2.1.1 简单形式的柯西不等式
1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a－b的取值范围是( )
A．[－2，2] B．[－2，2]
C．[－，] D．[－，]
解析：∵(a2＋b2)[12＋(－1)2]≥(a－b)2，
∴|a－b|≤＝2.∴a－b∈[－2，2]．
答案：A
2．函数y＝＋2的最大值是( )
A． B．
C．3 D．5
解析：根据柯西不等式，得y＝1·＋2·≤·＝.
答案：B
3．已知3x＋2y＝1，当x2＋y2取最小值时，x，y的值分别为( )
A．， B．，
C．， D．，
解析：x2＋y2＝(x2＋y2)(32＋2 2)≥(3x＋2y)2＝，当且仅当＝时取等号．
由得
答案：A
4．设x，y∈(0，＋∞)，x＋y＝2，则＋的最小值是________.
解析：因为(x＋y)≥(1＋1)2，所以＋≥2，当且仅当x＝y＝1时等号成立．
答案：2
5．若存在实数x，使不等式＋>a成立，求常数a的取值范围．
解：由柯西不等式，得
＋2＝·＋1·2≤
(3＋1)(x＋2＋14－x)＝64，
当且仅当·＝1·，即x＝10时取等号．
所以＋≤8.所以a≤8.
故常数a的取值范围是(－∞，8)．
2.2 排序不等式
1．某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、
5件及2件，若选择商店中单价为3元、2元和1元的礼品，则至少要花( )
A．6元 B．19元
C．25元 D．3元
解析：由排序不等式，可知至少要花1×5＋2×4＋3×2＝19(元)．
答案：B
2．已知a，b，c为正数，且m，n，p是a，b，c的一个排列，
P＝a2＋b2＋c2，Q＝ma＋nb＋pc，则P，Q的大小关系是( )
A．P>Q B．P≥Q
C．P
解析：不妨设a>b>c>0，由顺序和≥乱序和，得a2＋b2＋c2≥ma＋nb＋pc，即P≥Q.
答案：B
3．已知a1＝2，a2＝7，a3＝8，a4＝9，a5＝12，b1＝3，b2＝4，b3＝6，b4＝10，b5＝11，现将bi(i＝1, 2,3,4,5)重新排列，记为c1，c2，c3，c4，c5，则a1c1＋a2c2＋a3c3＋a4c4＋a5c5的最大值和最小值分别是( )
A．132,6 B．304,212
C．22,6 D．321,136
解析：因为a1≤a2≤a3≤a4≤a5，b1≤b2≤b3≤b4≤b5，
所以由顺序和≥乱序和≥逆序和，得
a1b1＋a2b2＋…＋a5b5≥a1c1＋a2c2＋…＋a5c5≥a1b5＋a2b4＋…＋a5b1.
又a1b1＋a2b2＋…＋a5b5＝2×3＋7×4＋…＋12×11＝304，
a1b5＋a2b4＋…＋a5b1＝2×11＋7×10＋…＋12×3＝212，
所以所求最大、最小值分别是304和212.
答案：B
4．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c1，c2，c3是4,5,6的一个排列，则c1＋2c2＋3c3的最大值是________，最小值是________.
解析：由排序不等式，知顺序和最大，逆序和最小．∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.
答案：32 28
5．设正实数a1，a2，…，an的任一排列为a1′，a2′，…，an′，求＋＋…＋的最小值．
解：取两组数a1，a2，…，an和，，…，，
则其逆序和为＋＋…＋＝n.
由乱序和≥逆序和，知＋＋…＋≥＋＋…＋＝n，
∴＋＋…＋的最小值为n.
2.3 数学归纳法与贝努利不等式
1．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0 应取( )
A．2 B．3
C．5 D．6
解析：当n取1,2,3,4时，2n>n2＋1不成立；当n＝5时，
25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1成立的n 值为5.
答案：C
2．若f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，则当n＝1时，f(n)为( )
A．1 B．1＋
C．1＋＋ D．1＋＋＋
解析：当n＝1时，2n＋1＝2×1＋1＝3，f(1)＝1＋＋.
答案：C
3．设f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，则f(n＋1)－f (n)＝_________.
