课件40张PPT。第一章常用逻辑用语日常生活中，我们经常涉及一些逻辑上的问题．无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要正确地运用逻辑用语表达自己的思维，需要对一些命题进行判断和推理．因此，正确地使用逻辑用语是现代社会公民应该具备的基本素质．本章我们将学习常用逻辑用语，体会逻辑用语在表述和论证中的作用．
学习目标
1．了解命题的概念，会判断命题的真假．
2．通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义．
3．通过数学实例，了解逻辑联结词“且”“或’“非”的含义．
4．能够正确地对含有一个量词的命题进行否定．
5．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．
6．了解命题的逆命题、否命题与逆否命题．会分析四种命题的相互关系．
本章重点
命题及其关系；充分条件、必要条件、充要条件的意义；逻辑联结词“或”“且”“非”的含义；全称量词与存在量词的应用．
本章难点
必要条件的含义；含有一个量词的全称命题和特称命题的否定．
1.1 命题及其关系1.1.1 命 题自主预习学案中国古代伟大的逻辑学家公孙龙提出过一个命题：白马非马．对于一般人来说，“白马是马”就如同说“苹果是水果”一样清楚明白，怎么可能“白马非马”呢？
孔子的六世孙孔穿，为了驳倒公孙龙的主张，找上门去辩论，结果公孙龙说：“如果白马是马，那么黑马也是马，因此就有白马是黑马，也就是说白等于黑．像你这样黑白不分，我不值得和你辩论．”孔穿几句话就败下阵来．公孙龙在这里正是运用了逻辑推理才将这个错误的命题“证明”了，它的破绽在哪里呢？命题及相关的概念
(1)定义：用____________________表达的，可以____________的陈述句．
(2)分类：
①真命题：判断为______的语句；
②假命题：判断为______的语句．
(3)形式：命题的结构形式是“______________”，其中______是命题的条件，______是命题的结论．语言、符号或式子 判断真假 真 假 若p，则q p q [解析] 由命题的定义知，语句①③能判断真假，所以是命题，故选C．C [解析] 两个锐角的和大于直角是一个假命题，A、B、C都不能判断真假．D A A 一个正整数 不是合数就是素数 互动探究学案命题方向1 ?命题概念的理解典例 1
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①给定一个语句，②判定其是否为命题并说明理由．解答本题要严格验证该语句是否符合命题的概念．
[规范解答] (1)祈使句，不是命题．
(2)x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0，它包括x2＋4x＋4>0，或x2＋4x＋4＝0，对于x∈R，可以判断真假，它是命题．
(3)是疑问句，不涉及真假，不是命题．
(4)是命题，人群中有的人喜欢苹果，也存在着不喜欢苹果的人．
『规律总结』 判定一个语句是否为命题，主要把握以下三点：
(1)是陈述句，反问句一般是命题，祈使句、疑问句、感叹句都不是命题．
(2)其结论可以判定真或假的是命题．含义模糊不清，不能辨其真假的语句，不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．命题方向2 ?命题真假的判断典例 2①③④⑤ ①④ 『规律总结』 判断命题真假的方法
(1)真命题的判定方法：
要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证．
(2)假命题的判定方法：
通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．①②④⑤ 命题方向3 ?命题的构成形式[思路分析] 本题所给的命题都不具备“若p，则q”的形式．解决这类题型既要找准命题的条件和结论，还要注意表述的完整性．典例 3
[规范解答] (1)原命题可以写成：若一个数是实数，则它的平方是非负数．这个命题是真命题．
(2)原命题可以写成：若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形．这个命题是假命题．
(3)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除．这个命题是真命题．
(4)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．这个命题是真命题．
『规律总结』 1.关于“若p，则q”型的命题
本章中我们讨论的命题都可写成“若p，则q”的形式．其中p为条件，q为结论，p和q本身也可为一个简单命题．
2．有些命题的条件和结论不是很明显，这时可以把它的表述作适当的改变写成“若p，则q”的形式．把命题改写为“若p则q”形式时，不要把大前提误为条件．
3．并非所有的命题都可写成“若p，则q”型，如“5>3”也是命题．命题的概念中有两个要点：①陈述句；②可以判断真假．利用这两点可借助于函数的奇偶性、单调性、对称关系来解决一些开放性问题．命题的真假与其他知识的综合应用[思路分析] 本题答案不唯一．空中可以依次填入x轴，－3－log2x(x>0)．
[规范解答] x轴 －3－log2x(x>0)典例 4x轴 －3－log2x(x>0) 『导师点睛』 解答此类题目，首先要审清题意，弄明白求什么，然后根据所学知识选择合适的答案．典例 5[错解] D
[辨析] (1)(2)对平面向量垂直、平行的条件把握不到位，尤其是特殊向量的情况．(4)中对空间几何体的三视图考虑的不全面．
[正解] 对于(1)中，当a，b中有一个为零向量时，a⊥b不成立，故(1)是假命题；对于(2)，当b＝0，a≠0时，a＝λb不成立，故(2)是假命题；(3)为真命题；对于(4)，几何体还可以是球，故(4)为假命题．故选A．
『规律总结』 在把命题的概念理解的情况下，还要把命题中涉及的背景知识熟练掌握．B [解析] 选项A、D为疑问句，选项C为不等式，只有选项B能判断真假，故选B．[解析] ②不能判断真假，①③④能判断真假，故选D．D [解析] |a|＝|b|，只是a与b的长度相等，方向不一定相同，故选B．B B [解析] 选项B中的命题不能判断真假，不是命题，所以B中说法正确，故选B．D [解析] 当圆柱横卧时，其俯视图为矩形，故选D．课件32张PPT。第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1．1.2 四种命题自主预习学案阿凡提之《金币与毛驴的故事》中，有一天，财主想要阿凡提的毛驴但又不想给金币，就对阿凡提说：“你给我毛驴，我就给你金币”．阿凡提回答到：“你给我金币，我就给你毛驴”。狡猾的财主说：“你不给我毛驴，我就不给你金币”，阿凡提想了想说：“你不给我金币，我就不给你毛驴”。想想故事的结局如何呢？1．互逆命题
一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的________和________，那么我们把这样的两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做__________，另一个命题叫做原命题的__________．
若原命题是“若p，则q”，则其逆命题为“______________”．
结论 条件 原命题 逆命题 若q，则p 2．互否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______________和______________．我们把这样的两个命题叫做互否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的__________．
若原命题为“若p，则q”，则其否命题为“__________________”．
3．互为逆否命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的______________和______________，我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题，如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个命题叫做原命题的____________．
若原命题为“若p，则q”，则其逆否命题为“__________________”．条件的否定 结论的否定 否命题 若?p，则?q 结论的否定 条件的否定 逆否命题 若?q，则?p [解析] 本题主要考查命题的四种形式．写逆否命题时，将原命题的题设和结论分别否定再交换．故选C．C 2．命题“两条对角线相等的四边形是矩形”是命题“矩形是两条对角线相等的四边形”的 ( )
A．逆命题 B．否命题
C．逆否命题 D．无关命题
3．命题“若a>3，则a>5”的逆命题是______________________.
[解析] 将原命题的条件改为结论，结论改为条件，即得原命题的逆命题．
A 若a>5，则a>3 C
5．命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是______________________.
[解析] 原命题的否命题既否定条件又否定结论，故命题“若x≥0，则x2≥0”的否命题是“若x<0，则x2<0”．
若x<0，则x2<0 互动探究学案命题方向1 ?四种命题的概念 写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题.
