课时分层作业(十) 微积分基本定理
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1. (ex＋2x)dx等于( )
A．1 B．e－1
C．e D．e＋1
C [∵ (ex＋2x)dx＝＝e＋1－1＝e，故选C.]
2．已知积分 (kx＋1)dx＝k，则实数k＝( )
A．2 B．－2
C．1 D．－1
A
∴k＝2.]
3．设f(x)＝则f(x)dx＝( )
【导学号：31062095】
A. B.
C. D.
D [f(x)dx＝x2dx＋ (2－x)dx
＝
＝＋＝.]
4．若函数f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，则f(－x)dx＝( )
A. B.
C. D.
A [∵f(x)＝xm＋nx的导函数是f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x，
∴f(－x)dx＝ (x2－x)dx
＝＝.]
5．设a＝dx，b＝x2dx，c＝x3dx，则a，b，c的大小关系是( )
A．a>b>c B．c>a>b
C．a>c>b D．c>b>a
∴a>b>c.]
二、填空题
6．dθ＝________.
【导学号：31062096】
[解析]
＝.
[答案]
7. (2－|x|)dx＝________.
[解析] 因为f(x)＝2－|x|＝所以
[答案]
8．已知x∈(0,1]，f(x)＝ (1－2x＋2t)dt，则f(x)的值域是________．
[解析] f(x)＝ (1－2x＋2t)dt
＝(t－2xt＋t2) ＝－2x＋2(x∈(0,1])．
∴f(x)的值域为[0,2)．
[答案] [0,2)
三、解答题
9．计算定积分： (|2x＋3|＋|3－2x|)dx.
[解] 设f(x)＝|2x＋3|＋|3－2x|，x∈[－3,3]，
则f(x)＝
＝－2×＋6×＋2×＝45.
10．设函数f(x)＝ax2＋c(a≠0)，若f(x)dx＝f(x0)，0≤x0≤1，求x0的值.
【导学号：31062097】
[解] 因为f(x)＝ax2＋c(a≠0)，且′＝ax2＋c，
所以f(x)dx＝ (ax2＋c)dx＝
＝＋c＝ax＋c，解得x0＝或x0＝－(舍去)．
即x0的值为.
[能力提升练]
1．若y＝ (sin t＋cos t·sin t)dt，则y的最大值是( )
A．1 B．2
C．－1 D．0
B [y＝ (sin t＋cos t·sin t)dt
＝
＝－cos x＋1－(cos 2x－1)
＝－cos 2x－cos x＋
＝－cos2x－cos x＋
＝－(cos x＋1)2＋2≤2.]
2．若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx等于( )
A．－1 B．－
C． D．1
B [∵f(x)dx是常数，
所以可设f(x)＝x2＋c(c为常数)，
所以c＝2f(x)dx＝2 (x2＋c)dx＝2，
解得c＝－，
f(x)dx＝ (x2＋c)dx＝
3．设抛物线C：y＝x2与直线l：y＝1围成的封闭图形为P，则图形P的面积S等于____________ .
[解析] 由得x＝±1.如图，由对称性可知，
S＝.
[答案]
4．已知f(x)＝若f(f(1))＝1，则a＝__________.
[解析] 因为f(1)＝lg 1＝0，
且3t2dt＝t3|＝a3－03＝a3，
所以f(0)＝0＋a3＝1，所以a＝1.
[答案] 1
5．已知f(x)＝ (12t＋4a)dt，F(a)＝ [f(x)＋3a2]dx，求函数F(a)的最小值.
【导学号：31062098】
[解] 因为f(x)＝ (12t＋4a)dt＝(6t2＋4at) ＝6x2＋4ax－(6a2－4a2)＝6x2＋4ax－2a2，
因为F(a)＝ [f(x)＋3a2]＝ (6x2＋4ax＋a2)dx＝(2x3＋2ax2＋a2x)＝2·13＋2a·12＋a2·1＝(a＋1)2＋1≥1.所以当a＝－1时，F(a)的最小值为1.
课时分层作业(十一) 定积分的简单应用
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用S表示图1-7-6中阴影部分的面积，则S的值是( )
图1-7-6
D [在区间[a，b]上图形在x轴下方，积分为负值，
∴S＝f(x)dx－f(x)dx.故选D.]
2．如图1-7-7，阴影部分的面积是( )
图1-7-7
A．2 B．2－
C． D．
C [S＝ (3－x2－2x)dx＝＝.]
3．一物体在力F(x)＝(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为( )
A．44 J B．46 J
C．48 J D．50 J
B [W＝F(x)dx＝10dx＋ (3x＋4)dx
＝10x＋＝46(J)．]
4．以初速度40 m/s竖直向上抛一物体，t s时速度v＝40－10t2，则此物体达到最高时的高度为( )
【导学号：31062103】
A. m B. m
C. m D. m
A [v＝0时物体达到最高，
此时40－10t2＝0，则t＝2 s.
又∵v0＝40 m/s，∴t0＝0 s.
∴h＝
5．如果1 N的力使弹簧伸长1 cm，在弹性限度内，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为( )
A．0.5 J B．1 J
C．50 J D．100 J
A [由于弹簧所受的拉力F(x)与伸长量x成正比，依题意，得F(x)＝x，为了将弹簧拉长10 cm，拉力所做的功为W＝F(x)dx＝xdx＝＝50(N·cm)＝0.5(J)．]
二、填空题
6．若两曲线y＝x2与y＝cx3(c＞0)围成图形的面积是，则c＝________.
[解析] 由得
由题意可知
[答案]
7．质点运动的速度是(18t－3t2)m/s，质点在[0,8]时间段内所通过的路程为________.
【导学号：31062104】
[解析] 路程s＝ (18t－3t2)dt＋ (3t2－18t)dt
＝(9t2－t3) ＋(t3－9t2) ＝9×62－63＋83－9×82－63＋9×62＝152(m)．
[答案] 152(m)
8．如图1-7-8，阴影部分是由曲线y＝，y2＝x与直线x＝2，y＝0围成，则其面积为________．
图1-7-8
[解析] S＝dx＋dx
＝x＋ln x
＝＋ln 2.
[答案] ＋ln 2
三、解答题
9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图1-7-9所示，它与直线y＝0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为，求a的值．
图1-7-9
[解] 由图知方程f(x)＝0有三个实根，
其中有两个相等的实根x1＝x2＝0，
于是b＝0，
所以f(x)＝x2(x＋a)．
有 [0－(x3＋ax2)]dx
＝－＝，
所以a＝±3.
又－a＞0?a＜0，
所以a＝－3.
10．一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求：
(1)此点在t＝4 s时的位置；
(2)此点在t＝4 s时运动的路程.
【导学号：31062105】
[解] 因为位置决定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定积分，而路程是位移的绝对值之和，所以需要判断在[0,4]上哪些时间段的位移为负．
(1)在t＝4 s时，该点的位移为
即在t＝4 s时该点在距出发点 m处．
(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)，
∴在区间[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0，
在区间[1,3]上，v(t)≤0，∴该点在t＝4 s时的路程为
S＝ (t2－4t＋3)dt＋ (t2－4t＋3)dt＝ (t2－4t＋3)dt－ (t2－4t＋3)dt＋ (t2－4t＋3)dt＝4(m)．
[能力提升练]
1.已知二次函数y＝f(x)的图象如图1-7-10所示，则它与x轴所围成的图形的面积为( )
图1-7-10
A. B.
C. D.
B [由图可知f(x)＝－x2＋1.∴f(x)与x轴围成的图形的面积S＝
(1－x2)dx＝＝－＝＋＝.]
2．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v(t)＝7－3t＋(t的单位：s，v的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( )
A．1＋25ln 5 B．8＋25ln
C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2
C [令v(t)＝0，
得t＝4或t＝－(舍去)，
∴汽车行驶距离s＝
＝7t－t2＋25ln(1＋t)
＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.]
3．抛物线y＝－x2＋4x－3与其在点A(1,0)和点B(3,0)处的切线所围成的面积为________．
[解析] 由y′＝－2x＋4，得在点A、B处切线的斜率分别为2和－2，则两切线方程分别为y＝2x－2和y＝－2x＋6.
由得C(2,2)．
∴S＝S△ABC－ (－x2＋4x－3)dx
＝
＝2－＝.
[答案]
4．如图1-7-11所示，一物体沿斜面在拉力F的作用下由A经B，C运动到D，其中AB＝50 m，BC＝40 m，CD＝30 m，变力F＝(单位：N)，在AB段运动时F与运动方向成30°角，在BC段运动时F与运动方向成45°角，在CD段运动时F与运动方向相同，则物体由A运动到D所做的功为________．(≈1.732，≈1.414，精确到1 J)
【导学号：31062106】
图1-7-11
[解析] 在AB段运动时F在运动方向上的分力F1＝Fcos 30°，在BC段运动时F在运动方向上的分力F2＝Fcos 45°.
由变力做功公式得：
W＝cos 45°dx＋600
＝＋600
＝ ＋450＋600≈1 723(J)．
所以物体由A运动到D变力F所做的功为1 723 J.
[答案] 1 723 J
5．已知S1为直线x＝0，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积，S2为直线x＝2，y＝4－t2及y＝4－x2所围成图形的面积(t为常数)．
图1-7-12
(1)若t＝，求S2；
(2)若t∈(0,2)，求S1＋S2的最小值．
[解] (1)当t＝时，
(2)当t∈(0,2)时，S1＝ [(4－x2)－(4－t2)]dx
＝.
S2＝ [(4－t2)－(4－x2)]dx
＝.
所以S＝S1＋S2＝t3－2t2＋.
S′＝4t2－4t＝4t(t－1)，
令S′＝0，得t＝0(舍去)或t＝1，
当0＜t＜1时，S′＜0，S单调递减，
当1＜t＜2时，S′＞0，S单调递增，
所以当t＝1时，Smin＝2.
课时分层作业(十二) 合情推理
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列推理是归纳推理的是( )
A．A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，得P的轨迹为椭圆
B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式
C．由圆x2＋y2＝r2的面积πr2，猜出椭圆＋＝1的面积S＝πab
D．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇
B [由归纳推理的定义知B是归纳推理，故选B.]
2．由代数式的乘法法则类比得到向量的数量积的运算法则：
【导学号：31062127】
①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；
②“(m＋n)t＝mt＋nt”类比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；
③“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；
④“t≠0，mt＝xt?m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；
⑤“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；
⑥“＝”类比得到“＝”．
其中类比结论正确的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
B [由向量的有关运算法则知①②正确，③④⑤⑥都不正确，故选B. ]
3．在数列{an}中，a1＝0，an＋1＝2an＋2，则猜想an是( )
A．2n－2 B．2n－2
C．2n－2－ D．2n＋1－4
A [∵a1＝0＝21－2，
∴a2＝2a1＋2＝2＝22－2，
a3＝2a2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
a4＝2a3＋2＝12＋2＝14＝24－2，
……
猜想an＝2n－2.故选A.]
4．用火柴棒摆“金鱼”，如图2-1-7所示：
① ② ③
图2-1-7
按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( )
A．6n－2 B．8n－2
C．6n＋2 D．8n＋2
C [归纳“金鱼”图形的构成规律知，后面“金鱼”都比它前面的“金鱼”多了去掉尾巴后6根火柴组成的鱼头部分，故各“金鱼”图形所用火柴棒的根数构成一首项为8，公差是6的等差数列，所以第n个“金鱼”图需要的火柴棒的根数为an＝6n＋2.]
5．设△ABC的三边长分别为a、b、c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝，类比这个结论可知：四面体S－ABC的四个面的面积分别为S1、S2、S3、S4，内切球半径为r，四面体S－ABC的体积为V，则r＝( )
【导学号：31062128】
A. B.
C. D.
C [设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是R，所以四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为V四面体A－BCD＝(S1＋S2＋S3＋S4)R，∴R＝.]
二、填空题
6．观察分析下表中的数据：
多面体
面数(F)
顶点数(V)
棱数(E)
三棱柱
5
6
9
五棱锥
6
6
10
立方体
6
8
12
猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是________．
[解析] 三棱柱中5＋6－9＝2；五棱锥中6＋6－10＝2；立方体中6＋8－12＝2，由此归纳可得F＋V－E＝2.
[答案] F＋V－E＝2
7．观察下列等式
1＝1
2＋3＋4＝9
3＋4＋5＋6＋7＝25
4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49
照此规律，第n个等式为________．
[解析] 观察所给等式，等式左边第一个加数与行数相同，加数的个数为2n－1，故第n行等式左边的数依次是n，n＋1，n＋2，…，(3n－2)；每一个等式右边的数为等式左边加数个数的平方，从而第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.
[答案] n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2
8．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为________.
【导学号：31062129】
[解析] 结合等差数列的特点，类比等比数列中b1b2b3…b9＝29可得，在{an}中，若a5＝2，则有a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9.
[答案] a1＋a2＋a3＋…＋a9＝2×9
三、解答题
9．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．
[解] 先化简递推关系：n≥2时，an＝Sn－Sn－1，
∴Sn＋＋2＝Sn－Sn－1，
∴＋Sn－1＋2＝0.
当n＝1时，S1＝a1＝－.
当n＝2时，＝－2－S1＝－，∴S2＝－.
当n＝3时，＝－2－S2＝－，∴S3＝－.
当n＝4时，＝－2－S3＝－，∴S4＝－.
