2.1.1 离散型随机变量
学习目标：1.理解随机变量及离散型随机变量的含义．(重点)2.了解随机变量与函数的区别与联系．(易混点)3.能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．随机变量
(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．
(2)表示：随机变量常用字母X，Y，ξ，η，…表示．
思考：随机变量与函数有怎样的关系？
[提示]
相同点
随机变量和函数都是一种映射
区别
随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射
联系
随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域
2.离散型随机变量
(1)定义：所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．
(2)特征：
①可用数值表示．
②试验之前可以判断其出现的所有值．
③在试验之前不能确定取何值．
④试验结果能一一列出．
思考：离散型随机变量的取值必须是有限个吗？
[提示] 离散型随机变量的取值可以是有限个，例如取值为1,2，…，n；也可以是无限个，如取值为1,2，…，n，….
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个． ( )
(2)在抛掷一枚质地均匀的硬币试验中，“出现正面的次数”为随机变量． ( )
(3)离散型随机变量的取值是任意的实数． ( )
[解析] (1)√ 因为随机变量的每一个取值，均代表一个试验结果，试验结果有限个，随机变量的取值就有有限个，试验结果有无限个，随机变量的取值就有无限个．
(2)√ 因为掷一枚硬币，可能出现的结果是正面向上或反面向上，以一个标准如正面向上的次数来描述这一随机试验，那么正面向上的次数就是随机变量ξ，ξ的取值是0,1.
(3)× 由离散型随机变量的定义可知它的取值能够一一列出，因此离散型随机变量的取值是任意的实数的说法错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．下列变量中，是离散型随机变量的是( )
【导学号：95032116】
A．到2019年10月1日止，我国发射的人造地球卫星数
B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高
C．某人在车站等出租车的时间
D．某人投篮10次，可能投中的次数
D [根据离散型随机变量的定义：其可能取到的不相同的值是有限个或可列为有限个，即可以按一定次序一一列出，试验前可以判断其出现的所有值．选项A、B、C的数值均有不确定性，而选项D中，投篮10次，可能投中的次数是离散型随机变量．]
3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止时，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为( )
A．1,2,3，…，6 B．1,2,3，…，7
C．0,1,2，…，5 D．1,2，…，5
B [由于取到白球游戏结束，由题意可知X的可能取值为1,2,3,4,5,6,7.]
4．下列随机变量不是离散型随机变量的是________.
【导学号：95032117】
①某景点一天的游客数X；
②某手机一天内收到呼叫次数X；
③水文站观测到江水的水位数X；
④某收费站一天内通过的汽车车辆数X.
[解析] ①②④中的随机变量X可能取的值，我们都可以按一定的次序一一列出，因此都是离散型随机变量；③中X可以取一区间内的一切值，无法按一定次序一一列出，故③不是离散型随机变量．
[答案] ③
[合 作 探 究·攻 重 难]
随机变量的概念
(1)6件产品中有2件次品与4件正品，从中任取2件，则下列可作为随机变量的是( )
A．取到产品的件数 B．取到正品的件数
C．取到正品的概率 D．取到次品的概率
(2)判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
①北京国际机场候机厅中明天的旅客数量；
②2018年5月1日至10月1日期间所查酒驾的人数；
③2018年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；
④体积为1 000 cm3的球的半径长．
(1)B [A中取到的产品的件数是一个常量不是变量，C、D也是一个定值，而B中取到正品的件数可能是0,1,2，是随机变量．]
(2)[解] ①旅客人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
②所查酒驾的人数可能是0,1,2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．
③动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．
④球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．
[规律方法] 随机变量的辨析方法
1．随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．
2．随机试验的结果具有确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．
[跟踪训练]
1．判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．
(1)某天腾讯公司客服接到咨询电话的个数；
(2)标准大气压下，水沸腾的温度；
(3)在一次绘画作品评比中，设一、二、三等奖，你的一件作品获得的奖次；
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长．
[解] (1)接到咨询电话的个数可能是0,1,2，…出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(2)标准大气压下，水沸腾的温度100℃是定值，所以不是随机变量．
(3)获得的奖次可能是1,2,3，出现哪一个结果都是随机的，因此是随机变量．
(4)体积为64 cm3的正方体的棱长为4 cm为定值，不是随机变量．
离散型随机变量的判定
指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．
(1)某教学资源网站一天内的点击量．
(2)你明天上学进入校门的时间．
(3)某市明年下雨的次数．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差.
【导学号：95032118】
[思路探究] 根据随机变量的实际背景，判断随机变量的取值是否可以一一列出，从而判断是否为离散型随机变量．
[解] (1)某教学资源网站一天内的点击量可以一一列出，是离散型随机变量．
(2)你明天上学进入校门的时间，可以是某区间内任意实数，不能一一列出，不是离散型随机变量．
(3)某市明年下雨的次数可以一一列出，是离散型随机变量．
(4)抽检一件产品的真实质量与标准质量的误差可以在某区间内连续取值，不能一一列出，不是离散型随机变量．
[规律方法] 离散型随机变量判定的关键及方法
(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．
(2)具体方法：
①明确随机试验的所有可能结果；
②将随机试验的试验结果数量化；
③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．
[跟踪训练]
2．给出下列四种变量
(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X.
(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X.
(3)测量一批电阻，在950 Ω和1 200 Ω之间的阻值记为X.
(4)一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中离散型随机变量的个数是( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [(1)某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X，X是离散型随机变量；
(2)某人射击2次，击中目标的环数之和记为X，X是离散型随机变量；
(3)测量一批电阻，阻值在950 Ω～1 200 Ω之间，是连续型随机变量；
(4)一个在数轴上运动的质点，它在数轴上的位置记为X，X不是随机变量．
故离散型随机变量个数是2个．]
3．有下列问题：
(1)某单位一天来往的人数X；
(2)从已编号的5张卡片中(从1号到5号)任取一张，被取出的卡片号数X；
(3)一天内的温度为X；
(4)某人一生内的身高为X；
(5)全民运动会上，一选手进行射箭比赛，击中目标得10分，未击中目标得零分，用X表示该选手在比赛中的得分；
(6)某林场树木最高达50米，此林场树木的高度X.
上述问题中的X是离散型随机变量的是________．
[解析] (1)，(2)，(5)都可以一一列出，故都是离散型随机变量，而(3)，(4)都是连续型随机变量，不能一一列出，(6)也不能一一列出，树木高度有无限多个，也不是离散型随机变量．
[答案] (1)，(2)，(5)
随机变量的可能取值及试验结果
[探究问题]
1．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．这种试验结果能用数字表示吗？
[提示] 可以．用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．
2．在一块地里种10棵树苗，设成活的树苗数为X，则X可取哪些数字？
[提示] X＝0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10.
3．抛掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则“ξ≥4”表示的随机事件是什么？
[提示] “ξ≥4”表示出现的点数为4点，5点，6点．
写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X.
(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.
【导学号：95032119】
[思路探究] →
→
[解] (1)X＝0表示取5个球全是红球；
X＝1表示取1个白球，4个红球；
X＝2表示取2个白球，3个红球；
X＝3表示取3个白球，2个红球．
(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3.
X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4.
X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.
母题探究：1.(变换条件、改变问法)在本例(1)条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？
[解] ξ＝10表示取5个球全是红球；
ξ＝7表示取1个白球，4个红球；
ξ＝4表示取2个白球，3个红球；
ξ＝1表示取3个白球，2个红球．
2．(改变问法)本例(2)中，“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答？
[解] X可取1,2,3.
X＝3表示取出的3个球的编号为3,4,5；
X＝2表示取出的3个球的编号为2,3,4或2,3,5或2,4,5；
X＝1表示取出的3个球的编号为1,2,5或1,3,5或1,4,5或1,2,4或1,3,4或1,2,3.
[规律方法] 用随机变量表示随机试验的结果的关键点和注意点
(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．
(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．
[跟踪训练]
4．写出下列各随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)在2018年北京大学的自主招生中，参与面试的5名考生中，通过面试的考生人数X；
(2)射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，该射手在一次射击中的得分用ξ表示．
[解] (1)X可能取值0,1,2,3,4,5，
X＝i表示面试通过的有i人，其中i＝0,1,2,3,4,5.
(2)ξ可能取值为0,1，
当ξ＝0时，表明该射手在本次射击中没有击中目标；
当ξ＝1时，表明该射手在本次射击中击中目标．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．袋中有2个黑球、6个红球，从中任取两个，可以作为随机变量的是( )
A．取到的球的个数 B．取到红球的个数
C．至少取到一个红球 D．至少取到一个红球的概率
B [A的取值不具有随机性，C是一个事件而非随机变量，D中概率值是一个定值而非随机变量，只有B满足要求．]
2．下列变量中，不是随机变量的是( )
【导学号：95032120】
A．2020年奥运会上中国取得的金牌数
B．2018年冬奥会上中国取得的奖牌数
C．某人投篮2次，投中的次数
D．某急救中心每天接到的呼救次数
B [2018年我国冬奥会上取得的奖牌数是一个具体的数字，不是随机变量，其他三个均为随机变量．]
3．随机变量X是某城市1天之中发生的火警次数，随机变量Y是某城市1天之内的温度，随机变量ξ是某火车站1小时内的旅客流动人数．这三个随机变量中不是离散型随机变量的是( )
A．X和ξ B．只有Y
C．Y和ξ D．只有ξ
B [某城市1天之内的温度不能一一列举，故Y不是离散型随机变量．]
4．甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为________.
【导学号：95032121】
[解析] 甲可能在3次射击中，一次也未中，也可能中1次，2次，3次．
[答案] 0,1,2,3
5．甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．
[解] 根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．
2.1.2 离散型随机变量的分布列
学习目标：1.理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念与性质.2.会求出某些简单的离散型随机变量的分布列．(重点)3.理解两点分布和超几何分布及其推导过程，并能简单的运用．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．离散型随机变量的分布列
(1)定义
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
这个表格称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
为了简单起见，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．
(2)性质
①pi≥0，i＝1,2，…，n；
②i＝1.
思考：求离散型随机变量的分布列应按几步进行？
[提示] 求离散型随机变量的分布列的步骤：
(1)找出随机变量所有可能的取值xi(i＝1,2,3，…，n)；
(2)求出相应的概率P(X＝xi)＝pi(i＝1,2,3，…，n)；
(3)列成表格形式．
2．两点分布
X
0
1
P
1－p
p
若随机变量X的分布列具有上表的形式，则称X服从两点分布，并称p＝P(X＝1)为成功概率．
3．超几何分布
一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则
P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，
其中m＝min，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.