(1)正数的平方根不等于0；
(2)当x＝2时，x2＋x－6＝0；
(3)若a>b，则ac2>bc2．
[思路分析] 本题中第(1)(2)小题不是“若p，则q”的形式，首先应化为这种形式，再写其他命题，第(3)小题具备“若p，则q”的形式，可直接写其他三种命题．典例 1
[规范解答] (1)原命题：若a是正数，则a的平方根不等于0；
逆命题：若a的平方根不等于0，则a是正数；
否命题：若a不是正数，则a的平方根等于0；
逆否命题：若a的平方根等于0，则a不是正数；
(2)原命题：若x＝2，则x2＋x－6＝0；
逆命题：若x2＋x－6＝0，则x＝2．
否命题：若x≠2，则x2＋x－6≠0；
逆否命题：若x2＋x－6≠0，则x≠2．
(3)原命题：若a>b，则ac2>bc2；
逆命题：若ac2>bc2，则a>b；
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2；
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b．
『规律总结』 写出四种命题的方法
(1)交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；
(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题．〔跟踪练习1〕
写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题．
(1)若x2＋y2＝0，则x、y全为0；
(2)若a＋b是偶数，则a、b都是偶数．
[解析] (1)逆命题：若x、y全为0，则x2＋y2＝0；
否命题：若x2＋y2≠0，则x、y不全为0；
逆否命题：若x、y不全为0，则x2＋y2≠0．
(2)逆命题：若a、b都是偶数，则a＋b是偶数；
否命题：若a＋b不是偶数，则a、b不都是偶数；
逆否命题：若a、b不都是偶数，则a＋b不是偶数．命题方向2 ?四种命题真假的判断 判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假.
(1)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac<0，则该函数图象与x轴有交点．
[解析] (1)该命题为真．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真．典例 2
(2)该命题为假．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac<0，为假．
否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，函数图象与x轴无公共点，为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴无公共点，则b2－4ac≥0，为假．
『规律总结』 判断四种命题真假的方法
(1)要正确理解四种命题间的相互关系．
(2)正确利用相关知识进行判断推理．
(3)若由“p经逻辑推理得出q”，则命题“若p，则q”为真；确定“若p，则q”为假时，则只需举一个反例说明．〔跟踪练习2〕
写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断命题的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)相等的两个角的正弦值相等．
[解析] (1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．
否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．
(2)逆命题：若两个角的正弦值相等，则这两个角相等，假命题．
否命题：若两个角不相等，则这两个角的正弦值也不相等，假命题．
逆否命题：若两个角的正弦值不相等，则这两个角不相等，真命题． 给出下列两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙有且只有一个是真命题．
分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围．
[思路分析] 第(1)问可以利用集合的观点取甲、乙成立的并集，也可以求出问题的反面后，再写出其补集；第(2)问需要对甲、乙中哪一个为真进行分类讨论．典例 3由命题的真假求参数范围〔跟踪练习3〕
已知命题“若m－1
[1,2] 写出命题“已知a、b、c、d是实数，如果a＝b，c＝d，则a＋c＝b＋d”的逆命题、否命题，并判断它们的真假.
[错解] 逆命题：如果a＋c＝b＋d，则a、b、c、d是实数，且a＝b，c＝d.假命题．
否命题：如果a、b、c、d不是实数，a≠b，c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．典例 4
[辨析] 上述解法没有弄清命题的条件，将大前提“a、b、c、d是实数”充当了条件．
[正解] 逆命题：已知a、b、c、d是实数，如果a＋c＝b＋d，则a＝b，c＝d.假命题．
否命题：已知a、b、c、d是实数，如果a≠b，或c≠d，则a＋c≠b＋d.假命题．
1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是 ( )
A．若一个数是负数，则它的平方不是正数
B．若一个数的平方是正数，则它是负数
C．若一个数不是负数，则它的平方不是正数
D．若一个数的平方不是正数，则它不是负数B
2．命题“若A∪B＝A，则A∩B＝B”的否命题是 ( )
A．若A∪B≠A，则A∩B≠B B．若A∪B＝A，则A∩B≠B
C．若A∩B≠B，则A∪B≠A D．若A∪B≠A，则A∩B＝B
3．命题“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”的逆命题是 ( )
A．若xC．若x<2ab，则xA D 4．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)下列命题中正确的是 ( )
A．如果平面α⊥平面β，则α内任意一条直线必垂直于β
B．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l
C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l
[解析] 如果平面α⊥平面β，则α内一条直线不一定垂直于β；若直线l不平行于平面α，且直线l在平面α内，则α内有无数条直线平行于直线l；若直线l不垂直于平面α，且直线l在平面α内，则α内有无数条直线垂直于直线l；所以A，B，D都错；因为平面α内存在直线垂直于平面β，则有平面α垂直于平面β，所以其逆否命题也成立，即C正确，故选C．C
5．已知命题：“若m>2，则方程x2＋2x＋3m＝0无实根”，写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假.
[解析] 逆命题：“若方程x2＋2x＋3m＝0无实根，则m>2”，假命题．
否命题：“若m≤2，则方程x2＋2x＋3m＝0有实根”，假命题．
逆否命题：“若方程x2＋2x＋3m＝0有实根，则m≤2”，真命题．
课件35张PPT。第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.1.3 四种命题间的相互关系自主预习学案在商品大战中，广告成了一道美丽的风景线．几乎所有的广告商都熟悉这样的命题变换艺术：“拥有的人们都幸福，幸福的人们都拥有”．初听起来，是几句赞美语，然而它的实际效果可大哩！原来这句话，变成等价命题就是“不拥有的人们不幸福”．哪个家庭不希望幸福呢？掏钱买就是了．瞧！商家就通过这样巧妙的命题变换达到了目的．本节我们将学习命题的四种形式及其相互之间的关系．四种命题的真假关系
(1)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是____________．
(2)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性____________．
逆否命题 没有关系 (3)一般地，四种命题的真假性有且仅有下面四种情况：真 真 假 真 假 真 假 假 1．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是 ( )
A．若q不正确，则p不正确 B．若q不正确，则p正确
C．若p正确，则q不正确 D．若p正确，则q正确
[解析] 其等价命题为原命题的否命题，“若p正确，则q正确．”故选D．D 2．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析] 易知原命题正确，则其逆否命题也正确，原命题的逆命题“若a>－6，则a>－3”不正确，其否命题也不正确，故选B．B 3．设m∈R，命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题是 ( )
A．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m＞0
B．若方程x2＋x－m＝0有实根，则m≤0
C．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m＞0
D．若方程x2＋x－m＝0没有实根，则m≤0
[解析] 一个命题的逆否命题，要将原命题的条件、结论都加以否定，并且加以互换位置，故选D．
D 4．写出命题“若x∈A∪B，则x∈A或x∈B”的逆否命题为______________ ____________________.
5．命题“已知不共线向量e1、e2，若λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0”的等价命题为 已知不共线向量e1、e2，若λ，μ不全为0，则λe1＋μe2≠0 ，是______命题(填“真”或“假”).