猜想：Sn＝－，n∈N＋.
10．根据如图2-1-8的5个图形及相应的圆圈个数的变化规律，试猜测第n个图形有多少个圆圈.
【导学号：31062130】
(1) (2) (3) (4) (5)
图2-1-8
[解] 法一：图(1)中的圆圈数为12－0，图(2)中的圆圈数为22－1，图(3)中的圆圈数为32－2，图(4)中的圆圈数为42－3，图(5)中的圆圈数为52－4，…，
故猜测第n个图形中的圆圈数为n2－(n－1)＝n2－n＋1.
法二：第2个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向两个方向，共有2×(2－1)＋1个圆圈；
第3个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向三个方向，每个方向有两个圆圈，共有3×(3－1)＋1个圆圈；第4个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向四个方向，每个方向有三个圆圈，共有4×(4－1)＋1个圆圈；第5个图形，中间有一个圆圈，另外的圆圈指向五个方向，每个方向有四个圆圈，共有5×(5－1)＋1个圆圈；……
由上述的变化规律，可猜测第n个图形中间有一个圆圈，另外的圆圈指向n个方向，每个方向有(n－1)个圆圈，因此共有n(n－1)＋1＝(n2－n＋1)个圆圈．
[能力提升练]
1．类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质，可推出下列空间结论：
①垂直于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一个平面的两条直线互相平行；③垂直于同一条直线的两个平面互相平行；④垂直于同一平面的两个平面互相平行，则其中正确的结论是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
B [根据立体几何中线面之间的位置关系及有关定理知，②③是正确的结论．]
2．观察(x2)′ ＝2x，(x4)′ ＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于
( )
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x) D．－g(x)
D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]
3．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k，那么甲的面积是乙的面积的k倍．你可以从给出的简单图形2-1-9①、②中体会这个原理．现在图2-1-9③中的两个曲线的方程分别是＋＝1(a＞b＞0)与x2＋y2＝a2，运用上面的原理，图2-1-9③中椭圆的面积为________.
【导学号：31062131】
① ② ③
图2-1-9
[解析] 由于椭圆与圆截y轴所得线段之比为，即k＝，∴椭圆面积S＝πa2·＝πab.
[答案] πab
4．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
图2-1-10
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[解析] 前n－1行共有正整数1＋2＋…＋(n－1)个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第＋3个，即为.
[答案]
5．某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图2-1-11(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.
【导学号：31062132】
(1) (2) (3) (4)
图2-1-11
(1)求出f(5)；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f(n＋1)与f(n)的关系式，并根据你得到的关系式求f(n)的表达式．
[解析] (1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，∴f(5)＝25＋4×4＝41.
(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4，
由上式规律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.
∴f(2)－f(1)＝4×1，
f(3)－f(2)＝4×2，
f(4)－f(3)＝4×3，
…
f(n－1)－f(n－2)＝4·(n－2)，
f(n)－f(n－1)＝4·(n－1)．
∴f(n)－f(1)＝4[1＋2＋…＋(n－2)＋(n－1)]
＝2(n－1)·n，
∴f(n)＝2n2－2n＋1.
课时分层作业(十三) 演绎推理
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理方法属于
( ) 【导学号：31062138】
A．演绎推理 B．类比推理
C．合情推理 D．归纳推理
A [大前提为所有金属都能导电，小前提是金属，结论为铁能导电，故选A.]
2．已知在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，求证：BC
方框部分的证明是演绎推理的( )
A．大前提 B．小前提
C．结论 D．三段论
B [因为本题的大前提是“在同一个三角形中，大角对大边，小角对小边”，证明过程省略了大前提，方框部分的证明是小前提，结论是“BC3．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅．”结论显然是错误的，这是因为( )
A．大前提错误 B．小前提错误
C．推理形式错误 D．非以上错误
C [不符合“三段论”的形式，正确的“三段论”推理形式应为：“鹅吃白菜，参议员先生是鹅，所以参议员先生也吃白菜”．]
4．在证明f(x)＝2x＋1为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是大前提；④函数f(x)＝2x＋1满足增函数的定义是小前提．其中正确的命题是
( )
A．①④ B．②④
C．①③ D．②③
A [根据三段论特点，过程应为：大前提是增函数的定义；小前提是f(x)＝2x＋1满足增函数的定义；结论是f(x)＝2x＋1为增函数，故①④正确．]
5．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；
③若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
④若α⊥β，α∩β＝m，n?β，n⊥m，则n⊥α.
其中正确的命题个数是( )
【导学号：31062139】
A．1 B．2
C．3 D．4
B [①中，m还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m与n相交时才成立，③错误；④正确．故选B.]
二、填空题
6．求函数y＝的定义域时，第一步推理中大前提是有意义时，a≥0，小前提是有意义，结论是________．
[解析] 由三段论方法知应为log2x－2≥0.
[答案] log2x－2≥0
7. “如图2-1-14，在△ABC中，AC>BC，CD是AB边上的高，求证：∠ACD>∠BCD”．
图2-1-14
证明：在△ABC中 ，
因为CD⊥AB，AC>BC， ①
所以AD>BD, ②
于是∠ACD>∠BCD. ③
则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号)
[解析] 由AD>BD，得到∠ACD>∠BCD的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD>BD”，而AD与BD不在同一三角形中，故③错误．
[答案] ②③
8．已知函数f(x)＝a－，若f(x)为奇函数，则a＝________.
[解析] 因为奇函数f(x)在x＝0处有定义且f(0)＝0(大前提)，而奇函数f(x)＝a－的定义域为R(小前提)，所以f(0)＝a－＝0(结论)．
解得a＝.
[答案]
三、解答题
9. S为△ABC所在平面外一点，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.求证：AB⊥BC.
【导学号：31062140】
[证明] 如图，作AE⊥SB于E.
∵平面SAB⊥平面SBC，平面SAB∩平面SBC＝SB.AE?平面SAB.
∴AE⊥平面SBC，
又BC?平面SBC.
∴AE⊥BC.又∵SA⊥平面ABC，
∴SA⊥BC.
∵SA∩AE＝A，SA?平面SAB，AE?平面SAB，
∴BC⊥平面SAB.
∵AB?平面SAB.∴AB⊥BC.
10．已知a，b，m均为正实数，b＜a，用三段论形式证明＜.
[证明] 因为不等式两边同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b＜a，m＞0，(小前提)
所以mb＜ma.(结论)
因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提)
mb＜ma，(小前提)
所以mb＋ab＜ma＋ab，即b(a＋m)＜a(b＋m)．(结论)
因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提)
b(a＋m)＜a(b＋m)，a(a＋m)＞0，(小前提)
所以＜，即＜.(结论)
[能力提升练]
1．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是( )
A．小前提错 B．结论错
C．正确的 D．大前提错
C [由三段论推理概念知推理正确．]
2．下面几种推理中是演绎推理的是( )
A．因为y＝2x是指数函数，所以函数y＝2x经过定点(0,1)
B．猜想数列，，，…的通项公式为an＝(n∈N*)
C．由“平面内垂直于同一直线的两直线平行”类比推出“空间中垂直于同一平面的两平面平行”
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝r2
A [A为演绎推理，这里省略了大前提，B为归纳推理，C，D为类比推理．]
3．以下推理中，错误的序号为________.
【导学号：31062141】
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇数；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
[解析] 当a＝0时，ab＝ac，但b＝c未必成立．
[答案] ①
4．已知f(1,1)＝1，f(m，n)∈N*(m，n∈N*)，且对任意m，n∈N*都有：
①f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2；②f(m＋1,1)＝2f(m,1)给出以下三个结论：
(1)f(1,5)＝9；(2)f(5,1)＝16；(3)f(5,6)＝26.
其中正确结论为________．
[解析] 由条件可知，
因为f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，且f(1,1)＝1，
所以f(1,5)＝f(1,4)＋2＝f(1,3)＋4＝f(1,2)＋6＝f(1,1)＋8＝9.
又因为f(m＋1,1)＝2f(m,1)，
所以f(5,1)＝2f(4,1)＝22f(3,1)＝23f(2,1)
＝24f(1,1)＝16，
所以f(5,6)＝f(5,1)＋10＝16＋10＝26.
故(1)(2)(3)均正确．
[答案] (1)(2)(3)
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.
(1)证明：数列{an－n}是等比数列．
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
(3)证明：不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立.
【导学号：31062142】
[解] (1)因为an＋1＝4an－3n＋1，
所以an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.
又a1－1＝1，所以数列{an－n}是首项为1，且公比为4的等比数列．
(2)由(1)可知an－n＝4n－1，于是数列{an}的通项公式为an＝4n－1＋n.
所以数列{an}的前n项和Sn＝＋.
(3)对任意的n∈N*, Sn＋1－4Sn＝＋－4＝－(3n2＋n－4)≤0.所以不等式Sn＋1≤4Sn，对任意n∈N*皆成立．
课时分层作业(十四) 综合法和分析法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．证明命题“f(x)＝ex＋在(0，＋∞)上是增函数”，一个同学给出的证法如下：
∵f(x)＝ex＋，∴f′(x)＝ex－.
∵x>0，∴ex>1,0<<1
∴ex－>0，
即f′(x)>0，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．
他使用的证明方法是( )
【导学号：31062147】
A．综合法 B．分析法
C．反证法 D．以上都不是
A [该证明方法符合综合法的定义，应为综合法．故选A.]
2．设P＝，Q＝－，R＝－，那么P，Q，R的大小关系是
( )
A．P＞Q＞R B．P＞R＞Q
C．Q＞P＞R D．Q＞R＞P
B [先比较R，Q的大小，可对R，Q作差，即Q－R＝－－(－)＝(＋)－(＋)．
又(＋)2－(＋)2＝2－2＜0，
∴Q＜R，由排除法可知，选B.]
3．要证－＜成立，a，b应满足的条件是( )
A．ab＜0且a＞b
B．ab＞0且a＞b
C．ab＜0有a＜b
D．ab＞0且a＞b或ab＜0且a＜b
D [要证－＜，
只需证(－)3＜()3，
即证a－b－3＋3＜a－b，
即证＜，
只需证ab2＜a2b，即证ab(b－a)＜0.
只需ab＞0且b－a＜0或ab＜0，且b－a＞0.
故选D.]
4．下面的四个不等式：
①a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca；②a(1－a)≤；
③＋≥2；④(a2＋b2)·(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.
其中恒成立的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C [∵(a2＋b2＋c2)－(ab＋bc＋ac)＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，
a(1－a)－＝－a2＋a－＝－2≤0，
(a2＋b2)·(c2＋d2)＝a2c2＋a2d2＋b2c2＋b2d2
≥a2c2＋2abcd＋b2d2＝(ac＋bd)2.∴应选C.]
5．若两个正实数x、y满足＋＝1，且不等式x＋ 【导学号：31062148】
A．(－1,4) B．(－∞，－1)∪(4，＋∞)
C．(－4,1) D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
B [∵x>0，y>0，＋＝1，
∴x＋＝＝2＋＋
≥2＋2＝4，
等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，
∴x＋的最小值为4，
要使不等式m2－3m>x＋有解，
应有m2－3m>4，
∴m<－1或m>4，故选B.]
二、填空题
6．如图2-2-2所示，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱垂直于底面，满足________时，BD⊥A1C(写上一个条件即可)．
图2-2-2
[解析] 要证BD⊥A1C，只需证BD⊥平面AA1C.
因为AA1⊥BD，只要再添加条件AC⊥BD，
即可证明BD⊥平面AA1C，从而有BD⊥A1C.
[答案] AC⊥BD(答案不唯一)
7．已知sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，则cos(α－β)的值为________.
【导学号：31062149】
[解析] 由sin α＋sin β＋sin r＝0，cos α＋cos β＋cos r＝0，得sin α＋sin β＝－sin r，cos α＋cos β＝－cos r，
两式分别平方，相加得2＋2(sin αsin β＋cos αcos β)＝1，所以cos(α－β)＝－.
[答案] －
8．设a>0，b>0，则下面两式的大小关系为lg(1＋)________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
[解析] ∵(1＋)2－(1＋a)(1＋b) ＝1＋2＋ab－1－a－b－ab ＝2－(a＋b)＝－(－)2≤0.
∴(1＋)2≤(1＋a)(1＋b)，
∴lg(1＋)≤[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
[答案] ≤
三、解答题
9. 设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，求证：＋＝2.
[证明] 由已知条件得b2＝ac，
2x＝a＋b,2y＝b＋c. ①
要证＋＝2，只要证ay＋cx＝2xy，
只要证2ay＋2cx＝4xy. ②
由①②得2ay＋2cx＝a(b＋c)＋c(a＋b)＝ab＋2ac＋bc，
4xy＝(a＋b)(b＋c)＝ab＋b2＋ac＋bc＝ab＋2ac＋bc，
所以2ay＋2cx＝4xy.命题得证．
10. 设a＞0，b＞0,2c＞a＋b，求证：
(1)c2＞ab；
(2)c－＜a＜c＋.
[证明] (1)∵a＞0，b＞0,2c＞a＋b≥2，
∴c＞，
平方得c2＞ab；
(2)要证c－＜a＜c＋.
只要证－＜a－c＜.
