第1课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理
学习目标：1.通过实例，能归纳总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理．(重点)2.正确地理解“完成一件事情”的含义，能根据具体问题的特征，选择“分类”或“分步”．(易混点)3.能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．分类加法计数原理
思考：若完成一件事情有几类不同的方案，在第1类方案中有m1种不同方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，…，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少种不同方法？
[提示] 共有m1＋m2＋…＋mn种不同方法．
2．分步乘法计数原理
思考：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，则完成这件事共有多少种不同的方法？
[提示] 共有m1×m2×…×mn种不同的方法．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”错误的打“×”)
(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同． ( )
(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事． ( )
(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的． ( )
(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事． ( )
[解析] (1)× 在分类加法计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．
(2)√ 在分类加法计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．
(3)√ 在分步乘法计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．
(4)× 因为在分步乘法计数原理中，要完成这件事需分两步，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×
2．从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有( )
【导学号：95032000】
A．3种 B．4种
C．7种 D．12种
C [由分类加法计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．]
3．已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为( )
A．10个 B．6个
C．8个 D．9个
D [因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．]
4．某商场共有4个门，购物者若从任意一个门进，从任意一个门出，则不同走法的种数是________.
【导学号：95032001】
16 [不同的走法可以看作是两步完成的，第一步是进门共有4种；第二步是出门，共有4种．由分步乘法计数原理知共有4×4＝16(种)．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
利用分类加法计数原理解题
在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数有多少个？
【导学号：95032002】
[思路探究] 根据情况安排个位、十位上的数字．
先确定分类标准，再求出每一类的个数，最后得结论．
[解] 法一：分析个位数，可分以下几类：
个位是9，则十位可以是1,2,3，…，8中的一个，故有8个；
个位是8，则十位可以是1,2,3，…，7中的一个，故有7个；
同理，个位是7的有6个；个位是6的有5个；……；个位是2的只有1个．
由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有
1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．
法二：按十位数上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别有8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个，由分类加法计数原理知，符合题意的两位数共有
8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．
法三：将个位比十位数字大的两位数一一写出：
12,13,14,15,16,17,18,19，
23,24,25,26,27,28,29，
34,35,36,37,38,39，
45,46,47,48,49，
56,57,58,59，
67,68,69，
78,79，
89.
共有36个符合题意的两位数．
[规律方法] 应用分类加法计数原理解题时要注意以下三点：
(1)明确题目中所指的“完成一件事”指的是什么事，怎样才算是完成这件事．
(2)完成这件事的n类办法中的各种方法是互不相同的，无论哪类办法中的哪种方法都可以单独完成这件事．
(3)确立恰当的分类标准，这个“标准”必须满足：①完成这件事情的任何一种方法必须属于其中的一类；②不同两类中的两种方法不能相同，即不重复，无遗漏．
[跟踪训练]
1．本例中条件不变，求个位数字小于十位数字且为偶数的两位数的个数．
[解] 当个位数字是8时，十位数字取9，只有1个．
当个位数字是6时，十位数字可取7,8,9，共3个．
当个位数字是4时，十位数字可取5,6,7,8,9，共5个．
同理可知，当个位数字是2时，共7个．
当个位数字是0时，共9个．
由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1＋3＋5＋7＋9＝25(个)．
利用分步乘法计数原理解题
已知a∈{1,2,3}，b∈{4,5,6,7}，r∈{8,9}，则方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示多少个不同的圆？
【导学号：95032003】
[思路探究] 确定一个圆的方程需要分别确定出圆心的横坐标、纵坐标、半径，可以用分步乘法计数原理解决．
[解] 完成表示不同的圆这件事，可以分为三步：
第一步：确定a有3种不同的选取方法；
第二步：确定b有4种不同的选取方法；
第三步：确定r有2种不同的选取方法；
由分步乘法计数原理，方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2可表示不同的圆共有3×4×2＝24(个)．
[规律方法]
1．应用分步乘法计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．
2．利用分步乘法计数原理解题的一般思路
(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；
(2)计数：求出每一步中的方法数；
(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．
[跟踪训练]
2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？
[解] 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．
第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式，有2种方式；
第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式，有3种方式．
由分步乘法计数原理得张涛共有2×3＝6种不同的理财方式．
两个原理的综合应用
[探究问题]
如何区分一个问题是“分类”还是“分步”？
[提示] 如果完成这件事，可以分几种情况，每种情况中任何一种方法都能完成任务，则是分类；而从其中一种情况中任取一种方法只能完成一部分任务，且只有依次完成各种情况，才能完成这件事，则是分步．
一个袋子里装有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里装有12张不同的中国联通手机卡．
(1)某人要从两个袋子中任取一张手机卡供自己使用，共有多少种不同的取法．
(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动卡和一张联通卡供自己今后使用，问一共有多少种不同的取法？
【导学号：95032004】
[思路探究]
[解] (1)从两个袋子中任取一张卡有两类情况：
第一类：从第一个袋子中取一张移动手机卡，共有10种取法；
第二类：从第二个袋子中取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分类加法计数原理，共有10＋12＝22种取法．
(2)想得到一张移动卡和一张联通卡可分两步进行：
第一步，从第一个袋子中任取一张移动手机卡，共有10种取法．
第二步，从第二个袋子中任取一张联通手机卡，共有12种取法．
根据分步乘法计数原理，共有10×12＝120种取法．
[规律方法] 对于两个计数原理的综合应用问题，一般是先分类再分步，分类时要设计好标准，设计好分类方案，防止重复和遗漏；分步时要注意步与步之间的连续性，同时应合理设计步骤的顺序，使各步互不干扰，也可以根据题意恰当合理地画出示意图或者列出表格，使问题的实质直观地显现出来，从而便于我们解题．
[跟踪训练]
3．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．
(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？
(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？
[解] (1)小明爸爸选凳子可以分两类：
第一类，选东面的空闲凳子，有8种坐法；
第二类，选西面的空闲凳子，有6种坐法．
根据分类加法计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14种坐法．
(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：
第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14个凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．
由分步乘法计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182种坐法．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有( )
A．1种 B．2种
C．3种 D．4种
C [分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．故选C.]
2．现有4件不同款式的上衣和3条不同颜色的长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同的配法种数为( )
【导学号：95032005】
A．7 B．12
C．64 D．81
B [先从4件上衣中任取一件共4种选法，再从3条长裤中任选一条共3种选法，由分步乘法计数原理，上衣与长裤配成一套共4×3＝12(种)不同配法．故选B.]
3．从A地到B地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发3次，火车发4次，轮船发2次，那么一天内乘坐这三种交通工具的不同走法数为( )
A．1＋1＋1＝3 B．3＋4＋2＝9
C．3×4×2＝24 D．以上都不对
B [分三类：第一类，乘汽车，从3次中选1次有3种走法；第二类，乘火车，从4次中选1次有4种走法；第三类，乘轮船，从2次中选1次有2种走法．所以，共有3＋4＋2＝9种不同的走法．]
4．十字路口来往的车辆，如果不允许回头，不同的行车路线有________条.
【导学号：95032006】
12 [经过一次十字路口可分两步：第一步确定入口，共有4种选法；第二步，确定出口，从剩余3个路口任选一个共3种，由分步乘法计数原理知不同的路线有4×3＝12条．]
5．现有5幅不同的国画，2幅不同的油画，7幅不同的水彩画．
(1)从这些国画、油画、水彩画中各选一幅布置房间，有几种不同的选法？
(2)从这些画中选出两幅不同种类的画布置房间，有几种不同的选法？
[解] (1)分为三步：国画、油画、水彩画各有5种、2种、7种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有5×2×7＝70种不同的选法．
(2)分为三类：
第一类是一幅选自国画，一幅选自油画，由分步乘法计数原理知，有5×2＝10种不同的选法．
第二类是一幅选自国画，一幅选自水彩画，有5×7＝35种不同的选法．
第三类是一幅选自油画，一幅选自水彩画，有2×7＝14种不同的选法．
所以有10＋35＋14＝59种不同的选法．
第2课时 分类加法计数原理与分步乘法计数原理的应用
学习目标：1.进一步理解和掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理．(重点)2.能根据具体问题的特征，选择两种计数原理解决一些实际问题．(重、难点)3.会根据实际问题的特征，合理地分类或分步．(难点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．分类加法计数原理与分步乘法计数原理的区别和联系
(1)联系：分类加法计数原理与分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题．
(2)区别：分类加法计数原理针对的是分类问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事．分步乘法计数原理针对的是分步问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成之后才算做完这件事．
2．应用两个计数原理解决计数问题的标准
(1)分类要做到不重不漏，分类后再分别对每一类进行计数，最后用分类加法计数原理求和，得到总数．
(2)分步要做到步骤完整，步与步之间要相互独立，根据分步乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘得到总数．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种． ( )
(2)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种． ( )
(3)有三只口袋装有小球，一只装有5个白色小球，一只装有6个黑色小球，一只装有7个红色小球，若每次从中取两个不同颜色的小球，共有36种不同的取法． ( )
[解析] (1)√ 根据分类加法计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种)．
(2)× 因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步乘法计数原理共有34种不同的夺冠情况．
(3)× 分为三类：一类是取白球、黑球，有5×6＝30种取法；一类是取白球、红球，有5×7＝35种取法；一类是取黑球、红球，有6×7＝42种取法．
所以由分类加法计数原理共有30＋35＋42＝107(种)不同的取法．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．从集合{1,2,3,4,5}中任取2个不同的数，作为方程Ax＋By＝0的系数A，B的值，则形成的不同直线有( )
A．18条 B．20条
C．25条 D．10条
A [第一步，取A的值，有5种取法；第二步，取B的值，有4种取法，其中当A＝1，B＝2时与A＝2，B＝4时是相同的方程；当A＝2，B＝1时与A＝4，B＝2时是相同的方程，故共有5×4－2＝18条．]
3．由1,2,3,4组成没有重复数字的三位数的个数为________.
【导学号：95032014】
24 [由题意知可以组成没有重复数字的三位数的个数为4×3×2＝24.]
