2018—2019学年高中数学新人教A版选修2-3训练题：模块综合评价（二）
文档属性
| 名称 | 2018—2019学年高中数学新人教A版选修2-3训练题：模块综合评价（二） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 165.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2018-10-08 16:21:17 | ||
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文档简介
模块综合评价(二)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1.如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统正常工作的概率为( )
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.06
解析：A、B、C三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：B
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ＜3)等于( )
A. B.
C. D.
解析：由正态分布的图象知，x＝μ＝3为该图象的对称轴，
则P(ξ＜3)＝.
答案：D
3．一个坛子里有编号1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的编号是偶数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：从坛子中取两个红球，且至少有1个球的编号为偶数的取法可以分两类：第一类，两个球的编号均为偶数，有C种取法；第二类，两个球的编号为一奇一偶，有CC种取法，因此所求的概率为＝.
答案：D
4．二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：二项式的展开式的通项是Tr＋1＝Cxr，令r＝2，得x2的系数为C，所以C＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝－5(舍去)或n＝6.
答案：C
5．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
x
4x
5x
由此可以得到期望E(X)与方差D(X)分别为( )
A．E(X)＝1.4，D(X)＝0.2
B．E(X)＝0.44，D(X)＝1.4
C．E(X)＝1.4，D(X)＝0.44
D．E(X)＝0.44，D(X)＝0.2
解析：由x＋4x＋5x＝1得x＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，
D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44.
答案：C
6．已知随机变量X的分布列如下表：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
x
则X的方差为( )
A．3.56 B.
C．3.2 D.
解析：根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，
DX＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56，故选A.
答案：A
7．设A＝37＋C·35＋C·33＋C·3，B＝C·36＋C·34＋C·32＋1，则A－B的值为( )
A．128 B．129 C．47 D．0
解析：A－B＝37－C·36＋C·35－C·34＋C·33－C·32＋C·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.
答案：A
8．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是( )
A．0.01×0.992 B．0.012×0.99
C．C0.01×0.992 D．1－0.993
解析：设A＝“三盒中至少有一盒是次品”，则＝“三盒中没有次品”，又P()＝0.993，所以P(A)＝1－0.993.
答案：D
9．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
课外阅读量
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
答案：D
10．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设A表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A＝A1＋A2，且A1，A2互斥，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
答案：D
11．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则下列结论正确的是( )
①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)；②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)；③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)；④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|≥a)(a＞0)．
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析：因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确；
因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；
因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|≥a)＝1，
所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|≥a)(a＞0)，所以④正确．
答案：D
12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )
A. B. C. D．1
解析：由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________.
ξ
0
1
2
p
x2
x
解析：由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋＝1且0≤x≤1，解得x＝.
答案：
14．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
解析：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．
答案：37
15．设(2x－1)5＋(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a2|＋|a4|＝________．
解析：由(2x－1)5＋(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5可得常数项a0＝(－1)5＋24＝15，
x2项的系数为a2＝C×22×(－1)3＋C×22＝－16，
x4项的系数为a4＝C×24×(－1)1＋C×20＝－79，则|a0|＋|a2|＋|a4|＝15＋16＋79＝110.
答案：110
16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．
解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误．
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)两台车床加工同一种机械零件如下表：
分类
合格品
次品
总计
第一台车床加工的零件数
35
5
40
第二台车床加工的零件数
50
10
60
总计
85
15
100
从这100个零件中任取一个零件，求：
(1)取得合格品的概率；
(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．
解：(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A，因为在100个零件中，有85个为合格品，
则P(A)＝＝0.85.
(2)从100个零件中任取一个零件是第一台加工的概率为P1＝＝，第一台车床加工的合格品的概率为P2＝＝，
所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P＝P1·P2＝×＝.
18．(本小题满分12分)设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝992.
(1)判断该展开式中有无x2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；
(2)求此展开式中有理项的项数．
解：令x＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，
得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0，
故2n＝32，n＝5.
(1)Tk＋1＝C·(－x)k＝(－1)k·C·55－k·x·x＝(－1)k·C·55－k·x
由题意，令＝2，解得k＝3，故含x2项存在．
它的系数为(－1)3·C·55－3＝－250.
