1.1 不等式的性质
1．设a∈R，则下列式子正确的是( )
A．3a＞2a B．a2＜2a
C．＜a D．3－2a＞1－2a
解析：当a＜0时，A，B项均错；当a＝时，C项错误；对于D项，因为3＞1，－2a＝－2a，所以3－2a＞1－2a，故D正确．
答案：D
2．若a＜b＜0，则( )
A．＜ B．0＜＜1
C．ab＞b2 D．＞
解析：因为－＝，
由a＜b＜0，可得b－a＞0且ab＞0，
所以－＞0，即＞，A项错．
因为a＜b＜0，所以＞1，B项错．
因为ab－b2＝b(a－b)＞0，
所以ab＞b2，C项正确．
因为－＝＜0，
所以＜，D项错．
答案：C
3．给出下列命题：
①a＞b?ac2＞bc2；②a＞|b|?a2＞b2；
③a＞b?a3＞b3；④|a|＞b?a2＞b2.
其中正确的命题为( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析：若c＝0，则①不正确．
因为a＞|b|≥0，所以a2＞b2，②正确．
因为a，b的指数为奇数，所以③也正确．
由|a|＞b，知b有可能为负数．故④不正确．
答案：B
4．若1＜a＜3，－4＜b＜2，则a－|b|的取值范围是________.
解析：∵－4＜b＜2，∴0≤|b|＜4.∴－4＜－|b|≤0.∵1＜a＜3，∴－3＜a－|b|＜3.
答案：(－3,3)
5．已知a，b，c满足b＋c＝3a2－4a＋6，b－c＝a2－4a＋4，试比较a，b，c的大小．
解：∵b－c＝a2－4a＋4＝(a－2)2≥0，
∴b≥c.
由题意，可得
解得
∴c－a＝a2＋1－a＝2＋＞0.
∴c＞a.∴b≥c＞a.
1.2.1绝对值不等式
1．若a，b∈R且ab＜0，则( )
A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|
C．|a－b|＜||a|－|b|| D．|a－b|＜|a|＋|b|
解析：因为a，b∈R且ab＜0，
所以|a|＋|b|＝|a－b|，|a＋b|＜|a|＋|b|.
所以|a＋b|＜|a－b|.
答案：B
2．若a，b，c∈R且a，b，c均不为零，当|a－c|＜|b|时，一定有( )
A．|a|＜|b＋c| B．|a|＜|b|＋|c|
C．|a|＞|b－c| D．|a|＞|b|－|c|
解析：因为|a|－|c|≤|a－c|，|a－c|＜|b|，
所以|a|－|c|＜|b|.所以|a|＜|b|＋|c|.
答案：B
3．若|x－a|＜m，|y－a|＜n，则下列不等式一定成立的是( )
A．|x－y|＜2m B．|x－y|＜2n
C．|x－y|＜n－m D．|x－y|＜n＋m
解析：|x－y|＝|x－a－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|＜
m＋n.
答案：D
4．不等式≤1成立的条件是________.
①ab≠0; ②a2＋b2≠0；
③ab≥0; ④ab≤0.
解析：因为|a＋b|≤|a|＋|b|对任意a，b∈R都成立，所以只要有意义即可．所以|a|＋|b|≠0，
即a2＋b2≠0.
答案：②
5．已知函数f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求函数
f(x)的最小值，并求当函数f(x)取得最小值时，实数x的取值范围．
解：f(x)＝|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥
|(x－10)＋(20－x)|＝10，
当且仅当(x－10)(20－x)≥0时，等号成立．
由(x－10) (20－x)≥0，得10≤x≤20.
所以函数f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．
1.2.2绝对值不等式的解法
1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为( )
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
解析：由1＜|x＋1|＜3，得1＜x＋1＜3或－3＜x＋1＜－1.
∴0＜x＜2或－4＜x＜－2.∴原不等式的解集为
(－4，－2)∪(0,2)．
答案：D
2．不等式＞的解集是( )
A．{x|0＜x＜2} B．{x|x＜0或x＞2}
C．{x|x＜0} D．{x|x＞2}
解析：由＞，可知＜0.
∴x＞2或x＜0.
答案： B
3．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )
A．[－5,7] B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞) D．(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析：由绝对值的几何意义，可知|x－5|＋|x＋3|表示数轴上的点x到－3和5两点的距离之和．又点－4和6到点－3和5的距离之和都为10，如图所示，故满足不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集为(－∞，－4]∪[6，＋∞)．
答案：D
4．不等式(1＋x)(1－|x|)＞0的解集是________.
