠D是对应角，
故∠B=∠D=60°．
故选：B．
【点评】本题考查了相似三角形对应角相等的性质，考查了对应边比值相等的性质，本题中求∠B和∠D是对应角是解题的关键．
3.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可．
解：A．∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2=AD?AC，∴=，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似．
4.【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据三角形相似的判定方法：①两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可以判断出A．B的正误；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出C、D的正误，即可选出答案．
解：A．∠D和∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
B、∠A=∠B，∠D=∠F不是两个三角形的对应角，故不能判定两三角形相似，故此选项错误；
C、由可以根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可以判断出△ABC与△DEF相似，故此选项正确；
D、∠A=∠E且不能判定两三角形相似，因为相等的两个角不是夹角，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，关键是掌握三角形相似的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
5.【考点】菱形的判定；正方形的判定；相似三角形的判定
【分析】通过菱形的判定正方形的判定可判断A，B，根据相似三角形的判定可判断C，D．
解：A．：对角线垂直且互相平分的四边形是菱形．则A错误
B：对角线垂直且相等的平行四边形四边形是正方形，则B错误
C：两角分别相等的两个三角形相似，则C正确
D：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．则D错误．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，菱形的判定，正方形的判定，关键是熟练运用这些判定解决问题．
6.【考点】相似三角形的判定．
【分析】本题中已知∠BAC=∠D，则对应的夹边比值相等即可使△ABC与△ADE相似，结合各选项即可得问题答案．
解：∵∠BAC=∠D，，
∴△ABC∽△ADE．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似，熟记各种判定相似三角形的方法是解题关键．
7.【考点】相似三角形的判定
【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，
当△PDA∽△CPB时，=，即=，
解得：x=1或x=6，
当△PDA∽△PCB时，=，即=，
解得：x=，
则这样的点P共有3个，
故选：C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
、填空题
8.【考点】相似三角形的判定．
【分析】根据相似三角形对应边成比例或相似三角形的对应角相等进行解答；由于没有确定三角形相似的对应角，故应分类讨论．
【解答】解：分两种情况：
①∵△AEF∽△ABC，
∴AE：AB=AF：AC，
即1：2=AF：AC，
∴AF=AC；
②∵△AFE∽△ACB，
∴∠AFE=∠ABC．
∴要使以A．E、F为顶点的三角形与△ABC相似，则AF=AC或∠AFE=∠ABC．
故答案为：AF=AC或∠AFE=∠ABC．
9.【考点】相似三角形的判定
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A，==，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
10.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似，添加条件可得．
解：∵∠A=∠D=80°，==，
∴当=，即=，DF=6时，△ABC∽△DEF；
或当∠C=∠F=60°时，△ABC∽△DEF，
故答案为：DF=6．
【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．
11.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．
解：（1）若AE：AB=AF：AC，则△ABC∽△AEF；
（2）若∠E=∠B，则△ABC∽△AEF．
故答案为：AF：AC，∠B．
【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
12.【考点】相似三角形的判定
【分析】结论：DF∥AC，或∠BFD=∠A．根据相似三角形的判定方法一一证明即可．
解：DF∥AC，或∠BFD=∠A．
理由：∵∠A=∠A，，
∴△ADE∽△ACB，
∴①当DF∥AC时，△BDF∽△BAC，
∴△BDF∽△EAD．
②当∠BFD=∠A时，∵∠B=∠AED，
∴△FBD∽△AED．
故答案为DF∥AC，或∠BFD=∠A．
【点评】本题考查相似三角形的判定和性质．平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
13.【考点】相似三角形的判定
【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．
解：∵∠A=∠A
∴当∠ADE=∠C或∠AED=∠B或时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE=∠C或∠AED=∠B或．
【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．
14.【考点】相似三角形的判定
【分析】根据对顶角相等得到∠AEC=∠BED，则根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，当=时，△BDE∽△ACE，然后利用比例性质计算CE的长．
解：∵∠AEC=∠BED，
∴当=时，△BDE∽△ACE，
即=，
∴CE=．
故答案为．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，此判定方法要合理使用公共角或对顶角．
、解答题
15.【考点】相似三角形的判定
【分析】利用计算两边的比相等，夹角是公共角，可得两三角形相似．
证明：∵AD=5，DB=7，AE=6，EC=4，
∴AB=5+7=12，AC=6+4=10，
∴====，
∴=，
又∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ACB．
【点评】本题考查了三角形相似的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是关键，利用两边的比相等且夹角相等证明两三角形相似时，注意边的对应关系．
16.【考点】相似三角形的判定
【分析】首先利用已知得出=，进而利用相似三角形的判定方法得出即可．
证明：∵==，==
∴=，
又∵∠A=∠A
∴△ABC∽△ACD．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，正确把握相似三角形的判定方法是解题关键．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC?CD的值，从而可得到AD2与AC?CD的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC?CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
解：（1）∵AD=BC，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=．
∴AD2==，AC?CD=1×=．
∴AD2=AC?CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC?CD，
∴BC2=AC?CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
【考点】相似三角形的判定；正方形的性质；平行线分线段成比例．
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
【考点】相似三角形的性质；相似三角形的判定
【分析】（1）先利用相似三角形的性质得∠BAD=∠CAE，则∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，从而得到结论；
（2）先利用△ABD∽△ACE得到=，再利用比例性质得=，加上∠DAE=∠BAC，然后根据相似三角形的判定方法可得到结论．
证明：（1）∵△ABD∽△ACE．
∴∠BAD=∠CAE，
∵∠BAD+∠BAE=∠BAE+∠CAE，
∴∠DAE=∠BAC；
（2）∵△ABD∽△ACE，
∴=，
∴=，
而∠DAE=∠BAC，
∴△DAE∽△BAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了相似三角形的性质．
【考点】相似三角形的判定
【分析】设经过x秒△PQC和△ABC相似，先求出CP=8﹣x，CQ=2x，再利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．
解：设经过x秒，两三角形相似，
则CP=AC﹣AP=8﹣x，CQ=2x，
（1）当CP与CA是对应边时，，
即，
解得x=4秒；
（2）当CP与BC是对应边时，，
即，
解得x=秒；
故经过4或秒，两个三角形相似．
【点评】本题主要利用相似三角形对应边成比例求解，因为对应边不明确，所以要分两种情况讨论求解．