2018年秋高中数学新人教A版选修2-1学案：模块复习课

模块复习课
[核心知识回顾]
一、常用逻辑用语
1．命题及其关系
(1)原命题：若p，则q.则
逆命题：若q，则p.
否命题：若﹁p，则﹁q.
逆否命题：若﹁q，则﹁p.
(2)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性．
2．充分条件与必要条件
(1)若p?q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，则p是q的充要条件．
(3)若p?q，qp，则p是q的充分不必要条件．
(4)若pq，q?p，则p是q的必要不充分条件．
(5)若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
3．简单的逻辑联结词
(1)命题p∧q的真假：“全真则真”，“一假则假”．
(2)命题p∨q的真假：“一真则真”，“全假则假”．
(3)命题﹁p的真假：p与﹁p的真假性相反．
4．全称命题与特称命题的否定
(1)全称命题的否定
p：?x∈M，p(x)．
﹁p：?x0∈M，﹁p(x0)．
(2)特称命题的否定
p：?x0∈M，p(x0)．
﹁p：?x∈M，﹁p(x)．
二、圆锥曲线与方程
1．椭圆
(1)椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．
(2)椭圆的标准方程
焦点在x轴上：＋＝1(a>b>0)，
焦点在y轴上：＋＝1(a>b>0)．
(3)椭圆的几何性质
①范围：对于椭圆＋＝1(a>b>0)，－a≤x≤a，－b≤y≤b.
②对称性：椭圆＋＝1或＋＝1(a>b>0)，
关于x轴，y轴及原点对称．
③顶点：椭圆＋＝1的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，B1(0，－b)，B2(0，b)．
④离心率：e＝，离心率的范围是e∈(0,1)．
⑤a，b，c的关系：a2＝b2＋c2.
2．双曲线
(1)双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹，叫做双曲线．
(2)双曲线的标准方程
焦点在x轴上：－＝1(a>0，b>0)，
焦点在y轴上：－＝1(a>0，b>0)；
(3)双曲线的几何性质
①范围：对于双曲线－＝1(a>0，b>0)，y≥a或y≤－a，x∈R，
②对称性：双曲线－＝1或－＝1(a>0，b>0)关于x轴，y轴及原点对称．
③顶点：双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1(－a,0)，A2(a,0)，双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为A1′(0，－a)，A2′(0，a)，
④渐近线：双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x.
⑤离心率：e＝，双曲线离心率的取值范围是e∈(1，＋∞)，
⑥a，b，c的关系：c2＝a2＋b2.
3．抛物线
(1)抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．
(2)抛物线的标准方程
焦点在x轴上：y2＝±2px(p>0)，
焦点在y轴上：x2＝±2py(p>0)．
(3)抛物线的几何性质
①范围：对于抛物线x2＝2py(p>0)，
x∈R，y∈[0，＋∞)
②对称性：抛物线y2＝±2px(p>0)，关于x轴对称，
抛物线x2＝±2py(p>0)，关于y轴对称．
③顶点：抛物线y2＝±2px和x2＝±2py(p>0)的顶点坐标为(0,0)．
④离心率：抛物线上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比叫做抛物线的离心率，由抛物线的定义知e＝1.
三、空间向量与立体几何
1．空间向量及其运算
(1)共线向量定理：a∥b?a＝λb(b≠0)
(2)P，A，B三点共线?＝x＋y(x＋y＝1)
(3)共面向量定理：p与a，b共面?p＝xa＋yb
(4)P，A，B，C四点共面?＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，
(5)空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，把{a，b，c}叫做空间的一个基底．
(6)空间向量运算的坐标表示
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则
①a±b＝(a1±b1，a2±b2，a3±b3)，
②λa＝(λa1，λa2，λa3)，
③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
④a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3，
⑤a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
⑥|a|＝＝，
⑦cos〈a，b〉＝＝，
⑧若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，||＝.
2．立体几何中的向量方法
(1)异面直线所成的角
两条异面直线所成的角为θ，两条异面直线的方向向量分别为a，b，则cos θ＝|cos〈a，b〉|＝，
(2)直线与平面所成的角
直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则sin θ＝|cos〈a，n〉|＝
(3)二面角
二面角为θ，n1，n2为两平面的法向量，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝
[易错易混辨析]
1．一个命题的逆命题和否命题有相同的真假性．(√)
[提示]　一个命题的逆命题和否命题互为逆否命题，因此具有相同的真假性．
2．使a>b成立的充分不必要条件是a>b－1.(×)
[提示]　a>b－1a>b.