解析：当x≥0时，原不等式变为x2－1＜0，即－1＜x＜1，
考虑到x≥0，于是0≤x＜1.
当x＜0时，原不等式变为(1＋x)2＞0，即x≠－1，所以
x＜0且x≠－1.
综上，原不等式的解集为{x|x＜－1或－1＜x＜1}．
答案：{x|x＜－1或－1＜x＜1}
5．解不等式|x＋3|－|2x－1|＞＋1.
解：当x＜－3时，原不等式化为x－4＞＋1，解得
x＞10.而x＜－3，故此时无解．
当－3≤x＜时，原不等式化为3x＋2＞＋1，
解得x＞－.
此时原不等式的解集为.
当x≥时，原不等式化为－x＋4＞＋1，
解得x＜2.
此时原不等式的解集为.
综上，原不等式的解集为.
1.3 平均值不等式
1．已知a＞0，则a＋与2的大小关系是( )
A．a＋≥2 B．a＋＞2
C．a＋≤2 D．a＋＜2
解析：因为a＞0，
所以a＋≥2，当且仅当a＝，
即a＝1时取等号．
答案：A
2．已知a，b为非零实数，那么下列不等式恒成立的是( )
A．|a＋b|＞|a－b| B．≥
C．2≥ab D．＋≥2
解析：a，b为非零实数时，A，B， D三项中的不等式均不一定成立，而2－ab＝2≥0恒成立，即2≥ab恒成立．
答案：C
3．已知a，b，c是△ABC的三边，则“b既是a，c的算术平均值，又是a，c的几何平均值”是“△ABC为正三角形”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：由b既是a，c的算术平均值，又是a，c的几何平均值，可知b＝，b＝.
所以＝.
因为≥，当且仅当a＝c时取等号，
所以a＝c.又b＝，
所以a＝b＝c，即△ABC为正三角形．
反之亦成立．
答案：C
4．设0＜a＜b，则a，b，，的大小关系为____________.
解析：因为0＜a＜b，所以由平均值不等式，得＜.又a＜b，所以＜＝b，a＝＜.故a＜＜＜b.
答案：a＜＜＜b
5．已知a＞1,0＜b＜1，求证：logab＋logba≤－2.
证明：∵a＞1，0＜b＜1，∴logab＜0，logba＜0.
∴－logab＞0，－logba＝－＞0.
∴＋≥2＝2，
当且仅当a＝时取等号．
∴logab＋logba≤－2.
1.4 第一课时 比较法、分析法、综合法
1．已知a，b∈R，M＝a2＋b2，N＝2(a－b－1)，则M与N的大小关系是( )
A．M≥N B．M＞N
C．M≤N D．M＜N
解析：因为M－N＝a2＋b2－2(a－b－1)＝a2＋b2－
2a＋2b＋2＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋
(b＋1)2≥0，
所以M－N≥0，即M ≥N.
答案：A
2．给出下列命题：
①当b＞0时，a＞b?＞1；
②当b＞0时，a＜b?＜1；
③当a＞0，b＞0时，＞1?a＞b；
④当ab＞0时，＞1?a＞b.
其中真命题有( )
A．①②③ B．①②④
C．④ D．①②③④
解析：由不等式的基本性质，可知①②③正确．命题④没有对b的正负进行讨论，故④不正确．
答案：A
3．欲证－＜－，只需证( )
A．(－)2＜(－)2 B．(－)2＜(－)2
C．(＋)2＜(＋)2 D．(－－)2＜(－)2
解析：欲证－＜－，只需证(＋)2＜(＋)2.
展开，得9＋2＜9＋2.只需证2＜2，
只需证＜.而14＜18.所以＜.所以原不等式成立．
答案：C
4．设x∈R，下列各数恒大于x的是________.
①x2＋1；②10x；③|x|；④x2.
解析：取x＝0，则有10x＝x2＝|x|＝0，排除②③④.因为x2＋1－x＝x2－x＋1＝2＋≥＞0，所以x2＋1＞x.
答案：①
5．如果a＞b，ab＝1，求证：a2＋b2≥2(a－b)，并指明何时取等号．
证明：因为a＞b，所以a－b＞0.
