23.3.2 相似三角形的判定（4）课时作业

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23.3.2 相似三角形的判定（4）课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．以下条件不可以判定与相似的是（ ）
A．
B． ，且’
C． ’，’
D． ，且’
2．如图，在的正方形网格中有一只可爱的小狐狸，算算看画面中由实线组成的相似三角形有（ ）

A． 4对 B． 3对 C． 2对 D． 1对
3．如图，小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与相似的是（ ）

A． B． C． D．
4．具备下列各组条件的两个三角形中，不一定相似的是（ ）．
A． 有一个角是40°的两个等腰三角形; B． 两个等腰直角三角形;
C． 有一个角为100°的两个等腰三角形; D． 两个等边三角形
5．如图，点O是△ABC内任一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，则图中相似三角形有( )

A． 1对 B． 2对 C． 3对 D． 4对
6．△ABC与△DEF满足下列条件，其中能使△ABC∽△DEF的是( )
A． AB＝1，BC＝1.5，AC＝2，DE＝8，EF＝12，DF＝16
B． AB＝，BC＝，AC＝，DE＝，EF＝3，DF＝3
C． AB＝3，BC＝4，AC＝6，DE＝6，EF＝8，DF＝16
D． AB＝3，BC＝4，AC＝5，DE＝，EF＝2，DF＝
7．将一个直角三角形三边扩大3倍，得到的三角形一定是(　　)
A． 直角三角形 B． 锐角三角形
C． 钝角三角形 D． 以上三种情况都有可能
8．下列所给四对三角形中，根据条件不能判断△ABC与△DEF相似的是 ( )
　　　
A． A B． B C． C D． D


二、填空题
9．△ABC的三边长分别为2， ， ，△A1B1C1的两边长分别为1和，当△A1B1C1的第三边长为________时，△ABC∽△A1B1C1.
10．如图，在大小为 的正方形网格中，是相似三角形的是______（请填上编号）．

11．如图，在中，，，，是边的中点，现有一点位于边上，使得与相似，则线段的长为________．

12．△ABC的三边长分别为，，2，△A1B1C1的两边长为1，，要使△ABC∽△A1B1C1，那么△A1B1C1的第三边长为_______．
13．一个铝质的三角形框架的三边长分别为24 cm，30 cm，36 cm，要做一个与它相似的铝质三角形的框架，现有长27 cm，45 cm的两根铝材，要求以其中的一根为边，从另一根上截下两段(允许有余材)，则截法有______种．
14．如图，△ABC中，AE交BC于点D，∠CAE=∠CBE，AD：DE=3：5，AE=16，BD=8，则DC的长等于__．

15．如图，等腰直角三角形中， =4 cm.点是边上的动点，以为直角边作等腰直角三角形.在点从点移动至点的过程中，点移动的路线长为_________cm.

16．如图，在两个直角三角形中，∠ACB＝∠ADC＝90°，AC＝，AD＝2.当AB＝_______时，△ABC与△ACD相似．


三、解答题
17．已知，在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△A′B′C′的两边长分别为1，1.5，要使△ABC∽△，求△中的第三边长．
18．已知：如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AC、AB、BC边上，且四边形CDEF是正方形，AC＝3，BC＝2，求△ADE、△EFB、△ACB的周长之比和面积之比．


19．如图，在正方形网格上有 EMBED Equation.DSMT4 ∽，这两个三角形相似吗?如果相似，求出和的面积比．

20．已知：如图，∠1=∠2，AB?AC=AD?AE．求证：∠C=∠E．

21．已知：如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．

22．如图，在正方形中，分别是边上的点，并延长交的延长线于点

（1）求证：；
（2）若正方形的边长为4，求的长．
23．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题：

（1）试证明三角形△ABC为直角三角形；
（2）判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
（3）画一个三角形，使它的三个顶点为P1，P2，P3，P4，P5中的3个格点并且与△ABC相似（要求：不写作法与证明）．












参考答案
1．D
【解析】
【分析】
根据三组对应边的比相等的两个三角形相似可对进行判断；根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可对、进行判断；根据有两组角对应相等的两个三角形相似可对进行判断.
【详解】
、因为，所以，即选项可以判断与相似；
、因为，，所以，即选项可以判断与相似；
、因为，，所以，即选项可以判断与相似；
、因为，，所以，即选项不可以判断与相似.
故选：.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似.
2．C
【解析】
【分析】
本题主要应用两三角形相似的判定定理，三组对应边的比相等，做题即可．
【详解】
设第一个小正方形的边长为1，则计算各个小三角形的各边长

