1.1.1 命题
学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p，则q”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．命题的定义与分类
(1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
(2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题．
(3)分类
命题
思考1：(1)“x－1＝0”是命题吗？
(2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？
[提示] (1)“x－1＝0”不是命题，因为它不能判断真假．
(2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题．
2．命题的结构
(1)命题的一般形式为“若p，则q”．其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
(2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p，则q”的形式．
思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？
[提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)一个命题不是真命题就是假命题．( )
(2)一个命题可以是感叹句．( )
(3)x>5是命题．( )
[解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．下列语句是命题的是( )
①三角形内角和等于180°；②2>3；③一个数不是正数就是负数；④x>2；⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！
A．①②③ B．①③④
C．①②⑤ D．②③⑤
A [①、②、③是陈述句，且能判断真假，因此是命题，④不能判断真假，⑤是感叹句，故④、⑤不是命题．]
3．下列命题中，真命题共有( )
【导学号：46342000】
①面积相等的三角形是全等三角形；②若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；③若a>b，则a＋c>b＋c；④矩形的对角线互相垂直．
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
A [①、②、④是假命题，③是真命题．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
命题的判断
(1)下列语句为命题的是( )
A．x2－1＝0 B．2＋3＝8
C．你会说英语吗？ D．这是一棵大树
(2)下列语句为命题的有________．
①x∈R，x>2；②梯形是不是平面图形呢？③22 018是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}中的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.
[解析] (1)A中x不确定，x2－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假．
(2)①中x有范围，可以判断真假，因此是命题；②是疑问句，不是命题；③是陈述句，但“大”的标准不确定，无法判断真假，因此不是命题；④是陈述句且能判断真假，因此是命题；⑤是祈使句，不是命题．
[答案] (1)B (2)①④
[规律方法] 判断一个语句是否是命题的二个关键点
(1)命题是可以判断真假的陈述句，因此，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题.
(2)对于含变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断其真假，若能，就是命题；若不能，就不是命题.
提醒：若语句中含有变量，但变量没有给出范围，则该语句不是命题.
[跟踪训练]
1．判断下列语句是不是命题，并说明理由．
(1)函数f(x)＝3x(x∈R)是指数函数；
(2)x2－3x＋2＝0；
(3)若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗？
(5)一个数不是奇数就是偶数；
(6)2030年6月1日上海会下雨．
[解] (1)是命题，满足指数函数的定义，为真命题．
(2)不是命题，不能判断真假．
(3)是命题．当x∈R时，x2＋4x＋7＝(x＋2)2＋3>0能判断真假．
(4)疑问句，不是命题．
(5)是命题，能判断真假．
(6)不是命题，不能判断真假．
命题的构成
(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是________，q是________.
【导学号：46342001】
(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
①函数y＝lg x是单调函数；
②已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
③当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.
[思路探究] 解决此类题目的关键是找到命题的条件和结论，然后用适当的形式改写成“若p，则q的形式”．
[解析] (1)命题的条件是“弦的垂直平分线”，结论是“经过圆心并且平分弦所对的弧”．因此p是“一条直线是弦的垂直平分线”，q是“这条直线经过圆心并且平分弦所对的弧”．
[答案] 一条直线是弦的垂直平分线 这条直线经过圆心且平分弦所对的弧．
(2)①若函数是对数函数y＝lg x，则这个函数是单调函数．
②已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2.
③若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0.
[规律方法] 1.若一个命题有大前提，则在将其改写成“若p，则q”的形式时，大前提仍应作为大前提，不能写在条件中，如本例(2)②.
2．“若p，则q”这种形式是数学中命题的基本结构形式，也有一些命题的叙述比较简洁，并不是以“若p，则q”这种形式给出的，这时，首先要把这个命题补充完整，然后确定命题的条件和结论．
[跟踪训练]
2．把下列命题改写成“若p，则q”的形式．
(1)当>时，a
(2)垂直于同一条直线的两个平面互相平行；
(3)同弧所对的圆周角不相等．
[解] (1)若>，则a(2)若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行；
(3)若两个角为同弧所对的圆周角，则它们不相等．
命题的真假判断
[探究问题]
1．如何判断一个命题是真命题？
提示：根据命题的条件，利用定义、定理、性质论证命题的正确性．
2．如何判断一个命题是假命题？
提示：举出一个反例即可．
给定下列命题：
①若a>b，则2a>2b；
②命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
③直线x＝是函数y＝sin x的一条对称轴；
④在△ABC中，若·>0，则△ABC是钝角三角形．
其中为真命题的是________．
[思路探究]
[解析] 对于①，根据函数f(x)＝2x的单调性知①为真命题．
对于②，若a＝1＋，b＝1－，则a＋b＝2不是无理数，因此②是假命题．
对于③，函数y＝sin x的对称轴方程为x＝＋kπ，k∈Z，故③为真命题．
对于④，因为·＝||||cos(π－B)＝－||||cos B>0，故得cos B<0，从而得B为钝角，所以④为真命题．
[答案] ①③④
母题探究：1.(变结论)本例中命题①变为“若a>b，则方程ax2－2bx＋a＝0无实根”，该命题是真命题还是假命题．
[解] 若a＝1，b＝－5，满足a>b，但Δ＝4b2－4a2>0，方程有两个不相等的实根，因此该命题是假命题．
2．(变条件)本例中命题④变为“若·<0，则△ABC是锐角三角形”，该命题还是真命题吗？
[解] 不是真命题，·<0只能说明∠B是锐角，其他两角的情况不确定．只有三个角都是锐角，才可以判定三角形为锐角三角形．
[规律方法] 1.由命题的概念可知，一个命题要么是真的，要么是假的，且必居其一．
2．如果要判断一个命题为真命题，需要依据条件进行严格的推理论证，而要判断一个命题为假命题，只要举出一个反例即可．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列语句不是命题的个数为( )
①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数．
A．0 B．1 C．2 D．3
B [语句①、③、④都能判断真假，是命题，语句②不能判断真假，不是命题．]
2．命题“平行四边形的对角线既互相平分，也互相垂直”的结论是( )
A．这个四边形的对角线互相平分
B．这个四边形的对角线互相垂直
C．这个四边形的对角线既互相平分，也互相垂直
D．这个四边形是平行四边形
C [把命题改写成“若p，则q”的形式后可知C正确．故选C.]
3．下列命题是真命题的为( )
【导学号：46342002】
A．若a>b，则<
B．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列
C．若|x|D．若a＝b，则＝
C [对于A，若a＝1，b＝－2，则>，故A是假命题．
对于B，当a＝b＝0时，满足b2＝ac，但a，b，c不是等比数列，故B是假命题．
对于C，因为y>|x|≥0，则x2对于D，当a＝b＝－2时，与没有意义，故D是假命题．]
4．命题“关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有两个不等实数解”为真命题，则实数a的取值范围为________．
(－∞，0)∪(0,1) [由题意知解得a<1，且a≠0.]