因为ab＝1，
所以＝＝＝
a－b＋≥2＝2，
即a2＋b2≥2(a－b)，
当且仅当a－b＝，即a－b＝且ab＝1时取等号．
1.5 不等式的应用
1．某城市为控制用水计划提高水价，现有四种方案，其中提价最多的方案是(已知0＜q＜p＜1)( )
A．先提价p%，再提价q% B．先提价q%，再提价p%
C．两次都提价 % D．两次都提价%
解析：由题意，可知A，B两种方案提价均为(1＋p%)
(1＋q%)，C方案提价为2，D方案提价为
2.由＜ ，得(1＋p%)
(1＋q%)＜2＜2.故提价最多的方案为C方案．
答案：C
2．把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________.
解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m.
由题意，知0＜x＜10，面积S＝x(10－x)≤2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时等号成立．故当矩形的长与宽相等，都为5时面积取得最大值25 m2.
答案：25 m2
3．已知圆柱的轴截面的周长为6，体积为V，则下列总成立的是( )
A．V≥π B．V≤π
C．V≥π D．V≤π
解析：设圆柱的底面半径为r，则高h＝＝3－2r，V＝πr2(3－2r)＝πr·r(3－2r)≤π·3＝π.
答案：B
4．某产品的总成本c 万元与产量x 台之间满足的关系式为c＝300＋20x－x2，其中0＜x＜240，如果每台产品售价为25万元，那么生产者不亏本时的最低产量为________台．
解析：由题意，可知300＋20x－x2≤25x.解得x≥15或x≤－20(舍去)．
答案：15
5．汽车在行驶中由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”，刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.超速行驶应负主要责任的是哪辆车？
解：由s甲>12，得0.1x＋0.01x2＞12(x＞0)．
解得x＞30，即x甲＞30.
由s乙＞10，得0.05x＋0.005x2＞10(x＞0)．
解得x＞40，即x乙＞40.
所以超速行驶应负主要责任的是乙车．
第一章 不等关系与基本不等式
本章整合提升
1．(2016·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；
(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．
解：(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.
解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.
所以不等式f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．
(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，
所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于
|1－a|＋a≥3.①
当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．
当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.
所以a的取值范围是[2，＋∞)．
2．(2015·湖南卷)设a＞0，b＞0，且a＋b＝＋.
证明：(1)a＋b≥2；
(2)a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
证明：由a＋b＝＋＝，a＞0，b＞0，得ab＝1.
(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，
当且仅当a＝b＝1时等号成立．
(2)假设a2＋a＜2与b2＋b＜2同时成立，
则由a2＋a＜2及a＞0，得0＜a＜1.
同理0＜b＜1.从而ab＜1，这与ab＝1矛盾．
故a2＋a＜2与b2＋b＜2不可能同时成立．
3．已知函数f(x)＝|2x－a|＋|x＋1|.
(1)当a＝1时，解不等式f(x)＜3；
(2)若函数f(x)的最小值为1，求a的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|＝
且f(1)＝f(－1)＝3，
所以不等式f(x)＜3的解集为{x|－1＜x＜1}．
(2)|2x－a|＋|x＋1|＝＋|x＋1|＋≥＋0＝，
当且仅当(x＋1)≤0且x－＝0时取等号，
所以＝1.解得a＝－4或a＝0.
4．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.
(1)在图中画出函数y＝f(x)的图像；
(2)求不等式|f(x)|＞1的解集．
解：(1)f(x)＝
由分段函数的图像画法，可得f(x)的图像，如图．
(2)由|f(x)|＞1，可得
当x≤－1时，|x－4|＞1，解得x＞5或x＜3.所以x≤－1.
当－1＜x＜时，|3x－2|＞1，解得x＞1或x＜.所以－1＜x＜或1＜x＜.
当x≥时，|4－x|＞1，解得x＞5或x＜3.所以
x＞5或≤x＜3.
综上，x＜或1＜x＜3或x＞5.
故不等式|f(x)|＞1的解集为∪(1, 3)∪(5，＋∞)．
5．已知函数f(x)＝的定义域为R.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若实数m的最大值为n，当正数a，b满足＋＝
n时，求7a＋4b的最小值．
解：(1)∵函数定义域为R，
∴关于x的不等式|x＋1|＋|x－3|－m≥0恒成立．
设g(x)＝|x＋1|＋|x－3|，
则m不大于函数g(x)的最小值．
∵|x＋1|＋|x－3|≥|(x＋1)－(x－3)|＝4，即函数g(x)
的最小值为4，
∴m≤4.
故实数m的取值范围为(－∞，4]．
(2)由(1)，知n＝4.