解析：f(n＋1)＝＋＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋＝f(n)＋
＋－，
所以f(n＋1)－f(n)＝－.
答案：－
4．用数学归纳法证明：＋＋…＋＝(n∈N＋)．
证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝，所以等式成立．
(2)假设当n＝k时等式成立，即
＋＋…＋＝，
则当n＝k＋1时，
＋＋…＋＋＝＋
＝＝.
所以当n＝k＋1时等式成立．
综合(1)(2)，可知当n∈N＋时等式成立．
第二章 几个重要的不等式
1．已知a2＋b2＋c2＝1，若不等式a＋b＋c≤|x＋1|对任意实数a，b，c恒成立，则实数x的取值范围是( )
A．(－∞，－3]∪[1，＋∞) B．[－3，－1]
C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．[－1,3]
解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(1＋1＋2)≥(a＋b＋c)2.所以a＋b＋c≤2.因为a＋b＋c≤|x＋1|，
所以|x＋1|≥2.解得x≥1或x≤－3.
答案：A
2．若a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，则＋＋的最大值为( )
A．1 B．
C． D．2
解析：＋＋
≤
＝，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
又a＋b＋c＝1，则＋＋≤.
∴＋＋的最大值为.
答案：C
3．若A＝x＋x＋…＋x，B＝x1x2＋x2x3＋…＋xn－1xn＋xnx1，其中x1，x2，…，xn都是正数，则A与B的大小关系为( )
A．A>B B．AC．A≥B D．A≤B
解析：不论x1，x2，…，xn的大小顺序如何，
其中A＝x＋x＋…＋x一定是顺序和，
∴A≥B．
答案：C
4．已知n为正偶数，用数学归纳法证明“1－＋－
＋…＋＝2”时，若已假设当n＝k(k≥2且为偶数)时等式成立，则还需要利用归纳假设再证( )
A．当n＝k＋1时等式成立 B．当n＝k＋2时等式成立
C．当n＝2k＋2时等式成立 D．当n＝2(k＋2)时等式成立
解析：偶数k的后继偶数为k＋2，故应再证当n＝k＋2
时等式成立．
答案：B
5．已知a>0，且M＝a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3，N＝a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2，则M与N的大小关系是________.
解析：取两组数a，a＋1，a＋2与a2，(a＋1)2，(a＋2)2，显然a3＋(a＋1)3＋(a＋2)3是顺序和，而
a2(a＋1)＋(a＋1)2(a＋2)＋a(a＋2)2是乱序和．由排序不等式易知M>N.
答案：M>N
6．设a，b，c∈(0，＋∞)，若不等式(a＋b＋c)≥25恒成立，则正数k的最小值是________.
解析：因为(a＋b＋c)≥(1＋1＋)2＝(2＋)2，当且仅当a＝b＝时等号成立，所以(a＋b＋c)的最小值是(2＋)2.由不等式(a＋b＋c)≥25恒成立，得(2＋)2≥25.所以k≥9.所以正数k的最小值是9.
答案：9
7．设c1，c2，…，cn为正数a1，a2，…，an的某一排列，则
＋＋…＋与n的大小关系是_________.
解析：不妨设00时等号成立．
答案：＋＋…＋≥n
8．若正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求＋＋ 的最小值．
解：由a＋b＋c＝1，可得
(2a＋1)＋(2b＋1)＋(2c＋1)＝5.
因为2a＋1,2b＋1,2c＋1均为正数，
由柯西不等式，得
(2a＋1＋2b＋1＋2c＋1)≥
·＋·＋·2＝9，
当且仅当a＝b＝c时取等号，
所以＋＋≥.
故＋＋的最小值为.
9．在△ABC中，试证：≤<.
证明：不妨设a≤b≤c，于是A≤B≤C．
由排序不等式，得aA＋bB＋cC＝aA＋bB＋cC，
aA＋bB＋cC≥bA＋cB＋aC，
aA＋bB＋cC≥cA＋aB＋bC．
以上三式相加，得
3(aA＋bB＋cC)≥(a＋b＋c)(A＋B＋C)
＝π(a＋b＋c)．
所以≥. ①
由00＝a(B＋C－A)＋b(A＋C－B)＋c(A＋B－C)
＝a(π－2A)＋b(π－2B)＋c(π－2C)
＝(a＋b＋c)π－2(aA＋bB＋cC)．
所以<. ②
由①②，得原不等式成立．
10．已知函数y＝f(x)满足f(n－1)＝f(n)－lg an－1
(n≥2，n∈N＋)，且f(1)＝－lg a．是否存在实数α，β，使f(n)＝(αn2＋βn－1)lg a对任意n∈N＋都成立？证明你的结论．
解：f(n)＝f(n－1)＋lg an－1，
令n＝2，则f(2)＝f(1)＋lg a＝－lg a＋lg a＝0.