4．一个科技小组中有4名女同学，5名男同学，从中任选一名同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种；若从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛，共有不同的选派方法________种．
9 20 [由分类加法计数原理得从中任选一名同学参加学科竞赛共5＋4＝9种选派方法，由分步乘法计数原理得从中任选一名女同学和一名男同学参加学科竞赛共5×4＝20种选派方法．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
抽取与分配问题
在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，另2名既会下象棋又会下围棋．现在从这7人中选2人分别同时参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？
【导学号：95032015】
[思路探究] 本题应先分类，再分步．
→→→
[解] 法一：分四类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)；
第2类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有选法3×2＝6(种)；
第3类，从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有选法2×2＝4(种)；
第4类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中各选1名分别参加象棋比赛和围棋比赛，有选法2×1＝2(种)．
故不同的选法共有6＋6＋4＋2＝18(种)．
法二：分两类：第1类，从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，这时7人中还有4人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法3×4＝12(种)．
第2类，从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选一名参加象棋比赛，这时7人中还有3人会下围棋，从中选1名参加围棋比赛．有选法2×3＝6(种)．故不同的选法共有12＋6＝18(种)．
[规律方法] 求解抽取(分配)问题的方法
1．当涉及对象数目不大时，一般选用枚举法、树状图法、框图法或者图表法．
2．当涉及对象数目很大时，一般有两种方法：
①直接法：直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理．
②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可．
[跟踪训练]
1．3个不同的小球放入5个不同的盒子，每个盒子至多放一个小球，共有多少种方法？
[解] 法一：(以小球为研究对象)分三步来完成：
第一步：放第一个小球有5种选择；
第二步：放第二个小球有4种选择；
第三步：放第三个小球有3种选择．
根据分步乘法计数原理得：
共有方法数N＝5×4×3＝60.
法二：(以盒子为研究对象)盒子标上序号1,2,3,4,5，分成以下10类：
第一类：空盒子标号为(1,2)：选法有3×2×1＝6(种)；
第二类：空盒子标号为(1,3)：选法有3×2×1＝6(种)；
第三类：空盒子标号为(1,4)：选法有3×2×1＝6(种)；
分类还有以下几种情况：空盒子标号分别为(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10类，每一类都有6种方法．
根据分类加法计数原理得，共有方法数N＝6＋6＋…＋6＝60(种)．
组数问题
用0,1,2,3,4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：(1)四位密码？(2)四位数？(3)四位奇数？
【导学号：95032016】
[思路探究] (1)利用分步乘法计数原理；(2)数字“0”不能排在首位，先排首位，再用分步乘法计数原理；(3)注意到个位只能是“1或3”，首位不能是“0”，然后利用分步乘法计数原理计算．
[解] (1)完成“组成无重复数字的四位密码”这件事，可以分为四步：
第一步，选取左边第一个位置上的数字，有5种选取方法；第二步，选取左边第二个位置上的数字，有4种选取方法；第三步，选取左边第三个位置上的数字，有3种选取方法；第四步，选取左边第四个位置上的数字，有2种选取方法．
由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位密码共有N＝5×4×3×2＝120个．
(2)直接法：完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四步：
第一步，从1,2,3,4中选取一个数字作千位数字，有4种不同的选取方法；第二步，从1,2,3,4中剩余的三个数字和0共四个数字中选取一个数字作百位数字，有4种不同的选取方法；第三步，从剩余的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种不同的选取方法；第四步，从剩余的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种不同的选取方法．
由分步乘法计数原理，可以组成不同的四位数共有N＝4×4×3×2＝96个．
间接法：将5个数字不重复排在4个位置上有5×4×3×2＝120种排法，其中不合要求的有4×3×2＝24种排法．所以排成无重复数字的四位数为120－24＝96个．
(3)完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步，定个位，只能从1,3中任取一个有2种方法；第二步，定首位，把1,2,3,4中除去用过的一个还有3个可任取一个有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的还有3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法．
由分步乘法计数原理共有2×3×3×2＝36个．
[规律方法]
1．对于组数问题，一般按特殊位置(一般是末位和首位)由谁占领分类，分类中再按特殊位置(或者特殊元素)优先的方法分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解．
2．解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘．排数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则．
[跟踪训练]
2．8张卡片上写着0,1,2，…，7共8个数字，取其中的三张卡片排放在一起．
(1)可组成多少个不同的三位数？
(2)可组成多少个不同的三位偶数？
[解] (1)先排放百位，从1,2，…，7共7个数中选一个有7种选法；再排十位，从除去百位的数外，剩余的7个数(包括0)中选一个，有7种取法；最后排个位，从除前两步选出的数外，剩余的6个数中选一个，有6种选法．由分步乘法计数原理．共可以组成7×7×6＝294(个)不同的三位数．
(2)首先分两类，第一类是0排个位，由分步乘法计数原理得1×7×6＝42个．
第二类是2,4,6排个位，由分步乘法计数原理得3×6×6＝108个，所以由分类加法计数原理为42＋108＝150个．
涂色与种植问题
[探究问题]
1．用3种不同颜色填涂图1-1-1中A，B，C，D四个区域，且使相邻区域不同色，若按从左到右依次涂色，有多少种不同的涂色方案？
A
B
C
D
图1-1-1
[提示] 涂A区有3种涂法，B，C，D区域各有2种不同的涂法，由分步乘法计数原理将A，B，C，D四个区域涂色共有3×2×2×2＝24(种)不同方案．
2．在探究1中，若恰好用3种不同颜色涂A，B，C，D四个区域，那么哪些区域必同色？把四个区域涂色，共有多少种不同的涂色方案？
[提示] 恰用3种不同颜色涂四个区域，则A，C区域，或A，D区域，或B，D区域必同色．由分类加法计数原理可得恰用3种不同颜色涂四个区域共3×2×1＋3×2×1＋3×2×1＝18(种)不同的方案．
3．在探究1中，若恰好用2种不同颜色涂完四个区域，则哪些区域必同色？共有多少种不同的涂色方案？
[提示] 若恰好用2种不同颜色涂四个区域，则A，C区域必同色，且B、D区域必同色．先从3种不同颜色中任取两种颜色，共3种不同的取法，然后用所取的2种颜色涂四个区域共2种不同的涂法．由分步乘法计数原理可得恰好用2种不同颜色涂四个区域共有3×2＝6(种)不同的涂色方案．
将红、黄、绿、黑四种不同的颜色涂在如图1-1-2所示的图中，要求相邻的两个区域的颜色都不相同，则有多少种不同的涂色方法？
【导学号：95032017】
图1-1-2
[思路探究] 给图中区域标上记号A，B，C，D，E，则A区域有4种不同的涂色方法，B区域有3种，C区域有2种，D区域有2种，但E区域的涂色取决于B与D涂的颜色，如果B与D颜色相同有2种，如果不相同，那么只有1种．因此应先分类后分步．
[解] 法一：给图中区域标上记号A，B，C，D，E，如图所示．
①当B与D同色时，有4×3×2×1×2＝48种．
②当B与D不同色时，有4×3×2×1×1＝24种．
故共有48＋24＝72种不同的涂色方法．
法二：按涂色时所用颜色种数多少分类：
第一类，用4种颜色．此时B，D区域或A，E区域同色，则共有2×4×3×2×1＝48种不同涂法．
第二类，用3种颜色．此时B，D同色，A，E同色，先从4种颜色中取3种，再涂色，共4×3×2×1＝24种不同涂法．
由分类加法计数原理共48＋24＝72种不同涂法．
母题探究：1.如图1-1-3所示，一环形花坛分成A，B，C，D四块，现有4种不同的花供选种，要求在每块里种1种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为( )
图1-1-3
A．96 B．84
C．60 D．48
B [法一：分为两类
第一类：当花坛A、C中花相同时有4×3×1×3＝36种．
第二类：当花坛A、C中花不同时有4×3×2×2＝48种．
共有36＋48＝84种，故选B.
法二：分为四步
第一步：考虑A，有4种；
第二步：考虑B，有3种；
第三步：考虑C，有两类，一是A与C同，C的选法有1种，这样第四步D的选法有3种．二是A与C不同，C的选法是2种，此时第四步D的选法也是2种．
共有4×3×(1×3＋2×2)＝84(种)．]
[规律方法] 求解涂色(种植)问题一般是直接利用两个计数原理求解，常用方法有：
(1)按区域的不同以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；
(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”问题，用分类加法计数原理分析；
(3)对于涂色问题将空间问题平面化，转化为平面区域涂色问题．
[跟踪训练]
3.将3种作物种植在如图1-1-4所示的5块试验田里，每块种植一种作物且相邻的试验田不能种植同一种作物，不同的种植方法共有多少种？
图1-1-4
[解] 从左往右5块试验田分别有3,2,2,2,2种种植方法，共有3×2×2×2×2＝48种方法，其中5块试验田只种植2种作物共有3×2×1×1×1＝6种方法，所以有48－6＝42种不同的种植方法．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．定义集合A与B的运算AB如下：AB＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，若A＝{a，b，c}，B＝{a，c，d，e}，则集合A?B的元素个数为( )
A．34 B．43 C．12 D．16
C [确定AB中元素(x，y)，可分为两步，第一步，确定x，共有3种方法；第二步，确定y，有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有3×4＝12种不同的方法．]
2．某同学逛书店，发现三本喜欢的书，决定至少买其中的一本，则购买方案有( )
【导学号：95032018】
A．3种 B．6种 C．7种 D．9种
C [买一本，有3种方案；买两本，有3种方案；买三本，有1种方案．因此共有购买方案3＋3＋1＝7(种)．]
3．3名学生报名参加篮球、足球、排球、计算机课外兴趣小组，每人选报一门，则不同的报名方案有________种．
64 [每名同学都有4种不同的报名方案，共有4×4×4＝64种不同的方法．]
4．现有4种不同的颜色要对如图1-1-5所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有________种．
图1-1-5
48 [按A→B→C→D顺序分四步涂色，共4×3×2×2＝48种不同的着色方法．]
5．从0、1、2、3、4、5这些数字中选出4个，问能形成多少个无重复数字且能被5整除的四位数？
【导学号：95032019】
[解] 满足条件的四位数可分为两类．
第一类是0在末位的，需确定前三位数，分三步完成，第一步确定首位有5种方法．第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．
∴第一类共有5×4×3＝60个．
第二类是5在末位，前三位数也分三步完成．第一步确定首位有4种方法，第二步确定百位有4种方法，第三步确定十位有3种方法．
第二类共有4×4×3＝48个．
∴满足条件的四位数共有60＋48＝108个．
第1课时 排列与排列数公式
学习目标：1.理解排列的概念，能正确写出一些简单问题的所有排列．(重点)2.理解排列数公式，能利用排列数公式进行计算和证明．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．
2．相同排列的两个条件
(1)元素相同．
(2)顺序相同．
思考：如何理解排列的定义？
[提示] 可从两个方面理解：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素相同，②元素的排列顺序也相同．
3．排列数与排列数公式
排列数定
义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A表示
全排列的概念
n个不同元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
把n·(n－1)·…·2·1记作n！，读作：n的阶乘
排列数公式
A＝n(n－1)…(n－m＋1)
阶乘式A＝(n，m∈N*，m≤n)
特殊情况
A＝n！，1！＝1,0！＝1
思考：排列与排列数有何区别？
[提示] “一个排列”是指：从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A只表示排列数，而不表示具体的排列．
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个排列的元素相同，则这两个排列是相同的排列． ( )
(2)从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法属于排列问题． ( )
(3)有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案属于排列问题． ( )
(4)从3,5,7,9中任取两个数进行指数运算，可以得到多少个幂属于排列问题． ( )
(5)从1,2,3,4中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个点属于排列问题． ( )
[解析] (1)× 因为相同的两个排列不仅元素相同，而且元素的排列顺序也相同．
(2)√ 因为三名学生参赛的科目不同为不同的选法，每种选法与“顺序”有关，属于排列问题．
(3)× 因为分组之后，各组与顺序无关，故不属于排列问题．
(4)√ 因为任取的两个数进行指数运算，底数不同、指数不同结果不同．结果与顺序有关，故属于排列问题．
(5)√ 因为纵、横坐标不同，表示不同的点，故属于排列问题．
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√
2．甲、乙、丙三名同学排成一排，不同的排列方法有( )
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
C [由排列定义得，共有A＝6种排列方法．]
3．90×91×92×…×100可以表示为( )
A．A B．A
C．A D．A
B [由排列数公式得原式为A，故选B.]