∴7a＋4b
＝[(6a＋2b)＋(a＋2b)]
＝
≥＝，
当且仅当a＋2b＝3a＋b，即b＝2a＝时取等号．
∴7a＋4b的最小值为.
6．设a>0，b>0，c＞0，且ab＋bc＋ca＝1.求证：
(1)a＋b＋c≥；
(2) ＋＋≥(＋＋)．
证明：(1)由于a>0，b>0，c＞0，要证a＋b＋c≥，
只需证(a＋b＋c)2≥3，
即证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3.
而ab＋bc＋ca＝1，
故只需证a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)，
即证a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
而这可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(当且仅当a＝b＝c时等号成立)证得．
所以原不等式成立．
(2) ＋＋＝.
在(1)中已证a＋b＋c≥.
要证原不等式成立，
只需证≥＋＋，
即证a＋b＋c≤ab＋bc＋ca，
∵a≤，b≤，c≤，
∴a＋b＋c≤ab＋bc＋ca.
∴ ＋＋≥(＋＋)．
7．设a＞0，b＞0，a＋b＝1.求证：
(1)＋＋≥8；
(2)2＋2≥.
证明：(1)∵a＞0，b＞0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，即≤.∴≥4.
∴＋＋＝(a＋b)＋
≥2·2＋4＝8.
∴＋＋≥8.
(2)∵≤ ，
∴≥2.
∴2＋2≥22＝
≥≥.
∴2＋2≥.
8．某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200 m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．如果池四周围墙建造单价为400 元/m，中间两道隔墙建造单价为248 元/m，池底建造单价为80 元/m2，水池所有墙的厚度忽略不计．
(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
(2)由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16 m，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
解：(1)设污水处理池的长为x m，则宽为m.
设总造价为y元，则有
y＝2x×400＋×800＋248×2×＋80×200
＝800x＋＋16 000
≥2＋16 000
＝44 800，
当且仅当800x＝，即x＝18 时取等号．
∴当污水池的长为18 m、宽为 m时，总造价最低，为44 800元．
(2)∵0＜x≤16,0＜≤16，
∴12.5≤x≤16.
由(1)，知y＝φ(x)＝800＋16 000(12.5≤x≤16)．
对任意x1，x2∈[12.5,16]，设x1＜x2，
则φ(x1)－φ(x2)
＝800
＝＞0.
∴φ(x1)＞φ(x2)．
故函数y＝φ(x)在区间[12.5,16]上为减函数．
从而有φ(x)≥φ(16)＝45 000.
∴当污水池的长为16 m、宽为12.5 m时，有最低总造价，最低总造价为45 000元．
阶段质量评估(一) 不等关系与基本不等式
A卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：当0＜ab＜1时，若b＞0，则a＜；若b＜0，则b＞.反之，a＜?a－＜0?b(ab－1)＜0.当b＞0时，ab＜1；当b＜0时，ab＞1.同理，当b＞时，若a＞0，
则ab＞1；若a＜0，则ab＜1.所以“0＜ab＜1”是“a＜或b＞”的充分不必要条件．
答案：A
2．不等式|5x－x2|＜6的解集为( )
A．{x|x＜2或x＞3} B．{x|－1＜x＜6}
C．{x|－1＜x＜2或3＜x＜6} D．{x|2＜x＜3}
解析：∵|5x－x2|＜6?－6＜5x－x2＜6?
∴－1＜x＜2或3＜x＜6.
答案：C
3．对任意x，y∈R，|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|的最小值为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：|x－1|＋|x|＋|y－1|＋|y＋1|≥|x－1－x|＋
|y－1－(y＋1)|＝1＋2＝3.
答案：C
4．若关于x的不等式|ax＋2|＜6的解集为(－1,2)，则实数a＝( )
A．8 B．2
C．－4 D．－8
解析：|ax＋2|＜6?－8＜ax＜4.
当a＞0时，－＜x＜.
∵解集是(－1,2)，
∴解得两值矛盾．
当a＜0时，＜x＜－.
由得a＝－4.
答案：C
5．若0＜x＜，则x2(1－2x)有( )
A．最小值 B．最大值
C．最小值 D．最大值
解析：x2(1－2x)＝x·x(1－2x)
≤3＝，
当且仅当x＝时取等号．
答案：B
6．若log4(3a＋4b)＝log2，则a＋b的最小值是( )
A．6＋2 B．7＋2
C．6＋4 D．7＋4
解析：由题意，得ab＞0且3a＋4b＞0.所以a＞0，b＞0.又log4(3a＋4b)＝log2，所以3a＋4b＝ab.所以＋
＝1.所以a＋b＝(a＋b)＝7＋＋≥
7＋2＝7＋4，当且仅当＝，即a＝4＋
2，b＝3＋2 时等号成立．
答案：D
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上)
7．设a，b∈R，给出下列条件：
①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；
⑤ab＞1.