[解析] 互为逆否的命题为等价命题，同真同假．若x?A且x?B， 则x?A∪B 真 互动探究学案命题方向1 ?四种命题间的相互关系 下列四个命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
②“若a>b，则a2>b2”的逆否命题；
③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；
④“对顶角相等”的逆命题．
其中真命题的个数是 ( )
A．0 B．1
C．2 D．3典例 1B
[思路分析] ①中命题的否命题为“若x＋y≠0，则x，y不互为相反数”，易知为真命题．
②中，当a＝2，b＝－3时，a2③中命题的否命题为“若x>－3，则x2－x－6≤0”．当x＝4>－3时，x2－x－6＝16－4－6＝10>0，故它的否命题为假命题．
④中命题的逆命题为“若两个角相等，则这两个角为对顶角”．易知为假命题．『规律总结』 1.命题的四种形式中，哪个是原命题是相对的，不是绝对的；
2．研究命题及其关系时，首先要将命题写成“若p，则q”形式，再依据相关概念作出判断．〔跟踪练习1〕
设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是 ( )
A．原命题为真，逆命题为假 B．原命题为假，逆命题为真
C．原命题与逆命题均为真命题 D．原命题与逆命题均为假命题
[解析] 因为原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆否命题为“若a、b都小于1，则a＋b<2”，显然为真，所以原命题为真；原命题“若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1”的逆命题为“若a、b中至少有一个不小于1，则a＋b≥2”，是假命题，反例为a＝1.2，b＝0.3，故选A．A 命题方向2 ?原命题与逆否命题的等价应用 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为空集，则a<2”的逆否命题的真假.
[思路分析] 判断这个命题的逆否命题的真假，可先写出它的逆否命题再判断，也可以利用互为逆否命题的等价性来判断．
典例 2
[规范解答] 解法一：原命题的逆否命题为：“已知a，x为实数，若a≥2，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集”．
判断真假如下：
抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2开口向上，判别式Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7，
∵a≥2，∴4a－7>0，即抛物线与x轴有交点．
∴关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集不是空集，故原命题的逆否命题为真．
命题的结论中涉及至少、至多、存在等词语的证明时，往往可以考虑反证法．反证法是从否定结论开始，把否定的结论作为条件，连同原有的条件进行逻辑推理，直到推出矛盾，从而肯定原命题的结论，达到证明目的．
反证法证明命题的真假 用反证法证明：钝角三角形最大边上的中线小于该边长的一半.
[思路分析] 依题意写出已知、求证，再用反证法，即否定结论，把假设和已知条件结合起来，推出矛盾．
典例 3
命题“若a，b都是奇数，则a＋b是偶数”的否命题是 ( )
A．若a，b都不是奇数，则a＋b是偶数
B．若a，b都是奇数，则a＋b不是偶数
C．若a，b都不是奇数，则a＋b不是偶数
D．若a，b不都是奇数，则a＋b不是偶数
[错解1] B典例 4
[辨析] 在写一个命题的否命题时，只对结论否定是不正确的．应该对条件和结论同时否定，即“若p，则q”的否命题为“若?p，则?q”．
[错解2] C
[辨析] “都是”的否定错误，a，b是否为奇数，包含四种情况，从而“都是”的否定应为“不都是”．
[正解] D
1．与命题“若x?A∩B，则x?A∪B”等价的命题是 ( )
A．若x∈A∩B，则x∈A∪B B．若x∈A∩B，则x?A∪B
C．若x?A∩B，则x∈A∪B D．若x∈A∪B，则x∈A∩B
[解析] 互为逆否的两个命题为等价命题．
D
2．若命题p的否命题为q，命题p的逆否命题为r，则q与r的关系是 ( )
A．互为逆命题 B．互为否命题
C．互为逆否命题 D．以上都不正确
[思路分析] 研究命题之间的关系，将命题写成“若p则q”形式，然后依据四种命题的定义解答．
[解析] 设p为“若A，则B”，那么q为“若?A，则?B”，r为“若?B，则?A”．由于q和r的条件和结论互换，故q和r互为逆命题．
A
3．下列说法正确的是 ( )
A．命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题是真命题
B．命题“若a＋是有理数，则a是无理数”的逆命题是真命题
C．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”为假命题
D．命题“若x＝y，则tanx＝tany”的逆否命题是假命题
[解析] 命题“若x2＝4，则x＝2”的否命题是“若x2≠4，则x≠2”是真命题．
A 4．(2017·济南二中测试)原命题“圆的内接四边形是等腰梯形”，则下列说法正确的是 ( )
A．原命题是真命题 B．逆命题是假命题
C．否命题是真命题 D．逆否命题是真命题
[解析] 原命题是假命题，所以逆否命题是假命题，逆命题“等腰梯形是圆的内接四边形”是真命题，所以否命题是真命题．故选C．
C
5．下列说法__________(填“正确”或“不正确”).
x2≠y2?x≠y或x≠－y．
[解析] “x2≠y2?x≠y或x≠－y”的逆否命题：“x＝y且x＝－y?x2＝y2，可以看出，x＝y且x＝－y?x2＝y2，但x2＝y2推不出x＝y且x＝－y，所以其逆否命题不正确．故原命题不正确，即x2≠y2?x≠y或x≠－y不正确．故填不正确．
不正确 课件31张PPT。第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.1 充分条件与必要条件自主预习学案现在的招聘一般由资格审查、笔试、面试三部分构成．如果你在招聘中已通过了资格审查和笔试，那么你是否一定能通过面试？是否一定能求职成功？充分条件与必要条件
? 充分 必要 不充分 不必要 1．下列命题中，真命题是 ( )
A．“x2>0”是“x>0”的充分条件
B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件
C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件
D．“|x|>1”是“x2不小于1”的必要条件
B 2．设x∈R，则x>2的一个必要条件是 ( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3
[解析] x>2?x>1，∴x>1是x>2的必要条件．A
3．“x＝3”是“x2＝9”的________条件(填“充分”或“必要”).
4．若向量v＝(x,2)(x∈R)，则“x＝1”是“|v|＝”的________条件(填“充分”或“必要”).
5．“ab>0”是“a>0，b>0”的________条件(填“充分”或“必要”).
充分 充分 必要 互动探究学案命题方向1 ?充分条件 已知p：2x＋m>0，q：x2－4x>0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是__________________.
典例 1(－∞，－8] 『规律总结』 1.判断p是q的充分条件，就是判断命题“若p，则q”为真命题．
2．p是q的充分条件说明：有了条件p成立，就一定能得出结论q成立．但条件p不成立时，结论q未必不成立．
例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．〔跟踪练习1〕
“a＋b>2c”的一个充分条件是 ( )
A．a>c或b>c B．a>c或bC．a>c且bc且b>c
D 命题方向2 ?必要条件 下列命题中是真命题的是 ( )
①“x>3”是“x>4”的必要条件；
②“x＝1”是“x2＝1”的必要条件；
③“函数f(x)的定义域关于坐标原点对称”是“函数f(x)为奇函数”的必要条件．
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
[思路分析] 根据必要条件的定义进行判断．典例 2B 『规律总结』 1.判断p是q的必要条件，就是判断命题“若q，则p”成立；
2．p是q的必要条件理解要点：
①有了条件p，结论q未必会成立，但是没有条件p，结论q一定不成立．
②如果p是q的充分条件，则q一定是p的必要条件．
真命题的条件是结论的充分条件；真命题的结论是条件的必要条件．假命题的条件不是结论的充分条件，但是有可能是必要条件．例如：命题“若p：x2＝4，则q：x＝－2”是假命题．p不是q的充分条件，但q?p成立，所以p是q的必要条件．
3．推出符号“?”