4．A＝________，A＝________.
【导学号：95032026】
12 6 [A＝4×3＝12；A＝3×2×1＝6.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
排列的概念
判断下列问题是否为排列问题．
(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；
(2)选2个小组分别去植树和种菜；
(3)选2个小组去种菜；
(4)选10人组成一个学习小组；
(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；
[思路探究] 判断是否为排列问题关键是选出的元素在被安排时，是否与顺序有关．若与顺序有关，就是排列问题，否则就不是排列问题．
[解] (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．
(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．
(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．
所以在上述各题中(2)(5)属于排列问题．
[规律方法]
1．解决本题的关键有两点：一是“取出元素不重复”，二是“与顺序有关”．
2．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．
[跟踪训练]
1．判断下列问题是否是排列问题
(1)同宿舍4人，每两人互通一封信，问他们一共写了多少封信？
(2)同宿舍4人，每两人通一次电话，问他们一共通了几次电话？
[解] (1)是一个排列问题，相当于从4个人中任取两个人，并且按顺序排好．有多少个排列就有多少封信，共有A＝12封信．
(2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话．
排列的简单应用
写出下列问题的所有排列．
(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？
(2)写出A，B，C，D四名同学站成一排照相，A不站在两端的所有可能站法.
【导学号：95032027】
[解] (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．
(2)如图所示的树形图：
故所有可能的站法是BACD，BADC，BCAD，BDAC，CABD，CADB，CBAD，CDAB，DABC，DACB，DBAC，DCAB，共12种．
[规律方法] 在排列个数不多的情况下，树形图是一种比较有效的表示方式．在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，在每一类中再按余下的元素在前面元素不变的情况下确定第二个元素，再按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能不重不漏，然后按树形图写出排列．
[跟踪训练]
2．(1)A，B，C三名同学照相留念，成“一”字形排队，所有排列的方法种数为( )
A．3种 B．4种
C．6种 D．12种
(2)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有________种机票．
(1)C (2)12 [(1)所有的排法有：A—B—C，A—C—B，B—A—C，B—C—A，C—A—B，C—B—A，共6种．
(2)列出每一个起点和终点情况，如图所示．
故符合题意的机票种类有：
北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京、广州→天津、广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种．]
排列数公式的推导与应用
[探究问题]
1．两个同学从写有数字1,2,3,4的卡片中选取卡片进行组数字游戏．从这4个数字中选出2个或3个分别能构成多少个无重复数字的两位数或三位数？
[提示] 从这4个数字中选出2个能构成A＝4×3＝12个无重复数字的两位数；若选出3个能构成A＝4×3×2＝24个无重复数字的三位数．
2．由探究1知A＝4×3＝12，A＝4×3×2＝24，你能否得出A的意义和A的值？
[提示] A的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n个元素a1，a2，…，
an中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A.由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n－1)种填法，所以A＝n(n－1)．
3．你能写出A的值吗？有什么特征？若m＝n呢？
[提示] A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N*，m≤n)．
(1)公式特征：第一个因数是n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n－m＋1，共有m个因数；
(2)全排列：当m＝n时，即n个不同元素全部取出的一个排列．
全排列数：A＝n(n－1)(n－2)·…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．
另外，我们规定0！＝1.
所以A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝＝.
(1)计算：；(2)求证：A－A＝mA.
【导学号：95032028】
[思路探究]：(1)合理选用排列数的两个公式进行展开．
(2)提取公因式后合并化简．
[解] (1)
＝
＝＝1.
(2)证明：∵A－A＝－
＝
＝·＝m·＝mA.
∴A－A＝mA.
[规律方法] 排列数的计算方法
1．排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
2．应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
[跟踪训练]
3．求3A＝4A中的x.
[解] 原方程3A＝4A可化为＝，
即＝，
化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.
由题意知解得x≤8.
所以原方程的解为x＝6.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知下列问题：
①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；
②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；
③从a，b，c，d四个字母中取出2个字母；
④从1,2,3,4四个数字中取出2个数字组成一个两位数．
其中是排列问题的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
B [①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．]
2．4×5×6×…×(n－1)×n等于( )
【导学号：95032029】
A．A B．A
C．(n－4)! D．A
D [4×5×6×…×(n－1)×n中共有n－4＋1＝n－3个因式，最大数为n，最小数为4，
故4×5×6×…×(n－1)×n＝A.]
3．5本不同的课外读物分给5位同学，每人一本，则不同的分配方法有________种．
120 [利用排列的概念可知不同的分配方法有A＝120种．]
4．A－6A＋5A＝________.
120 [原式＝A－A＋A＝A＝5×4×3×2×1＝120.]
5．计算：；
[解] 法一：＝＝＝.
法二：＝＝＝＝.
第2课时 排列的综合应用
学习目标：1.进一步理解排列的概念，掌握一些排列问题的常用解决方法．(重点)2.能应用排列知识解决简单的实际问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．排列数公式
A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)
＝(n，m∈N*，m≤n)
A＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！(叫做n的阶乘)
另外，我们规定0！＝1.
2．排列应用题的最基本的解法
(1)直接法：以元素为考察对象，先满足特殊元素的要求，再考虑一般元素(又称元素分析法)；或以位置为考察对象，先满足特殊位置的要求，再考虑一般位置(又称位置分析法)．
(2)间接法：先不考虑附加条件，计算出总排列数，再减去不合要求的排列数．
3．解简单的排列应用题的基本思想
[基础自测]
1．从n个人中选出2个，分别从事两项不同的工作，若选派的种数为72，则n的值为( )
A．6 B．8
C．9 D．12
C [由A＝72，得n(n－1)＝72，解得n＝9(舍去n＝－8)．]
2．用数字1,2,3,4,5组成的无重复数字的四位偶数的个数为________.
【导学号：95032035】
48 [从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法；再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A种排法．由分步乘法计数原理知，这样的四位偶数共有2×A＝48个．]
3．A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________种．
24 [把A，B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于4人的全排列，共A＝24种．]
4．从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三种不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有________种．
186 [可选用间接法解决：先求出从7人中选出3人的方法数，再求出从4名男生中选出3人的方法数，两者相减即得结果．A－A＝186(种)．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
无限制条件的排列问题
(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
(2)有5种不同的书(每种不少于3本)，要买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？
【导学号：95032036】
[思路探究] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，各人得到的书不同，属于求排列数问题；(2)给每人的书均可以从5种不同的书中任选1本，各人得到哪本书相互之间没有联系，要用分步乘法计数原理进行计算．
[解] (1)从5本不同的书中选出3本分别送给3名同学，对应于从5个不同元素中任取3个元素的一个排列，因此不同送法的种数是A＝5×4×3＝60，所以共有60种不同的送法．
(2)由于有5种不同的书，送给每个同学的每本书都有5种不同的选购方法，因此送给3名同学，每人各1本书的不同方法种数是5×5×5＝125，所以共有125种不同的送法．
[规律方法]
1．没有限制的排列问题，即对所排列的元素或所排列的位置没有特别的限制，这一类问题相对简单，分清元素和位置即可．
2．对于不属于排列的计数问题，注意利用计数原理求解．
[跟踪训练]
1．将3张电影票分给10人中的3人，每人1张，共有________种不同的分法．
720 [问题相当于从10个人中选出3个人，然后进行全排列，这是一个排列问题．故不同分法的种数为A＝10×9×8＝720.]
排队问题
有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数．
(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置．
(2)全体排成一行，其中甲不在最左边，乙不在最右边．
(3)全体排成一行，其中男生必须排在一起．
(4)全体排成一行，男、女各不相邻．
(5)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变．
(6)排成前后二排，前排3人，后排4人.
