23.3.3 相似三角形的性质课时作业
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23.3.3 相似三角形的性质课时作业
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知△ABC∽△DEF,且相似比为2∶1,若△ABC的周长是8 cm,则△DEF的周长是（ ）
A． 2 cm B． 4 cm C． 8 cm D． 16 cm
2．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=2：1，则AB与DE的比是（ ）
A． 1：2 B． 2：1 C． ：1 D． 1：
3．已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（ ）
A． 45cm，65cm B． 90cm，110cm C． 45cm，55cm D． 70cm，90cm
4．如图，点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形,,(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是( )
A．81 B．121 C．124 D．144
5．如图，，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在?ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于（ ）
A． 24cm2 B． 36cm2 C． 48cm2 D． 60cm2
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC的长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（ ）
A． 9：1 B． 1：9 C． 3：1 D． 1：3
8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．两个三角形相似，相似比是,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是______.
10．如图，线段AC与BD相交于点O，，若OA∶OC＝4∶3，的面积是2，则的面积等于________．
11．已知△ABC∽△DEF， 与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为 ．
12．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是______，△A′B′C′的周长是______．
13．已知△ABC~△DEF， BC边上的高与EF边上的高之比为2：3，则△ABC与△DEF的面积的比为_________________.
14．如图D、E、F分别在△ABC的三边上,BD=AB,BE:EC=1:2,AC的长度是FC的3倍,四边形ADEF的面积是24,则△EFC的面积是_________.
15．如图，梯形中，，，点在边上，，，，若与相似，则的长为________．
三、解答题
16．如图，若，和相交于点，和相交于点，，，，求．
17．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E.
求证：AD：AF＝CE：AB
18．如图，已知中，，，，点、分别在、上，如果以、、为顶点的三角形和相似，且相似比为，试求、的长．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．
20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F， AB=AD．
⑴判断与△ABC是否相似，并说明理由．
⑵与DF相等吗？为什么？
21．已知：如图，矩形ABCD的一条边AB=10，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕为AO．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AD的长．
参考答案
1．B
【解析】
【详解】
∵△ABC∽△DEF，且相似比为2∶1，
∴C△ABC：C△DEF=2：1，
则C△DEF==4cm.
故选B.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比.
2．C
【解析】
【分析】
直接运用相似三角形的性质得出答案．
【详解】
∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=2：1，
∴则AB与DE的比是：：1.
故选：C.
【点睛】
考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据题意求出两个相似三角形的相似比，根据相似三角形的性质求出两个相似三角形的周长比，列方程计算即可．
【详解】
∵两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm， ∴两个相似三角形的相似比为9：11， ∴两个相似三角形的周长比为9：11， 设两个相似三角形的周长分别为9x、11x， 由题意得，11x-9x=20， 解得，x=10， 则这两个三角形的周长分别为90cm，110cm， 故选：B．
【点睛】
考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
4．D
【解析】
试题分析：根据三角形的面积可得：：△ABC=1：6，则面积之比为1：36，则△ABC的面积=4×36=144.
考点：相似三角形的性质
5．D
【解析】
【分析】
利用相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比求解．
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′,AD、BE分别是△ABC的高和中线,A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，
∴
∵AD=4,A′D′=3，BE=6，
∴
解得：
故选D.
【点睛】
考查相似三角形的性质，相似三角形对应高之比等于相似比，对应中线之比等于相似比，对应角平分线之比等于相似比.
6．C
【解析】分析：利用平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥CD，进而得出△DOE∽△BOA，再利用相似三角形的性质得出答案．
详解：∵在ABCD中，E为CD中点，
∴AB=CD=2DE，
又∵AB∥CD，
∴△AOB∽△EOD，
∴=（）2=4，
∴S△AOB=4S△DOE=48cm2．
故选：C．
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△DOE∽△BOA是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方计算．
【详解】
∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴△ABC与△DEF的相似比为3，
∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，
∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
先证明△AEF∽△BDF，从而,设DB=DE=AB=AC=y，BC=BE=AE=x，由△CBE∽△CAB，得BC2=CE·CA，代入x和y ，即可求出的值，从而可求出结论.
【详解】
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BC=BE，
∴∠C=∠BEC=72°，
∴∠EBC=36°，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴AE=BE，
∴BC=BE=AE.