只有当命题“若p，则q”为真命题时，才能记作“p?q”．a＝1 1．一般地，根据命题间的等价关系，若“p?q且qp”等价于“?p??q且?p
?q”，
即“p是q的充分不必要条件”等价于“?p是?q的必要不充分条件”．
2．若不等式p，q对应的集合分别为P，Q，当P?Q时，p是q的充分条件，q是p的必要条件，这可以用“小范围推出大范围”帮助记忆：“小充分，大必要”．充分条件与必要条件的应用 已知条件p：x2－3x－4≤0；条件q：x2－6x＋9－m2≤0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是 ( )
A．[－1,1] B．[－4,4]
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞) D．(－∞，－4]∪[4，＋∞)
典例 3D 『导师点睛』 充分条件与必要条件的应用技巧：
(1)应用：可利用充分性与必要性进行相关问题的求解，特别是求参数的值或取值范围问题．
(2)求解步骤：先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解．〔跟踪练习3〕
已知P＝{x|a－4[－1,5] 典例 41．设x∈R，则x>2的一个充分条件是 ( )
A．x>1 B．x<1
C．x>3 D．x<3C
2．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的 ( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件的，也不是必要条件
D．无法判断
[解析] 由(a－1)(a－2)＝0得a＝1或a＝2，所以“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分条件，故选A．
A
3．设向量a＝(2，x－1)，b＝(x＋1,4)，则“x＝3”是“a∥b”的 ( )
A．充分条件
B．必要条件
C．既不是充分条件，又不是必要条件
D．无法判断
[解析] 由a∥b，得2×4－(x＋1)(x－1)＝0，
∴x＝±3，
∴“x＝3”是“a∥b”的充分条件，故选A．
A 4．从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：
(1)“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”是“ac<0”的____________．
(2)“△ABC≌△A′B′C′”是“△ABC∽△A′B′C′”的____________．必要条件 充分条件
5．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由.
[解析] p是q的充分条件．
因为p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R．
所以P?R，也就是p?q，
故p是q的充分条件．
课件45张PPT。第一章常用逻辑用语1.2 充分条件与必要条件1.2.2 充要条件自主预习学案曹操赤壁兵败之后欲投南郡，除华容道外，还有一条大路，前者路险，但近50里；后者路平，但远50里．曹操发现“小路山边有数处起烟，大路并无动静”．曹操推断“诸葛亮多谋，使人于山僻烧烟，他却伏兵于大路，我偏不中计！”哪知这正与诸葛亮的推断吻合：曹操熟读兵书，会搬用“虚则实之，实则虚之”的原理，不如来一个实而实之，以傻卖傻，故燃炊烟，最终使曹操败走华容道．曹操的错误在于把不可靠的臆测作为已知条件，经过推理，得到的结论当然是不可靠的．充要条件 p?q 既不充分也不必要条件 充分不必要 必要不充分
5．设与命题p对应的集合为A＝{x|p(x)}，与命题q对应的集合为B＝{x|q(x)}，
若A?B，则p是q的________条件，q是p的________条件；
若A＝B，则p是q的________条件．
若A?B，则p是q的______________条件．q是p的______________条件．
若A?B，则p不是q的________条件，q不是p的________条件．
6．p是q的充要条件是说，有了p成立，就__________q成立．p不成立时，__________q不成立．
充分 必要 充要 充分不必要 必要不充分 充分 必要 一定有 一定有 1．设a、b∈R，则“a＋b>2”是“a>1且b>1”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
B
2．设A、B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A?B”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由题意得，A∩B＝A?A?B，反之，A?B?A∩B＝A，故为充要条件，选C．
C
3．“x＝1”是“(x－1)(x－2)＝0”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件A 4．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＝0平行”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题主要考查充分必要条件．
若两直线平行，则a(a＋1)＝2，即a2＋a－2＝0，
∴a＝1或－2，故a＝1是两直线平行的充分不必要条件．
A
5．(2017·福建八县一中高二期末测试)若“x[解析] ∵x2－2x－3≥0，∴x≥3或x≤－1．
∵“x∴a≤－1．a≤－1 互动探究学案命题方向1 ?充要条件的判断 设x∈R，则“x>1”是“x3>1”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[规范解答] 由于函数y＝x3在R上是增函数，∴当x>1时，x3>1成立，反过来，当x3>1时，x>1也成立．
故“x>1”是“x3>1”的充要条件，故选C．典例 1C 『规律总结』 判断p是q的充分必要条件的两种思路
(1)命题角度：判断p是q的充分必要条件，主要是判断p?q及q?p这两个命题是否成立，若p?q成立，则p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；若q?p成立，则p是q的必要条件，同时q是p的充分条件；若二者都成立，则p与q互为充要条件．
(2)集合角度：关于充分条件、必要条件、充要条件，当不容易判断p?q及q?p的真假时，也可以从集合角度去判断，结合集合中“小集合?大集合”的关系来理解，这对解决与逻辑有关的问题是大有益处的．〔跟踪练习1〕
(1)设a、b是实数，则“a＋b>0”是“ab>0”的 ( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
[解析] 本题采用特殊值法：当a＝3，b＝－1时，a＋b>0，但ab<0，故不是充分条件；当a＝－3，b＝－1时，ab>0，但a＋b<0，故不是必要条件．所以“a＋b>0”是“ab>0”的既不充分也不必要条件，故选D．
D
(2)(2017·福建龙岩市高二期末)设x∈R，则“x>1”是“x2>1”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 因为“x>1”，则“x2>1”；但是“x2>1”不一定有“x>1”，所以“x>1”，是“x2>1”成立的充分不必要条件．故选A．
A 典例 2A 『规律方法』 1.如果条件p与结论q是否成立都与数集有关(例如方程、不等式的解集、参数的取值范围
等)，常利用集合法来分析条件的充分性与必要性，将充要条件的讨论转化为集合间的包含关系讨论，可借助数轴等工具进行．
2．用集合的关系判断充要条件时，关键抓住已知A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则A?B?p是q的充分条件，q是p的必要条件．A (2)(2017·北京理，6)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 方法1：由题意知|m|≠0，|n|≠0．
设m与n的夹角为θ．
若存在负数λ，使得m＝λn，则m与n反向共线，θ＝180°，
∴m·n＝|m||n|cos θ＝－|m||n|<0．
当90°<θ<180°时，m·n<0，此时不存在负数λ，使得m＝λn．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．
故选A．A 命题方向2 ?利用充分条件和必要条件确定参数的取值范围 设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a2＋a≤0，若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.
[思路分析] 此类题目首先要熟练应用函数、不等式、方程等知识求解相关范围，再利用充分条件和必要条件与集合间的关系求出参数的取值范围．
典例 3『规律总结』 充要条件中的含参数问题，往往是通过集合的包含关系解答．〔跟踪练习3〕
已知“命题p：(x－m)2>3(x－m)”是“命题q：x2＋3x－4<0”成立的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ( )
A．m>1或m<－7 B．m≥1或m≤－7
C．－7≤m≤1 D．－7[解析] 由题意知，命题p：x>m＋3或xm＋3或x(2)证明“充要条件”一般应分两个步骤，即分别证明“充分性”与“必要性”，但千万要注意“谁”是“谁”的充分条件，“谁”是“谁”的必要条件．尽管证明充要条件问题中，前者可以是后者的充分条件，也可以是必要条件，但还是不能把步骤颠倒了，一般地，证明“p成立的充要条件为q”时，在证充分性时应以q为“已知条件”，p是该步中要证明的“结论”，即q?p；证明必要性时则是以p为“已知条件”，q是该步中证明的“结论”，即p?q．〔跟踪练习4〕
求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0．(1)探求一个命题成立的充要条件一般有两种处理方法：①先由结论寻找使之成立的必要条件，再验证它也是使结论成立的充分条件，即保证充分性和必要性都成立．②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件．
(2)求一个命题的充要条件时，往往要从两个方面进行求解：一是充分性，二是必要性．充要条件的探求 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件.