【导学号：95032037】
[思路探究] 分析题意，确定限制条件→先排特殊位置或特殊元素→再排其它元素
[解] (1)元素分析法：甲为特殊元素，故先安排甲，左、右、中共三个位置可供甲选择．有A种，其余6人全排列，有A种．由分步乘法计数原理得AA＝2 160种．
(2)位置分析法：先排最左边，除去甲外，有A种，余下的6个位置全排列有A种，但应剔除乙在最右边的排法数AA种．则符合条件的排法共有AA－AA＝3 720种．
(3)捆绑法：将男生看成一个整体，进行全排列有A种排法，把这个整体看成一个元素再与其他4人进行全排列有A种排法，共有AA＝720种．
(4)插空法：先排好男生，然后将女生插入排男生时产生的四个空位，共有AA＝144种．
(5)定序排列用除法：第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N，第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此有A＝N×A，∴N＝＝840种．
(6)分排问题直接法：由已知，7人排在7个位置，与无任何限制的排列相同，有A＝5 040种．
注意：解(6)时易出现AA的错误，其主要原因是排列的概念理解不深刻．
[规律方法]
1．排队问题中的限制条件主要是某人在或不在某位置，可采用位置分析法或元素分析法进行排列．对相邻、相间、定序、分排等常见问题的解法应记住．
2．元素相邻和不相邻问题的解题策略
限制条件
解题策略
元素相邻
通常采用“捆绑”法，即把相邻元素看做一个整体参与其他元素排列
元素
不相邻
通常采用“插空”法，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素排列的空当中
[跟踪训练]
2．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问下列情形各有多少种不同的排法？
(1)甲不在中间，乙必在两端；
(2)甲不在左端，乙不在右端；
(3)男、女生分别排在一起；
(4)男女相间；
(5)男生不全相邻．
[解] (1)优先安排特殊元素．乙的站法有2种，甲的站法有7种，其余随便站，共有：
2×7×A＝70 560种
(2)按甲在不在右端分类讨论．
甲站右端的有：A种；甲不在右端的有：7×7×A种；
共有：A＋7×7×A＝A×(8＋49)＝287 280种．
(3)(捆绑法)A·A·A＝5 760种．
(4)(插空法)先排4名男生有A种方法，再将5名女生插空，有A种方法，故共有A·A＝2 880种排法．
(5)(排除法)9人全排列再减去4名男生全部相邻的情况，有A－A·A＝345 600种．
数字排列问题
[探究问题]
1．偶数的个位数字有何特征？从1,2,3,4,5中任取两个不同数字能组成多少个不同的偶数？
[提示] 偶数的个位数字一定能被2整除．先从2,4中任取一个数字排在个位，共2种不同的排列，再从剩余数字中任取一个数字排在十位，共4种排法，故从1,2,3,4,5中任取两个数字，能组成2×4＝8(种)不同的偶数．
2．在一个三位数中，身居百位的数字x能是0吗？如果在0～9这十个数字中任取不同的三个数字组成一个三位数，如何排才能使百位数字不为0?
[提示] 在一个三位数中，百位数字不能为0，在具体排数时，从元素0的角度出发，可先将0排在十位或个位的一个位置，其余数字可排百位、个位(或十位)位置；从“位置”角度出发可先从1～9这9个数字中任取一个数字排百位，然后再从剩余9个数字中任取两个数字排十位与个位位置．
用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复数字的
(1)六位奇数？
(2)个位数字不是5的六位数？
(3)不大于4310的四位偶数.
【导学号：95032038】
[思路探究] 这是一道有限制条件的排列问题，每一问均应优先考虑限制条件，遵循特殊元素或特殊位置优先安排的原则．另外，还可以用间接法求解．
[解] (1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有A种填法，第二步再填十万位，有A种填法，第三步填其他位，有A种填法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
法二：从特殊元素入手(直接法)
0不在两端有A种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有A种排法，其他各位上用剩下的元素做全排列有A种排法，故共有AAA＝288(个)六位奇数．
法三：排除法
6个数字的全排列有A个，0,2,4在个位上的六位数为3A个，1,3,5在个位上，0在十万位上的六位数有3A个，故满足条件的六位奇数共有A－3A－3A＝288(个)．
(2)法一：排除法
0在十万位的六位数或5在个位的六位数都有A个，0在十万位且5在个位的六位数有A个．
故符合题意的六位数共有A－2A＋A＝504(个)．
法二：直接法
十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同．因此需分两类：
第一类：当个位排0时，符合条件的六位数有A个．
第二类：当个位不排0时，符合条件的六位数有AAA个．
故共有符合题意的六位数A＋AAA＝504(个)．
(3)用直接法
①当千位上排1,3时，有A·A·A个．
②当千位上排2时，有A·A个．
③当千位上排4时，形如40××，42××的各有A个；形如41××的有A·A个，形如43××的只有4 310和4 302这两个数．
故共有A·A·A＋A·A＋2A＋A·A＋2＝110(个)．
母题探究：1.本例条件不变，能组成多少个能被5整除的五位数？
[解] 个位上的数字必须是0或5.若个位上是0，则有A个；若个位上是5，若不含0，则有A个；若含0，但0不作首位，则0的位置有A种排法，其余各位有A种排法，故共有A＋A＋AA＝216(个)能被5整除的五位数．
2．本例条件不变，若所有的六位数按从小到大的顺序组成一个数列{an}，则240 135是第几项？
[解] 由于是六位数，首位数字不能为0，首位数字为1有A个数，首位数字为2，万位上为0,1,3中的一个有3A个数，所以240 135的项数是A＋3A＋1＝193，即240 135是数列的第193项．
[规律方法] 解排数字问题常见的解题方法
1．“两优先排法”：特殊元素优先排列，特殊位置优先填充．如“0”不排“首位”．
2．“分类讨论法”：按照某一标准将排列分成几类，然后按照分类加法计数原理进行，要注意以下两点：一是分类标准必须恰当；二是分类过程要做到不重不漏．
3．“排除法”：全排列数减去不符合条件的排列数．
4．“位置分析法”：按位置逐步讨论，把要求数字的每个数位排好．
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为( )
A．36 B．120
C．720 D．240
C [由于6人排两排，没有什么特殊要求的元素，故排法种数为A＝720.]
2．6位选手依次演讲，其中选手甲不排在第一个也不排在最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．240种 B．360种
C．480种 D．720种
C [先排甲，有4种方法，剩余5人全排列，有A＝120种，所以不同的演讲次序有4×120＝480种．]
3．用1,2,3,4,5,6,7这7个数字排列组成一个七位数，要求在其偶数位上必须是偶数，奇数位上必须是奇数，则这样的七位数有________个．
144 [先排奇数位有A种，再排偶数位有A种，故共有AA＝144个．]
4．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．
24 [分3步进行分析，①先安排两位爸爸，必须一首一尾，有A＝2种排法，②两个小孩一定要排在一起，将其看成一个元素，考虑其顺序有A＝2种排法，③将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列，有A＝6种排法．
则共有2×2×6＝24种排法．]
5．从6名短跑运动员中选出4人参加4×100 m接力赛，甲不能跑第一棒和第四棒，问共有多少种参赛方案？
[解] 法一：从运动员(元素)的角度考虑，优先考虑甲，分以下两类：
第1类，甲不参赛，有A种参赛方案；
第2类，甲参赛，可优先将甲安排在第二棒或第三棒，有2种方法，然后安排其他3棒，有A种方法，此时有2A种参赛方案．
由分类加法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A＋2A＝240种．
法二：从位置(元素)的角度考虑，优先考虑第一棒和第四棒，则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人，有A种方法；其余两棒从剩余4人中选，有A种方法．
由分步乘法计数原理可知，甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有AA＝240种．
第1课时 组合与组合数公式
学习目标：1.理解组合与组合数的概念．(重点)2.会推导组合数公式，并会应用公式求值．(重点)3.理解组合数的两个性质，并会求值、化简和证明．(难点、易混点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
思考：怎样理解组合，它与排列有何区别？
[提示] (1)组合要求n个元素是不同的，被取的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出．
(2)取出的m个元素不讲究顺序，也就是说元素没有位置的要求，无序性是组合的特点．
(3)辨别一个问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关，若交换某一问题中某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，否则就是组合问题．
2．组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．
思考：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样，“组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
3．组合数公式及其性质
(1)公式：C＝＝.
(2)性质：C＝C_，C＋C＝C.
(3)规定：C＝1.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同． ( )
(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C. ( )
(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题． ( )
(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法． ( )
(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题． ( )
[解析] (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．
(2)√ 由组合数的定义可知正确．
(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．
(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．
(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题．
[答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×
2．若C＝28，则n＝( )
【导学号：95032046】
A．9 B．8
C．7 D．6
B [C＝＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________．
3 [甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C＝＝3.]
4．C＝________，C＝________.
【导学号：95032047】
15 18 [C＝＝15，C＝C＝18.]
[合 作 探 究·攻 重 难]
组合的概念
(1)判断下列问题是组合问题还是排列问题：
①设集合A＝{a，b，c，d，e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？
②某铁路线上有5个车站，则这条线上共需准备多少种车票？多少种票价？
③2018年元旦期间，某班10名同学互送贺年卡，表示新年的祝福，贺年卡共有多少张？
(2)已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合.
【导学号：95032048】
[思路点拨] 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．
[解] (1)①因为本问题与元素顺序无关，故是组合问题．
②因为甲站到乙站，与乙站到甲站车票是不同的，故是排列问题，但票价与顺序无关，甲站到乙站，与乙站到甲站是同一种票价，故是组合问题．
③甲写给乙贺卡，与乙写给甲贺卡是不同的，所以与顺序有关，是排列问题．
(2)可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
[规律方法]
1．区分一个问题是排列问题还是组合问题，关键是看它有无“顺序”，有顺序就是排列问题，而无顺序就是组合问题．而要判定它是否有顺序的方法是：先将元素取出来，看交换元素的顺序对结果有无影响，有影响就是“有序”，也就是排列问题；没有影响就是“无序”，也就是组合问题．
2．写组合时，一般先将元素按一定的顺序排好，然后按照顺序用图示的方法逐个地将各个组合表示出来，如本题的作法，这样做直观、明了、清楚，以防重复和遗漏．
[跟踪训练]
1．(1)判断下列问题是排列问题还是组合问题：
①把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
②从2,3,5,7,11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
③从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
(2)已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．
[解] (1)①是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
②是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．
③是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．
(2)可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
组合数公式的应用
(1)计算C－C·A；
(2)计算C＋C.