X
0
1
…
m
P
…
思考：如何正确理解超几何分布？
[提示] 在形式上适合超几何分布的模型常有较明显的两部分组成，如“男生，女生”“正品，次品”“优，劣”等．
(1)在应用超几何分布解题时，应首先明确随机变量的取值是否满足超几何分布的使用范围．
(2)在产品抽样中，一般采用不放回抽样．
(3)超几何分布的分布列为
X
0
1
…
m
P
…
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)在离散型随机变量分布列中，每一个可能值对应的概率可以为任意的实数． ( )
(2)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品，可用两点分布研究． ( )
(3)从3本物理书和5本数学书中选出3本，记选出的数学书为X本，则X服从超几何分布． ( )
[解析] (1)× 因为在离散型随机变量分布列中每一个可能值对应随机事件的概率均在[0,1]范围内．
(2)√ 根据两点分布的概念知，该说法正确．
(3)√ X的可能取值为0,1,2,3，可求得P(X＝k)＝(k＝0,1,2,3)，是超几何分布．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．下列表中能成为随机变量X的分布列的是( )
【导学号：95032128】
A.
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.4
B.
X
1
2
3
P
0.4
0.7
－0.1
C.
X
－1
0
1
P
0.3
0.4
0.3
D.
X
1
2
3
P
0.3
0.4
0.4
C [由离散型随机变量分布列的性质可知，概率非负且和为1.]
3．若离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
P
2a
3a
则a＝( )
A. B.
C. D.
A [由离散型随机变量分布列的性质可知，2a＋3a＝1，所以a＝.]
4．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P(X＝3)＝________.
【导学号：95032129】
[P(X＝3)＝＝.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
分布列的性质及应用
设随机变量X的分布列P＝ak(k＝1,2,3,4,5)．
(1)求常数a的值；
(2)求P.
[解] 分布列可改写为：
X
P
a
2a
3a
4a
5a
(1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝.
(2)P＝P＋P＋P＝＋＋＝，
或P＝1－P＝1－＝.
[规律方法] 利用离散型分布列的性质解题时要注意以下两个问题
(1)X＝Xi的各个取值表示的事件是互斥的．
(2)不仅要注意i＝1而且要注意pi≥0，i＝1,2，…，n.
[跟踪训练]
1．若离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
4a－1
3a2＋a
求常数a及相应的分布列．
[解] 由分布列的性质可知：3a2＋a＋4a－1＝1，
即3a2＋5a－2＝0，解得a＝或a＝－2，
又因为4a－1>0，即a>，故a≠－2.
所以a＝，此时4a－1＝，3a2＋a＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
0
1
P
求离散型随机变量y＝f(ξ)的分布列
已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2
－1
0
1
2
3
P
分别求出随机变量η1＝ξ，η2＝ξ2的分布列.
【导学号：95032130】
[解] 由η1＝ξ知，对于ξ取不同的值－2，－1,0,1,2,3时，η1的值分别为－1，－，0，，1，，
所以η1的分布列为
η1
－1
－
0
1
P
由η2＝ξ2知，对于ξ的不同取值－2,2及－1,1，η2分别取相同的值4与1，即η2取4这个值的概率应是ξ取－2与2的概率与的和，η2取1这个值的概率应是ξ取－1与1的概率与的和，
所以η2的分布列为
η2
0
1
4
9
P
[规律方法] (1)若ξ是一个随机变量，a，b是常数，则η＝aξ＋b也是一个随机变量，推广到一般情况有：若ξ是随机变量，f(x)是连续函数或单调函数，则η＝f(ξ)也是随机变量，也就是说，随机变量的某些函数值也是随机变量，并且若ξ为离散型随机变量，则η＝f(ξ)也为离散型随机变量.
(2)已知离散型随机变量ξ的分布列，求离散型随机变量η＝f?ξ?的分布列的关键是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概率分布列即可.
[跟踪训练]
2．设离散型随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
4
P
0.2
0.1
0.1
0.3
m
求：(1)2X＋1的分布列；
(2)|X－1|的分布列．
[解] 由分布列的性质知：
0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，∴m＝0.3.
首先列表为：
X
0
1
2
3
4
2X＋1
1
3
5
7
9
|X－1|
1
0
1
2
3
从而由上表得两个分布列为：
(1)2X＋1的分布列：
2X＋1
1
3
5
7
9
P
0.2
0.1
0.1
0.3
0.3
(2)|X－1|的分布列：
|X－1|
0
1
2
3
P
0.1
0.3
0.3
0.3
利用排列组合求分布列
袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止所需要的取球次数．
(1)求袋中所有的白球的个数．
(2)求随机变量ξ的分布列．
(3)求甲取到白球的概率.
【导学号：95032131】
[思路探究] 可以利用组合数公式与古典概型概率公式求各种取值的概率．
[解] (1)设袋中原有n个白球，由题意知＝＝＝.
可得n＝3或n＝－2(舍去)，即袋中原有3个白球．
(2)由题意，ξ的可能取值为1,2,3,4,5.
P(ξ＝1)＝；P(ξ＝2)＝＝；
P(ξ＝3)＝＝；
P(ξ＝4)＝＝；
P(ξ＝5)＝＝.
所以ξ的分布列为：
ξ
1
2
3
4
5
P
(3)因为甲先取，所以甲只有可能在第一次、第三次和第五次取到白球，记“甲取到白球”为事件A，则
P(A)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＋P(ξ＝5)＝.
[规律方法] 求离散型随机变量分布列时应注意的问题
(1)确定离散型随机变量ξ的分布列的关键是要搞清ξ取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出ξ取每一个值的概率．
(2)在求离散型随机变量ξ的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样不但可以减少运算量，还可以验证分布列是否正确．
[跟踪训练]
3．口袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，现从中随机取出3个球，用X表示取出的最大号码，求X的分布列．
[解] 随机变量X的可能取值为3,4,5,6.
从袋中随机取3个球，包含的基本事件总数为C，事件“X＝3”包含的基本事件总数为C，事件“X＝4”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝5”包含的基本事件总数为CC，事件“X＝6”包含的基本事件总数为CC.
从而有P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
P(X＝6)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
3
4
5
6
P
两点分布与超几何分布
[探究问题]
1．利用随机变量研究一类问题，如抽取的奖券是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等，这些有什么共同点？
[提示] 这些问题的共同点是随机试验只有两个可能的结果．定义一个随机变量，使其中一个结果对应于1，另一个结果对应于0，即得到服从两点分布的随机变量．
2．只取两个不同值的随机变量是否一定服从两点分布？
[提示] 不一定．如随机变量X的分布列由下表给出
X
2
5
P
0.3
0.7
X不服从两点分布，因为X的取值不是0或1.
3．在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个球，求取出的球中白球个数X是否服从超几何分布？超几何分布适合解决什么样的概率问题？
[提示] 随机变量X服从超几何分布，超几何分布适合解决从一个总体(共有N个个体)内含有两种不同事物A(M个)、B(N—M个)，任取n个，其中恰有X个A的概率分布问题．
在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．
(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X的分布列；
(2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张，
①求顾客乙中奖的概率；
②设顾客乙获得的奖品总价值为Y元，求Y的分布列.
【导学号：95032132】
[思路探究] (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X～(0,1)．(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X(X＝1,2)服从超几何分布．
[解] (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X的取值只有0和1两种情况．
P(X＝1)＝＝＝，则P(X＝0)＝1－P(X＝1)＝1－＝.
因此X的分布列为
X
0
1
P
(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类事件：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．
故所求概率P＝＝＝.
②Y的所有可能取值为0,10,20,50,60，且
P(Y＝0)＝＝＝，
P(Y＝10)＝＝＝，
P(Y＝20)＝＝＝，
P(Y＝50)＝＝＝，
P(Y＝60)＝＝＝.
因此随机变量Y的分布列为
Y
0
10
20
50
60
P
[规律方法]
1．两点分布的几个特点
(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．
(2)由对立事件的概率求法可知，已知P(X＝0)(或P(X＝1))，便可求出P(X＝1)(或P(X＝0))．
2．解决超几何分布问题的两个关键点
(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆．
(2)超几何分布中，只要知道M，N，n，就可以利用公式求出X取不同k的概率P(X＝k)，从而求出X的分布列．
[跟踪训练]
4．老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格．某同学只能背诵其中的6篇，试求：
(1)抽到他能背诵的课文的数量的概率分布列；
(2)他能及格的概率．
[解] (1)设抽到他能背诵的课文的数量为X，
则P(X＝r)＝(r＝0,1,2,3)．
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.
所以X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P
(2)他能及格的概率P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)
＝＋＝.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设随机变量ξ的分布列为P(ξ＝i)＝a，i＝1,2,3，则a的值为( )
A．1 B．
C． D．
C [由分布列的性质可知：a＝1，解得a＝.]
2．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X描述一次试验的成功次数，则P(X＝0)等于( )
【导学号：95032133】
A．0 B.
C. D.
B [设P(X＝1)＝p，则P(X＝0)＝1－p.
依题意知，p＝2(1－p)，解得p＝.
故P(X＝0)＝1－p＝.]
3．设随机变量X等可能地取值1,2,3,4，…10.又设随机变量Y＝2X－1，则P(Y＜6)的值为( )
A．0.3 B．0.5
C．0.1 D．0.2
A [Y＜6即2X－1＜6，∴X＜，即X＝1,2,3，∴P(Y＜6)＝P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.]
4．将一枚硬币掷三次，设X为正面向上的次数，则P(0＜X＜3)＝________.
[本题是一个等可能事件的概率．试验发生包含的事件是将一枚硬币掷三次共有23＝8种结果．而X的可能取值为0,1,2,3.X＝0表示三次都是反面向上，有一种结果，X＝3表示三次都是正面向上，有一种结果．所以P(0＜X＜3)＝1－＝.]
5．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数．
(1)求ξ的分布列；
(2)求“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率.
【导学号：95032134】
[解] (1)ξ可能取的值为0,1,2，服从超几何分布，
P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2.
所以，ξ的分布列为
ξ
0
1
2
P
(2)由(1)知，“所选3人中女生人数ξ≤1”的概率为
P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝.