3．“p∧q”的否定为“(﹁p)∨(﹁q)”，“p∨q”的否定为“(﹁p)∧(﹁q)”．(√)
[提示]　“且”的否定为“或”，“或”的否定为“且”．
4．命题p：?x∈(0，＋∞)，则x2＋2x＋1>0，则﹁p为：?x0∈(－∞，0]，使x＋2x0＋1≤0.(×)
[提示]　﹁p应为?x0∈(0，＋∞)，使x＋2x0＋1≤0.
5．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数”．(×)
[提示]　命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是“若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数”．
6．命题“菱形的两条对角线相等”是全称命题且是真命题．(×)
[提示]　此命题是全称命题，但是是假命题．
7．“x>6”是“x>1”的充分但不必要条件．(√)
[提示]　x>6?x>1，但x>1x>6.
8．若命题p∧q为假，且﹁p为假，则q假．(√)
[提示]　由p为真，p∧q为假知，q为假．
9．椭圆上的点到焦点的最大距离为a＋c，最小距离为a－C．(√)
[提示]　椭圆长轴的端点到焦点的距离有最大值或最小值．
10．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆．(×)
[提示]　|F1F2|＝8，故点的轨迹是线段F1F2.
11．椭圆2x2＋3y2＝12的焦点坐标为(0，±)．(×)
[提示]　椭圆标准方程为＋＝1，c2＝a2－b2＝2，故椭圆的焦点坐标为(±，0)．
12．已知椭圆的标准方程为＋＝1(m>0)，焦距为6，则实数m的值为4. (×)
[提示]　当焦点在x轴上时，由25－m2＝9得m＝4，当焦点在y轴上时，m2－25＝9得m＝.
13．已知F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝10，则点P的轨迹是双曲线的右支．(×)
[提示]　点P的轨迹是一条射线．
14．“0≤k<3”是方程＋＝1表示双曲线的充要条件．(×)
[提示]　当0≤k<3时，方程＋＝1表示双曲线，若方程＋＝1表示双曲线，则有(k＋1)(k－5)<0，即－115．双曲线2x2－y2＝8的实轴长为2.(×)
[提示]　双曲线标准方程为－＝1，因此双曲线的实轴长为4.
16．等轴双曲线的渐近线相同．(√)
[提示]　等轴双曲线的渐近线方程都是y＝±x.
17．到定点和定直线距离相等的点的轨迹是抛物线．(×)
[提示]　当定点在定直线上时点的轨迹是一条直线．
18．抛物线y＝2x2的焦点坐标是.(×)
[提示]　抛物线标准方程为x2＝y，故焦点坐标为.
19．抛物线y2＝2px(p>0)中过焦点的最短弦长为2p.(√)
[提示]　抛物线中通径是最短的弦长．
20．抛物线y＝ax2(a≠0)的准线方程为y＝2，则实数a的值是.(×)
[提示]　抛物线标准方程为x2＝y，则－＝2，解得a＝－.
21．若空间任一点O和不共线的三点A，B，C满足＝＋－，则点P与A，B，C共面．(√)
[提示]　＋－1＝1，故四点共面．
22．a，b为空间向量，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．(√)
[提示]　〈a，b〉＝〈b，a〉，则cos〈a，b〉＝cos〈b，a〉．
23．两个平面垂直，则这两个平面的法向量也垂直．(√)
[提示]　由平面法向量的定义可知．
24．直线与平面垂直，则直线的方向向量与平面的法向量垂直．(×)
[提示]　直线的方向向量与平面的法向量平行．
25．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.(√)
[提示]　假设k1≠0，则e1＝－e2－e3，则e1，e2，e3共面．
26．若直线的方向向量与平面的法向量所成的角为150°，则直线与平面所成的角为30°.(×)
[提示]　直线与平面所成的角为60°.
27．若直线与平面所成的角为0°，则直线在平面内．(×)
[提示]　直线与平面也可能平行．
28．两个平面的法向量所成的角为120°，则两个平面所成的二面角也是120°.(×)
[提示]　二面角的度数是120°或60°.
29．两条异面直线所成的角为30°，则两条直线的方向向量所成的角可能是150°.(√)
[提示]　根据向量所成角的定义知正确．
30．若二面角是30°，则在二面角的两个半平面内与二面角的棱垂直的直线的方向向量所成的角也是30°.(×)
[提示]　在二面角的两个半平面内与棱垂直的直线的方向向量所成的角是30°或150°.
[高考真题感悟]
1．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A．－＝1　　　　 B．－＝1
C．－＝1 D．－＝1
B　[由y＝x可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.