5．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假．
(1)末位数字是0的整数能被5整除；
(2)偶函数的图象关于y轴对称；
(3)菱形的对角线互相垂直.
【导学号：46342003】
[解] (1)若一个整数的末位数字是0，则这个整数能被5整除，为真命题．
(2)若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称，为真命题．
(3)若一个四边形是菱形，则它的对角线互相垂直，为真命题．
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
学习目标：1.了解四种命题的概念，能写出某命题的逆命题、否命题和逆否命题．(重点)2.知道四种命题之间的相互关系以及真假性之间的联系．(易混点)3.会利用命题的等价性解决问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．四种命题的概念及表示形式
名称
定义
表示形式
互逆
命题
对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这样的两个命题叫做互逆命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆命题.
原命题为“若p，则q”；逆命题为“若q，则p”
互否
命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的否命题
原命题为“若p，则q”；否命题为“若﹁p，则﹁q”
互为
逆否
命题
对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题．如果把其中的一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆否命题
原命题为“若p，则q”；逆否命题为“若﹁q，则﹁p”
2.四种命题间的相互关系
(1)四种命题之间的关系
(2)四种命题间的真假关系
原命题
逆命题
否命题
逆否命题
真
真
真
真
真
假
假
真
假
真
真
假
假
假
假
假
由上表可知四种命题的真假性之间有如下关系：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
思考：(1)“a＝b＝c＝0”的否定是什么？
(2)在原命题，逆命题、否命题和逆否命题四个命题中．真命题的个数会是奇数吗？
[提示] (1)“a＝b＝c＝0”的否定是“a，b，c至少有一个不等于0”．
(2)真命题的个数只能是0,2,4，不会是奇数．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)命题“若﹁p，则q”的否命题为“若﹁p，则﹁q”．( )
(2)同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题．( )
(3)命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是“若A∪B≠B，则A∩B≠A”．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．命题“若一个数是负数，则它的相反数是正数”的逆命题是( )
A．“若一个数是负数，则它的相反数不是正数”
B．“若一个数的相反数是正数，则它是负数”
C．“若一个数不是负数，则它的相反数不是正数”
D．“若一个数的相反数不是正数，则它不是负数”
B [根据逆命题的定义知，选B.]
3．命题“若m＝10，则m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是( )
【导学号：46342008】
A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题
C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题
C [原命题正确，则逆否命题正确，逆命题不正确，从而否命题不正确．故选C．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
四种命题
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它们的逆命题、否命题和逆否命题．
(1)相似三角形对应的角相等；
(2)当x>3时，x2－4x＋3>0；
(3)正方形的对角线互相平分．
[解] (1)原命题：若两个三角形相似，则这两个三角形的三个角对应相等；
逆命题：若两个三角形的三个角对应相等，则这两个三角形相似；
否命题：若两个三角形不相似，则这两个三角形的三个角对应不相等；
逆否命题：若两个三角形的三个角对应不相等，则这两个三角形不相似．
(2)原命题：若x>3，则x2－4x＋3>0；
逆命题：若x2－4x＋3>0，则x>3；
否命题：若x≤3，则x2－4x＋3≤0；
逆否命题：若x2－4x＋3≤0，则x≤3.
(3)原命题：若一个四边形是正方形，则它的对角线互相平分；
逆命题：若一个四边形对角线互相平分，则它是正方形；
否命题：若一个四边形不是正方形，则它的对角线不互相平分；
逆否命题：若一个四边形对角线不互相平分，则它不是正方形．
[规律方法] 1.写出一个命题的逆命题，否命题，逆否命题的方法
(1)写命题的四种形式时，首先要找出命题的条件和结论，然后写出命题的条件的否定和结论的否定，再根据四种命题的结构写出所求命题．
(2)在写命题时，为了使句子更通顺，可以适当地添加一些词语，但不能改变条件和结论．
2．写否命题时应注意一些否定词语，列表如下：
原词语
等于(＝)
大于(>)
小于(<)
是
都是
至多有一个
否定
词语
不等于
(≠)
不大于
(≤)
不小于
(≥)
不是
不都是
至少有
两个
原词语
至少有
一个
至多有
n个
任意的
任意两个
所有的
能
否定
词语
一个也
没有
至少有
(n＋1)个
某一个
(确定的)
某两个
某些
不能
[跟踪训练]
1．(1)命题“若y＝kx，则x与y成正比例关系”的否命题是( )
【导学号：46342009】
A．若y≠kx，则x与y成正比例关系
B．若y≠kx，则x与y成反比例关系
C．若x与y不成正比例关系，则y≠kx
D．若y≠kx，则x与y不成正比例关系
D [条件的否定为y≠kx，结论的否定为x与y不成比例关系，故选D.]
(2)命题“若ab≠0，则a，b都不为零”的逆否命题是________．
若a，b至少有一个为零，则ab＝0 [“ab≠0”的否定是“ab＝0”，“a，b都不为零”的否定是“a，b中至少有一个为零”，因此逆否命题为“若a，b至少有一个为零，则ab＝0”．]
四种命题的关系及真假判断
(1)对于原命题：“已知a、b、c∈R，若a>b，则ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题，在这4个命题中，真命题的个数为( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．4个
(2)判断命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题的真假．
[思路探究] (1)只需判断原命题和逆命题的真假即可．
(2)思路一 →
思路二 →→
[解析] (1)当c＝0时，ac2>bc2不成立，故原命题是假命题，从而其逆否命题也是假命题；原命题的逆命题为“若ac2>bc2，则a>b”是真命题，从而否命题也是真命题，故选C．
[答案] C
(2)法一：原命题的逆否命题：若x2＋x－a＝0无实根，则a<0.
∵x2＋x－a＝0无实根，∴Δ＝1＋4a<0，解得a<－<0，
∴原命题的逆否命题为真命题．
法二：∵a≥0，∴4a≥0，∴对于方程x2＋x－a＝0，根的判别式Δ＝1＋4a>0，∴方程x2＋x－a＝0有实根，故原命题为真命题．
∵原命题与其逆否命题等价，∴原命题的逆否命题为真命题．
[规律方法] 判断命题真假的方法
(1)解决此类问题的关键是牢记四种命题的概念，正确地写出所涉及的命题，判定为真的命题需要简单的证明，判定为假的命题要举出反例加以验证.
(2)原命题与它的逆否命题同真同假，原命题的否命题与它的逆命题同真同假，故二者只判断一个即可.