(2)展开式中的有理项应满足故k只能取3，即展开式中只有一项有理项．
19．(本小题满分12分)一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；
(2)求η的分布列及期望E(η)．
解：(1)因为服从ξ～B(3，0.4)，运用概率公式P＝C(0.4)k(1－0.4)3－k，
所以P＝C(0.4)2×(1－0.4)＝0.288.
(2)因为采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250；采用4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
所以可以取值为200元，250元，300元．
根据表格知识得出：
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.
故η的分布列为：
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
20．(本题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1
Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
解：由期望的定义，得
E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，
E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.
两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．
由方差的定义，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，
D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.
因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．
21．(本小题满分12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
项目
男性
女性
总计
反感
10
不反感
8
总计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解：(1)列联表补充如下：
性别
男性
女性
总计
反感
10
6
16
不反感
6
8
14
总计
16
14
30
由已知数据得K2的观测值k＝≈1.158＜2.706.
所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．
(2)X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
22．(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解：(1)由柱形图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为：
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，
故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的)
1.如图所示，A，B，C表示3种开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么此系统正常工作的概率为( )
A．0.504 B．0.994
C．0.496 D．0.06
解析：A、B、C三个开关相互独立，三个中只要至少有一个正常工作即可，由间接法知P＝1－(1－0.9)×(1－0.8)×(1－0.7)＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.
答案：B
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2)，则P(ξ＜3)等于( )
A. B.
C. D.
解析：由正态分布的图象知，x＝μ＝3为该图象的对称轴，
则P(ξ＜3)＝.
答案：D
3．一个坛子里有编号1，2，…，12的12个大小相同的球，其中1到6号球是红球，其余的是黑球，若从中任取两个球，则取到的都是红球，且至少有1个球的编号是偶数的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：从坛子中取两个红球，且至少有1个球的编号为偶数的取法可以分两类：第一类，两个球的编号均为偶数，有C种取法；第二类，两个球的编号为一奇一偶，有CC种取法，因此所求的概率为＝.
答案：D
4．二项式(x＋1)n(n∈N*)的展开式中x2的系数为15，则n＝( )
A．4 B．5
C．6 D．7
解析：二项式的展开式的通项是Tr＋1＝Cxr，令r＝2，得x2的系数为C，所以C＝15，即n2－n－30＝0，解得n＝－5(舍去)或n＝6.
答案：C
5．已知离散型随机变量X的分布列如下：
X
0
1
2
P
x
4x
5x
由此可以得到期望E(X)与方差D(X)分别为( )
A．E(X)＝1.4，D(X)＝0.2
B．E(X)＝0.44，D(X)＝1.4
C．E(X)＝1.4，D(X)＝0.44
D．E(X)＝0.44，D(X)＝0.2
解析：由x＋4x＋5x＝1得x＝0.1，
E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.5＝1.4，
D(X)＝(0－1.4)2×0.1＋(1－1.4)2×0.4＋(2－1.4)2×0.5＝0.44.
答案：C
6．已知随机变量X的分布列如下表：
X
1
3
5
P
0.4
0.1
x
则X的方差为( )
A．3.56 B.
C．3.2 D.
解析：根据随机变量分布列的性质，知0.4＋0.1＋x＝1，所以x＝0.5，EX＝0.4＋0.3＋2.5＝3.2，
DX＝2.22×0.4＋0.22×0.1＋1.82×0.5＝3.56，故选A.
答案：A
7．设A＝37＋C·35＋C·33＋C·3，B＝C·36＋C·34＋C·32＋1，则A－B的值为( )
A．128 B．129 C．47 D．0
解析：A－B＝37－C·36＋C·35－C·34＋C·33－C·32＋C·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.
答案：A
8．有三箱粉笔，每箱中有100盒，其中有一盒是次品，从这三箱粉笔中各抽出一盒，则这三盒中至少有一盒是次品的概率是( )
A．0.01×0.992 B．0.012×0.99
C．C0.01×0.992 D．1－0.993
解析：设A＝“三盒中至少有一盒是次品”，则＝“三盒中没有次品”，又P()＝0.993，所以P(A)＝1－0.993.
