课时分层作业(十) 双曲线及其标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面内两定点A(－5,0)，B(5,0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是( )
A．－＝1 B．－＝1(x≥4)
C．－＝1 D．－＝1(x≥3)
D [由题意知，轨迹应为以A(－5,0)，B(5,0)为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，
∴P点的轨迹方程为－＝1(x≥3)．]
2．若方程＋＝1，k∈R表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围是( )
【导学号：46342092】
A．－3
B．k<－3
C．k<－3或k>－2
D．k>－2
A [由题意知，解得－33．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(，0)和(－，0)，点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－y2＝1 D．x2－＝1
C [由
?(|PF1|－|PF2|)2＝16，
即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C．]
4．已知双曲线的方程为－＝1，点A，B在双曲线的右支上，线段AB经过双曲线的右焦点F2，|AB|＝m，F1为另一焦点，则△ABF1的周长为( )
A．2a＋2m B．4a＋2m
C．a＋m D．2a＋4m
B [由题意知
即
且|AF2|＋|BF2|＝|AB|＝m
所以△ABF1的周长为|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＋2m.]
5．已知双曲线过点P1和P2，则双曲线的标准方程为( )
A．－＝1 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B [因为双曲线的焦点位置不确定，所以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)．因为P1，P2两点在双曲线上，所以，解得，于是所求双曲线的标准方程为－＝1.故选B．]
二、填空题
6．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于________.
【导学号：46342093】
24 [双曲线的实轴长为2，焦距为|F1F2|＝2×5＝10.由题意，知|PF1|－|PF2|＝|PF2|－|PF2|＝|PF2|＝2，∴|PF2|＝6，|PF1|＝8，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，∴PF1⊥PF2，∴S＝|PF1|·|PF2|＝×6×8＝24.]
7．以椭圆＋＝1长轴的两端点为焦点，且经过点(3，)的双曲线方程的标准方程为________．
－＝1 [由题意得，双曲线的焦点在x轴上，且c＝2.
设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
则有a2＋b2＝c2＝8，－＝1，解得a2＝3，b2＝5.
故所求双曲线的标准方程为－＝1.]
8．一动圆过定点A(－4,0)，且与定圆B：(x－4)2＋y2＝16相外切，则动圆圆心的轨迹方程为________．
－＝1(x≤－2) [设动圆圆心为P，由题意知|PB|＝|PA|＋4，即|PB|－|PA|＝4<|AB|，则动圆圆心P的轨迹是以点A，B为焦点的双曲线的左支，又a＝2，c＝4，则b2＝12，故动圆圆心的轨迹方程为－＝1(x≤－2)．]
三、解答题
9．如图2-3-3，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线C是满足||MA|－|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程．
图2-3-3
[解] 法一：以O为原点，AB，OD所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，则A(－2,0)，B(2,0)，D(0，2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝2<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
则c＝2,2a＝2，∴a2＝2，b2＝c2－a2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
法二：同法一建立平面直角坐标系，则依题意可得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|<|AB|＝4.
∴曲线C是以A，B为焦点的双曲线．
设双曲线的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有解得a2＝b2＝2.
∴曲线C的方程为－＝1.
10．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型.
【导学号：46342094】
[解] (1)当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；
(4)当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；
(5)当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
[能力提升练]
1．设θ∈，则关于x，y的方程＋＝1所表示的曲线是( )
A．焦点在y轴上的双曲线
B．焦点在x轴上的双曲线
C．焦点在y轴上的椭圆
D．焦点在x轴上的椭圆
B [由题意，知－＝1，因为θ∈，所以sin θ>0，－cos θ>0，则方程表示焦点在x轴上的双曲线．故选B．]
2．已知P为双曲线－＝1右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若S△PMF1＝S△PMF2＋8，则△MF1F2的面积为( )
A．2 B．10 C．8 D．6
B [设△PF1F2的内切圆的半径为R，由题意，知a＝4，b＝3，c＝5.∵S＝S＋8，∴(|PF1|－|PF2|)R＝8，即aR＝8，∴R＝2，∴S＝·2c·R＝10，故选B．]
3．已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.
【导学号：46342095】
－1 [设F′是双曲线的右焦点，连接PF′(图略)，因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，又|FN|＝＝5，由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝(|PF|－|PF′|)－|FN|＝×8－5＝－1.]
4．已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．
(－1,3) [由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m25．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s．已知各观测点到该中心的距离都是1 020 m，试确定该巨响发生的位置(假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上)．
[解] 以接报中心为原点O，正东、正北方向分别为x轴、y轴正方向，建立平面直角坐标系．
设A，B，C分别是正西、正东、正北观测点，则A(－1 020,0)，B(1 020,0)，C(0,1 020)．
设P(x，y)为巨响产生点，
由A，C同时听到巨响声，得|PA|＝|PC|，
故P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x.
∵点B比点A晚4 s听到巨响声，
∴|PB|－|PA|＝340×4＝1 360.
由双曲线的定义，知点P(x，y)在以A，B为焦点的双曲线－＝1的左支上，∴x<0.
依题意，得a＝680，c＝1 020，
∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，
故双曲线的方程为－＝1.
将y＝－x代入上式，得x＝－680或x＝680(舍去)，
∴y＝680，
即P(－680，680)，故|PO|＝680.
∴巨响发生在接报中心的北偏西45°方向，且距接报中心680m处.
课时分层作业(十一) 双曲线的简单几何性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知双曲线－＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的离心率等于( )
A． B． C． D．
C [由题意知a2＋5＝9，解得a＝2，故e＝.]
2．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点，则共有l( )
A．4条 B．3条 C．2条 D．1条
B [因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过点P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条，故选B．]
3．双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为，则双曲线C的焦距等于( )
A．2 B．2 C．4 D．4
C [由已知得e＝＝2，所以a＝c，故b＝＝c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，由焦点到渐近线的距离为，得c＝，解得c＝2，故2c＝4，故选C．]
4．若实数k满足0【导学号：46342101】
A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等
C．离心率相等 D．焦距相等
D [若00,16－k>0，故方程－＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝；同理方程－＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为，虚半轴的长为，焦距2c＝2，离心率e＝.可知两曲线的焦距相等，故选D．]
5．设双曲线－＝1(b>a>0)的半焦距为c，且直线l过(a,0)和(0，b)两点，已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．2
D [直线l的方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，原点到直线l的距离d＝＝＝c
即ab＝c2，所以a2(c2－a2)＝c4.
整理得3e4－16e2＋16＝0，解得e2＝4或e2＝
又b>a>0，所以e2＝1＋>2，故e＝2.]
二、填空题
6．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线方程为________．
－y2＝1 [由题意可得，解得，
故所求双曲线方程为－y2＝1.]
7．若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是________.
【导学号：46342102】
(1，) [e2＝1＋，由a>1得1所以18．若直线x＝2与双曲线x2－＝1(b>0)的两条渐近线分别交于点A，B，且△AOB的面积为8，则焦距为________．
2 [双曲线的渐近线方程为y＝±bx，则A(2,2b)，B(2，－2b)，|AB|＝4b，从而S△AOB＝×4b×2＝8.
解得b＝2，所以c2＝5，从而焦距为2.]
三、解答题
9．双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，它的一条渐近线为y＝x，求双曲线的标准方程和离心率．
[解] 由椭圆＋＝1，知c2＝64－16＝48，且焦点在y轴上，
∵双曲线的一条渐近线为y＝x，
∴设双曲线方程为－＝1.
又c2＝2a2＝48，∴a2＝24.
∴所求双曲线的方程为－＝1.
由a2＝24，c2＝48，
得e2＝＝2，
又e>0，∴e＝.
10．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为(，0)．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且·>2，其中O为原点，求k的取值范围.
【导学号：46342103】
[解] (1)设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，由已知得a＝，c＝2.
又因为a2＋b2＝c2，所以b2＝1，
故双曲线C的方程为－y2＝1.
(2)将y＝kx＋代入－y2＝1中，
得(1－3k2)x2－6kx－9＝0，
由直线l与双曲线交于不同的两点得：
即k2≠且k2<1. ①
设A(xA，yA)，B(xB，yB)，
则xA＋xB＝，xAxB＝，
由·>2得xAxB＋yAyB>2，
而xAxB＋yAyB＝xAxB＋(kxA＋)(kxB＋)
＝(k2＋1)xAxB＋k(xA＋xB)＋2
＝(k2＋1)·＋＋2＝，
于是>2，
解此不等式得由①②得故k的取值范围是∪.
[能力提升练]
1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近线均与曲线C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，则该双曲线的离心率等于( )
A． B． C． D．
A [曲线C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4，所以圆心坐标为C(3,0)，半径r＝2，双曲线的渐近线为y＝±x，不妨取y＝x，即bx－ay＝0，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离d＝＝2，即9b2＝4(a2＋b2)，所以5b2＝4a2，b2＝a2＝c2－a2，即a2＝c2，所以e2＝，e＝，选A．]
2．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y＝0 B．3x＋5y＝0
C．5x±4y＝0 D．4x±3y＝0
D [由题意可知|PF2|＝|F1F2|＝2c，所以△PF1F2为等腰三角形，所以由F2向直线PF1作的垂线也是中线，因为F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长2a，所以|PF1|＝2＝4b，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以4b－2c＝2a，所以2b－a＝c，两边平方可得4b2－4ab＋a2＝c2＝a2＋b2，所以3b2＝4ab，所以4a＝3b，从而＝，所以该双曲线的渐近线方程为4x±3y＝0，故选D．]
3．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为________．
±1 [不妨设点B在第一象限，则A1(－a,0)，B，A2(a,0)，C，所以＝，＝.因为A1B⊥A2C，所以·＝0，所以c2－a2－＝0，整理得，＝1，即＝1，所以渐近线的斜率为±1.]
4．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则实数m的值是________.
【导学号：46342104】
±1 [由，消去y得x2－2mx－m2－2＝0.则Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m,2m)．又点(m,2m)在圆x2＋y2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5，得m＝±1.]
5．直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1相交于A，B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？
[解] 由得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
由题意可得3－a2≠0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝.
(1)|AB|＝＝＝＝.
(2)由题意知，OA⊥OB，则·＝0，
即x1x2＋y1y2＝0，
∴x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0.
即(1＋a2)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0，
∴(1＋a2)·＋a·＋1＝0，解得a＝±1.
经检验a＝±1时，以AB为直径的圆经过坐标原点.
课时分层作业(十二) 抛物线及其标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是( )
A．y2＝－2x B．y2＝2x
C．x2＝2y D．x2＝－2y
B [由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B．]
2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为( )
【导学号：46342108】
A．y2＝8x B．y2＝4x
C．y2＝2x D．y2＝±8x
D [由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(－2,0)，因此抛物线方程为y2＝±8x.]
3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6 C．8 D．12
B [抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.]
4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( )
A．－ B．－1 C．－ D．－
C [抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.]
5．如图2-4-2，南北方向的公路l，A地在公路正东2 km处，B地在A东偏北30°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是( )万元．
图2-4-2
A．(2＋)a B．2(＋1)a
C．5a D．6a
C [依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2km处，
∴B到点A的水平距离为3(km)，
∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，
那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C．]
二、填空题
6．抛物线y＝2x2的准线方程为________．
y＝－ [化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，
∴准线方程为y＝－.]
7．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
4 [抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.]
8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：
①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．
其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)
②④ [抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．]
三、解答题
9．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，求k的值．
[解] 根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF⊥x轴，知点P，F的横坐标相等，再根据点P在曲线y＝上求出k.
∵y2＝4x，∴F(1,0)．
又∵曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．
将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.
10．如图2-4-3是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？
【导学号：46342109】
图2-4-3
[解] 如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．
设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)．
∵B点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，
∴p＝，∴抛物线的方程为x2＝－y.
当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.
∴|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．
[能力提升练]
1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为( )
A．2 B．4
C． D．＋1
A [将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A．]
2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为( )
A．x2＝y B．x2＝y
C．x2＝8y D．x2＝16y
D [由e2＝1＋＝4得＝，则双曲线的渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0
抛物线C2的焦点坐标为，
则有＝2，解得p＝8
故抛物线C2的方程为x2＝16y.]
3．抛物线y2＝2x上的两点A，B到焦点的距离之和是5，则线段AB的中点到y轴的距离是________．
2 [抛物线y2＝2x的焦点为F，准线方程为x＝－，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝5，解得x1＋x2＝4，故线段AB的中点横坐标为2.故线段AB的中点到y轴的距离是2.]
4．在抛物线y2＝－12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．
(－6,6)或(－6，－6) [设所求点为P(x，y)，抛物线y2＝－12x的准线方程为x＝3，由题意知3－x＝9，即x＝－6.