【导学号：95032049】
[思路探究] 解答此类问题要恰当选择组合数公式，并注意使用组合数公式的隐含条件．
[解] (1)原式＝－·(3×2×1)＝210－210＝0.
当n＝4时，原式＝C＋C＝5，
当n＝5时，原式＝C＋C＝16.
[规律方法]
1．在具体选择公式时，要根据原题的特点，一般地，公式C＝常用于n为具体数的数目，偏向于组合数的计算，公式C＝常用于n为字母的题目，偏向于解不等式或证明恒等式．
2．解题时，一定不要忘记组合数的意义．
[跟踪训练]
2．求值：C＋C.
[解] 由组合数的公式的性质，
解得n＝6.
所以，原式＝C＋C
＝C＋C
＝12＋19＝31.
组合数的性质应用
[探究问题]
1．试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？
[提示] 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C＝＝10(种)选法．
法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C＝＝10(种)不同选法．
经求解发现C＝C.推广到一般结论有C＝C.
2．从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？
[提示] 共有C＝＝210(种)选法．
3．在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2、3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？
[提示] 若队长必须参加，共C＝126(种)选法．若队长不能参加，共C＝84(种)选法．
由探究2、3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类加法计数原理可得：C＝C＋C.
一般地：C＝C＋C.
(1)计算：C＋C＋C＝________；
(2)若C>C，则n的取值集合是________.
【导学号：95032050】
[思路探究] 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．
(1)5 050 (2){6,7,8,9} [(1)C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝5 050.
(2)由C>C，得>，所以n2－9n－10<0，得－1[规律方法]
1．性质“C＝C”的意义及作用
2．连续使用“C＋C＝C”时，一定要掌握住该性质两边的上、下标字母的特征，并注意观察分析待化简的组合式的特征．
3．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由C中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．
[跟踪训练]
3．(1)化简：C－C＋C＝________；
(2)已知C－C＝C，求n的值．
(1)0 [原式＝(C＋C)－C＝C－C＝0.]
(2)[解] 根据题意，C－C＝C，
变形可得C＝C＋C，
由组合数的性质，可得
C＝C，故8＋7＝n＋1，
解得n＝14.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．下列问题：
①将图案不同的4张扑克牌分给两人，每人2张，有几种方法？
②将图案不同的4张扑克牌分给四人，每人1张，有几种分法？
③空间中的10个点，任意3个点都不共线，能构成多少个以这些点为顶点的三角形？
其中，包含组合问题的有( )
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
C [由组合的定义可知①③两个命题与顺序无关，是组合问题．]
2．下列计算结果为21的是( )
A．A＋C B．C
C．A D．C
D [C＝＝21.]
3．下列等式不正确的是( )
【导学号：95032051】
A．C＝ B．C＝C
C．C＝C D．C＝C
D [由组合数公式逐一验证知D不正确．]
4．6个朋友聚会，每两人握手1次，一共握手________次．
15 [每两人握手1次，无顺序之分，是组合问题，故一共握手C＝15次．]
5．已知C，C，C成等差数列，求C的值.
【导学号：95032052】
[解] 由已知得2C＝C＋C，
所以2·＝＋，
整理得n2－21n＋98＝0，
解得n＝7或n＝14，
要求C的值，故n≥12，所以n＝14，
于是C＝C＝＝91.
第2课时 组合的综合应用
学习目标：1.学会运用组合的概念，分析简单的实际问题．(重点)2.能解决无限制条件的组合问题．(难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．组合的有关概念
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
组合数用符号C表示，其公式为C＝＝.
(m，n∈N*，m≤n)，特别地C＝C＝1.
2．组合与排列的异同点
共同点：排列与组合都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素．
不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关．
3．应用组合知识解决实际问题的四个步骤
(1)判断：判断实际问题是否是组合问题．
(2)方法：选择利用直接法还是间接法解题．
(3)计算：利用组合数公式结合两个计数原理计算．
(4)结论：根据计算结果写出方案个数．
[基础自测]
1．以下四个命题，属于组合问题的是( )
A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列
B．老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌
C．在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星
D．从13位司机中任选出两位开两辆车往返甲、乙两地
C [从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题．]
2．若5名代表分4张同样的参观券，每人最多分一张，且全部分完，那么分法一共有( )
【导学号：95032059】
A．A种 B．45种
C．54种 D．C种
D [由于4张同样的参观券分给5名代表，每人最多分一张，从5名代表中选4人满足分配要求，故有C种．]
3．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有( )
A．C种 B．A种
C．AA种 D．CC种
D [每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有C种选法；第二步，选男工，有C种选法．故共有CC种不同的选法．]
4．设集合A＝{a1，a2，a3，a4，a5}，则集合A中含有3个元素的子集共有________个．
10 [从5个元素中取出3个元素组成一组就是集合A的子集，则共有C＝10个子集．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
无限制条件的组合问题
现有10名学生，男生6人，女生4人．
(1)要选2名男生去参加乒乓球赛，有多少种不同选法？
(2)要选男、女生各2人参赛，有多少种不同选法？
(3)要选2人去参赛，有多少种不同选法？
【导学号：95032060】
[思路探究] 首先要分清是组合还是排列问题，与顺序有关即为排列，与顺序无关即为组合，一定要理解清楚题意．
[解] (1)从6名男生中选2人的组合数是C＝15种．
(2)分两步完成，先从6名男生中选2人，再从4名女生中选2人，均为组合．C·C＝90种．
(3)从10名学生中选2名的组合数C＝45种．
[规律方法] 解简单的组合应用题时，要先判断它是不是组合问题，取出的元素只是组成一组，与顺序无关则是组合问题；取出的元素排成一列，与顺序有关则是排列问题．只有当该问题能构成组合模型时，才能运用组合数公式求出其种数．在解题时还应注意两个计数原理的运用，在分类和分步时，注意有无重复或遗漏．
[跟踪训练]
1．有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有( )
A．70个 B．80个 C．82个 D．84个
A [分两类分别求即可，共有CC＋CC＝30＋40＝70.]
2．若7名志愿者中安排6人在周六、周日两天参加社区公益活动．若每天安排3人，则不同的安排方案共有________种．(用数字作答)
【导学号：95032061】
140 [第一步，安排周六有C种方法，第二步，安排周日有C种方法，所以不同的安排方案共有CC＝140种．]
有限制条件的组合问题
高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动．
(1)其中某一女生必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一女生不能在内，不同的取法有多少种？
(3)恰有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2名女生在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2名女生在内，不同的取法有多少种？
[思路探究] 可从整体上分析，进行合理分类，弄清关键词“恰有”“至少”“至多”等字眼．使用两个计数原理解决．
[解] (1)从余下的34名学生中选取2名，
有C＝561(种)．
∴不同的取法有561种．
(2)从34名可选学生中选取3名，有C种．
或者C－C＝C＝5 984种．
∴不同的取法有5 984种．
(3)从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝2 100种．
∴不同的取法有2 100种．
(4)选取2名女生有CC种，选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555种．
∴不同的取法有2 555种．
(5)选取3名的总数有C，因此选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090种．
∴不同的取法有6 090种．
[规律方法] 常见的限制条件及解题方法
1．特殊元素：若要选取的元素中有特殊元素，则要以有无特殊元素，特殊元素的多少作为分类依据．
2．含有“至多”“至少”等限制语句：要分清限制语句中所包含的情况，可以此作为分类依据，或采用间接法求解．
3．分类讨论思想：解题的过程中要善于利用分类讨论思想，将复杂问题分类表达，逐类求解．
[跟踪训练]
3．某地区发生了特别重大铁路交通事故，某医院从10名医疗专家中抽调6名奔赴事故现场抢救伤员，其中这10名医疗专家中有4名是外科专家．问：
(1)抽调的6名专家中恰有2名是外科专家的抽调方法有多少种？
(2)至少有2名外科专家的抽调方法有多少种？
(3)至多有2名外科专家的抽调方法有多少种？
[解] (1)分步：首先从4名外科专家中任选2名，有C种选法，再从除外科专家的6人中选取4人，有C种选法，所以共有C·C＝90种抽调方法．
(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
法一：(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C·C种选法；
②选3名外科专家，共有C·C种选法；
③选4名外科专家，共有C·C种选法；
根据分类加法计数原理，共有
C·C＋C·C＋C·C＝185种抽调方法．
法二：(间接法)：不考虑是否有外科专家，共有C种选法，考虑选取1名外科专家参加，有C·C种选法；没有外科专家参加，有C种选法，所以共有：
C－C·C－C＝185种抽调方法．
(3)“至多2名”包括“没有”、“有1名”、“有2名”三种情况，分类解答．
①没有外科专家参加，有C种选法；
②有1名外科专家参加，有C·C种选法；
③有2名外科专家参加，有C·C种选法．
所以共有C＋C·C＋C·C＝115种抽调方法．
分组(分配)问题
6本不同的书，按下列要求各有多少种不同的选法：
(1)分给甲、乙、丙三人，每人两本；
(2)分为三份，每份两本；
(3)分为三份，一份一本，一份两本，一份三本；
(4)分给甲、乙、丙三人，一人一本，一人两本，一人三本；
(5)分给甲、乙、丙三人，每人至少一本.
【导学号：95032062】
[思路探究] (1)是平均分组问题，与顺序无关，相当于6本不同的书平均分给甲、乙、丙三人，可以理解为一个人一个人地来取，(2)是“均匀分组问题”，(3)是分组问题，分三步进行，(4)分组后再分配，(5)明确“至少一本”包括“2、2、2型”、“1、2、3型”、“1、1、4型”．
[解] (1)根据分步乘法计数原理得到：CCC＝90种．
(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有CCC种方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、丙三名同学有A种方法．根据分步乘法计数原理可得：CCC＝xA，所以x＝＝15.因此分为三份，每份两本一共有15种方法．
(3)这是“不均匀分组”问题，一共有CCC＝60种方法．
(4)在(3)的基础上再进行全排列，所以一共有CCCA＝360种方法．
(5)可以分为三类情况：①“2、2、2型”即(1)中的分配情况，有CCC＝90种方法；②“1、2、3型”即(4)中的分配情况，有CC5CA＝360种方法；③“1、1、4型”，有CA＝90种方法．所以一共有90＋360＋90＝540种方法．
[规律方法]
1．分清是分组问题还是分配问题，是解题的关键．
2．分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：
(1)完全均匀分组，每组的元素个数均相等．
(2)部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！.
