3.4实际问题和一元一次方程（3）
学习目标：
1、学会解决信息图表问题的方法．
2、会根据实际问题中的数量关系列方程解决问题，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧．
3、通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法．
学习重点：
引导学生弄清题意，设计出各类问题的答案．
学习难点：
如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题．
学习过程：
一、知识链接
体育比赛中,每两个队之间进行一场比赛的赛制叫单循环比赛,
每两个队之间进行两场比赛的赛制叫双循环比赛.
二、新知探究
探究1 球赛积分问题
某次篮球联赛积分榜
队名
比赛场次
胜场
负场
积分
前进
14
10
4
24
东方
14
10
4
24
光明
14
9
5
23
蓝天
14
9
5
23
雄鹰
14
7
7
21
远大
14
7
7
21
卫星
14
4
10
18
钢铁
14
0
14
14
(1)探究某球队总积分与胜、负场数之间的数量关系：
若某球队总积分为M，胜场为n，则用含n的式子表示M：M=_____________
(2)有人说：在这个联赛中，有一个队的胜场总积分等于它的负场总积分。你认为这个说法正确吗？请说明理由。
分析；对于问题（1）要弄清积分与胜负场数的关系，必须清楚胜一场得几分，负一场得几分？
表中哪个信息最特别？能马上解决上面哪个问题？
另一个问题又如何解决呢？
若一球队胜了m场，则负了几场？总积分的代数式如何表示？
对于问题（2）能否应用方程知识来说明吗？
●【归纳总结】用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际意义。方程不仅能求具体的数值，还可以进行推理判断。
巩固练习
1、如图是一张有4人参加的某项棋类循环比赛额定积分表，每场比赛胜者得3分，负者得－1分，和局两人各得1分。
(1)填出表内空格的分值
(2)排出这次比赛的名次.
2、把2005个正整数1，2，3，4，…，2005按如图方式排列成一个表。在如图所示表格中能否框住这样的4个数，它们的和等于①416 ,② 325 ，若能，则求出x的值；若不能，则说明理由。
三、拓展提高
探究2 电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式：
月使用
费/元
主叫限定
时间/分
主叫超时费/
(元/分)
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
考虑下列问题：
(1)设一个月内用移动电话主叫为t分(t是正整数)．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
教师提出问题：
1．从表格中的数据，你能把主叫时间分为几部分？
2．你能分别把主叫时间不同的话费情况用含t的代数式表示出来吗？
3．①在两种收费方式下，会不会有这么一个时间，打不同样多时间的电话，却收费相同呢？
②如果有这一时间，那么如何分别表示收费表达式呢？(“收费相等”是本题列方程的等量关系)
4．你能根据表格判断两种收费方式哪种更合算吗？
解决问题
理解问题的本身是列方程的基础，本例通过表格形式给出已知数据，让学生根据问题展开讨论，帮助理解，培养学生的读题能力和收集信息的能力．
(1)学生充分交流讨论后完成表格：
主叫时间(t/min)
方式一(计费/元)
方式二(计费/元)
t＜150
t＝150
58
88
150＜t＜350
88
t＝350
88
t＞350
(2)观察上表，可以看出，主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化．
①从表格中，可以看出当t≤150时，按方式_____的计费少．
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而方式二一直是88元，所以方式一在变化过程中，可能某一主叫时间，两种方式的计费_____．
列方程:_________________
解得t＝__________________.