代入y2＝－12x，得y2＝72，即y＝±6.
因此P(－6,6)或P(－6，－6)．]
5．如图2-4-4，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，点A到抛物线准线的距离等于5，过点A作AB垂直于y轴，垂足为点B，OB的中点为M.
图2-4-4
(1)求抛物线的方程；
(2)过点M作MN⊥FA，垂足为N，求点N的坐标.
【导学号：46342110】
[解] (1)抛物线y2＝2px的准线方程为x＝－，
于是4＋＝5，p＝2，
所以抛物线的方程为y2＝4x.
(2)由题意得A(4,4)，B(0,4)，M(0,2)．
又F(1,0)，所以kAF＝，则FA的方程为y＝(x－1)．
因为MN⊥FA，所以kMN＝－，
则MN的方程为y＝－x＋2.
解方程组，得，
所以N.
课时分层作业(十三) 抛物线的简单几何性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．方程y＝－2所表示曲线的形状是( )
D [方程y＝－2等价于故选D.]
2．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝( )
A．16 B．12 C．10 D．8
B [由题意知p＝6，故|AB|＝x1＋x2＋p＝12.]
3．过点(2,4)的直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有( )
【导学号：46342115】
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
B [点(2,4)在抛物线y2＝8x上，则过该点与抛物线相切的直线和过该点与x轴平行的直线都与抛物线只有一个公共点，故选B.]
4．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
B [易知抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线的方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.]
5．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝( )
A．4 B．8 C．8 D．16
B [设P(x0，y0)，则A(－2，y0)，又F(2,0)
所以＝－，即y0＝4.
由y＝8x0得8x0＝48，所以x0＝6.
从而|PF|＝6＋2＝8.]
二、填空题
6．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝________.
0或1 [当k＝0时，直线与抛物线有唯一交点，当k≠0时，联立方程消去y得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，由题意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，∴k＝1.]
7．2017设抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若∠FAC＝120°，则圆的方程为________________．
(x＋1)2＋(y－)2＝1 [由y2＝4x可得点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x＝－1.
由圆心C在l上，且圆C与y轴正半轴相切(如图)，可得点C的横坐标为－1，圆的半径为1，∠CAO＝90°.又因为∠FAC＝120°，所以∠OAF＝30°，所以|OA|＝，所以点C的纵坐标为.
所以圆的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1.]
8．抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为________.
【导学号：46342116】
[设与直线x－y＋4＝0平行且与抛物线y2＝4x相切的直线方程为x－y＋m＝0.
由得x2＋(2m－4)x＋m2＝0
则Δ＝(2m－4)2－4m2＝0，解得m＝1
即直线方程为x－y＋1＝0
直线x－y＋4＝0与直线x－y＋1＝0的距离为d＝＝.
即抛物线y2＝4x上的点到直线x－y＋4＝0的最小距离为.]
三、解答题
9．已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，m)到焦点的距离为6.
(1)求抛物线C的方程．
(2)若抛物线C与直线y＝kx－2相交于不同的两点A，B，且AB中点横坐标为2，求k的值．
[解] (1)由题意设抛物线方程为y2＝2px，其准线方程为x＝－，因为P(4，m)到焦点的距离等于P到其准线的距离，所以4＋＝6，所以p＝4，所以抛物线C的方程为y2＝8x.
(2)由消去y，得k2x2－(4k＋8)x＋4＝0.
因为直线y＝kx－2与抛物线相交于不同的两点A，B，则有k≠0，Δ＝64(k＋1)>0，
解得k>－1且k≠0.
又＝＝2，
解得k＝2或k＝－1(舍去)，所以k的值为2.
10．已知AB是抛物线y2＝2px(p>0)的过焦点F的一条弦．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为M(x0，y0)．求证：
(1)若AB的倾斜角为θ，则|AB|＝；
(2)x1x2＝，y1y2＝－p2；
(3)＋为定值.
【导学号：46342117】
[证明] (1)设直线AB的方程为x＝my＋，代入y2＝2px，可得y2－2pmy－p2＝0，
y1y2＝－p2，y1＋y2＝2pm，
∴y＋y＝2p(x1＋x2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝4p2m2＋2p2，∴x1＋x2＝2pm2＋p，
∴θ＝90°时，m＝0，x1＋x2＝p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝2p＝；
θ≠90°时，m＝，x1＋x2＝＋p，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2p＝.
∴|AB|＝.
(2)由(1)知，y1y2＝－p2，∴x1x2＝＝；
(3)＋＝＋＝＝＝.
[能力提升练]
1．已知抛物线x2＝2py(p>0)的焦点为F，过F作倾斜角为30°的直线与抛物线交于A，B两点，若∈(0,1)，则＝( )
A. B.
C. D.
C [因为抛物线的焦点为F，故过点F且倾斜角为30°的直线的方程为y＝x＋，与抛物线方程联立得x2－px－p2＝0，解方程得xA＝－p，xB＝p，所以＝＝，故选C.]
2．过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴的上方)，l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为( )
A. B．2
C．2 D．3
C [抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，准线方程为x＝－1.由直线方程的点斜式可得直线MF的方程为y＝(x－1)．
联立得方程组
解得或
∵点M在x轴的上方，
∴M(3,2)．
∵MN⊥l，
∴N(－1,2)．
∴|NF|＝＝4，
|MF|＝|MN|＝＝4.
∴△MNF是边长为4的等边三角形．
∴点M到直线NF的距离为2.
故选C.]
3．已知点A(2,0)，B(4,0)，动点P在抛物线y2＝－4x上运动，则·取得最小值时的点P的坐标是________．
(0,0) [设P(x0，y0)，则＝(x0－2，y0)，
＝(x0－4，y0)，
所以·＝(x0－2)(x0－4)＋y，又y＝－4x0，
所以·＝x－10x0＋8＝(x0－5)2－17，
因为x0≤0，所以当x0＝0时，·取得最小值．
此时点P的坐标为(0,0)．]
4．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y＋y的最小值是________.
【导学号：46342118】
32 [y＝4x1，y＝4x2，则y＋y＝4(x1＋x2)
若过点P(4,0)的直线垂直于x轴，则直线方程为x＝4，
此时x1＋x2＝8，y＋y＝32，
若过点P(4,0)的直线存在斜率，则设直线方程为y＝k(x－4)，由得k2x2－(8k2＋4)x＋16k2＝0，
则x1＋x2＝8＋>8，此时y＋y>32
因此y＋y的最小值为32.]
5．已知点A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上的两点，且OA⊥OB.
(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积．
(2)求证：直线AB过定点．
[解] (1)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA＝，kOB＝.
因为OA⊥OB，所以kOA·kOB＝－1，所以x1x2＋y1y2＝0.
因为y＝2px1，y＝2px2，所以·＋y1y2＝0.
因为y1≠0，y2≠0，所以y1y2＝－4p2，所以x1x2＝4p2.
(2)证明：因为y＝2px1，y＝2px2，两式相减得(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，
所以＝，所以kAB＝，故直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，
所以y＝＋y1－，
即y＝＋.
因为y＝2px1，y1y2＝－4p2，代入整理得y＝＋，
所以y＝(x－2p)，
即直线AB过定点(2p,0).
课时分层作业(十四) 空间向量及其加减运算 空间向量的数乘运算
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是( )
①任一向量与它的相反向量不相等；
②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；
③平行且模相等的两个向量是相等向量；
④若a≠b，则|a|≠|b|；
⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [因为零向量与它的相反向量相等，所以①不正确；根据向量的定义，知长度相等、方向相同的两个向量是相等向量，②正确；平行且模相等的两个向量可能是相等向量，也可能是相反向量，③不正确；当a＝－b时，也有|a|＝|b|，④不正确；只要模相等、方向相同，两个向量就是相等向量，与向量的起点与终点无关，⑤不正确．综上可知只有②正确，故选B．]
2．对于空间中任意三个向量a，b,2a－b，它们一定是( )
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．既不共线也不共面向量
A [由共面向量定理易得答案A．]
3．空间任意四个点A，B，C，D，则＋－等于( )
A． B． C． D．
D [＋－＝＋＝.]
4．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点( )
A．不共面 B．共面
C．不一定共面 D．无法判断
B [∵＋＋＝1，
∴点P，A，B，C四点共面．]
5．已知在长方形ABCD-A1B1C1D1中，点E是A1C1的中点， 点F是AE的三等分点，且AF＝EF，则＝( )
【导学号：46342134】
A．＋＋
B．＋＋
C．＋＋
D．＋＋
D [如图所示，＝，＝＋，＝，＝＋，＝，＝，所以＝＋＝＋＋，故选D．]
二、填空题
6．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________.
－8 [由已知可得：＝－＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，∵A，B，D三点共线，
∴与共线，即存在λ∈R使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共线，
∴解得k＝－8.]
7．已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任意一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝________.
【导学号：46342135】
[根据P，A，B，C四点共面的条件，知存在实数x，y，z，使得＝x＋y＋z成立，其中x＋y＋z＝1，于是＋＋λ＝1，所以λ＝.]
8．在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和＋的关系是________．(填“平行”、“相等”或“相反”)
平行 [设G是AC的中点，则＝＋＝＋＝(＋)
从而∥(＋)．]
三、解答题
9．已知四边形ABCD为正方形，P是四边形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点．求下列各式中x，y的值．
(1)＝＋x＋y；
(2)＝x＋y＋.
[解] 如图所示，
(1)∵＝－
＝－(＋)
＝－－，
∴x＝y＝－.
(2)∵＋＝2，
∴＝2－.
又∵＋＝2，
∴＝2－.
从而有＝2－(2－)
＝2－2＋.
∴x＝2，y＝－2.
10．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，M为DD1的中点，点N在AC上，且AN∶NC＝2∶1，求证：与，共面.
【导学号：46342136】
[证明] ∵＝－，
＝＋＝－，
＝＝(＋)，
∴＝－
＝(＋)－
＝(－)＋(－)
＝＋，
∴与，共面．
[能力提升练]
1．如图3-1-11所示，已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC内一定点，O为平面ABC外任一点，则下列能表示向量的为( )
图3-1-11
A．＋2＋2 B．－3－2
C．＋3－2 D．＋2－3
C [因为A，B，C，P四点共面，所以可设＝x＋y，即＝＋x＋y，由图可知x＝3，y＝－2，故选C．]
2．如图3-1-12是一平行六面体ABCD-A1B1C1D1，E为BC延长线上一点，＝2，则＝( )
图3-1-12
A．＋＋ B．＋－
C．＋－ D．＋－
B [取BC的中点F，连接A1F，则A1D1FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1FD1E，所以＝.又＝＋＋＝－＋＋，所以＝＋－，故选B．]
3．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
0 [由λ＋m＋n＝0得＝－－
由A，B，C三点共线知－－＝1，则λ＋m＋n＝0.]
4．如图3-1-13，O为△ABC所在平面外一点，M为BC的中点，若＝λ与＝＋＋同时成立，则实数λ的值为________．
图3-1-13
[＝＋＝＋λ＝＋(＋)＝＋(－＋－)＝(1－λ)＋＋，所以1－λ＝，＝，解得λ＝.]
5．如图3-1-14所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.
图3-1-14
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值.
【导学号：46342137】
[解] (1)因为＝＋＋＝＋＋＋＝＋＝＋＝＋，
所以A，E，C1，F四点共面．
(2)因为＝－＝＋－(＋)＝＋－－＝－＋＋，
所以x＝－1，y＝1，z＝，
所以x＋y＋z＝.
课时分层作业(十五) 空间向量的数量积运算
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(＋－2DA)·(－)＝0，则△ABC是( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．等腰直角三角形 D．等边三角形
B [因为＋－2＝(－)＋(－)＝＋
所以(＋－2)·(－)＝(＋)·(－)＝2－2＝0
所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形．]
2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则( )
A．m∥n
B．m⊥n
C．m不平行于n，m也不垂直于n
D．以上三种情况都有可能
B [由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μ m·b＝0.
因此m⊥n.]
3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
C [·＝(＋)·AD＝(·＋·)＝＝a2.]
4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是( )
【导学号：46342143】
A．30° B．45°
C．60° D．90°
C [根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴AB与CD所成的角为60°.]
5.如图3-1-24，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝( )
图3-1-24
A．3 B．7
C．4 D．6
B [||2＝·＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝49.
所以||＝7.]
二、填空题
6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．
(－1－，－1＋) [由题意知
即
得λ2＋2λ－2<0.
∴－1－<λ<－1＋.]
7.如图3-1-25，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．
图3-1-25
90° [不妨设棱长为2，则1＝－，＝＋，
cos〈，〉＝
＝＝0，故填90°.]
8．如图3-1-26所示，在一个直二面角α-AB-β的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________.