(3)完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．
[跟踪训练]
4．将4名大学生分配到3个乡镇去当村官，每个乡镇至少一名，则不同的分配方案有________种(用数字作答)．
36 [分两步完成：第一步，将4名大学生按2,1,1分成三组，其分法有种；第二步，将分好的三组分配到3个乡镇，其分法有A种．所以满足条件的分配方案有·A＝36(种)．]
排列、组合的综合应用
[探究问题]
1．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相乘，有多少个不同的结果？完成的“这件事”指的是什么？
[提示] 共有C＝＝6(个)不同结果．
完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相乘．
2．从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素相除，有多少不同结果？这是排列问题，还是组合问题？完成的“这件事”指的是什么？
[提示] 共有A－2＝10(个)不同结果；这个问题属于排列问题；完成的“这件事”是指从集合{1,2,3,4}中任取两个不同元素并相除．
3．完成“从集合{0,1,2,3,4}中任取三个不同元素组成一个是偶数的三位数”这件事需先分类，还是先分步？有多少个不同的结果？
[提示] 由于0不能排在百位，而个位必须是偶数.0是否排在个位影响百位与十位的排法，所以完成这件事需按0是否在个位分类进行．第一类：0在个位，则百位与十位共A种排法；第二类：0不在个位且不在百位，则需先从2,4中任选一个排个位再从剩下非零数字中取一个排百位，最后从剩余数字中任取一个排十位，共CCC＝18(种)不同的结果，由分类加法计数原理，完成“这件事”共有A＋CCC＝30(种)不同的结果．
有5个男生和3个女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表，求分别符合下列条件的选法数：
(1)有女生但人数必须少于男生；
(2)某女生一定担任语文课代表；
(3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表；
(4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表.
【导学号：95032063】
[思路探究] (1)按选中女生的人数多少分类选取．(2)采用先选后排的方法．(3)先安排该男生，再选出其他人担任四科课代表．(4)先安排语文课代表的女生，再安排“某男生”课代表，最后选其他人担任余下三科的课代表．
[解] (1)先选后排，先选可以是2女3男，也可以是1女4男，共有CC＋CC种，后排有A种，
共(CC＋CC)·A＝5 400种．
(2)除去该女生后，先选后排，有C·A＝840种．
(3)先选后排，但先安排该男生，有C·C·A＝3 360种．
(4)先从除去该男生、该女生的6人中选3人有C种，再安排该男生有C种，其余3人全排有A种，共C·C·A＝360种．
[规律方法] 解决排列、组合综合问题要遵循两个原则
1．按事情发生的过程进行分步．
2．按元素的性质进行分类．解决时通常从以下三个途径考虑：
(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素；
(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．
[跟踪训练]
5．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )
A．360 B．520 C．600 D．720
C [分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有CCA＝2×10×24＝480种选法．
第二类，甲、乙都参加时，则有C(A－AA)＝10×(24－12)＝120种选法．
所以共有480＋120＝600种选法．]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为( )
A．120 B．84 C．52 D．48
C [间接法：C－C＝52种．]
2．编号为1,2,3,4,5,6,7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )
【导学号：95032064】
A．60种 B．20种
C．10种 D．8种
C [四盏熄灭的灯产生的5个空档中放入三盏亮灯，即C＝10.]
3．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有( )
A．4种 B．10种
C．18种 D．20种
B [分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友有C＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友有C＝4种方法，所以不同的赠送方法共有6＋4＝10种，故选B.]
4．在直角坐标平面xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有________个．
225 [在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225个．]
5．课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女各指定一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生；
(2)两队长当选；
(3)至少有一名队长当选；
(4)至多有两名女生当选.
【导学号：95032065】
[解] (1)一名女生，四名男生，故共有CC＝350种选法．
(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC＝165种选法．
(3)至少有一名队长当选含有两类：有一名队长当选和两名队长都当选．
故共有CC＋CC＝825种选法．
或采用间接法：C－C＝825种．
(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生，只有一名女生，没有女生．
故共有CC＋CC＋C＝966种选法．
1.3.1 二项式定理
学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．二项式定理
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．
2．二项展开式的通项公式
(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝Can－kbk.
思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？
[提示] 二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C，C，…，C，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．
思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？
[提示] 不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为Can－kbk，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为Cbn－kak.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)(a＋b)n展开式中共有n项． ( )
(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． ( )
(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． ( )
(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． ( )
[解析] (1)× 因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．
(2)× 因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．
(3)× 因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．
(4)√ 因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )
【导学号：95032072】
A．9 B．10
C．11 D．12
B [由二项式定理的公式特征可知n＝10.]
3．(y－2x)8展开式中的第6项的二项式系数为( )
A．C B．C(－2)5
C．C D．C(－2)6
C [由题意可知：Tk＋1＝Cy8－k(－2x)k＝C·(－2)kxky8－k
当k＝5时，二项式系数为C.]
4．化简：(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1＝________.
【导学号：95032073】
x4 [(x－1)4＋4(x－1)3＋6(x－1)2＋4(x－1)＋1
＝[(x－1)＋1]4＝x4]
[合 作 探 究·攻 重 难]
二项式定理的正用和逆用
(1)求的展开式．
(2)化简：C(x＋1)n－C(x＋1)n－1＋C(x＋1)n－2－…＋(－1)kC(x＋1)n－k＋…＋(－1)nC.
[思路探究] (1)解答本题先将看成a，－看成b，利用二项式定理展开，也可以先将化简后再展开．(2)可先把x＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．
[解] (1)法一：＝C()4－C()3·＋C()2·－C·＋C＝x2－2x＋－＋.
法二：＝＝(2x－1)4
＝(16x4－32x3＋24x2－8x＋1)
＝x2－2x＋－＋.
(2)原式＝C(x＋1)n＋C(x＋1)n－1(－1)＋C(x＋1)n－2(－1)2＋…＋C(x＋1)n－k(－1)k＋…＋C(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn.
[规律方法] 二项式定理的双向功能
(1)正用：将二项式(a＋b)n展开，得到一个多项式，即二项式定理从左到右使用是展开．对较复杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
(2)逆用：将展开式合并成二项式(a＋b)n的形式，即二项式定理从右到左使用是合并，对于化简、求和、证明等问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律．
[跟踪训练]
1．(1)求二项式的展开式；
(2)化简(x－2)5＋5(x－2)4＋10(x－2)3＋10(x－2)2＋5(x－2)．
[解] (1)
＝C(3)4＋C(3)3＋C(3)2＋C(3)＋C
＝81x2－108x＋54－＋.
(2)原式＝C(x－2)5＋C(x－2)4＋C(x－2)3＋C(x－2)2＋C(x－2)＋C(x－2)0－1
＝[(x－2)＋1]5－1＝(x－1)5－1.
二项展开式通项的应用
已知二项式
(1)求展开式第4项的二项式系数，
(2)求展开式第4项的系数，
(3)求第4项.
【导学号：95032074】
[思路探究] 利用二项式定理的展开式中某一项
[解] 由已知得的展开式的通项是
Tk＋1＝C(2)6－k＝C26－k(－1)k·x (k＝0,1,2，…，6)
(1)展开式第4项的二项式系数为C＝20.
(2)展开式第4项的系数为C·23·(－1)3＝－160.
(3)展开式的第4项为T4＝－160x.
[规律方法] (1)二项式系数都是组合数C(k∈{0,1,2，…，n})，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念．
(2)第k＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C.例如，在(1＋2x)7的展开式中，第四项是T4＝C17－3(2x)3，其二项式系数是C＝35，而第四项的系数是C23＝280.
[跟踪训练]
2．已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.
(1)求n的值；
(2)求展开式中含x3的项，并指出该项的二项式系数．
[解] (1)因为T3＝C()n－2＝4Cx，T2＝C()n－1＝－2Cx，依题意得4C＋2C＝162，所以2C＋C＝81，所以n2＝81，n＝9.
(2)设第k＋1项含x3项，则Tk＋1＝C()9－k＝(－2)kCx，所以＝3，k＝1，
所以第二项为含x3的项：
T2＝－2Cx3＝－18x3.
二项式系数为C＝9.
求展开式中的特定项
[探究问题]
1．如何求展开式中的常数项．
[提示] 利用二项展开式的通项Cx4－k·＝Cx4－2k求解，令4－2k＝0，则k＝2，所以展开式中的常数项为C＝＝6.
2．(a＋b)(c＋d)展开式中的每一项是如何得到的？
[提示] (a＋b)(c＋d)展开式中的各项都是由a＋b中的每一项分别乘以c＋d中的每一项而得到．
3．如何求(2x＋1)3展开式中含x的项？
[提示] (2x＋1)3展开式中含x的项是由x＋中的x与分别与(2x＋1)3展开式中常数项C＝1及x2项C22x2＝12x2分别相乘再把积相加得x·C＋·C(2x)2＝x＋12x＝13x.即(2x＋1)3展开式中含x的项为13x.
已知在的展开式中，第6项为常数项．
(1)求n；
(2)求含x2项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项.
【导学号：95032075】
[思路探究] →
→→→
→→
→
[解] 通项公式为：
Tr＋1＝Cx (－3)rx＝C(－3)rx.
(1)∵第6项为常数项，
∴r＝5时，有＝0，即n＝10.
(2)令＝2，得r＝(10－6)＝2，
∴所求的系数为C(－3)2＝405.
(3)由题意得，令＝k(k∈Z)，
则10－2r＝3k，即r＝5－k.
∵r∈Z，∴k应为偶数，
k＝2,0，－2，即r＝2,5,8，
所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C(－3)2x2，C(－3)5，C(－3)8x－2.
即405x2，－61 236,295 245x－2.
[规律方法]
1．求二项展开式的特定项的常见题型
(1)求第k项，Tk＝Can－k＋1bk－1；
(2)求含xk的项(或xpyq的项)；
(3)求常数项；
(4)求有理项．
2．求二项展开式的特定项的常用方法
(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；
(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；
(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．
[跟踪训练]
3．(1)在(1－x3)(1＋x)10的展开式中，x5的系数是________．
(2)若展开式的常数项为60，则常数a的值为________．
(1)207 (2)4 [(1)x5应是(1＋x)10中含x5项、含x2项分别与1，－x3相乘的结果，
∴其系数为C＋C(－1)＝207.
