课件47张PPT。第二章圆锥曲线与方程我们知道，用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆．如果用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当截面与圆锥的轴夹角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线、双曲线．我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线．实际上，我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也是如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上．如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行．
学习目标
1．曲线与方程
结合已学过的曲线及其方程的实例，了解曲线与方程的对应关系，进一步感受数形结合的基本思想．
2．圆锥曲线
(1)了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．
(2)经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质．
(3)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道双曲线的有关性质．
(4)能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题(直线与圆锥曲线的位置关系)和实际问题．
(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．
本章重点
曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质；双曲线的定义、标准方程、几何性质；抛物线的定义、标准方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系．
本章难点
曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质的综合应用；直线与圆锥曲线的位置关系．
2．1 曲线与方程自主预习学案在我们的日常生活中，许多物体都呈现出多种多样的曲线，你所熟悉的曲线有哪些？你知道它们有怎样的特性吗？
曲线的方程与方程的曲线的定义
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．
(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么，这个方程叫做______________，这条曲线叫做______________．曲线的方程 方程的曲线 1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，则点M(4，－1) ( )
A．不在圆C上，但在直线l上
B．在圆C上，但不在直线l上
C．既在圆C上，也在直线l上
D．既不在圆C上，也不在直线l上
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是 ( )
A．圆 B．两条直线
C．一个点 D．两个点C C
3．已知直线：y＝kx－k＋1与曲线C：x2＋2y2＝m有公共点，则m的取值范围是 ( )
A．m≥3 B．m≤3
C．m>3 D．m<3
4．已知点O(0,0)，A(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则点P的轨迹方程是__________________________________.A 8x2＋2x＋8y2－4y－5＝0 互动探究学案命题方向1 ?曲线与方程的概念 如果曲线l上的点的坐标满足方程F(x，y)＝0，则以下说法正确的是 ( )
A．曲线l的方程是F(x，y)＝0
B．方程F(x，y)＝0的曲线是l
C．坐标不满足方程F(x，y)＝0的点不在曲线l上
D．坐标满足方程F(x，y)＝0的点在曲线l上
[思路分析] 从“曲线的方程”和“方程的曲线”两方面判断．典例 1C [规范解答] 直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线l上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)＝0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)＝0，则M点不在曲线l上”，故选C．
特值法：作如图所示的曲线l，考查l与方程F(x，y)＝x2－1＝0的关系，显然A、B、D中的说法全不正确．∴选C．
『规律总结』 说明曲线C是方程F(x，y)＝0的曲线，方程F(x，y)＝0是曲线C的方程时，必须严格考察纯粹性和完备性，即“多一点不行，少一点不可”．
〔跟踪练习1〕
说明过点A(2,0)平行于y轴的直线l与方程|x|＝2之间的关系．
[解析] 过点A(2,0)平行于y轴的直线l是x＝2，而|x|＝2是直线x＝2和x＝－2，直线l上点的坐标都是方程|x|＝2的解，但以方程|x|＝2的解为坐标的点不都在直线l上．
因此，方程|x|＝2不是直线l的方程．
l是方程|x|＝2的曲线的一部分．
命题方向2 ?方程的曲线 方程x(x2＋y2－1)＝0和x2＋(x2＋y2－1)2＝0所表示的图形是 ( )
A．前后两者都是一条直线和一个圆
B．前后两者都是两点
C．前者是一条直线和一个圆，后者是两点
D．前者是两点，后者是一条直线和一个圆
典例 2C
命题方向3 ?求曲线的方程 已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程.