其中能推出“a，b中至少有一个实数大于1”的条件是________.
解析：对于①，a，b均可小于1；对于②，a，b均可等于1；对于④⑤，a，b均可为负数；对于③，若a，b都不大于1，则a＋b≤2，与③矛盾．故若③成立，则“a，b中至少有一个实数大于1”成立．
答案：③
8．函数y＝4sin2x·cos x的最大值与最小值的差是________.
解析：∵y2＝16sin2xsin2xcos2x＝8(sin2xsin2x·2cos2x)
≤83＝8×＝，
当且仅当sin2x＝2cos2x，即tan x＝±时取等号，
∴y2≤.∴ymax＝，ymin＝－.
∴ymax－ymin＝.
答案：
9．设常数a＞0，若关于x的不等式9x＋≥a＋1对一切正实数x成立，则实数a的取值范围为________.
解析：由题意，可知当x＞0时，f(x)＝9x＋≥2＝
6a≥a＋1，即a≥，当且仅当9x＝，即x＝时等号成立．
答案：
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)已知ab≠0.
求证：lg≥.
证明：因为ab≠0，
所以|a|＞0，|b|＞0.
由平均值不等式，得≥＞0.
因为函数y＝lg x在区间(0，＋∞)上为增函数，
所以lg≥lg＝，
当且仅当|a|＝|b|时等号成立．
故lg≥.
11．(本小题满分12分)已知a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＞c.
求证：＋＞.
证明：假设 ＋≤，
则1－＋1－≤1－，
即1＋≤＋.
∵(1＋a)(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋b)≤(1＋b)(1＋c)＋(1＋a)(1＋c)，
即(c＋2)(1＋a)(1＋b)≤(1＋c)(a＋b＋2)，
∴2ab＋abc＋a＋b≤c. ①
∵a＋b＞c，a>0，b>0，c＞0，
∴a＋b＋2ab＋abc＞c，与①矛盾．
∴假设不成立．
∴＋＞成立．
12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．
(1)求实数a的值；
(2)若关于x的不等式≤k恒成立，求实数k的取值范围．
解：(1)由|ax＋1|≤3，得－4≤ax≤2.
又关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，
所以当a≤0时，不合题意．
当a＞0时，－≤x≤，则a＝2.
(2)法一 记h(x)＝f(x)－2f，
则h(x)＝
所以|h(x)|≤1.所以k≥1.故实数k的取值范围是[1，＋∞)．
法二 ＝||2x＋1|－2|x＋1||
＝2≤1.
由关于x的不等式≤k恒成立，可知k≥1.
所以实数k的取值范围是[1，＋∞)．
B卷 (时间：60分钟 满分：80分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b的大小关系是( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
解析：∵a＝lg 2＋lg 5＝1，b＝ex＜1(x＜0)，∴a＞b.
答案：A
2．设a，b是互不相等的正数，则下列不等式不恒成立的是( )
A．(a＋3)2＜2a2＋6a＋11
B．a2＋≥a＋
C．|a－b|＋≥2
D．－＜－
解析：(a＋3)2－(2a2＋6a＋11)＝－a2－2＜0，故A恒成立．在B项中，不等式的两侧同时乘a2，得a4＋1≥a3＋a?(a4－a3)＋(1－a)≥0?a3(a－1)－(a－1)≥0?(a－1)2(a2＋a＋1)≥0.所以B项中的不等式恒成立．对C项中的不等式，当a＞b时，恒成立；当a＜b时，不恒成立．由不等式＜恒成立，知D项中的不等式恒成立．
答案：C
3．已知x＞0，y＞0，则下列关系式成立的是( )
A．(x2＋y2)＞(x3＋y3) B．(x2＋y2)＝(x3＋y3)
C．(x2＋y2)＜(x3＋y3) D．(x2＋y2)≤(x3＋y3)
解析：假设(x2＋y2)＞(x3＋y3)成立，下面给出证明．
要证明(x2＋y2)＞(x3＋y3)，
只需证(x2＋y2)3＞(x3＋y3)2，
即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6＞x6＋2x3y3＋y6，即证3x4y2＋3x2y4＞2x3y3.