[跟踪训练]
2．判断下列四个命题的真假，并说明理由．
(1)“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；
(2)“若x>y，则x2>y2”的逆否命题；
(3)“若x≤3，则x2－x－6>0”的否命题；
(4)“对顶角相等”的逆命题．
[解] (1)命题“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为“若x，y互为相反数，则x＋y＝0”，则逆命题为真命题，因为原命题的逆命题和否命题具有相同的真假性，所以“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题是真命题．
(2)令x＝1，y＝－2，满足x>y，但x2y，则x2>y2”是假命题，因为原命题与其逆否命题具有相同的真假性，所以“若x>y，则x2>y2”的逆否命题也是假命题．
(3)该命题的否命题为“若x>3，则x2－x－6≤0”，令x＝4，满足x>3，但x2－x－6＝6>0，不满足x2－x－6≤0，则该否命题是假命题．
(4)该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”是假命题，如等边三角形的任意两个内角都相等，但它们不是对顶角．
等价命题的应用
[探究问题]
1．当一个命题的条件与结论以否定形式出现时，为了研究方便，我们可以研究哪一个命题？
提示：一个命题与其逆否命题等价，我们可研究其逆否命题．
2．在证明“若m2＋n2＝2，则m＋n≤2”时，我们也可以证明哪个命题成立．
提示：根据一个命题与其逆否命题等价，我们也可以证明“若m＋n>2，则m2＋n2≠2”成立．
(1)命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________．
(2)证明：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
【导学号：46342010】
[思路探究] (1)根据其逆否命题求解．(2)证明其逆否命题成立．
[解析] (1)∵命题“对任意x∈R，ax2－2ax－3＞0不成立”
等价于“对任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，
若a＝0，则－3≤0恒成立，∴a＝0符合题意．
若a≠0，由题意知即
∴－3≤a<0
综上知，a的取值范围是－3≤a≤0.
[答案] [－3,0]
(2)证明 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a.
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题．
∴原命题为真命题．
[规律方法] 1.若一个命题的条件或结论含有否定词时，直接判断命题的真假较为困难，这时可以转化为判断它的逆否命题．
2．当证明一个命题有困难时，可尝试证明其逆否命题成立．
[跟踪训练]
3．证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.
[证明] “若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．
∵a＝2b＋1，
∴a2－4b2－2a＋1
＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1
＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.
∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．
由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，原命题得证．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．命题“若aA，则b∈B”的逆命题是( )
A．若aA，则bB B．若a∈A，则bB
C．若b∈B，则aA D．若bB，则aA
C [“若p，则q”的逆命题是“若q，则p”，所以本题的逆命题是“若b∈B，则aA”．]
2．已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是( )
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
A [同时否定命题的条件与结论，所得命题就是原命题的否命题，故选A.]
3．命题“若a>－3，则a>－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
B [原命题是真命题，从而其逆否命题是真命题，其逆命题是“若a>－6，则a>－3”，是假命题，从而其否命题也是假命题，故真命题的个数是2.]
4．命题“若m＞1，则mx2－2x＋1＝0无实根”的等价命题是________.
【导学号：46342011】
若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1 [原命题的等价命题是其逆否命题，由定义可知其逆否命题为：“若mx2－2x＋1＝0有实根，则m≤1”．]
5．已知命题p：“若ac≥0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0无解”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假．
[解] (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次不等式ax2＋bx＋c>0有解”．
(2)命题p的否命题是真命题．
判断如下：
因为ac<0，
所以－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根?ax2＋bx＋c>0有解，
所以该命题是真命题．
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
学习目标：1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义．(重点、难点)2.会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件．(重点)3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．充分条件与必要条件
命题真假
“若p，则q”是真命题
“若p，则q”是假命题
推出关系
p?q
pq
条件关系
p是q的充分条件
q是p的必要条件
p不是q的充分条件
q不是p的必要条件
思考1：(1)p是q的充分条件与q是p的必要条件所表示的推出关系是否相同？
(2)以下五种表述形式：①p?q；②p是q的充分条件；③q的充分条件是p；④q是p的必要条件；⑤p的必要条件是q.这五种表述形式等价吗？
[提示] (1)相同，都是p?q (2)等价
2．充要条件
(1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
概括地说，如果p?q，那么p与q互为充要条件．
(2)若p?q，但qp，则称p是q的充分不必要条件．
(3)若q?p，但pq，则称p是q的必要不充分条件．
(4)若pq，且qp，则称p是q的既不充分也不必要条件．
思考2：(1)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
(2)“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”的区别在哪里？
[提示] (1)正确．若p是q的充要条件，则p?q，即p等价于q.
(2)①p是q的充要条件说明p是条件，q是结论．
②p的充要条件是q说明q是条件，p是结论．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．( )
(2)q不是p的必要条件时，“pq”成立．( )
(3)若q是p的必要条件，则q成立，p也成立．( )
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．“x>2”是“x2－3x＋2>0”成立的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [由x2－3x＋2>0得x>2或x<1，故选A.]
3．下列各题中，p是q的充要条件的是________(填序号)．
(1)p：b＝0，q：函数f(x)＝ax2＋bx＋c是偶函数；
(2)p：x>0，y>0，q：xy>0；
(3)p：a>b，q：a＋c>b＋C．
【导学号：46342015】
(1)(3) [在(1)(3)中，p?q，所以(1)(3)中p是q的充要条件，在(2)中，q?p，所以(2)中p不是q的充要条件．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
充分条件、必要条件、充要条件的判断
指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．
(1)在△ABC中，p：∠A>∠B，q：BC>AC；
(2)对于实数x，y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；
(3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(4)p：a＜b，q：＜1.
[思路探究] 判断p?q与q?p是否成立，当p、q是否定形式，可判断﹁q是﹁p的什么条件．
[解] (1)在△ABC中，显然有∠A>∠B?BC>AC，所以p是q的充分必要条件．
(2)因为x＝2且y＝6?x＋y＝8，即﹁q?﹁p，但﹁p?﹁q，所以p是q的充分不必要条件．
(3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此，p是q的必要不充分条件．
(4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；
当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；
当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；
当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.
因此p是q的既不充分也不必要条件．
[规律方法] 充分条件与必要条件的判断方法
(1)定义法
(2)等价法：将命题转化为另一个等价的又便于判断真假的命题．
(3)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．
若﹁p?﹁q，则p是q的必要条件，q是p的充分条件；
若﹁p?﹁q，且﹁q ﹁p，则p是q的必要不充分条件；
若﹁p?﹁q，则p与q互为充要条件；
若﹁p ﹁q，且﹁q ﹁p，则p是q的既不充分也不必要条件．
[跟踪训练]
1．(1)设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
【导学号：46342016】
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
D [令a＝1，b＝－1，满足a>b，但不满足a2>b2，即“a>b”不能推出“a2>b2”；再令a＝－1，b＝0，满足a2>b2，但不满足a>b，即“a2>b2”不能推出“a>b”，所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．]
(2)对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列结论正确的是( )
①Δ＝b2－4ac≥0是函数f(x)有零点的充要条件；
②Δ＝b2－4ac＝0是函数f(x)有零点的充分条件；
③Δ＝b2－4ac>0是函数f(x)有零点的必要条件；
④Δ＝b2－4ac<0是函数f(x)没有零点的充要条件．
A．①④ B．①②③
C．①②③④ D．①②④
D [①Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根?f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故①正确．
②若Δ＝b2－4ac＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，因此函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点，故②正确．
③函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零点时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，未必有Δ＝b2－4ac>0，也可能有Δ＝0，故③错误．
④Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根?函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)无零点，故④正确．]
充要条件的探求与证明
(1)“x2－4x<0”的一个充分不必要条件为( )
A．0C．x>0 D．x<4
(2)已知x，y都是非零实数，且x>y，求证：<的充要条件是xy>0.