2.2.1 条件概率
学习目标：1.了解条件概率的概念.2.掌握求条件概率的两种方法．(难点)3.能利用条件概率公式解一些简单的实际问题．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．条件概率的概念
一般地，设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
2．条件概率的性质
(1)0≤P(B|A)≤1；
(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若事件A与B互斥，则P(B|A)＝0. ( )
(2)若事件A等于事件B，则P(B|A)＝1. ( )
(3)P(B|A)与P(A|B)相同． ( )
[解析] (1)√ 因为事件A与B互斥，所以在事件A发生的条件下，事件B不会发生．
(2)√ 因为事件A等于事件B，所以事件A发生，事件B必然发生．
(3)× 由条件概率的概念知该说法错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝( )
【导学号：95032141】
A． B．
C． D．
B [由公式得P(B|A)＝＝＝.]
3．下面几种概率是条件概率的是( )
A．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，各投篮一次都投中的概率
B．甲、乙二人投篮命中率分别为0.6,0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率
C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率
D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，则小明在一次上学中遇到红灯的概率
B [由条件概率的定义知B为条件概率．]
4．设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________．
0.5 [根据条件概率公式知P＝＝0.5.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
利用定义求条件概率
一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为A；事件“第二次抽到黑球”为B.
(1)分别求事件A，B，AB发生的概率；
(2)求P(B|A)．
[解] 由古典概型的概率公式可知
(1)P(A)＝，
P(B)＝＝＝，
P(AB)＝＝.
(2)P(B|A)＝＝＝.
[规律方法]
1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤
(1)分析题意，弄清概率模型；
(2)计算P(A)，P(AB)；
(3)代入公式求P(B|A)＝.
2．在(2)题中，首先结合古典概型分别求出了事件A、B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(B)和P(B|A)三者之间的关系．
[跟踪训练]
1．设A，B为两个事件，且P(A)＞0，若P(AB)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝________.
[由P(B|A)＝＝＝.]
2．有一匹叫Harry的马，参加了100场赛马比赛，赢了20场，输了80场．在这100场比赛中，有30场是下雨天，70场是晴天．在30场下雨天的比赛中，Harry赢了15场．如果明天下雨，Harry参加赛马的赢率是( )
A． B．
C． D．
B [此为一个条件概率的问题，由于是在下雨天参加赛马，所以考查的应该是Harry在下雨天的比赛中的赢率，则P＝＝.]
缩小样本空间求条件概率
一个盒子中有6只好晶体管，4只坏晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回．若已知第一只是好的，求第二只也是好的的概率.
【导学号：95032142】
[思路探究] 本题可以用公式求解，也可以用缩小样本空间的方法直接求解．
[解] 法一：(定义法)设Ai＝{第i只是好的}(i＝1,2)．由题意知要求出P(A2|A1)．
因为P(A1)＝＝，P(A1A2)＝＝，
所以P(A2|A1)＝＝.
法二：(直接法)因事件A1已发生(已知)，故我们只研究事件A2发生便可，在A1发生的条件下，盒中仅剩9只晶体管，其中5只好的，所以P(A2|A1)＝＝.
[规律方法] P(B|A)表示事件B在“事件A已发生”这个附加条件下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说，条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一事件在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概率”，其次转换样本空间，即把给定事件A所含的基本事件定义为新的样本空间，显然待求事件B便缩小为事件AB，如图所示，从而P(B|A)＝.
[跟踪训练]
3．一个大正方形被平均分成9个小正方形，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B，求P(AB)、P(A|B)．
[解] 根据图形(如图)由几何概型的概率公式可知P(AB)＝
P(A|B)＝＝.
求互斥事件的条件概率
[探究问题]
1．掷一枚质地均匀的骰子，有多少个基本事件？它们之间有什么关系？随机事件出现“大于4的点”包含哪些基本事件？
[提示] 掷一枚质地均匀的骰子，可能出现的基本事件有“1点”“2点”“3点”“4点”“5点”“6点”，共6个，它们彼此互斥．“大于4的点”包含“5点”“6点”两个基本事件．
2．“先后抛出两枚质地均匀的骰子”试验中，已知第一枚出现4点，则第二枚出现“大于4”的事件，包含哪些基本事件？
[提示] “第一枚4点，第二枚5点”“第一枚4点，第二枚6点”．
3．先后抛出两枚质地均匀的骰子，已知第一枚出现4点，如何利用条件概率的性质求第二枚出现“大于4点”的概率？
[提示] 设第一枚出现4点为事件A，第二枚出现5点为事件B，第二枚出现6点为事件C，则所求事件为B∪C|A.
∴P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
在一个袋子中装有10个球，设有1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，从中依次摸2个球，求在第一个球是红球的条件下，第二个球是黄球或黑球的概率.
【导学号：95032143】
[解] 法一：(定义法)设“摸出第一个球为红球”为事件A，“摸出第二个球为黄球”为事件B，“摸出第三个球为黑球”为事件C.
则P(A)＝，P(AB)＝＝，P(AC)＝＝.
所以P(B|A)＝＝÷＝，
P(C|A)＝＝÷＝.
所以P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)＝＋＝.
所以所求的条件概率为.
法二：(直接法)因为n(A)＝1×C＝9，n(B∪C|A)＝C＋C＝5，
所以P(B∪C|A)＝.所以所求的条件概率为.
[规律方法]
1．利用公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)可使条件概率的计算较为简单，但应注意这个性质的使用前提是“B与C互斥”．
2．为了求复杂事件的概率，往往需要把该事件分为两个或多个互斥事件，求出简单事件的概率后，相加即可得到复杂事件的概率．
[跟踪训练]
4．在某次考试中，要从20道题中随机地抽出6道题，若考生至少能答对其中的4道题即可通过；若至少能答对其中5
道题就获得优秀．已知某考生能答对其中10道题，并且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀成绩的概率．
[解] 设事件A为“该考生6道题全答对”，事件B为“该考生答对了其中5道题而另一道答错”，事件C为“该考生答对了其中4道题而另2道题答错”，事件D为“该考生在这次考试中通过”，事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”，则A，B，C两两互斥，且D＝A∪B∪C，E＝A∪B，由古典概型的概率公式及加法公式可知
P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝，P(E|D)＝P(A∪B|D)＝P(A|D)＋P(B|D)＝＋＝＋＝，即所求概率为.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知P(B|A)＝，P(A)＝，则P(AB)等于( )
A. B. C. D.
C [由P(B|A)＝，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝×＝.]
2．4张奖券中只有1张能中奖，现分别由4名同学无放回地抽取．若已知第一名同学没有抽到中奖券，则最后一名同学抽到中奖券的概率是( )
【导学号：95032144】
A． B． C． D．1
B [因为第一名同学没有抽到中奖券，所以问题变为3张奖券，1张能中奖，最后一名同学抽到中奖券的概率，显然是.]
3．把一枚硬币投掷两次，事件A＝{第一次出现正面}，B＝{第二次出现正面}，则P(B|A)＝________.
[∵P(AB)＝，P(A)＝，∴P(B|A)＝.]
4．某人一周晚上值2次班，在已知他周日一定值班的条件下，他在周六晚上值班的概率为________.
【导学号：95032145】
[解析] 法一(定义法)设事件A为“周日值班”，事件B为“周六值班”，则P(A)＝，P(AB)＝，故P(B|A)＝＝.
法二(直接法)由题意知本题是一个等可能事件的概率，一周晚上值班2次，在已知他周日一定值班，则还剩下6天，那么周六晚上值班的概率为.
[答案]
5．盒内装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木质球．玻璃球中有2个是红色的，4个是蓝色的；木质球中有3个是红色的，7个是蓝色的．现从中任取1个，已知取到的是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？
[解] 法一(定义法)由题意得球的分布如下：
玻璃球
木质球
总计
红
2
3
5
蓝
4
7
11
总计
6
10
16
设A＝{取得蓝球}，B＝{取得玻璃球}，
则P(A)＝，P(AB)＝＝.
∴P(B|A)＝＝＝.
法二(直接法)∵n(A)＝11，n(AB)＝4，
∴P(B|A)＝＝.
2.2.2 事件的相互独立性
学习目标：1.在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念．(难点)2.能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题．(重点)3.综合运用互斥事件的概率加法公式及独立事件的乘法公式解决一些问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．相互独立事件的定义和性质
(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么称事件A与事件B相互独立．
(2)性质：①如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．
②如果A与B相互独立，那么P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)．
思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？
[提示]
相互独立事件
互斥事件
条件
事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响
不可能同时发生的两个事件
符合
相互独立事件A，B同时发生，记作：AB
互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)
计算公式
P(AB)＝P(A)P(B)
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)
2.n个事件相互独立
对于n个事件A1，A2，…，An，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，An相互独立．
3．独立事件的概率公式
(1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)×P(B)；
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对事件A和B，若P(B|A)＝P(B)，则事件A与B相互独立； ( )
(2)若事件A，B相互独立，则P( )＝P()×P()． ( )
(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)． ( )
(4)若事件A与B相互独立，则B与相互独立． ( )
[解析] (1)√ 若P(B|A)＝P(B)，则P(AB)＝P(A)·P(B)，故A，B相互独立，所以(1)正确；
(2)√ 若事件A，B相互独立，则、也相互独立，故(2)正确；
(3)√ 若事件A，B相互独立，则A发生与否不影响B的发生，故(3)正确；
(4)× B与相互对立，不是相互独立，故(4)错误．
[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)×
2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是( )
【导学号：95032153】
A．相互独立事件 B．不相互独立事件
C．互斥事件 D．对立事件
A [由概率的相关概念得A1与A2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]
3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )
A. B. C. D.
C [由题意知，恰有一次通过的概率为×＋×＝.]
4．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝××＝.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
相互独立事件的判断
判断下列各对事件是否是相互独立事件．
(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；
(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；
(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．
[思路探究] (1)利用独立性概念的直观解释进行判断．(2)计算“从8个球中任取一球是白球”发生与否，事件“从剩下的7个球中任意取出一球还是白球”的概率是否相同进行判断．(3)利用事件的独立性定义判断．
[解] (1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．
(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．
(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝.
所以P(AB)＝P(A)·P(B)，
所以事件A与B相互独立．
[规律方法] 判断事件是否相互独立的方法
1．定义法：事件A，B相互独立?P(AB)＝P(A)·P(B)．
2．直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．
3．条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．
[跟踪训练]
1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是( )
A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”
B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”
D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”
(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B( )
A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立
C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥
(1)A (2)A [(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A.