【导学号：46342144】
图3-1-26
2 [∵＝＋＋＝－＋，∴2＝(－＋)2＝2＋2－2·＋2＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.]
三、解答题
9．如图3-1-27，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.
图3-1-27
[证明] 设＝a，＝b，＝C．
则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.
而＝＋
＝＋(＋)
＝c＋(a＋b)，
＝－＝b－a，
＝＋
＝(＋)＋
＝(a＋b)－C．
∴·＝·(b－a)
＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)
＝c·b－c·a＋(b2－a2)
＝(|b|2－|a|2)＝0.
∴⊥.
∴A1O⊥BD．
同理可证⊥.
∴A1O⊥OG.
又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG，
∴A1O⊥平面BDG.
10．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)·；(2)·；(3)·.
【导学号：46342145】
[解] 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)
＝·
＝b·
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝·(＋)
＝·(a＋c)
＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
(3)·＝(＋)·(＋)
＝·
＝·
＝(－a＋b＋c)·
＝－|a|2＋|b|2＝2.
[能力提升练]
1．已知边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为( )
A．－1 B．0
C．1 D．2
C [＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，则·＝(2＋2)＝1，故选C．]
2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．45°
B [由于＝＋＋，则·＝(＋＋)·＝2＝1.
cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60°.]
3．已知正三棱柱ABC-DEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________.
[设＝m，由于＝＋，＝＋m，
又·＝0，
得×1×1×＋4m＝0，
解得m＝.]
4．已知在正四面体D-ABC中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为________.
【导学号：46342146】
[如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM，
∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.]
5．如图3-1-28，正四面体V-ABC的高VD的中点为O，VC的中点为M.
图3-1-28
(1)求证：AO，BO，CO两两垂直；
(2)求〈，〉．
[解] (1)证明：设＝a，＝b，＝c，正四面体的棱长为1，
则＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)，
＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)，
所以·＝(b＋c－5a)·(a＋c－5b)＝(18a·b－9|a|2)＝(18×1×1×cos 60°－9)＝0，
所以⊥，即AO⊥BO.
同理，AO⊥CO，BO⊥CO.
所以AO，BO，CO两两垂直．
(2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)，
所以||＝＝.
又||＝＝，
·＝(－2a－2b＋c)·(b＋c－5a)＝，
所以cos〈，〉＝＝.
又〈，〉∈(0，π)，所以〈，〉＝.
课时分层作业(十六) 空间向量的正交分解及其坐标表示
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出下列命题：
①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；
②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；
③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；
④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．
其中正确命题的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．所以③正确．下面证明①④正确：①假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kC．∵d≠0，∴k≠0，从而c＝a＋b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D．]
2．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为( )
A．a＋b＋c B．a－b＋c
C．－a－b＋c D．－a＋b＋c
D [由于＝＋＝＋(＋)
＝－a＋b＋c，故选D．]
3．正方体ABCD-A′B′C′D′中，O1，O2，O3分别是AC，AB′，AD′的中点，以{1，2，3}为基底，＝x1＋y＋z3，则x，y，z的值是( )
A．x＝y＝z＝1 B．x＝y＝z＝
C．x＝y＝z＝ D．x＝y＝z＝2
A [＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝＋＋＝＋＋，
由空间向量的基本定理，得x＝y＝z＝1.]
4．已知点O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量a＝＋＋，向量b＝＋－，则与a，b不能构成空间基底的向量是( )
【导学号：46342150】
A． B．
C． D．或
C [因为a－b＝2，所以a，b与共面，不能构成空间的一个基底．]
5．如图3-1-33，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝A1B1，则等于( )
图3-1-33
A．
B．
C．
D．
C [由图知B(1,1,0)，E，所以＝.]
二、填空题
6．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.
1 －1 [因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋λc，于是有
解得]
7．如图3-1-34, 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则＝________.
图3-1-34
－a＋b－c [＝－
＝(＋)－(＋)＝－＋－＝－a＋b－C．]
8．已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，建立如图3-1-35所示的空间直角坐标系，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AD＝1，则的坐标为________.
【导学号：46342151】
图3-1-35
＝ [∵PA＝AD＝AB＝1，且PA⊥平面ABCD，AD⊥AB，
∴M，P(0,0,1)，C(－1,1,0)，
则N.
∴＝]
三、解答题
9．如图3-1-36，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝－，＝，设＝a，＝b，＝c，试用a，b，c表示.
图3-1-36
[解] 连接AN，则＝＋.
由已知可得四边形ABCD是平行四边形，从而可得
＝＋＝a＋b，
＝－＝－(a＋b)，
又＝－＝b－c，
故＝＋＝－＝－
＝b－(b－c)，
所以＝＋＝－(a＋b)＋b－(b－c)
＝(－a＋b＋c)．
10．如图3-1-37，在正四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，O是AC与BD的交点，PO＝1，M是PC的中点．设＝a，＝b，＝C．
图3-1-37
(1)用向量a，b，c表示.
(2)在如图的空间直角坐标系中，求的坐标.
【导学号：46342152】
[解] (1)∵＝＋，＝，＝，＝－，＝＋，
∴＝＋(－)＝＋－(＋)＝－＋＋＝－a＋b＋C．
(2)a＝＝(1,0,0)，b＝＝(0,1,0)．
∵A(0,0,0)，O，P，∴c＝＝－＝，
∴＝－a＋b＋c＝－(1,0,0)＋(0,1,0)＋＝.
[能力提升练]
1．已知M，A，B，C四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使向量，，成为空间的一个基底的是( )
A．＝OA＋OB＋OC
B．＝＋
C．＝＋＋
D．＝2－
C [对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C．]
2．已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，向量a在基底{，，}下的坐标为(2,1，－3)，则向量a在基底{，，}下的坐标为( )
A．(2,1，－3) B．(－1,2，－3)
C．(1，－8,9) D．(－1,8，－9)
B [∵a＝2＋－3＝2－－3＝－＋2－3DD1，∴向量a在基底{，，}下的坐标为(－1,2，－3)，故选B．]
3．在空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则＝________.
3a－b＋3c [＝(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＋＋＋＋＝(＋)＝3a－b＋3c．]
4．已知向量p在基底{a，b，c}下的坐标为(2,1，－1)，则p在基底{2a，b，－c}下的坐标为________；在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为__________.
【导学号：46342153】
(1,1,1) [由题意知p＝2a＋b－c，
则向量p在基底{2a，b，－c}下的坐标为(1,1,1)
设向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为(x，y，z)，则
p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc
又∵p＝2a＋b－c，
∴，
解得x＝，y＝，z＝－1；
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐标为.]
5．已知{e1，e2，e3}为空间的一个基底，且＝2e1－e2＋3e3，＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3.
(1)判断P，A，B，C四点是否共面．
(2)能否以{，，}作为空间的一个基底？若能，试以这一基底表示；若不能，请说明理由．
[解] (1)假设P，A，B，C四点共面，
则存在实数x，y，z，使＝x＋y＋z，且x＋y＋z＝1，
即2e1－e2＋3e3＝x(e1＋2e2－e3)＋y(－3e1＋e2＋2e3)＋z(e1＋e2－e3)．
比较对应的系数，得到关于x，y，z的方程组，
解得，与x＋y＋z＝1矛盾，
故P，A，B，C四点不共面．
(2)若OA，，共面，则存在实数m，n，使＝m＋n，
同(1)可证，，，不共面，
因此{，，}可以作为空间的一个基底，令＝a，＝b，＝c，
由e1＋2e2－e3＝a，－3e1＋e2＋2e3＝b，e1＋e2－e3＝c，
得，
所以＝2e1－e2＋3e3＝2(3a－b－5c)－(a－c)＋3(4a－b－7c)＝17a－5b－30c＝17－5－30.
课时分层作业(十七) 空间向量运算的坐标表示
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝( )
A．(2，－4,2) B．(－2,4，－2)
C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3)
A [b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]
2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为( )
A． B．
C． D．
C [∵AB的中点M，
∴＝，故|CM|＝||
＝ ＝.]
3．已知a＝(x,1,2)，b＝(1,2，－y)，且(2a＋b)∥(－a＋2b)，则( )
【导学号：46342157】
A．x＝，y＝1 B．x＝，y＝－4
C．x＝2，y＝－ D．x＝1，y＝－1
B [2a＋b＝(2x＋1,4,4－y)，－a＋2b＝(2－x,3，－2y－2)，∵(2a＋b)∥(－a＋2b)，则存在非零实数λ，使得2a＋b＝λ(－a＋2b)，∴∴.]
4．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
A [∵b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.]
5．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝( )
A． B．
C． D．
C [由已知，得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，∴cos〈a，b〉＝＝＝.]
二、填空题
6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.
－1 [∵p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，
∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]
7．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.
【导学号：46342158】
90° [a＋b＝(cos α＋sin α，2，sin α＋cos α)，a－b＝(cos α－sin α，0，sin α－cos α)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，
∴(a＋b)⊥(a－b)．]
8．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当·取得最小值时，点Q的坐标为________．
[设＝λ＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．
则·＝6λ2－16λ＋10＝62－，当·取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.]
三、解答题
9．如图3-1-40，已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD．点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ.
图3-1-40
[解] 由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，分别以，，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)．设Q(6，m,0)，其中m＝BQ,0≤m≤6.
若P是DD1的中点，则P，＝.又＝(3,0,6)，于是·＝18－18＝0，所以⊥，即AB1⊥PQ.
10．已知正三棱柱ABC-A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图3-1-41所示的空间直角坐标系．
图3-1-41
(1)求三棱柱的侧棱长；
(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.
【导学号：46342159】
[解] (1)设正三棱柱的侧棱长为h，
由题意得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,1，h)，
则＝(，1，h)，＝(－，1，h)，
因为AB1⊥BC1，所以·＝－3＋1＋h2＝0，
所以h＝.
(2)由(1)可知＝(，1，)，＝(－，1,0)，
所以·＝－3＋1＝－2.
因为||＝，||＝2，所以cos〈，〉＝＝－.
所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.
[能力提升练]
1．已知A(1,2，－1)，B(5,6,7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是( )
A．(0,1,1) B．(0,1，－3)
C．(－1,0,3) D．(－1,0，－5)
D [设直线AB与平面xOz交点的坐标是M(x,0，z)，则＝(x－1，－2，z＋1)．又＝(4,4,8)，与共线，∴＝λ，即，解得x＝－1，z＝－5，
∴点M的坐标为(－1,0，－5)．故选D．]
2．直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为( )
A． B． C． D．
C [建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cos θ＝＝＝.]
3．如图3-1-42，在三棱锥V-ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，当∠VDC＝60°时，异面直线AC与VD所成角的余弦值为________．
图3-1-42
[由题意，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,0)，D(1,1,0)，当∠VDC＝60°时，在Rt△VCD中，CD＝，VC＝，VD＝2，∴V(0,0，)，∴＝(－2,0,0)，＝(1,1，－)，∴cos〈，〉＝＝－，∴异面直线AC与VD所成角的余弦值为.]
4．设向量a＝(1，－2,2)，b＝(－3，x,4)，已知a在b上的投影为1，则x＝________.
0 [∵a在b上的投影为1，∴|a|·cos〈a，b〉＝1，∴a·b＝|a|·|b|·cos〈a，b〉＝|b|，∴－3－2x＋8＝，解得x＝0或x＝(舍去)．]
5．如图3-1-43，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD＝2，AC＝4，∠ACB＝∠ACD＝，F为PC的中点，AF⊥PB．求PA的长.
【导学号：46342160】
图3-1-43
[解] 如图，连接BD交AC于O，因为BC＝CD，即△BCD为等腰三角形，又AC平分∠BCD，故AC⊥BD．以O为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系Oxyz.
因为OC＝CDcos ＝1，AC＝4，所以AO＝AC－OC＝3，又OB＝OD＝CDsin ＝，故A(0，－3,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(－，0,0)．
由PA⊥底面ABCD，可设P(0，－3，z)，其中z>0.
由F为PC的中点，得F，所以＝，＝(，3，－z)．
又AF⊥PB，所以·＝0，即6－＝0，解得z＝2或z＝－2(舍去)．所以＝(0,0，－2)，则||＝2.
所以PA的长为2.
课时分层作业(十八) 空间向量与平行关系
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是( )
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l?α
D [因为a·u＝－3＋4－1＝0，所以a⊥u，所以l∥α或l?α.]