[思路探究] (1)先解不等式x2－4x<0得到充要条件，则充分不必要条件应是不等式x2－4x<0的解集的子集．
(2)充要条件的证明可用其定义，即条件?结论且结论?条件．如果每一步的推出都是等价的(?)，也可以把两个方面的证明合并在一起，用“?”写出证明．
[解析] (1)由x2－4x<0得0[答案] B
(2)法一：充分性：由xy>0及x>y，得>，即<.
必要性：由<，得－<0，即<0.
因为x>y，所以y－x<0，所以xy>0.
所以<的充要条件是xy>0.
法二：由条件x>y?y－x<0，故由<0?xy>0.
所以0，
即<的充要条件是xy>0.
[规律方法] 1.探求充要条件一般有两种方法：
(1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明．
(2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明．
2．充要条件的证明
(1)证明p是q的充要条件，既要证明命题“p?q”为真，又要证明“q?p”为真，前者证明的是充分性，后者证明的是必要性．
(2)证明充要条件，即说明原命题和逆命题都成立，要注意“p是q的充要条件”与“p的充要条件是q”这两种说法的差异，分清哪个是条件，哪个是结论．
[跟踪训练]
2．(1)不等式x(x－2)<0成立的一个必要不充分条件是( )
【导学号：46342017】
A．x∈(0,2) B．x∈[－1，＋∞)
C．x∈(0,1) D．x∈(1,3)
B [由x(x－2)<0得0(2)求证：关于x的方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
[证明] 假设p：方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1，
q：a＋b＋c＝0.
①证明p?q，即证明必要性．
∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的根，
∴a·12＋b·1＋c＝0，即a＋b＋c＝0.
②证明q?p，即证明充分性．
由a＋b＋c＝0，得c＝－a－b.
∵ax2＋bx＋c＝0，
∴ax2＋bx－a－b＝0，
即a(x2－1)＋b(x－1)＝0.
故(x－1)(ax＋a＋b)＝0.
∴x＝1是方程的一个根．
故方程ax2＋bx＋c＝0有一个根是1的充要条件是a＋b＋c＝0.
充分条件、必要条件、充要条件的应用
[探究问题]
1．记集合A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，若p是q的充分不必要条件，则集合A、B的关系是什么？若p是q的必要不充分条件呢？
提示：若p是q的充分不必要条件，则A?B，若p是q的必要不充分条件，B?A.
2．记集合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}，若M?N，则p是q的什么条件？若N?M，M＝N呢？
提示：若M?N，则p是q的充分条件，若N?M，则p是q的必要条件，若M＝N，则p是q的充要条件．
已知p：x2－8x－20≤0，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，且p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________．
[思路探究] →→
[解析] 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，得1－m≤x≤1＋m(m>0)．
因为p是q的充分不必要条件，所以p?q且qp.
即{x|－2≤x≤10}是{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}的真子集，
所以或解得m≥9.
所以实数m的取值范围为{m|m≥9}．
[答案] {m|m≥9}(或[9，＋∞))
母题探究：1.本例中“p是q的充分不必要条件”改为“p是q的必要不充分条件”，其他条件不变，试求m的取值范围．
[解] 由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，由x2－2x＋1－m2≤0(m>0)得1－m≤x≤1＋m(m>0)
因为p是q的必要不充分条件，所以q?p，且pq.
则{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}?{x|－2≤x≤10}
所以，解得0即m的取值范围是(0,3]．
2．若本例题改为：已知P＝{x|a－4[解] 因为“x∈P”是x∈Q的必要条件，所以Q?P.
所以解得－1≤a≤5
即a的取值范围是[－1,5]．
[规律方法]
利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围
(1)化简p、q两命题，
(2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系，
(3)利用集合间的关系建立不等关系，
(4)求解参数范围．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．“|x|＝|y|”是“x＝y”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
B [若x＝1，y＝－1，则|x|＝|y|，但x≠y；若x＝y，则|x|＝|y|，故选B.]
2．“x2－4x－5＝0”是“x＝5”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
B [由x2－4x－5＝0得x＝5或x＝－1，则当x＝5时，x2－4x－5＝0成立，但x2－4x－5＝0时，x＝5不一定成立，故选B.]
3．下列条件中，是x2<4的必要不充分条件是( )
A．－2≤x≤2 B．－2C．0A [由x2<4得－24．若“x＜m”是“(x－1)(x－2)＞0”的充分不必要条件，则m的取值范围是________.
【导学号：46342018】
(－∞，1] [由(x－1)(x－2)＞0可得x＞2或x＜1，
由已知条件，知{x|x＜m}?{x|x＞2或x＜1}，
∴m≤1.]
5．求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实数根的充要条件是m≥2.
[证明] (1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，
由根与系数的关系知，x1·x2＝1>0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2<0，所以x1，x2同为负数．
即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以即
所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.
综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分必要条件．
1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且(and)
1.3.2 或(or)
1.3.3 非(not)
学习目标：1.了解逻辑联结词“且”“或”“非”的意义．(重点)2.能够判断命题“p且q”“p或q”“非p”的真假．(难点)3.会使用联结词“且”“或”“非”联结并改写成某些数学命题，会判断命题的真假．(易错点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．“且”
(1)定义
一般地，用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∧q.读作“p且q”．
(2)真假判断
当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．
2．“或”
(1)定义
一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作p∨q.读作“p或q”．
(2)真假判断
当p，q两个命题有一个命题是真命题时，p∨q是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，p∨q是假命题．
思考1：(1)p∨q是真命题，则p∧q是真命题吗？
(2)若p∨q与p∧q一个是真命题，一个是假命题，那么谁是真命题？
[提示] (1)不一定，p∨q是真命题，p与q可能一真一假，此时p∧q是假命题．
(2)p∨q是真命题，p∧q是假命题．
3．“非”
(1)定义
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作﹁p，读作“非p”或“p的否定”．
(2)真假判断
若p是真命题，则﹁p必是假命题；若p是假命题，则﹁p必是真命题．
思考2：命题的否定与否命题的区别是什么？
[提示] (1)命题的否定是直接对命题的结论进行否定，而否命题则是对原命题的条件和结论分别否定．
(2)命题的否定(非p)的真假与原命题(p)的真假总是相对的，即一真一假，而否命题的真假与原命题的真假无必然的联系．
4．复合命题：
用逻辑联结词“且”；“或”；“非”把命题p和命题q联结来的命题称为复合命题．
复合命题的真假判断
p
q
p∨q
p∧q
﹁p
真
真
真
真
假
真
假
真
假
假
假
真
真
假
真
假
假
假
假
真
[基础自测]
1．思考辨析
(1)若p∧q为真，则p，q中有一个为真即可．( )
(2)若命题p为假，则p∧q一定为假．( )
(3)“p∨q为假命题”是“p为假命题”的充要条件．( )
(4)“梯形的对角线相等且互相平分”是“p∨q”形式的命题．( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．“xy≠0”是指( )
A．x≠0且y≠0
B．x≠0或y≠0
C．x，y至少一个不为0
D．x，y不都是0
A [xy≠0?x≠0且y≠0，故选A.]