[思路分析] 关键是寻找Q点满足的几何条件，可以考虑圆的几何性质，如CQ⊥OP，还可考虑Q是OP的中点．典例 3『规律总结』 1.求曲线的方程时，若题设条件中无坐标系，则需要先建立坐标系，建系时，尽量取已知的相互垂直的直线为坐标轴，或利用图形的对称性选轴，或使尽可能多的点落在轴上；求曲线的方程与求轨迹是有区别的，若是求轨迹，则不仅要求出方程，而且还要说明和讨论所求轨迹是什么样的图形，即说出图形的形状、位置等．
2．判断点P是否在曲线C上，只需将点P的坐标代入C的方程，若成立，则P在C上，否则P不在C上．(1)曲线的方程探求中，在给出的条件中刻画条件关系时，常用其他部分的知识来表达．如数列、集合、函数、平面向量等．
(2)平面向量既有数的特点又有形的特点，因而它与解析几何的联系尤为密切．如平行关系可用向量共线关系来表示，垂直关系可用向量垂直的关系来表示．
(3)解答此类问题时，只要充分运用诸如向量的数量积、数列等相关概念即可求得．曲线方程与其他数学知识的交汇问题[规范解答] 本题考查向量数量积与数列知识的综合应用．典例 4『规律总结』 求解此类平面向量、曲线方程、数列等多知识点交汇的问题的思路是：先转化，即利用平面向量的坐标表示，去掉平面向量的“外衣”；再应用数列的相关公式与性质，转化为关于x，y的关系式；最后下结论．典例 5[辨析] 消元过程中，由于两边平方，扩大了变量y的允许值范围，故应对x，y加以限制．1．“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”是“曲线C的方程是f(x，y)＝0”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 根据曲线方程的概念“曲线C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲线C上的点的坐标都是这个方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解为坐标的点都在曲线C上”两层含义．B
2．方程4x2－y2＋6x－3y＝0表示的图形是 ( )
A．直线2x－y＝0
B．直线2x＋y＋3＝0
C．直线2x－y＝0或直线2x＋y＋3＝0
D．直线2x＋y＝0和直线2x－y＋3＝0
[解析] ∵4x2－y2＋6x－3y＝(2x＋y)(2x－y)＋3(2x－y)＝(2x－y)(2x＋y＋3)，
∴原方程表示两条直线2x－y＝0和2x＋y＋3＝0．
C D D 0或－1 课件41张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.1 椭圆及其标准方程自主预习学案椭圆是一种美丽的曲线，它具有形状美和科学美．“神舟”六号载人飞船进入预定轨道绕地球飞行，其运行的轨道就是以地球中心为一个焦点的椭圆，本节我们将学习椭圆的定义及椭圆的方程，这样我们能算出“神舟”六号绕地飞行的轨迹方程．1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1、F2的距离的______等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，__________间的距离叫做椭圆的焦距．当常数等于|F1F2|时轨迹为________________，当常数小于|F1F2|时，轨迹__________．
2．椭圆的标准方程
当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为_____________________；当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为_______________________．和 焦点 两焦点 线段|F1F2| 不存在 1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是 ( )
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
[解析] ∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，
由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．A [解析] ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴选A．A [解析] 由椭圆定义知，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，
∴|PF2|＝10－|PF1|＝10－6＝4．4 [解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝1或4－m＝1，
∴m＝5或m＝3，故选C．C (0，±12) 互动探究学案命题方向1 ?椭圆的定义典例 1A 『规律总结』 1.对椭圆定义的三点说明
(1)椭圆是在平面内定义的，所以“平面内”这一条件不能忽视．
(2)定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量．
(3)常数(2a)必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件．
2．椭圆定义的两个应用
(1)若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，则动点M的轨迹是椭圆．
(2)若点M在椭圆上，则|MF1|＋|MF2|＝2a.〔跟踪练习1〕
已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一定点B(3,0)，圆P过B且与圆A内切，求圆心P的轨迹方程．
命题方向2 ?椭圆的标准方程典例 2
命题方向3 ?椭圆的焦点三角形[解析] 由椭圆的定义，有|PF1|＋|PF2|＝2a，而在△F1PF2中，由余弦定理得，
典例 3
椭圆的其他方程形式 [思路分析] 将椭圆的方程化为标准方程，运用题设中给出的条件求解．
典例 4『导师点睛』 由椭圆的标准方程可以确定焦点坐标，或求参数的值(或取值范围)，在求解这类问题时，必须先确定焦点位置，从而可得a2，b2的值．当焦点不确定时，应注意分类讨论，分别求值．另外，应注意当a2＝b2时，方程表示圆，应排除这种情况． △ABC的三边a、b、c(a>b>c)成等差数列，A、C两点的坐标分别是(－1,0)、(1,0)，求顶点B的轨迹.
典例 5[辨析] 错误的原因是忽略了题设中的条件a>b>c，使变量x的范围扩大，从而导致错误．另外一处错误是当点B在x轴上时，A、B、C三点不能构成三角形．
『规律总结』 要认真审题，弄清已知条件，注意是否存在隐含条件，不能扩大或缩小变量x或y的取值范围．B A C 16 课件46张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质第1课时 椭圆的简单几何性质自主预习学案“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现，你知道椭圆有什么样的性质吗？
F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a x轴、y轴和原点 (±a,0)，(0，±b) (0，±a)，(±b,0) 2a 2b
3．椭圆性质分类
根据曲线的方程，研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形，是解析几何的基本问题之一．本节就是根据椭圆的标准方程来研究它的几何性质．其性质可分为两类：一类是与坐标系无关的本身固有性质，如____________、________、__________；一类是与坐标系有关的性质，如________、________．
长短轴长 焦距 离心率 顶点 焦点 D B A A 互动探究学案命题方向1 ?椭圆的主要几何量 求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标.