即证|a－c|＜，
即(a－c)2＜c2－ab，
∵(a－c)2－c2＋ab＝a(a＋b－2c)＜0成立，
∴原不等式成立．
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝x，a、b∈R＋，A＝f，B＝f()，C＝f，则A、B、C的大小关系为( )
A．A≤B≤C B．A≤C≤B
C．B≤C≤A D．C≤B≤A
A [≥≥，又函数f(x)＝x在(－∞，＋∞)上是单调减函数，
∴f≤f()≤f.
即A≤B≤C.]
2．若a、b、c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是( )
A．a2＋b2＋c2≥2
B．(a＋b＋c)2≥3
C.＋＋≥2
D．abc(a＋b＋c)≤
B [∵a、b、c∈R，∴a2＋b2≥2ab，
b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，
∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac＝1，
又(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac
＝a2＋b2＋c2＋2≥3.]
3．若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是________.
【导学号：31062150】
[解析] 若对任意x>0，≤a恒成立，只需求y＝的最大值，且令a不小于这个最大值即可．因为x>0，所以y＝＝≤＝，当且仅当x＝1时，等号成立，所以a
的取值范围是
[答案]
4．已知x1是方程x＋2x＝4的根，x2是方程x＋log2x＝4的根，则x1＋x2的值是________．
[解析] ∵x＋2x＝4，∴2x＝4－x，∴x1是y＝2x与y＝4－x交点的横坐标．
又∵x＋log2x＝4，∴log2x＝4－x，∴x2是y＝log2x与y＝4－x交点的横坐标．
又y＝2x与y＝log2x互为反函数，其图象关于y＝x对称，由得x＝2，∴＝2，∴x1＋x2＝4.
[答案] 4
5．求证抛物线y2＝2px(p＞0)，以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切.
【导学号：31062151】
[证明] 如图，作AA′、BB′垂直准线，取AB的中点M，作MM′垂直准线．
要证明以AB为直径的圆与准线相切，只需证|MM′|＝|AB|，
由抛物线的定义：|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，
所以|AB|＝|AA′|＋|BB′|，
因此只需证|MM′|＝(|AA′|＋|BB′|)
根据梯形的中位线定理可知上式是成立的．
所以以过焦点的弦为直径的圆必与x＝－相切.
课时分层作业(十五) 反证法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”，应先假设这个三角形中( )
【导学号：31062157】
A．有一个内角小于60°
B．每一个内角都小于60°
C．有一个内角大于60°
D．每一个内角都大于60°
B [由反证法的证明命题的格式和语言可知答案B是正确的，所以选B.]
2．用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )
A．方程x3＋ax＋b＝0没有实根
B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根
C．方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根
D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根
A [依据反证法的要求，即至少有一个的反面是一个也没有，直接写出命题的否定．方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故应选A.]
3．用反证法证明数学命题时，首先应该做出与命题结论相反的假设．否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时正确的假设为( )
A．自然数a，b，c都是奇数
B．自然数a，b，c都是偶数
C．自然数a，b，c中至少有两个偶数
D．自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数
D [反证法证明时应假设所要证明的结论的反面成立，本题需反设为自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．]
4．已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为
( )
A．一定是异面直线 B．一定是相交直线
C．不可能是平行直线 D．不可能是相交直线
C [假设c∥b，而由c∥a，可得a∥b，这与a，b异面矛盾，故c与b不可能是平行直线，故选C.]
5．设x，y，z都是正实数，a＝x＋，b＝y＋，c＝z＋，则a，b，c三个数
( )
A．至少有一个不大于2
B．都小于2
C．至少有一个不小于2
D．都大于2
C [若a，b，c都小于2，则a＋b＋c<6①，
而a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥6②，
显然①，②矛盾，所以C正确．]
二、填空题
6．用反证法证明“若函数f(x)＝x2＋px＋q，则|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”时，假设内容是________.
【导学号：31062158】
[解析] “|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反面是“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于”．
[答案] |f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于
7．用反证法证明命题“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设________．
[解析] 反证法的反设只否定结论，或的否定是且，所以是x≠－1且x≠1.
[答案] x≠－1且x≠1
8．完成反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是由数字1,2，…，7任意排成的一个数列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则________均为奇数．
因奇数个奇数之和为奇数，故有奇数＝________＝________＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
[解析] 由假设p为奇数可知a1－1，a2－2，…，a7－7均为奇数，故(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)＝0为奇数，这与0为偶数矛盾．
[答案] a1－1，a2－2，…，a7－7 (a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7) (a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋…＋7)
三、解答题
9. 已知x，y>0，且x＋y>2.
求证：，中至少有一个小于2.
【导学号：31062159】
[证明] 假设，都不小于2，
即≥2，≥2.
∵x，y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.
∴2＋x＋y≥2(x＋y)，
即x＋y≤2与已知x＋y>2矛盾．
∴，中至少有一个小于2.
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．求证：f(x)＝0无整数根．
[解] 假设f(x)＝0有整数根n，
则an2＋bn＋c＝0，
由f(0)为奇数，即c为奇数，
f(1)为奇数，即a＋b＋c为奇数，所以a＋b为偶数，
又an2＋bn＝－c为奇数，
所以n与an＋b均为奇数，又a＋b为偶数，
所以an－a为奇数，即(n－1)a为奇数，
所以n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．
所以f(x)＝0无整数根．
[能力提升练]
1．已知a、b、c∈(0,1)．则在(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a中， ( )
【导学号：31062160】
A．不能同时大于
B．都大于
C．至少一个大于
D．至多有一个大于
A [法一：假设(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a都大于.
∵a、b、c都是小于1的正数，∴1－a、1－b、1－c都是正数.＞＞＝，
同理＞，＞.
三式相加，得
＋＋＞，
即＞，矛盾．
所以(1－a)b、(1－b)c、(1－c)a不能都大于.
法二：假设三个式子同时大于，即(1－a)b>，
(1－b)c>，(1－c)a>，三式相乘得
(1－a)b(1－b)c(1－c)a>3①
因为0同理，0所以(1－a)a(1－b)b(1－c)c≤3.②
因为①与②矛盾，所以假设不成立，故选A.]
2．设椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为e＝，右焦点为F(c,0)，方程ax2＋bx－c＝0的两个实根分别为x1和x2，则点P(x1，x2)( )
A．必在圆x2＋y2＝2上
B．必在圆x2＋y2＝2外
C．必在圆x2＋y2＝2内
D．以上三种情形都有可能
C [∵e＝＝，∴a＝2c，∴b2＝a2－c2＝3c2.假设点P(x1，x2)不在圆x2＋y2＝2内，则x＋x≥2，但x＋x＝2－2x1x2＝2＋＝＋＝<2，矛盾．
∴假设不成立．∴点P必在圆x2＋y2＝2内．故选C.]
3．有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是________．
[解析] 若甲是获奖的歌手，则都说假话，不合题意．
若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，不符合题意．
若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，乙说真话，不符合题意．
[答案] 丙
4．设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b＝1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2＜2.
其中能推出“a，b中至少有一个大于1”的条件是________(填序号)．
[解析] 假设a，b均不大于1，即a≤1，b≤1.则①②④均有可能成立，故①②④不能推出“a，b中至少有一个大于1”，故选③.
[答案] ③
5．等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋，S3＝9＋3.
(1)求数列{an}的通项an与前n项和Sn；
(2)设bn＝(n∈N*)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.
【导学号：31062161】
[解] (1)设公差为d，由已知得
∴d＝2，故an＝2n－1＋，Sn＝n(n＋)．
(2)证明：由(1)得bn＝＝n＋.
假设数列{bn}中存在三项bp、bq、br(p、q、r互不相等)成等比数列，则b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r)＝0.
∵p，q，r∈N*，
∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0，
∴p＝r，这与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
课时分层作业(十六) 数学归纳法
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N*)，第一步验证( )
A．n＝1 B．n＝2
C．n＝3 D．n＝4
C [由题知，n的最小值为3，所以第一步验证n＝3是否成立．]
2．设Sk＝＋＋＋…＋，则Sk＋1为( )
A．Sk＋ B．Sk＋＋
C．Sk＋－ D．Sk＋－
C [因式子右边各分数的分母是连续正整数，则由Sk＝＋＋…＋，①
得Sk＋1＝＋＋…＋＋＋.②
由②－①，得Sk＋1－Sk＝＋－
＝－.
故Sk＋1＝Sk＋－.]
3．利用数学归纳法证明不等式1＋＋＋…＋＜n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝k＋1时，左边增加了( )
【导学号：31062168】
A．1项 B．k项
C．2k－1项 D．2k项
D [当n＝k时，不等式左边的最后一项为，而当n＝k＋1时，最后一项为＝，并且不等式左边和分母的变化规律是每一项比前一项加1，故增加了2k项．]
4．对于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：
(1)当n＝1时，≤1＋1，不等式成立．
(2)假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )
A．过程全都正确
B．n＝1验证不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
D [n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.]
5．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则( )
【导学号：31062169】
A．该命题对于n>2的自然数n都成立
B．该命题对于所有的正偶数都成立
C．该命题何时成立与k取值无关
D．以上答案都不对
B [由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立．且n＝2，故对所有的正偶数都成立．]
二、填空题
6．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．
[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，
∵n∈N*，
∴第一步的验证为n＝1的情形．
[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立
7．用数学归纳法证明(1＋1)(2＋2)(3＋3)…(n＋n)＝2n－1·(n2＋n)时，从n＝k到n＝k＋1左边需要添加的因式是________.
【导学号：31062170】
[解析] 当n＝k时，左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)，
当n＝k＋1时，
左端为：(1＋1)(2＋2)…(k＋k)(k＋1＋k＋1)，
由k到k＋1需添加的因式为：(2k＋2)．
[答案] 2k＋2
8．数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出an的表达式为________．
[解析] a1＝2，a2＝，a3＝，a4＝，猜测an＝.
[答案] an＝
三、解答题
9．(1)用数学归纳法证明：
12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1n2＝(－1)n－1·(n∈N*)．
(2)求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．
[解] (1)①当n＝1时，左边＝12＝1，
右边＝(－1)0×＝1，
左边＝右边，等式成立．
②假设n＝k(k∈N*)时，等式成立，即
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2
＝(－1)k－1·.
则当n＝k＋1时，
12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1k2＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k－1·＋(－1)k(k＋1)2
＝(－1)k(k＋1)·
＝(－1)k·.
∴当n＝k＋1时，等式也成立，
根据①、②可知，对于任何n∈N*等式成立．
(2)①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．
②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.
当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．
由①②得，等式对任何n∈N*都成立．
10．已知{fn(x)}满足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1(fn(x)).
(1)求f2(x)，f3(x)，并猜想fn(x)的表达式；
(2)用数学归纳法证明对fn(x)的猜想.
【导学号：31062171】
[解] (1)f2(x)＝f1[f1(x)]＝＝，
f3(x)＝f1[f2(x)]＝＝
猜想：fn(x)＝，(n∈N*)
(2)下面用数学归纳法证明 ，fn(x)＝(n∈N*)
①当n＝1时，f1(x)＝，显然成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，猜想成立，即fk(x)＝，
则当n＝k＋1时，fk＋1＝f1[fk(x)]＝＝，
即对n＝k＋1时，猜想也成立；
结合①②可知，猜想fn(x)＝对一切n∈N*都成立．
[能力提升练]
1．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1(n∈N*，且n≥2)时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是( )
A．增加了这一项
B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项
D．以上都不对
C [不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n的等差数列，当n＝k时，左端为＋＋＋…＋；当n＝k＋1时，左端为＋＋＋…＋＋＋，对比两式，可得结论．]
2．某命题与自然数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，则可推得n＝k＋1时该命题也成立，现已知当n＝5时该命题不成立，则可推得( )
【导学号：31062172】
A．当n＝6时，该命题不成立
B．当n＝6时，该命题成立
C．当n＝4时，该命题不成立
D．当n＝4时，该命题成立
C [若n＝4时，该命题成立，由条件可推得n＝5命题成立．
它的逆否命题为：若n＝5不成立，则n＝4时该命题也不成立．]
3．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.
[解析] 由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，
故f(k＋1)＝f(k)＋π.
[答案] π
4．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.
【导学号：31062173】
[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5；当a＝3且n＝2时，310＋35不能被14整除，故a＝5.
[答案] 5
5．是否存在a，b，c使等式2＋2＋2＋…＋2＝对一切n∈N*都成立，若不存在，说明理由；若存在，用数学归纳法证明你的结论．
[解] 取n＝1,2,3可得，解得：a＝，b＝，c＝.
下面用数学归纳法证明2＋2＋2＋…＋2＝＝.
即证12＋22＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)，
①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；
②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)成立，
则当n＝k＋1时，等式左边＝12＋22＋…＋k2＋(k＋1)2＝k(k＋1)(2k＋1)＋(k＋1)2＝[k(k＋1)(2k＋1)＋6(k＋1)2]＝(k＋1)(2k2＋7k＋6)＝(k＋1)(k＋2)(2k＋3)，∴当n＝k＋1时等式成立；
由数学归纳法，综合①②当n∈N*等式成立，
故存在a＝，b＝，c＝使已知等式成立．
课时分层作业(十七)数系的扩充和复数的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题：
(1)若a＋bi＝0，则a＝b＝0；
(2)x＋yi＝2＋2i?x＝y＝2；
(3)若y∈R，且(y2－1)－(y－1)i＝0，则y＝1.
