课件67张PPT。第三章空间向量与立体几何学习目标
1．空间向量及其运算
(1)了解空间向量的概念、空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．
(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．
(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
2．空间向量的应用
(1)理解直线的方向向量与平面的法向量．
(2)能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．
(3)能用向量方法证明有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)．
(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用．
本章重点
空间向量的基本概念和基本运算；以空间向量为工具判断或证明立体几何中的位置关系；求空间角和空间的距离．
本章难点
用空间向量表示点、直线、平面的位置；用空间向量的运算表示空间直线与平面间的平行、垂直关系以及夹角的大小等；用空间向量解决立体几何问题.
3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算
3.1.2 空间向量的数乘运算自主预习学案1987年11月台湾开放台胞来大陆探亲，开始时要从香港绕道，比如从台北到上海的路径是：台北→香港→上海.2008年7月开始两岸直航后，从台北到上海的路径是：台北→上海．如果把台北→香港的位移记为向量a，香港→上海的位移记为向量b，台北→上海的位移记为向量c，那么a＋b与c有怎样的关系呢？
1．空间向量
(1)定义：在空间，具有________和________的量叫做空间向量．
(2)长度或模：向量的________．
(3)表示方法：
①几何表示法：空间向量用____________表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量的起点是A，终点是B，也可记作：______，其模记为______或________．大小 方向 大小 有向线段 |a| 任意 0 0 1 相反 －a 相等 b＋a a＋(b＋c) 向量 相同 0 相反 |λ| 互相平行或重合 相同或相反 任意向量 平面 惟一 p＝xa＋yb 方向向量 [解析] 在同一条直线上的单位向量方向可能相同，也可能相反．D
2．下列命题中正确的是 ( )
A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线
B．向量a、b、c共面即它们所在的直线共面
C．零向量没有确定的方向
D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb
[解析] 由零向量定义知选C．而A中b＝0，则a与c不一定共线；D中要求b≠0；B中a，b，c所在的直线可能异面．
C D B 互动探究学案命题方向1 ?空间向量的有关概念 (1)给出下列命题：
①单位向量没有确定的方向；②空间向量是不能平行移动的；
③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；
④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等．
其中正确的是 ( )
A．①② B．②③
C．①③ D．①③④典例 1C 8 『规律总结』 处理向量概念问题需注意两点
①向量：判断与向量有关的命题时，要抓住向量的大小与方向，两者缺一不可．
②单位向量：方向虽然不一定相同，但长度一定为1.命题方向2 ?空间向量的加减运算典例 2『规律总结』 化简向量表达式主要是利用平行四边形法则或三角形法则进行化简，在化简过程中遇到减法时可灵活应用相反向量转化成加法，也可按减法法则进行运算，加减法之间可相互转化．C 命题方向3 ?空间向量的数乘运算典例 3
[思路分析] 由题目可以获取以下主要信息：
①ABCD是正方形，O为中心，PO⊥平面ABCD，Q为CD中点；
②用已知向量表示指定向量．
解答本题需先画图，利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等．求出x、y即可．
『规律总结』 1.用已知向量表示未知向量是一项重要的基本功，直接关系到本章学习的成败，应认真体会，并通过训练掌握向量线性运算法则和运算律．
2．空间向量的数乘运算定义，运算律与平面向量一致．命题方向4 ?共线向量典例 4
命题方向5 ?共面问题典例 5
〔跟踪练习5〕
如图，已知E、F、G、H分别为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点．用向量法证明E、F、G、H四点共面．(1)立体几何中的线线平行可转化为两向量的平行，即证明两向量具有数乘关系即可．证明线面平行、面面平行均可转化为证明线线平行，然后根据空间向量的共线定理进行证明．特别地，线面平行可转化为该直线法的方向向量能用平面内的两个不共线向量表示．
(2)在学习空间向量后，求解立体几何问题又增加了新的思路和方法．利用向量证明平行的关键是构造向量之间的线性关系．空间向量的线性运算在立体几何中的应用
(3)解题时，应结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式，就近表示所需向量，再对照条件，将不符合要求的向量用新形式表示，如此反复，直到所有向量都符合目标要求为止．
(4)利用向量证明线面平行有两种方法：一是利用共线向量定理，找出平面内的一个向量与直线上的向量共线；二是利用共面向量定理，找出平面内不共线的两个向量用来表示出直线上的向量．两种方法中注意说明直线不在平面内．
典例 6『导师点睛』
解答本题要注意向量共面与直线平行于平面的联系与区别，如果没有充分理解定义、定理的实质，本题容易漏掉MN不在平面CDE内而致错．
〔跟踪练习6〕
已知AB，CD是异面直线，CD?α，AB∥α，M，N分别是AC，BD的中点．求证MN∥α．