∵∠DBE=72°，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴BD∥AE，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
设DB=DE=AB=AC=y，BC=BE=AE=x，
∵∠C=∠C，∠CBE=∠A，
∴△CBE∽△CAB，
∴BC2=CE·CA，
∴x2=（y﹣x）y，
∴x2+xy﹣y2=0，
∴x=y，或x=y，
∴=，
∴=（）2=.
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
9．36
【解析】分析：
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
详解：
设较大三角形的面积为x，则由题意可得：
，解得：.
故答案为：36.
点睛：熟记：相似三角形的性质：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答本题的关键.
10．
【解析】∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∵在△AOB和△DOC中，，∴△AOB∽△COD，∴=（）2=，∵S△AOB=2，∴S△COD=．
故答案为．
点睛：若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于相似比的平方．
11．4：1．
【解析】试题分析：相似三角形对应边上的高、对应角的平分线、对应边上的中线之比，都等于相似比．所以△ABC与△DEF对应边上的高之比等于它们的相似比4：1．故答案为：4：1．
考点：相似三角形的性质．
12．2：537.5
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质及已知求得相似比，再由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周长．
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′
∴相似比是6：15=2：5
∵△ABC的周长是15
∴△A′B′C′的周长是37.5．
故答案为：2：5； 37.5.
【点睛】
本题考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质．
13．4：9
【解析】分析：由△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为2：3，可求得△ABC与△DEF相似比，即可求得△ABC与△DEF的面积之比．
详解：∵△ABC∽△DEF，BC边上的高与EF边上的高之比为2：3，
∴△ABC与△DEF相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：9．
故答案为：4：9．
点睛：本题考查对相似三角形性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方与相似三角形对应高的比等于相似比．
14．8
【解析】
【分析】
连接AE，设△BDE的面积为a，△EFC的面积为b，根据等底的两三角形面积之比等于对应的边之比得出△ADE的面积为2a，△AEF的面积为2b，求出2a+2b=24，△ABC的面积为a+b+24，根据相似的性质得出
得到 求出方程组即可.
【详解】
解：连接AE，设△BDE的面积为a，△EFC的面积为b，
的长度是的3倍，
∴△ADE的面积为2a，△AEF的面积为2b，
∵四边形ADEF的面积是24，
即2a+2b=24，
∴△ABC的面积为a+b+24，
即
所以
解得：a=4，b=8，
所以△EFC的面积是8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定和三角形的面积，能灵活运用等底的两三角形面积之比等于对应的边之比得出三角形的面积是解此的关键．
15．或
【解析】
【分析】
分△ABF∽△FCD和△ABF∽△DCF两种情况，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
当△ABF∽△FCD时，
，即，
解得，CF=8；
当△ABF∽△DCF时，
，即，
解得，CF=2，
故答案为：2或8．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
16．．
【解析】
【分析】
先求出的相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求出.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】
考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
17．见解析
【解析】分析：利用平行四边形的性质：对角相等和对边平行证明∠A=∠C和∠ADF=∠E，进而证明△ADF∽△CED，再利用相似的性质：对应边的比值相等可得比例式，再把相等的线段代换即可．
详解：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠ADF=∠E， ∴△ADF∽△CED， ∴AD：AF=EC：DC， 又∵AB=CD， ∴AD：AF=CE：AB．
点睛：考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ADF∽△CED得到AD：AF=EC：DC，再运用等量代换得出结论．
18．，；A，．
【解析】
【分析】
利用三角形相似的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论即可求得AD、AE的长．
【详解】
当时，相似比为，
，
即：，
解得：，；
当时，
，
即：，
解得：，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是分两种情况讨论．
19．（1）证明见解析；（2）10.
【解析】试题分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=∠DBC，又因为∠A=∠BDC，所以可以证明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得： ，将已知线段长度代入即可求出BD.
试题解析：
解：（1）∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠A=∠BDC，
∴ △ABD∽△DCB；
（2）由（1）得△ABD∽△DCB，
∴，
即 ，
∴BD=10.
点睛：（1）判定两个三角形相似，优先找两组角相等条件.
20．⑴与△ABC相似，理由见解析；⑵与DF相等，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定即可求出答案；
（2）由相似三角形的性质即可知道AB＝2FD，由于AB＝AD，所以AD＝2FD，从而可知DF＝AF.