其中正确命题的个数为( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
B [(1)，(2)所犯的错误是一样的，即a，x不一定是复数的实部，b，y不一定是复数的虚部；(3)正确，因为y∈R，所以y2－1，－(y－1)是实数，所以由复数相等的条件得解得y＝1.]
2．若复数z＝(m＋2)＋(m2－9)i(m∈R)是正实数，则实数m的值为( )
【导学号：31062195】
A．－2 B．3
C．－3 D．±3
B [由题知，解得m＝3.故选B.]
3．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
A [3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.]
4．4－3a－a2i＝a2＋4ai，则实数a的值为( )
A．1 B．1或－4
C．－4 D．0或－4
C [由题意知解得a＝－4.]
5．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
B [因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋bi不一定是纯虚数”．“复数a＋bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋bi是纯虚数”的必要而不充分条件．]
二、填空题
6．设m∈ R，m2＋m－2＋(m2－1)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m＝________.
【导学号：31062196】
[解析] ?m＝－2.
[答案] －2
7．已知z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i，且z1＝z2，则实数m＝________，n＝________.
[解析] 由复数相等的充要条件有
?
[答案] 2 ±2
8．下列命题：
①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；
②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；
③两个虚数不能比较大小．
其中正确命题的序号是________．
[解析] 当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；两个虚数不能比较大小，故③对；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错．
[答案] ③
三、解答题
9．若x、y∈R，且(x－1)＋yi＞2x，求x，y的取值范围．
[解] ∵(x－1)＋yi＞2x，∴y＝0且x－1＞2x，
∴x＜－1，
∴x，y的取值范围分别为x＜－1，y＝0.
10．实数m为何值时，复数z＝＋(m2＋2m－3)i是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.
【导学号：31062197】
[解] (1)要使z是实数，m需满足m2＋2m－3＝0，且有意义即m－1≠0，解得m＝－3.
(2)要使z是虚数，m需满足m2＋2m－3≠0，且有意义即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.
(3)要使z是纯虚数，m需满足＝0，m－1≠0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.
[能力提升练]
1．下列命题正确的个数是( )
①1＋i2＝0；
②若a，b∈R，且a>b，则a＋i>b＋i；
③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；
④两个虚数不能比较大小．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0，故①正确．对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．
对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]
2．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z＝( )
A．3＋i B．3－i
C．－3－i D．－3＋i
B [由题意，知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0，
即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
所以解得
所以z＝3－i.]
3．方程(2x2－3x－2)＋(x2－5x＋6)i＝0的实数解x＝________.
[解析] 方程可化为解得x＝2.
[答案] 2
4．复数z＝cos＋isin，且θ∈，若z是实数，则θ的值为________；若z为纯虚数，则θ的值为________.
【导学号：31062198】
[解析] 若z为实数，则sin＝cos θ＝0，
又∵θ∈，∴θ＝±.
若z为纯虚数，则有
∴θ＝0.
[答案] ± 0
5．设z1＝m2＋1＋(m2＋m－2)i，z2＝4m＋2＋(m2－5m＋4)i，若z1[解] 由于z1∴z1∈R且z2∈R，
当z1∈R时，m2＋m－2＝0，m＝1或m＝－2.
当z2∈R时，m2－5m＋4＝0，m＝1或m＝4，
∴当m＝1时，z1＝2，z2＝6，满足z1∴z1课时分层作业(十八) 复数的几何意义
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列命题中，假命题是( )
A．复数的模是非负实数
B．复数等于零的充要条件是它的模等于零
C．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件
D．复数z1>z2的充要条件是|z1|＞|z2|
D [①任意复数z＝a＋bi(a、b∈R)的模|z|＝≥0总成立．∴A正确；
②由复数相等的条件z＝0??|z|＝0，故B正确；
③若z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1、b1、a2、b2∈R)，
若z1＝z2，则有a1＝a2，b1＝b2，∴|z1|＝|z2|.
反之由|z1|＝|z2|，推不出z1＝z2，
如z1＝1＋3i，z2＝1－3i时|z1|＝|z2|，故C正确；
④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D错．]
2．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量对应的复数为( )
【导学号：31062205】
A．－2－i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
B [∵A(－1,2)关于直线y＝－x的对称点B(－2,1)，∴向量对应的复数为－2＋i.]
3．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i对应的点在虚轴上，则实数m的值是
( )
A．－1 B．4
C．－1和4 D．－1和6
C [由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故选C.]
4．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于
( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
D [∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．]
5．如果复数z满足条件z＋|z|＝2＋i，那么z＝( )
A．－＋i B.－i
C．－－i D.＋i
D [设z＝a＋bi(a，b∈R)，由复数相等的充要条件，得
解得
即z＝＋i.]
二、填空题
6．i为虚数单位，设复数z1、z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1＝2－3i，则z2＝________.
【导学号：31062206】
[解析] ∵z1＝2－3i，∴z1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)．∴z2＝－2＋3i.
[答案] －2＋3i
7．已知在△ABC中， ，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则对应的复数为________．
[解析] 因为，对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，所以＝(－1,2)，＝(－2，－3)，又＝－＝(－2，－3)－(－1,2)＝(－1，－5)，所以对应的复数为－1－5i.
[答案] －1－5i
8．复数z＝3a－6i的模为，则实数a的值为__________．
[解析] 由|z|＝＝，得a＝±.
[答案] ±
三、解答题
9．已知复数z＝a＋i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，求复数．
[解] 因为z在复平面内对应的点位于第二象限，
所以a<0，由|z|＝2知，＝2，解得a＝±1，故a＝－1，所以z＝－1＋i.
10．在复平面内，若复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的对应点.
【导学号：31062207】
(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线y＝x上．
分别求实数m的取值范围．
[解] 复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.
(1)由题意得m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.
(2)由题意得，
∴，
∴－1＜m＜1.
(3)由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2.
∴m＝2.
[能力提升练]
1．在复平面内，复数z1、z2对应点分别为A、B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝( )
A．4＋5 B．5＋4i
C．3＋4i D．5＋4i或＋i
D [设z2＝x＋yi(x、y∈R)，
由条件得，
∴或故选D.]
2．复数z＝m(3＋i)－(2＋i)(m∈R，i为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面内的对应点P(3m－2，m－1)，当m>1时，P在第一象限；当m<时，P在第三象限，当3．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，则复数z＝________.
[解析] 因为z为纯虚数，所以设z＝ai(a∈R，且a≠0)，则|z－1|＝|ai－1|＝.
又因为|－1＋i|＝，所以＝，即a2＝1，
所以a＝±1，即z＝±i.
[答案] ±i
4．已知复数(x－2)＋yi(x，y∈R)的模为，则的最大值为________.
【导学号：31062208】
[解析] ∵|x－2＋yi|＝，
∴(x－2)2＋y2＝3，故(x，y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率．
如图，由平面几何知识，易知的最大值为.
[答案]
5．已知z1＝cos θ＋isin 2θ，z2＝sin θ＋icos θ，当θ为何值时
【导学号：31062209】
(1)z1＝z2；
(2)z1、z2对应点关于x轴对称；
(3)|z2|<.
[解] (1)z1＝z2???θ＝2kπ＋(k∈Z)．
(2)z1与z2对应点关于x轴对称
??
?θ＝2kπ＋π(k∈Z)．
(3)|z2|<?＜
?3sin2θ＋cos2θ＜2?sin2θ＜
?kπ－＜θ＜kπ＋(k∈Z).
课时分层作业(十九) 复数代数形式的加、减运算及其几何意义
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．若(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝3－5i，a，b∈R，则a＋b＝( )
A． B．－
C．－ D．5
B [(－3a＋bi)－(2b＋ai)＝(－3a－2b)＋(b－a)i＝3－5i，所以解得a＝，b＝－，
故有a＋b＝－.]
2．若复数z满足z＋(3－4i)＝1，则z的虚部是( ) 【导学号：31062215】
A．－2 B．4
C．3 D．－4
B [z＝1－(3－4i)＝－2＋4i，故选B.]
3．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为( )
A．3 B．2
C．1 D．－1
D [z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵z1＋z2所对应的点在实轴上，
∴1＋a＝0，
∴a＝－1.]
4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量、对应的复数分别是3＋i、－1＋3i，则对应的复数是( )
A．2＋4i B．－2＋4i
C．－4＋2i D．4－2i
D [依题意有＝＝－，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，
即对应的复数为4－2i.故选D.]
5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )
【导学号：31062216】
A．2 B．3
C．4 D．5
B [设z＝x＋yi，则由
|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]
二、填空题
6．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________.
[解析] 由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是纯虚数，所以解得a＝3.
[答案] 3
7．若z1＝2－i，z2＝－＋2i，则z1，z2在复平面上所对应的点为Z1、Z2，这两点之间的距离为________．
[解析] ||＝＝.
[答案]
8．若复数z满足|z－i|＝3，则复数z对应的点Z的轨迹所围成的图形的面积为________．
[解析] 由条件知|z－i|＝3，所以点Z的轨迹是以点(0,1)为圆心，以3为半径的圆，故其面积为S＝9π.
[答案] 9π
三、解答题
9．在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB，AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求D点对应的复数z4及AD的长.
【导学号：31062217】
[解] 如图所示.
对应复数z3－z1，
对应复数z2－z1，
对应复数z4－z1.
由复数加减运算的几何意义，得＝＋，
∴z4－z1＝(z2－z1)＋(z3－z1)，
∴z4＝z2＋z3－z1＝(5＋i)＋(3＋3i)－(1＋i)＝7＋3i.
∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|(7＋3i)－(1＋i)|＝|6＋2i|＝2.
10．设m∈R，复数z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，若z1＋z2是虚数，求m的取值范围．
[解] ∵z1＝＋(m－15)i，z2＝－2＋m(m－3)i，∴z1＋z2＝＋[(m－15)＋m(m－3)]i
＝＋(m2－2m－15)i.
∵z1＋z2为虚数，∴m2－2m－15≠0且m≠－2，
解得m≠5，m≠－3且m≠－2(m∈R)．
所以m的取值范围为(－∞，－3)∪(－3，－2)∪(－2,5)∪(5，＋∞)．
[能力提升练]
1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是 ( )
A．直角三角形 B．等腰三角形
C．锐角三角形 D．钝角三角形
A [|AB|＝|2i－1|＝，|AC|＝|4＋2i|＝，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A. ]
2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )
A．0 B．1
C． D．
C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离即为.]
3．若复数z满足z＝|z|－3－4i，则z＝________.
【导学号：31062218】
[解析] 设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，
则
所以
所以z＝－4i.
[答案] －4i
4．已知z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β且z1－z2＝＋i，则cos(α＋β)的值为________．
[解析] ∵z1＝cos α＋isin α，z2＝cos β－isin β，
∴z1－z2＝(cos α－cos β)＋i(sin α＋sin β)＝＋i，
∴
①2＋②2得2－2cos(α＋β)＝1，
即cos(α＋β)＝.
[答案]
5．已知平行四边形ABCD中，与对应的复数分别是3＋2i与1＋4i，两对角线AC与BD相交于P点．
(1)求对应的复数；
(2)求对应的复数；
(3)求△APB的面积.
【导学号：31062219】
[解] (1)由于ABCD是平行四边形，所以＝＋，于是＝－，而(1＋4i)－(3＋2i)＝－2＋2i，
即对应的复数是－2＋2i.
(2)由于＝－，而(3＋2i)－(－2＋2i)＝5，
即对应的复数是5.
(3)由于＝＝－＝，
＝＝，
于是·＝－，
而||＝，||＝，
所以··cos∠APB＝－，
因此cos∠APB＝－，
故sin∠APB＝，
故S△APB＝||||sin∠APB
＝×××＝.
即△APB的面积为.
课时分层作业(一) 变化率问题 导数的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为
( )
A．3 B．2
C．1 D．4
B [由已知得：＝3，
∴m＋1＝3，∴m＝2.]
2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )
【导学号：31062006】
A．－3 B．3
C．6 D．－6
D [由平均速度和瞬时速度的关系可知，
v＝s′(1)＝ (－3Δt－6)＝－6.]
3．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．以上答案都不对
B [由导数的定义知，函数在x＝x0处的导数只与x0有关．]
4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )
A．f′(x)＝a B．f′(x)＝b
C．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b
C [∵f′(x0)＝
＝ ＝ (a＋bΔx)＝a，
∴f′(x0)＝a.]
5．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则＝( )
【导学号：31062007】
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
C [因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，
所以＝＝4＋2Δx.]
二、填空题
6．已知函数y＝＋3，当x由2变到1.5时，函数的增量Δy＝________.
[解析] Δy＝f(1.5)－f(2)＝－＝－1＝.
[答案]
7.汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图1-1-3所示．在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为1，2，3，其三者的大小关系是________.
【导学号：31062008】
图1-1-3
[解析] ∵1＝＝kMA，
2＝＝kAB，
3＝＝kBC，
由图象可知：kMA2>1.
[答案] 3>2>1
8．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．
[解析] 物体的速度为v＝s′(t)，
∴s′(t)＝
＝
＝ ＝2－6t.
即v＝2－6t，
所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.
[答案] 2
三、解答题
9．若函数f(x)＝ax2＋c，且f′(1)＝2，求a的值.
【导学号：31062009】
[解] ∵f(1＋Δx)－f(1)＝a(1＋Δx)2＋c－a－c＝a(Δx)2＋2aΔx.