2．已知A(0，y,3)，B(－1，－2，z)，若直线l的方向向量v＝(2,1,3)与直线AB的方向向量平行，则y＋z等于( )
A．－3 B．0 C．1 D．3
B [由题意，得＝(－1，－2－y，z－3)，则＝＝，解得y＝－，z＝，所以y＋z＝0，故选B．]
3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B．
C． D．
B [对于B，＝，
则n·＝(3,1,2)·＝0，
∴n⊥，则点P在平面α内．]
4．若＝λ＋μ，则直线AB与平面CDE的位置关系是( )
【导学号：46342164】
A．相交 B．平行
C．在平面内 D．平行或在平面内
D [∵＝λ＋μ，∴，，共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．]
5．若平面α，β的一个法向量分别为m＝，n＝，则( )
A．α∥β B．α⊥β
C．α与β相交但不垂直 D．α∥β或α与β重合
D [因为n＝－3m，所以m∥n，因此α∥β或α与β重合．]
二、填空题
6．如图3-2-5，在正三棱锥S-ABC中，点O是△ABC的外心，点D是棱BC的中点，则平面ABC的一个法向量可以是________，平面SAD的一个法向量可以是________．
图3-2-5
， [由题意知SO⊥平面ABC，BC⊥平面SAD．
因此平面ABC的一个法向量可以是，平面SAD的一个法向量可以是.]
7．若a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，且a与b为共线向量，则x＝________，y＝________.
－ [由题意得＝＝，∴x＝，y＝－.]
8．已知直线l∥平面ABC，且l的一个方向向量为a＝(2，m,1)，A(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，则实数m的值是________.
【导学号：46342165】
－3 [∵l∥平面ABC，
∴存在实数x，y，使a＝x＋y，＝(1,0，－1)，＝(0,1，－1)，
∴(2，m,1)＝x(1,0，－1)＋y(0,1，－1)
＝(x，y，－x－y)，
∴∴m＝－3.]
三、解答题
9．如图3-2-6，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：
图3-2-6
(1)MN∥平面CC1D1D；
(2)平面MNP∥平面CC1D1D．
[证明] (1)以D为坐标原点，，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，D(0,0,0)，M(1,0,1)，N(1,1,0)，P(1,2,1)．
由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以＝(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量．
由于＝(0,1，－1)，则·＝0×2＋1×0＋(－1)×0＝0，所以⊥.
又MN?平面CC1D1D，所以MN∥平面CC1D1D．
(2)由于＝(0,2,0)，＝(0,2,0)，所以∥，
即MP∥DC．
由于MP?平面CC1D1D，所以MP∥平面CC1D1D．
又由(1)，知MN∥平面CC1D1D，MN∩MP＝M，
所以由两个平面平行的判定定理，知平面MNP∥平面CC1D1D．
10.如图3-2-7，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1.问：在棱PD上是否存在一点E，使得CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．
图3-2-7
[解] 分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，则P(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,2,0), 设E(0，y，z)，则
＝(0，y，z－1)，＝(0,2，－1)，
∵∥，∴y(－1)－2(z－1)＝0，①
∵＝(0,2,0)是平面PAB的法向量，
＝(－1，y－1，z)，
∴由CE∥平面PAB, 可得⊥，
∴(－1，y－1，z)·(0,2,0)＝2(y－1)＝0，
∴y＝1，代入①式得z＝.∴E是PD的中点，
即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB．
[能力提升练]
1．若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝与平面α都平行，则向量a等于( )
A．
B．
C．
D．
D [由题意，知a·b＝0，a·c＝0，即，
解得，所以a＝.]
2．已知＝(－3,1,2)，平面α的一个法向量为n＝(2，－2,4)，点A不在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系为( )
A．AB⊥α
B．AB?α
C．AB与α相交但不垂直
D．AB∥α
D [因为n·＝2×(－3)＋(－2)×1＋4×2＝0，所以n⊥.又点A不在平面α内，n为平面α的一个法向量，所以AB∥α，故选D．]
3．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________.
【导学号：46342166】
2∶3∶(－4) [因为＝，
＝，
又因为a·＝0，a·＝0，
所以
解得
所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．]
4．如图3-2-8，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点，点P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，则AP的长为________．
图3-2-8
[建立以AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，
设|AB|＝a，点P坐标为(0,0，b)
则B1(a,0,1)，D(0,1,0)，E
＝(a,0,1)，＝
＝(0，－1，b)，∵DP∥平面B1AE，
∴存在实数λ，μ，设＝λ＋μ
即(0，－1，b)＝λ(a,0,1)＋μ
＝
∴∴b＝λ＝，即AP＝.]
5．如图3-2-9，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点．设Q是CC1上的点，则当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?
图3-2-9
[解] 建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为2，
则O(1,1,0)，A(2,0,0)，P(0,0,1)，B(2,2,0)，D1(0,0,2)，
∴＝(1，－1,0)，＝(－1，－1,1)，＝(－2，－2，2)．
设平面PAO的法向量为n1＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1，则y＝1，z＝2，
∴平面PAO的一个法向量为n1＝(1,1,2)．
若平面D1BQ∥平面PAO，则n1也是平面D1BQ的一个法向量．
设Q(0,2，c)，则＝(－2,0，c)，
∴n1·＝0，即－2＋2c＝0，∴c＝1，
这时n1·＝－2－2＋4＝0.
∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.
课时分层作业(十九) 空间向量与垂直关系
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k＝( )
A．4 B．－4 C．5 D．－5
D [∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0.
∴k＝－5.]
2．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为( )
A．，－，4 B．，－，4
C．，－2,4 D．4，，－15
B [∵⊥，∴·＝0，即3＋5－2z＝0，得z＝4，
又BP⊥平面ABC，∴⊥，⊥，
则解得]
3．在菱形ABCD中，若是平面ABCD的法向量，则以下等式中可能不成立的是( )
【导学号：46342170】
A．⊥ B．⊥
C．⊥ D．⊥
D [由题意知PA⊥平面ABCD，所以PA与平面上的线AB，CD都垂直，A，B正确；又因为菱形的对角线互相垂直，可推得对角线BD⊥平面PAC，故PC⊥BD，C选项正确．]
4．已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，点D满足条件：DB⊥AC，DC⊥AB，AD＝BC，则点D的坐标为( )
A．(1,1,1)
B．(－1，－1，－1)或
C．
D．(1,1,1)或
D [设D(x，y，z)，则＝(x，y－1，z)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y，z)，＝(－1,0,1)，
＝(－1，1,0)，
＝(0，－1,1)．
又DB⊥AC?－x＋z＝0 ①，
DC⊥AB?－x＋y＝0 ②，
AD＝BC?(x－1)2＋y2＋z2＝2 ③，
联立①②③得x＝y＝z＝1或x＝y＝z＝－，所以点D的坐标为(1,1,1)或.故选D．]
5.如图3-2-14所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝A1D，AF＝AC，则( )
图3-2-14
A．EF至多与A1D，AC之一垂直
B．EF⊥A1D，EF⊥AC
C．EF与BD1相交
D．EF与BD1异面
B [建立分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴的空间直角坐标系(图略)，不妨设正方体的棱长为1，则＝(1,0,1)，
＝(0,1,0)－(1,0,0)＝(－1,1,0)，
E，F，
＝，∴·＝0，·＝0，
∴EF⊥A1D，EF⊥AC．]
二、填空题
6．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．
①②③ [·＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则⊥，则AB⊥AP.·＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则⊥，则AP⊥AD．又AB∩AD＝A，∴AP⊥平面ABCD，故是平面ABCD的一个法向量．]
7．已知a＝(0,1,1)，b＝(1,1,0)，c＝(1,0,1)分别是平面α，β，γ的法向量，则α，β，γ三个平面中互相垂直的有________对.
【导学号：46342171】
0 [∵a·b＝(0,1,1)·(1,1,0)＝1≠0，a·c＝(0,1,1)·(1,0,1)＝1≠0，b·c＝(1,1,0)·(1,0,1)＝1≠0，∴a，b，c中任意两个都不垂直，即α，β，γ中任意两个都不垂直．]
8．已知空间三点A(－1,1,1)，B(0,0,1)，C(1,2，－3)，若直线AB上存在一点M，满足CM⊥AB，则点M的坐标为________．
[设M(x，y，z)，∵＝(1，－1,0)，＝(x，y，z－1)，＝(x－1，y－2，z＋3)，由题意，得，∴x＝－，y＝，z＝1，∴点M的坐标为.]
三、解答题
9.如图3-2-15，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM⊥平面BDF.
图3-2-15
[证明] 以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(，，0)，B(0，，0)，D(，0,0)，F(，，1)，M.
所以＝，＝(0, ，1)，＝(，－，0)．
设n＝(x，y，z)是平面BDF的法向量，
则n⊥，n⊥，
所以?
取y＝1，得x＝1，z＝－.
则n＝(1,1，－)．
因为＝.
所以n＝－ ，得n与共线．
所以AM⊥平面BDF.
10．如图3-2-16所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．
图3-2-16
求证：平面DEA⊥平面ECA．
[证明] 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，不妨设CA＝2，
则CE＝2，BD＝1，C(0,0,0)，A(，1,0)，B(0,2,0)，E(0,0,2)，D(0,2,1)．
所以＝(，1，－2)，＝(0,0,2)，＝(0,2，－1)．
分别设平面CEA与平面DEA的法向量是n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)，
则即
解得
即
解得
不妨取n1＝(1，－，0)，
n2＝(，1,2)，
因为n1·n2＝0，所以n1⊥n2.
所以平面DEA⊥平面ECA．
[能力提升练]
1．两平面α，β的法向量分别为μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是( )
A．－3 B．6 C．－6 D．－12
B [∵μ＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y,1)分别为α，β的法向量且α⊥β，
∴μ⊥v，
即μ·v＝0，
－6＋y＋z＝0
∴y＋z＝6.]
2.如图3-2-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝1，D是棱CC1的中点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点．若点Q在线段B1P上，则下列结论正确的是( )
图3-2-17
A．当点Q为线段B1P的中点时，DQ⊥平面A1BD
B．当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平面A1BD
C．在线段B1P的延长线上，存在一点Q，使得DQ⊥平面A1BD
D．不存在DQ与平面A1BD垂直
D [以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则由已知得A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)，D，P(0,2,0)，＝(1,0,1)，＝，＝(－1,2,0)，＝.设平面A1BD的法向量为n＝(x，y，z)，则取z＝－2，则x＝2，y＝1，所以平面A1BD的一个法向量为n＝(2,1，－2)．假设DQ⊥平面A1BD，且＝λ＝λ(－1,2,0)＝(－λ，2λ，0)，则＝＋＝，因为也是平面A1BD的法向量，所以n＝(2,1，－2)与＝共线，于是有＝＝＝成立，但此方程关于λ无解．故不存在DQ与平面A1BD垂直，故选D．]
3.如图3-2-18，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F分别为PB，AD中点，则直线EF与平面PBC的位置关系是________. 【导学号：46342173】
图3-2-18
垂直 [以D为原点，DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系(图略)，则E，F，∴＝，平面PBC的一个法向量n＝(0,1,1)，∵＝－n，
∴∥n，
∴EF⊥平面PBC．]
4．设A是空间任意一点，n是空间任意一个非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．
过点A且与向量n垂直的平面 [∵·n＝0，∴⊥n或＝0，∴点M在过点A且与向量n垂直的平面上．]
5．如图3-2-19，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD∥BC，∠ABC＝∠PAD＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD．若PA＝AB＝BC＝AD．
图3-2-19
(1)求证：CD⊥平面PAC；
(2)侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由．
[解] 因为∠PAD＝90°，所以PA⊥AD．又因为侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD＝AD，所以PA⊥底面ABCD．又因为∠BAD＝90°，所以AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
设AD＝2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1)．
(1)证明：＝(0,0,1)，＝(1,1,0)，＝(－1,1,0)，
可得·＝0，·＝0，所以AP⊥CD，AC⊥CD．
又因为AP∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC．
(2)设侧棱PA的中点是E，则E，＝.
设平面PCD的法向量是n＝(x，y，z)，则因为＝(－1,1,0)，＝(0,2，－1)，所以取x＝1，则y＝1，z＝2，所以平面PCD的一个法向量为n＝(1,1,2)．
所以n·＝(1,1,2)·＝0，所以n⊥.
因为BE?平面PCD，所以BE∥平面PCD．
综上所述，当E为PA的中点时，BE∥平面PCD．
课时分层作业(一) 命题
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列语句中是命题的是( )
A．周期函数的和是周期函数吗？
B．sin 45°＝1
C．x2＋2x－1>0
D．x2＋y2＝0
B [对于A，是疑问句，不是命题；对于C，D，不能判断真假，不是命题；对于B，是陈述句且能判断真假，是命题．]
2．下列命题中是假命题的是( )
A．a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2＞bc2，则a＞b
D．若α＝60°，则cos α＝
B [因为|a|＝|b|只能说明a与b的模相等，所以a＝b不一定成立，故选B.]