【详解】
（1）∵DE是BC垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；
（2）∵△FDB∽△ABC，
∴＝，
∴AB＝2FD，
∵AB＝AD，
∴AD＝2FD，
∴DF＝AF．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．
21．（1）证明见解析（2）8
【解析】
【分析】
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判定.(2)根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方,得到AD=2PC,设PC=x,则AD=2x,在RT△ADP中利用勾股定理即可解决问题.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，
∴△OCP∽△PDA．
（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴==，
∴DA=2CP．设PC=x，则AD=2x，PD=10﹣x，AP=AB=10，
在Rt△PDA中，∵∠D=90°，PD 2+AD2=AP2，
∴（10﹣x）2+（2x）2=102，
解得：x=4，
∴AD=2x=8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换及勾股定理的知识，解题的关键是会用方程的思想来解决问题.
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．已知△ABC∽△DEF,且相似比为2∶1,若△ABC的周长是8 cm,则△DEF的周长是（ ）
A． 2 cm B． 4 cm C． 8 cm D． 16 cm
2．已知△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=2：1，则AB与DE的比是（ ）
A． 1：2 B． 2：1 C． ：1 D． 1：
3．已知两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm，它们的周长相差20cm，则这两个三角形的周长分别为（ ）
A． 45cm，65cm B． 90cm，110cm C． 45cm，55cm D． 70cm，90cm
4．如图，点M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形,,(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是( )
A．81 B．121 C．124 D．144
5．如图，，、分别是的高和中线，、分别是的高和中线，且，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在?ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于点O，S△DOE=12cm2，则S△AOB等于（ ）
A． 24cm2 B． 36cm2 C． 48cm2 D． 60cm2
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC的长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为（ ）
A． 9：1 B． 1：9 C． 3：1 D． 1：3
8．如图，在△ABC中，∠A=36°，AC=AB=2，将△ABC绕点B逆时针方向旋转得到△DBE，使点E在边AC上，DE交AB于点F，则△AFE与△DBF的面积之比等于（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．两个三角形相似，相似比是,如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是______.
10．如图，线段AC与BD相交于点O，，若OA∶OC＝4∶3，的面积是2，则的面积等于________．
11．已知△ABC∽△DEF， 与的相似比为4:1，则与对应边上的高之比为 ．
12．若△ABC∽△A′B′C′，AB=4，BC=5，AC=6，△A′B′C′的最大边长为15，那么它们的相似比是______，△A′B′C′的周长是______．
13．已知△ABC~△DEF， BC边上的高与EF边上的高之比为2：3，则△ABC与△DEF的面积的比为_________________.
14．如图D、E、F分别在△ABC的三边上,BD=AB,BE:EC=1:2,AC的长度是FC的3倍,四边形ADEF的面积是24,则△EFC的面积是_________.
15．如图，梯形中，，，点在边上，，，，若与相似，则的长为________．
三、解答题
16．如图，若，和相交于点，和相交于点，，，，求．
17．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，F是AB上一点，连接DF并延长交CB的延长线于E.
求证：AD：AF＝CE：AB
18．如图，已知中，，，，点、分别在、上，如果以、、为顶点的三角形和相似，且相似比为，试求、的长．
19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．
（1）求证：△ABD∽△DCB；
（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．
20．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC，AC于点D，E，BE交AD于点F， AB=AD．
⑴判断与△ABC是否相似，并说明理由．
⑵与DF相等吗？为什么？
21．已知：如图，矩形ABCD的一条边AB=10，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折痕为AO．
（1）求证：△OCP∽△PDA；
（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AD的长．
参考答案
1．B
【解析】
【详解】
∵△ABC∽△DEF，且相似比为2∶1，
∴C△ABC：C△DEF=2：1，
则C△DEF==4cm.
故选B.
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比.
2．C
【解析】
【分析】
直接运用相似三角形的性质得出答案．
【详解】
∵△ABC∽△DEF，且S△ABC：S△DEF=2：1，
∴则AB与DE的比是：：1.
故选：C.