∴f′(1)＝ ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，即2a＝2，
∴a＝1.
10．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移：m；时间：s)．
(1)求此物体的初速度；
(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；
(3)求t＝0到t＝2时平均速度．
[解] (1)初速度v0＝ ＝ ＝ (3－Δt)＝3(m/s)．
即物体的初速度为3 m/s.
(2)v＝
＝
＝
＝ (－Δt－1)＝－1(m/s)．
即此物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，
方向与初速度相反．
(3)＝＝＝1(m/s)．
即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.
[能力提升练]
1.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图1-1-4所示，则一定有( )
图1-1-4
A．两机关节能效果一样好
B．A机关比B机关节能效果好
C．A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大
D．A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大
B [由图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好．]
2．设函数f(x)可导，则 等于( )
【导学号：31062010】
A．f′(1) B．3f′(1)
C.f′(1) D．f′(3)
C [ ＝
＝f′(1)．]
3．如图1-1-5所示，函数y＝f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是________．
图1-1-5
[解析] 由平均变化率的定义可知，函数y＝f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为：，，，结合图象可以发现函数y＝f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]．
[答案] [x3，x4]
4．给出下列结论：①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为11；②若物体的运动规律是s＝f(t)，则物体在时刻t0的瞬时速度v等于f′(t0)；③物体做直线运动时，它的运动规律可以用函数v＝v(t)描述，其中v表示瞬时速度，t表示时间，那么该物体运动的加速度为a＝ .其中正确的结论序号为____．
[解析] ①函数y＝2x2－1在x＝3处的导数为12，故①错，根据变化率在物理学中的含义知②③正确．
[答案] ②③
5．若一物体运动方程如下：(位移：m，时间：s)
s＝
【导学号：31062011】
求：(1)物体在t∈[3,5]内的平均速度．
(2)物体的初速度v0.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
[解] (1)因为物体在t∈[3,5]内的时间变化量为Δt＝5－3＝2，
物体在t∈[3,5]内的位移变化量为
Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48，
所以物体在t∈[3,5]上的平均速度为＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均变化率为
＝
＝＝3Δt－18.
所以物体在t＝0处的瞬时变化率为
li ＝li (3Δt－18)＝－18.
即物体的初速度为－18 m/s.
(3)物体在t＝1时的瞬时速度即为函数在t＝1处的瞬时变化率．
因为物体在t＝1附近的平均变化率为＝＝＝3Δt－12.
所以物体在t＝1处的瞬时变化率为 ＝ (3Δt－12)＝－12.
即物体在t＝1时的速度为－12 m/s.
课时分层作业(二十)复数代数形式的乘除运算
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.＝( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
D [∵＝＝－1－i，选D.]
2．已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z＝( )
【导学号：31062225】
A．－2－i B．－2＋i
C．2－i D．2＋i
C [z－1＝＝1－i，所以z＝2－i，故选C.]
3．在复平面内，复数＋(1＋i)2对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
B [＋(1＋i)2＝＋i＋(－2＋2i)
＝－＋(2＋)i，对应点在第二象限．]
4．若复数z满足(3－4i)z＝|4＋3i|，则z的虚部为( )
A．－4 B．－
C．4 D．
D [∵(3－4i)z＝|4＋3i|，
∴z＝＝＝＋i.
故z的虚部为，选D.]
5．设复数z的共轭复数是，若复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z1·2是实数，则实数t等于( )
A． B．
C．－ D．－
A [∵z2＝t＋i，∴2＝t－i.
z1·2＝(3＋4i)(t－i)＝3t＋4＋(4t－3)i，
又∵z1·2∈R，∴4t－3＝0，∴t＝.]
二、填空题
6. i为虚数单位，若复数z＝，z的共轭复数为，则z·＝________.
【导学号：31062226】
[解析] ∵z＝＝＝＝i，
∴＝－i，∴z·＝1.
[答案] 1
7．已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝________.
[解析] ∵＝b＋i，∴a＋2i＝(b＋i)i＝－1＋bi，
∴a＝－1，b＝2，∴a＋b＝1.
[答案] 1
8．设复数z1、z2在复平面内的对应点分别为A、B，点A与B关于x轴对称，若z1(1－i)＝3－i，则|z2|＝________.
[解析] ∵z1(1－i)＝3－i，∴z1＝＝＝2＋i，∵A与B关于x轴对称，∴z1与z2互为共轭复数，∴z2＝1＝2－i，∴|z2|＝.
[答案]
三、解答题
9．已知复数z＝.
(1)求z的实部与虚部；
(2)若z2＋m＋n＝1－i(m，n∈R，是z的共轭复数)，求m和n的值．
[解] (1)z＝＝＝2＋i，
所以z的实部为2，虚部为1.
(2)把z＝2＋i代入z2＋m＋n＝1－i，
得(2＋i)2＋m(2－i)＋n＝1－i，
所以解得m＝5，n＝－12.
10．把复数z的共轭复数记作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
【导学号：31062227】
[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由复数相等的定义知，
得a＝2，b＝1，∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.
[能力提升练]
1．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1＝2＋i，则z1z2＝
( )
A．－5 B．5
C．－4＋i D．－4－i
A [∵z1＝2＋i，z1与z2关于虚轴对称，
∴z2＝－2＋i，
∴z1z2＝－1－4＝－5，故选A.]
2．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
D [A，|z1－z2|＝0?z1－z2＝0?z1＝z2?1＝2，真命题；B，z1＝2?1＝2＝z2，真命题；
C，|z1|＝|z2|?|z1|2＝|z2|2?z1·1＝z2·2，真命题；
D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然z＝1，z＝－1，即z≠z，假命题．]
3．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________.
【导学号：31062228】
[解析] ＝＝＝
＝，
∴∴a＝.
[答案]
4．设x、y为实数，且＋＝，则x＋y＝________.
[解析] ＋＝可化为，
＋＝，
即＋i＝＋i，
由复数相等的充要条件知
∴
∴x＋y＝4.
[答案] 4
5．设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1＜ω＜2，
(1)求|z|的值及z的实部的取值范围；
(2)设u＝，证明u为纯虚数.
【导学号：31062229】
[解] (1)因为z是虚数，所以可设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0.
所以ω＝z＋＝x＋yi＋
＝x＋yi＋＝x＋＋i.
因为ω是实数且y≠0，
所以y－＝0，
所以x2＋y2＝1，
即|z|＝1.此时ω＝2x.
因为－1＜ω＜2，
所以－1＜2x＜2，
从而有－＜x＜1，
即z的实部的取值范围是.
(2)证明：设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，
由(1)知，x2＋y2＝1，
∴u＝＝
＝
＝＝－i.
因为x∈，y≠0，
所以≠0，
所以u为纯虚数．
课时分层作业(二) 导数的几何意义
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
【导学号：31062016】
A．不存在 B．与x轴平行或重合
C．与x轴垂直 D．与x轴相交但不垂直
B [由导数的几何意义可知选项B正确．]
2．若函数f(x)＝x＋，则f′(1)＝( )
A．2 B．
C．1 D．0
D [f′(1)＝
＝ ＝0.]
3．已知点P(－1,1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若kPQ的极限为－2，则在点P处的切线方程为( )
A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1
C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2
B [由题意可知， 曲线在点P处的切线方程为
y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]
4．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的点是( )
A．(0,0) B．(2,4)
C． D．
D [∵y′＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x，
∴令2x＝tan ＝1，得x＝.∴y＝2＝，所求点的坐标为.]
图1-1-10
5．如图1-1-10，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)等于( )
【导学号：31062017】
A．2 B．3
C．4 D．5
A [易得切点P(5,3)，∴f(5)＝3，k＝－1，即f′(5)＝－1.∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.]
二、填空题
6．已知函数y＝ax2＋b在点(1,3)处的切线斜率为2，则＝________.
[解析] ∵f′(1)＝2，
又 ＝ ＝ (aΔx＋2a)＝2a，∴2a＝2，∴a＝1.又f(1)＝a＋b＝3，∴b＝2.
∴＝2.
[答案] 2
7．曲线y＝x2－2x＋3在点A(－1,6)处的切线方程是__________.
【导学号：31062018】
[解析] 因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1,6)，所以斜率k＝y′|x＝－1
＝
＝ (Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
[答案] 4x＋y－2＝0
8．若曲线y＝x2＋2x在点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，则点P的坐标是__________．
[解析] 设P(x0，y0)，则
y′|x＝x0＝
＝ (2x0＋2＋Δx)＝2x0＋2.
因为点P处的切线垂直于直线x＋2y＝0，
所以点P处的切线的斜率为2，
所以2x0＋2＝2，解得x0＝0，即点P的坐标是(0,0)．
[答案] (0,0)
三、解答题
9．若曲线y＝f(x)＝x3在点(a，a3)(a≠0)处的切线与x轴、直线x＝a所围成的三角形的面积为，求a的值．
[解] ∵f′(a)＝ ＝3a2，∴曲线在(a，a3)处的切线方程为y＝－a3＝3a2(x－a)，切线与x轴的交点为.
∴三角形的面积为·|a3|＝，得a＝±1.
10．已知曲线y＝x2，
(1)求曲线在点P(1,1)处的切线方程；
(2)求曲线过点P(3,5)的切线方程. 【导学号：31062019】
[解] (1)设切点为(x0，y0)，
∵y′|x＝x0＝
＝ ＝2x0，
∴y′|x＝1＝2.
∴曲线在点P(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，
即y＝2x－1.
(2)点P(3,5)不在曲线y＝x2上，设切点为A(x0，y0)，
由(1)知，y′|x＝x0＝2x0，
∴切线方程为y－y0＝2x0(x－x0)，
由P(3,5)在所求直线上得5－y0＝2x0(3－x0)， ①
再由A(x0，y0)在曲线y＝x2上得y0＝x， ②
联立①，②得x0＝1或x0＝5.
从而切点为(1,1)时，
切线的斜率为k1＝2x0＝2，
此时切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1，
当切点为(5,25)时，切线的斜率为k2＝2x0＝10，
此时切线方程为y－25＝10(x－5)，
即y＝10－25.
综上所述，过点P(3,5)且与曲线y＝x2相切的直线方程为y＝2x－1或y＝10x－25.
[能力提升练]
1．已知函数f(x)的图象如图1-1-11所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是( )
图1-1-11
A．0B．0C．0D．0B [由函数的图象，可知函数f(x)是单调递增的，所以函数图象上任意一点处的导函数值都大于零，并且由图象可知，函数图象在x＝2处的切线斜率k1大于在x＝3处的切线斜率k2，所以f′(2)>f′(3)．记A(2，f(2))，B(3，f(3))，作直线AB，则直线AB的斜率k＝＝f(3)－f(2)，由函数图象，可知k1>k>k2>0，即f′(2)>f(3)－f(2)>f′(3)>0.故选B.]
2．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
D [∵
＝ ＝－1，
∴ ＝－2，即f′(1)＝－2.
由导数的几何意义知，曲线在点(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝－2，故选D.]
3．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是________.
【导学号：31062020】
[解析] 因为y＝x3，所以y′＝ ＝[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.
由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1.
当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.
故点P的坐标是(1,1)或(－1，－1)．
[答案] (1,1)或(－1，－1)
4．已知函数y＝f(x)的图象如图1-1-12所示，则函数y＝f′(x)的图象可能是__________(填序号)．
图1-1-12
[解析] 由y＝f(x)的图象及导数的几何意义可知，当x<0时f′(x)>0，当x＝0时f′(x)＝0，当x>0时f′(x)<0，故②符合．
[答案] ②
5．已知曲线f(x)＝.
(1)求曲线过点A(1,0)的切线方程；
(2)求满足斜率为－的曲线的切线方程．
[解] (1)f′(x)＝
＝ ＝－.
设过点A(1,0)的切线的切点为P， ①
则f′(x0)＝－，即该切线的斜率为k＝－.
因为点A(1,0)，P在切线上，
所以＝－， ②
解得x0＝.
故切线的斜率k＝－4.
故曲线过点A(1,0)的切线方程为y＝－4(x－1)，
即4x＋y－4＝0.
(2)设斜率为－的切线的切点为Q，
由(1)知，k＝f′(a)＝－＝－，得a＝±.
所以切点坐标为或.
故满足斜率为－的曲线的切线方程为
y－＝－(x－)或y＋＝－(x＋)，
即x＋3y－2＝0或x＋3y＋2＝0.
课时分层作业(四) 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列函数不是复合函数的是( )
A. y＝－x3－＋1 B．y＝cos
C．y＝ D．y＝(2x＋3)4
A [A不是复合函数，B、C、D均是复合函数，其中B是由y＝cos u，u＝x＋复合而成；C是由y＝，u＝ln x复合而成；D是由y＝u4，u＝2x＋3复合而成．]
2．函数y＝xln(2x＋5)的导数为( )
【导学号：31062032】
A．ln(2x＋5)－ B．ln(2x＋5)＋
C．2xln(2x＋5) D．
B [∵y＝xln(2x＋5)，∴y′＝ln(2x＋5)＋.]
3．函数y＝(ex＋e－x)的导数是( )
A．(ex－e－x) B．(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
A [y′＝(ex＋e－x)′＝(ex－e－x)．]
4．当函数y＝(a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
B [y′＝′＝＝，
由x－a2＝0得x0＝±a.]