3．命题“垂直于同一个平面的两条直线平行”的条件是( )
【导学号：46342004】
A．两条直线
B．一个平面
C．垂直
D．两条直线垂直于同一个平面
D [命题的条件是“两条直线垂直于同一个平面”．]
4．下列四个命题中，真命题是( )
A．a＞b，c＞d?ac＞bd
B．a＜b?a2＜b2
C．＜?a＞b
D．a＞b，c＜d?a－c＞b－d
D [可以通过举反例的方法说明A、B、C为假命题．]
5．给出命题“方程x2＋ax＋1＝0没有实数根”，则使该命题为真命题的a的一个值可以是( )
A．4 B．2 C．0 D．－3
C [由题意知，Δ＝a2－4<0，故a＝0适合题意．]
二、填空题
6．命题“若a>0，则二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包括边界)”的条件p：________， 结论q：________.它是________命题(填“真”或“假”)．
a>0 二元一次不等式x＋ay－1≥0表示直线x＋ay－1＝0的右上方区域(包含边界) 真 [a>0时，设a＝1，把(0,0)代入x＋y－1≥0得－1≥0不成立，∴x＋y－1≥0表示直线的右上方区域，∴命题为真命题．]
7．将命题“奇函数的定义域和图象均关于原点对称”，改写为“若p，则q”的形式为________.
【导学号：46342005】
若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称 [命题若p，则q的形式为“若一个函数是奇函数，则这个函数的定义域和图象均关于原点对称”．]
8．给出下列语句：①空集是任何集合的真子集；②函数y＝ax＋1是指数函数吗？③正方形既是矩形又是菱形；④老师写的粉笔字真漂亮！⑤若x∈R，则x2＋4x＋5＞0；⑥作AB∥A′B′.其中为命题的序号是________，为真命题的序号是________．
①③⑤ ③⑤ [①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集；②该语句是疑问句，不是命题；③是命题，且是真命题，由正方形定义可知；④该语句是感叹句，不是命题；⑤是命题，因为x2＋4x＋5＝(x＋2)2＋1＞0恒成立，所以是真命题；⑥该语句是祈使句，不是命题．]
三、解答题
9．判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？
(1)2＋2是有理数；
(2)1＋1>2；
(3)2100是个大数；
(4)968能被11整除；
(5)非典型性肺炎是怎样传播的？
[解] (1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题．
10．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断真假．
(1)体对角线相等的四棱柱是长方体．
(2)能被10整除的数既能被2整除又能被5整除．
(3)正弦值相等的两个角的终边相同.
【导学号：46342006】
[解] (1)若四棱柱的体对角线相等，则这个四棱柱是长方体．该命题是假命题．
(2)若一个数能被10整除，则这个数既能被2整除又能被5整除．该命题为真命题．
(3)若两个角的正弦值相等，则这两个角的终边相同．该命题为假命题．
[能力提升练]
1．“红豆生南国，春来发几枝？愿君多采撷，此物最相思．”这是唐代诗人王维的《相思》，这首诗中，在当时条件下，可以作为命题的是( )
A．红豆生南国 B．春来发几枝
C．愿君多采撷 D．此物最相思
A [“红豆生南国”是陈述句，所述事件在唐代是事实，所以本句是命题，且是真命题；“春来发几枝”是疑问句，“愿君多采撷”是祈使句，“此物最相思”是感叹句，都不是命题，故选A.]
2．命题“第二象限角的余弦值小于0”的条件是( )
A．余弦值
B．第二象限
C．一个角是第二象限角
D．没有条件
C [原命题可改写为若一个角是第二象限角，则它的余弦值小于0，故选C．]
3．下列命题是真命题的是________．
①0是{0,1,2}的真子集；
②关于x的方程x2＋|x|－6＝0有四个实数根；
③设a，b，c是实数，若a>b，则ac2>bc2；
④若a≠0，则(a2＋1)2>a4＋a2＋1.
④ [对于①，0是集合{0,1,2}的元素，不是真子集，故①是假命题；对于②，由x2＋|x|－6＝0得|x|＝2，所以x＝±2，方程有两个实数根，故②是假命题；
对于③，当c＝0时，ac2＝bc2，故③是假命题；
对于④，当a≠0得(a2＋1)2＝a4＋2a2＋1>a4＋a2＋1，故④是真命题．]
4．命题“函数y＝log2(x2－mx＋4)的值域为R”为真命题，则实数m的取值范围为________.
【导学号：46342007】
(－∞，－4]∪[4，＋∞) [由题意知函数y＝x2－mx＋4的图象与x轴有交点，则Δ＝m2－4×4≥0，解得m≥4或m≤－4.]
5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)当m>时，方程mx2－x＋1＝0无实根；
(2)平行于同一平面的两条直线平行．
[解] (1)命题可改写为：若m>，则mx2－x＋1＝0无实根．
因为当m>时，Δ＝1－4m<0，
所以是真命题．
(2)命题可改写为：若两条直线平行于同一平面，则它们互相平行．
因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，所以是假命题.
课时分层作业(二十) 空间向量与空间角
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若异面直线l1的方向向量与l2的方向向量的夹角为150°，则l1与l2所成的角为( )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．以上均不对
A [l1与l2所成的角与其方向向量的夹角相等或互补，且异面直线所成角的范围为.应选A．]
2．已知二面角α-l-β的两个半平面α与β的法向量分别为a，b，若〈a，b〉＝，则二面角α-l-β的大小为( )
A． B．
C．或 D．或
C [由于二面角的范围是[0，π]，而二面角的两个半平面α与β的法向量都有两个方向，因此二面角α-l-β的大小为或，故选C．]
3.如图3-2-27，空间正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是CD，CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是( )
图3-2-27
A． B． C． D．
D [以D为原点，DA，DC，DD1所在直线为坐标轴建系(图略)，则＝，＝，
cos〈，〉＝＝0.
∴〈，〉＝.]
4．已知在正四面体A-BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )
【导学号：46342179】
A． B． C． D．
B [作AO⊥平面BCD于点O，则O是△BCD的中心，以O为坐标原点，直线OD为y轴，直线OA为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．设AB＝2，则O(0,0,0)，A，C，E，∴＝，＝，∴cos〈，〉＝＝＝.∴CE与平面BCD的夹角的正弦值为.]
5．如图3-2-28所示，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C-BF-D的正切值为( )
图3-2-28
A． B． C． D．
D [如图所示，设AC与BD交于点O，连接OF.以O为坐标原点，OB，OC，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Oxyz.
设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，所以O(0,0,0)，B，F，C，＝，易知为平面BDF的一个法向量，由＝，＝，可得平面BCF的一个法向量为n＝(1，，)．所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，所以tan〈n，〉＝.故二面角C-BF-D的正切值为.]
二、填空题
6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________．
[由题意，得直线l与平面α所成角的正弦值为＝＝.]
7．已知点E，F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则平面AEF与平面ABC所成的二面角的正切值等于________．
[如图，建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，平面ABC的法向量为n1＝(0,0,1)，平面AEF的法向量为n2＝(x，y，z)．
所以A(1,0,0)，E，F，
所以＝，＝，
则即
取x＝1，则y＝－1，z＝3.故n2＝(1，－1,3)．
所以cos〈n1，n2〉＝＝.
所以平面AEF与平面ABC所成的二面角的平面角α满足cos α＝，sin α＝，所以tan α＝.]
8．如图3-2-29，正三角形ABC与正三角形BCD所在的平面互相垂直，则直线CD与平面ABD所成角的正弦值为________.
【导学号：46342180】
图3-2-29
[取BC的中点O，连接AO，DO，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.
设BC＝1，则A，B，C，D，所以＝，＝，＝.
设平面ABD的法向量为n＝(x，y，z)，则，所以，取x＝1，则y＝－，z＝1，所以n＝(1，－，1)，所以cos〈n，〉＝，因此直线CD与平面ABD所成角的正弦值为.]
三、解答题
9.如图3-2-30，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点．
图3-2-30
(1)求异面直角AB与CE所成角的大小；
(2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值．
[解] (1)∵DB⊥BA，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，DB?平面ABDE，∴DB⊥平面ABC．
∵BD∥AE，∴EA⊥平面ABC．
如图所示，以C为坐标原点，分别以CA，CB所在直线为x，y轴，以过点C且与EA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系．
∵AC＝BC＝4，∴C(0,0,0)，A(4,0,0)，B(0,4,0)，E(4,0,4)，
∴＝(－4,4,0)，＝(4,0,4)．
∴cos〈，〉＝＝－，
∴异面直线AB与CE所成角的大小为.
(2)由(1)知O(2,0,2)，D(0,4,2)，M(2,2,0)，
∴＝(0,4,2)，＝(－2,4,0)，＝(－2,2,2)．
设平面ODM的法向量为n＝(x，y，z)，
则由，可得，
令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2,1,1)．
设直线CD与平面ODM所成的角为θ，
则sin θ＝|cos〈n，〉|＝＝，
∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为.
10．如图3-2-31，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，PA＝PD＝，AB＝4.
图3-2-31
(1)求证：M为PB的中点；
(2)求二面角B-PD-A的大小；
(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值.
【导学号：46342181】
[解] (1)证明：设AC，BD交于点E，连接ME，
因为PD∥平面MAC，平面MAC∩平面PDB＝ME，
所以PD∥ME.
因为四边形ABCD是正方形，
所以E为BD的中点，
所以M为PB的中点．
①
(2)如图②，取AD的中点O，连接OP，OE.
因为PA＝PD，所以OP⊥AD．
又因为平面PAD⊥平面ABCD，且OP?平面PAD，
所以OP⊥平面ABCD．
因为OE?平面ABCD，所以OP⊥OE.
因为四边形ABCD是正方形，所以OE⊥AD．
如图②，建立空间直角坐标系O-xyz，则P(0,0，)，D(2,0,0)，B(－2,4,0)，＝(4，－4,0)，＝(2,0，－)．
②
设平面BDP的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
令x＝1，则y＝1，z＝.
于是n＝(1,1，)．
平面PAD的法向量为p＝(0,1,0)，
所以cos〈n，p〉＝＝.
由题意知二面角B-PD-A为锐角，所以它的大小为.
(3)由题意知M，C(2,4,0)，＝.
设直线MC与平面BDP所成角为α，则sin α＝|cos〈n，〉|＝＝，
所以直线MC与平面BDP所成角的正弦值为.
[能力提升练]
1.如图3-2-32，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，侧棱AA1＝2，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.则A1B与平面ABD所成角的正弦值为( )
图3-2-32
A． B． C． D．
A [以C为坐标原点，CA所在的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，CC1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
设CA＝CB＝a，则A(a,0,0)，B(0，a,0)，A1(a,0,2)，D(0,0,1)，∴E，G，＝，＝(0，－a,1)．∵点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，∴⊥平面ABD，∴·＝0，解得a＝2，∴＝，＝(2，－2,2)，∵⊥平面ABD，∴为平面ABD的一个法向量．又cos〈，〉＝＝＝，∴A1B与平面ABD所成角的正弦值为.]
2．如图3-2-33，已知矩形ABCD与矩形ABEF全等，二面角D-AB-E为直二面角，M为AB的中点，FM与BD所成的角为θ，且cos θ＝，则＝( )
图3-2-33
A．1 B． C． D．
C [不妨设BC＝1，AB＝λ，则＝λ.记＝a，＝b，＝c，则＝b－a，＝c－b，根据题意，|a|＝|c|＝1，|b|＝λ，a·b＝b·c＝c·a＝0，∴·＝－b2＝－λ2，而||＝，||＝，
∴|cos〈，〉|＝＝＝，得λ＝.故选C．]
3．在空间中，已知平面α过(3,0,0)和(0,4,0)及z轴上一点(0,0，a)(a＞0)，如果平面α与平面xOy的夹角为45°，则a＝________.
[平面xOy的法向量为n＝(0,0,1)，设平面α的法向量为u＝(x，y，z)，则
即3x＝4y＝az，取z＝1，则u＝.
而cos〈n，u〉＝＝，
又∵a＞0，∴a＝.]
4．如图3-2-34，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PD⊥平面ABCD且PD＝AD＝1，AB＝2，点E是线段AB上一点，当二面角P-EC-D为时，AE＝________.
【导学号：46342182】
图3-2-34
2－ [设AE＝a(0≤a≤2)，以点D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz(图略)，则D(0,0,0)，E(1，a,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)，则＝(1，a，－1)，＝(0,2，－1)，设平面PEC的法向量为m＝(x，y，z)，则，即，令y＝1，可得x＝2－a，z＝2，则m＝(2－a,1,2)，易知平面DEC的一个法向量为＝(0,0,1)，则|cos〈m，〉|＝＝，解得a＝2－或2＋(舍去)，所以AE＝2－.]