答案：D
9．为了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机抽取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：
课外阅读量
作文成绩优秀
作文成绩一般
总计
课外阅读量较大
22
10
32
课外阅读量一般
8
20
28
总计
30
30
60
由以上数据，计算得到K2的观测值k≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是( )
A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关
解析：根据临界值表，9.643>7.879，在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关，即有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关．
答案：D
10．某商场开展促销抽奖活动，摇奖摇出的一组中奖号码是8，2，5，3，7，1，参加抽奖的每位顾客从0，1，2，…，9这10个号码中任意抽出6个组成一组，如果顾客抽出6个号码中至少有5个与中奖号码相同(不计顺序)就可以得奖，那么得奖的概率为( )
A. B.
C. D.
解析：设A表示“至少有5个与摇出的号码相同”，A1表示“恰有5个与摇出的号码相同”，A2表示“恰有6个与摇出的号码相同”，得A＝A1＋A2，且A1，A2互斥，
P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.
答案：D
11．设随机变量ξ服从正态分布N(0，1)，则下列结论正确的是( )
①P(|ξ|＜a)＝P(ξ＜a)＋P(ξ＞－a)(a＞0)；②P(|ξ|＜a)＝2P(ξ＜a)－1(a＞0)；③P(|ξ|＜a)＝1－2P(ξ＜a)(a＞0)；④P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|≥a)(a＞0)．
A．①② B．②③
C．①④ D．②④
解析：因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)，所以①不正确；
因为P(|ξ|＜a)＝P(－a＜ξ＜a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＜－a)＝P(ξ＜a)－P(ξ＞a)＝P(ξ＜a)－(1－P(ξ＜a))＝2P(ξ＜a)－1，所以②正确，③不正确；
因为P(|ξ|＜a)＋P(|ξ|≥a)＝1，
所以P(|ξ|＜a)＝1－P(|ξ|≥a)(a＞0)，所以④正确．
答案：D
12．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )
A. B. C. D．1
解析：由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝＋＝.
答案：C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知随机变量ξ的分布列如下表，则x＝________.
ξ
0
1
2
p
x2
x
解析：由随机变量概率分布列的性质可知：x2＋x＋＝1且0≤x≤1，解得x＝.
答案：
14．一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.6，0.3，和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利________元．
解析：50×0.6＋30×0.3－20×0.1＝37(元)．
答案：37
15．设(2x－1)5＋(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则|a0|＋|a2|＋|a4|＝________．
解析：由(2x－1)5＋(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5可得常数项a0＝(－1)5＋24＝15，
x2项的系数为a2＝C×22×(－1)3＋C×22＝－16，
x4项的系数为a4＝C×24×(－1)1＋C×20＝－79，则|a0|＋|a2|＋|a4|＝15＋16＋79＝110.
答案：110
16．下列说法：①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；③线性回归方程＝x＋必过(，)；④曲线上的点与该点的坐标之间具有相关关系；⑤在一个2×2列联表中，由计算得K2＝13.079，则其两个变量之间有关系的可能性是90%.其中错误的个数是________．
解析：由方差的性质知①正确；由线性回归方程的特点知③正确；②④⑤均错误．
答案：3
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)两台车床加工同一种机械零件如下表：
分类
合格品
次品
总计
第一台车床加工的零件数
35
5
40
第二台车床加工的零件数
50
10
60
总计
85
15
100
从这100个零件中任取一个零件，求：
(1)取得合格品的概率；
(2)取得零件是第一台车床加工的合格品的概率．
解：(1)记在100个零件中任取一个零件，取得合格品记为A，因为在100个零件中，有85个为合格品，
则P(A)＝＝0.85.
(2)从100个零件中任取一个零件是第一台加工的概率为P1＝＝，第一台车床加工的合格品的概率为P2＝＝，
所以取得零件是第一台车床加工的合格品的概率P＝P1·P2＝×＝.
18．(本小题满分12分)设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，M－N＝992.