故当t＝270时，两种计费方式相同，都是88元，
当150＜t＜270时，按方式一计费________按方式二计费；
当270＜t＜350时，按方式一计费________按方式二计费．
③当t＝350时，按方式_________计费少．
④当t＞350时，可以看出:
按方式一的计费为108元加上超出350 min的部分超时费__________，
按方式二的计费为88元加上超时费___________，故按方式__________的计费少．
根据以上的分析，可以发现
当t＜270 min时，选择方案________省钱；当t＞270 min时，选择方案________省钱．
四、应用提高
利用我们在“电话计费问题”中学会的方法，探究下面的问题：
用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，每页收费0.1元. 复印张数为多少时，两处的收费相同？如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）
五、课堂小结
本节课通过对积分问题、计费问题的探究，你学会了什么 ？
六、布置作业
第107页第8题
当堂测评
1、某种出租车收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米需付7元车费)，超过3千米以后，每增加1千米加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的值是多少？
2、一位开发商来到一个新城市，想租一套房子，A家房主的条件是：先交2 000元，然后每月租金380元；B家房主的条件是：每月租金580元．
(1)这位开发商想在这座城市住半年，则租哪家的房子合算？
(2)如果这位开发商想住一年，则租哪家的房子合算？
(3)这位开发商住多长时间时，租两家的房子租金一样？
3、某市供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00～22：00，14小时，谷段为22：00～次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．
(1)问小明家该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？
(2)如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支付电费多少元？
4、某公园的门票价格规定如下：
某校七年级甲、乙两个班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游公园，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元．问两班各有多少名学生？
当堂测评答案
1.解：x＝8
2.解：(1)如果住半年，交给A家的租金是：380×6＋2 000＝4 280(元)；交给B家的租金是：580×6＝3 480(元)．所以住半年时，租B家的房子合算；
(2)如果住一年，交给A家的租金是：380×12＋2 000＝6 560(元)；交给B家的租金是：580×12＝6 960(元)．所以住一年时，租A家的房子合算；
(3)设这位开发商住x个月时，租两家的房子租金一样．根据题意，得380x＋2 000＝580x，解得x＝10.所以这位开发商住10个月时，租两家的房子租金一样
3.解：(1)设原销售电价为每千瓦时x元，根据题意得40×(x＋0.03)＋60×(x－0.25)＝42.73
x＝0.5653.所以x＋0.03＝0.5953(元)，x－0.25＝0.3153(元)．
所以小明家该月支付的平段电价为每千瓦时0.5953元，谷段电价每千瓦时0.3153元．
(2)100×0.5653－42.73＝13.8(元)．
所以小明家将多支付电费13.8元．
4，解：∵甲、乙两班共103人，甲班人数>乙班人数，∴甲班一定大于50人．又由两班都以班为单位分别购票，一共需付486元这一条件知甲班一定小于100人，甲班票价按每人4.5元计算．下面就乙班人数分析：①若乙班少于或等于50人，设乙班有x人，则甲班有(103－x)人，依题意，得5x＋4.5(103－x)＝486，解得x＝45，∴103－45＝58(人)，即甲班有58人，乙班有45人．②若乙班此时也大于50人，而103×4.5＝463.5<486.应舍去．故甲班有58人，乙班有45人
3.4实际问题和一元一次方程（3）
教学目标：
1、学会解决信息图表问题的方法．
2、会根据实际问题中的数量关系列方程解决问题，掌握用方程来解决一些生活中的实际问题的技巧．
3、通过对实际问题的分析，掌握用方程计算球赛积分一类问题的方法．
教学重点：
引导学生弄清题意，设计出各类问题的答案．
教学难点：
如何根据题意从图表中获取有用的信息并列方程解决问题．
教学过程：
一、新知引入
想想球赛活动中的淘汰赛等等你有什么感悟？
体育比赛中,每两个队之间进行一场比赛的赛制叫单循环比赛,
每两个队之间进行两场比赛的赛制叫双循环比赛.
二、新知探究
探究1 球赛积分问题
（1）认识球赛积分表提出问题
展示教材探究2中某次篮球联赛积分榜，提出问题：
①列式表示总积分与胜负场数之间的数量关系；
②某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
教师：说明积分规则．
学生：观察表格．
教师在学生自由观察表格并发表意见的基础上引导学生观察表格中横、纵所隐藏着的信息，并建立数学模型，教师重点关注学生能否得出以下关系：
①胜场积分＋负场积分＝总积分．
②解决问题的关键：胜一场积几分，负一场积几分．
（2）对问题进行分解
学生继续观察表格，教师提出问题：
你选择表格中哪一行能说明负一场积几分呢？
学生探究交流得：
从最后一行数据可以发现：负一场积1分．
教师继续提问：
胜一场积几分呢？
学生探究交流．
学生可能会用算术法得出胜一场积2分，这时教师应关注：
1．引导学生通过列一元一次方程，用解方程的方法得到，为最后问题的拓展奠定基础．
2．负一场积1分，胜一场积2分．
（3）解决问题
(1)用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系．
(2)某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
教师：以上分析得出的结论是：
(1)胜一场积2分、负一场积1分．
学生分组讨论交流解决问题(1)．
教师应关注：
①负场数＝比赛场数－胜场数．
②总积分＝胜场积分＋负场积分．
③问题变式：列式表示积分与负场数之间的数量关系．
学生分组讨论交流解决问题(2)．
解：设一个队胜了x场，则负了(14－x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则利用问题(1)的结论，可得：
2x＝14－x，解得x＝.