3．已知p，q是两个命题，若“(﹁p)∨q”是假命题，则( )
【导学号：46342023】
A．p，q都是假命题
B．p，q都是真命题
C．p是假命题，q是真命题
D．p是真命题，q是假命题
D [若(﹁p)∨q为假命题，则﹁p，q都是假命题，即p真q假，故选D.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
含有逻辑联结词的命题结构
指出下列命题的形式及构成它的简单命题．
(1)方程x2－3＝0没有有理根；
(2)有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形；
(3)±1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[解] (1)这个命题是“非p”形式的命题，其中
p：方程x2－3＝0有有理根．
(2)这个命题是“p且q”形式的命题，其中p：有两个内角是45°的三角形是等腰三角形，q：有两个内角是45°的三角形是直角三角形．
(3)这个命题是“p或q”形式的命题，其中p：1是方程
x3＋x2－x－1＝0的根，q：－1是方程x3＋x2－x－1＝0的根．
[规律方法] 1.判断一个命题的结构，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”“非”等逻辑联结词，而应从命题的结构上看是否用逻辑联结词联结两个命题．
2．用逻辑联结词“且”“或”联结两个命题时，关键是正确理解这些词语的意义及在日常生活中的同义词，选择合适的联结词，有时为了语法的要求及语句的通顺也可进行适当的省略和变形．
[跟踪训练]
1．分别写出由下列命题构成的“p∨q”、“p∧q”、“﹁p”形式的命题．
(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；
(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解.
【导学号：46342024】
[解] (1)p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．
p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．
﹁p：梯形没有一组对边平行．
(2)p∧q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
p∨q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．
﹁p：－1不是方程x2＋4x＋3＝0的解.
含逻辑联结词命题的真假判断
已知命题p：方程x2－2ax－1＝0有两个实数根；命题q：函数f(x)＝x＋的最小值为4.给出下列命题：
①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨(﹁q)．
则其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[思路探究] →→
[解析] 由于Δ＝(－2a)2－4×1×(－1)＝4a2＋4>0，所以方程x2－2ax－1＝0有两个实数根，所以命题p是真命题；当x<0时，f(x)＝x＋<0，所以命题q为假命题，所以p∨q，p∧(﹁q)，(﹁p)∨(﹁q)是真命题，故选C．
[答案] C
[规律方法] 含逻辑联结词命题真假的判断方法及步骤
(1)我们可以用口诀记忆法来记忆：
“p且q”全真才真，一假必假；“p或q”全假才假，一真必真；“非p”与p真假相对．
(2)判断复合命题真假的步骤：
①确定复合命题的构成形式是“p且q”“p或q”还是“﹁p”；
②判断其中的简单命题p，q的真假；
③根据真值表判断复合命题的真假．
[跟踪训练]
2．(1)已知命题p：若x>y，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(﹁q)；④(﹁p)∨q中，真命题是( )
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
C [由不等式的性质可知，命题p为真命题，命题q为假命题，故①p∧q为假命题，②p∨q为真命题，③﹁q为真命题，则p∧(﹁q)为真命题，④﹁p为假命题，则(﹁p)∨q为假命题．]
(2)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“﹁p”形式的命题的真假.
【导学号：46342025】
(1)p：1∈{2,3}，q：2∈{2,3}；
(2)p：2是奇数，q：2是合数；
(3)p：4≥4，q：23不是偶数；
(4)p：不等式x2－3x－10<0的解集是{x|－25或x<－2}．
[解] (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，﹁p是真命题．
(2)∵p是假命题，q是假命题，
∴p∨q是假命题，p∧q是假命题，﹁p是真命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是真命题，﹁p是假命题．
(4)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，﹁p是假命题.
由复合命题的真假求参数的取值范围
[探究问题]
1．设集合A是p为真命题时参数的取值范围，则p为假命题时，参数的取值范围是什么？
提示：p为假命题时，参数的取值范围是?RA.
2．设集合M、N分别是p，q分别为真命题时参数的取值范围，则p∨q与p∧q分别为真命题时参数的取值范围分别是什么？
提示：当p∨q为真命题时，参数的取值范围是A∪B.
当p∧q为真命题时，参数的取值范围是A∩B.
已知p：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根，q：关于x的方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p∨q为真命题，p∧q为假命题，求m的取值范围．
[思路探究] →→
[解] 当x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负根为真时，解之得m>2，
当4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根为真时，16(m－2)2－16<0，解之得1因为p∧q为假命题，p∨q为真命题，所以p与q一真一假．
若p真q假，则所以m≥3.
若p假q真，则所以1所以m的取值范围为1母题探究：1.本例题条件不变，试求p∨q与p∧q分别为真命题时m的取值范围．
[解] 由例题知，当p为真时， m>2，当q为真时11，
当p∧q为真命题时，22．(变条件)本例题中，若命题p改为“关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，命题q改为“函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R”．其他不变，试求a的取值范围．
[解] 根据关于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集为{x|x<0}知00的解集为R，则解得a>.
因为p∨q为真命题，p∧q为假命题．
所以p和q一真一假，即“p假q真”或“p真q假”．
故或
解得01.
所以，a的取值范围是∪(1，＋∞)．
[规律方法] 根据命题的真假求参数范围的步骤
(1)求出p、q均为真时参数的取值范围；
(2)根据命题p∧q、p∨q的真假判断命题p、q的真假；
(3)根据p、q的真假求出参数的取值范围.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．若命题“p∧q”为假，且﹁p为假，则( )
A．p∨q为假 B．q假
C．q真 D．p假
B [由﹁p为假知，p为真，又p∧q为假，则q假，故选B.]
2．给出下列命题：
①2>1或1>3；
②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；
③25是6或5的倍数；
④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．
其中真命题的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
D [对于①，是“或”命题，且2>1是真命题，故①是真命题．对于②，是“或”命题，且Δ＝(－2)2＋16＝20>0，故②是真命题．对于③，是“或”命题，且25是5的倍数，故③是真命题．对于④，是“且”命题，且集合A∩B是A的子集，也是A∪B的子集．故④是真命题，故选D.]