∵x＞0，y＞0，∴x2y2＞0.
即证3x2＋3y2＞2xy.
∵3x2＋3y2＞x2＋y2≥2xy，
∴3x2＋3y2＞2xy成立．
∴(x2＋y2)＞(x3＋y3).
答案：A
4．下列函数中，当x取正数时，最小值为2的是( )
A．y＝x＋ B．y＝lg x＋
C．y＝＋ D．y＝sin x＋(0＜x＜π)
解析：y＝x＋≥2＝4，A项错；当0＜x≤1时，lg x≤0，
B项错；当＝时，x＝0，不符合题意，y＝＋≥2的等号取不到，C项错；y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝1，即x＝时取等号，D项正确．
答案：D
5．若△ABC的三边长a，b，c的倒数依次成等差数列，则( )
A．∠B＝ B．∠B＜
C．∠B＞ D．∠B＞
解析：假设∠B≥，则b最大．有b＞a，b＞c.
∴＞，＞.∴＋＞，与题意中的＋＝矛盾．∴∠B＜.
答案：B
6．设x，y∈R，a＞1，b＞1，若ax＝by＝2，a＋＝4，则＋的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：依题意，得4＝a＋≥2.则a≤4，即a2b≤16，当且仅当b＝a2＝4时等号可以取到．因为x＝loga2，y＝logb2，所以＋＝2log2a＋log2b＝log2a2b≤log216＝4，即＋的最大值为4.
答案：A
二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把正确答案填在题中的横线上)
7．使关于x的不等式|x＋1|＋k＜x有解的实数k的取值范围是________.
解析：|x＋1|＋k＜x，即|x＋1|＜x－k，
若x≥－1时有解，即有解，则1＜－k成立．故k＜－1.若x＜－1时有解，即有解，则＜－1，即k＜－1.综上，k＜－1.
答案：(－∞，－1)
8．设函数f(x)＝|x－1|＋|2x－a|，若关于x的不等式f(x)≥a2＋1对x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析：当＜1，即a＜2时，
f(x)＝则有f(x)min＝f＝
－a＋1≥a2＋1恒成立．解得－2≤a≤0.
当＞1，即a＞2时，
f(x)＝
则有f(x)min＝f＝a－1≥a2＋1恒成立，该不等式无实数解．
当a＝2时，f(x)＝3|x－1|，则有f(x)min＝f(1)＝0≥a2＋1恒成立，该不等式无实数解．
综上，实数a的取值范围是[－2,0]．
答案：[－2,0]
9．已知a＞0，b＞0，给出下列四个不等式：
①a＋b＋≥2；
②(a＋b)≥4；
③≥a＋b；
④a＋≥－2.
其中正确的不等式有________.(只填序号)
解析：由a＞0，b＞0，得
①a＋b＋≥2＋
≥2＝2.
②(a＋b)≥4 · ＝4.
③∵≥，
∴a2＋b2≥＝(a＋b)·≥(a＋b).
∴≥a＋b.
④a＋＝(a＋4)＋－4
≥2 －4＝2－4＝－2，
当且仅当a＋4＝，即(a＋4)2＝1时等号成立，∵a＞0，
∴(a＋4)2≠1.∴等号不能取得．
答案：①②③
三、解答题(本大题共3小题，共35分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
10．(本小题满分10分)若n∈N＋，求证：＋＋…＋＜.
证明：∵＜＝，
∴＋＋…＋＜＋＋…＋
＝＝＜.
故原不等式得证．
11．(本小题满分12分)设x＞－1，求函数y＝的最小值．
解：∵x＞－1，∴x＋1＞0.
∴y＝＝
＝(x＋1)＋5＋
≥2＋5＝9，
当且仅当x＋1＝，即x＝1时等号成立．
∴函数y的最小值是9.
12．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝|x＋3|－m，m∈R，且关于x的不等式f(x－2)≤0的解集为[－3,1]．
(1)求实数m的值；
(2)若a，b，c都是正数，且a＋b＋c＝m，求证：＋＋≥.
(1)解：f(x－2)＝|x－2＋3|－m≤0，
即|x＋1|≤m，
所以m≥0，且－m≤x＋1≤m.
所以－1－m≤x≤－1＋m.
又原不等式的解集为[－3,1]，故m＝2.
(2)证明：由(1)，得m＝2.则a＋b＋c＝2.所以＋＋＝(a＋b＋c)＝
[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]＝
≥×(3＋2＋2＋2)＝，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立．