5．已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为( )
A．1 B．2
C．－1 D．－2
B [设切点坐标是(x0，x0＋1)，
依题意有
由此得x0＋1＝0，x0＝－1，a＝2.]
二、填空题
6．f(x)＝且f′(1)＝2，则a的值为________.
【导学号：31062033】
[解析] ∵f(x)＝(ax2－1)，
∴f′(x)＝(ax2－1) (ax2－1)′＝.
又f′(1)＝2，∴＝2，∴a＝2.
[答案] 2
7．若曲线y＝xln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．
(e，e) [设P(x0，y0)．∵y＝xln x，
∴y′＝ln x＋x·＝1＋ln x.
∴k＝1＋ln x0.又k＝2，
∴1＋ln x0＝2，∴x0＝e.
∴y0＝eln e＝e.
∴点P的坐标是(e，e)．]
8．点P是f(x)＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x－1的最短距离是__________．
[解析] 与直线y＝x－1平行的f(x)＝x2的切线的切点到直线y＝x－1的距离最小．设切点为(x0，y0)，则f′(x0)＝2x0＝1，
∴x0＝，y0＝.即P到直线y＝x－1的距离最短．∴d＝＝.
[答案]
三、解答题
9．求下列函数的导数.
【导学号：31062034】
(1)y＝ln(ex＋x2)；
(2)y＝102x＋3；
(3)y＝sin4x＋cos4x.
[解] (1)令u＝ex＋x2，则y＝ln u.
∴y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝·(ex＋2x)＝.
(2)令u＝2x＋3，则y＝10u，∴y′x＝y′u·u′x＝10u·ln 10·(2x＋3)′＝2×102x＋3ln 10.
(3)y＝sin4x＋cos4x＝(sin2x＋cos2x)2－2sin2 x·cos2 x＝1－sin2 2x＝1－(1－cos 4x)＝＋cos 4x.
∴y′＝－sin 4x.
10．曲线y＝esin x在(0,1)处的切线与直线l平行，且与l的距离为，求直线l的方程．
[解] ∵y＝esin x，∴y′＝esin xcos x，
∴y′|x＝0＝1.
∴曲线y＝esin x在(0,1)处的切线方程为
y－1＝x，即x－y＋1＝0.
又直线l与x－y＋1＝0平行，故可设为x－y＋m＝0.
由＝得m＝－1或3.
∴直线l的方程为：x－y－1＝0或x－y＋3＝0.
[能力提升练]
1．曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线与直线y＝0和y＝x围成的三角形的面积为( )
A． B．
C． D．1
A [依题意得y′＝e－2x·(－2)＝－2e－2x，y′|x＝0＝
－2e－2×0＝－2.
曲线y＝e－2x＋1在点(0,2)处的切线方程是y－2＝－2x，即y＝－2x＋2.在坐标系中作出直线y＝－2x＋2、y＝0与y＝x的图象，因为直线y＝－2x＋2与y＝x的交点坐标是，直线y＝－2x＋2与x轴的交点坐标是(1,0)，结合图象可得，这三条直线所围成的三角形的面积等于×1×＝.]
2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )
A. B.
C. D.
D [因为y＝，
所以y′＝＝＝.
因为ex>0，所以ex＋≥2，所以y′∈[－1,0)，所以tan α∈[－1,0)．
又因为α∈[0，π)，
所以α∈.]
3．函数y＝ln 在x＝0处的导数为________.
【导学号：31062035】
[解析] y＝ln ＝ln ex－ln(1＋ex)＝x－ln(1＋ex)，
则y′＝1－.当x＝0时，y′＝1－＝.
[答案]
4．已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________．
[解析] (1)设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
[答案] y＝－2x－1
5．(1)已知f(x)＝eπxsin πx，求f′(x)及f′；
(2)在曲线y＝上求一点，使过该点的切线平行于x轴，并求切线方程．
[解] (1)∵f(x)＝eπxsin πx，
∴f′(x)＝πeπxsinπx＋πeπxcos πx
＝πeπx(sin πx＋cos πx)．
∴f′＝πe
＝πe.
(2)设切点的坐标为P(x0，y0)，由题意可知y′|x＝x0＝0.
又y′＝，
∴y′|x＝x0＝＝0.
解得x0＝0，此时y0＝1.
即该点的坐标为(0,1)，切线方程为y－1＝0.
课时分层作业(五) 函数的单调性与导数
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．如图1-3-6是函数y＝f(x)的导函数f′(x)的图象，则下面判断正确的是
( )
图1-3-6
A．在区间(－2,1)上f(x)是增函数
B．在区间(1,3)上f(x)是减函数
C．在区间(4,5)上f(x)是增函数
D．在区间(3,5)上f(x)是增函数
C [由导函数f′(x)的图象知在区间(4,5)上，f′(x)>0，所以函数f(x)在(4,5)上单调递增．故选C.]
2．函数y＝x＋xln x的单调递减区间是( )
【导学号：31062041】
A．(－∞，e－2) B．(0，e－2)
C．(e－2，＋∞) D．(e2，＋∞)
B [因为y＝x＋xln x，所以定义域为(0，＋∞)．
令y′＝2＋ln x<0，解得0即函数y＝x＋xln x的单调递减区间是(0，e－2)，故选B.]
3．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调递减函数，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪[，＋∞)
B．[－，]
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－， )
B [f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立且不恒为0，Δ＝4a2－12≤0?－≤a≤.]
4．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )
A．y＝sin x B．y＝xe2
C．y＝x3－x D．y＝ln x－x
B [显然y＝sin x在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；
对于C，y′＝3x2－1＝3，
故函数在，上为增函数，
在上为减函数；
对于D，y′＝－1(x＞0)．
故函数在(1，＋∞)上为减函数，
在(0,1)上为增函数，故选B.]
5．设f′(x)是函数f(x)的导函数，将y＝f(x)和y＝f′(x)的图象画在同一直角坐标系中，不可能正确的是( )
【导学号：31062042】
A B C D
D [对于选项A，若曲线C1为y＝f(x)的图象，曲线C2为y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)在(－∞，0)内是减函数，从而在(－∞，0)内有f′(x)＜0；y＝f(x)在(0，＋∞)内是增函数，从而在(0，＋∞)内有f′(x)＞0.因此，选项A可能正确．
同理，选项B、C也可能正确．
对于选项D，若曲线C1为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为增函数，与C2不相符；若曲线C2为y＝f′(x)的图象，则y＝f(x)在(－∞，＋∞)内应为减函数，与C1不相符．因此，选项D不可能正确．]
二、填空题
6．函数f(x)＝x－2sin x在(0，π)上的单调递增区间为__________.
[解析] 令f′(x)＝1－2cos x>0，则cos x<，又x∈(0，π)，解得[答案]
7．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是________.
【导学号：31062043】
[解析] f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)＜0，即6x2－18x＋12＜0，解得1＜x＜2.
[答案] (1,2)
8．已知函数f(x)＝在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a的取值范围为________．
[解析] f′(x)＝，由题意得f′(x)≤0在(－2，＋∞)内恒成立，∴解不等式得a≤，但当a＝时，f′(x)＝0恒成立，不合题意，应舍去，所以a的取值范围是.
[答案]
三、解答题
9．已知函数f(x)＝(ax2＋x－1)ex，其中e是自然对数的底数，a∈R.
(1)若a＝1，求曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程．
(2)若a＝－1，求f(x)的单调区间．
[解] f′(x)＝(ax＋2a＋1)xex.
(1)若a＝1，则f′(x)＝(x＋3)xex，f(x)＝(x2＋x－1)ex，
所以f′(x)＝4e，f(1)＝e.
所以曲线f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝4e(x－1)即4ex－y－3e＝0.
(2)若a＝－1，则f′(x)＝－(x＋1)xex.
令f′(x)＝0解x1＝－1，x2＝0.
当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＜0；
当x∈(－1,0)时，f′(x)＞0；
当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＜0；
所以f(x)的指区间为(－1,0)，减区间为(－∞，－1)和(0，＋∞)．
10．已知二次函数h(x)＝ax2＋bx＋2，其导函数y＝h′(x)的图象如图1-3-7，f(x)＝6ln x＋h(x)．
图1-3-7
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若函数f(x)在区间(1，m＋)上是单调函数，求实数m的取值范围.
【导学号：31062044】
[解] (1)由已知，h′(x)＝2ax＋b，
其图象为直线，且过(0，－8)，(4,0)两点，把两点坐标代入h′(x)＝2ax＋b，
∴解得
∴h(x)＝x2－8x＋2，h′(x)＝2x－8，
∴f(x)＝6ln x＋x2－8x＋2.
(2)∵f′(x)＝＋2x－8
＝(x＞0)．
∴当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(0,1)
1
(1,3)
3
(3，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
∴f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3，＋∞)，
f(x)的单调递减区间为(1,3)．
要使函数f(x)在区间上是单调函数，
则解得＜m≤.
即实数m的取值范围为.
[能力提升练]
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2.则f(x)>2x＋4的解集为( )
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
B [构造函数g(x)＝f(x)－(2x＋4)，
则g(－1)＝2－(－2＋4)＝0，又f′(x)>2.
∴g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)是R上的增函数．
∴f(x)>2x＋4?g(x)>0?g(x)>g(－1)，
∴x>－1.]
2．设f(x)，g(x)是定义在R上的恒大于0的可导函数，且f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，则当a 【导学号：31062045】
A．f(x)g(x)>f(b)g(b)
B．f(x)g(a)>f(a)g(x)
C．f(x)g(b)>f(b)g(x)
D．f(x)g(x)>f(a)g(a)
C [因为′＝.又因为f′(x)g(x)－f(x)g′(x)<0，所以在R上为减函数．又因为a>，又因为f(x)>0，g(x)>0，所以f(x)g(b)>f(b)g(x)．因此选C.]
3．若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则b的取值范围是__________．
[解析] 若函数y＝－x3＋bx有三个单调区间，则y′＝－4x2＋b＝0有两个不相等的实数根，所以b>0.
[答案] (0，＋∞)
4．若函数f(x)＝2x2－ln x在定义域内的一个子区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，则实数k的取值范围是________．
[解析] 显然函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－＝.由f′(x)＞0，得函数f(x)的单调递增区间为；由f′(x)＜0，得函数f(x)单调递减区间为.因为函数在区间(k－1，k＋1)上不是单调函数，所以k－1＜＜k＋1，解得－＜k＜，又因为(k－1，k＋1)为定义域内的一个子区间，所以k－1≥0，即k≥1.综上可知，1≤k＜.
[答案]
5．(1)已知函数f(x)＝axekx－1，g(x)＝ln x＋kx.当a＝1时，若f(x)在(1，＋∞)上为减函数，g(x)在(0,1)上为增函数，求实数k的值；
(2)已知函数f(x)＝x＋－2ln x，a∈R，讨论函数f(x)的单调区间.
【导学号：31062046】
[解] (1)当a＝1时，f(x)＝xekx－1，
∴f′(x)＝(kx＋1)ekx，g′(x)＝＋k.
∵f(x)在(1，＋∞)上为减函数，
则?x＞1，f′(x)≤0?k≤－，
∴k≤－1.
∵g(x)在(0,1)上为增函数，
则?x∈(0,1)，g′(x)≥0?k≥－，
∴k≥－1.
综上所述，k＝－1.
(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，
∴f′(x)＝1－－＝.
①当Δ＝4＋4a≤0，即a≤－1时，
得x2－2x－a≥0，
则f′(x)≥0.
∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
②当Δ＝4＋4a＞0，即a＞－1时，
令f′(x)＝0，得x2－2x－a＝0，
解得x1＝1－，x2＝1＋＞0.
(ⅰ)若－1＜a≤0，则x1＝1－≥0，
∵x∈(0，＋∞)，
∴f(x)在(0,1－)，(1＋，＋∞)上单调递增，
在(1－，1＋)上单调递减．
(ⅱ)若a＞0，则x1＜0，当x∈(0,1＋)时，f′(x)＜0，当x∈(1＋，＋∞)时，f′(x)＞0，
∴函数f(x)在区间(0,1＋)上单调递减，
在区间(1＋，＋∞)上单调递增.
课时分层作业(六) 函数的极值与导数
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图1-3-10所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有( )
图1-3-10
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [依题意，记函数y＝f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1，x2，x3，x4，当a＜x＜x1时，f′(x)＞0；当x1＜x＜x2时，f′(x)＜0；当x2＜x＜x4时，f′(x)≥0；当x4＜x＜b时，f′(x)＜0.因此，函数f(x)分别在x＝x1，x＝x4处取得极大值，选B.]
2．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有( )
【导学号：31062053】
A．极大值5，极小值－27
B．极大值5，极小值－11
C．极大值5，无极小值
D．极小值－27，无极大值
C [由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.
当x＜－1或x＞3时，y′＞0；由－1＜x＜3时，y′＜0.
∴当x＝－1时，函数有极大值5；3?(－2,2)，故无极小值．]
3．已知a是函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝( )
A．－4 B．－2
C．4 D．2
D [∵f(x)＝x3－12x，∴f′(x)＝3x2－12，令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.
当x∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f′(x)＞0，则f(x)单调递增；
当x∈(－2,2)时，f′(x)＜0，则f(x)单调递减，∴f(x)的极小值点为a＝2.]