典例 1
命题方向2 ?利用椭圆的几何性质求标准方程典例 2『规律总结』 1.已知椭圆的几何性质，求其标准方程主要采用待定系数法，解题步骤为：(1)确定焦点所在的位置，以确定椭圆标准方程的形式；(2)确立关于a、b、c的方程(组)，求出参数a、b、c；(3)写出标准方程．
2．注意事项：当椭圆的焦点位置不确定时，通常要分类讨论，分别设出标准方程求解，可确定类型的量有焦点、顶点；而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离心率、焦距．C 命题方向3 ?求椭圆的离心率 F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PF1⊥PQ且|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率.
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①已知椭圆上两点与焦点连线的几何关系．②求椭圆的离心率．解答本题的关键是把已知条件化为a、b、c之间的关系．典例 3
D 命题方向4 ?与椭圆相关的应用问题 有一个椭圆形溜冰场，长轴长100 m，短轴长60 m，现要在这个溜冰场上划定一个各顶点都在溜冰场边界上的矩形区域，且使这个区域的面积最大，应把这个矩形的顶点定位在何处？这时矩形的周长是多少？典例 3
A 典例 5椭圆中的最值问题
典例 6[辨析] 上述解法没有讨论焦点的位置，而默认了椭圆的焦点在x轴上．
D C C (±3,0)，(0，±4) 课件57张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.2 椭圆2.2.2 椭圆的简单几何性质第2课时 直线与椭圆的位置关系自主预习学案1．设椭圆的两焦点F1、F2，已知点P在椭圆上时，|PF1|＋|PF2|＝2a，那么点P在椭圆外时，设直线PF1交椭圆于Q，则|PF1|＋|PF2|与|QF1|＋|QF2|的大小关系如何？
2．直线与椭圆的位置关系，可否像讨论直线与圆的位置关系那样，将直线与椭圆的方程联立组成方程组，通过方程组的解的个数来讨论？> ＝ < |x1－x2| |y1－y2| [解析] 由椭圆过点(2,2)，且焦点在x轴上，排除A、B、D，选C．C D A 互动探究学案命题方向1 ?直线与椭圆的位置关系 已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求直线被椭圆截得的弦最长时直线的方程．
[思路分析] 求m的取值范围，从方程角度看，需将问题转化为关于x的一元二次方程解的判断，而求弦最长时的直线方程，就是将弦长表示成关于m的函数，求出当弦长最大时的m值，从而确定直线方程．典例 1
〔跟踪练习1〕
当m取何值时，直线l：y＝x＋m与椭圆9x2＋16y2＝144.(1)无公共点；(2)有且仅有一个公共点；(3)有两个公共点．命题方向2 ?中点弦问题[思路分析] 本题涉及弦的中点，属于中点弦问题，采用点差法求解较简便．
典例 2
2x＋4y－3＝0 命题方向3 ?椭圆中的最值问题典例 3
解决与椭圆有关的定值、定点问题常利用设而不求的思想，将相关各量设出，然后利用椭圆的几何性质将所求值或点表示出来，最后说明要求解的量与变量的取值无关即可．解决此类问题时，偶尔需要先根据题意观察定值、定点，这类特殊位置一般在中点处取得．定点定值问题典例 4『导师点睛』
本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等知识．『导师点睛』
本题主要考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系等知识．典例 5[辨析] 由已知得出方程，设Q(x，y)，求圆心A(0,2)到点Q的距离，|AQ|的距离加上圆半径即为|PQ|的最大值，可求得|PQ|的函数关系式转化为二次函数关系式．
D C B D 课件54张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.1 双曲线及其标准方程自主预习学案通过前面的学习，我们已经知道，平面内与两个定点距离之和为常数的点的轨迹是椭圆．如果我们把上述椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹还存在吗？如果存在，点的轨迹又是什么呢？它的方程又是怎样的呢？1．双曲线的定义
(1)在平面内到两个定点F1、F2距离之______的绝对值等于定值2a(大于0且小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点之间的距离叫做双曲线的________．
(2)定义中为何强调“绝对值”和“0<2a<|F1F2|”．
①在双曲线的定义中，条件0<2a<|F1F2|不应忽视，若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是____________；若2a>|F1F2|，则动点的轨迹是__________．
②双曲线定义中应注意关键词“__________”，若去掉定义中“__________”三个字，动点轨迹只能是________________．差 焦点 焦距 两条射线 不存在 绝对值 绝对值 双曲线的一支
2．双曲线方程
焦点在x轴上的双曲线的标准方程为________________________________，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为________________________________．
其中在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为______________．
a2＋b2＝c2 3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
1．已知两定点F1(－3,0)、F2(3,0)，在满足下列条件的平面内动点P的轨迹中，是双曲线的是 ( )
A．||PF1|－|PF2||＝5 B．||PF1|－|PF2||＝6
C．||PF1|－|PF2||＝7 D．||PF1|－|PF2||＝0