△ABC的各边分别为
△CDF的各边分别为
△EFG的各边分别为
△HMN的各边分别为
△HPQ的各边分别为
可以得出△ABC与△EFG，△HMN与△HPQ的各边对应成比例且比例相等，所以这两组三角形相似.
故选:C.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
3．B
【解析】
【分析】
根据网格中的数据求出的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【详解】
根据题意得：
∴
A. 三边之比为 ,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；
B. 三边之比为图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似；
C. 三边之比为,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似；
D. 三边之比为,图中的三角形(阴影部分)与△ABC不相似.
故选:B.
【点睛】
此题考查了相似三角形的判定，常用的判定方法有：
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两组对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．
4．A
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定一一判断即可.
【详解】
A. 若两个三角形内角分别为40°、40°、100°和40°、70°、70°，则两三角形不相似.
B. 两个等腰直角三角形，有两组角对应相等，一定相似.
C. 有一个角为100°的两个等腰三角形，有两组角对应相等，一定相似.
D. 两个等边三角形，三边的比一定相等，相似.
故选:A.
【点睛】
考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形判定的4种方法是解题的关键.
5．D
【解析】
【分析】
根据点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,可得DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,可得DE//AB,DF//AC,EF//BC,进而可判定△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,根据中位线性质可得,,
继而可得，可判定△DEF∽△ABC.
【详解】
因为点D,E,F分别为OA,OB,OC的中点,
所以DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以DE//AB,DF//AC,EF//BC,
所以△DOE∽△AOD, △DOF∽△AOC, △EOF∽△BOC,
因为DE是△AOB的中位线,DF是△AOC的中位线,EF是△BOC的中位线,
所以,,
所以，
所以△DEF∽△ABC,
因此有四对相似三角形,
故选D.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法.
6．A
【解析】
【分析】
先根据各选项中数值计算对应边的比值,再根据三边对应成比例,两三角形相似进行判定.
【详解】
若使△ABC∽△DEF,则三边应满足,
A选项中,,,所以,所以△ABC∽△DEF,符合题意,
故选A.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法.
7．A
【解析】试题解析：将直角三角形的三边同时扩大3倍，根据相似三角形的判定可知，得到的三角形和原三角形相似，
得到的三角形还是直角三角形.
故选A.
点睛：三边对应成比例的两个三角形相似.
8．B
【解析】试题解析：
选项A，在 EMBED Equation.DSMT4 中，由可得则和分别与 中和相对应，故能判断两个三角形相似.
选项B，在两个三角形中，虽然都有一个角等于 但对应边不成比例，故不能判断两个三角形相似.
选项C，在两个三角形中，三条边对应成比例，故能判断两个三角形相似.
选项D，在两个三角形中 故能判断两个三角形相似.
故选B.
点睛：相似三角形判定定理：两角分别相等的两个三角形相似，三边对应成比例的两个三角形相似，两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
9．
【解析】设第三边长为x，
∵==，∴这两个三角形相似比为，
∴=，解得x=.
故答案为.
点睛：本题关键在于根据比值相等找出对应边.
10．①③
【解析】
【分析】
分别求得四个三角形三边的长，再根据三角形三边分别成比例的两三角形相似来判定．
【详解】
∵①中的三角形的三边分别是：2，，；
②中的三角形的三边分别是：3，，；
③中的三角形的三边分别是：2，2，2；
④中的三角形的三边分别是：3，，4；
∵①与③中的三角形的三边的比为：1：
∴①与③相似．
故答案为：①③．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的判定方法：（1）平行线法：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；（3）两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；（4）两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
11．4或
【解析】
【分析】
先根据勾股定理求出AB的长，再分△ADP∽△ABC与△ADP∽△ACB两种情况进行讨论即可．
【详解】
如图，

∵在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB==10．
∵D是边AB的中点，
∴AD=5．
当△ADP∽△ABC时，，即，解得AP=4；
当△ADP∽△ACB时，，即，解得AP=．
故答案为：4或．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
12．
【解析】
【分析】
根据题目中三角形的边长计算出两个相似三角形的相似比,则第三边可利用三边对应成比例进行计算.
【详解】
由三边对应成比例的两个三角形相似,易得相似比为:,
故要使△ABC和△A1B1C1的三边成比例,则第三边长为2÷=,
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定定理,解决本题的关键是要熟练掌握相似三角形的判定方法.
13．1
【解析】
【分析】
先判断出两根铝材哪根为边,需截哪根,再根据相似三角形的对应边成比例求出另外两边的长,由另外两边的长的和与另一根铝材相比较即可.
【详解】
∵两根铝材的长分别为27cm,45cm,若45cm为一边时,
则另两边的和为27cm,27＜45,不能构成三角形,
∴必须以27cm为一边,45cm的铝材为另外两边,
设另外两边长分别为x,y,则:
若27cm与24cm相对应时,
,
解得:x=33.75cm,y=40.5cm,
x+y=33.75+40.5=74.25cm＞45cm,故不成立,
若27cm与36cm相对应时,
,
解得:x=22.5cm,y=18cm,x+y=22.5+18=40.5cm＜45cm,成立,
若27cm与30cm相对应时,
,
解得:x=32.4cm,y=21.6cm,x+y=32.4+21.6=54cm＞45cm,故不成立,故只有一种截法.
故选B．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质及三角形成立的条件,解决本题的关键是要根据三角形的边长分情况讨论,利用相似三角形三边对应成比例列式求解.
14．7.5
【解析】解：∵AD：DE=3：5，AE=16，∴DE=10，AD=6，∵∠CAE=∠CBE，∠ADC=∠BDE，∴△ADC∽△BDE，∴AD：BD=DC：DE，∴6：8=DC：10，解得：DE=7.5；故答案为：7.5．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．
15．
【解析】试题解析：连接CE，如图：