典例 7B D 相等 相反 b－a－c 课件58张PPT。第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.3 空间向量的数量积运算
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示自主预习学案没有规矩不成方圆，国家法律保障每个公民的权利不受侵害，校规可为每个学生创造一个良好的学习生活环境……可见，世间事物往往要遵循一定的规律和法则才能生存．初中我们学过实数的乘法运算及乘法中的一些运算律，那么向量的数量积该如何规定，向量的数量积又满足哪些运算律呢？1．向量a与b的夹角
已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则角____________叫做向量a与b的夹角，记作_______________．
通常规定0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉，
如果〈a，b〉＝__________，则称a与b互相垂直，记作a⊥b．∠AOB 〈a，b〉 90° 2．向量a，b的数量积
空间两个非零向量a、b，a·b＝_______________________
叫做向量a、b的数量积(或内积)．
同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质：
(1)a⊥b?____________；
(2)|a|2＝____________；
空间两个向量的数量积同样满足如下运算律：
(1)(λa)·b＝λ(a·b)；
(2)a·b＝b·a；(交换律)
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.(分配律)|a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0 a·a
3．三垂线定理
在平面内的一条直线，如果和这个平面的____________________垂直，那么它也和这条斜线垂直．
三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的________________，那么它也和__________________________垂直．
即与斜线垂直?与射影垂直．
一条斜线的射影 一条斜线垂直 这条斜线在平面内的射影 4．数量积的性质
设a，b都是非零向量，〈a，b〉＝θ，
①a∥b时，θ＝__________，θ＝______时，a与b同向；
θ＝______时，a与b反向．
②a⊥b?θ＝______?a·b＝0．
③θ为锐角时，a·b______0，但a·b>0时，θ可能为______；θ为钝角时，a·b______0，但a·b<0时，θ可能为______．
④|a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝______时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝______时，a·b＝－|a|·|b|．0或π 0 π > 0 < π 0 π a⊥(b－c) 0 ≠ xa＋yb＋zc a，b，c 基向量 不共面 不同 相同 e1，e2，e3 起点 xe1＋ye2＋ze3 x、y、z (x，y，z) 1．下列式子中正确的是 ( )
A．|a|·a＝a2 B．(a·b)2＝a2·b2
C．(a·b)c＝a(b·c) D．|a·b|≤|a||b|
[解析] |a|·a是与a共线的向量，a2是实数，故A不对；
(a·b)2＝|a|2·|b|2·cos2〈a，b〉≠a2·b2，故B错；
(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故C错．
|a·b|＝||a|·|b|·cos〈a，b〉|≤|a|·|b|．
D A [解析] 由空间基底的概念知，构成基底的三个基向量一定不共面，因此必定不共线，都是非零向量，∴A错，D错，B正确；△ABC为直角三角形时不一定角A为直角，故C错．B (2,3，－4) (－1,2，－5) 互动探究学案命题方向1 ?向量的数量积的概念与运算典例 1『规律总结』 1.空间向量运算的两种方法
(1)利用定义：利用a·b＝|a||b|cos〈a，b〉并结合运算律进行计算．
(2)利用图形：计算两个向量的数量积，可先将各向量移到同一顶点，利用图形寻找夹角，再代入数量积公式进行运算．
2．在几何体中求空间向量数量积的步骤
(1)首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式．
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积．
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．B 命题方向2 ?利用数量积求夹角和模典例 2
〔跟踪练习2〕
如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角．
命题方向3 ?利用数量积解决垂直问题 已知三棱锥O－ABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC．M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC．
典例 3
典例 4
1．建立空间直角坐标系时，必须寻求三条两两垂直的直线．
2．空间向量坐标表示的方法与步骤：
(1)观图形：充分观察图形特征．
(2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系．
(3)用运算：综合利用向量的加减及数乘运算．
(4)定结果：将所求向量用已知的基底向量表示出来确定坐标．空间向量的坐标表示典例 5
在四面体OABC中，各棱长都相等，E、F分别为AB、OC的中点，求异面直线OE与BF所夹角的余弦值.