[解析] A中，∵|F1F2|＝6，∴||PF1|－|PF2||＝5<|F1F2|，故动点P的轨迹是双曲线；B中，∵||PF1|－|PF2||＝6＝|F1F2|，∴动点P的轨迹是以F1或F2为端点的射线(含端点)；C中，∵||PF1|－|PF2||＝7>|F1F2|，∴动点P的轨迹不存在；D中，∵||PF1|－|PF2||＝0，即|PF1|＝|PF2|，根据线段垂直平分线的性质，动点P的轨迹是线段F1F2的垂直平分线，故选A．A 2．已知F1(3,3)，F2(－3,3)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝4，则P点的轨迹是 ( )
A．双曲线 B．双曲线的一支
C．不存在 D．一条射线
B D 4．已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为_________________.5．P是双曲线x2－y2＝16的左支上一点，F1，F2分别是左、右焦点，则|PF1|－|PF2|＝________.
－8 互动探究学案命题方向1 ?双曲线的定义 已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程.
[思路分析] 利用两圆内、外切的充要条件找出M点所满足的几何条件，结合双曲线定义求解．
典例 1『规律总结』 1.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．
2．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．
3．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解．
〔跟踪练习1〕
已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．
[解析] 设动圆圆心M(x，y)，动圆M与C1，C2的切点分别为A，B，则
|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|，
又∵|MA|＝|MB|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2典例 2A A 命题方向2 ?待定系数法求双曲线的标准方程典例 3
命题方向3 ?双曲线的实际应用 相距2 000 m的两个哨所A、B，听到远处传来的炮弹爆炸声．已知当时的声速是330 m/s，在A哨所听到爆炸声的时间比在B哨所听到时间迟4 s，试判断爆炸点在什么样的曲线上，并求出曲线的方程.
典例 3『规律总结』 解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤．〔跟踪练习4〕
(2017·安徽师大附中高二期末)A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此经过4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，则炮击的方向角是______(南、北)偏______(东、西)________度．
北 东 30 [解析] 如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则
命题方向4 ?焦点三角形问题典例 5
双曲线的其他形式典例 6C 已知双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点为(0,3)，求k的值.
典例 7C D D 课件48张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质第1课时 双曲线的简单几何性质自主预习学案凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性．
1．双曲线的简单几何性质F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) |F1F2|＝2c x≤－a x≥a y≤－a y≥a 坐标轴 原点 A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) A1A2 2a B1B2 2b a b (1，＋∞)
2.等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线，标准方程为______________.
x2－y2＝a2 A A D A 互动探究学案命题方向1 ?已知双曲线的方程，研究其几何性质 求双曲线9y2－4x2＝－36的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图.
[思路分析] 将双曲线方程化成标准方程，求出a、b、c的值，然后依据各几何量的定义作答．
典例 1作草图如图：
『规律总结』 1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．
2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a、2b为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．命题方向2 ?由双曲线的性质求双曲线的方程典例 2
命题方向3 ?求双曲线的离心率(或范围)典例 3
D 命题方向4 ?最值问题典例 4双曲线离心率取值范围问题典例 5B
典例 6A B C 课件51张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.3 双曲线2.3.2 双曲线的简单几何性质第2课时 直线与双曲线的位置关系自主预习学案
平行 一点 两个 相交 一个 相切 没有 相离 |x1－x2| B [解析] 直线与渐近线平行，
∴有一个交点．A
3．等轴双曲线x2－y2＝a2与直线y＝ax(a>0)没有公共点，则a的取值范围是 ( )
A．a＝1 B．0
C．a>1 D．a≥1
[解析] 等轴双曲线x2－y2＝a2的渐近线方程为y＝±x，若直线y＝ax(a>0)与等轴双曲线x2－y2＝a2没有公共点，则a≥1．
D 4．(2017·福州八县一中高二期末)直线l与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，若点P(4,1)为线段AB的中点，则直线l的方程是__________________.
x－y－3＝0 5．已知AB为过双曲线C的一个焦点F且垂直于实轴的弦，且|AB|为双曲线C的实轴长的2倍，则双曲线C的离心率为_________.互动探究学案命题方向1 ?直线与双曲线的位置关系 已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，在下列条件下，求实数k的取值范围.