(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A.]
相互独立事件同时发生的概率
甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为和.求：
(1)两人都能破译的概率；
(2)两人都不能破译的概率；
(3)恰有一人能破译的概率；
(4)至多有一人能够破译的概率.
【导学号：95032154】
[解] 设“甲能破译”为事件A，“乙能破译”为事件B，则A、B相互独立，从而A与、与B、与均相互独立．
(1)“两人都能破译”为事件AB，则
P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.
(2)“两人都不能破译”为事件 ，则
P( )＝P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)]
＝×＝.
(3)“恰有一人能破译”为事件(A)∪(B)，
又A与B互斥，
所以P[(A)∪(B)]＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝×＋×＝.
(4)“至多一人能破译”为事件(A)∪(B)∪()，而A、B、 互斥，故P[(A)∪(B)∪()]＝P(A)＋P(B)＋P()＝P(A)P()＋P()·P(B)＋P()P()＝×＋×＋×＝.
[规律方法]
1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：
(1)首先确定各事件是相互独立的；
(2)再确定各事件会同时发生；
(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．
2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
[跟踪训练]
2．一个袋子中有3个白球，2个红球，每次从中任取2个球，取出后再放回，求：
(1)第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率；
(2)第1次取出的2个球1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率．
[解] 记“第1次取出的2个球都是白球”的事件为A，“第2次取出的2个球都是红球”的事件为B，“第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球”的事件为C，很明显，由于每次取出后再放回，A，B，C都是相互独立事件．
(1)P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝×＝.
故第1次取出的2个球都是白球，第2次取出的2个球都是红球的概率是.
(2)P(CA)＝P(C)P(A)＝·＝·＝.
故第1次取出的2个球中1个是白球、1个是红球，第2次取出的2个球都是白球的概率是.
事件的相互独立性与互斥性
[探究问题]
1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件B与A呢？
[提示] 事件A与B，与B，A与均是相互独立事件，而B与A是互斥事件．
2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？
[提示] “甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝B＋A.
所以P(C)＝P(B＋A)＝P(B)＋P(A)
＝P()·P(B)＋P(A)·P()
＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.
小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：
(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.
【导学号：95032155】
[思路探究] (1)这三列火车之间是否正点到达互不影响，因此本题是相互独立事件同时发生的概率问题，注意两列正点到达所包含的情况．
(2)这三列火车至少有一列正点到达的对立事件是三列火车都没正点到达，这种情况比正面列举简单些，因此利用对立事件的概率公式求解．
[解] 用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，
所以P()＝0.2，P()＝0.3，P()＝0.1.
(1)由题意得A，B，C之间互相独立，所以恰好有两列正点到达的概率为
P1＝P(BC)＋P(AC)＋P(AB)
＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()
＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.
(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为
P2＝1－P()
＝1－P()P()P()
＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.
母题探究：1.(改变问法)本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．
[解] 恰有一列火车正点到达的概率
P3＝P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)
＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.
2．(变换条件，改变问法)若一列火车正点到达计5分，用ξ表示三列火车的总得分，求P(ξ≤10)．
[解] 事件“ξ≤10”表示“至多两列火车正点到达”其对立事件为“三列火车都正点到达”，
所以P(ξ≤10)＝1－P(ABC)
＝1－P(A)P(B)P(C)
＝1－0.8×0.7×0.9＝0.496.
[规律方法] 与相互独立事件有关的概率问题求解策略
明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰好有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．
一般地，已知两个事件A，B，它们的概率分别为P(A)，P(B)，那么：
(1)A，B中至少有一个发生为事件A＋B.
(2)A，B都发生为事件AB.
(3)A，B都不发生为事件.
(4)A，B恰有一个发生为事件A＋B.
(5)A，B中至多有一个发生为事件A＋B＋.它们之间的概率关系如表所示：
A，B互斥
A，B相互独立
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
1－P()P()
P(AB)
0
P(A)P(B)
P()
1－[P(A)＋P(B)]
P()P()
P(A＋B)
P(A)＋P(B)
P(A)P()＋P()P(B)
P(·＋A·＋·B)
1
1－P(A)·P(B)
[跟踪训练]
3．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为，，，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：
(1)三人都合格的概率；
(2)三人都不合格的概率；
(3)出现几人合格的概率最大．
[解] 记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．
(1)三人都合格的概率：
P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝××＝.
(2)三人都不合格的概率：
P0＝P()＝P()·P()·P()＝××＝.
(3)恰有两人合格的概率：
P2＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)
＝××＋××＋××＝.
恰有一人合格的概率：
P1＝1－P0－P2－P3＝1－－－＝＝.
综合(1)(2)可知P1最大．
所以出现恰有一人合格的概率最大．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
D [P(A)＝，P(B)＝，事件A的结果对事件B有影响．根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．]
2．甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是0.8，则其中恰有一人击中目标的概率为( )
【导学号：95032156】
A．0.64 B．0.32
C．0.56 D．0.48
B [“两人各射击一次，恰好有一人击中目标”包括两种情况：一种是甲击中乙未击中(即A)，另一种是甲未击中乙击中(即B)，根据题意，这两种情况在各射击一次时不可能同时发生，即事件A与B是互斥的，所以所求概率为
P＝P(A)＋P(B)＝P(A)P()＋P()P(B)＝0.8×(1－0.8)＋(1－0.8)×0.8＝0.32.]
3．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( )
A. B. C. D.
D [有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为××＝.]
4．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．
[因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，.因此，他们不去北京旅游的概率分别为，，，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P＝1－××＝.]
5．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.
(1)求恰有一名同学当选的概率；
(2)求至多有两人当选的概率.
【导学号：95032157】
[解] 设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有
P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A)＋P(B)＋P(C)
＝P(A)·P()·P()＋P()·P(B)·P()＋
P()·P()·P(C)
＝××＋××＋××＝.
(2)至多有两人当选的概率为
1－P(ABC)＝1－P(A)·P(B)·P(C)＝1－××＝.
2.2.3 独立重复试验与二项分布
学习目标：1.理解n次独立重复试验的模型.2.理解二项分布．(难点)3.能利用独立重复试验的模型及二项分布解决一些简单的实际问题．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．n次独立重复试验
一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验．
思考：怎样正确理解独立重复试验？
[提示] (1)独立重复试验满足的条件：
第一：每次试验是在同样条件下进行的；
第二：各次试验中的事件是相互独立的；
第三：每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生．
(2)独立重复试验的实际原型是有放回地抽样检验问题，但在实际应用中，从大批产品中抽取少量样品的不放回检验，可以近似地看作此类型，因此独立重复试验在实际问题中应用广泛．
2．二项分布
一般地，在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n.此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率．
思考：二项分布与两点分布有什么关系？
[提示] (1)两点分布的试验次数只有一次，试验结果只有两种：事件A发生(X＝1)或不发生(X＝0)；二项分布是指在n次独立重复试验中事件A发生的次数X的分布列，试验次数为n次(每次试验的结果也只有两种：事件A发生或不发生)，试验结果有n＋1种：事件A恰好发生0次，1次，2次，…，n次．
(2)二项分布是两点分布的一般形式，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1的二项分布．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)独立重复试验每次试验之间是相互独立的． ( )
(2)独立重复试验每次试验只有发生与不发生两种结果． ( )
(3)独立重复试验各次试验发生的事件是互斥的． ( )
[解析] (1)√ 在独立重复试验中，试验是“在相同的条件下”进行的，各次试验的结果不会受其他试验结果的影响，彼此相互独立．
(2)√ 独立重复试验的结果只有两种，即事件要么发生，要么不发生．
(3)× 独立重复试验中，各次试验中的事件相互独立，故说试验事件互斥是错误的．
[答案] (1)√ (2)√ (3)×
2．任意抛掷三枚均匀硬币，恰有2枚正面朝上的概率为( )
【导学号：95032166】
A. B.
C. D.
B [抛一枚硬币，正面朝上的概率为，则抛三枚硬币，恰有2枚朝上的概率为P＝C×＝.]
3．已知随机变量X服从二项分布，X～B，则P(X＝2)等于_____．
[P(X＝2)＝C＝.]
4．姚明在比赛时罚球命中率为90%，则他在3次罚球中罚失1次的概率是________.
【导学号：95032167】
0.243 [设随机变量X表示“3次罚球，中的次数”，则X～B(3,0.9)，所以他在3次罚球中罚失1次的概率为P(X＝2)＝C0.92×(1－0.9)＝0.243.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
独立重复试验概率的求法
现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．
(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；
(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率．
[解] 依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.
设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．
则P(Ai)＝C.
(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率
P(A2)＝C＝.
(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3∪A4.由于A3与A4互斥，故
P(B)＝P(A3)＋P(A4)＝C×＋C＝.
所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为.
[规律方法] 独立重复试验概率求法的三个步骤
1．判断：依据n次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验．
2．分拆：判断所求事件是否需要分拆．
3．计算：就每个事件依据n次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加法公式计算．
[跟踪训练]
1．某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后面第2位)：
(1)5次预报中恰有2次准确的概率；
(2)5次预报中至少有2次准确的概率．
[解] (1)记“预报一次准确”为事件A，则P(A)＝0.8.
5次预报相当于5次独立重复试验，恰有2次准确的概率为
C0.82×0.23＝0.051 2≈0.05.
因此5次预报中恰有2次准确的概率为0.05.
(2)“5次预报中至少有2次准确”的对立事件为“5次预报全部不准确或只有1次准确”，其概率为C(0.2)5＋C×0.8×0.24＝0.006 72≈0.01.
故所求概率为1－0.01＝0.99.
二项分布
某公司招聘员工，先由两位专家面试，若两位专家都同意通过，则视作通过初审予以录用；若这两位专家都未同意通过，则视作未通过初审不予录用；当这两位专家意见不一致时，再由第三位专家进行复审，若能通过复审则予以录用，否则不予录用．设应聘人员获得每位初审专家通过的概率均为，复审能通过的概率为，各专家评审的结果相互独立．
(1)求某应聘人员被录用的概率．
(2)若4人应聘，设X为被录用的人数，试求随机变量X的分布列.