典例 6A A A 课件38张PPT。第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.5 空间向量运算的坐标表示自主预习学案向量的坐标表示为我们展示了一幅美丽的画卷，那么将向量坐标化之后，向量的线性运算、数量积运算及向量平行、垂直、向量的模、夹角的坐标表示是不是更简化了？1．空间向量运算的坐标表示
设{i，j，k}为单位正交基底，即i＝(1,0,0)，j＝(0,1,0)，k＝(0,0,1)，在此基底下，a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，即a＝a1i＋a2j＋a3k，b＝b1i＋b2j＋b3k，根据向量线性运数与数量积运算的定义及运算律，可得出a±b，λa，a·b，a⊥b，a∥b，|a|及cos〈a，b〉的坐标表示．
(1)空间向量的线性运算及数量积的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①a＋b＝______________________________；
②a－b＝______________________________；
③λa＝__________________________________；
④a·b＝____________________．
(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) (a1－b1，a2－b2，a3－b3) (λa1，λa2，λa3)(λ∈R) a1b1＋a2b2＋a3b3 (x2－x1，y2－y1，z2－z1) 1．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则下列结论正确的是 ( )
A．a＋b＝(10，－5，－6) B．a－b＝(2，－1，－6)
C．a·b＝10 D．|a|＝6D B 3．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)空间直角坐标系中，点P(1,2,3)关于平面xOz对称的点的坐标为 ( )
A．(－1,2,3) B．(1，－2,3)
C．(1,2，－3) D．(－1，－2，－3)
[解析] 点P(1,2,3)关于平面xOz对称的点的坐标为(1，－2,3)，选B．
B －2 π 互动探究学案命题方向1 ?向量运算的坐标表示 已知a＝(2，－1,3)、b＝(0，－1,2)，求：
(1)a＋b；
(2)2a－3b；
(3)a·b;
(4)(a＋b)·(a－b)．
典例 1
[规范解答] (1)a＋b＝(2，－1,3)＋(0，－1,2)
＝(2＋0，－1－1,3＋2)＝(2，－2,5)．
(2)2a－3b＝(4，－2,6)－(0，－3,6)＝(4,1,0)．
(3)a·b＝(2，－1,3)·(0，－1,2)
＝2×0＋(－1)×(－1)＋3×2＝7．
(4)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝4＋1＋9－0－1－4＝9．
『规律总结』 空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键．这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具．〔跟踪练习1〕
已知向量a＝(2，－3,1)、b＝(2,0,3)、c＝(0,0,2)，则：
(1)a·(b＋c)＝______；
(2)(a＋2b)·(a－2b)＝__________．
9 －38 命题方向2 ?向量平行与垂直的坐标表示 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1、BD上的点，且3B1P＝D1P，BD＝4DQ，求证：PQ⊥AE.
典例 2『规律总结』 向量平行与垂直的坐标表示是重要知识点，应熟练掌握．含参数的向量平行，应用比例式求参数值时，要注意其前提条件．〔跟踪练习2〕
设a＝(1,5，－1)、b＝(－2,3,5)，若(ka＋b)∥(a－3b)，则k＝________．
[思路分析] 由向量线性运算的坐标表示可求出ka＋b，a－3b，再由向量共线的坐标表示可求出k．1．求点的坐标时，一定要注意向量的起点是否在原点，在原点时，向量的坐标与终点坐标相同，不在原点时，向量的坐标加上起点坐标才是终点坐标．
向量的夹角与长度2．运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计算的结果转化为几何结论；当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算，最后转化为相应几何结论．
3．已知两向量夹角为锐角或钝角，求参数取值范围时，要注意共线的情形．典例 3『导师点睛』
根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，应用数量积、夹角公式即可．典例 4B
[错解] 因为a与b的夹角为钝角，
所以a·b＝(3，－2，－3)·(－1，x－1,1)
＝3×(－1)＋(－2)·(x－1)＋(－3)×1<0
解得x>－2．
所以x的取值范围是(－2，＋∞)．
[辨析] 错误的根本原因是忽视了a·b<0包括了〈a，b〉＝180°的情况，实际上，a与b的夹角为钝角?a·b<0且〈a，b〉≠180°．
D B B 4．已知a＝(2，－3,0)、b＝(k,0,3)，
＝120°，则k＝________.