∵△ABC和△ADE为等腰直角三角形，
∴AC=AB，AE=AD，∠BAC=45°，∠DAE=45°，即∠1+∠2=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠3，
∵，
∴△ACE∽△ABD，
∴∠ACE=∠ABC=90°，
∴点D从点B移动至点C的过程中，总有CE⊥AC，
即点E运动的轨迹为过点C与AC垂直的线段，AB=AB=4，
当点D运动到点C时，CE=AC=4，
∴点E移动的路线长为4cm．
16．4或5
【解析】试题解析：∵∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2，
∴CD=，设AB=x，
当AC：AD=AB：AC时，△ABC∽△ACD
∴，解得AB=3；
当AB：AC=AC：CD时，△ABC∽△CAD，
∴，解得AB=3
∴AB=3或3．
点睛：相似三角形的判定方法：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．平行于三角形一边的直线截另两边或另两边的延长线所组成的三角形与原三角形相似．
17．2.
【解析】试题分析：此题主要应用两三角形相似的判定定理，三边对应成比例的两个三角形相似，分析作答即可．
试题解析：已知在△ABC中，三条边的长分别为2，3，4，△ 的两边长分别为1，1.5，可以看出，△的两边分别为△ABC的两边长的一半，因此要使△ABC∽△需两三角形各边对应成比例，则第三边长就为4的一半即2．
18．周长之比：的周长：的周长：的周长；．
【解析】
试题分析：要求三个三角形的面积比，可通过证明三个三角形相似，从而得到其相似比，进而求得其面积比．
试题解析：∵四边形是正方形，



设


∴周长之比：的周长：的周长：的周长

19．相似，相似比为4:1
【解析】试题分析：通过观察发现 若能计算这两角的夹边对应成比例，则两三角形相似，面积比也可求．
试题解析：相似,相似比为,
通过观察图形发现设每个小方格的边长为,利用勾股定理可计算



点睛：相似三角形的判定：两边对应成比例及其夹角相等，两三角形相似.
相似三角形的面积比等于相似比的平方.
20．证明见解析.
【解析】分析：先根据AB?AC=AD?AE可得出 EMBED Equation.DSMT4 ，再由∠1=∠2可得出△ABE∽△ADC，由相似三角形的对应角相等即可得出结论．
详解：证明：在△ABE和△ADC中，
∵AB?AC=AD?AE，
∴，
又∵∠1=∠2，
∴△ABE∽△ADC，
∴∠C=∠E．
点睛：本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
21．18．
【解析】分析：设EF=x，则GF=2x．根据GF∥BC，AH⊥BC得到AK⊥GF．利用GF∥BC得到△AGF∽△ABC，然后利用相似三角形对应边成比例得到比例式即可求得x的值，进而求得矩形的周长．
详解：设EF=x，则GF=2x．
∵GF∥BC，AH⊥BC，
∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴．
∵AH=6，BC=12，
∴．
解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18．
点睛：本题考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、矩形的周长公式，难度适中．
22．（1）见解析 （2）10
【解析】（1）证明：在正方形中，，.
∵ ∴ ，
∴ ，∴.
（2）解：∵ ∴ ，
∴，，∴.
由∥，得，∴ △∽△，
∴，∴.
23．(1)证明见解析；（2）相似，（3）作图见解析.
【解析】
试题分析：（1）利用网格得出AB2=20，AC2=5，BC2=25，再利用勾股定理逆定理得出答案即可；
（2）利用AB=2，AC=，BC=5以及DE=4，DF=2，EF=2，利用三角形三边比值关系得出即可；
（3）根据△P2P4P5三边与△ABC三边长度得出答案即可．
解：（1）∵AB2=20，AC2=5，BC2=25；
∴AB2+AC2=BC2，
根据勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形；
（2）△ABC和△DEF相似．
由（1）中数据得AB=2，AC=，BC=5，
DE=4，DF=2，EF=2．
====，
∴△ABC∽△DEF．
（3）如图：连接P2P5，P2P4，P4P5，
∵P2P5=，P2P4=，P4P5=2，
AB=2，AC=，BC=5，
∴===，
∴△ABC∽△P2P4P5．

考点：作图—相似变换；勾股定理的逆定理；相似三角形的判定．





















































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