【点睛】
考查了相似三角形的性质，正确利用相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．
3．B
【解析】
【分析】
根据题意求出两个相似三角形的相似比，根据相似三角形的性质求出两个相似三角形的周长比，列方程计算即可．
【详解】
∵两个相似三角形的对应边长分别为9cm和11cm， ∴两个相似三角形的相似比为9：11， ∴两个相似三角形的周长比为9：11， 设两个相似三角形的周长分别为9x、11x， 由题意得，11x-9x=20， 解得，x=10， 则这两个三角形的周长分别为90cm，110cm， 故选：B．
【点睛】
考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比是解题的关键．
4．D
【解析】
试题分析：根据三角形的面积可得：：△ABC=1：6，则面积之比为1：36，则△ABC的面积=4×36=144.
考点：相似三角形的性质
5．D
【解析】
【分析】
利用相似三角形对应高的比、对应中线的比都等于相似比求解．
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′,AD、BE分别是△ABC的高和中线,A′D′、B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，
∴
∵AD=4,A′D′=3，BE=6，
∴
解得：
故选D.
【点睛】
考查相似三角形的性质，相似三角形对应高之比等于相似比，对应中线之比等于相似比，对应角平分线之比等于相似比.
6．C
【解析】分析：利用平行四边形的性质得出AB=DC，AB∥CD，进而得出△DOE∽△BOA，再利用相似三角形的性质得出答案．
详解：∵在ABCD中，E为CD中点，
∴AB=CD=2DE，
又∵AB∥CD，
∴△AOB∽△EOD，
∴=（）2=4，
∴S△AOB=4S△DOE=48cm2．
故选：C．
点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，得出△DOE∽△BOA是解题关键．
7．B
【解析】
【分析】
根据相似三角形周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方计算．
【详解】
∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴△ABC与△DEF的相似比为3，
∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，
∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，
故选B．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．
8．C
【解析】
【分析】
先证明△AEF∽△BDF，从而,设DB=DE=AB=AC=y，BC=BE=AE=x，由△CBE∽△CAB，得BC2=CE·CA，代入x和y ，即可求出的值，从而可求出结论.
【详解】
∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
∵BC=BE，
∴∠C=∠BEC=72°，
∴∠EBC=36°，
∴∠ABE=∠A=36°，
∴AE=BE，
∴BC=BE=AE.
∵∠DBE=72°，
∴∠ABD=∠A=36°，
∴BD∥AE，
∴△AEF∽△BDF，
∴，
设DB=DE=AB=AC=y，BC=BE=AE=x，
∵∠C=∠C，∠CBE=∠A，
∴△CBE∽△CAB，
∴BC2=CE·CA，
∴x2=（y﹣x）y，
∴x2+xy﹣y2=0，
∴x=y，或x=y，
∴=，
∴=（）2=.
故选：C．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质与判定，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键.
9．36
【解析】分析：
根据相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方进行解答即可.
详解：
设较大三角形的面积为x，则由题意可得：
，解得：.
故答案为：36.
点睛：熟记：相似三角形的性质：“相似三角形的面积比等于相似比的平方”是解答本题的关键.
10．
【解析】∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∵在△AOB和△DOC中，，∴△AOB∽△COD，∴=（）2=，∵S△AOB=2，∴S△COD=．
故答案为．
点睛：若两个三角形相似，则这两个三角形的面积比等于相似比的平方．
11．4：1．
【解析】试题分析：相似三角形对应边上的高、对应角的平分线、对应边上的中线之比，都等于相似比．所以△ABC与△DEF对应边上的高之比等于它们的相似比4：1．故答案为：4：1．
考点：相似三角形的性质．
12．2：537.5
【解析】
【分析】
根据相似三角形的性质及已知求得相似比，再由相似三角形周长的比等于相似比，即可求得△A′B′C′的周长．
【详解】
∵△ABC∽△A′B′C′
∴相似比是6：15=2：5
∵△ABC的周长是15
∴△A′B′C′的周长是37.5．
故答案为：2：5； 37.5.
【点睛】
本题考查了相似三角形周长的比等于相似比的性质．
13．4：9
【解析】分析：由△ABC与△DEF相似且对应边上的高之比为2：3，可求得△ABC与△DEF相似比，即可求得△ABC与△DEF的面积之比．
详解：∵△ABC∽△DEF，BC边上的高与EF边上的高之比为2：3，
∴△ABC与△DEF相似比为2：3，
∴△ABC与△DEF的面积之比为4：9．
故答案为：4：9．
点睛：本题考查对相似三角形性质．注意相似三角形面积的比等于相似比的平方与相似三角形对应高的比等于相似比．
14．8
【解析】
【分析】
连接AE，设△BDE的面积为a，△EFC的面积为b，根据等底的两三角形面积之比等于对应的边之比得出△ADE的面积为2a，△AEF的面积为2b，求出2a+2b=24，△ABC的面积为a+b+24，根据相似的性质得出
得到 求出方程组即可.