5．已知a＝(2，－1，3)、b＝(－1,4，－2)、c＝(7,7，λ)，若a、b、c共面，则实数λ＝______.9 课件47张PPT。第三章空间向量与立体几何3．2 立体几何中的向量方法第1课时 空间向量与平行关系自主预习学案任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的发明推动了工业革命；计算机的出现解决了复杂的运算问题，提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地球村的形成．向量作为一种工具，它的应用又体现了在哪些方面呢？1．用向量表示点的位置
(1)基点：在空间中，我们取____________作为基点．
(2)向量表示：空间中任意一点P的位置可以用__________来表示．
(3)点的位置向量：点P的位置向量为__________．
一定点O 2．用向量表示直线的位置
方向向量 位置 一点 方向向量a a∥b a＝kb，k∈R a⊥u a·u＝0 a1u1＋a2u2＋a3u3＝0 u∥v 1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是 ( )
A．(2,2,6) B．(－1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)
A
2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则 ( )
A．l∥α B．l?α
C．l⊥α D．l?α或l∥α
3．若平面α的法向量u＝(1,2，－1)，平面β的法向量v＝(－3，－6,3)，则α与β的关系为 ( )
A．α∥β B．α与β相交但不垂直
C．α⊥β D．以上均不正确
D A
4．给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的；②一个平面的所有法向量都是同向的；③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的；④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量．其中正确的说法是________.
5．已知平面α外一直线l的方向向量u＝(1,3，－4)，平面α的法向量n＝(2，－2，－1)，则l与α的位置关系为__________.③④ l∥α 互动探究学案命题方向1 ?求直线的方向向量，平面的法向量 如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量.
[思路分析] 先设出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．典例 1A C 命题方向2 ?利用空间向量证明线面平行 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD．
典例 2
命题方向3 ?利用空间向量证明面面平行 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．
求证：平面A1BD∥平面CD1B1.
[思路分析] 按照两平面平行的条件，要证明平面A1BD∥平面CD1B1，只需证明两个平面的法向量平行．典例 3『规律总结』 证明二面平行时，分别找(或求)出两个平面的法向量u、v，验证u∥v成立．〔跟踪练习3〕
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|DA|＝2，|DC|＝3，|DD1|＝4，M、N、E、F分别为棱A1D1、A1B1、D1C1、B1C1的中点．
求证：平面AMN∥平面EFBD．
有关空间中的平行关系是历年高考的必考内容，它包括线线平行、线面平行和面面平行．其中高考考查频率最高的是线面平行，偶尔也考查线线平行，几乎不考查面面平行，其基本做法是将这些关系转化到直线的方向向量与平面的法向量，通过向量的线性运算达到解题的目的．
用向量方法解决平行问题 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是C1C，B1C1的中点.
(1)求证：MN∥平面A1BD；
(2)求证：平面A1BD∥平面CB1D1．
典例 4『导师点睛』
用向量法解决线面平行，面面平行问题的关键是求平面的法向量．〔跟踪练习4〕
在长方体ABCD－A1B1C1D1中，点M在棱BB1上，且|BM|＝2|MB1|，点S在DD1上，且|SD1|＝2|SD|，点N，R分别为A1D1，BC的中点，求证：MN∥RS．
典例 5[正解] l∥α或l?α[解析] 只有①错误，其余都正确．C [解析] ∵b＝－2a，∴b∥a，∴α∥β或α与β重合．D
3．直线l1、l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)、b＝(－2，3,2)，则 ( )
A．l1∥l2 B．l1与l2相交，但不垂直
C．l1⊥l2 D．不能确定
[解析] ∵a·b＝0，∴a⊥b，∴l1⊥l2．C 4．设平面α的法向量为(1,3，－2)，平面β的法向量为(－2，－6，k)，若α∥β，则k＝______.
4 ②③ 课件50张PPT。第三章空间向量与立体几何3．2 立体几何中的向量方法第2课时 空间向量与垂直关系自主预习学案1．两向量垂直时，它们所在的直线垂直吗？
2．两平面的法向量垂直时，两平面垂直吗？
3．怎样用直线的方向向量和平面的法向量来描述线面垂直关系？空间垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，平面α，β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则a⊥b a·b＝0 a∥u a＝λu，λ∈R u⊥v 1．设直线l1，l2的方向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m等于 ( )
A．－2 B．2
C．6 D．10
[解析] l1⊥l2，则a⊥b，所以－6－4＋m＝0，∴m＝10，故选D．
D
2．若平面α，β垂直，则下面可以作为这两个平面的法向量的是 ( )
A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)
B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)
D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)A 3．若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0，－2)，则直线l与平面α的位置关系为 ( )
A．l与α斜交 B．l?α
C．l∥α D．l⊥α
[解析] 由题意得n＝－2a，∴n∥a，∵n是平面α的法向量，∴l⊥α，故选D．
D 4．已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，则x＝________.