[思路分析] 方程有两个实数根，则Δ≥0，两根均大于1，则相应二次函数图象的对称轴在x＝1的右侧，且x＝1时对应的函数值大于0，建立不等式组求解．
典例 5『导师点睛』 求解本题时容易出现以下错误：①把“有两个大于1的实数根”理解为“有两个大于1的不等实数根”，从而将Δ≥0错写为Δ>0；②只考虑判别式Δ≥0和f(1)>0，却忽略了对称轴所在的区间．a≤9 6≤a≤9 a、b为非零向量．“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
典例 6
[错解] C f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b＝x2·a·b＋x(b2－a2)－a·b．
充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴f(x)＝x(b2－a2)是一次函数．
必要性：∵f(x)是一次函数，
∴a·b＝0，
∴a⊥b.故选C．
[辨析] 错误的原因是：在f(x)＝x(b2－a2)中，忽视了|a|＝|b|，从形式上认为f(x)是一次函数．
[正解] B f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)
＝x2a·b＋xb2－xa2－a·b
＝x2a·b＋x(b2－a2)－a·b．
充分性：∵a⊥b，∴a·b＝0，
∴f(x)＝x(b2－a2)，
若|a|≠|b|，则f(x)是一次函数；若|a|＝|b|，
则f(x)是常数函数，∴充分性不成立．
必要性：∵f(x)是一次函数，
∴a·b＝0且b2－a2≠0，
∴a⊥b且|b|≠|a|，
∴必要性成立．
综上可知应选B．
1．若α∈R，则“α＝0”是“sin αA．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件A 2．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．即不充分也不必要条件
[解析] 异面直线一定不相交，不相交可以平行，所以“直线a，b不相交”是“直线a，b为异面直线”的必要不充分条件，故选B．
B
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
[解析] 当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2．A B
5．设a，b是向量，则“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的 ( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 取a＝－b≠0，则|a|＝|b|≠0，|a＋b|＝|0|＝0，|a－b|＝|2a|≠0，所以|a＋b|≠|a－b|，故由|a|＝|b|推不出|a＋b|＝|a－b|.由|a＋b|＝|a－b|，得|a＋b|2＝|a－b|2，整理得a·b＝0，所以a⊥b，不一定能得出|a|＝|b|，故由|a＋b|＝|a－b|推不出|a|＝|b|.故“|a|＝|b|”是“|a＋b|＝|a－b|”的既不充分也不必要条件．故选D．
D 课件35张PPT。第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词第1课时 “且”与“或”自主预习学案要在某居民楼一楼与二楼的楼梯间安一盏灯，一楼和二楼各有一个开关，使得任意一个开关都能独立控制这盏灯，你能运用“或”“且”的方法解决吗？
p∧q p且q p∨q p或q 真 真 假 真 假 真 假 假 1．“xy≠0”是指 ( )
A．x≠0且y≠0 B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0 D．不都是0
[解析] xy≠0当且仅当x≠0且y≠0．A 2．p：点P在直线y＝2x－3上；q：点P在曲线y＝－x2上，则使“p∧q”为真命题的一个点P(x，y)是 ( )
A．(0，－3) B．(1,2)
C．(1，－1) D．(－1,1)C 3．下列判断正确的是 ( )
A．命题p为真命题，命题“p或q”不一定是真命题
B．命题“p且q”是真命题时，命题p一定是真命题
C．命题“p且q”是假命题，命题p一定是假命题
D．命题p是假命题，命题“p且q”不一定是假命题
[解析] 因为p、q都为真命题时，“p且q”为真命题．
B 4．由下列各组命题构成的新命题“p或q”、“p且q”都为真命题的是 ( )
A．p：4＋4＝9，q：7>4
B．p：a∈{a，b，c}，q：{a}?{a，b，c}
C．p：15是质数，q：8是12的约数
D．p：2是偶数，q：2不是质数
[解析] “p或q”“p且q”都为真，则p真q真，故选B．
B 5．给出下列条件：
(1)“p成立，q不成立”；
(2)“p不成立，q成立”；
(3)“p与q都成立”；
(4)“p与q都不成立”．
其中能使“p或q”成立的条件是_______________(填序号)．
(1)(2)(3) 互动探究学案命题方向1 ?命题的构成形式 分别指出下列命题的构成形式.
(1)小李是老师，小赵也是老师；
(2)1是合数或质数；
(3)他是运动员兼教练员；
(4)这些文学作品不仅艺术上有缺点，而且政治上有错误．
典例 1
[规范解答] (1)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：小李是老师；q：小赵是老师．
(2)这个命题是“p或q”的形式，其中，p：1是合数；q：1是质数．
(3)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：他是运动员；q：他是教练员．
(4)这个命题是“p且q”的形式，其中，p：这些文学作品艺术上有缺点；q：这些文学作品政治上有错误．
『规律总结』 1.辨别复合命题的构成形式时，应根据组成复合命题的语句中所出现的逻辑联结词，或语句的意义确定复合命题的形式．
2．准确理解语义应注意抓住一些关键词．如“是…也是…”，“兼”，“不但…而且…”，“既…又…”，“要么…，要么…”，“不仅…还…”等．
3．要注意数学中和生活中一些特殊表达方式和特殊关系式．
如a≥3是a>3或a＝3；xy＝0是x＝0或y＝0；x2＋y2＝0是x＝0且y＝0．
4．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．〔跟踪练习1〕
指出下列命题的形式及构成它的简单命题：
(1)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(2)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[思路分析] 要根据语句所表过的含义及逻辑联结词的意义来进行分析和判断．
[解析] (1)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(2)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．命题方向2 ?判断含有逻辑联结词的命题的真假 分别指出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”形式的命题的真假.
(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；(2)p：2是奇数，q：2是合数；(3)p：4≥4，q：23不是偶数；(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是 {x|－2[思路分析] 先判断p、q的真假，再根据真值表判断“p∧q”“p∨q”形式命题的真假．
典例 2[规范解答] (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题．
(2)∵p是假命题，q是假命题，
∴p∨q是假命题，p∧q是假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是真命题．
(4)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题．『规律总结』 1.判断“p∧q”、“p∨q”形式复合命题真假的步骤：
第一步，确定复合命题的构成形式；
第二步，判断简单命题p、q的真假；
第三步，根据真值表作出判断．
注意：一真“或”为真，一假“且”为假．
2．不含逻辑联结词的复合命题，通过辨析命题中词语的含义和实际背景，弄清其构成形式．
3．当p∨q为真、p∧q为假时，p与q一真一假．
〔跟踪练习2〕
指出下列各命题的构成形式并判断命题的真假．
(1)等腰三角形的顶角平分线垂直平分底边；
(2)方程x2－3x－4＝0的根是4或－1．
[解析] (1)该命题是“p∧q”的形式．
其中p：等腰三角形顶角平分线垂直于底边；
q：等腰三角形顶角平分线平分底边．
因为p，q都是真命题，所以该命题是真命题．
(2)该命题是“p∨q”的形式．
其中p：方程x2－3x－4＝0的一个根是4，
q：方程x2－3x－4＝0的一个根是－1，
因为p、q都是真命题，所以该命题是真命题．解决此类问题的方法，一般是先化简p，q中的参数取值范围，然后用命题知识来判断p，q的真假，最后确定参数的取值范围．
根据含逻辑联结词的命题的真假求参数的取值范围 已知命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；命题q：函数f(x)＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围.
[解析] 设g(x)＝x2＋2ax＋4，由于关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立，所以函数g(x)的图象开口向上且与x轴没有交点，故Δ＝4a2－16<0．
所以－2典例 3『导师点睛』 命题“p或q”为真命题，意味着“p真”“q真”中至少有一个成立，“p且q”为假命题，意味着“p真”“q真”中至少有一个不成立，故p与q一真一假．解答本题的关键是理清“p或q”与“p且q”的含义，也考查了分类讨论思想的具体应用．〔跟踪练习3〕
已知c>0且c≠1，设命题p：指数函数y＝(2c－1)x是R上的增函数；命题q：不等式x＋(x－2c)2>2的解集为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数c的取值范围．
设命题p：函数y＝ax(a>0且a≠1)在R上单调递减，q：不等式：x＋|x－2a|>1的解集为R，若p∧q为假，p∨q为真，求实数a的取值范围.