【详解】
解：连接AE，设△BDE的面积为a，△EFC的面积为b，
的长度是的3倍，
∴△ADE的面积为2a，△AEF的面积为2b，
∵四边形ADEF的面积是24，
即2a+2b=24，
∴△ABC的面积为a+b+24，
即
所以
解得：a=4，b=8，
所以△EFC的面积是8，
故答案为：8．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质和判定和三角形的面积，能灵活运用等底的两三角形面积之比等于对应的边之比得出三角形的面积是解此的关键．
15．或
【解析】
【分析】
分△ABF∽△FCD和△ABF∽△DCF两种情况，根据相似三角形的性质解答即可．
【详解】
当△ABF∽△FCD时，
，即，
解得，CF=8；
当△ABF∽△DCF时，
，即，
解得，CF=2，
故答案为：2或8．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用．
16．．
【解析】
【分析】
先求出的相似比，根据面积比等于相似比的平方即可求出.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
解得．
【点睛】
考查相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
17．见解析
【解析】分析：利用平行四边形的性质：对角相等和对边平行证明∠A=∠C和∠ADF=∠E，进而证明△ADF∽△CED，再利用相似的性质：对应边的比值相等可得比例式，再把相等的线段代换即可．
详解：
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，∠A=∠C，AD∥BC， ∴∠ADF=∠E， ∴△ADF∽△CED， ∴AD：AF=EC：DC， 又∵AB=CD， ∴AD：AF=CE：AB．
点睛：考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ADF∽△CED得到AD：AF=EC：DC，再运用等量代换得出结论．
18．，；A，．
【解析】
【分析】
利用三角形相似的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论即可求得AD、AE的长．
【详解】
当时，相似比为，
，
即：，
解得：，；
当时，
，
即：，
解得：，．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是分两种情况讨论．
19．（1）证明见解析；（2）10.
【解析】试题分析：（1）由AD//BC可得∠ADB=∠DBC，又因为∠A=∠BDC，所以可以证明△ABD∽△DCB；（2）由（1）得： ，将已知线段长度代入即可求出BD.
试题解析：
解：（1）∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
又∵∠A=∠BDC，
∴ △ABD∽△DCB；
（2）由（1）得△ABD∽△DCB，
∴，
即 ，
∴BD=10.
点睛：（1）判定两个三角形相似，优先找两组角相等条件.
20．⑴与△ABC相似，理由见解析；⑵与DF相等，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据相似三角形的判定即可求出答案；
（2）由相似三角形的性质即可知道AB＝2FD，由于AB＝AD，所以AD＝2FD，从而可知DF＝AF.
【详解】
（1）∵DE是BC垂直平分线，
∴BE＝CE，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵AB＝AD，
∴∠ABC＝∠ADB，
∴△FDB∽△ABC；
（2）∵△FDB∽△ABC，
∴＝，
∴AB＝2FD，
∵AB＝AD，
∴AD＝2FD，
∴DF＝AF．
【点睛】
本题考查相似三角形的性质，涉及相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质等知识，综合程度较高．
21．（1）证明见解析（2）8
【解析】
【分析】
(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可判定.(2)根据相似三角形的性质面积比等于相似比的平方,得到AD=2PC,设PC=x,则AD=2x,在RT△ADP中利用勾股定理即可解决问题.
【详解】
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO，∠APO=∠B，
∴∠APO=90°，
∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC，
∵∠D=∠C，∠APD=∠POC，
∴△OCP∽△PDA．
（2）解：∵△OCP与△PDA的面积比为1：4，
∴==，
∴DA=2CP．设PC=x，则AD=2x，PD=10﹣x，AP=AB=10，
在Rt△PDA中，∵∠D=90°，PD 2+AD2=AP2，
∴（10﹣x）2+（2x）2=102，
解得：x=4，
∴AD=2x=8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、翻折变换及勾股定理的知识，解题的关键是会用方程的思想来解决问题.