3．已知命题：
p：对任意x∈R，总有2x>0；
q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．
则下列命题为真命题的是( )
A．p∧q B．﹁p∧﹁q
C．﹁p∧q D．p∧﹁q
D [因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、﹁p为假命题，﹁q为真命题，﹁p∧﹁q、﹁p∧q为假命题，p∧﹁q为真命题，故选D.]
4．已知命题p：函数f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是减函数；命题q：函数g(x)＝x2＋ax在[1,2]上是增函数，若p∧q为真，则实数a的取值范围是________.
【导学号：46342026】
[p为真时，2a－1<0，即a<，
q为真时，－≤1，即a≥－2，
则p∧q为真时，－2≤a<.]
5．分别指出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“﹁p”形式的命题的真假：
(1)p：点P(1,1)在直线2x＋y－1＝0上，q：直线y＝x过圆x2＋y2＝4的圆心；
(2)p：4∈{2,3,4}，q：不等式x2－x－2＞0的解集为{x|－2＜x＜1}；
(3)p：若a＞b，则2a＞2b，q：若a＞b，则a3＞b3.
[解] (1)∵p是假命题，q是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为真命题．
(2)∵p是真命题，q是假命题，
∴p∧q为假命题，p∨q为真命题，﹁p为假命题．
(3)∵p是真命题，q是真命题，
∴p∧q为真命题，p∨q为真命题，﹁p为假命题．
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
学习目标：1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义以及全称命题和特称命题的意义.2.掌握全称命题与特称命题真假性的判定．(重点，难点)3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定．(重点，易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．全称量词与全称命题
(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．
(2)含有全称量词的命题叫做全称命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为?x∈M，p(x)．
2．存在量词与特称命题
(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示．
(2)含有存在量词的命题，叫做特称命题，特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为“?x0∈M，p(x0)”．
思考：(1)“一元二次方程ax2＋2x＋1＝0有实数解”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0对任意实数x恒成立”是特称命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
[提示] (1)是特称命题，可改写为“存在x0∈R，使ax＋2x0＋1＝0”
(2)是全称命题，可改写成：“?x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0”．
3．含有一个量词的命题的否定
一般地，对于含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题p：?x∈M，p(x)，它的否定﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)；
特称命题p：?x0∈M，p(x0)，它的否定﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
[基础自测]
1．思考辨析
(1)命题“对数函数都是单调函数”是全称命题．( )
(2)命题“有些菱形是正方形”是全称命题．( )
(3)命题：?x∈R，x2－3x＋3>0的否定是?xR，x2－3x＋3≤0.( )
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．命题p：“存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”，则“﹁p”形式的命题是( )
A．存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实根
C．对任意的实数m，方程x2＋mx＋1＝0无实根
D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实根
[答案] C
3．下列四个命题中的真命题为( )
【导学号：46342031】
A．?x0∈Z,1<4x0<3
B．?x0∈Z,5x0＋1＝0
C．?x∈R，x2－1＝0
D．?x∈R，x2＋x＋2>0
D [当x∈R时，x2＋x＋2＝＋>0，故选D.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
全称命题和特称命题的概念及真假判断
指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断它们的真假．
(1)?x∈N,2x＋1是奇数；
(2)存在一个x0∈R，使＝0；
(3)能被5整除的整数末位数是0；
(4)有一个角α，使sin α>1
[解] (1)是全称命题，因为?x∈N,2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．
(2)是特称命题．因为不存在x0∈R，使＝0成立，所以该命题是假命题．
(3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，因此该命题是假命题．
(4)是特称命题，因为?α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假命题．
[规律方法] 1.判断命题是全称命题还是特称命题的方法
(1)分析命题中是否含有量词；
(2)分析量词是全称量词还是存在量词；
(3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
2．全称命题与特称命题真假的判断方法
(1)要判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中每个元素x，证明p(x)都成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．
(2)要判定特称命题“?x0∈M，p(x0)”是真命题，只需在集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可；如果在集合M中，使p(x)成立的元素x不存在，那么这个特称命题就是假命题．
[跟踪训练]
1．(1)以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
B [A中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一个负数x，都有<0，所以D是假命题．]
(2)下列命题中，真命题是( )
【导学号：46342032】
A．?x∈，sin x＋cos x≥2
B．?x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1
C．?x∈R，x2＋x＝－1
D．?x∈，tan x>sin x
B [(1)对于选项A，
sin x＋cos x＝sin≤，∴此命题不成立；
对于选项B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当x>3时，(x－1)2－2>0，∴此命题成立；
对于选项C，x2＋x＋1＝＋>0，∴x2＋x＝－1对任意实数x都不成立，∴此命题不成立；
对于选项D，当x∈时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故选B.]
含有一个量词的命题的否定
(1)命题“?x∈R，x2≠x”的否定是( )
A．?xR，x2≠x
B．?x∈R，x2＝x
C．?xR，x2≠x
D．?x∈R，x2＝x
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假：
①p：?x∈R，x2－x＋≥0；
②p：所有的正方形都是菱形；
③p：至少有一个实数x0，使x＋1＝0.
[思路探究] 先判定命题是全称命题还是特称命题，再针对不同的形式加以否定．
(1)[解析] 原命题的否定为?x∈R，x2＝x，故选D.
[答案] D
(2)[解] ①﹁p：?x0∈R，x－x0＋<0，假命题．
因为?x∈R，x2－x＋＝≥0恒成立．
②﹁p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
③﹁p：?x∈R，x3＋1≠0，假命题．
因为x＝－1时，x3＋1＝0.
[规律方法] 对全称命题和特称命题进行否定的步骤与方法
(1)确定类型：是特称命题还是全称命题．
(2)改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换为恰当的全称量词．
(3)否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等．
提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．
[跟踪训练]
2．(1)命题“?x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )
A．?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1
B．?x(0，＋∞)，ln x＝x－1
C．?x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1
D．?x0(0，＋∞)，ln x0＝x0－1
A [特称命题的否定是全称命题，故原命题的否定是?x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.]
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假．
①p：不论m取何实数，方程x2＋x－m＝0必有实数根；
②q: 存在一个实数x0，使得x＋x0＋1≤0；
③r：等圆的面积相等，周长相等；
④s：对任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1.
[解] ①这一命题可以表述为p：“对所有的实数m，方程x2＋x－m＝0有实数根”，其否定形式是﹁p：“存在实数m，使得x2＋x－m＝0没有实数根”．
注意到当Δ＝1＋4m＜0时，即m＜－时，一元二次方程没有实数根，所以﹁p是真命题．
②这一命题的否定形式是﹁q：“对所有的实数x，都有x2＋x＋1＞0”，利用配方法可以证得﹁q是真命题．
③这一命题的否定形式是﹁r：“存在一对等圆，其面积不相等或周长不相等”，由平面几何知识知﹁r是假命题．
④这一命题的否定形式是﹁s：“存在α∈R，sin2α＋cos2α≠1”，由于命题s是真命题，所以﹁s是假命题.