典例 4[辨析] 命题p：函数y＝ax在R上单调递减时，00且a≠1，∴p为假时，a>1而不是a≤0或a≥1．
1．(2017·贵州六盘水调研)已知命题“正方形的对角线互相垂直平分”，则 ( )
A．该命题是假命题
B．该命题的条件是对角线互相垂直平分
C．该命题的逆否命题是假命题
D．该命题是“p∧q”形式的命题
[解析] 这是一个“p∧q”形式的真命题，条件是正方形，逆否命题也是真命题，所以A，B，C不正确，D正确，故选D．D 2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列结论中正确的是 ( )
A．“p∨q”为假 B．“p∨q”为真
C．“p∧q”为真 D．以上都不对
3．(2017·安徽蚌埠市高二期末)已知f(x)＝x2＋2x－m，如果f(1)>0是假命题，f(2)>0是真命题，则实数m的取值范围是______________.B [3,8) 课件34张PPT。第一章常用逻辑用语1.3 简单的逻辑联结词第2课时 “非”自主预习学案某公司在被查出违规建造豪华高尔夫球场时，负责人说“我们的场地没有球洞，不算高尔夫球场！”他说的有道理吗？
命题的否定
1．一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作________，读作________或____________．
含逻辑联结词的命题真假判断?p 非p p的否定 2．若p是真命题，则?p是______命题，若p是假命题，则?p是______命题．
含有逻辑联结词的命题的真假判断如表：
假 真 真 真 假 真 假 假 真 假 真 假 假 真 (?p)∨(?q) (?p)∧(?q) B D 3．已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(?q)；④(?p)∨q中，真命题是 ( )
A．①③ B．①④
C．②③ D．②④
[解析] 当x>y时，两边乘以－1可得－x<－y，所以命题p为真命题，当x＝1，y＝－2时，因为x2C
4．命题p：函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上是减函数，若?p是假命题，则a的取值范围是____________.
[解析] ∵?p是假命题，∴p是真命题，∴函数f(x)的对称轴x＝1－a应在区间(－∞，4]的右侧，∴1－a≥4，∴a≤－3．a≤－3 互动探究学案命题方向1 ?命题的否定 写出下列命题的否定形式.
(1)p：3是自然数；
(2)p：??{1,2}；
(3)p：李华是学生．
[规范解答] (1)?p：3不是自然数；
(2)?p：??{1,2}；
(3)?p：李华不是学生．典例 1『规律总结』 1.关于逻辑联结词“非”
(1)“非”的意义是由日常语言中的“不是”、“全盘否定”、“问题的反面”等抽象而来的，即与之相反的意思．
(2)从集合角度理解“非”即集合运算“补”
设命题p：x∈A(A?U)．
则?p?x?A?x∈(?UA)．
2．由命题p写?p时，只否定其结论．
3．常见词语及其否定形式
是→不是，相等→不相等，>→≤，<→≥，都是→不都是，都不是→至少有一个是．
〔跟踪练习1〕
写出下列命题的否定形式．
(1)p：y＝tanx是奇函数；
(2)p：0.5是整数；
(3)p：2,3都是8的约数．
[解析] (1)?p：y＝tanx不是奇函数．
(2)?p：0.5不是整数．
(3)?p：2,3不都是8的约数．
命题方向2 ?含逻辑联结词“非”的命题真假的判断 指出下列命题的真假：
(1)命题：“不等式|x＋2|≤0没有实数解”；
(2)命题：“A?(A∪B)”．
[思路分析] 由题目可获取以下主要信息：①给出了一组复合命题．②判断其真假．解答这类题目可利用复合命题的真值表来处理．
典例 2
[规范解答] (1)此命题是“?p”的形式，其中p：不等式|x＋2|≤0有实数解．因为x＝－2是该不等式的一个解，所以命题p为真命题，即非p为假命题，所以原命题为假命题．
(2)此命题为“?p”的形式，其中p：A?(A∪B)．因为p为真命题，所以“?p”为假命题，故原命题为假命题．
『规律总结』 1.判断含有逻辑联结词的复合命题真假的方法步骤为：
第一步，分析复合命题的结构，找到组成它的简单命题p和q．
第二步，利用数学知识，判定简单命题p和q的真与假．
第三步，利用真值表判定复合命题的真假．
2．否定性命题，可举反例判断其假．『规律总结』 判断?p的真假，一是利用p与?p的真假不同的性质，由p的真假判定?p的真假；二是利用所学知识直接判断?p的真假．命题方向3 ?命题的否定与否命题 写出下列各命题的否定及否命题，并判断它们的真假.
(1)若x，y都是奇数，则x＋y是偶数；
(2)若xy＝0，则x＝0或y＝0；
(3)若一个数是质数，则这个数一定是奇数．
[思路分析] 若原命题为“若A，则B”，则其否定为“若A，则?B”，条件不变，否定结论；其否命题为“若?A，则?B”，即要否定条件，又要否定结论．
典例 3
[规范解答] 命题的否定为：(1)若x，y都是奇数，则x＋y不是偶数．为假命题．
(2)若xy＝0，则x≠0或y≠0.为假命题．
(3)若一个数是质数，则这个数不一定是奇数．为真命题．
否命题为：(1)若x，y不都是奇数，则x＋y不是偶数．为假命题．
(2)若xy≠0，则x≠0且y≠0.为真命题．
(3)若一个数不是质数，则这个数不一定是奇数．为真命题．『规律总结』 (1)否命题是对原命题的条件与结论都作否定，否命题可同真同假，也可一真一假．(2)命题的否定仅仅对命题的结论作否定，任何一个命题与该命题的否定必定是一真一假(常用这一点来验证写出来的命题的否定是否正确)．〔跟踪练习3〕 写出下列各命题的否定形式及否命题.
(1)面积相等的三角形是全等三角形；
(2)若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b全为零．
[思路分析] 分清题设和条件，命题的否定只否定结论，而否命题既否定题设，又否定结论．
[解析] (1)否定形式：面积相等的三角形不都是全等三角形．
否命题：面积不相等的三角形不是全等三角形．
(2)否定形式：若m2＋n2＋a2＋b2＝0，则实数m、n、a、b不全为零．
否命题：若m2＋n2＋a2＋b2≠0，则实数m、n、a、b不全为零．
由复合命题的真假求参数的取值范围的解题思路：①此类题目一般会出现“p或q”为真，“p或q”为假，“p且q”为真，“p且q”为假等条件，解题时应先将这些条件转化为p，q的真假．p，q的真假有时是不确定的，需要讨论．但无论哪种情况，一般都是先假设p，q为真，求出参数的取值范围，当它们为假时取补集即可．②相关结论：使“p或q”为真的参数的取值范围为使命题p，q分别为真的参数的取值范围的并集；使“p且q”为真的参数的取值范围为使命题p，q分别为真的参数的取值范围的交集．
由复合命题的真假求参数的取值范围 (2017·福州八县一中期末改编)设命题p：?x∈R，x2－2x>a，其中a∈R，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.如果?p为真命题，“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围.
[思路分析] 求出两个命题是真命题时的a的范围，判断复合命题的真假，然后求解实数a的取值范围．
典例 4〔跟踪练习4〕已知命题p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的正实数根，命题q：方程4x2＋4(m＋2)x＋1＝0无实数根．若“p或q”为真命题，则实数m的取值范围是__________________.
