2018年高中数学北师大版选修4-5当堂达标训练：模块综合质量检测

模块综合质量检测
(时间：120分钟　满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a，b，c，d为实数，ab>0，－<－，则下列不等式成立的是(　　)
A．bcad
C．> D．<
解析：将－<－两边同乘正数ab，得－bc<－ad.所以bc>ad.
答案：B
2．不等式|x|>的解集为 (　　)
A．{x|x>2或x<－1} B．{x|－1C．{x|x<1或x>2} D．{x|1解析：|x|>?或解得x<1或x>2.
答案：C
3．设p，q是两个命题，p：≤0，q：|2x＋1|<1，则p是q的(　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解析：由题意，得p：－1≤x<0，q：－1所以由q可以推出p，由p不可以推出q.
所以p是q的必要非充分条件．
答案：B
4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x2＋y2能被x＋y整除”的第二步是(　　)
A．假设当n＝2k＋1(k∈N＋)时结论正确，再推当n＝2k＋3时结论正确
B．假设当n＝2k－1(k∈N＋)时结论正确，再推当n＝2k＋1时结论正确
C．假设当n＝k(k∈N＋)时结论正确，再推当n＝k＋1时结论正确
D．假设当n≤k(k∈N＋，k≥1)时结论正确，再推当n＝k＋2时结论正确
解析：因为n为正奇数，根据数学归纳法的证明步骤，第二步应先假设当n＝2k－1时结论正确，再推当n＝2k＋1时结论正确．
答案：B
5．若x，y，z∈(0，＋∞)，且x＋y＋z＝30，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是(　　)
A．(－∞，3] B．(－∞，10]
C．[3，＋∞) D．[10，＋∞)
解析：因为x＋y＋z≥3，即xyz≤103，
所以lg xyz≤lg 103＝3，
即lg x＋lg y＋lg z＝lg xyz≤3，
当且仅当x＝y＝z＝10时等号成立．
答案：A
6．函数y＝3＋4的最大值为(　　)
A． B．5
C．7 D．11
解析：函数的定义域为[5,6]，且y>0，
y＝3＋4
≤·＝5，
当且仅当＝，即x＝时取等号．
所以ymax＝5.
答案：B
7．不等式|2x－log2x|<2x＋|log2x|的解集为(　　)
A．{x|1C．{x|x>1} D．{x|x>2}
解析：根据对数的意义，可得x>0.则不等式|2x－log2x|<
2x＋|log2x|等价于|2x－log2x|<|2x|＋|log2x|，
即2xlog2x>0.由x>0，可得原不等式等价于log2x>0.
解得x>1.
答案：C
8．若0A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1b2
C．a1b2＋a2b1 D．
解析：由0可令a1＝，a2＝，b1＝，b2＝，
则a1b1＋a2b2＝×＋×＝，
a1a2＋b1b2＝，
a1b2＋a2b1＝.
比较可知选项A正确．
答案：A
9．如果loga3>logb3，且a＋b＝1，那么(　　)
A．0C．1解析：loga3>logb3?－>0?>0.
∵00.
∴log3b－log3a>0，log3b>log3a.
∴b>a.∴0答案：A
10．已知实数x，y满足x2＋y2＝1，则x2y2有(　　)
A．最小值和最大值1　 B．最小值0和最大值
C．最小值和最大值 D．最小值1
解析：因为x2y2≥0，(x2＋y2)(y2＋x2)≥(xy＋yx)2，即4x2y2≤1，故x2y2≤，当且仅当x2＝y2＝时等号成立．所以x2y2∈.
答案：B
11．若函数f(x)＝|x＋1|＋|2x＋a|的最小值为3，则实数a的值为(　　)
A．5或8 B．－1或5
C．－1或－4 D．－4或8
解析：当a>2，即－<－1时，
f(x)＝
结合其图像，可知函数f(x)min＝f＝3，
即－3－a－1＝3.解得a＝8.
当a<2，即－>－1时，
f(x)＝
结合其图像，可知函数f(x)min＝f＝3，
即3＋a＋1＝3.解得a＝－4.
当a＝2时，函数f(x)＝3|x＋1|的最小值为0，不符合题意．
因此，所求实数a的值为8或－4.
答案：D
12．已知函数f(x)＝2|x|，若存在x∈R，使得关于x的不等式2f(x)＋≤k成立，则实数k的最小值是(　　)
A．3　　 B．2　　
C．2　　 D．
解析：将f(x)＝2|x|代入关于x的不等式2f(x)＋≤k，
得k≥2×2|x|＋.因为|x|≥0，所以2|x|≥1.令2|x|＝t，则t≥1，关于x的不等式化为k≥2t＋.容易判断函数φ(t)＝2t＋在区间[1，＋∞)上为增函数．若存在x，使不等式成立，则只需k≥φ(t)min，即
k≥φ(1)．解得k≥3.故实数k的最小值为3.
答案：A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．函数y＝(x>1)的值域是______________.
解析：y＝＝＝x＋1＋＝x－1＋＋2≥2＋2＝8，
当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立，∴函数的值域是[8，＋∞)．
答案：[8，＋∞)
14．若关于x的不等式>|a－5|＋1对一切非零实数x均成立，则实数a的取值范围是_____________．
解析：＝|x|＋≥2＝2，
故应有2>|a－5|＋1，即|a－5|<1.所以4答案：(4,6)
15．下列命题中，真命题的序号为_________________．
①logab＋logbc＋logca≥3成立，当且仅当a，b，c∈(1，＋∞)；
②≥2成立，当且仅当a≠0；
③a2＋b2＋c2≤ab＋bc＋ca.