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点；
(3)直线l与双曲线没有公共点．
[思路分析] 要研究直线与双曲线的交点个数，通常需联立直线与双曲线方程组成方程组，对方程解的个数进行讨论．典例 1『规律总结』 1.直线与双曲线位置关系的判断方法：
(1)方程思想的应用
判断已知直线与双曲线的位置关系，将直线与双曲线方程联立，消去y(或x)．则二次项系数为0时，直线与双曲线的渐近线平行(或重合)，直线与双曲线只有一个公共点(或无公共点)；二次项系数不等于0时，若Δ>0则直线与双曲线有两个公共点，Δ＝0有一个公共点，Δ<0无公共点．(2)数形结合思想的应用
①直线过定点时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系确定其位置关系．
②直线斜率一定时，通过平行移动直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系．
2．求直线与双曲线相交弦长，一般将两方程联立，消元化为一元二次方程，结合根与系数的关系求解．C 命题方向2 ?弦长及中点弦问题[思路分析] 不妨假定符合题意的弦存在，那么弦的两个端点应分别在双曲线的左右两支上，其所在直线的倾斜角不可能是90°．典例 2『规律总结』 中点弦问题：(一)可以将联立方程组消元后，用判别式和中点坐标公式求解；(二)可以用点差法和中点坐标公式求解．〔跟踪练习2〕
过点P(8,1)的直线与双曲线x2－4y2＝4相交于A、B两点，且P是线段AB的中点，则直线AB的方程为______________________．2x－y－15＝0 (2017·安徽黄山高二检测)已知双曲线3x2－y2＝3，直线l过右焦点F2，且倾斜角为45°，与双曲线交于A，B两点，试问A，B两点是否位于双曲线的同一支上？并求弦AB的长.
典例 3
提醒：若直线方程涉及斜率，要注意讨论斜率不存在的情况．〔跟踪练习3〕
直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
求线段AB的长．双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．
(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．
(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．与双曲线有关的综合问题典例 4『导师点睛』 已知直线与双曲线的位置关系求参数的值或取值范围时，(一)联立方程消元后用判别式、根与系数关系求解；(二)数形结合求解，注意平行于双曲线渐近线的直线与双曲线只有一个公共点．典例 5[辨析] 错因在于忽视了4－k2＝0，即l与双曲线的渐近线平行时，l与双曲线只有一个交点也符合题意．另外没有考虑直线l斜率不存在的情况．
B D B 3 课件42张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.1 抛物线及其标准方程自主预习学案
1．抛物线定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(定点不在定直线上)____________的点的轨迹叫做抛物线，__________叫做抛物线的焦点，____________叫做抛物线的准线．
2．抛物线的标准方程的几种形式
同一条抛物线在坐标平面内的位置不同，方程也不同，顶点在原点，以坐标轴为对称轴的抛物线有四种形式．请依据这四种抛物线的图形写出标准方程、焦点坐标及准线方程
距离相等 定点F 定直线l y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
3 ．焦半径
过抛物线焦点的直线与抛物线相交，被抛物线所截得的线段，称为抛物线的__________．
4．通径
通过抛物线的焦点作垂直于坐标轴的直线交抛物线于A、B两点，线段AB称为抛物线的通径，通径|AB|的长等于________．焦点弦 2p D D A 4．抛物线y2＝4x上的点P到焦点的距离是5，则P点坐标是_____________.
(4，±4) 5．若点P在抛物线y2＝4x上，点A(5,3)，F为抛物线的焦点，则|PA|＋|PF|的最小值为______.
[解析] 如图，抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，焦点F(1,0)，过点A作AA′⊥l，A′为垂足，AA′与抛物线的交点P，|PF|＝|PA′|，∴|PF|＋|PA|的最小值为|AA′|＝6．6 互动探究学案命题方向1 ?求抛物线的焦点及准线 设抛物线的方程为y＝ax2(a≠0)，求抛物线的焦点坐标与准线方程.