(－∞，－1) 典例 51．如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，那么 ( )
A．命题p不一定是假命题 B．命题q一定是真命题
C．命题q不一定是真命题 D．命题p与命题q的真假相同
2．若p是真命题，q是假命题，则 ( )
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．?p是真命题 D．?q是真命题B D [解析] p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，?p为假命题，所以真命题只有1个．B 4．(安徽省蚌埠市2017－2018学年高二期末)命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是________________________.
[解析] 命题“任意四面体均有内切球”的否定形式是：存在四面体没有内切球．存在四面体没有内切球
5．写出下列命题的否定形式和否命题．
(1)等腰三角形有两个内角相等；
(2)自然数的平方是正数．
[解析] (1)否定形式：存在某个等腰三角形，它的任意两个内角都不相等．
否命题：任意两边都不相等的三角形，其任意两个内角都不相等．
(2)否定形式：存在平方不是正数的自然数．
否命题：如果一个数不是自然数，则它的平方不是正数．
课件28张PPT。第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词自主预习学案生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加”等等．其中“都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？1．全称量词与全称命题
(1)短语“____________”、“______________”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“______”表示，含有全称量词的命题，叫做____________．
(2)全称命题的表述形式：对M中任意一个x，有p(x)成立，可简记为：______________________．
(3)常用的全称量词还有“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”，表示______________的含义．0对所有的 对任意一个 ? 全称命题 ?x∈M，p(x) 整体或全部
2．存在量词与特称命题
(1)短语“____________”、“______________”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“______”表示，含有存在量词的命题，叫做____________．
(2)特称命题的表述形式：存在M中的一个x0，使p(x0)成立，可简记为，______________________．
(3)存在量词：“有些”、“有一个”、“存在”、“某个”、“有的”，表示________________的含义．
存在一个 至少有一个 ? 特称命题 ?x0∈M，p(x0) 个别或一部分 1．下列命题中全称命题的个数是 ( )
①任意一个自然数都是正整数；
②有的等差数列也是等比数列；
③三角形的内角和是180°．
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析] ①③为全称命题，②为特称命题．
C
2．选出与其他命题不同的命题 ( )
A．有一个平行四边形是菱形
B．任何一个平行四边形是菱形
C．某些平行四边形是菱形
D．有的平行四边形是菱形
[解析] B选项为全称命题，其余的为特称命题．
B
3．下列命题中，假命题是 ( )
A．?x∈R,3x－2>0 B．?x∈N*，(x－2)2>0
C．?x∈R，lgx0≤2 D．?x∈R，tanx0＝2
[解析] 特殊值验证x＝2时，(x－2)2＝0，
∴?x∈N*，(x－2)2>0是假命题，故选B．
4．若对任意x>3，x>a恒成立，则a的取值范围是________________.
[解析] ag(3)＝3，∴a≤3．B (－∞，3] 5．已知函数f(x)＝x2＋mx＋1，若命题“?x0>0，f(x0)<0”为真，则m的取值范围是__________________.
(－∞，－2) 互动探究学案命题方向1 ?全称命题与特称命题的判定 (1)下列命题：
①至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立；
②对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；
③对任意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；
④存在x，使x2＋2x＋1＝0不成立．
其中是全称命题的个数为 ( )
A．1 B．2
C．3 D．4典例 1B (2)下列命题为特称命题的是 ( )
A．偶函数的图象关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于等于3
[规范解答] (1)中，只有②③含有全称量词，故选B．(2)中，只有选项D含有存在量词，故选D．D 『规律总结』 1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：
(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题．
(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
2．当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质．
3．一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会．〔跟踪练习1〕
判断下列语句是否是全称命题或特称命题．
(1)有一个实数a，a不能取对数；
(2)若所有不等式的解集为A，则有A?R；
(3)三角函数都是周期函数吗？
(4)有的向量方向不定；
(5)自然数的平方是正数．
[规范解答] 因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均含有全称量词，故为全称命题，(3)不是命题．
综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题．命题方向2 ?全称命题与特称命题的真假判断 指出下列命题中，哪些是全称命题，哪些是特称命题，并判断真假.
(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点；
(2)存在一个实数，它的绝对值不是正数；
(3)对任意实数x1、x2，若x1(4)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数．
典例 2
C 命题p：?x∈R，sinxcosx≥m，若命题p是真命题，求实数m的取值范围.典例 3利用全称命题和特称命题的真假求参数范围〔跟踪练习3〕
若命题“?x0∈R使得x＋mx0＋2m＋5<0”为假命题，则实数m的取值范围是 ( )
A．[－10,6] B．(－6,2]
C．[－2,10] D．(－2,10)
C [错解] (1)无法判定．(2)特称命题．(3)全称命题．
[辨析] 对省略全称量词和存在性量词的命题缺乏分析理解．典例 4B B A [解析] A中含有全称量词“任意的”，因为a2＋b2－2a－2b＋2＝(a－1)2＋(b－1)2≥0；故是假命题．B、D在叙述上没有全称量词，但实际上是指“所有的”，菱形的对角线不一定相等，所以B是假命题，C是特称命题，故选D．D 课件30张PPT。第一章常用逻辑用语1.4 全称量词与存在量词1.4.3 含有一个量词的命题的否定自主预习学案数学命题中出现“全部”、“所有”、“一切”与“存在着”，“有”、“有些”的词语，在逻辑中分别称为全称量词与存在性量词，由这样的量词构成的命题分别称为全称命题与特称命题．而他们的否定形式是我们困惑的症结所在．1．命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定?p：____________________，全称命题的否定是________命题．
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定?p：___________________，特称命题的否定是________命题．
?x0∈M，?p(x0) 特称 ?x∈M，?p(x) 全称 不是 不都是 ≤ 一个也没有 至少有两个 存在x∈A
使p(x)假 1．(2016·浙江理，4)命题“?x∈R，?n∈N*使得n≥x2”的否定形式是 ( )
A．?x∈R，?n∈N*使得nB．?x∈R，?n∈N*使得nC．?x∈R，?n∈N*使得nD．?x∈R，?n∈N*使得n[解析] 根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．D 2．已知命题p：?x∈R，使tanx＝1，则下列关于命题?p的描述中正确的是 ( )
A．?x∈R，使tanx≠1 B．?x?R，使tanx≠1
C．?x∈R，使tanx≠1 D．?x?R，使tanx≠1
[解析] 特称命题的否定是全称命题，故命题p：?x∈R，使tanx＝1的否定?p：?x∈R，使tanx≠1．C 3．(安徽屯溪一中2017－2018学年期中)设命题P：?n∈N，n2>2n，则?P为 ( )
A．?n∈N，n2>2n B．?n∈N，n2≤2n
C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n
[解析] 根据否命题的定义，既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题P的否命题应该为?n∈N，n2≤2n，故选C．
C 4．命题“?x∈R，x2－2x<0”的否定是 ?x∈R，x2－2x≥0 .
[解析] 特称命题的否定是全称命题，故“?x∈R，x2－2x<0”的否定是“?x∈R，x2－2x≥0”．
5．命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为____________________________________________________.
[解析] 原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词．
过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内 互动探究学案命题方向 ?全称命题、特称命题的否定 写出下列命题的否定.
(1)p：?x∈R，x2＋2x＋2≤0；
(2)p：有的三角形是等边三角形；
(3)p：所有能被3整除的整数是奇数；
(4)p：每一个四边形的四个顶点共圆．典例 1
[规范解答] (1)?p：?x∈R，x2＋2x＋2>0．
(2)?p：所有的三角形都不是等边三角形．
(3)?p：存在一个能被3整除的整数不是奇数．
(4)?p：存在一个四边形的四个顶点不共圆．
『规律总结』 1.一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论．
2．对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．〔跟踪练习1〕
写出下列全称命题和特称命题的否定．
(1)每个二次函数的图象都开口向下；
(2)任何一个平行四边形的对边都平行；
(3)某些平行四边形是菱形．
[解析] (1)命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．
(2)命题的否定：存在一个平行四边形的对边不都平行．
(3)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”． 写出下列命题的否定.