[解析] α⊥β，则a⊥b，∴x－2＋6＝0，∴x＝－4．
5．已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量n＝(6，－3,6)，则点P(2,3,3)与平面α的位置关系是__________.
－4 P∈α 互动探究学案命题方向1 ?线线垂直 已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M、N分别是棱BB′与对角线CA′的中点.
求证：MN⊥BB′；MN⊥A′C．
典例 1『规律总结』 用向量方法证明直线l1与l2垂直，取l1、l2的方向向量e1、e2，则e1·e2＝0或cos〈e1，e2〉＝0．命题方向2 ?线面垂直 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为BB1、D1B1的中点.
求证：EF⊥平面B1AC．典例 2
利用空间向量证明面面垂直通常可以有两个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向量，证明两个法向量垂直，从而得到两个平面垂直．
面面垂直 典例 3『导师点睛』 1.证明平面α⊥平面β，求出平面α与β的法向量e1，e2，验证e1·e2＝0，或转化为证明线面垂直，用面面垂直的判定定理证明．
2.探索性、存在性问题：
(1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在．
(2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参数的值或取值范围． 在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BC＝CD，∠BCD＝90°，∠ADB＝30°，E、F分别是AC、AD的中点．判断平面BEF与平面ABC是否垂直.
典例 4B 2．如果直线l的方向向量是a＝(－2,0,1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面α的法向量是b＝(2,0,4)，那么 ( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l?α D．l与α斜交
[解析] ∵a·b＝－4＋4＝0，
∴a⊥b，又∵l?α，∴l∥α．
B D
4．直线l1与l2不重合，直线l1的方向向量v1＝(－1,1,2)，直线l2的方向向量为v2＝(2,0,1)，则直线l1与l2的位置关系是________.
[解析] ∵v1·v2＝－2＋0＋2＝0，∴v1⊥v2，∴l1⊥l2．
垂直 5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC．
课件82张PPT。第三章空间向量与立体几何3．2 立体几何中的向量方法第3课时 空间向量与空间角、距离自主预习学案
1．异面直线所成角
异面直线所成的角取值范围是______________，两向量夹角的取值范围是______________，设l1与l2是两异面直线，a、b分别为l1、l2的方向向量，l1、l2所成的角为θ，由向量夹角的定义及求法知〈a，b〉与θ________或________，
∴cosθ＝________．[0，π] 相等 互补 |cosθ| [0，π] 1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，异面直线AA1与BC1所成的角为 ( )
A．45° B．60°
C．90° D．135°
[解析] 如图，∵AA1∥BB1，
∴∠B1BC1即为异面直线AA1与BC1所成的角．
又∠B1BC1＝45°，故选A．
A C [解析] 解法一：如图，过点C作CE∥BD，且CE＝BD，连接AE、BE．
C 4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的二面角的余弦值为______.
5．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BC、CD的中点，则BD到平面EFD1B1的距离为______.
互动探究学案命题方向1 ?异面直线所成的角典例 1C (2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB上的动点，若异面直线AD1与EC所成角为60°，试确定此时动点E的位置.
D 命题方向2 ?线面角典例 2
(2)证明：由(1)知AD⊥PD．又因为BC∥AD，所以PD⊥BC．
又PD⊥PB，PB∩BC＝B，
所以PD⊥平面PBC．
(3)解：过点D作DF∥AB，交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角．
因为PD⊥平面PBC，
所以PF为DF在平面PBC上的射影，
所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角．
命题方向3 ?二面角 如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是平行四边形，∠ADC＝120°，AB＝2AD．
(1)求证：平面PAD⊥平面PBD；
(2)求二面角A－PB－C的余弦值．
典例 3
命题方向4 ?异面直线间的距离 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.典例 4
命题方向5 ?线面距典例 5〔跟踪练习5〕
已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E、F分别为AB、BC的中点．求
(1)点D到平面PEF的距离；
(2)直线AC到平面PEF的距离．
以“平行、垂直、距离和角”为背景的存在判断型问题是近年来高考数学命题创新的一个显著特点，它以较高的新颖性、开放性、探索性和创造性深受命题者的青睐，此类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形等)是否存在或某一结论是否成立．“存在”就是有，找出一个来；如果不存在，需要说明理由．这类问题常用“肯定顺推”，求解此类问题的难点在于：涉及的点具有运动性和不确定性．所以用传统的方法解决起来难度较大，若用空间向量方法来处理，通过待定系数法求解存在性问题，则思路简单、解法固定、操作方便．探索性、存在性问题 [思路分析] 建立空间直角坐标系，假设在线段AP上存在点M，巧妙地引入参数λ(即待定系数)，利用二面角A－MC－B为直二面角，把点M的探索问题转化为参数λ的确定，然后通过向量运算来求出λ的值，使探索问题迎刃而解．典例 6『导师点睛』
解决与平行、垂直有关的存在性问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若导出与条件或实际情况相矛盾的结果，则说明假设不成立，即不存在．如本例，把直二面角转化为这两个平面的法向量垂直，利用两法向量数量积为零，得参数λ的方程．即把与两平面垂直有关的存在性问题一转化为方程有无解问题． 正三角形ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E、F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A—DC—B(如图②)．在图②中求平面ABD与平面EFD所成二面角的余弦值.