又f(1)＝(－1)lg a，
所以
解得α＝，β＝－.
所以f(n)＝lg a.
下证对任何n∈N＋都成立．
(1)当n＝1时，显然成立．
(2)假设当n＝k(k≥1)时等式成立，即
f(k)＝lg a，
则当n＝k＋1时，
f(k＋1)＝f(k)＋lg ak＝f(k)＋klg a
＝lg a
＝lg a.
所以当n＝k＋1时等式也成立．
综合(1)(2)，知存在α＝，β＝－，使
f(n)＝(αn2＋βn－1)lg a 对任意n∈N＋都成立．
阶段质量评估(二) 几个重要的不等式
A卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设n∈N＋， 则4n与3n的大小关系是( )
A．4n>3n B．4n＝3n
C．4n<3n D．不确定
解析：4n＝(1＋3)n，由贝努利不等式，得(1＋3)n≥1＋n·3＝1＋3n>3n，即4n>3n.
答案：A
2．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋<2－(n≥2，n∈N＋)”时，第一步应验证( )
A．1＋<2－ B．1＋＋<2－
C．1＋<2－ D．1＋＋<2－
解析：∵n≥2，n∈N＋，∴第一步应验证当n＝2时，1＋<2－.
答案：A
3．已知a，b，c∈(0，＋∞)，则a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)( )
A．大于零 B．大于或等于零
C．小于零 D．小于或等于零
解析：设a≥b≥c>0，则a3≥b3≥c3.
依据排序不等式，得
a3·a＋b3·b＋c3·c≥a3b＋b3c＋c3a.
又ab≥ac≥bc，a2≥b2≥c2，
所以a3b＋b3c＋c3a≥a2bc＋b2ca＋c2ab.
所以a4＋b4＋c4≥a2bc＋b2ca＋c2ab，
即a2(a2－bc)＋b2(b2－ac)＋c2(c2－ab)≥0.
答案：B
4．若5x1＋6x2－7x3＋4x4＝1，则3x＋2x＋5x＋x的最小值是( )
A． B．
C．3 D．
解析：因为
≥2
＝(5x1＋6x2－7x3＋4x4)2＝1，
所以3x＋2x＋5x＋x≥.
答案：B
5．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现选择商店中单价为5元、3元、2元的商品作为奖品，则至少要花( )
A．300元 B．360元
C．320元 D．340元
解析：由排序不等式，可知逆序和最小．
∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元)．
答案：C
6．已知2x＋3y＋4z＝10，则x2＋y2＋z2取到最小值时的x，y，z的值分别为( )
A．，， B．，，
C．1，， D．1，，
解析：当且仅当＝＝时取到最小值，联立可得x＝，y＝，z＝.
答案：B
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
7．若x＋y＋z＋t＝4，则x2＋y2＋z2＋t2的最小值为________.
解析：由柯西不等式，得(x2＋y2＋z2＋t2)(12＋12＋
12＋12)≥(x＋y＋z＋t)2，当且仅当x＝y＝z＝t＝1时取等号．故x2＋y2＋z2＋t2的最小值为4.
答案：4
8．已知a∈(0，＋∞)，x＋≥2，x＋≥3，…，x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为________.
解析：∵x＋≥2，
x＋＝＋＋≥3＝3，
∴x＋＝＋＋＋…＋＋≥(n＋1)＝(n＋1)＝n＋1.
∴a＝nn(n∈N＋)．
答案：nn(n∈N＋)
9．设x1，x2，…，xn为不同的正整数，则m＝＋＋…＋的最小值是_________.