5．如图3-2-35，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．
图3-2-35
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC；
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D-AE-C的余弦值．
[解] (1)证明：由题设可得△ABD≌△CBD，从而AD＝CD．
又△ACD是直角三角形，
所以∠ADC＝90°.
取AC的中点O，连接DO，BO，
则DO⊥AC，DO＝AO.
又因为△ABC是正三角形，故BO⊥AC，
所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角．
在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2，
又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2，
故∠DOB＝90°.
所以平面ACD⊥平面ABC．
(2)由题设及(1)知，OA，OB，OD两两垂直，
以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，
建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
则A(1,0,0)，B(0，，0)，C(－1,0,0)，D(0,0,1)．
由题设知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的，从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的，
即E为DB的中点，得E，
故＝(－1,0,1)，＝(－2,0,0)，＝.
设n＝(x，y，z)是平面DAE的法向量，
则即
可取n＝.
设m是平面AEC的法向量，则
同理可取m＝(0，－1，)，
则cos〈n，m〉＝＝.
所以二面角D-AE-C的余弦值为.
课时分层作业(二) 四种命题 四种命题间的相互关系
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆否命题是( )
A．若x＋y是偶数，则x与y不都是偶数
B．若x＋y是偶数，则x与y都不是偶数
C．若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数
D．若x＋y不是偶数，则x与y都不是偶数
C [若命题为“若p，则q”，命题的逆否命题为“若非q，则非p”，所以原命题的逆否命题是“若x＋y不是偶数，则x与y不都是偶数”．故选C．]
2．命题“已知a，b都是实数，若a＋b＞0，则a，b不全为0”的逆命题、否命题与逆否命题中，假命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
C [逆命题“已知a，b都是实数，若a，b不全为0，则a＋b＞0”为假命题，其否命题与逆命题等价，所以否命题为假命题．逆否命题“已知a，b都是实数，若a，b全为0，则a＋b≤0”为真命题，故选C．]
3．已知命题“若ab≤0，则a≤0或b≤0”，则下列结论正确的是( )
【导学号：46342012】
A．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
B．原命题为真命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
C．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0或b＞0”
D．原命题为假命题，否命题：“若ab＞0，则a＞0且b＞0”
B [逆否命题“若a＞0且b＞0，则ab＞0”，显然为真命题，又原命题与逆否命题等价，故原命题为真命题．否命题为“若ab＞0，则a＞0且b＞0”，故选B.]
4．命题“若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是( )
A．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
B．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数
C．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
D．若loga2＜0，则函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数
A [命题“若p，则q”的逆否命题为“若﹁q，则﹁p”．“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数”．]
5．某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”，这句话的等价命题是( )
A．不拥有的人们会幸福
B．幸福的人们不都拥有
C．拥有的人们不幸福
D．不拥有的人们不幸福
D [“幸福的人们都拥有”我们可将其化为：如果人是幸福的，则这个人拥有某种食品，它的逆否命题为：如果这个人没有拥有某种食品，则这个人是不幸福的，即“不拥有的人们就不幸福”，故选D.]
二、填空题
6．命题“若x2<4，则－2若x≤－2或x≥2，则x2≥4 [命题“若x2<4，则－27．已知命题“若m－1[1,2] [逆命题为“若1则，解得1≤m≤2.]
8．命题“若x≠1，则x2－1≠0是________命题(填“真、假”).
【导学号：46342013】
假命题 [命题的条件和结论都是否定形式，可以化为判断其逆否命题的真假，其逆否命题为“若x2－1＝0，则x＝1”，因为x2－1＝0时，x＝±1，所以该命题为假命题，从而原命题是假命题．]
三、解答题
9．写出命题“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．
[解] ∵原命题是“若x2－3x＋2≠0，则x≠1且x≠2”，
∴它的逆命题是：若x≠1且x≠2，则x2－3x＋2≠0，是真命题；
否命题是：若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2，是真命题；
逆否命题是：若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0，是真命题．
10．证明：若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1.
[证明] 若a－b＝1，则a2－b2＋2a－4b－3＝(a＋b)(a－b)＋2(a－b)－2b－3＝(a－b)－1＝0成立，
∴根据逆否命题的等价性可知：
若a2－b2＋2a－4b－3≠0，则a－b≠1成立．
[能力提升练]
1．对于原命题“单调函数不是周期函数”，下列陈述正确的是( )
A．逆命题为“周期函数不是单调函数”
B．否命题为“单调函数是周期函数”
C．逆否命题为“周期函数是单调函数”
D．以上三者都不正确
D [原命题的逆命题是“非周期函数是单调函数”，故A不正确；原命题的否命题是“非单调函数是周期函数”，故B不正确；原命题的逆否命题是“周期函数不是单调函数”，故C不正确．]
2．若命题“若xm＋1，则x2－2x－3>0”的逆命题为真、逆否命题为假，则实数m的取值范围是( )
A．(－1,2) B．(0,2]
C．[－1,1) D．[0,2]
D [由已知，易得{x|x2－2x－3>0}?{x|xm＋1}．又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，∴或，∴0≤m≤2.]
3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数为________．
1 [易判断原命题为真命题，故其逆否命题也是真命题．逆命题：若一个四边形对角线互相垂直，则该四边形为菱形，为假命题．故原命题的否命题也是假命题．]
4．下列命题中为假命题的是________(填序号)．
①“若k>0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题；
②“若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0”的逆命题；
③“梯形不是平行四边形”的逆否命题．
① [对于①，“若k>0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0有实根”的否命题为“若k≤0，则关于x的方程x2＋2x＋k＝0无实根”，当k≤0时，Δ＝4－4k>0.所以方程有实根，所以①为假命题．对于②，“若向量a，b满足a·b＝0，则a＝0或b＝0”的逆命题是“若a＝0或b＝0，则a·b＝0”，所以②是真命题．对于③，“梯形不是平行四边形”是真命题，所以其逆否命题也为真命题，所以③为真命题．]
5．已知数列{an}是等比数列，命题p：若a1【导学号：46342014】
[解] 命题p的逆命题：已知数列{an}是等比数列，若数列{an}是递增数列，则a1命题p的否命题：已知数列{an}是等比数列，若a1≥a2或a2≥a3，则数列{an}不是递增数列；
命题p的逆否命题：已知数列{an}是等比数列，若数列{an}不是递增数列，则a1≥a2或a2≥a3.
设数列{an}的公比为q，若a1当a1>0时，解得q>1，此时数列{an}是递增数列；
当a1<0时，解得0反之，若数列{an}是递增数列，显然有a1所以命题p及其逆命题都是真命题．
由于命题p的逆否命题与命题p是等价命题，命题p的否命题与命题p的逆命题也是等价命题，
所以命题p的逆命题、否命题与逆否命题都是真命题.1.2 充分条件与必要条件
课时分层作业(三) 充分条件与必要条件 充要条件
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A?B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A?B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A?B”的充分不必要条件．]
2．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
【导学号：46342019】
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [当数列{an}的首项a1<0时，若q>1，则数列{an}是递减数列；当数列{an}的首项a1<0时，要使数列{an}为递增数列，则01”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．]
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是( )
A．m＝－2 B．m＝2
C．m＝－1 D．m＝1
A [由函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称可得－＝1，即m＝－2，且当m＝－2时，函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称，故选A.]
4．设p是q的充分不必要条件，r是q的必要不充分条件．s是r的充要条件，则s是p的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由题可知，pqr?s，则p?s，sp，故s是p的必要不充分条件．]
5．若x>2m2－3是－1A．[－3,3]
B．(－∞，－3]∪[3，＋∞)
C．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
D．[－1,1]
D [由x>2m2－3是－1二、填空题
6．设集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|0充分不必要 [A＝{x|x(x－1)<0}＝{x|07．“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增的________条件．”
【导学号：46342020】
充分不必要 [当a>0时，y＝a2＋1－，在上单调递增，因此在(0，＋∞)上单调递增，故充分性成立．
当a＝0时，此时y＝x＋1, 在R上单调递增，
因此在(0，＋∞)上单调递增．故必要性不成立．
综上，“a>0”是“函数y＝ax2＋x＋1在(0，＋∞)上单调递增”的充分不必要条件．]
8．若p：x(x－3)<0是q：2x－3[3，＋∞) [由x(x－3)<0得0由p是q的充分不必要条件知{x|0所以(m＋3)≥3，解得m≥3.]
三、解答题
9．已知p：－4[解] 设q、p表示的范围为集合A、B，
则A＝(2,3)，B＝(a－4，a＋4)．
因q是p的充分条件，则有A?B，
即所以－1≤a≤6.
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝(n＋1)2＋c，探究数列{an}是等差数列的充要条件.
【导学号：46342021】
[解] 当{an}是等差数列时，∵Sn＝(n＋1)2＋c，
∴当n≥2时，Sn－1＝n2＋c，
∴an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
∴an＋1－an＝2为常数．
又a1＝S1＝4＋c，
∴a2－a1＝5－(4＋c)＝1－C．
∵{an}是等差数列，∴a2－a1＝2，∴1－c＝2，
∴c＝－1.
反之，当c＝－1时，Sn＝n2＋2n，
可得an＝2n＋1(n∈N*)，∴{an}为等差数列，
∴{an}为等差数列的充要条件是c＝－1.
[能力提升练]
1．下面四个条件中，使a>b成立的充分不必要条件是( )
A．a≥b＋1 B．a>b－1
C．a2>b2 D．a3>b3
A [由a≥b＋1>b，从而a≥b＋1?a>b；反之，如a＝4，b＝3.5，则4>3.54≥3.5＋1，故a>ba≥b＋1，故A正确．]
2．一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( )
A．a<0 B．a>0
C．a<－1 D．a<1
C [一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选C．]
3．设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的________条件.
【导学号：46342022】
充分不必要 [∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.
∴当λ<0，n≠0时，m·n<0.
反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0?cos〈m，n〉<0?〈m，n〉∈，
当〈m，n〉∈时，m，n不共线．
故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的充分而不必要条件．]
4．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________．
(3，＋∞) [因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，
f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，
所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.
又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，
所以2－t<－1，即t>3.]
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝pn＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
[证明] 充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，
显然，当n＝1时，也成立．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p，
即数列{an}为等比数列，
必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)．
因为p≠0，且p≠1，
所以＝＝p.
因为{an}为等比数列，
所以＝＝p，即＝p.
所以－p＝pq，即q＝－1.
所以数列{an}为等比数列的充要条件为q＝－1.
课时分层作业(四) 简单的逻辑联结词
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．给出下列命题：①2014年2月14日是中国传统节日元宵节，同时也是西方的情人节；②10的倍数一定是5的倍数；③梯形不是矩形；④方程x2＝1的解是x＝±1.其中使用逻辑联结词的命题有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [①中使用逻辑联结词“且”；②中没有使用逻辑联结词；③中使用逻辑联结词“非”；④中使用逻辑联结词“或”．命题①③④使用了逻辑联结词，共有3个，故选C．]
2．已知p：x∈A∩B，则﹁p是( )
A．x∈A且xB B．xA或xB
C．xA且xB D．x∈A∪B
B [x∈A∩B，即x∈A且x∈B，故﹁p是xA或xB.]
3．已知命题p：3≥3，q：3＞4，则下列判断正确的是( )
A．p∨q为真，p∧q为真，﹁p为假
B．p∨q为真，p∧q为假，﹁p为真
C．p∨q为假，p∧q为假，﹁p为假
D．p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假
D [∵p为真命题，q为假命题，∴p∨q为真，p∧q为假，﹁p为假，应选D.]
4．给出命题p：函数y＝x2－x－1有两个不同的零点；q：若<1，则x>1.那么在下列四个命题中，真命题是( )
【导学号：46342027】
A．(﹁p)∨q B．p∧q
C．(﹁p)∧(﹁q) D．(﹁p)∨(﹁q)
D [对于p，函数对应的方程x2－x－1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0，所以函数有两个不同的零点，故p为真．
对于q，当x<0时，不等式<1恒成立；当x>0时，不等式的解集为{x|x>1}．故不等式<1的解集为{x|x<0或x>1}．故命题q为假命题．
结合各选项知，只有(﹁p)∨(﹁q)为真．故选D.]