【导学号：95032168】
[思路探究] 解答本题可根据二项分布的概率计算方法解答，同时注意互斥事件概率公式的应用．
[解] 设“两位专家都同意通过”为事件A，“只有一位专家同意通过”为事件B，“通过复审”为事件C.
(1)设“某应聘人员被录用”为事件D，则D＝A∪BC，
因为P(A)＝×＝，
P(B)＝2××＝，
P(C)＝，
所以P(D)＝P(A∪BC)＝P(A)＋P(B)P(C)＝.
(2)根据题意，X＝0,1,2,3,4，且X～B，
Ai表示“应聘的4人中恰有i人被录用”(i＝0,1,2,3,4)，
因为P(A0)＝C×＝，
P(A1)＝C××＝，
P(A2)＝C××＝，
P(A3)＝C××＝，
P(A4)＝C××＝.
所以X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
[规律方法]
1．本例属于二项分布，当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p)中的试验次数n与成功概率p.
2．解决二项分布问题的两个关注点
(1)对于公式P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)必须在满足“独立重复试验”时才能运用，否则不能应用该公式．
(2)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．
[跟踪训练]
2．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球．有放回抽样时，求取到黑球的个数X的分布列．
[解] 有放回抽样时，取到的黑球数X可能的取值为0,1,2,3.
又每次取到黑球的概率均为，3次取球可以看成3次独立重复试验，则X～B.
所以P(X＝0)＝C＝，
P(X＝1)＝C＝，
P(X＝2)＝C＝，
P(X＝3)＝C＝.
所以X的分布列为：
X
0
1
2
3
P
独立重复试验与二项分布综合应用
[探究问题]
1．王明在做一道单选题时，从A、B、C、D四个选项中随机选一个答案，他做对的结果数服从二项分布吗？两点分布与二项分布有何关系？
[提示] 做一道题就是做一次试验，做对的次数可以为0次、1次，它服从二项分布．两点分布就是一种特殊的二项分布，即是n＝1的二项分布．
2．王明做5道单选题，每道题都随机选一个答案，那么他做对的道数服从二项分布吗？为什么？
[提示] 服从二项分布．因为每道题都是随机选一个答案，结果只有两个：对与错，并且每道题做对的概率均相等，故做5道题可以看成“一道题”重复做了5次，做对的道数就是5次试验中“做对”这一事件发生的次数，故他做对的“道数”服从二项分布．
3．王明做5道单选题，其中2道会做，其余3道均随机选一个答案，他做对的道数服从二项分布吗？如何判断一随机变量是否服从二项分布？
[提示] 不服从二项分布．因为会做的两道题做对的概率与随机选取一个答案做对的概率不同，不符合二项分布的特点，判断一个随机变量是否服从二项分布关键是看它是否是n次独立重复试验，随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数，满足这两点的随机变量才服从二项分布，否则就不服从二项分布．
甲乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分．假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，，，且各人回答正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分．
(1)求随机变量ξ的分布列；
(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB).
【导学号：95032169】
[思路探究] (1)由于甲队中每人答对的概率相同，且正确与否没有影响，所以ξ服从二项分布，其中n＝3，p＝；
(2)AB表示事件A、B同时发生，即甲、乙两队总得分之和为3且甲队总得分大于乙队总得分．
[解] (1)由题意知，ξ的可能取值为0,1,2,3，且
p(ξ＝0)＝C＝，
P(ξ＝1)＝C＝，
P(ξ＝2)＝C＝，
P(ξ＝3)＝C＝.
所以ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
(2)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件，所以AB＝C∪D，且C，D互斥，
又P(C)＝C＝，
P(D)＝C＝，
由互斥事件的概率公式得
P(AB)＝P(C)＋P(D)＝＋＝＝.
[规律方法] 对于概率问题的综合题，首先，要准确地确定事件的性质，把问题化归为古典概型、互斥事件、独立事件、独立重复试验四类事件中的某一种；其次，要判断事件是A＋B还是AB，确定事件至少有一个发生，还是同时发生，分别运用相加或相乘事件公式，最后，选用相应的求古典概型、互斥事件、条件概率、独立事件、n次独立重复试验的概率公式求解．
[跟踪训练]
3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是和.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．
(1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；
(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率．
[解] (1)记“甲连续射击4次至少有1次未击中目标”为事件A1，由题意，射击4次，相当于做4次独立重复试验．
故P(A1)＝1－P()＝1－＝，
所以甲射击4次，至少有一次未击中目标的概率为.
(2)记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A2，“乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B2，则
P(A2)＝C××＝；
P(B2)＝C××＝.
由于甲、乙射击相互独立，故
P(A2B2)＝P(A2)P(B2)＝×＝.
所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．若X～B(10,0.8)，则P(X＝8)等于( )
A．C×0.88×0.22 B．C×0.82×0.28
C．0.88×0.22 D．0.82×0.28
A [X服从二项分布，所以P(X＝8)＝C×0.88×0.22.]
2．一次测量中出现正误差和负误差的概率都是，在5次测量中恰好2次出现正误差的概率是( )
【导学号：95032170】
A. B.
C. D.
A [P(ξ＝2)＝C＝10×＝.故选A.]
3．某电子管正品率为，次品率为，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P(ξ＝3)＝( )
A．C× B．C×
C．× D．×
C [ξ＝3表示第3次首次测到正品，而前两次都没有测到正品，故其概率是×.]
4．某市公租房的房源位于A，B，C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的．该市的4位申请人中恰有2人申请A片区房源的概率为________．
[每位申请人申请房源为一次试验，这是4次独立重复试验，
设申请A片区房源记为A，则P(A)＝，
所以恰有2人申请A片区的概率为C··＝.]
5．从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通灯，假设在各个交通灯遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是，设ξ为途中遇到红灯的次数，求随机变量ξ的分布列．
[解] 由题意知ξ～B，
则P(ξ＝0)＝C＝，
P(ξ＝1)＝C＝，
P(ξ＝2)＝C＝，
P(ξ＝3)＝C×＝.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P
2.3.1 离散型随机变量的均值
学习目标：1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质，会根据离散型随机变量的分布列求出均值．(重点)2.掌握两点分布、二项分布的均值．(重点)3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．离散型随机变量的均值
(1)定义：若离散型随机变量X的分布列为：
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．
(2)意义：它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(3)性质：如果X为(离散型)随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且P(Y＝axi＋b)＝P(X＝xi)，i＝1,2,3，…，n.E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
2．两点分布和二项分布的均值
(1)若X服从两点分布，则E(X)＝p；
(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np.
3．随机变量的均值与样本平均值的关系
随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本的平均值是一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近于总体的均值．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化；
( )
(2)随机变量的均值反映样本的平均水平； ( )
(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4； ( )
(4)随机变量X的均值E(X)＝. ( )
[解析] (1)× 随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机变量X本身固有的一个数字特征．
(2)× 随机变量的均值反映随机变量取值的平均水平．
(3)√ 由均值的性质可知．
(4)× 因为E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若随机变量X的分布列为
X
－1
0
1
p
则E(X)＝( )
A．0 B．－1
C．－ D．－
C [E(X)＝ipi＝(－1)×＋0×＋1×＝－.]
3．设E(X)＝10，则E(3X＋5)＝________.
35 [E(3X＋5)＝3E(X)＋5＝3×10＋5＝35.]
4．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)的值为________.
【导学号：95032178】
[E(X)＝np＝4×＝.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求离散型随机变量的均值
某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，即可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9，求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列和X的均值．
[解] X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
所以李明实际参加考试次数X的分布列为
X＝k
1
2
3
4
P(X＝k)
0.6
0.28
0.096
0.024
所以X的均值为E(X)＝1×0.6＋2×0.28＋3×0.096＋4×0.024＝1.544.
[规律方法] 求离散型随机变量X的均值步骤
(1)理解X的实际意义，并写出X的全部取值．
(2)求出X取每个值的概率．
(3)写出X的分布列(有时也可省略)．
(4)利用定义公式E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求出均值．
其中第(1)、(2)两条是解答此类题目的关键，在求解过程中要注重运用概率的相关知识．
[跟踪训练]
1．盒中装有5节同牌号的五号电池，其中混有两节废电池．现在无放回地每次取一节电池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X的分布列及均值．
[解] X可取的值为1,2,3，
则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝，
P(X＝3)＝××1＝.
抽取次数X的分布列为
X
1
2
3
P
E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
离散型随机变量的均值公式及性质
已知随机变量X的分布列如下：
X
－2
－1
0
1
2
P
m
(1)求m的值；
(2)求E(X)；
(3)若Y＝2X－3，求E(Y).
【导学号：95032179】
[解] (1)由随机变量分布列的性质，得＋＋＋m＋＝1，
解得m＝.
(2)E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.
(3)法一：(公式法)由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3＝2×－3＝－.
法二：(直接法)由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.
[规律方法]
1．该类题目属于已知离散型分布列求均值，求解方法是直接套用公式，E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn求解．
2．对于aX＋b型的随机变量，可利用均值的性质求解，即E(aX＋b)＝aE(X)＋b；也可以先列出aX＋b的分布列，再用均值公式求解，比较两种方式显然前者较方便．
[跟踪训练]
2．已知随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
且Y＝aX＋3，若E(Y)＝－2，则a的值为________．
－3 [E(X)＝1×＋2×＋3×＝.
∵Y＝aX＋3，∴E(Y)＝aE(X)＋3＝a＋3＝－2.
解得a＝－3.]
两点分布与二项分布的均值
某运动员投篮命中率为p＝0.6.
(1)求投篮1次时命中次数X的均值；
(2)求重复5次投篮时，命中次数Y的均值.
【导学号：95032180】
[思路探究] (1)利用两点分布求解．(2)利用二项分布的数学期望公式求解．
[解] (1)投篮1次，命中次数X的分布列如下表：
X
0
1
P
0.4
0.6
则E(X)＝0.6.
(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y服从二项分布，即Y～B(5,0.6)，则E(Y)＝np＝5×0.6＝3.
母题探究：1.(变换条件)求重复10次投篮时，命中次数ξ的均值．
[解] E(ξ)＝10×0.6＝6.
2．(改变问法)重复5次投篮时，命中次数为Y，命中一次得3分，求5次投篮得分的均值．
[解] 设投篮得分为变量η，则η＝3Y.
所以E(η)＝E(3Y)＝3E(Y)＝3×3＝9.