典例 7[辨析] 错解错因一是不注意观察二面角是锐角还是钝角，以确定求出来的余弦值是正还是负，二是计算粗心．D 2．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°，则直线l与平面α所成的角等于 ( )
A．120° B．60°
C．30° D．以上均错
[解析] ∵l的方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，
∴它们所在直线的夹角为60°．
则直线l与平面α所成的角为90°－60°＝30°．
C C 4．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1旋转一周形成圆柱，如图，∠AOC＝120°，∠A1O1B1＝60°，其中B1与C在平面AA1O1O的同侧，则异面直线B1C与AA1所成角的大小是______.
30° 5．在正四棱锥S－ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角为__________.
①②③⑤ 课件68张PPT。第三章空间向量与立体几何章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合
4．线面位置关系
用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法如下．
(1)线线平行
证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量．
(2)线线垂直
证明两条直线垂直，只需证明两直线的方向向量垂直，则a⊥b?a·b＝0．
(3)线面平行
用向量证明线面平行的方法主要有
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；
②证明可在平面内找到一个向量与直线的方向向量是共线向量；
③利用共面向量定理，即证明可在平面内找到两不共线向量用直线的方向向量线性表示．
(4)线面垂直
用向量证明线面垂直的方法主要有
①证明直线的方向向量与平面的法向量平行；
②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题．
(5)面面平行
①证明两个平面的法向量平行(即是共线向量)；
②转化为线面平行、线线平行问题．
(6)面面垂直
①证明两个平面的法向量互相垂直；
②转化为线面垂直、线线垂直问题．专 题 突 破专题一 ?空间向量的基本概念和几何运算典例 1①②③⑤ 典例 2专题二 ?空间向量的坐标运算典例 3B A 空间中的平行与垂直关系，是高考的重点题型，有些问题中的线面平行与垂直关系，使用向量将几何证明与计算转化为纯代数运算，使问题得以简化．
专题三 ?利用空间向量解决平行与垂直问题典例 4专题四 ?利用空间向量求空间角典例 5典例 6(1)空间距离有两点距、点线距、点面距、线线距、线面距和面面距六种情况，高考中以两点距与点面距为重点考查，而线面距、面面距通常可转化为点面距求解．
(2)两点距一般利用向量模求解，即利用两点间距离公式，而点面距主要利用平面法向量求解，有时也利用等体积转化法求解．专题五 ?利用空间向量求空间距离典例 7 如图所示，在长方体OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，E是BC的中点．
(1)求直线AO1与B1E所成角的余弦值；
(2)作O1D⊥AC于D，求点O1到点D的距离．
典例 81．若平面α∥β，则下面可以是这两个平面法向量的是 ( )
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)
B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
[解析] ∵α∥β，∴平面α与β的法向量平行，又n2＝(－2，－2，－2)，n1＝(1,1,1)，n2＝－2n1，n1∥n2，故选D．
D 2．已知线段MN的两端点坐标为M(3，－2,2)、N(1,2,2)，则线段MN与坐标平面 ( )
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交A 3．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为 ( )
A．(0°，90°) B．90°
C．120° D．(60°，120°)
C D 5．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.
－3 6．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与C1B所成的角的大小为__________.
90° 7．(陕西汉中市汉台中学2017－2018学年联考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1 中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB＝3，BC＝5.
(1)求证：AA1⊥平面ABC；
(2)求二面角A1－BC1－B1的余弦值；
(3)求点C到平面A1BC1的距离．
[证明] (1)因为AA1C1C为正方形，所以AA1⊥AC．
因为平面ABC⊥平面AA1C1C，且平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
所以AA1⊥平面ABC．