解析：设a1，a2，…，an是x1，x2，…，xn的一个排列，且满足a1又1>>>…>，
所以＋＋＋…＋≥a1＋＋＋…＋≥
1×1＋2×＋3×＋…＋n·＝1＋＋＋
…＋.
答案：1＋＋＋…＋
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)已知x，y，z∈(0，＋∞)，且x＋
y＋z＝1，求证：＋＋≥81.
证明：由柯西不等式，得
(x＋y＋z)≥2＝81，
当且仅当＝＝，
即x＝，y＝，z＝时取等号．
所以＋＋≥81.
11．(本小题满分12分)设x>0，求证：1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn.
证明：当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn，
由顺序和≥逆序和，得
1×1＋x·x＋x2·x2＋…＋xn·xn≥1·xn＋x·
xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即1＋x2＋x4＋…＋x2n≥(n＋1)xn. ①
因为x，x2，x3，…，xn,1为序列1，x，x2，…，xn的一个排列，
由乱序和≥逆序和，得1·x＋x·x2＋…＋xn－1·xn＋xn·1≥1·xn＋x·xn－1＋…＋xn－1·x＋xn·1，
即x＋x3＋…＋x2n－1＋xn≥(n＋1)xn. ②
将①和②相加，得
1＋x＋x2＋…＋x2n≥(2n＋1)xn. ③
当0x>x2>…>xn.
①②仍然成立，于是③也成立．
综上，原不等式成立．
12．(本小题满分13分)已知正数x，y，z满足5x＋4y＋3z＝10.
(1)求证：＋＋≥5；
(2)求9x2＋9y2＋z2的最小值．
(1)证明：根据柯西不等式，得
[(4y＋3z)＋(3z＋5x)＋(5x＋4y)]
≥(5x＋4y＋3z)2.
因为5x＋4y＋3z＝10，
所以＋＋≥＝5.
(2)解：根据平均值不等式，得
9x2＋9y2＋z2≥2＝2×3x2＋y2＋z2，
当且仅当x2＝y2＋z2时等号成立．
根据柯西不等式，得
(x2＋y2＋z2)(52＋42＋32)
≥(5x＋4y＋3z)2＝100，
当且仅当＝＝时等号成立．
所以x2＋y2＋z2≥2.
综上，9x2＋9y2＋z2≥2×32＝18，
当且仅当x＝1，y＝，z＝时等号成立．
所以9x2＋9y2＋z2的最小值为18.
B卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知x，y，z∈(0，＋∞)，且＋＋＝1，则x＋＋的最小值是( )
A．5 B．6
C．8 D．9
解析：x＋＋＝≥2＝9.
答案：D
2．用数学归纳法证明“＋＋＋…＋>－
”时，假设当n＝k时不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标是( )
A．＋＋…＋>－ B．＋＋…＋>－
C．＋＋…＋>－ D．＋＋…＋>－
解析：当n＝k＋1时，不等式变为＋＋…＋＋>－.
答案：A
3．已知a＋a＋…＋a＝1，x＋x＋…＋x＝1，则a1x1＋a2x2＋…＋anxn的最大值为( )
A．1 B．n
C． D．2
解析：由柯西不等式，得(a＋a＋…＋a)(x＋x＋…＋x)≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2，
即1×1≥(a1x1＋a2x2＋…＋anxn)2.
∴a1x1＋a2x2＋…＋anxn≤1.
故所求的最大值为1.
答案：A
4．已知x，y∈(0，＋∞)，且x＋y＝1，则＋的最小值为( )
A．5＋ B．5－
C．5＋2 D．5－2
解析：＋＝(x＋y)
＝
≥2＝(＋)2
＝5＋2，
当且仅当y∶x＝∶时取等号．
∴＋的最小值为5＋2.
答案：C
5．用数学归纳法证明“对任意x>0和正整数n，都有
xn＋xn－2＋xn－4＋…＋＋＋≥n＋1”时，需要验证的使命题成立的最小正整数值n0应为( )
A．1 B．2
C．1,2 D．以上答案均不正确
解析：当n＝1时，左边＝x＋，右边＝1＋1，而x＋≥2，
即当n＝1时不等式成立．
答案：A
6．设a，b，c为正数，且a＋2b＋3c＝13，则＋＋的最大值为( )
A． B．
C． D．6
解析：(a＋2b＋3c)≥·＋·1＋·2＝(＋＋)2，
当且仅当＝＝时取等号．
∴(＋＋)2≤，
即＋＋≤.
