17.1.1勾股定理课件(45张PPT)
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文档简介
17.1勾股定理（1）
人教版八年级数学（下）
武夷山三中数学组
b
a
c
a2+b2=c2
2002年在北京召开国际数学家大会
你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
这就是本届大会会徽的图案．
在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理。
章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识。
勾 股 定 理
读一读
勾 股 世 界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理” 。图1-1称为“弦图”，最早是由公元前3世纪我国汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的. 赵爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。
弦
股
勾
图1-1
图1-1
读一读
勾 股 世 界
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理。
同学们，我们也来观察下图地面，看看你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢？
原来古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了:直角三角形三边的数量关系。
A、B、C的面积有什么关系？
可以发现，以等腰三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
SA+SB=SC
即我们惊奇地发现，等腰三角形的三边之间有一种特殊的关系：两直边的平方和等于斜边的平方。
c
a
b
即：a2 + b2 = c2
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
9
9
4
4
C的面积怎么求呢？
A的面积(单位长度) B的面积(单位长度) C的面积(单位长度)
图1
图2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形。
（单位面积）
C的面积怎么求呢？
（单位面积）
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半。
C的面积怎么求呢？
SA+SB=SC
4
4
8
两直角边的平方和等于斜边的平方
b
a
c
a2+b2=c2
A的面积(单位长度) B的面积(单位长度) C的面积(单位长度)
图2-1 9 9 18
图2-2
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
对于等腰直角三角形有这样的性质：
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
两直角边的平方和等于斜边的平方
2．观察右边两个图并填写下表：
16
9
4
9
C的面积怎么
求呢？
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2
图1-3
分割成若干个直角边为整数的三角形。
（面积单位）
C的面积怎么求呢？
探究二：
分割成若干个直角边为整数的三角形。
C的面积怎么求呢？
探究二：
（面积单位）
=13
把C“补”成边长为7的正方形面积减去4个直角三角形的面积。
（面积单位）
C的面积怎么求呢？
探究二：
把C“补”成边长为5的正方形面积减去4个直角三角形的面积。
（面积单位）
=13
C的面积怎么求呢？
探究二：
16
9
4
9
25
13
3．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
议 一 议
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2
图1-3
A
B
C
图2
图3
4
9
13
9
25
34
sA+sB=sC
两直角边的平方和
等于斜边的平方
探究与猜想
A
B
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图2
图3
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
a
c
b
Sa+Sb=Sc
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
┏
a2+b2=c2
a
c
b
如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边长是c，那么a2+b2=c2。
勾
股
弦
命题1：
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
c
b ? a
依据科学理论的证实：
a
b
赵爽弦图
我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和得：
用赵爽弦图证明勾股定理
证法一：
a2+b2=c2
赵爽弦图的证法
化简得：
c2
c
c
c
S大正方形 S小正方形 4S直角三角形
=b2-2ab+a2 + 2ab
∴a2+b2=c2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为 ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，则
ａ2+b2=c2
A
B
C
股b
勾 a
弦c
读一读
“赵爽弦图’表现了我国古代人队数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
图1-1
图1-2
目前世界上许多科学家正在试图寻找其它星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.
? a2 + b2 = c2
a2
b2
a2
c2
毕达哥拉斯证法
证 法 4：
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
美国总统的证明
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
茄菲尔德的证法
S三角形1 S三角形2 S三角形3
S梯形
化简得:
c2=a2+ b2
欣赏美丽的勾股树
a
b
c
结论变形
c2=a2+b2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
c=
a=
b=
练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
=625
=144
范例.求出下列直角三角形中未知边的长度
5
x
13
学以致用，做一做
解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
X2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∴ x=10
∵x>0
x2+52=132
x2=132-52
x2=144
∴ x=12
（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2
∵x>0
A
C
B
A
C
B
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
比一比看看谁算得快！
课本P24 练习1.
求下列直角三角形中未知边的长:
可用勾股定理建立方程.