(2)的展开式的通项是Tk＋1＝Cx6－k·
(－)kx－2k＝Cx6－3k(－)k，令6－3k＝0，得k＝2，即当k＝2时，Tk＋1为常数项，即常数项是Ca，
根据已知得Ca＝60，解得a＝4.]
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．(x－)10展开式中x6项的二项式系数为( )
A．－C B．C
C．－4C D．4C
B [含x6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C.]
2．(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )
【导学号：95032076】
A．80 B．40
C．20 D．10
B [(1＋2x)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)r＝2rC·xr，
令r＝2，得22×C＝4×10＝40，故选B.]
3．在的展开式中，中间项是________．
－160x3 [由n＝6知中间一项是第4项，
因为T4＝C(2x2)3·＝C·(－1)3·23·x3，
所以T4＝－160x3.]
4．在的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．
84 － [Tk＋1＝C·(x2)9－k·＝·C·x18－3k，当k＝3时，T4＝·C·x9＝－x9，所以第4项的二项式系数为C＝84，项的系数为－.]
5．求的展开式的第三项的系数和常数项.
【导学号：95032077】
[解] T3＝C(x3)3＝C·x5，所以第三项的系数为C·＝.
通项Tk＋1＝C(x3)5－k＝·Cx15－5k，令15－5k＝0，得k＝3，所以常数项为T4＝C(x3)2·＝.
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
学习目标：1.了解杨辉三角各行数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质间的关系，培养学生的观察力和归纳推理能力．(重点)2.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单应用．(难点)3.理解和初步掌握赋值法及其应用．(重点)
[自 主 预 习·探 新 知]
1．杨辉三角的特点
(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
(1)对称性：在(a＋b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C，C＝C，…，C＝C.
(2)增减性与最大值：当k＜时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数C取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项式系数C与C相等，且同时取得最大值．
3．各二项式系数的和
(1)C＋C＋C＋…＋C＝2n；
(2)C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
[基础自测]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列． ( )
(2)二项展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C. ( )
(3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同． ( )
[解析] (1)√ 由杨辉三角可知每一斜行数字的差成一个等差数列，故正确．
(2)× 二项展开式的二项式系数的和应为C＋C＋C＋…＋C＝2n.
(3)× 二项式系数最大项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致．
[答案] (1)√ (2)× (3)×
2．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是( )
【导学号：95032084】
A．1 B．－1
C．215 D．315
B [令x＝1即得各项系数和，∴和为－1.]
3．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( )
A．第8项 B．第7项
C．第9项 D．第10项
C [由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]
4．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是( )
【导学号：95032085】
A．1,4,6,4,1
B．1，－4,6，－4,1
C．(－1)rC(r＝0,1,2,3)
D．(－1)rC(r＝0,1,2,3,4)
A [杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．]
[合 作 探 究·攻 重 难]
“杨辉三角”的应用
如图1-3-1，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．
图1-3-1
[思路探究] 由图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第17项是C，第18项是C，第19项是C.
[解] S19＝(C＋C)＋(C＋C)＋(C＋C)＋…＋(C＋C)＋C＝(C＋C＋C＋…＋C)＋(C＋C＋…＋C＋C)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C＝＋220＝274.
[规律方法] “杨辉三角”问题解决的一般方法
观察—分析；试验—猜想；结论—证明，要得到杨辉三角中蕴含的诸多规律，取决于我们的观察能力，观察能力有：横看、竖看、斜看、连续看、隔行看，从多角度观察．如表所示：
[跟踪训练]
1．将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
……
按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．
[前n－1行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即个，因此第n行第3个数是全体正整数中第个，即为.]
求展开式的系数和
设(1－2x)2 018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 018·x2 018(x∈R)．
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 018的值；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 017的值；
(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 018|的值.
【导学号：95032086】
[思路探究] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解．
[解] (1)令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2 018＝(－1)2 018＝1. ①
(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…－a2 017＋a2 018＝32 018. ②
①－②得
2(a1＋a3＋…＋a2 017)＝1－32 018，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2 017＝.
(3)∵Tr＋1＝C(－2x)r＝(－1)r·C ·(2x)r，
∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N)．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2 017|
＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2 017＋a2018＝32 018.
[规律方法]
1．解决二项式系数和问题思维流程．
2．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
3．一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
[跟踪训练]
2．已知(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，求：
(1)a0＋a1＋a2＋a3＋a4；
(2)(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2.
[解] (1)由(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4，
所以a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝1.
(2)在(2x－3)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4中，
令x＝1得(2－3)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4， ①
令x＝－1得(－2－3)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4. ②
所以(a0＋a2＋a4)2－(a1＋a3)2
＝(a0－a1＋a2－a3＋a4)(a0＋a1＋a2＋a3＋a4)
＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.
二项式系数性质的应用
[探究问题]
1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？
[提示] 对称性，因为C＝C，也可以从f(r)＝C的图象中得到．
2．计算，并说明你得到的结论．
[提示] ＝.
当k<时，>1，说明二项式系数逐渐增大；
同理，当k>时，二项式系数逐渐减小．
3．二项式系数何时取得最大值？
[提示] 当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C，C相等，且同时取得最大值．
已知f(x)＝(＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.
(1)求展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中系数最大的项.
【导学号：95032087】
[思路探究] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x，y的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．
[解] 令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.
∴(2n)2－2n－992＝0，
∴(2n＋31)(2n－32)＝0，
∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.
(1)由于n＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是
T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，
T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.
(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝C3r·x．
假设Tr＋1项系数最大，
则有
∴
∴
∴≤r≤，∵r∈N，∴r＝4.
∴展开式中系数最大的项为T5＝Cx(3x2)4＝405x.
[规律方法]
1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．
[跟踪训练]
3．(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．
[解] T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，
依题意有C25＝C·26?n＝8，
∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为
T5＝C·(2x)4＝1 120x4.
设第r＋1项系数最大，则有
∵r∈{0,1,2，…，8}，
∴r＝5或r＝6.
∴系数最大的项为T6＝1 792x5，T7＝1 792x6.
[当 堂 达 标·固 双 基]
1．已知(a＋b)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于( )
A．11 B．10
C．9 D．8
D [第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]
2．在(x＋y)n展开式中第4项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项是( )
【导学号：95032088】
A．第6项 B．第5项
C．第5、6项 D．第6、7项
A [因为C＝C，所以n＝10，系数最大的项即为二项式系数最大的项．]
3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．
5 [(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C＋C＋…＋C＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]
4．(2x－1)6展开式中各项系数的和为________；各项的二项式系数和为________.
【导学号：95032089】
1 64 [在二项式中，令x＝1，得各项系数和为1；各项的二项式系数之和为26＝64.]
5．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．
[解] (a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝
(－1)kCa5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2Ca3＝80，
解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.
第一课 计数原理
[核心速填]
(建议用时5分钟)
1．分类加法计数原理：完成一件事可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理：完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．排列数与组合数公式及性质
排列与排列数
组合与组合数
公式
排列数公式A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝
组合数公式C＝＝＝
性质
当m＝n时，A为全排列A＝n！；0！＝1
C＝C＝1；
C＝C；
C＋C＝C
备注
n，m∈N*且m≤m
4.二项式定理
(1)二项式定理的内容
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，k∈{0,1,2，…，n}，
(3)二项式系数C(k∈{0,1,2，…，n})的性质
①与首末两端等距离的两个二项式系数相等；
②若n为偶数，中间一项的二项式系数最大；若n为奇数，中间两项的二项式系数相等且最大．
③C＋C＋C＋…＋C＝2n；C＋C＋…＝C＋C＋…＝2n－1.
[体系构建]
通过前面的学习与核心知识的填写，请把本课的知识点以网络构建的形式展现出来．
[题型探究]
两个计数原理
分类加法计数原理和分步乘法计数原理是本部分内容的基础，对应用题的考查，经常要对问题进行分类或者分步进行分析求解．
(1)“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给事情．“分步”表现为必须把各步骤均完成，才能完成所给事情，所以准确理解两个原理的关键在于弄清分类加法计数原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，不论哪一类办法中的哪一种方法都能够独立完成事件．
(2)分步乘法计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法.
(1)方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，其中m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数是________．
(2)某电视台连续播放6个广告，其中有3个不同的商业广告、两个不同的宣传广告、一个公益广告，要求最后播放的不能是商业广告，且宣传广告与公益广告不能连续播放，两个宣传广告也不能连续播放，则有多少种不同的播放方式？
【导学号：95032096】
(1)20 [以m的值为标准分类，分五类：
第一类：m＝1时，使n＞m，n有6种选择；
第二类：m＝2时，使n＞m，n有5种选择；
第三类：n＝3时，使n＞m，n有4种选择；
第四类：n＝4时，使n＞m，n有3种选择；
第五类：n＝5时，使n＞m，n有2种选择；
所以共有6＋5＋4＋3＋2＝20种方法．]
(2)[解] 用1,2,3,4,5,6表示广告的播放顺序，则完成这件事有三类方法．
第一类：宣传广告与公益广告的播放顺序是2,4,6.分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第二类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,4,6，分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．
第三类：宣传广告与公益广告的播放顺序是1,3,6，同样分6步完成这件事，共有3×3×2×2×1×1＝36种不同的播放方式．由分类加法计数原理得：6个广告不同的播放方式有36＋36＋36＝108种．
[延伸探究] 若本例(1)中条件“y轴”改为“x轴”，试求满足条件的椭圆的个数．
[解] 因为方程表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0.