又a＋2b＋3c＝13，
∴a＝9，b＝，c＝.
故＋＋有最大值.
答案：A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上)
7．函数y＝的最小值是________.
解析：由柯西不等式，得
y＝
≥2
＝2≥(1＋)2＝3＋2，
当且仅当＝，sin 2α＝1，
即α＝时等号成立．
答案：3＋2
8．已知数列{an}的各项均为自然数且它的前n项和为Sn，a1＝1.若对所有的正整数n，有Sn＋1＋Sn＝(Sn＋1－
Sn)2成立，通过计算a2，a3，a4，可归纳出Sn＝________.
解析：由已知，得Sn＋1＋Sn＝a.
∴当n≥2时，Sn＋Sn－1＝a.
两式相减，得an＋1＋an＝a－a.
∴an＋1－an＝1.
∴数列{an}为等差数列，公差d＝1.
∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n.
∴Sn＝.
答案：
9．三角形的三边a，b，c对应的高为ha，hb，hc，r为三角形内切圆的半径．若ha＋hb＋hc的值为9r，则此三角形为________三角形．
解析：记三角形的面积为S，
则2S＝aha＝bhb＝chc.
因为2S＝r(a＋b＋c)，
所以ha＋hb＋hc＝2S＋＋＝
r(a＋b＋c).
由柯西不等式，得
(a＋b＋c)＝[()2＋()2＋()2]≥
2＝9，
当且仅当a＝b＝c时取等号．
所以ha＋hb＋hc≥9r.
故当ha＋hb＋hc＝9r时，三角形为等边三角形．
答案：等边
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝1.
(1)求证：＋＋≥；
(2)求4x＋4y＋4z2的最小值．
(1)证明：因为x>0，y>0，z>0，所以由柯西不等式，得[(y＋2z)＋(z＋2x)＋(x＋2y)]≥(x＋y＋z)2.
因为x＋y＋z＝1，
所以＋＋≥
＝.
(2)解：由平均值不等式，得
4x＋4y＋4z2≥3.
因为x＋y＋z＝1，
所以x＋y＋z2＝1－z＋z2＝2＋≥.
故4x＋4y＋4z2≥3＝3，
当且仅当x＝y＝，z＝时等号成立．
所以4x＋4y＋4z2的最小值为3.
11．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝m－|x－2|，
m∈R，且关于x的不等式f(x＋2)≥0的解集为
[－1,1]．
(1)求m的值；
(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝m，求证：
a＋2b＋3c≥9.
(1)解：因为f(x＋2)＝m－|x|，
所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为
{x|－m≤x≤m}．
又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.
(2)证明：由(1)，知＋＋＝1.
又a，b，c∈(0，＋∞)，
由柯西不等式，得
a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)≥
2＝9.
12．(本小题满分13分)已知数列{bn}是等差数列，b1＝1，b1＋b2＋…＋b10＝145(n∈N＋)．
(1)求数列{bn}的通项；
(2)设数列{an}的通项an＝loga(其中a>0且a≠1)，记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与logabn＋1的大小，并证明你的结论．
解：(1)设数列{bn}的公差为d，
由题意，得10×1＋·d＝145.
∴d＝3，bn＝3n－2.
(2)由bn＝3n－2，知
Sn＝loga(1＋1)＋loga＋…＋loga
＝loga，
logabn＋1＝loga.
因此，要比较Sn与logabn＋1的大小，可先比较
(1＋1)…与的大小．
取n＝1，有(1＋1)>.
猜想取n≥1，n∈N＋，有
(1＋1)…>.
下面用数学归纳法说明：
①当n＝1时，已验证不等式成立．
②假设当 n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，
即(1＋1)…>，
则当n＝k＋1时，
(1＋1)…>
＝·(3k＋2)．
∵3－()3＝
＝>0，
∴·(3k＋2)>
＝.
∴(1＋1)…>
.
这说明，当n＝k＋1时不等式也成立．
由①②，知对一切n∈N＋，不等式(1＋1)1＋…>都成立．
再由对数的性质，可得
当a>1时，Sn>logabn＋1；
当0