5．已知p：|x－1|≥2，q：x∈Z，若p∧q，﹁q同时为假命题，则满足条件的x的集合为( )
A．{x|x≤－1或x≥3，xZ}
B．{x|－1≤x≤3，xZ}
C．{x|x＜－1或x∈Z}
D．{x|－1＜x＜3，x∈Z}
D [p：x≥3或x≤－1，q：x∈Z，由p∧q，﹁q同时为假命题知，p假q真，∴x满足－1＜x＜3且x∈Z，故满足条件的集合为{x|－1＜x＜3，x∈Z}．]
二、填空题
6．已知命题s：“函数y＝sin x是周期函数且是奇函数”，则
①命题s是“p∧q”形式的命题；
②命题s是真命题；
③命题﹁s：函数y＝sin x不是周期函数且不是奇函数；
④命题﹁s是假命题．
其中，叙述正确的是________(填序号)
①②④ [命题s是“p∧q”形式的命题，①正确；命题s是真命题，②正确；命题﹁s：函数y＝sin x不是周期函数或不是奇函数，③不正确；命题﹁s是假命题，④正确．]
7．在一次射击比赛中，甲、乙两位运动员各射击一次，设命题p：“甲的成绩超过9环”，命题q：“乙的成绩超过8环”，则命题“p∨(﹁q)”表示________．
甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环 [﹁q表示乙的成绩没有超过8环，所以命题“p∨(﹁q)”表示甲的成绩超过9环或乙的成绩没有超过8环．]
8．已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}?{1,2,3}．给出下列结论：①“p或q”为真；②“p或q”为假；③“p且q”为真；④“p且q”为假；⑤“非p”为真；⑥“非q”为假．其中正确结论的序号是________.
【导学号：46342028】
①④⑤⑥ [由题意知，p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故①④⑤⑥正确．]
三、解答题
9．已知命题p：1∈{x|x2(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
[解] 若p为真命题，则1∈{x|x2故121；
若q为真命题，则2∈{x|x24.
(1)若“p或q”为真命题，则a>1或a>4，即a>1.
故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p且q”为真命题，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．
10．在一次模拟打飞机的游戏中，小李接连射击了两次，设命题p是“第一次击中飞机”，命题q是“第二次击中飞机”．试用p，q以及逻辑联结词“或”“且”“非”(∨，∧，﹁)表示下列命题：
(1)命题s：两次都击中飞机；
(2)命题r：两次都没击中飞机；
(3)命题t：恰有一次击中了飞机；
(4)命题u：至少有一次击中了飞机．
[解] (1)两次都击中飞机表示：第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题s表示为p∧q.
(2)两次都没击中飞机表示：第一次没有击中飞机且第二次没有击中飞机，所以命题r表示为﹁p∧﹁q.
(3)恰有一次击中了飞机包含两种情况：
①第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，此时表示为p∧﹁q；
②第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，此时表示为﹁p∧q.
所以命题t表示为(p∧﹁q)∨(﹁p∧q)．
(4)法一：命题u表示：第一次击中飞机或第二次击中飞机，所以命题u表示为p∨q.
法二：﹁u：两次都没击中飞机，即是命题r，所以命题u是﹁r，从而命题u表示为﹁(﹁p∧﹁q)．
法三：命题u表示：第一次击中飞机且第二次没有击中飞机，或者第一次没有击中飞机且第二次击中飞机，或者第一次击中飞机且第二次击中飞机，所以命题u表示为(p∧﹁q)∨(﹁p∧q)∨(p∧q)．
[能力提升练]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(﹁p)∨(﹁q) B．p∨(﹁q)
C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∨q
A [依题意，﹁p：“甲没有降落在指定范围”，﹁q：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(﹁p)∨(﹁q)．]
2．设a，b，c是非零向量．已知命题p：若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0；命题q：若a∥b，b∥c，则a∥c．则下列命题中真命题是( )
【导学号：46342029】
A．p∨q B．p∧q
C．(﹁p)∧(﹁q) D．p∨(﹁q)
A [对于命题p：因为a·b＝0，b·c＝0，所以a，b与b，c的夹角都为90°，但a，c的夹角可以为0°或180°，故a·c≠0，所以命题p是假命题；
对于命题q：a∥b，b∥c，说明a，b与b，c都共线，可以得到a，c的方向相同或相反，故a∥c，所以命题q是真命题．选项A中，p∨q是真命题，故A正确；
选项B中，p∧q是假命题，故B错误；选项C中，﹁p是真命题，﹁q是假命题，所以(﹁p)∧(﹁q)是假命题，故C错误；选项D中，p∨(﹁q)是假命题，所以D错误．]
3．p：<0，q：x2－4x－5<0，若p∧q为假命题，则x的取值范围是________．
(－∞，－1]∪[3，＋∞) [p为真时，由<0得x<3，q为真时，由x2－4x－5<0得－14．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4>0对一切x∈R恒成立；
命题q：函数y＝－(5－2a)x是减函数，若p∨q为真命题，p∧q为假命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，－2] [p为真时，Δ＝4a2－16<0，即－2q为真时，5－2a>1，即a<2，由p∨q为真命题，p∧q为假命题知，p和q一真一假，即p真q假或p假q真
所以或，解得a≤－2.]
5．已知命题p：关于x的方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若p∨q与﹁q同时为真命题，求实数a的取值范围.
【导学号：37792030】
[解] 若命题p为真，则，即，解得a≤－1.
若命题q为真，则a＝0或，解得0≤a<4.
因为p∨q与﹁q同时为真命题，所以p真且q假．
所以，解得a≤－1.
故实数a的取值范围是(－∞，－1].
课时分层作业(五) 全称量词与存在量词
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题为特称命题的是( )
A．奇函数的图象关于原点对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．棱锥仅有一个底面
D．存在大于等于3的实数x，使x2－2x－3≥0
D [A，B，C中命题都省略了全称量词“所有”，所以A，B，C都是全称命题；D中命题含有存在量词“存在”，所以D是特称命题，故选D.]
2．下列命题为真命题的是( )
【导学号：46342035】
A．?x∈R，cos x<2
B．?x∈Z，log2(3x－1)<0
C．?x>0,3x>3
D．?x∈Q，方程x－2＝0有解
A [A中，由于函数y＝cos x的最大值是1，又1<2，所以A是真命题；B中，log2(3x－1)<0?0<3x－1<1?3．命题“?x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( )
A．?x∈(－∞，0)，x3＋x<0
B．?x∈(－∞，0)，x3＋x≥0
C．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0
D．?x0∈[0，＋∞)，x＋x0≥0
C [原命题的否定为“?x0∈[0，＋∞)，x＋x0<0”，故选C．]
4．命题p：?x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若﹁p是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．(0,4] B．[0,4]
C．(－∞，0]∪[4，＋∞) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
D [当a＝0时，不等式恒成立；当a≠0时，要使不等式恒成立，则有即解得04.]
5．已知命题p：?x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．p∧﹁q
C．﹁p∧q D．﹁p∧﹁q
B [∵x>0，∴x＋1>1，∴ln(x＋1)>ln 1＝0.
∴命题p为真命题，∴﹁p为假命题．
∵a>b，取a＝1，b＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，
此时a2∴命题q为假命题，∴﹁q为真命题．
∴p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，﹁p∧q为假命题，﹁p∧﹁q为假命题．故选B.]
二、填空题
6．下列命题：
①有的质数是偶数；②与同一个平面所成的角相等的两条直线平行；③有的三角形三个内角成等差数列；④与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
其中是全称命题的为________，是特称命题的为_______________．(填序号)
②④ ①③ [全称命题为②④，特称命题为①③.]
7．命题“偶函数的图象关于y轴对称”的否定是____________________.
【导学号：46342036】
有些偶函数的图象关于y轴不对称 [题中的命题是全称命题，省略了全称量词，加上全称量词后该命题可以叙述为：所有偶函数的图象关于y轴对称．将命题中的全称量词“所有”改为存在量词“有些”，结论“关于y轴对称”改为“关于y轴不对称”，所以该命题的否定是“有些偶函数的图象关于y轴不对称”．]
8．已知命题：“?x0∈[1,2]，使x＋2x0＋a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是__________．
[－8，＋∞) [当x∈[1,2]时，x2＋2x＝(x＋1)2－1是增函数，所以3≤x2＋2x≤8，由题意有a＋8≥0，
∴a≥－8.]
三、解答题
9．判断下列命题的真假，并写出它们的否定：
(1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β；
(2)?x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解；
(4)正数的绝对值是它本身．
[解] (1)当α＝β＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，故命题为假命题．命题的否定为：?α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0.
(2)真命题．命题的否定为：?x，y∈Z,3x－4y≠20.
(3)真命题．命题的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
(4)省略了量词“所有的”，该命题是全称命题，且为真命题．命题的否定为：有的正数的绝对值不是它本身．
10．已知命题p：“至少存在一个实数x0∈[1,2]，使不等式x2＋2ax＋2－a>0成立”为真，试求参数a的取值范围．
[解] 法一：由题意知：x2＋2ax＋2－a>0在[1,2]上有解，令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，则只需f(1)>0或f(2)>0，即1＋2a＋2－a>0或4＋4a＋2－a>0.
整理得a>－3或a>－2.
即a>－3.故参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
法二：﹁p：?x∈[1,2]，x2＋2ax＋2－a>0无解，
令f(x)＝x2＋2ax＋2－a，
则即
解得a≤－3.
故命题p中，a>－3.
即参数a的取值范围为(－3，＋∞)．
[能力提升练]
1．命题“?x∈R，?n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是( )
A．?x ∈R，?n∈N*，使得nB．?x ∈R，?n∈N*，使得nC．?x ∈R，?n∈N*，使得nD．?x ∈R，?n∈N*，使得nD [将“?”改写为“?”，“?”改写为“?”，再否定结论可得，命题的否定为“?x∈R，?n∈N*，使得n2．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c，若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
【导学号：46342037】
A．?x∈R，f(x)≤f(x0)
B．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C．?x∈R，f(x)≤f(x0)
D．?x∈R，f(x)≥f(x0)
C [f(x)＝ax2＋bx＋c＝a＋(a>0)，
∵2ax0＋b＝0，∴x0＝－，
当x＝x0时，函数f(x)取得最小值，
∴?x∈R，f(x)≥f(x0)，从而A，B，D为真命题，C为假命题．]
3．命题“?n∈N*，f(n)∈N*且f(n)≤n”的否定为________．
?n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)>n0 [全称命题的否定为特称命题，因此原命题的否定为“?n0∈N*，f(n0)N*或f(n0)>n0”]
4．命题p：?x0∈[0，π]，使sin [0≤x≤π，则≤x＋≤，所以－≤sin≤1；而命题p：?x∈[0，π]，使sin－.]
5．已知命题p：?x∈R，x2＋(a－1)x＋1≥0，命题q：?x0∈R，ax－2ax0－3>0，若p假q真，求实数a的取值范围.
【导学号：46342038】
[解] 因为命题p是假命题，
所以命题﹁p：?x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0是真命题，则(a－1)2－4>0，
解得a<－1或a>3.
因为命题q：?x0∈R，ax－2ax0－3>0是真命题．
所以当a＝0时，－3<0，不满足题意；
当a<0时，(－2a)2＋12a>0，所以a<－3.
当a>0时，函数y＝ax2－2ax－3的图象开口向上，一定存在满足条件的x0，故a<－3或a>0.
综上，实数a的取值范围是(－∞，－3)∪(3，＋∞).
课时分层作业(七) 椭圆及其标准方程
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．椭圆＋＝1的焦点坐标为( )
A．(5,0)，(－5,0) B．(0,5)，(0，－5)
C．(0,12)，(0，－12) D．(12,0)，(－12,0)
C [c2＝169－25＝144.c＝12，故选C.]
2．已知椭圆过点P和点Q，则此椭圆的标准方程是( )
A．x2＋＝1
B.＋y2＝1或x2＋＝1
C.＋y2＝1
D．以上都不对
A [设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，
则
∴
∴椭圆的方程为x2＋＝1.]
3．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于( )
【导学号：46342065】
A．5 B．4
C．3 D．1
B [由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，由22＋42＝(2)2，可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×4×2＝4，故选B.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是( )
A．圆 B．椭圆
C．线段 D．直线
B [|PF1|＋|PO|＝|MF1|＋|MF2|＝(|MF1|＋|MF2|)＝a>|F1O|，因此点P的轨迹是椭圆．]
5．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是( )
A．(3，＋∞)
B．(－∞，－2)
C．(3，＋∞)∪(－∞，－2)
D．(3，＋∞)∪(－6，－2)
D [由于椭圆的焦点在x轴上，
所以即
解得a＞3或－6＜a＜－2，故选D.]
二、填空题
6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆与x轴的一个交点到两焦点的距离分别为3和1，则椭圆的标准方程为____________.
【导学号：46342066】
＋＝1 [由题意知，解得则b2＝a2－c2＝3，
故椭圆的标准方程为＋＝1.]
7．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且⊥.若△PF1F2的面积为9，则b＝________.
3 [依题意，有
可得4c2＋36＝4a2，即a2－c2＝9，故有b＝3.]