典例 1『规律总结』 求抛物线的焦点及准线方程的步骤：
(1)把抛物线解析式化为标准方程形式；
(2)明确抛物线开口方向；
(3)求出抛物线标准方程中参数p的值；
(4)写出抛物线的焦点坐标或准线方程．〔跟踪练习1〕
已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为 ( )
A．(－1,0) B．(1,0)
C．(0，－1) D．(0,1)B 命题方向2 ?求抛物线的标准方程 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：
(1)过点(－1,2)；
(2)焦点在直线x－2y－4＝0上．
[思路分析] 从方程形式看，求抛物线的标准方程仅需确定一个待定系数p，因此只需一个条件即可．
典例 2『规律总结』 求抛物线标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定焦参数p．
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件，确定焦参数p.当焦点位置不确定时，应分类讨论或设抛物线方程为y2＝mx或x2＝my．
已知焦点坐标或准线方程可确定抛物线标准方程的形式；已知抛物线过某点不能确定抛物线标准方程的形式，需根据四种抛物线的图象及开口方向确定．〔跟踪练习2〕
根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程为y＝－1；
(2)焦点在x轴的正半轴上，焦点到准线的距离是2．
命题方向3 ?抛物线定义的应用 已知抛物线的顶点在原点，焦点在x轴的正半轴上，抛物线上的点M(3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值.
[思路分析] 解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点M在抛物线上和点M到焦点的距离等于5，列出关于m、p的方程组求解；其二利用抛物线的定义，得点M到准线的距离为5，直接得p的关系式，求出p值．
典例 3『规律总结』 利用抛物线的定义可以将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，这一相互转化关系会给解题带来方便．要注意灵活运用定义解题．〔跟踪练习3〕
(1)已知抛物线y2＝4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离|MF|＝4，则点M的横坐标x＝______；
(2)斜率为1的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，则线段AB的长为______．
[解析] (1)抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线为x＝－1．
根据抛物线的定义，点M到准线的距离为4，
则点M的横坐标为3．3 8
(2)如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1．
由题设，直线AB的方程为：y＝x－1．
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－6x＋1＝0．
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，
|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，
即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝6＋2＝8．
(1)在实际应用问题中，有很多问题与抛物线有关．①抛物线在建筑工程中很有用途，如拱桥就是抛物线形．②探照灯或手电筒的反射镜的轴截面也是抛物线的一部分．此外，还有宇宙中的星体轨道等．
(2)要解决这些实际问题中有关的计算，我们可以利用坐标法，建立抛物线方程，利用抛物线的标准方程进行推理、运算．抛物线的实际应用[思路分析] 图(2)是图(1)中位于直线O′P右边的部分，故O′B为水池的半径，以抛物线的顶点为原点，对称轴为y轴建立平面直角坐标系，则易得P点坐标，再由P在抛物线上求出抛物线方程，再由B点纵坐标求出B点的横坐标即可获解．典例 4图(1)图(2)『导师点睛』 抛物线的实际应用问题，关键是建立坐标系，将题目中的已知条件转化为抛物线上点的坐标，从而求得抛物线方程，再把待求问题转化为抛物线的几何量讨论．〔跟踪练习4〕
河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m，高2 m，载货后船露出水面上的部分高0.75 m，则水面上涨到与抛物线形拱桥顶相距多少米时，小船开始不能通航？
[思路分析] 建立平面直角坐标系得出抛物线方程，借助抛物线方程分析求解．
[解析] 如图所示，以拱桥的拱顶为原点，
以过拱顶且平行于水面的直线为x轴，建立平面直角坐标系． 设抛物线y2＝mx的准线与直线x＝1的距离为3，求抛物线的方程.
典例 5[辨析] 题目条件中未给出m的符号，当m>0或m<0时，抛物线的准线是不同，错解考虑问题欠周到．
C 2．(安徽屯溪一中2017－2018学年高二期中)焦点在x轴，且焦点到准线的距离为2的抛物线方程为 ( )
A．y2＝2x B．y2＝4x
C．y2＝±2x D．y2＝±4x
[解析] 根据焦点到准线的距离为2，可得p＝2,2p＝4，结合抛物线焦点所在轴以及开口方向，即可求得抛物线的方程为y2＝±4x，选D．
D [解析] 由a2＝6，b2＝2，可得c2＝a2－b2＝4，
所以椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线y2＝2px的焦点(2,0)，所以p＝4.故选C．C 4．(2016·浙江高考)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离为______.