这个结果可以吗？为什么？
教师应关注：
(1)列一元一次方程解决问题．
(2)方程的解与实际问题的关系．
（5）问题深入化
教师提出问题．
如果删去积分榜的最后一行，你还能解决这两个问题吗？
教师应关注：解决问题的关键还是要求出胜一场积几分，负一场积几分，并引导学生思考：删去了最后一行，不能直接得到负一场积1分，又如何来求胜一场积几分，负一场积几分呢？
教师提示：可利用各队胜一场积分相等或利用各队负一场积分相等，任选两个胜、负场数不相同的队即可列方程解决．
●【归纳总结】用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际意义。方程不仅能求具体的数值，还可以进行推理判断。
巩固练习
1、如图是一张有4人参加的某项棋类循环比赛额定积分表，每场比赛胜者得3分，负者得－1分，和局两人各得1分。
(1)填出表内空格的分值
(2)排出这次比赛的名次.
2、把2005个正整数1，2，3，4，…，2005按如图方式排列成一个表。在如图所示表格中能否框住这样的4个数，它们的和等于①416 ,② 325 ，若能，则求出x的值；若不能，则说明理由。
三、拓展提高
探究2 电话计费问题
下表中有两种移动电话计费方式：
月使用
费/元
主叫限定
时间/分
主叫超时费/
(元/分)
被叫
方式一
58
150
0.25
免费
方式二
88
350
0.19
免费
考虑下列问题：
(1)设一个月内用移动电话主叫为t分(t是正整数)．根据上表，列表说明：当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．
(2)观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法．
教师提出问题：
1．从表格中的数据，你能把主叫时间分为几部分？
2．你能分别把主叫时间不同的话费情况用含t的代数式表示出来吗？
3．①在两种收费方式下，会不会有这么一个时间，打不同样多时间的电话，却收费相同呢？
②如果有这一时间，那么如何分别表示收费表达式呢？(“收费相等”是本题列方程的等量关系)
4．你能根据表格判断两种收费方式哪种更合算吗？
解决问题
理解问题的本身是列方程的基础，本例通过表格形式给出已知数据，让学生根据问题展开讨论，帮助理解，培养学生的读题能力和收集信息的能力．
(1)学生充分交流讨论后完成表格：
主叫时间(t/min)
方式一(计费/元)
方式二(计费/元)
t＜150
58
88
t＝150
58
88
150＜t＜350
58＋0.25(t－150)
88
t＝350
58＋0.25(350－150)＝108
88
t＞350
58＋0.25(t－150)
88＋0.19(t－350)
(2)观察上表，可以看出，主叫时间超出限定时间越长，计费越多，并且随着主叫时间的变化，按哪种方式的计费少也会变化．
①从表格中，可以看出当t≤150时，按方式一的计费少．
②当t从150增加到350时，按方式一的计费由58元增加到108元，而方式二一直是88元，所以方式一在变化过程中，可能某一主叫时间，两种方式的计费相等．
列方程58＋0.25(t－150)＝88，
解得t＝270.