[规律方法]
1．常见的两种分布的均值
设p为一次试验中成功的概率，则
(1)两点分布E(X)＝p；
(2)二项分布E(X)＝np.
熟练应用上述公式可大大减少运算量，提高解题速度．
2．两点分布与二项分布辨析
(1)相同点：一次试验中要么发生要么不发生．
(2)不同点：
①随机变量的取值不同，两点分布随机变量的取值为0,1，二项分布中随机变量的取值x＝0,1,2，…，n.
②试验次数不同，两点分布一般只有一次试验；二项分布则进行n次试验．
离散型随机变量均值的实际应用
[探究问题]
1．某篮球明星罚球命中率为0.7，罚球命中得1分，不中得0分，则他罚球一次的得分X可以取哪些值？X取每个值时的概率是多少？
[提示] 随机变量X可能取值为0,1.X取每个值的概率分别为P(X＝0)＝0.3，P(X＝1)＝0.7.
2．在探究1中，若该球星在一场比赛中共罚球10次，命中8次，那么他平均每次罚球得分是多少？
[提示] 每次平均得分为＝0.8.
3．在探究1中，你能求出在他参加的各场比赛中，罚球一次得分大约是多少吗？为什么？
[提示] 在球星的各场比赛中，罚球一次的得分大约为0×0.3＋1×0.7＝0.7(分)．因为在该球星参加各场比赛中平均罚球一次的得分只能用随机变量X的数学期望来描述他总体得分的平均水平．具体到每一场比赛罚球一次的平均得分应该是非常接近X的均值的一个分数．
随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中一等品126件，二等品50件，三等品20件，次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元，设1件产品的利润(单位：元)为X.
(1)求X的分布列；
(2)求1件产品的平均利润(即X的均值)；
(3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%，如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？
【导学号：95032181】
[思路探究] →
→→
[解] (1)X的所有可能取值有6,2,1，－2.
P(X＝6)＝＝0.63，
P(X＝2)＝＝0.25，P(X＝1)＝＝0.1，
P(X＝－2)＝＝0.02.
故X的分布列为：
X
6
2
1
－2
P
0.63
0.25
0.1
0.02
(2)E(X)＝6×0.63＋2×0.25＋1×0.1＋(－2)×0.02＝4.34.
(3)设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为
E(X)＝6×0.7＋2×(1－0.7－0.01－x)＋1×x＋(－2)×0.01
＝4.76－x(0≤x≤0.29)．
依题意，E(X)≥4.73，即4.76－x≥4.73，
解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%.
[规律方法]
1．实际问题中的均值问题
均值在实际生活中有着广泛的应用，如对体育比赛的成
绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益的预测等方面，都可以通过随机变量的均值来进行估计．
2．概率模型的三个解答步骤
(1)审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些．
(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值．
(3)对照实际意义，回答概率，均值等所表示的结论．
[跟踪训练]
3．在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？
[解] 设这次射击比赛战士甲得X1分，战士乙得X2分，则分布列分别如下：
X1
1
2
3
P
0.4
0.1
0.5
X2
1
2
3
P
0.1
0.6
0.3
根据均值公式得
E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1；
E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2；
因为E(X2)＞E(X1)，
故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以战士乙获胜的希望较大．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．若随机变量X～B(5,0.8)，则E(X)＝( )
A．0.8 B．4
C．5 D．3
B [E(X)＝np＝5×0.8＝4.故选B.]
2．设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，则E(X)的值为( )
【导学号：95032182】
A．2.5 B．3.5
C．0.25 D．2
A [E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝2.5.]
3．袋中装有6个红球，4个白球，从中任取1个球，记下颜色后再放回，连续摸取4次，设X是取得红球的次数， 则E(X)＝________.
[每一次摸得红球的概率为＝，由X～B，则E(X)＝4×＝.]
4．已知X～B，则E(2X＋3)＝________.
103 [E(X)＝100×＝50，E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝103.]
5．袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到1个黑球记0分，每取到1个白球记1分，每取到1个红球记2分，用X表示取得的分数．求：
(1)X的分布列；
(2)X的均值.
【导学号：95032183】
[解] (1)由题意知，X可能取值为0,1,2,3,4.
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝.
故X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
(2)E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.
2.3.2 离散型随机变量的方差
学习目标：1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题．(重点)3.掌握方差的性质以及两点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．离散型随机变量的方差、标准差
(1)定义：设离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度，而D(X)＝为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度．称D(X)为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的标准差．
(2)意义：随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度．方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小．
2．随机变量的方差与样本方差的关系
随机变量的方差是总体的方差，它是一个常数，样本的方差则是随机变量，是随样本的变化而变化的．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本的方差越来越接近于总体的方差．
3．服从两点分布与二项分布的随机变量的方差
(1)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)；
(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)．
4．离散型随机变量方差的线性运算性质
设a，b为常数，则D(aX＋b)＝a2D(X)．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的概率的平均值； ( )
(2)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的平均水平； ( )
(3)离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了ξ取值的波动水平． ( )
(4)离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定． ( )
[解析] (1)× 因为离散型随机变量ξ的期望E(ξ)反映了ξ取值的平均水平．
(2)× 因为离散型随机变量ξ的方差D(ξ)反映了随机变量偏离于期望的平均程度．
(3)√ 由方差的意义可知．
(4)× 离散型随机变量的方差越大，说明随机变量的稳定性越差，方差越小，稳定性越好．
[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×
2．若随机变量X服从两点分布，且在一次试验中事件A发生的概率P＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( )
【导学号：95032190】
A．0.25 0.5 B．0.5 0.75
C．0.5 0.25 D．1 0.75
C [E(X)＝0.5，D(X)＝0.5×(1－0.5)＝0.25.]
3．已知随机变量ξ，D(ξ)＝，则ξ的标准差为________．
[ξ的标准差＝＝.]
4．已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ
－1
0
1
P
则ξ的均值为________，方差为________.
【导学号：95032191】
－ [均值E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋x3p3＝(－1)×＋0×＋1×＝－；
方差D(ξ)＝(x1－E(ξ))2·p1＋(x2－E(ξ))2·p2＋(x3－E(ξ))2·p3＝.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
求随机变量的方差与标准差
已知X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
(1)求X2的分布列；
(2)计算X的方差；
(3)若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．
[解] (1)由分布列的性质，知＋＋a＝1，故a＝，从而X2的分布列为
X2
0
1
P
(2)法一：(直接法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－.
故X的方差D(X)＝×＋×＋×＝.
法二：(公式法)由(1)知a＝，所以X的均值E(X)＝(－1)×＋0×＋1×＝－，X2的均值E(X2)＝0×＋1×＝，所以X的方差D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝.
(3)因为Y＝4X＋3，所以E(Y)＝4E(X)＋3＝2，D(Y)＝42D(X)＝11.
[规律方法] 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不能出错！在随机变量X2的均值比较好计算的情况下，运用关系式D(X)＝E(X2)－[E(X)]2不失为一种比较实用的方法．另外注意方差性质的应用，如D(aX＋b)＝a2D(X)．
[跟踪训练]
1．已知η的分布列为：
η
0
10
20
50
60
P
(1)求η的方差及标准差；
(2)设Y＝2η－E(η)，求D(Y)．
[解] (1)∵E(η)＝0×＋10×＋20×＋50×＋60×＝16，
D(η)＝(0－16)2×＋(10－16)2×＋(20－16)2×＋(50－16)2×＋(60－16)2×＝384，
∴＝8.
(2)∵Y＝2η－E(η)，
∴D(Y)＝D(2η－E(η))
＝22D(η)＝4×384＝1 536.
两点分布与二项分布的方差
设X的分布列为P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)，则D(3X)＝( )
【导学号：95032192】
A．10 B．30
C．15 D．5
A [由P(X＝k)＝C(k＝0,1,2,3,4,5)可知随机变量服从二项分布X～B
所以D(X)＝5××＝，
D(3X)＝9D(X)＝10.]
母题探究：1.(变换条件、改变问法)本例题改为随机变量X服从二项分布B(n，p)，且E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96，求二项分布的参数n，p的值．
[解] 由E(3X＋2)＝9.2，D(3X＋2)＝12.96及X～B(n，p)知
即解得
所以二项分布的参数n＝6，p＝0.4.
2．(改变问法)本例题条件不变，求E(3X＋2)．
[解] 由例题可知X～B
所以E(X)＝5×＝.
故E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝7.
[规律方法] 求离散型随机变量的均值与方差的关注点
(1)写出离散型随机变量的分布列．
(2)正确应用均值与方差的公式进行计算．
(3)对于二项分布，关键是通过题设环境确定随机变量服从二项分布，然后直接应用公式计算．
均值、方差的实际应用
[探究问题]
1．A，B两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出次品的概率如下表：
A机床
次品数X1
0
1
2
3
P
0.7
0.2
0.06
0.04
B机床
次品数X2
0
1
2
3
P
0.8
0.06
0.04
0.10
试求E(X1)，E(X2)．
[提示] E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.
E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.
2．在探究1中，由E(X1)和E(X2)的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
[提示] 不能．因为E(X1)＝E(X2)．
3．在探究1中，试想利用什么指标可以比较A、B两台机床加工质量？
[提示] 利用样本的方差．方差越小，加工的质量越稳定．
甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数大于6环，且甲射中10,9,8,7环的概率分别为0.5，3a，a,0.1，乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.
(1)求ξ，η的分布列；
(2)求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术.
【导学号：95032193】
[思路探究] (1)由分布列的性质先求出a和乙射中7环的概率，再列出ξ，η的分布列．
(2)要比较甲、乙两射手的射击水平，需先比较两射手击中环数的均值，然后再看其方差值．
[解] (1)由题意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.
因为乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2.所以乙射中7环的概率为1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.
所以ξ，η的分布列分别为
ξ
10
9
8
7
P
0.5
0.3
0.1
0.1
η
10
9
8
7
P
0.3
0.3
0.2
0.2
(2)由(1)得：
E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；
E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；
D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；
D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.