由全称(特称)命题的真假确定参数的范围
[探究问题]
1．若含参数的命题p是假命题，如何求参数的取值范围？
提示：先求﹁p，再求参数的取值范围．
2．全称命题和特称命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的对应关系？
提示：全称命题与恒成立问题对应，特称命题与存在性问题对应．
(1)若命题p“?x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实数a的取值范围是________．
(2)已知命题p：?x∈R,9x－3x－a＝0，若命题p是真命题，求实数a的取值范围.
【导学号：46342033】
[思路探究] (1)先求﹁p，再求参数的取值范围．
(2)令3x＝t，看作一元二次方程有解问题．
[解析] (1)﹁p：?x∈R,2x2－3ax＋9≥0为真命题．
则Δ＝9a2－72≤0，解得－2≤a≤2
[答案] [－2，2]
(2)设3x＝t，由于x∈R，则t∈(0，＋∞)，
则9x－3x－a＝0?a＝(3x)2－3x?a＝t2－t，t∈(0，＋∞)，
设f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)，
则f(t)＝－，
当t＝时，f(t)min＝－，
则函数f(t)的值域是，
所以实数a的取值范围是.
母题探究：1.(变条件)若将本例题(2)条件“?x∈R”，改为“?x∈[0,1]”，其他不变，试求实数a的取值范围．
[解] 设3x＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3]．
a＝t2－t，
∵t2－t＝－，∴a＝t2－t在t∈[1,3]上单调递增．
∴t2－t∈.
即a的取值范围是.
2．(变条件)将本例题(2)换为“?x∈，tan x≤m是真命题”，试求m的最小值．
[解] 由已知可得m≥tan x恒成立．设f(x)＝tan x，显然该函数为增函数，故f(x)的最大值为f＝tan ＝1，由不等式恒成立可得m≥1，即实数m的最小值为1.
[规律方法] 应用全称命题与特称命题求参数范围的两类题型
(1)全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时，意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数学知识来解决.
(2)特称命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”等语句表述.解答这类问题，一般要先对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则否定了假设.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列命题中是全称命题，且为假命题的是( )
A．存在x0∈R，sin x0＋cos x0＝2
B．偶函数图象关于y轴对称
C．?m∈R，x2＋mx＋1＝0无解
D．?x∈N，x3＞x2
D [A，C中命题是特称命题，故排除．B为省略量词的全称命题，且为真命题．D为全称命题．当x＝0或1时，x3＝x2，故D中命题是假命题．]
2．命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定是( )
A．所有不能被2整除的数都是偶数
B．所有能被2整除的数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的数是偶数
D．存在一个能被2整除的数不是偶数
D [全称命题的否定为相应的特称命题，即将“所有”变为“存在”，并且将结论进行否定．]
3．命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5＜0是________(填“全称命题”或“特称命题”)，它是________命题(填“真”或“假”)，它的否定为﹁p：________.
【导学号：46342034】
特称命题 假 ?x∈R，x2＋2x＋5≥0 [命题p：?x0∈R，x＋2x0＋5＜0是特称命题．因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4＞0恒成立，所以命题p为假命题．
命题p的否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≥0.]
4．命题“?x∈R，>0”的否定是________．
?x0∈R，≤0 [“?x∈R，>0”的否定是“?x0∈R，<0或＝0”即?x0∈R，≤0]
5．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假；
(1)对某些实数x，有2x＋1>0；
(2)?x∈{3,5,7},3x＋1是偶函数；
(3)?x0∈Q，x＝3
[解] (1)命题中含有存在量词“某些”，因此是特称命题，真命题．
(2)命题中含有全称量词的符号“?”，因此是全称命题．
把3,5,7分别代入3x＋1，得10,16,22，都是偶数，因此，该命题是真命题．
(3)命题中含有存在量词的符号“?”，因此是特称命题．
由于使x2＝3成立的实数只有±，且它们都不是有理数，因此，没有一个有理数的平方等于3，所以该命题是假命题．
第一课 常用逻辑用语
[核心速填]
1．命题及其关系
(1)判断一个语句是否为命题，关键是：
①为陈述句；
②能判断真假．
(2)互为逆否关系的两个命题的真假性相同．
(3)四种命题之间的关系如图所示．
2．充分条件、必要条件和充要条件
(1)定义
一般地，若p，则q为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)特征
充分条件与必要条件具有以下两个特征：
①对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件；
②传递性：若p是q的充分条件，q是r的充分条件，则p是r的充分条件．即若p?q，q?r，则p?r.必要条件和充分条件一样具有传递性，但若p是q的充分条件，q是r的必要条件，则p与r的关系不能确定．
3．含逻辑联结词的命题的真假判断
(1)p∧q：全真才真，一假则假；
(2)p∨q：全假才假，一真则真；
(3)﹁p：p与﹁p真假性相反．
4．全称量词与全称命题，存在量词与特殊命题
(1)全称量词与全称命题：短语“所有的”“任意一个”“每一个”“任给”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“?”表示．全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”，可用符号简记为?x∈M，p(x)．
(2)存在量词与特称命题：短语“存在一个”“至少有一个”“有些”在逻辑学中通常叫做存在量词，并用符号“?”表示；特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”，可用符号简记为?x0∈M，p(x0)．
5．含有一个量词的命题的否定
(1)全称命题p：?x∈M，p(x)，则﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)．
(2)特称命题p：?x0∈M，p(x)，则﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
[体系构建]
[题型探究]
四种命题的关系及其真假判断
将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题和逆否命题以及判断它们的真假．
(1)当mn＜0时，方程mx2－x＋n＝0有实数根；
(2)能被6整除的数既能被2整除，又能被3整除．
[解] (1)将命题写成“若p，则q”的形式为：若mn＜0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根．
它的逆命题、否命题和逆否命题如下：
逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则mn＜0.(假)
否命题：若mn≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根．(假)
逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则mn≥0.(真)
(2)将命题写成“若p，则q”的形式为：若一个数能被6整除，则它能被2整除，且能被3整除，它的逆命题，否命题和逆否命题如下：
逆命题：若一个数能被2整除又能被3整除，则它能被6整除．(真)
否命题：若一个数不能被6整除，则它不能被2整除或不能被3整除．(真)
逆否命题：若一个数不能被2整除或不能被3整除，则它不能被6整除．(真)
[规律方法] 1.在原命题、逆命题、否命题、逆否命题中，原命题与逆否命题，逆命题与否命题是等价命题，它们的真假性相同．
2．“p∧q”的否定是“﹁p或﹁q”，“p∨q”的否定是“﹁p且﹁q”．
[跟踪训练]
1．(1)给出下列三个命题：
①“全等三角形的面积相等”的否命题；
②“若lg x2＝0，则x＝－1”的逆命题；
③若“x≠y或x≠－y，则|x|≠|y|”的逆否命题．
其中真命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
B [对于①，否命题是“不全等三角形的面积不相等”，它是假命题；对于②，逆命题是“若x＝－1，则lg x2＝0”，它是真命题；对于③，逆否命题是“若|x|＝|y|，则x＝y且x＝－y”，它是假命题，故选B.]