8．已知P是椭圆＋＝1上的一动点，F1，F2是椭圆的左、右焦点，延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹方程是________．
(x＋1)2＋y2＝16 [如图，依题意，|PF1|＋|PF2|＝2a(a是常数且a＞0)．
又|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，
即|QF1|＝2a.
由题意知，a＝2，b＝，c＝＝＝1.
∴|QF1|＝4，F1(－1,0)，
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，4为半径的圆，
∴动点Q的轨迹方程是(x＋1)2＋y2＝16.]
三、解答题
9．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点．设椭圆C上一点到两焦点F1，F2的距离和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标．
[解] ∵椭圆上一点到两焦点的距离之和为4，
∴2a＝4，a2＝4，
∵点是椭圆上的一点，
∴＋＝1，
∴b2＝3，∴c2＝1，
∴椭圆C的方程为＋＝1.
焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)．
10．已知点A(0，)和圆O1：x2＋(y＋)2＝16，点M在圆O1上运动，点P在半径O1M上，且|PM|＝|PA|，求动点P的轨迹方程.
【导学号：46342067】
[解] 因为|PM|＝|PA|，|PM|＋|PO1|＝4，
所以|PO1|＋|PA|＝4，
又因为|O1A|＝2<4，
所以点P的轨迹是以A，O1为焦点的椭圆，所以c＝，a＝2，b＝1.
所以动点P的轨迹方程为x2＋＝1.
[能力提升练]
1．已知椭圆＋y2＝1的焦点为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到x轴的距离为( )
A. B．.
C. D.
C [设M(x0，y0)，由F1(－，0)，F2(，0)得＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)，
由·＝0得x＋y＝3，
又＋y＝1，解得y0＝±.
即点M到x轴的距离为，故选C.]
2.如图2-2-3，∠OFB＝，△ABF的面积为2－，则以OA为长半轴，OB为短半轴，F为一个焦点的椭圆方程为__________．
图2-2-3
＋＝1 [设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由题意可知，|OF|＝c，|OB|＝b，
∴|BF|＝a.∵∠OFB＝，∴＝，a＝2b.
∴S△ABF＝·|AF|·|BO|＝(a－c)·b＝(2b－b)b＝2－，
解得b2＝2，则a＝2b＝2.
∴所求椭圆的方程为＋＝1.]
3．若椭圆2kx2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________.
【导学号：46342068】
k＝ [易知k>0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝.]
4．如图2-2-4所示，F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为的正三角形，则b2＝________.
图2-2-4
2 [设正三角形POF2的边长为c，则c2＝，
解得c＝2，从而|OF2|＝|PF2|＝2，
连接PF1(略)，由|OF1|＝|OF2|＝|OP|知，PF1⊥PF2
则|PF1|＝＝＝2
所以2a＝|PF1|＋|PF2|＝2＋2，即a＝＋1
所以b2＝a2－c2＝(＋1)2－4＝2.]
5．设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与椭圆C相交于A，B两点(如图2-2-5所示)，∠F1F2B＝，△F1F2A的面积是△F1F2B面积的2倍．若|AB|＝，求椭圆C的方程．
图2-2-5
[解] 由题意可得S＝2S，
∴|F2A|＝2|F2B|，
由椭圆的定义得
|F1B|＋|F2B|
＝|F1A|＋|F2A|＝2a，
设|F2A|＝2|F2B|＝2m，
在△F1F2B中，由余弦定理得
(2a－m)2＝4c2＋m2－2·2c·m·cos?
m＝.
在△F1F2A中，同理可得m＝，
所以＝，解得2a＝3c，
可得m＝，|AB|＝3m＝＝，c＝4.
由＝，得a＝6，b2＝20，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
课时分层作业(八) 椭圆的简单几何性质
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4，则椭圆的方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
A [由题意知，解得
因此所求椭圆的方程为＋＝1.]
2．椭圆＋＝1与＋＝1(0A．有相等的长轴
B．有相等的短轴
C．有相同的焦点
D．有相等的焦距
D [由25－9＝(25－k)－(9－k)知，两椭圆有相等的焦距．]
3．椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为( )
【导学号：46342074】
A． B． C． D．
A [由题意知a＝2c，∴e＝＝＝.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F为右焦点，且AB⊥BF，则椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
D [在Rt△ABF中，|AB|＝，|BF|＝a，|AF|＝a＋c，由|AB|2＋|BF|2＝|AF|2，得a2＋b2＋a2＝(a＋c)2.将b2＝a2－c2代入，得a2－ac－c2＝0，即e2＋e－1＝0, 解得e＝，因为05．如图2-2-6，把椭圆＋＝1的长轴AB分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1，P2，…，P7七个点，F是椭圆的左焦点，则|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝( )
图2-2-6
A．35 B．30
C．25 D．20
A [设椭圆右焦点为F′，由椭圆的对称性，知|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，所以原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋|P4F|＝7a＝35.]
二、填空题
6．已知长方形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A，B为焦点，且过C、D的椭圆的离心率为________．
[如图，AB＝2c＝4，∵点C在椭圆上，∴CB＋CA＝2a＝3＋5＝8，∴e＝＝＝.]
7．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
＋＝1 [设所求椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)
由题意得解得
因此所求椭圆方程为＋＝1.]
8．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是________.
【导学号：46342075】
[1,2] [因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2.]
三、解答题
9．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)与x轴交于点A，以OA为边作等腰三角形OAP，其顶点P在椭圆上，且∠OPA＝120°，求椭圆的离心率．
[解] 不妨设A(a,0)，点P在第一象限内，由题意知，点P的横坐标是，设P，由点P在椭圆上，得＋＝1，y2＝b2，即P，又∠OPA＝120°，所以∠POA＝30°，故tan∠POA＝＝，所以a＝3b，所以e＝＝＝＝.
10．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆的中心在原点，左焦点为F1(－，0)，且右顶点为D(2,0)．设点A的坐标是.
(1)求该椭圆的标准方程．
(2)若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程.
【导学号：46342076】
[解] (1)因为a＝2，c＝，所以b＝＝1.
所以椭圆的标准方程为＋y2＝1.
(2)设P(x0，y0)，M(x，y)，由中点坐标公式，
得所以
又因为＋y＝1，所以＋＝1，即为中点M的轨迹方程．
[能力提升练]
1．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，且PF⊥x轴，若|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是( )
A. B． C． D.
B [由于PF⊥x轴，
则令x＝－c，代入椭圆方程，解得，
y2＝b2＝，y＝±，
又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，
即有4(a2－c2)＝a2＋ac，
即有(3a－4c)(a＋c)＝0，
则e＝＝，故选B.]
2．“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
A [椭圆＋＝1的离心率为，
当0当m>4时，＝，得m＝，
即“m＝3”是“椭圆＋＝1的离心率为”的充分不必要条件．]
3．已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1，则椭圆C的标准方程为________．
＋＝1 [由题意知，解得
则b2＝3，故所求椭圆方程为＋＝1.]
4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若＝2，则椭圆的离心率是________．
[由＝2，得|AO|＝2|FO|(O为坐标原点)，即a＝2c，则离心率e＝.]
5．已知点A，B分别是椭圆＋＝1的左、右顶点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，且M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值.
【导学号：46342077】
[解] (1)由已知可得A(－6,0)，B(6,0)，F(4,0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0，解得x＝或x＝－6.
由于y>0，所以只能取x＝，于是y＝.
所以点P的坐标是.
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m,0)，
则M到直线AP的距离是，又B(6,0)，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离为d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝＋15，
由于－6≤x≤6，所以当x＝时，d取最小值为.
课时分层作业(九) 椭圆的标准方程及性质的应用
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若点P(a,1)在椭圆＋＝1的外部，则a的取值范围为( )
A.
B.∪
C．
D.
B [由题意知＋>1，即a2>，解得a>或a<－.]
2．若直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是( )
【导学号：46342083】
A．(－∞，0)∪(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞)
C．(－∞，－3)∪(－3,0) D．(1,3)
B [由
消去y，整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则
解得
由＋＝1表示椭圆，知m>0且m≠3.
综上可知，m>1且m≠3，故选B.]
3．椭圆＋＝1的左焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是( )
A．± B．±
C．± D．±
A [设椭圆的右焦点为F2，则原点O是线段F1F2的中点，从而OM綊PF2，则PF2⊥F1F2，由题意知F2(3,0)，由＋＝1得y2＝解得y＝±，从而M的纵坐标为±.]
4．椭圆mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是( )
A. B. C． D.
A [联立方程组可得
得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN的中点P(x0，y0)，
则x0＝＝，
y0＝1－x0＝1－＝.
∴kOP＝＝＝.故选A.]
5．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交椭圆C于点B，若＝3，则||＝( )
A. B．2
C． D．3
A [设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，
∴右焦点F(1,0)．
由＝3，得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×＋＝1.
解得n2＝1，
∴|A|＝＝＝.]
二、填空题
6．已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为C的左、右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为________.
【导学号：46342084】
[结合条件利用椭圆的性质建立关于a，b，c的方程求解．
如图所示，由题意得
A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．
由PF⊥x轴得P.
设E(0，m)，
又PF∥OE，得＝，
则|MF|＝. ①
又由OE∥MF，得＝，
则|MF|＝. ②
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，∴e＝＝.]
7．过椭圆＋＝1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为________．
[由已知可得直线方程为y＝2x－2，联立方程组
解得A(0，－2)，B，
∴S△AOB＝·|OF|·|yA－yB|＝.]
8．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
6 [由＋＝1可得F(－1,0)．
设P(x，y)，－2≤x≤2，则·＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3＝x2＋x＋3＝(x＋2)2＋2，
当且仅当x＝－2时，·取得最大值6.]
三、解答题
9．已知椭圆4x2＋y2＝1及直线y＝x＋m.
(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围；
(2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程.
【导学号：46342085】
[解] (1)联立方程组消去y，整理得：
5x2＋2mx＋m2－1＝0.
∵直线与椭圆有公共点，
∴Δ＝4m2－20(m2－1)＝20－16m2≥0，
∴－≤m≤.
(2)设直线与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则由(1)得
∴|AB|＝|x1－x2|
＝·
＝·
＝.
∵－≤m≤，
∴0≤m2≤，
∴当m＝0时，|AB|取得最大值，此时直线方程为y＝x，即x－y＝0.
10．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N.
(1)求椭圆C的方程；
(2)当△AMN的面积为时，求k的值．
[解] (1)由题意得
解得c＝，b＝，
所以椭圆C的方程为＋＝1.
(2)由
得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0，
设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则
y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，
x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝
＝
＝，
又因为点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离
d＝，
所以△AMN的面积为S＝|MN|·d＝，
由＝，
化简得7k4－2k2－5＝0，解得k＝±1.
[能力提升练]
1．设F1，F2为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P，Q两点，当四边形PF1QF2的面积最大时，则·的值等于( )
A．0 B．2
C．4 D．－2
D [由题意得c＝＝，
又S＝2S＝2××|F1F2|·h(h为F1F2边上的高)，
所以当h＝b＝1时，S取最大值，
此时∠F1PF2＝120°.
所以·＝||·||·cos 120°＝2×2×＝－2.
故选D.]
2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为( )
【导学号：46342086】
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
D [因为直线AB过点F(3,0)和点(1，－1)，所以直线AB的方程为y＝(x－3)，代入椭圆方程＋＝1，消去y，得x2－a2x＋a2－a2b2＝0，所以AB的中点的横坐标为＝1，即a2＝2b2，又a2＝b2＋c2，所以b＝c＝3，a2＝18，故选D.]
3．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A，B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．
[设点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)，
由消去y，得3x2－4x＝0.
∴A(0，－1)，B.
∴|AB|＝，
∴|F1A|＋|F1B|＝4a－|AB|
＝4－＝.]
4．已知直线y＝3x＋2被椭圆＋＝1(a>b>0)截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有________．(填上直线的代号)
①y＝3x－2；②y＝3x＋1；③y＝－3x－2；④y＝－3x＋2；⑤y＝－3x.
①③④ [椭圆关于原点和坐标轴对称，从而与直线y＝3x＋2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆截得的弦长也为8，直线y＝3x＋2关于原点对称的直线为y＝3x－2，关于x轴对称的直线为y＝－3x－2，关于y轴对称的直线为y＝－3x＋2，故应填①③④.]
5．如图2-2-8，已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B.
图2-2-8
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且|AF2|＝2|F2B|，求椭圆的方程.
【导学号：46342087】
[解] (1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c，
所以a＝c，e＝＝.
(2)由题知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，
由|AF2|＝2|F2B|，得＝2，即(1，－b)＝2(x－1，y)，
解得x＝，y＝－，
代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，
解得a2＝3，所以b2＝2，
故椭圆的方程为＋＝1.