故当t＝270时，两种计费方式相同，都是88元，当150＜t＜270时，按方式一计费少于按方式二计费；当270＜t＜350时，按方式一计费多于按方式二计费．
③当t＝350时，按方式二计费少．
④当t＞350时，可以看出，按方式一的计费为108元加上超出350 min的部分超时费0.25(t－350)，按方式二的计费为88元加上超时费0.19(t－350)，故按方式二的计费少．
根据以上的分析，可以发现
当t＜270 min时，选择方案一省钱；当t＞270 min时，选择方案二省钱．
四、应用提高
利用我们在“电话计费问题”中学会的方法，探究下面的问题：
用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，每页收费0.1元. 复印张数为多少时，两处的收费相同？如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）
五、课堂小结
本节课通过对积分问题、计费问题的探究，你学会了什么 ？
六、布置作业
第107页第8题
当堂测评
1、某种出租车收费标准是：起步价7元(即行驶距离不超过3千米需付7元车费)，超过3千米以后，每增加1千米加收2.4元．某人乘这种出租车从甲地到乙地支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程为x千米，则x的值是多少？
2、一位开发商来到一个新城市，想租一套房子，A家房主的条件是：先交2 000元，然后每月租金380元；B家房主的条件是：每月租金580元．
(1)这位开发商想在这座城市住半年，则租哪家的房子合算？
(2)如果这位开发商想住一年，则租哪家的房子合算？
(3)这位开发商住多长时间时，租两家的房子租金一样？
3、某市供电公司分时电价执行时段分为平、谷两个时段，平段为8：00～22：00，14小时，谷段为22：00～次日8：00，10小时．平段用电价格在原销售电价基础上每千瓦时上浮0.03元，谷段电价在原销售电价基础上每千瓦时下浮0.25元，小明家5月份实用平段电量40千瓦时，谷段电量60千瓦时，按分时电价付费42.73元．
(1)问小明家该月支付的平段、谷段电价每千瓦时各为多少元？
(2)如不使用分时电价结算，5月份小明家将多支付电费多少元？
4、某公园的门票价格规定如下：
某校七年级甲、乙两个班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游公园，如果两班都以班为单位分别购票，则一共需付486元．问两班各有多少名学生？
当堂测评答案
1.解：x＝8
2.解：(1)如果住半年，交给A家的租金是：380×6＋2 000＝4 280(元)；交给B家的租金是：580×6＝3 480(元)．所以住半年时，租B家的房子合算；
(2)如果住一年，交给A家的租金是：380×12＋2 000＝6 560(元)；交给B家的租金是：580×12＝6 960(元)．所以住一年时，租A家的房子合算；
(3)设这位开发商住x个月时，租两家的房子租金一样．根据题意，得380x＋2 000＝580x，解得x＝10.所以这位开发商住10个月时，租两家的房子租金一样
3.解：(1)设原销售电价为每千瓦时x元，根据题意得40×(x＋0.03)＋60×(x－0.25)＝42.73
x＝0.5653.所以x＋0.03＝0.5953(元)，x－0.25＝0.3153(元)．
所以小明家该月支付的平段电价为每千瓦时0.5953元，谷段电价每千瓦时0.3153元．
(2)100×0.5653－42.73＝13.8(元)．
所以小明家将多支付电费13.8元．
4，解：∵甲、乙两班共103人，甲班人数>乙班人数，∴甲班一定大于50人．又由两班都以班为单位分别购票，一共需付486元这一条件知甲班一定小于100人，甲班票价按每人4.5元计算．下面就乙班人数分析：①若乙班少于或等于50人，设乙班有x人，则甲班有(103－x)人，依题意，得5x＋4.5(103－x)＝486，解得x＝45，∴103－45＝58(人)，即甲班有58人，乙班有45人．②若乙班此时也大于50人，而103×4.5＝463.5<486.应舍去．故甲班有58人，乙班有45人
课件28张PPT。3.4实际问题与一元一次方程（3）人教版 七年级上新知导入我运动我快乐 同学们想知道球类比赛中隐含了我们数学知识的哪些奥秘吗？新知讲解 体育比赛中,每两个队之间进行一场比赛的赛制叫单循环比赛, 体育小知识 每两个队之间进行两场比赛的赛制叫双循环比赛.淘汰赛新知讲解球赛积分表问题新知讲解 仔细观察左表，从这张表格中，你能得到什么信息？前进队在14场比赛中胜了10场钢铁队在比赛中一场也没胜雄鹰队在比赛中一共得了21分……新知讲解 你还能能从表格得到什么信息？从最下面一行数据可以看出：
负一场积1分,新知讲解 胜一场能积多少分呢？解：设胜一场积x分，从表中其他任何一行都可以列方程，求出x的值。我们以第一行为例。得到方程：10x+1×4=24
解方程，得x=2胜一场积2分
负一场积1分新知讲解若设某队胜m场，你能否列一个式子表示积分与胜、负场数之间的数量关系. 设一个队胜了m场，则负的场数为（14-m）场，胜场积分为2y负场积分为（14-m），总积分为：2m+（14-m）=m+14新知讲解?思考：x表示什么量？它可以是分数吗？新知讲解思考：x表示什么量？它可以是分数吗？ 这个问题说明：利用方程不仅能求具体数值，而且可以进行推理判断.?新知讲解我们所设的x表示常数，因此必须是整数，所以该结果不符合题意，由此可以判定没有那个对的胜场总积分等于负场总积分。【归纳总结】用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的解是否符合实际意义。方程不仅能求具体的数值，还可以进行推理判断。课堂练习 如图是一张有4人参加的某项棋类循环比赛额定积分表，每场比赛胜者得3分，负者得－1分，和局两人各得1分。(1)填出表内空格的分值；(2)排出这次比赛的名次.解：第一名：丁第二名：甲第三名：丙第四名：乙－1－11513－337－1课堂练习把2005个正整数1，2，3，4，…，2005按如图方式排列成一个表。在如图所示表格中能否框住这样的4个数，它们的和等于①416 ,② 325 ，若能，则求出x的值；若不能，则说明理由。解：设第一个数为x，则第二个数为：x+1，下一排的第一个数为x+7，第二个数为x+8x+x+1+x+7+x+8=416
解得 x=100x+x+1+x+7+x+8=325
解得 x=77.25∵x为整数，∴它们的和不可能325∴这四个数分别为100,101,107,108拓展提高两种移动电话计费方式表如下：(1)一个月内在本地通话200分和300分,按两种计费方式各须交费多少元?