故选B．]
2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线bx－ay＋2ab＝0相切，则C的离心率为(　　)
【导学号：46342195】
A． B．
C． D．
A　[由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为a.
又直线bx－ay＋2ab＝0与圆相切，
∴圆心到直线的距离d＝＝a，解得a＝b，
∴＝，
∴e＝＝＝＝＝.
故选A．]
3．若双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线被圆(x－2)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则C的离心率为(　　)
A．2 B．
C． D．
A　[设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，
圆的圆心为(2,0)，半径为2，
由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为＝.
根据点到直线的距离公式得＝，解得b2＝3a2.
所以C的离心率e＝＝＝＝2.
故选A．]
4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(　　)
A． B．
C． D．
C　[方法1：将直三棱柱ABC-A1B1C1补形为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，如图①所示，连接AD1，B1D1，BD．
图①
由题意知∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，
所以AD1＝BC1＝，AB1＝，∠DAB＝60°.
在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝.
又AB1与AD1所成的角即为AB1与BC1所成的角θ，
所以cos θ＝＝＝.
故选C．
方法2：以B1为坐标原点，B1C1所在的直线为x轴，垂直于B1C1的直线为y轴，BB1所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，如图②所示．
②
由已知条件知B1(0,0,0)，B(0,0,1)，C1(1,0,0)，A(－1，，1)，则＝(1,0，－1)，＝(1，－，－1)．
所以cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线AB1与BC1所成的角的余弦值为.
故选C．]
5．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)
A．16 B．14
C．12 D．10
A　[因为F为y2＝4x的焦点，所以F(1,0)．
由题意直线l1，l2的斜率均存在，且不为0，设l1的斜率为k，则l2的斜率为－，故直线l1，l2的方程分别为y＝k(x－1)，y＝－(x－1)．
由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝1，
所以|AB|＝·|x1－x2|
＝·
＝·＝.
同理可得|DE|＝4(1＋k2)．
所以|AB|＋|DE|＝＋4(1＋k2)
＝4
＝8＋4≥8＋4×2＝16，
当且仅当k2＝，即k＝±1时，取得等号．
故选A．]
6．如图1，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．
图1
(1)证明：直线CE∥平面PAB；
(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M-AB-D的余弦值.
【导学号：46342196】
[解]　(1)证明：取PA的中点F，连接EF，BF.
因为E是PD的中点，所以EF∥AD，EF＝AD．
由∠BAD＝∠ABC＝90°得BC∥AD，
又BC＝AD，所以EFBC，
四边形BCEF是平行四边形，CE∥BF.
又BF?平面PAB，CE?平面PAB，故CE∥平面PAB．
(2)由已知得BA⊥AD，以A为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1，)，＝(1,0，－)，＝(1,0,0)．
设M(x，y，z)(0＝(x－1，y，z)，＝(x，y－1，z－)．
因为BM与底面ABCD所成的角为45°，
而n＝(0,0,1)是底面ABCD的法向量，
所以|cos〈，n〉|＝sin 45°，＝，
即(x－1)2＋y2－z2＝0. ①
又M在棱PC上，设＝λ，则
x＝λ，y＝1，z＝－λ. ②
由①②解得(舍去)，或
所以M，从而＝.
设m＝(x0，y0，z0)是平面ABM的法向量，则
即
所以可取m＝(0，－，2)．
于是cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角M-AB-D的余弦值为.
7．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，四点P1(1,1)，P2(0,1)，P3，P4中恰有三点在椭圆C上．
(1)求C的方程．
(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点．若直线P2A与直线P2B的斜率的和为－1，证明：l过定点．
[解]　(1)由于P3，P4两点关于y轴对称，故由题设知椭圆C经过P3，P4两点．
又由＋＞＋知，椭圆C不经过点P1，
所以点P2在椭圆C上．
因此解得故椭圆C的方程为＋y2＝1.
(2)证明：设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2.
如果l与x轴垂直，设l：x＝t，由题设知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐标分别为，，则k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不符合题设．
从而可设l：y＝kx＋m(m≠1)．
将y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
由题设可知Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－，x1x2＝.
而k1＋k2＝＋
＝＋
＝.
由题设k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0.
即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0，解得k＝－.
当且仅当m＞－1时，Δ＞0，
于是l：y＝－x＋m，
即y＋1＝－(x－2)，
所以l过定点(2，－1)．
8．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
【导学号：46342197】
[解]　(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，
则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．
由＝得x0＝x，y0＝y.
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.
(2)由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，
·＝3＋3m－tn，
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥.
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.