(1)判断该展开式中有无x2项？若有，求出它的系数；若没有，说明理由；
(2)求此展开式中有理项的项数．
解：令x＝1得M＝4n，而N＝2n，由M－N＝992，
得4n－2n＝992.即(2n－32)·(2n＋31)＝0，
故2n＝32，n＝5.
(1)Tk＋1＝C·(－x)k＝(－1)k·C·55－k·x·x＝(－1)k·C·55－k·x
由题意，令＝2，解得k＝3，故含x2项存在．
它的系数为(－1)3·C·55－3＝－250.
(2)展开式中的有理项应满足故k只能取3，即展开式中只有一项有理项．
19．(本小题满分12分)一个商场经销某种商品，根据以往资料统计，每位顾客采用的分期付款次数ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
0.4
0.2
0.2
0.1
0.1
商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250元；采用4期或5期付款，其利润为300元．η表示经销一件该商品的利润．
(1)求购买该商品的3位顾客中，恰有2位采用1期付款的概率；
(2)求η的分布列及期望E(η)．
解：(1)因为服从ξ～B(3，0.4)，运用概率公式P＝C(0.4)k(1－0.4)3－k，
所以P＝C(0.4)2×(1－0.4)＝0.288.
(2)因为采用1期付款，其利润为200元；采用2期或3期付款，其利润为250；采用4期或5期付款，其利润为300元，η表示经销一件该商品的利润．
所以可以取值为200元，250元，300元．
根据表格知识得出：
P(η＝200)＝P(ξ＝1)＝0.4，
P(η＝250)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4，
P(η＝300)＝1－P(η＝200)－P(η＝250)＝1－0.4－0.4＝0.2.
故η的分布列为：
η
200
250
300
P
0.4
0.4
0.2
E(η)＝200×0.4＋250×0.4＋300×0.2＝240(元)．
20．(本题满分12分)设甲、乙两家灯泡厂生产的灯泡寿命表1X(单位：小时)和Y的分布列分别如表1和表2所示：
X
900
1 000
1 100
P
0.1
0.8
0.1
Y
950
1 000
1 050
P
0.3
0.4
0.3
试问哪家工厂生产的灯泡质量较好？
解：由期望的定义，得
E(X)＝900×0.1＋1 000×0.8＋1 100×0.1＝1 000，
E(Y)＝950×0.3＋1 000×0.4＋1 050×0.3＝1 000.
两家灯泡厂生产的灯泡寿命的期望值相等，需进一步考查哪家工厂灯泡的质量比较稳定，即比较其方差．
由方差的定义，得D(X)＝(900－1 000)2×0.1＋(1 000－1 000)2×0.8＋(1 100－1 000)2×0.1＝2 000，
D(Y)＝(950－1 000)2×0.3＋(1 000－1 000)2×0.4＋(1 050－1 000)2×0.3＝1 500.
因为D(X)＞D(Y)，所以乙厂生产的灯泡质量比甲厂稳定，即乙厂生产的灯泡质量较好．
21．(本小题满分12分)“中国式过马路”存在很大的交通安全隐患．某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关，从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查，得到了如下列联表：
项目
男性
女性
总计
反感
10
不反感
8
总计
30
已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是.
(1)请将上面的列联表补充完整(直接写结果，不需要写求解过程)，并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关？
(2)若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动，记反感“中国式过马路”的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：K2＝.
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.010
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
7.879
解：(1)列联表补充如下：
性别
男性
女性
总计
反感
10
6
16
不反感
6
8
14
总计
16
14
30
由已知数据得K2的观测值k＝≈1.158＜2.706.
所以，没有充足的理由认为反感“中国式过马路”与性别有关．
(2)X的可能取值为0，1，2.
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
22．(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
(1)求X的分布列；
(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；
(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？
解：(1)由柱形图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而
P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；
P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；
P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；
P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；
P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；
P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；
P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.
所以X的分布列为：
X
16
17
18
19
20
21
22
P
0.04
0.16
0.24
0.24
0.2
0.08
0.04
(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，
故n的最小值为19.
(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．
当n＝19时，E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.
当n＝20时，
E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.
可知当n＝19时所需费用的期望值小于n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.