由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)[规律方法] 利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤
1．比较均值．离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
2．在均值相等的情况下计算方差．方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定．
3．下结论．依据方差的几何意义做出结论．
[跟踪训练]
2．有甲、乙两名学生，经统计，他们在解答同一份数学试卷时，各自的成绩在80分、90分、100分的概率分布大致如下表所示：
甲：
分数X
80
90
100
概率P
0.2
0.6
0.2
乙：
分数Y
80
90
100
概率P
0.4
0.2
0.4
试分析两名学生的成绩水平．
[解] 因为E(X)＝80×0.2＋90×0.6＋100×0.2＝90，
D(X)＝(80－90)2×0.2＋(90－90)2×0.6＋(100－90)2×0.2＝40，
E(Y)＝80×0.4＋90×0.2＋100×0.4＝90，
D(Y)＝(80－90)2×0.4＋(90－90)2×0.2＋(100－90)2×0.4＝80，
即E(X)＝E(Y)，D(X)所以甲生与乙生的成绩均值一样，甲的方差较小，因此甲生的学习成绩较稳定．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设随机变量X～B，则D的值等于( )
A．1 B．2
C. D．4
C [随机变量X服从二项分布
所以D＝D(X)＝×8××＝]
2．已知X的分布列为
X
－1
0
1
P
0.5
0.3
0.2
则D(X)等于( )
【导学号：95032194】
A．0.7 B．0.61
C．－0.3 D．0
B [E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，
D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.]
3．已知随机变量X，D(10X)＝，则X的方差为________．
[D(10X)＝100D(X)＝，
∴D(X)＝.]
4．有两台自动包装机甲与乙，包装质量分别为随机变量X1，X2，已知E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，则自动包装机________的质量较好．
乙 [因为E(X1)＝E(X2)，D(X1)>D(X2)，故乙包装机的质量稳定．]
5．为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝4，D(X)＝，求n，p的值.
【导学号：95032195】
[解] 由题意知，X服从二项分布B(n，p)，
由E(X)＝np＝4，D(X)＝np(1－p)＝，
得1－p＝，
∴p＝，n＝6.
2.4 正态分布
学习目标：1.利用实际问题的直方图，了解正态曲线的特征和正态曲线所表示的意义．(重点)2.能借助正态曲线的图象理解正态曲线的性质及意义．(重点)3.会根据正态曲线的性质求随机变量在某一区间的概率．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．正态曲线
若φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
2．正态分布
如果对于任何实数a，b(a正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作N(μ，σ2)．如果随机变量X服从正态分布，则记为X～N(μ，σ2)．
3．正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
(3)曲线在x＝μ处达到峰值；
(4)曲线与x轴之间的面积为1；
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．3σ原则
(1)若X～N(μ，σ2)，则对于任何实数a>0，P(μ－a(2)正态分布在三个特殊区间内取值的概率：
P(μ－σP(μ－2σP(μ－3σ(3)通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取(μ－3σ，μ＋3σ)之间的值，并简称之为3σ原则．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)正态变量函数表达式中参数μ，σ的意义分别是样本的均值与方差．
( )
(2)服从正态分布的随机变量是连续型随机变量． ( )
(3)正态曲线是一条钟形曲线． ( )
[解析] (1)× 因为正态分布变量函数表达式中参数μ是随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计，而σ是衡量随机变量总体波动大小的特征数，用样本的标准差去估计．
(2)√ 因为离散型随机变量最多取可列出的不同值．而连续型随机变量可能取某个区间上的任何值．
(3)√ 由正态分布曲线的形状可知该说法正确．
[答案] (1)× (2)√ (3)√
2．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，则P(X<2)＝( )
【导学号：95032202】
A. B.
C. D.
D [由题意知X的均值为2，因此P(X<2)＝.]
3．正态曲线关于y轴对称，则它所对应的正态总体均值为( )
A．1 B．－1
C．0 D．不确定
C [由正态曲线性质知均值为0.]
4．正态分布的概率密度函数P(x)＝e在(3,7]内取值的概率为________.
【导学号：95032203】
0.682 7 [由题意可知X～N(5,4)，且μ＝5，σ＝2，
所以P(3[合 作 探 究·攻 重 难]
正态曲线及其性质
某次我市高三教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布)，则由如图2-4-1曲线可得下列说法中正确的一项是( )
图2-4-1
A．甲科总体的标准差最小
B．丙科总体的平均数最小
C．乙科总体的标准差及平均数都居中
D．甲、乙、丙的总体的平均数不相同
A [由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越扁平；σ越小，正态曲线越尖陡，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙．故选A.]
[规律方法] 利用正态曲线的性质可以求参数μ，σ
(1)正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此性质结合图象求μ.
(2)正态曲线在x＝μ处达到峰值，由此性质结合图象可求σ.
(3)由σ的大小区分曲线的胖瘦．
[跟踪训练]
1．若一个正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为，求该正态分布的概率密度函数的解析式．
[解] 由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，
所以正态曲线关于y轴对称，即μ＝0，而正态分布的概率密度函数的最大值是，所以＝，
解得σ＝4.
故函数的解析式为φμ，σ(x)＝·e，
x∈(－∞，＋∞)．
正态分布下的概率计算
(1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<2)＝( )
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
(2)在某项测量中，测量结果服从正态分布N(1,4)，求正态总体X在(－1,1)内取值的概率.
【导学号：95032204】
[思路探究] (1)根据正态曲线的性质对称性进行求解；(2)题可先求出X在(－1,3)内取值的概率，然后由正态曲线关于x＝1对称知，X在(－1,1)内取值的概率就等于在(－1,3)内取值的概率的一半．
(1)C [∵随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，
∴μ＝2，对称轴是x＝2.∵P(ξ<4)＝0.8，
∴P(ξ≥4)＝P(ξ<0)＝0.2，
∴P(0<ξ<4)＝0.6，∴P(0<ξ<2)＝0.3.故选C.]
(2)[解] 由题意得μ＝1，σ＝2，
所以P(－1＜X≤3)＝P(1－2＜X≤1＋2)＝0.682 7.
又因为正态曲线关于x＝1对称，
所以P(－1＜X＜1)＝P(1＜X＜3)＝P(－1＜X＜3)≈0.341 4.
[规律方法] 正态变量在某个区间内取值概率的求解策略
1．充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.
2．注意概率值的求解转化：
(1)P(X＜a)＝1－P(X≥a)；
(2)P(X＜μ－a)＝P(X≥μ＋a)；
(3)若b＜μ，则P(X＜b)＝.
3．熟记P(μ－σ＜X≤μ＋σ)，P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)的值．
[跟踪训练]
2．设随机变量X～N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X(1)求c的值；(2)求P(－4[解] (1)由X～N(2,9)可知，密度函数关于直线x＝2对称(如图所示)，
又P(X>c＋1)＝P(X所以c＝2.
(2)P(－4正态分布的实际应用
[探究问题]
1．若某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，那么该圆柱形零件外直径的均值，标准差分别是什么？
[提示] 零件外直径的均值为μ＝4，标准差σ＝0.5.
2．某工厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，若零件的外直径在(3.5,4.5]内的为一等品．试问1 000件这种的零件中约有多少件一等品？
[提示] P(3.5<ε≤4.5)＝P(μ－σ<ε≤μ＋σ)＝0.682 7，所以1 000件产品中大约有1 000×0.682 7≈683(件)一等品．
3．某厂生产的圆柱形零件的外直径ε～N(4，0.25)．质检人员从该厂生产的1 000件这种零件中随机抽查一件，测得它的外直径为5.7 cm.试问该厂生产的这批零件是否合格？
[提示] 由于圆柱形零件的外直径ε～N(4,0.25)，
由正态分布的特征可知，正态分布N(4,0.25)在区间(4－3×0.5,4＋3×0.5)，
即(2.5,5.5)之外取值的概率只有0.003，而5.7∈(2.5,5.5)．
这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，根据统计中假设检验的基本思想，认为该厂这批零件是不合格的．
设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格(即90分以上)的人数和130分以上的人数.
【导学号：95032205】
[思路探究] 将P(X≥90)转化为P(X－μ≥－σ)，然后利用对称性及概率和为1，得到2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，进而求出P(X≥90)的值，同理可解得P(X≥130)的值．
[解] μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)，
∵P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝2P(X－μ≤－σ)＋0.682 7＝1，
∴P(X－μ≤－σ)≈0.158 7，
∴P(X≥90)＝1－P(X－μ≤－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3.
∴54×0.841 3≈45(人)，即及格人数约为45人．
∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)，
∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ≥σ)
＝0.682 7＋2P(X－μ≥σ)＝1，
∴P(X－μ≥σ)≈0.158 7，即P(X≥130)＝0.158 7.
∴54×0.158 7≈9(人)，即130分以上的人数约为9人．
母题探究：(改变条件)如果把题设条件“这个班的学生共54人”换成“现已知该班同学中不及格的人数有9人”，求相应结论．
[解] ∵X～N(110,202)，
∴μ＝110，σ＝20，
∴P(110－20＜X≤110＋20)＝0.6827，
∴X＜90的概率为
×(1－0.6827)＝0.158 7.
设该班学生共有x人，
则0.158 7 x＝9，
即x≈57(人)
∴P(X≥90)＝1－0.158 7＝0.8413，
∴这个班这次数学考试中及格的人数为0.841 3×57≈48(人)，
又P(X＜90)＝P(X＞130)，
∴130分以上的人数有9人．
[规律方法]
1．本题利用转化的思想方法，把普通的区间转化为3σ区间，由特殊区间的概率值求出．
2．解答正态分布的实际应用题，其关键是如何转化，同时应熟练掌握正态分布在(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]三个区间内的概率．在此过程中用到归纳思想和数形结合思想．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．设随机变量X的正态密度函数为f(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)，则参数μ，σ的值分别是( )
A．μ＝3，σ＝2 B．μ＝－3，σ＝2
C．μ＝3，σ＝ D．μ＝－3，σ＝
D [由正态密度函数表达式知μ＝－3，σ＝.]
2．设随机变量X～N(3,1)，若P(X>4)＝p，则P(2 【导学号：95032206】
A．＋p B．1－p
C．1－2p D．－p
C [由X～N(3,1)得μ＝3，所以P(33．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，P(X≤4)＝0.84，则P(X≤0)＝( )
A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84
A [由X～N(2，σ2)，可知其正态曲线如图所示，对称轴为x＝2，则P(X≤0)＝P(X≥4)＝1－P(X<4)＝1－0.84＝0.16.]
4．设X～N，则P(－1＜x＜1)＝________.
0.954 5 [∵X～N，∴μ＝0，σ＝，
∴P(－1＜X＜1)＝P(0－2σ＜X＜0＋2σ)＝0.954 5]
5．随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，如果P(ξ≤1)＝0.841 3，求P(－1<ξ≤0).