4．当x＝1时，三次函数有极大值4，当x＝3时有极小值0，且函数过原点，则此函数是( )
A．y＝x3＋6x2＋9x B．y＝x3－6x2＋9x
C．y＝x3－6x2－9x D．y＝x3＋6x2－9x
B [∵三次函数过原点，故可设为
y＝x3＋bx2＋cx，
∴y′＝3x2＋2bx＋c.
又x＝1,3是y′＝0的两个根，
∴，即
∴y＝x3－6x2＋9x，
又y′＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)
∴当x＝1时，f(x)极大值＝4 ，
当x＝3时，f(x)极小值＝0，满足条件，故选B.]
5．函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )
【导学号：31062054】
A．0C．b>0 D．b<
A [f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则即解得0二、填空题
6．已知曲线f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在点(1，f(1))处的切线斜率为3，且x＝是y＝f(x)的极值点，则a＋b＝________.
[解析] ∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
∴即
解得a＝2，b＝－4，
∴a＋b＝2－4＝－2.
[答案] －2
7．设a∈R，若函数y＝ex＋ax(x∈R)有大于零的极值点，则a的取值范围为________.
【导学号：31062055】
[解析] ∵y＝ex＋ax，
∴y′＝ex＋a，令y′＝ex＋a＝0，则ex＝－a，
即x＝ln(－a)，又∵x＞0，∴－a＞1，即a＜－1.
[答案] (－∞，－1)
8．若直线y＝a与函数f(x)＝x3－3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是________．
[解析] 令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，则极大值为f(－1)＝2，极小值为f(1)＝－2.如图，观察得－2＜a＜2时恰有三个不同的公共点．
[答案] (－2,2)
三、解答题
9．已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.
(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由.
【导学号：31062056】
[解] f′(x)＝3ax2 ＋2bx＋c，
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．
由根与系数的关系知
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0， ①
3a－2b＋c＝0， ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1， ③
由①②③解得a＝，b＝0，c＝－.
(2)f(x)＝x3－x，
∴f′(x)＝x2－＝(x－1)(x＋1)．
当x＜－1或x＞1时f′(x)＞0，
当－1＜x＜1时，f′(x)＜0.
∴函数f(x)在(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，
在(－1,1)上是减函数．
∴当x＝－1时，函数取得极大值，x＝－1为极大值点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点．
10．设f(x)＝aln x＋＋x＋1，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴．
(1)求a的值；
(2)求函数f(x)的极值．
[解] (1)因为f(x)＝aln x＋＋x＋1，
故f′(x)＝－＋.
由于曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线垂直于y轴，故该切线斜率为0，
即f′(1)＝0，
从而a－＋＝0，
解得a＝－1.
(2)由(1)知f(x)＝－ln x＋＋x＋1(x＞0)，
f′(x)＝－－＋
＝
＝.
令f′(x)＝0，解得x1＝1，x2＝－因x2＝－不在定义域内，舍去．
当x∈(0,1)时，f′(x)＜0，故f(x)在(0,1)上为减函数；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故f(x)在(1，＋∞)上为增函数．
故f(x)在x＝1处取得极小值，且f(1)＝3.
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx－a2－7a在x＝1处取得极大值10，则的值为
( )
A．－ B．－2
C．－2或－ D．不存在
A [∵f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f(x)在x＝1处取得极大值10，
∴f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f(1)＝1＋a＋b－a2－7a＝10，
∴a2＋8a＋12＝0，∴a＝－2，b＝1或a＝－6，b＝9.
当a＝－2，b＝1时，f′(x)＝3x2－4x＋1＝(3x－1)(x－1)．
当＜x＜1时，f′(x)＜0，当x＞1时，f′(x)＞0，
∴f(x)在x＝1处取得极小值，与题意不符．
当a＝－6，b＝9时，f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)；
当x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x＜3时，f′(x)＜0，
∴f(x)在x＝1处取得极大值，符合题意；
∴＝－＝－.]
2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)·f′(x)的图象如图1-3-11所示，则下列结论中一定成立的是( )
图1-3-11
A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)
C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)
D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)
D [由图可知，当x＜－2时，f′(x)＞0；当－2＜x＜1时，f′(x)＜0；当1＜x＜2时，f′(x)＜0；当x＞2时，f′(x)＞0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值．]
3．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为________．
[解析] 由题知y′＝ex＋xex，令y′＝0，解得x＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为，又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故方程为y＝－.
[答案] y＝－
4．若函数f(x)＝x3＋x2－ax－4在区间(－1,1)上恰有一个极值点，则实数a的取值范围为________.
【导学号：31062057】
[解析] ∵f′(x)＝3x2＋2x－a，
函数f(x)在区间(－1,1)上恰有一个极值点，
即f′(x)＝0在(－1,1)内恰有一个根．
又函数f′(x)＝3x2＋2x－a的对称轴为x＝－.
∴应满足∴
∴1≤a<5.
[答案] [1,5)
5．设a为实数，函数f(x)＝x3－x2－x＋a.
(1)求f(x)的极值；
(2)当a在什么范围内取值时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点？
[解] (1)f′(x)＝3x2－2x－1.
令f′(x)＝0，则x＝－或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
－
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
所以f(x)的极大值是f＝＋a，
极小值是f(1)＝a－1.
(2)函数f(x)＝x3－x2－x＋a＝(x－1)2(x＋1)＋a－1，
由此可知，x取足够大的正数时，有f(x)＞0，
x取足够小的负数时，有f(x)＜0，
所以曲线y＝f(x)与x轴至少有一个交点．
由(1)知f(x)极大值＝f＝＋a，f(x)极小值＝f(1)＝a－1.
∵曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点，
∴f(x)极大值＜0或f(x)极小值＞0，
即＋a＜0或a－1＞0，∴a＜－或a＞1，
∴当a∈∪(1，＋∞)时，曲线y＝f(x)与x轴仅有一个交点．
课时分层作业(七) 函数的最大(小)值与导数
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．已知函数f(x)，g(x)均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f′(x)＜g′(x)，则f(x)－g(x)的最大值为( )
A．f(a)－g(a) B．f(b)－g(b)
C．f(a)－g(b) D．f(b)－g(a)
A [令F(x)＝f(x)－g(x)，则F′(x)＝f′(x)－g′(x)，
又f′(x)＜g′(x)，故F′(x)＜0，
∴F(x)在[a，b]上单调递减，
∴F(x)max≤F(a)＝f(a)－g(a)．]
2．函数y＝的最大值为( )
A．e－1 B．e
C．e2 D．
A [令y′＝＝＝0(x＞0)，
解得x＝e.当x＞e时，y′＜0；当0＜x＜e时，y′＞0.
y极大值＝f(e)＝，在定义域(0，＋∞)内只有一个极值，
所以ymax＝.]
3．函数f(x)＝x2·ex＋1，x∈[－2,1]的最大值为( )
【导学号：31062064】
A．4e－1 B．1
C．e2 D．3e2
C [∵f′(x)＝(x2＋2x)ex＋1＝x(x＋2)ex＋1，∴f′(x)＝0得x＝－2或x＝0.
又当x∈[－2,1]时，ex＋1＞0，
∴当－2＜x＜0时，f′(x)＜0；
当0＜x＜1时f′(x)＞0.
∴f(x)在(－2,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增．
又f(－2)＝4e－1，f(1)＝e2，
∴f(x)的最大值为e2.]
4．已知函数f(x)＝x3－12x＋8在区间[－3,3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m的值为( )
A．16 B．12
C．32 D．6
C [∵f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)，由f(－3)＝17，f(3)＝－1，f(－2)＝24，f(2)＝－8，
可知M－m＝24－(－8)＝32.]
5．函数f(x)＝x3－3ax－a在(0,1)内有最小值，则a的取值范围为( )
A．0≤a<1 B．0C．－1B [∵f′(x)＝3x2－3a，则f′(x)＝0有解，可得a＝x2.
又∵x∈(0,1)，∴0二、填空题
6．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为________.
【导学号：31062065】
[解析] f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
则f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)max＝k－76＝－71.
[答案] －71
7．已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________.
【导学号：31062066】
[解析] 函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，即方程ex－2x＋a＝0有实根，即函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，而g′(x)＝2－ex，易知函数g(x)＝2x－ex在(－∞，ln 2)上递增，在(ln 2，＋∞)上递减，因而g(x)＝2x－ex的值域为(－∞，2ln 2－2]，所以要使函数g(x)＝2x－ex，y＝a有交点，只需a≤2ln 2－2即可．
[答案] (－∞，2ln 2－2]
8．已知函数f(x)＝＋2ln x，若当a>0时，f(x)≥2恒成立，则实数a的取值范围是__________．
[解析] 由f(x)＝＋2ln x得f′(x)＝，又函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且a>0，令f′(x)＝0，得x＝－(舍去)或x＝.当0时，f′(x)>0.故x＝是函数f(x)的极小值点，也是最小值点，且f()＝ln a＋1.要使f(x)≥2恒成立，需ln a＋1≥2恒成立，则a≥e.
[答案] [e，＋∞)
三、解答题
9．设函数f(x)＝ln(2x＋3)＋x2.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．
[解] 易知f(x)的定义域为.
(1)f′(x)＝＋2x＝
＝.
当－0；
当－1当x>－时，f′(x)>0，
从而f(x)在区间，上单调递增，在区间上单调递减．
(2)由(1)知f(x)在区间上的最小值为f＝ln 2＋.
又因为f－f＝ln＋－ln－
＝ln＋＝<0，
所以f(x)在区间上的最大值为
f＝＋ln.
10．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.
(1)求f(x)的单调递减区间；
(2)若f(x)≥2 017对于?x∈[－2,2]恒成立，求a的取值范围．
[解] (1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.
由f′(x)<0，得x<－1或x>3，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．
(2)由f′(x)＝0，－2≤x≤2，得x＝－1.
因为f(－2)＝2＋a，f(2)＝22＋a，f(－1)＝－5＋a，
故当－2≤x≤2时，f(x)min＝－5＋a.
要使f(x)≥2 017对于?x∈[－2,2]恒成立，只需f(x)min＝－5＋a≥2 017，解得a≥2 022.
[能力提升练]
1．已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值，若m，n∈[－1,1]，则f(m)＋f′(n)的最小值是( )
A．－13 B．－15
C．10 D．15
A [对函数f(x)求导得f′(x)＝－3x2＋2ax，
由函数f(x)在x＝2处取得极值知f′(2)＝0，
即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x)＝－x3＋3x2－4，f′(x)＝－3x2＋6x，
易知f(x)在[－1,0)上单调递减，在(0,1]上单调递增，
∴当m∈[－1,1]时，f(m)min＝f(0)＝－4.
又∵f′(x)＝－3x2＋6x的图象开口向下，
且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1,1]时，
f′(n)min＝f′(－1)＝－9，
故f(m)＋f′(n)的最小值为－13.]
2．若函数f(x)＝3x－x3在区间(a2－12，a)上有最小值，则实数a的取值范围是( )
A．(－1，) B．(－1,4)
C．(－1,2] D．(－1,2)
C [由f′(x)＝3－3x2＝0，得x＝±1.
当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，－1)
－1
(－1,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
－2
2
由此得a2－12＜－1＜a，
解得－1＜a＜.
又当x∈(1，＋∞)时，f(x)单调递减，且当x＝2时，f(x)＝－2.∴a≤2.
综上，－1＜a≤2.]
3．已知a≤4x3＋4x2＋1对任意x∈[－1,1]都成立，则实数a的取值范围是________.
【导学号：31062067】
[解析] 设f(x)＝4x3＋4x2＋1，则f′(x)＝12x2＋8x＝4x(3x＋2)
由f′(x)＝0得x＝－或x＝0.
又f(－1)＝1，f＝，f(0)＝1，f(1)＝9，
故f(x)在[－1,1]上的最小值为1.
故a≤1.
[答案] (－∞，1]
4．已知函数f(x)＝x3－x2＋6x＋a，若?x0∈[－1,4]，使f(x0)＝2a成立，则实数a的取值范围是________．
[解析] ∵f(x0)＝2a，即x－x＋6x0＋a＝2a，
可化为x－x＋6x0＝a，
设g(x)＝x3－x2＋6x，则g′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－1)(x－2)＝0，得x＝1或x＝2.
∴g(1)＝，g(2)＝2，g(－1)＝－，g(4)＝16.
由题意，g(x)min≤a≤g(x)max，∴－≤a≤16.
[答案]
5．已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的单调区间；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【导学号：31062068】
[解] (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.
令f′(x)＝0，得x＝k－1.
令x变化时，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，k－1)
k－1
(k－1，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
f(x)
－ek－1
所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，
函数f(x)在[0,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；
当0＜k－1＜1，即1＜k＜2时，
由(1)知f(x)在[0，k－1)上单调递减，在(k－1,1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k－1)＝－ek－1；
当k－1≥1，即k≥2时，
函数f(x)在[0,1]上单调递减，
所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)＝(1－k)e.