解析：①当且仅当a，b，c∈(1，＋∞)或(0,1)时，不等式成立．③不妨设a≥b≥c，由顺序和≥乱序和，得
a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
答案：②
16．给出下列四个命题：
①a＋b≥2；
②sin2x＋的最小值是4；
③设x，y都是正数，若＋＝1，则x＋y的最小值是12；
④若|x－2|<ε，|y－2|<ε，则|x－y|<2ε.
其中所有真命题的序号是________.
解析：①不正确，如a＝－2，b＝0.
②不正确，因为sin2x＋≥2＝4，
当且仅当sin2x＝，即sin2x＝2时取等号，这是不可能的，故②错误．
③不正确，(x＋y)＋＝10＋＋≥10＋6＝16，
当且仅当y＝3x>0时取等号．
④正确，|x－y|＝|x－2＋2－y|≤|x－2|＋|2－y|<
ε＋ε＝2ε.所以应填④.
答案：④
三、解答题(本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)设关于x的不等式lg(|x＋3|＋
|x－7|)>a.
(1)当a＝1时，解这个不等式；
(2)当实数a为何值时，这个不等式的解集为R?
解：(1)当a＝1时，原不等式可变形为|x＋3|＋|x－
7|>10，易求得其解集为{x|x<－3或x>7}．
(2)∵|x＋3|＋|x－7|≥|x＋3－(x－7)|＝10对任意x∈R都成立，
∴lg(|x＋3|＋|x－7|)≥lg 10＝1对任意x∈R都成立．
∴若lg(|x＋3|＋|x－7|)>a 对任意x∈R都成立，则a<1.
18．(本小题满分12分)用柯西不等式推导点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离公式．
解：设点P1(x1，y1)是直线l上的任意一点，
则Ax1＋By1＋C＝0， ①
|P1P|＝. ②
由P1，P两点间的距离|P1P|有最小值，得
·
≥|A(x0－x1)＋B(y0－y1)|
＝|Ax0＋By0＋C－(Ax1＋By1＋C)|.
由①②，得·|P1P|≥|Ax0＋By0＋C|，
即|P1P|≥. ③
当且仅当(y0－y1)∶(x0－x1)＝B∶A，即P1P⊥l时，③式取等号．故点到直线的距离公式为
|P1P|＝.
19．(本小题满分12分)已知正数x，y，z满足x2＋y2＋z2＝6.
(1)求x＋2y＋z的最大值；
(2)若不等式|a＋1|－2a≥x＋2y＋z对满足条件的x，y，z恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由柯西不等式，得
(x2＋y2＋z2)(12＋22＋12)≥(x＋2y＋z)2，
即(x＋2y＋z)2≤36.
又x，y，z是正数，所以x＋2y＋z≤6.
所以x＋2y＋z的最大值为6，
当且仅当＝＝，即当x＝z＝1，y＝2时取得最大值．
(2)由题意及(1)，得|a＋1|－2a≥6.
所以或
解得a≤－.
综上，实数a的取值范围为.
20．(本小题满分12分)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；
(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．
(1)证明：已知x是正数，由平均值不等式，知
x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2.
故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2·2x·2＝8x3，
当且仅当x＝1时等号成立．
(2)解：若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥
8x3仍然成立．证明如下：
由(1)，知当x>0时，不等式成立；
当x≤0时，8x3≤0，
(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)
＝(x＋1)2(x2＋1)≥0，
此时不等式仍然成立．
综上，当x∈R时，不等式仍成立．
21．(本小题满分12分)设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为集合M，a，b∈M.
(1)求证：<；
(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小．
(1)证明：记f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2<－2x－1<0，得－故M＝.
所以≤|a|＋|b|<×＋×＝.
(2)解：由(1)，得a2<，b2<.
因为|1－4ab|2－4|a－b|2＝(1－8ab＋16a2b2)－
4(a2－2ab＋b2)＝(4a2－1)(4b2－1)>0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，即|1－4ab|>2|a－b|.
22．(本小题满分12分)设数列{an}满足an＋1＝a－
nan＋1，n＝1,2,3，….
(1)当a1＝2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出数列{an}的一个通项公式；
(2)当a1≥3时，求证：
①不等式an≥n＋2对所有n≥1成立；
②不等式＋＋…＋≤对所有n≥1成立．
(1)解：由a1＝2，得a2＝a－a1＋1＝3.
由a2＝3，得a3＝a－2a2＋1＝4.
由a3＝4，得a4＝a－3a3＋1＝5.
由此猜想：an＝n＋1(n∈N＋)．
(2)证明：①用数学归纳法证明．
当n＝1时，a1≥1＋2＝3，不等式成立．
假设当n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即ak≥k＋2，
则当n＝k＋1时，
ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2(k＋2)＋1>k＋3＝(k＋1)＋2.
也就是说，当n＝k＋1时，ak＋1>(k＋1)＋2.
综上，对所有的n≥1，有an≥n＋2.
②由an＋1＝an(an－n)＋1及①，可知当k≥2时，有
ak＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1≥2(2ak－2＋1)＋1＝22ak－2＋2＋1≥
23ak－3＋22＋2＋1≥…≥2k－1a1＋2k－2＋…＋2＋1＝
2k－1·(a1＋1)－1.
于是1＋ak≥2k－1(a1＋1)，≤·，
k≥2.
所以＋＋…＋≤＋＝＝<≤＝.
因此，原不等式成立．