【导学号：95032207】
[解] 如图所示，因为P(ξ≤1)＝0.8413，所以P(ξ>1)＝1－0.841 3＝0.158 7，所以P(ξ≤－1)＝0.158 7，所以P(－1<ξ≤0)＝0.5－0.158 7＝0.341 3.
第二课 随机变量及其分布
[核心速填]
(建议用时5分钟)
1．离散型随机变量
如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列出，则称X为离散型随机变量．
2．条件概率的性质
(1)非负性：0≤P(B|A)≤1.
(2)可加性：如果是两个互斥事件，
则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)．
3．相互独立事件的性质
(1)推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)．
(2)对于互斥事件A与B有下面的关系：P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
4．二项分布满足的条件
(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的．
(2)各次试验中的事件是相互独立的．
(3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．
(4)随机变量是这n次独立重复试验中某事件发生的次数．
5．超几何分布与二项分布的概率计算
(1)超几何分布：P(X＝k)＝(其中k为非负整数)．
(2)二项分布：P(X＝k)＝Cpk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．
6．期望与方差及性质
(1)E(X)＝X1·P1＋X2·P2＋…＋XnPn.
(2)D(X)＝(X1－E(X))2·P1＋(X2－E(X))2·P2＋…＋(xn－E(X))2·Pn.
(3)若η＝aξ＋b(a，b是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，E(η)＝E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b.
(4)D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．
(5)D(ξ)＝E(ξ2)－(E(ξ))2.
7．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)P(μ－σ＜X≤μ＋σ)≈68.27%.
(2)P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)≈95.45%.
(3)P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)≈99.73%.
[体系构建]
[题型探究]
条件概率
条件概率是学习相互独立事件的前提和基础，计算条件概率时，必须搞清欲求的条件概率是在什么条件下发生的概率．
求条件概率的主要方法有：
(1)利用条件概率公式P(B|A)＝；
(2)针对古典概型，可通过缩减基本事件总数求解．
在5道题中有3道理科题和2道文科题．如果不放回地依次抽取2道题，求：
(1)第1次抽到理科题的概率；
(2)第1次和第2次都抽到理科题的概率；
(3)在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率.
【导学号：95032213】
[解] 设“第1次抽到理科题”为事件A，“第2次抽到理科题”为事件B，则“第1次和第2次都抽到理科题”为事件AB.
(1)从5道题中不放回地依次抽取2道题的事件数为
n(Ω)＝A＝20.
根据分步乘法计数原理，n(A)＝A×A＝12.
于是P(A)＝＝＝.
(2)因为n(AB)＝A＝6，
所以P(AB)＝＝＝.
(3)法一(定义法)：由(1)(2)可得，在第1次抽到理科题的条件下，第2次抽到理科题的概率
P(B|A)＝＝＝.
法二(直接法)：因为n(AB)＝6，n(A)＝12，
所以P(B|A)＝＝＝.
[规律方法] 条件概率的两个求解策略
(1)定义法：计算P(A)，P(B)，P(AB)，利用P(A|B)＝求解．
(2)缩小样本空间法(直接法)：利用P(B|A)＝求解．其中(2)常用于古典概型的概率计算问题．
[跟踪训练]
1．抛掷5枚硬币，在已知至少出现了2枚正面朝上的情况下，问：正面朝上数恰好是3枚的条件概率是多少？
[解] 法一(直接法)：记至少出现2枚正面朝上为事件A，恰好出现3枚正面朝上为事件B，所求概率为P(B|A)，事件A包含的基本事件的个数为n(A)＝C＋C＋C＋C＝26，
事件B包含的基本事件的个数为n(B)＝C＝10，P(B|A)＝＝＝＝.
法二(定义法)：事件A，B同上，则
P(A)＝＝，
P(AB)＝P(B)＝＝，
所以P(B|A)＝＝＝.
相互独立事件的概率与二项分布
求相互独立事件一般与互斥事件、对立事件结合在一起进行考查，解答此类问题时应分清事件间的内部联系，在此基础上用基本事件之间的交、并、补运算表示出有关事件，并运用相应公式求解．
特别注意以下两公式的使用前提：
(1)若A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，反之不成立．
(2)若A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)，反之成立．
一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．
(1)依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率．
(2)有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率．
(3)有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望.
【导学号：95032214】
[解] 设事件A为“第1次取出的是白球，第3次取到黑球”，B为“第2次取到白球”，C为“第3次取到白球”，
(1)P(A)＝＝.
(2)因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响，
所以P()＝＝.
(3)设事件D为“取一次球，取到白球”，则P(D)＝，P()＝，这3次取出球互不影响，
则ξ～B，
所以P(ξ＝k)＝C(k＝0,1,2,3)．E(ξ)＝3×＝.
提醒：有放回地依次取出3个球，相当于独立重复事件，即ξ～B，则可根据独立重复事件的定义求解．
[规律方法] 求相互独立事件同时发生的概率需注意的三个问题
(1)“P(AB)＝P(A)P(B)”是判断事件是否相互独立的充要条件，也是解答相互独立事件概率问题的唯一工具．
(2)涉及“至多”“至少”“恰有”等字眼的概率问题，务必分清事件间的相互关系．
(3)公式“P(A＋B)＝1－P()”常应用于求相互独立事件至少有一个发生的概率．
[跟踪训练]
2．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A，B，C进行围棋比赛，甲对A、乙对B、丙对C各一盘．已知甲胜A、乙胜B、丙胜C的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．
(1)求红队至少两名队员获胜的概率；
(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求P(ξ≤1)．
[解] (1)设“甲胜A”为事件D，“乙胜B”为事件E，“丙胜C”为事件F，则，，分别表示甲不胜A、乙不胜B、丙不胜C的事件．因为P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由对立事件的概率公式，知P()＝0.4，P()＝0.5，P()＝0.5.
红队至少两人获胜的事件有DE，DF，EF，DEF.
由于以上四个事件两两互斥且各盘比赛的结果相互独立，因此红队至少两人获胜的概率为P＝P(DE)＋P(DF)＋P(EF)＋P(DEF)＝
0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.
(2)由题意，知ξ的可能取值为0,1,2,3.
P(ξ＝0)＝P()＝0.4×0.5×0.5＝0.1，
P(ξ＝1)＝P(F)＋P(E)＋P(D)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，
所以P(ξ≤1)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝0.45.
离散型随机变量的分布列、均值和方差
1.含义：均值和方差分别反映了随机变量取值的平均水平及其稳定性．
2．应用范围：均值和方差在实际优化问题中应用非常广泛，如同等资本下比较收益的高低、相同条件下比较质量的优劣、性能的好坏等．
3．求解思路：应用时，先要将实际问题数学化，然后求出随机变量的概率分布列．对于一般类型的随机变量，应先求其分布列，再代入公式计算，此时解题的关键是概率的计算．计算概率时要结合事件的特点，灵活地结合排列组合、古典概型、独立重复试验概率、互斥事件和相互独立事件的概率等知识求解．若离散型随机变量服从特殊分布(如两点分布、二项分布等)，则可直接代入公式计算其数学期望与方差．
一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均匀，且各面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字)
(1)设随机变量η表示一次掷得的点数和，求η的分布列．
(2)若连续投掷10次，设随机变量ξ表示一次掷得的点数和大于5的次数，求E(ξ)，D(ξ)．
[解] (1)由已知，随机变量η的取值为：2,3,4,5,6.设掷一次正方体骰子所得点数为η0，则η0的分布列为：
P(η0＝1)＝，P(η0＝2)＝，
P(η0＝3)＝，
所以η的分布列为：
P(η＝2)＝×＝，
P(η＝3)＝2××＝，
P(η＝4)＝2××＋×＝，
P(η＝5)＝2××＝.
P(η＝6)＝×＝.
(2)由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6，设其发生的概率为p，由(1)知，p＝，
因为随机变量ξ～B，
所以E(ξ)＝np＝10×＝，
D(ξ)＝np(1－p)＝10××＝.
[规律方法] 求离散型随机变量的期望与方差的步骤
[跟踪训练]
3．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．
(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；
(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
[解] (1)由已知，有P(A)＝＝.
所以，事件A发生的概率为.
(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.
P(X＝k)＝(k＝1,2,3,4)．
所以，随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
正态分布的概率
对于正态分布问题，课标要求不是很高，只要求了解正态分布中最基础的知识，主要是：(1)掌握正态分布曲线函数关系式；(2)理解正态分布曲线的性质；(3)记住正态分布在三个区间内取值的概率，运用对称性结合图象求相应的概率．
正态分布下两类常见的概率计算
(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，曲线与x轴之间的面积为1.
(2)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ、σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个．
设X～N(10,1)．
(1)证明：P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)．
(2)设P(X≤2)＝a，求P(10＜X＜18).
【导学号：95032215】
[解] (1)证明：因为X～N(10,1)，所以，正态曲线φμ，σ(x)关于直线x＝10对称，而区间(1,2)和(18,19)关于直线x＝10对称，
所以φμ，σ(x)dx＝φμ，σ(x)dx
即P(1＜X＜2)＝P(18＜X＜19)．
(2)因为P(X≤2)＋P(2＜X≤10)＋P(10＜X＜18)＋P(X≥18)＝1，
P(X≤2)＝P(X≥18)＝a，
P(2＜X≤10)＝P(10＜X＜18)，
所以，2a＋2P(10＜X＜18)＝1，
即P(10＜X＜18)＝＝－a.
母题探究：(改变结论)在题设条件不变的情况下，求P(8＜X＜12)．
[解] 由X～N(10,1)可知，μ＝10，σ2＝1，
又P(8＜X＜12)＝P(10－2＜X＜10＋2)＝0.954 5.
[规律方法] 正态分布的概率求法
(1)注意“3σ”原则，记住正态总体在三个区间内取值的概率．
(2)注意数形结合．由于正态分布密度曲线具有完美的对称性，体现了数形结合的重要思想，因此运用对称性结合图象解决某一区间内的概率问题成为热点问题．
[跟踪训练]
4．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1 000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ，22)，且正态分布密度曲线如图2-2所示．若体重大于58.5 kg小于等于62.5 kg属于正常情况，则这1 000名男生中属于正常情况的人数是( )
图2-2
A．997 B．954 C．819 D．683
D [由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P(58.5