以m的取值进行分类．
当m＝1时，n值不存在；
当m＝2时，n可取1，只有1种选择；
当m＝3时，n可取1,2，有2种选择；
当m＝4时，n可取1,2,3，有3种选择；
当m＝5时，n可取1,2,3,4，有4种选择；
由分类加法计数原理可知，符合条件的椭圆共有10个．
[规律方法]
1．使用两个原理解决问题的思路
(1)选择使用两个原理解决问题时，要根据我们完成某件事情采取的方式而定，确定是分类还是分步，要抓住两个原理的本质．
(2)分类加法计数原理的关键是“类”，分类时，首先要根据问题的特点确定一个合适的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意，完成这件事的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同类的两种方法是不同的方法．
(3)分步乘法计数原理的关键是“步”，分步时首先要根据问题的特点确定一个分步的标准；其次，分步时还要注意满足完成一件事必须并且只有连续完成这n个步骤后，这件事才算完成，只有满足了上述条件，才能用分步乘法计数原理．
2．使用两个原理解决问题时应注意的问题
对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰．
[跟踪训练]
1．有六名同学报名参加三个智力竞赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法？(不一定六名同学都能参加)
(1)每人恰好参加一项，每项人数不限；
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项；
(3)每项限报一人，但每人参加的项目不限．
[解] (1)每人都可以从这三个比赛项目中选报一项，各有3种不同选法，由分步乘法计数原理，知共有选法36＝729(种)．
(2)每项限报一人，且每人至多参加一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种选法，第二个项目有5种选法，第三个项目只有4种选法，由分步乘法计数原理，得共有报名方法6×5×4＝120(种)．
(3)由于每人参加的项目不限，因此每一个项目都可以从这六人中选出一人参赛，由分步乘法计数原理，得共有不同的报名方法63＝216(种)．
排列、组合的应用
排列、组合应用题是高考的重点内容，常与实际问题结合命题，要认真审题，明确问题本质，利用排列、组合的知识解决．
(1)5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(用数字作答)
(2)在高三一班元旦晚会上，有6个演唱节目，4个舞蹈节目．
①当4个舞蹈节目要排在一起时，有多少种不同的节目安排顺序？
②当要求每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时，有多少种不同的节目安排顺序？
③若已定好节目单，后来情况有变，需加上诗朗诵和快板2个栏目，但不能改变原来节目的相对顺序，有多少种不同的节目演出顺序？
【导学号：95032097】
[思路探究] 按照“特殊元素先排法”分步进行，先特殊后一般．
[解] (1)①只有1名老队员的排法有CCA＝36种．②有2名老队员的排法有CCCA＝12种．所以共有36＋12＝48种．
(2)①第一步，先将4个舞蹈节目捆绑起来，看成1个节目，与6个演唱节目一起排，有A＝5 040种方法；第二步，再松绑，给4个节目排序，有A＝24种方法．
根据分步乘法计数原理，一共有5 040×24＝120 960种．
②第一步，将6个演唱节目排成一列(如下图中的“□”)，一共有A＝720种方法．
×□×□×□×□×□×□×
第二步，再将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置)，这样相当于7个“×”选4个来排，一共有A＝7×6×5×4＝840种．
根据分步乘法计数原理，一共有720×840＝604 800种．
③若所有节目没有顺序要求，全部排列，则有A种排法，但原来的节目已定好顺序，需要消除，所以节目演出的方式有＝A＝132种排法．
[规律方法]
1．处理排列组合应用题的一般步骤
(1)认真审题，弄清楚是排列(有序)还是组合(无序)，还是排列与组合混合问题．
(2)抓住问题的本质特征，准确合理地利用两个基本原理进行“分类与分步”．
2．处理排列组合应用题的规律
(1)两种思路：直接法，间接法．
(2)两种途径：元素分析法，位置分析法．
3．排列组合应用题的常见类型和解决方法
(1)特殊元素、特殊位置优先安排的策略．
(2)合理分类与准确分步的策略．
(3)正难则反，等价转化的策略．
(4)相邻问题捆绑法，不相邻问题插空法的策略．
(5)元素定序，先排后除的策略．
(6)排列、组合混合题先选后排策略．
(7)复杂问题构造模型策略．
[跟踪训练]
2．(1)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架飞机准备着舰．如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )
A．12种 B．18种
C．24种 D．48种
(2)3名教师与4名学生排成一横排照相，求①3名教师必须排在一起的不同排法有多少种？②3名教师必须在中间(在3,4,5位置上)的不同排法有多少种？③3名教师不能相邻的不同排法有多少种？
C [(1)法一：将甲、乙两机“捆绑”看作一个元素，与除去丙、丁两机外的另一架飞机进行全排列，再将丙、丁两机“插空”排入，共有A·A·A＝24种不同着舰方法．
法二：先对甲、乙两机“捆绑”在一起看作整体，该整体有两种着舰方法，此时相当于只有4架舰载机，这4架舰载机有A种着舰方法，其中有A·A种方法丙丁两机相邻着舰，利用分步乘法计数原理得2×＝24种．]
(2)①3名教师的排法有A，把3名教师作为一个整体与4个学生共5个元素的全排列共有A种，则共有AA＝720(种)．
②3名教师的排法有A，4个学生在4个位子上的全排列共有A种，则共有AA＝144(种)．
③先4个学生全排列，再在五个空位中任选3个排3名教师，共AA＝1 440(种)．
二项式定理的应用
通项公式Tr＋1＝Can－rbr(r＝0,1,2，…，n)集中体现了二项展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定项(如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等)及其系数等方面有着广泛的应用．
(1)已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中x8的系数小于120，则k＝________.
(2)已知二项式展开式中各项系数之和是各项二项式系数之和的16倍.
【导学号：95032098】
①求n；
②求展开式中二项式系数最大的项；
③求展开式中所有x的有理项．
(1)1 [(1＋kx2)6的展开式的通项为Tr＋1＝C(kx2)r＝Ckrx2r，令2r＝8得r＝4，∴x8的系数为C·k4＝15k4
∴15k4＜120.也即k4＜8，又k是正整数．故k只能取1.]
(2)[解] ①令x＝1得二项式展开式中各项系数之和为(5－1)n＝4n，各项二项式系数之和为2n，由题意得，4n＝16·2n，所以2n＝16，n＝4.
②通项Tr＋1＝C(5x)4－r＝(－1)rC54－rx.
展开式中二项式系数最大的项是第3项：
T3＝(－1)2C52x＝150x.
③由②得：4－r∈Z.(r＝0,1,2,3,4)，即r＝0,2,4，
所以展开式中所有x的有理项为
T1＝(－1)0C54x4＝625x4，
T3＝(－1)2C52x＝150x，
T5＝(－1)4C50x－2＝x－2.
[规律方法] 应用二项式定理解题要注意的问题
(1)通项公式表示的是第“r＋1”项，而不是第“r”项．
(2)展开式中第r＋1项的二项式系数C与第r＋1项的系数，在一般情况下是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出差错．
(3)它表示二项展开式中的任意项，只要n与r确定，该项也随之确定．对于一个具体的二项式，它的展开式中的项Tr＋1依赖于r.
[跟踪训练]
3．(1)若二项式的展开式中的系数是84，则实数a＝( )
A．2 B．
C．1 D．
(2)已知(1＋x＋x2)(n∈N*)的展开式中没有常数项，且2≤n≤8，则n＝________.
(1)C (2)5 [(1)二项式的展开式的通项公式为Tr＋1＝C(2x)7－r＝C27－rarx7－2r，令7－2r＝－3，得r＝5.故展开式中的系数是C22a5＝84，解得a＝1.
(2)展开式的通项是Tr＋1＝Cxn－r＝Cxn－4r，r＝0,1,2，…，n，
由于(1＋x＋x2)的展开式中没有常数项，所以Cxn－4r，xCxn－4r＝Cxn－4r＋1和x2Cxn－4r＝Cxn－4r＋2都不是常数，则n－4r≠0，n－4r＋1≠0，n－4r＋2≠0，又因为2≤n≤8，所以n≠2,3,4,6,7,8，故取n＝5.]
二项式定理中的“赋值”问题
(1)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
(2)设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值．
①a0.
②a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a100.
③a1＋a3＋a5＋…＋a99.
④(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.
⑤|a0|＋|a1|＋…＋|a100|.
【导学号：95032099】
[思路探究] 转化为利用二项展开式的通项公式求相应二项式的某些项的问题．
(1)5 [对已知条件式中令x＝2，
得a0＝(4＋1)×(－1)＝－5；
令x＝3得a0＋a1＋a2＋…＋a11＝(9＋1)×0＝0；
∴a1＋a2＋a3＋…＋a11＝5.]
(2)①令x＝0，则展开式为a0＝2100.
②令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100，(*)
所以a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.
③令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100.与②中(*)式联立相减得
a1＋a3＋…＋a99
＝.
④原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)][(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)·(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)
＝[(2－)(2＋)]100＝1100＝1.
⑤因为Tr＋1＝(－1)rC2100－r()rxr，
所以a2k－1＜0(k∈N＋)．
所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a100|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a100
＝(2＋)100.
[规律方法] 赋值法的应用规律
与二项式系数有关，包括求展开式中二项式系数最大的项、各项的二项式系数或系数的和、奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和以及各项系数的绝对值的和，主要方法是赋值法，通过观察展开式右边的结构特点和所求式子的关系，确定给字母所赋的值，有时赋值后得到的式子比所求式子多一项或少一项，此时要专门求出这一项，而在求奇数项或者偶数项的二项式系数或系数的和时，往往要两次赋值，再由方程组求出结果．
提醒：求各项系数的绝对值的和时，要先根据绝对值里面数的符号赋值求解．
[跟踪训练]
4．(1)已知(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若a1＋a2＋…＋an－1＝29－n，那么自然数n的值为( )
A．6 B．5
C．4 D．3
(2)若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
(1)C (2)364 [(1)令x＝1得2＋22＋23＋…＋2n＝a0＋a1＋a2＋…＋an即＝a0＋a1＋a2＋…＋an，
即2n＋1－2＝a0＋a1＋a2＋…＋an令x＝0得a0＝1＋1＋1＋…＋1＝n，
∵an＝1，∴a1＋a2＋…＋an－1＝2n＋1－n－3，
∴2n＋1－n－3＝29－n，
解得n＝4，故选C.
(2)令x＝0得，a0＝1.
∴当x＝1时，a0＋a1＋a2＋…＋a11＋a12＝36； ①
当x＝－1时，a0－a1＋a2＋…－a11＋a12＝1； ②
①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a12)＝730，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a12＝364.]