(2)对于某个本地通话时间,会出现两种计费方式的收费一样吗?怎么计算交费交费=月租费＋当月通话时间×单价(元/分)全球通交费=50+200×0.1=70（元）神州行交费=200×0.3=60（元）新知讲解解:(1)(2)设累计通话t分钟,
则用“全球通”要收费(50＋0.1t)元,
用“神州行”要收费0.3t元。
如果两种收费一样，则
0.3t=50＋0.1t
解得: t=250.
答:如果一个月内通话250分,那么两种计费方式相同.70元60元80元90元问题:什么情况下用“全球通”优惠一些?什么情况下用“神州行”优惠一些?
新知讲解探究：问题1：下表给出的是两种移动电话的计费方式： 你了解表格中这些数字的含义吗？ 新知讲解问题2：你认为选择哪种计费方式更省钱呢？“与主叫时间相关”3500150新知讲解 问题2：当使用电话月主叫时间分别是50分、250分、450分钟时，按式二如何计费？35001505025045013383107108888888588858（ t 是正整数）t /分话费多少是由什么量决定？ 问题3: 你觉得选择哪种方式更划算呢？
问题4：设月主叫时间为t分钟 ,当t在不同时间范围内取值, 列表说明按方式 一和方式二如何计费。计费方式一计费方式二新知讲解58885888888858＋0.25(t－150)58＋0.25(350－150)
＝10858＋0.25(t－150)88＋0.19(t－350)划算划算划算新知讲解依题意得： 58＋0.25(t－150) = 88
去括号得： 58＋0.25t－37.5 = 88
移项、合并同类项得： 0.25t = 67.5
系数化1得： t =270所以当 t =270分时，两种计费方式的费用相等问题5：主叫时间多少时，两种方式收费相同？新知讲解3500150108885888（ t 是正整数）t /分8888？270问题6：综合以上的分析，可以发现： 时，选择方式一省钱；
时，选择方式二省钱．t 小于 270分t 大于 270分课堂练习 利用我们在“电话计费问题”中学会的方法，探究下面的问题：
用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20页时，超过部分每页收费0.09元. 在某图书馆复印同样的文件,不论复印多少页，每页收费0.1元. 复印张数为多少时，两处的收费相同？如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？（复印的页数不为零）课堂练习解：设复印x张，依题意列表得：（1）当 x 小于20时，0.12 x大于0.1 x 恒成立， 图书馆价格便宜；
（2）当 x 等于20时，2.4大于2，图书馆价格便宜；0.12x0.1x0.1×20＝20.1x0.12×20＝2.42.4＋0.09(x－20)课堂练习（3）当 x 大于20时，依题意得：
2.4+0.09(x-20)＝0.1x
解得： x＝60
∴当 x = 60时，两处的收费相同；
当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜；
当x大于60时，誊印社价格便宜.综上所述：当复印量是60张时，两处的收费相同；
当复印量少于60张时，图书馆价格便宜；
当复印量多于60张时，誊印社价格便宜.课堂总结实际问题与一元一次方程解决实际问题：方程的解一定要符合实际问题作业布置第107页第8题谢谢21世纪教育网（www.21cnjy.com) 中小学教育资源网站 有大把高质量资料？一线教师？一线教研员？
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