5．(2017·天津文，12)设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A．若∠FAC＝120°，则圆的方程为______________________________.
9 课件37张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质第1课时 抛物线的简单几何性质自主预习学案大家都比较熟悉抛物线，二次函数的图象就是抛物线，但你知道抛物线与椭圆、双曲线有哪些相似的性质吗？
x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 x y O(0,0) (0,0) (0,0) (0,0) 1 2p 相切 p －p2 C B 3．过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为 ( )
A．8 B．16
C．32 D．61
[解析] 由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y＝x－2．
代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0．
∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16．
B B y2＝24x或y2＝－24x 互动探究学案命题方向1 ?抛物线的对称性 正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长.
典例 1
B 命题方向2 ?抛物线焦点弦的性质 斜率为2的直线经过抛物线y2＝4x的焦点，与抛物线相交于两点A、B，求线段AB的长.
[规范解答] 如图，由抛物线的标准方程可知，焦点F(1,0)，准线方程x＝－1．
典例 2
由题设，直线AB的方程为：y＝2x－2．
代入抛物线方程y2＝4x，整理得：x2－3x＋1＝0．
设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由抛物线定义可知，|AF|等于点A到准线x＝－1的距离|AA′|，
即|AF|＝|AA′|＝x1＋1，同理|BF|＝x2＋1，
∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝3＋2＝5．
『规律总结』 解决抛物线的焦点弦问题时，要注意抛物线定义在其中的应用，通过定义将焦点弦长度转化为端点的坐标问题，从而可借助根与系数的关系进行求解．〔跟踪练习2〕
过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|的值为 ( )
A．6 B．8
C．9 D．10
[解析] 由题意，p＝2，故抛物线的准线方程是x＝－1，∵抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，
∴|AB|＝x1＋x2＋2，又x1＋x2＝6，∴|AB|＝x1＋x2＋2＝8.故选B．
B 求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点距离的最值、求抛物线上一点到定直线距离的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，用目标函数最值的求法解决．
最值问题 典例 3『导师点睛』 在求最值时注意抛物线定义的应用．C 顶点在原点，焦点在x轴上且通径长为6的抛物线的标准方程为______.
[错解] 由题意知，抛物线的焦点在x轴上，
故可设其方程为y2＝2px(p>0)，
又因为通径长为6，故2p＝6，
故方程为y2＝6x．
典例 4
[辨析] 错解中只考虑了焦点在x轴的正半轴上的情况，而忽略了焦点也可能在x轴的负半轴上的情况，故出现漏解．
[正解] 由题意，抛物线的焦点在x轴上，
故设方程为y2＝2px(p≠0)
∵通径长为6
∴|2p|＝6，∴p＝±3.∴抛物线方程y2＝±6x．1．若动点M(x，y)到点F(4,0)的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是 ( )
A．x＋4＝0 B．x－4＝0
C．y2＝8x D．y2＝16x
[解析] 依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，
∴其方程为y2＝16x，故答案是D．D A
3．(2017·内蒙古乌兰察布市集宁一中高二期末)抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于__________.
[解析] 抛物线y2＝x中2p＝1，∴p＝0.5，∴抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于0.5．
0.5 4．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则|AB|的值为________.
10 课件47张PPT。第二章圆锥曲线与方程2.4 抛物线2.4.2 抛物线的简单几何性质第2课时 直线与抛物线的位置关系自主预习学案
提示：手电筒内，在小灯泡的后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，这种曲面叫抛物面，抛物线有一条重要性质，从焦点发出的光线，经过抛物面上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴射出，手电筒就是利用这个原理设计的．直线与抛物线的位置关系
直线与抛物线公共点的个数可以有____________________．
将直线方程与抛物线方程联立，消元后得到一元二次方程，若Δ＝0，则直线与抛物线________，若Δ>0，则直线与抛物线________，若Δ<0，则直线与抛物线______________.特别地，当直线与抛物线的轴平行时，直线与抛物线有______个公共点．0个、1个或2个 相切 相交 没有公共点 一 1．在抛物线y2＝8x中，以(1，－1)为中点的弦所在直线的方程是 ( )
A．x－4y－3＝0 B．x＋4y＋3＝0
C．4x＋y－3＝0 D．4x＋y＋3＝0
C 2．过抛物线焦点F的直线与抛物线相交于A、B两点，若点A、B在抛物线准线上的射影分别为A1，B1，则∠A1FB1为 ( )
A．45° B．60°
C．90° D．120°
C C 4．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A、B两点．若AB中点为(2,2)，则直线l的方程为__________.