方法小结:
a=6
b
c=10
b=15
a
b=12
a=5
c
c=25
(1)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和。
S1
S2
解：∵ SE= 49
S1=SA+SB
S2=SC+SD
∴ SA+SB+SC+SD
= S1+S2 = SE = 49
（2）如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为 ．
Sa+Sb=Sc
（3）变式：你还能求出Sa、Sb、Sc之间的关系式吗？
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。
a
b
c
结论变形
c2=a2+b2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
c=
a=
b=
作业
必做题：课本习题18.1 第1, 2,3,4,5题。
选做题：收集有关勾股定理的其它
证明方法，下节课展示、交流。
-
人教版八年级数学（下）
武夷山三中数学组
b
a
c
a2+b2=c2
2002年在北京召开国际数学家大会
你听说过勾股定理吗？
这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为“赵爽弦图”．
这就是本届大会会徽的图案．
在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理。
章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？
本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识。
勾 股 定 理
读一读
勾 股 世 界
我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五”。故称之为“勾股定理”或“商高定理” 。图1-1称为“弦图”，最早是由公元前3世纪我国汉代的数学家赵爽在为《周髀算经》注解时给出的. 赵爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。
弦
股
勾
图1-1
图1-1
读一读
勾 股 世 界
1945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有15组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。
相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定理。
毕达哥拉斯（Pythagoras）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。
相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有“百牛定理”之称。
毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。
看似平淡无奇的现象有时却隐藏着深刻的道理。
同学们，我们也来观察下图地面，看看你能发现什么？是否也和大数学家有同样的发现呢？
原来古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了:直角三角形三边的数量关系。
A、B、C的面积有什么关系？
可以发现，以等腰三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积。
SA+SB=SC
即我们惊奇地发现，等腰三角形的三边之间有一种特殊的关系：两直边的平方和等于斜边的平方。
c
a
b
即：a2 + b2 = c2
让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系
9
9
4
4
C的面积怎么求呢？
A的面积(单位长度) B的面积(单位长度) C的面积(单位长度)
图1
图2
分“割”成若干个直角边为整数的三角形。
（单位面积）
C的面积怎么求呢？
（单位面积）
把C“补” 成边长为6的正方形面积的一半。
C的面积怎么求呢？
SA+SB=SC
4
4
8
两直角边的平方和等于斜边的平方
b
a
c
a2+b2=c2
A的面积(单位长度) B的面积(单位长度) C的面积(单位长度)
图2-1 9 9 18
图2-2
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
对于等腰直角三角形有这样的性质：
那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？
两直角边的平方和等于斜边的平方
2．观察右边两个图并填写下表：
16
9
4
9
C的面积怎么
求呢？
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2
图1-3
分割成若干个直角边为整数的三角形。
（面积单位）
C的面积怎么求呢？
探究二：
分割成若干个直角边为整数的三角形。
C的面积怎么求呢？
探究二：
（面积单位）
=13
把C“补”成边长为7的正方形面积减去4个直角三角形的面积。
（面积单位）
C的面积怎么求呢？
探究二：
把C“补”成边长为5的正方形面积减去4个直角三角形的面积。
（面积单位）
=13
C的面积怎么求呢？
探究二：
16
9
4
9
25
13
3．三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？
SA+SB=SC
即：两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
议 一 议
A的面积 B的面积 C的面积
图1-2
图1-3
A
B
C
图2
图3
4
9
13
9
25
34
sA+sB=sC
两直角边的平方和
等于斜边的平方
探究与猜想
A
B
C
A的面积(单位面积) B的面积(单位面积) C的面积(单位面积)
图2
图3
A、B、C面积关系
直角三角形三边关系
a
c
b
Sa+Sb=Sc
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
a2+b2=c2
两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方形的面积．
┏
a2+b2=c2
a
c
b
如果直角三角形的两直角边长分别是a、b，斜边长是c，那么a2+b2=c2。
勾
股
弦
命题1：
是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明．到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多．下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的．
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
c
b ? a
依据科学理论的证实：
a
b
赵爽弦图
我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形的面积和得：
用赵爽弦图证明勾股定理
证法一：
a2+b2=c2
赵爽弦图的证法
化简得：
c2
c
c
c
S大正方形 S小正方形 4S直角三角形
=b2-2ab+a2 + 2ab
∴a2+b2=c2
定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。
勾股定理：
如果直角三角形的两直角边长分别为 ａ、ｂ，斜边为ｃ，那么ａ2+b2=c2。
如图，在Rt△ABC中，∠C= 90°，则
ａ2+b2=c2
A
B
C
股b
勾 a
弦c
读一读
“赵爽弦图’表现了我国古代人队数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。
图1-1
图1-2
目前世界上许多科学家正在试图寻找其它星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号,如地球上人类的语言,音乐,各种图形等.我国数学家华罗庚建议,发射一种反映勾股定理的图形,如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的.
? a2 + b2 = c2
a2
b2
a2
c2
毕达哥拉斯证法
证 法 4：
∵ (a+b)2 =
a2+2ab+b2 = c2 +2ab
∴a2+b2=c2
大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为
(a+b)2
美国总统的证明
伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法．1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一证法称为“总统”证法。
茄菲尔德的证法
S三角形1 S三角形2 S三角形3
S梯形
化简得:
c2=a2+ b2
欣赏美丽的勾股树
a
b
c
结论变形
c2=a2+b2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
c=
a=
b=
练习：
1、求下列图中字母所表示的正方形的面积
=625
=144
范例.求出下列直角三角形中未知边的长度
5
x
13
学以致用，做一做
解：（1）在Rt△ABC中,由勾股定理得：AB2=AC2+BC2
X2 =36+64
x2 =100
x2=62+82
∴ x=10
∵x>0
x2+52=132
x2=132-52
x2=144
∴ x=12
（2）在Rt△ABC中,由勾股定理:AB2+AC2=BC2
∵x>0
A
C
B
A
C
B
2.求下列图中表示边的未知数x、y、z的值.
①
81
144
x
y
z
②
③
比一比看看谁算得快！
课本P24 练习1.
求下列直角三角形中未知边的长:
可用勾股定理建立方程.
方法小结:
a=6
b
c=10
b=15
a
b=12
a=5
c
c=25
(1)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形E的边长为7cm，求正方形A，B，C，D的面积的和。
S1
S2
解：∵ SE= 49
S1=SA+SB
S2=SC+SD
∴ SA+SB+SC+SD
= S1+S2 = SE = 49
（2）如图，分别以Rt △ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，容易得出S1、S2、S3之间有的关系式为 ．
Sa+Sb=Sc
（3）变式：你还能求出Sa、Sb、Sc之间的关系式吗？
⒈ 勾股定理是几何中最重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的数量关系.
⒊勾股定理的主要作用是 在直角三角形中,已知任意两边求第三边的长。
a
b
c
结论变形
c2=a2+b2
a2=c2-b2
b2=c2-a2
c=
a=
b=
作业
必做题：课本习题18.1 第1, 2,3,4,5题。
选做题：收集有关勾股定理的其它
证明方法，下节课展示、交流。
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