(2)命题：“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是( )
【导学号：46342039】
A．若a2＋b2＝0，则a＝0且b≠0
B．若a2＋b2≠0，则a≠0或b≠0
C．若a＝0且b＝0，则a2＋b2≠0
D．若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0
D [命题“若a2＋b2＝0，则a＝0且b＝0”的逆否命题是：“若a≠0或b≠0，则a2＋b2≠0”．故选D.]
充分条件、必要条件与充要条件
(1)已知△ABC两内角A，B的对边边长分别为a，b，则“A＝B”是“acos A＝bcos B”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
(2)已知直线l1：x＋ay＋2＝0和l2：(a－2)x＋3y＋6a＝0，则l1∥l2的充分必要条件是a＝__________.
[解析] (1)由acos A＝bcos B?sin 2A＝sin 2B，
∴A＝B或2A＋2B＝π，故选A.
(2)由＝≠，
得a＝－1(舍去)，a＝3.
[答案] (1)A (2)3
[规律方法] 充分条件和必要条件的判断
充分条件和必要条件的判断，针对具体情况，应采取不同的策略，灵活判断.判断时要注意以下两个方面：
(1)注意分清条件和结论，以免混淆充分性与必要性
从命题的角度判断充分、必要条件时，一定要分清哪个是条件，哪个是结论，并指明条件是结论的哪种条件，否则会混淆二者的关系，造成错误.
(2)注意转化命题判断，培养思维的灵活性
由于原命题与逆否命题，逆命题与否命题同真同假，因此，对于那些具有否定性的命题，可先转化为它的逆否命题，再进行判断，这种“正难则反”的等价转化思想，应认真领会.
[跟踪训练]
2．(1)已知a，b是不共线的向量，若＝λ1a＋b，＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，则A，B，C三点共线的充要条件是( )
A．λ1＝λ2＝－1 B．λ1＝λ2＝1
C．λ1λ2＝1 D．λ1λ2＝－1
C [依题意，A，B，C三点共线?＝λ?λ1a＋b＝λa＋λλ2b?故选C．]
(2)设p：m＋nZ，q：mZ或nZ，则p是q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
A [﹁p：m＋n∈Z，﹁q：m∈Z且n∈Z，显然﹁p﹁q，﹁q?﹁p，即p?q，qp，p是q的充分不必要条件．]
含逻辑联结词的命题
(1)短道速滑队组织6名队员(包括赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员)参加冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p，“乙得第二名”为q，“丙得第三名”为r，若p∨q是真命题，p∧q是假命题，(﹁q)∧r是真命题，则选拔赛的结果为( )
A．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名
B．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名
C．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名
D．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名
(2)已知命题p：不等式ax2＋ax＋1>0的解集为R，则实数a∈(0,4)，命题q：“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )
A．p∧q B．p∧(﹁q)
C．(﹁p)∧(﹁q) D．(﹁p)∧q
[解析] (1)(﹁q)∧r是真命题意味着﹁q为真，q为假(乙没得第二名)且r为真(丙得第三名)；p∨q是真命题，由于q为假，只能p为真(甲得第一名)，这与p∧q是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.
(2)命题p：a＝0时，可得1>0恒成立；a≠0时，可得解得0命题q：由x2－2x－8>0解得x>4或x<－2.因此“x2－2x－8>0”是“x>5”的必要不充分条件，是真命题．故(﹁p)∧q是真命题．故选D.
[答案] (1)D (2)D
[规律方法] 1.判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是对逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解，应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
2．判断命题真假的步骤：
→→
[跟踪训练]
3．(1)设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图象关于直线x＝对称，则下列判断正确的是( )
A．p为真 B．﹁q为假
C．p∧q为假 D．p∨q为真
C [函数y＝sin 2x的最小正周期为＝π，故命题p为假命题；直线x＝不是y＝cos x的图象的对称轴，命题q为假命题，故p∧q为假，故选C．]
(2)已知命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n?α，则m∥α；命题q：若a>b，则ac>bc，则下列命题为真命题的是( )
【导学号：46342040】
A．p或q B．﹁p或q
C．﹁p且q D．p且q
B [命题q：若a>b，则ac>bc为假命题，命题p：m，n为直线，α为平面，若m∥n，n?α，则m∥α也为假命题，因此只有﹁p或q为真命题．]
全称命题与特称命题
(1)已知命题p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A．[e,4] B．[1,4]
C．(4，＋∞) D．(－∞，1]
(2)命题p：?x∈R，f(x)≥m，则命题p的否定﹁p是________．
[思路探究] (1)p∧q为真?p，q都为真．(2)由﹁p的定义写﹁p.
[解析] (1)由p为真得出a≥e，由q为真得出a≤4，
∴e≤a≤4.
(2)全称命题的否定是特称命题，所以“?x∈R，f(x)≥m”的否定是“?x0∈R，f(x0)[答案] (1)A (2)?x0∈R，f(x0)[规律方法] 全称命题的否定是特称命题；特称命题的否定是全称命题.
要判断一个全称命题为真命题，必须对限定集合M中的每一个x验证p(x)成立，一般要运用推理的方法加以证明；要判断一个全称命题为假命题，只需举出一个反例即可.
要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中能找到一个x0使p(x0)成立即可，否则这一特称命题为假命题.
[跟踪训练]
4．(1)命题p：?x<0，x2≥2x，则命题﹁p为( )
A．?x0<0，x≥2x0 B．?x0≥0，x<2x0
C．?x0<0，x<2x0 D．?x0≥0，x≥2x0
C [﹁p：?x0<0，x<2x0，故选C．]
(2)在下列四个命题中，真命题的个数是( )
①?x∈R，x2＋x＋3＞0；
②?x∈Q，x2＋x＋1是有理数；
③?α，β∈R，使sin(α＋β)＝sin α＋sin β；
④?x0，y0∈Z，使3x0－2y0＝10.
【导学号：46342041】
A．1 B．2 C．3 D．4
D [①中，x2＋x＋3＝＋≥＞0，故①为真命题；
②中，?x∈Q，x2＋x＋1一定是有理数，故②也为真命题；
③中，当α＝，β＝－时，sin(α＋β)＝0，sin α＋sin β＝0，故③为真命题；
④中，当x0＝4，y0＝1时，3x0－2y0＝10成立，故④为真命题．]