y＝x 2 互动探究学案命题方向1 ?直线与抛物线的位置关系 已知抛物线C：y2＝－2x，过点P(1,1)的直线l斜率为k，当k取何值时，l与C有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？
[思路分析] 直线与抛物线公共点的个数，就是直线方程与抛物线方程联立方程组解的个数，由判别式可讨论之．
典例 1『规律总结』 直线与抛物线交点个数的判断方法
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，
①若a≠0，
当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．
②若a＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．〔跟踪练习1〕
已知点A(0,2)和抛物线C：y2＝6x，求过点A且与抛物线C有且仅有一个公共点的直线l的方程．
命题方向2 ?与抛物线有关的中点弦问题 已知A、B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分.
(1)求抛物线E的方程．
(2)求直线AB的方程．
典例 2
命题方向3 ?抛物线性质的综合应用典例 2
(1)具备定义背景的最值问题，可用定义转化为几何问题来处理．
(2)最值问题常用方法是由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解，如利用二次函数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性等，亦可用均值不等式求解．与抛物线有关的最值问题的再探究典例 4『导师点睛』
常见题型及处理方法：
(1)求抛物线上一点到定直线的最小距离．可以利用点到直线的距离公式表示出所求的距离，再利用函数求最值的方法求解，亦可转化为抛物线的切线与定直线平行时两直线间的距离问题．
(2)求抛物线上一点到定点的最值问题．可以利用两点间的距离公式表示出所求距离，再利用函数求最值的方法求解，要注意抛物线上点的设法及变量的取值范围．
(0,0) 求过点P(0,1)且与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线方程.
典例 5[辨析] 本题造成错解的原因有两个：一是遗漏了直线不存在斜率的情况，只考虑了斜率存在的直线；二是方程组消元后的方程认定为二次方程，事实上，当二次项系数为零的一次方程的解也符合题意．
1．直线y＝kx－2交抛物线y2＝8x于A、B两点，若AB中点的横坐标为2，则k＝ ( )
A．2或－2 B．－1
C．2 D．3
C C
3．(2017·临沂高二检测)直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝__________.
4．(2017·广州高二检测)在抛物线y＝4x2上求一点，使该点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点的坐标是______________.
0或1 课件62张PPT。第二章圆锥曲线与方程章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合1．椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质专 题 突 破椭圆、双曲线、抛物线是三种重要的圆锥曲线，其上动点M分别满足以下条件：(1)椭圆：|MF1|＋|MF2|＝2a(2a>|F1F2|)，其中F1、F2为定点；(2)双曲线：||MF1|－|MF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，其中F1、F2为定点；(3)抛物线：|MF|＝d(d为M到定直线l的距离，F为l外一定点)．凡涉及圆锥曲线上点与焦点的距离问题，一般从定义入手．
专题一 ?圆锥曲线定义的应用典例 1A 高考往往在选择题或填空题中结合圆锥曲线的几何性质求圆锥曲线方程，在解答题中根据给出的条件建立圆锥曲线的方程，圆锥曲线的标准方程是高考中解析几何的必考内容．
典例 2B y2＝8x
专题三 ?圆锥曲线的几何性质典例 3A B 高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线，试题中一般都有直线参与，这使得解析几何试题具有广泛的命题背景，当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了如直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离)，直线与曲线交汇产生的一些几何量的范围和最值，动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题，这些热点问题都是高考所重视的．专题四 ?直线与圆锥曲线的关系典例 4 (2017·全国Ⅲ理，20)已知抛物线C：y2＝2x，过点(2,0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.
(1)证明：坐标原点O在圆M上；
(2)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程．
典例 5专题五 ?与圆锥曲线有关的最值和范围问题典例 6求一般的动点的轨迹方程要根据动点满足的条件选择合理的方法(如待定系数法、代入法、参数法等)，在动点满足一个几何表达式时，一般采用直接把动点坐标代入几何表达式，得到关于动点坐标的代数方程，化简整理这个方程的方法求解(直接法)，要注意变换过程的同解性、特殊的点以及动点的变化范围等，使求得的方程恰好是满足几何条件的动点的轨迹方程．
典例 7典例 8D C C A 5．已知当抛物线型拱桥的顶点距水面2 m时，量得水面宽8 m，当水面升高1 m后，水面宽度是________m.