课时分层作业(八) 生活中的优化问题举例
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，若使砌壁所用的材料最省，堆料场的长和宽应分别为(单位：米)( )
A．32,16 B．30,15
C．40,20 D．36,18
A [要使材料最省，则要求新砌的墙壁的总长最短，设场地宽为x米，则长为米，因此新墙总长L＝2x＋(x>0)，则L′＝2－.令L′＝0，得x＝16或x＝－16(舍去)．此时长为＝32(米)，可使L最短．]
2．将8分为两个非负数之和，使两个非负数的立方和最小，则应分为
( )
A．2和6 B．4和4
C．3和5 D．以上都不对
B [设一个数为x，则另一个数为8－x，则其立方和y＝x3＋(8－x)3＝83－192x＋24x2(0≤x≤8)，y′＝48x－192.令y′＝0，即48x－192＝0，解得x＝4.当0≤x<4时，y′<0；当40.所以当x＝4时，y最小．]
3．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为
( ) 【导学号：31062075】
A． cm B． cm
C． cm D． cm
D [设圆锥的高为x cm，则底面半径为 cm.其体积为V＝πx(202－x2)(0＜x＜20)，V′＝π(400－3x2)．令V′＝0，解得x1＝，x2＝－(舍去)．当0＜x＜时，V′＞0；当＜x＜20时，V′＜0.所以当x＝时，V取最大值．]
4．内接于半径为R的半圆的周长最大的矩形的边长为( )
A．和R B．R和R
C．R和R D．以上都不对
B [设矩形与半圆直径垂直的一边的长为x，则另一边长为2，则l＝2x＋4(0＜x＜R)，l′＝2－.令l′＝0，解得x1＝R，x2＝－R(舍去)．当0＜x＜R时，l′＞0；当R＜x＜R时，l′＜0.所以当x＝R时，l取最大值，即周长最大的矩形的相邻两边长分别为R， R．]
5．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)＝则总利润最大时，每年生产的产品是( )
A．100 B．150
C．200 D．300
D [由题意，得总成本函数为
C(x)＝20 000＋100x，总利润P(x)＝R(x)－C(x)＝
所以P′(x)＝
令P′(x)＝0，得x＝300，易知x＝300时，
总利润P(x)最大．]
二、填空题
6．某产品的销售收入y1(万元)是产量x(千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(万元)是产量x(千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台.
【导学号：31062076】
[解析] 设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)，
∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)．
令y′＝0，解得x＝0或x＝6，经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点．
[答案] 6
7．电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x＞0)，为使耗电量最小，则其速度应定为________．
[解析] 由题设知y′＝x2－39x－40，
令y′＞0，解得x＞40或x＜－1，
故函数y＝x3－x2－40x(x＞0)在[40，＋∞)上递增，在(0,40]上递减．∴当x＝40时，y取得最小值．
由此得为使耗电量最小，则其速度应定为40.
[答案] 40
8．用总长14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5 m，那么高为________时容器的容积最大．
[解析] 设容器底面短边长为x m，则另一边长为(x＋0.5)m，高为[14.8－4x－4(x＋0.5)]＝(3.2－2x)m.由3.2－2x＞0及x＞0，得0＜x＜1.6.设容器容积为y，则有y＝x(x＋0.5)(3.2－2x)＝－2x3＋2.2x2＋1.6x(0＜x＜1.6)，y′＝－6x2＋4.4x＋1.6.由y′＝0及0＜x＜1.6，解得x＝1.在定义域(0,1.6)内，只有x＝1使y′＝0.由题意，若x过小(接近于0)或过大(接近于1.6)，y的值都很小(接近于0)．因此当x＝1时，y取最大值，且ymax＝－2＋2.2＋1.6＝1.8(m3)，这时高为1.2 m.
[答案] 1.2 m
三、解答题
9．一艘轮船在航行中燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10千米时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1千米所需的费用总和最少？ 【导学号：31062077】
[解] 设速度为每小时v千米时，燃料费是每小时p元，那么由题设知p＝kv3，
因为v＝10，p＝6，所以k＝＝0.006.
于是有p＝0.006v3.
又设船的速度为每小时v千米时，行驶1千米所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是(0.006v3＋96)元，而行驶1千米所用时间为小时，所以行驶1千米的总费用为q＝(0.006v3＋96)＝0.006v2＋.
q′＝0.012v－＝(v3－8 000)，
令q′＝0，解得v＝20.
当v＜20时，q′＜0；
当v＞20时，q′＞0，
所以当v＝20时，q取得最小值．
即当速度为20千米/小时时，航行1千米所需的费用总和最少．
10．某商店经销一种商品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数，2≤a≤5)的税收．设每件产品的售价为x元(35≤x≤41)，根据市场调查，日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例．已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件．
(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L(x)最大，并求出L(x)的最大值．
[解] (1)设日销售量为，则＝10，
∴k＝10e40，则日售量为件．
则日利润L(x)＝(x－30－a)＝10e40；
答：该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)＝10e40.
(2)L′(x)＝10e40.
①当2≤a≤4时，33≤a＋31≤35，
当35＜x＜41时，L′(x)＜0.
∴当x＝35时，L(x)取最大值为10(5－a)e5；
②当4＜a≤5时，35≤a＋31≤36，
令L′(x)＝0，得x＝a＋31，易知当x＝a＋31时，L(x)取最大值为10e9－a.
综合上得L(x)max＝.
答：当2≤a≤4时，当每件产品的日售价35元时，为L(x)取最大值为10(5－a)e5；当4＜a≤5时，每件产品的日售价为a＋31元时，该商品的日利润 L(x)最大，最大值为10e9－a.
[能力提升练]
1．如果圆柱轴截面的周长l为定值，则体积的最大值为( )
A.3π B.3π
C.3π D.3π
A [设圆柱的底面半径为r，高为h，体积为V，则4r＋2h＝l，∴h＝，V＝πr2h＝πr2－2πr3.
则V′＝lπr－6πr2，令V′＝0，得r＝0或r＝，而r＞0，
∴r＝是其唯一的极值点．
∴当r＝时，V取得最大值，最大值为3π.]
2．用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个大小相同的小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成(如图1-4-2)，当容器的体积最大时，该容器的高为( )
图1-4-2
A．8 cm B．9 cm
C．10 cm D．12 cm
C [设容器的高为x cm，容器的体积为V(x)cm3，
则V(x)＝(90－2x)(48－2x)x
＝4x3－276x2＋4 320x(0因为V′(x)＝12x2－552x＋4 320，
由12x2－552x＋4 320＝0，
得x＝10或x＝36(舍)，
因为当00，当10V′(x)<0，
所以当x＝10时，V(x)在区间(0,24)内有唯一极大值，
所以容器高x＝10 cm时，容器体积V(x)最大．]
3．海轮每小时使用的燃料费与它的航行速度的立方成正比，已知某海轮的最大航速为30 n mile/h，当速度为10 n mile/h时，它的燃料费是每小时25元，其余费用(无论速度如何)都是每小时400元．如果甲乙两地相距800 n mile，则要使该海轮从甲地航行到乙地的总费用最低，它的航速应为________.
【导学号：31062078】
[解析] 由题意设燃料费y与航速v间满足y＝av3(0≤v≤30)，
又∵25＝a·103，∴a＝.
设从甲地到乙地海轮的航速为v，费用为y，
则y＝av3×＋×400＝20v2＋.
由y′＝40v－＝0，得v＝20<30.
当00，
∴当v＝20时，y最小．
[答案] 20 n mile/h
4．如图1-4-3，内接于抛物线y＝1－x2的矩形ABCD，其中A，B在抛物线上运动，C，D在x轴上运动，则此矩形的面积的最大值是__________．
图1-4-3
[解析] 设CD＝x，则点C的坐标为，
点B的坐标为
，
∴矩形ABCD的面积
S＝f(x)＝x·＝－＋x，x∈(0,2)．
由f′(x)＝－x2＋1＝0，
得x1＝－(舍)，x2＝，
∴x∈时，f′(x)>0，f(x)单调递增，x∈时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
故当x＝时，f(x)取最大值.
[答案]
5．如图1-4-4所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线海岸的岸边A处，乙厂与甲厂在海的同侧，乙厂位于离海岸40 km的B处，乙厂到海岸的垂足D与A相距50 km.两厂要在此岸边A，D之间合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，则供水站C建在何处才能使水管费用最省？
【导学号：31062079】
图1-4-4
[解] 设C点距D点x km，则AC＝50－x(km)，
所以BC＝＝(km)．
又设总的水管费用为y元，
依题意，得y＝3a(50－x)＋5a(0y′＝－3a＋.
令y′＝0，解得x＝30.
在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．
故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处，可使水管费用最省．
课时分层作业(九) 定积分的概念
(建议用时：40分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．下列结论中成立的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
C [由定积分的概念可知②③正确，①错误，故选C.]
2．关于定积分a＝ (－2)dx的叙述正确的是( )
A．被积函数为y＝2，a＝6
B．被积函数为y＝－2，a＝6
C．被积函数为y＝－2，a＝－6
D．被积函数为y＝2，a＝－6
C [由定积分的概念可知，被积函数为y＝－2，由定积分的几何意义可知a＝－6.故选C.]
3．变速直线运动的物体的速度为v(t)≥0，初始t＝0时所在位置为s0，则当t1秒末它所在的位置为( )
B [由位移是速度的定积分，同时不可忽视t＝0时物体所在的位置，故当t1秒末它所在的位置为s0＋∫t10v(t)dt.]
4．若f(x)dx＝1，g(x)dx＝－3，则 [2f(x)＋g(x)]dx＝( )
【导学号：31062085】
A．2 B．－3
C．－1 D．4
C [ [2f(x)＋g(x)]dx＝2f(x)dx＋g(x)dx＝2×1－3＝－1.]
5．若f(x)为偶函数，且f(x)dx＝8，则f(x)dx等于( )
A．0 B．4
C．8 D．16
D [∵被积函数f(x)为偶函数，∴在y轴两侧的函数图象对称，从而对应的曲边梯形面积相等．]
二、填空题
6．若 [f(x)＋g(x)]dx＝3， [f(x)－g(x)]dx＝1，则 [2g(x)]dx＝________.
[解析] [2g(x)]dx＝ [(f(x)＋g(x))－(f(x)－g(x))]dx＝ [f(x)＋g(x)]dx－ [f(x)－g(x)]dx
＝3－1＝2.
[答案] 2
7．曲线y＝与直线y＝x，x＝2所围成的图形面积用定积分可表示为________.
【导学号：31062086】
[解析] 如图所示，阴影部分的面积可
[答案]
8．物体运动的速度和时间的函数关系式为v(t)＝2t(t的单位：h，v的单位：km/h)，近似计算在区间[2,8]内物体运动的路程时，把区间6等分，则过剩近似值(每个ξi均取值为小区间的右端点)为__________km.
[解析] 以小区间右端点时的速度作为小区间的平均速度，可得过剩近似值为s＝(2×3＋2×4＋2×5＋2×6＋2×7＋2×8)×1＝66(km)．
[答案] 66
三、解答题
9．已知，求下列定积分的值．
(1) (2x＋x2)dx；(2) (2x2－x＋1)dx.
[解] (1) (2x＋x2)dx
＝2xdx＋x2dx
＝2×＋＝e2＋.
(2) (2x2－x＋1)dx＝
2x2dx－xdx＋1dx，
因为已知，
又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x＝0，x＝e，y＝0，y＝1所围成的图形的面积，
所以1dx＝1×e＝e，
故 (2x2－x＋1)dx
＝2×－＋e＝e3－e2＋e.
10．利用定积分的几何意义求下列定积分．
(1) dx；(2) (2x＋1)dx；
(3) (x3＋3x)dx.
【导学号：31062087】
[解] (1)曲线y＝表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图①所示．
其面积为S＝·π·32＝π.
由定积分的几何意义知dx＝π.
(2)曲线f(x)＝2x＋1为一条直线. (2x＋1)dx表示直线f(x)＝2x＋1，x＝0，x＝3围成的直角梯形OABC的面积，如图②.
其面积为S＝(1＋7)×3＝12.
根据定积分的几何意义知
(2x＋1)dx＝12.
(3)∵y＝x3＋3x在区间[－1,1]上为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等．由定积分的几何意义知 (x3＋3x)dx＝0.
[能力提升练]
1．已知f(x)＝x3－x＋sin x，则f(x)dx的值为( )
A．等于0 B．大于0
C．小于0 D．不确定
A [由题意知f(x)为奇函数，由奇函数的性质有
f(x)dx＝－f(x)dx，而f(x)dx＝f(x)dx＋f(x)dx＝0.]
2．与定积分|sin x|dx相等的是( )
C [当x∈(0，π]时，sin x≥0；
当x∈时，sin x＜0.
∴由定积分的性质可得
3．定积分dx的值为________. 【导学号：31062088】
[解析] 因为y＝，
所以(x－1)2＋y2＝1，它表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．定积分dx就是该圆的面积的四分之一，所以定积分dx＝.
[答案]
4．汽车以v＝(3t＋2)m/s做变速直线运动时，第1 s到第2 s间的1 s内经过的路程是________m.
[解析] 由题意知，所求路程为直线x＝1，x＝2，y＝0与y＝3x＋2所围成的直角梯形的面积，故s＝×(5＋8)×1＝6.5(m)．
[答案] 6.5
5．如图1-5-5所示，抛物线y＝x2将圆x2＋y2≤8分成两部分，现在向圆上均匀投点，这些点落在圆中阴影部分的概率为＋，
求.
【导学号：31062089】
图1-5-5
[解] 解方程组
得x＝±2.
∴阴影部分的面积为
.
∵圆的面积为8π，
∴由几何概型可得阴影部分的面积是
8π·＝2π＋.
由定积分的几何意义得，
＝π＋.