(1)可以被5整除的数，末位是0；
(2)能被3整除的数，也能被4整除．
[思路分析] (1)(2)中均为省略了全称量词的全称命题，书写其否定时，要补全量词，不能只否定结论，不否定量词．
[规范解答] (1)省略了全称量词“任何一个”，命题的否定为：有些可以被5整除的数，末位不是0．
(2)省略了全称量词“所有”，命题的否定为：存在一个能被3整除的数，不能被4整除．典例 2『规律总结』 由于全称量词往往省略不写，因此在写这类命题的否定时，必须找出其中省略的全称量词，写成“?x∈M，p(x)”的形式，然后再把它的否定写成“?x0∈M，?p(x0)”的形式．要学会挖掘命题中的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合它们的真假性(一真一假)进行验证．〔跟踪练习2〕
写出下列命题的否定，并判断其真假．
(1)p：每一个素数都是奇数；
(2)p：与同一平面所成的角相等的两条直线平行．
[解析] (1)由于全称量词“每一个”的否定为“存在一个”，因此，?p：存在一个素数不是奇数，是真命题．
(2)是全称命题，省略了全称量词“任意”，即“任意两条与同一平面所成的角相等的直线平行”，?p：存在两条与同一平面所成的角相等的直线不平行，是真命题．应用全称命题与特殊命题求参数范围的常见题型：
1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以代入，也可以根据函数等数学知识来解决．
2．特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表达．解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设．利用全称命题与特称命题求参数的取值范围 若命题p：?x∈R，ax2＋4x＋a≥－2x2＋1是真命题，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，2] B．[2，＋∞)
C．(－2，＋∞) D．(－2,2)
典例 3B 『导师点睛』 (1)利用全称命题、特称命题求参数的取值范围或值是一类综合性较强、难度较大的问题．主要考查两种命题的定义及其否定.
(2)全称命题为真，意味着对限定集合中的每一个元素都具有某种性质，使所给语句为真．因此，当给出限定集合中的任一个特殊的元素时，自然应导出“这个特殊元素具有这个性质”(这类似于“代入”思想)．－1≤a≤1 [错解] 因为x1∈[－1,3]，所以f(x1)∈[0,9]
又因为对?x1∈[－1,3]，?x2∈[0,2]
使得f(x1)≥g(x2)，即?x2∈[0,2]典例 41．命题p：?m0∈R，方程x2＋m0x＋1＝0有实根，则?p是 ( )
A．?m0∈R，方程x2＋m0x＋1＝0无实根
B．?m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m0，使方程x2＋m0x＋1＝0有实根
2．已知命题p：?x∈R，x>sin x，则p的否定形式为 ( )
A．?p：?x0∈R，x0C．?p：?x0∈R，x0≤sin x0 D．?p：?x∈R，xx0＋1”，则?p为 ( )
A．“?x∈R,2xC．“?x∈R,2x≤x＋1” D．“?x0∈R,2x04．命题“对任意实数x，都有x2－2x＋2>0”的否定为____________________ ________________.
C 存在实数x0，使得 5．写出下列命题的否定，并判断真假：
(1)q：?x∈R，x不是5x－12＝0的根．
(2)r：有些质数是奇数．
(3)s：?x0∈R，|x0|>0．
[解析] (1)?q：?x0∈R，x0是5x0－12＝0的根，真命题．
(2)?r：每一个质数都不是奇数，假命题．
(3)?s：?x∈R，|x|≤0，假命题．
课件42张PPT。第一章常用逻辑用语章末整合提升知 识 网 络知 识 整 合专 题 突 破可以判断真假的陈述句为命题、反问句也是命题，但疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．
专题一 ?命题及其真假判断 下列语句哪些是命题，是命题的判断其真假.
(1)方程x2－2x＝0的根是自然数；
(2)sin(α＋β)＝sinα＋sinβ(α，β是任意角)；
(3)垂直于同一个平面的两个平面平行；
(4)函数y＝12x＋1是单调增函数；
(5)非典型肺炎是怎样传染的？
(6)奇数的平方仍是奇数；
(7)好人一生平安！
(8)解方程3x＋1＝0；
(9)方程3x＋1＝0只有一个解；
(10)3x＋1＝0．
[解析] (1)(2)(3)(4)(6)(9)都是命题，其中(1)(4)(6)(9)为真命题．典例 1『规律总结』 (5)是疑问句，(7)是感叹句，(8)是祈使句都不是命题，(10)中由于x的值未给，故无法判断此句的真假，因而不是命题． 判断命题：“若a＋b≠7，则a≠3，且b≠4”的真假.
[解析] 其逆否命题为：“若a＝3或b＝4，则a＋b＝7”．显然这是一个假命题，
∴原命题为假．
典例 2『规律总结』 复合命题的真假判断是个难点，当直接判断不易着手时，可转为判断它的等价命题——逆否命题，这是一种重要的处理技巧．?
1．注意：若p，则q，不能写作“p?q”，因为前者真假未知，而“p?q”是说“若p，则q”是一个真命题．
2．原命题与其逆否命题等价，原命题的逆命题与原命题的否命题也等价．从而四种命题中有两对同真同假．
3．互逆或互否的两个命题不等价，其真假没有联系．专题二 ?四种命题的关系典例 3 写出下列命题的否定，并判断真假.
(1)p：有些三角形是直角三角形；
(2)p：方程2x＋1＝0有一负实根；
(3)p：三角形的两边之和大于第三边；
(4)p：存在实数q<0，使方程x2＋2x＋q＝0无实根．
[解析] (1)?p：“没有一个三角形是直角三角形”．(假)
(2)?p：“方程2x＋1＝0无负实根”．(假)
(3)?p：“存在某个三角形，两边之和小于或等于第三边”．(假)
(4)?p：“对任意实数q<0，方程x2＋2x＋q＝0都有实数根”．(真)典例 4专题三 ?充分条件与必要条件
3．充分条件与必要条件的判断
(1)直接利用定义判断：即“若p?q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．(条件与结论是相对的)
(2)利用等价命题的关系判断：“p?q”的等价命题是“?q??p”，即“若?q??p成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件”．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q都是集合，那么若p?q，则p是q的充分条件；若p?q，则p是q的必要条件；若p＝q，则p是q的充要条件．
“10a>10b”是“lg a>lg b”的 ( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[解析] 由10a>10b得a>b，由lg a>lg b可得a>b>0，故“10a>10b”是“lg a>lg b”的必要不充分条件．
典例 5B 典例 6B 专题四 ?含逻辑联结词的命题 设集合A＝{x|－2－a0}，命题p：1∈A，命题q：2∈A．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则a的取值范围是 ( )
A．02 B．0C．1典例 7C 1．全称命题与特称命题
含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题．
判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例．
判断特称命题为真命题，只要找到一例即可，而判断特称命题为假时，要有严格的逻辑证明．
专题五 ?全称命题与特称命题
2．含有一个量词的命题的否定
这是高考考查的重点，对全称命题和特称命题的考查主要以考查它们的否定为主，多以客观题为主，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．典例 8D C 3．有下列命题：
①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“不等边三角形的三个内角相等”逆命题．
其中真命题为 ( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④B D 末位数是0或5 的整数，不能被5整除 末位数不是0且不是5的整数，不能被5整除 ④ 