活页作业(一) 不等式的性质
一、选择题
1．若2－m与|m|－3异号，则实数m的取值范围是( )
A．(3，＋∞) B．(－3,3)
C．(2,3) D．(－3,2)∪(3，＋∞)
解析：法一 因为2－m与|m|－3异号，所以(2－m)·(|m|－
3)＜0，即(m－2)(|m|－3)＞0.
所以或解得
m＞3或0≤m＜2或－3＜m＜0.
法二 取m＝4符合题意，排除B，C两项；取m＝0可排除A项．
答案：D
2．给出下列命题：
①若a＞b且a，b同号，则＜；
②若＞1，则0＜a＜1；
③a≥b且ac≥bc?c≥0；
④若a＞b，n∈N＋?a2n－1＞b2n－1.
其中真命题个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：①正确．因为ab＞0，a＞b，所以＞，即
＞.
②显然成立．
③错误．因为ac≥bc，即(a－b)c≥0，
而a≥b，当a＝b时，c∈R.
④正确．因为n∈N＋，2n－1为奇数，条件可放宽，
即a＞b，则得a2n－1＞b2n－1.
答案：C
3．设a＞b＞1，c＜0，给出下列三个结论：
①＞；②ac＜bc；③logb(a－c)＞loga(b－c)．
其中，正确结论的序号是( )
A．① B．①②
C．②③ D．①②③
解析：由a＞b＞1，c＜0，得＜，＞.
由幂函数y＝xc(c＜0)是减函数，得ac＜bc.
因为a－c＞b－c，
所以logb(a－c)＞loga(a－c)＞loga(b－c)．
故①②③均正确．
答案：D
4．若a＜0，－1＜b＜0，则有( )
A．a＞ab＞ab2 B．ab2＞ab＞a
C．ab＞a＞ab2 D．ab＞ab2＞a
解析：∵a＜0，－1＜b＜0，
∴ab＞0，b－1＜0,1－b＞0,0＜b2＜1.
∴1－b2＞0，ab－a＝a(b－1)＞0.∴ab＞a.
∵ab－ab2＝ab(1－b)＞0，∴ab＞ab2.
∵a－ab2＝a(1－b2)＜0，∴a＜ab2.
故ab＞ab2＞a.
答案：D
二、填空题
5．把下列各题中的“＝”全部改成“＜”，结论仍然成立的是________.
①如果a＝b，c＝d，那么a－c＝b－d；
②如果a＝b，c＝d，那么ac＝bd；
③如果a＝b，c＝d，且cd≠0，那么＝；
④如果a＝b，那么a3＝b3.
解析：因为幂函数y＝x3在R上是增加的，所以④成立．
答案：④
6．lg(x2＋1)与lg x(x＞0)的大小关系是________.
解析：lg(x2＋1)－lg x＝lg＝lg.
∵x＞0，∴x＋≥2＞1.
∴lg＞0，即lg(x2＋1)＞lg x.
答案：lg(x2＋1)＞lg x
三、解答题
7．已知a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y.
求证：＞.
证明：因为a，b，x，y都是正数，且＞，x＞y，
所以＞.所以＜.
故＋1＜＋1，即0＜＜.
所以＞.
8．建筑学规定，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板面积的比值不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好．若同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好了还是变差了？
解：设窗户面积为n，地板面积为m，则≤＜1.
设增加的窗户面积和地板面积均为t，
由＜1.得m＞n.
∴mt＞nt.
∴mt＋mn＞nt＋mn，即m(n＋t)＞n(m＋t)．
∴＞，即采光条件变好了．
一、选择题
1．若a＞b＞0，则下列不等式恒成立的是( )
A．＞ B．＞
C．a＋＞b＋ D．aa＞bb
解析：选取适当的特殊值，若a＝2，b＝1，可知＝，＝2.由此可知选项A不成立．由不等式的基本性质，可知当a＞b＞0时，＜.由此可知选项C不恒成立．取a＝，b＝，则a＞b＞0，但aa＝bb.故选项D不恒成立．
答案：B
2．已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )
A．xy＞yz B．xz＞yz
C．xy＞xz D．x|y|＞z|y|
解析：因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以3x＞x＋y＋z＝0,3z＜x＋y＋z＝0.所以x＞0，z＜0.由可得xy＞xz.
答案：C
二、填空题
3．若0＜x＜，则2x与3sin x的大小关系是否确定？________(选填“是”或“否”)．
解析：令f(x)＝2x－3sin x，则f′(x)＝2－3cos x.
当cos x＜时，f′(x)＞0；当cos x＝时，f′(x)＝0；当cos x＞时，f′(x)＜0.所以当0＜x＜时，函数f(x)先减后增．而f(0)＝0，f＝π－3＞0，故函数f(x)
的值与0的关系与x取值有关，即2x与3sin x的大小关系不确定．
答案：否
4．已知1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，则lg的取值范围是________.
解析：由1≤lg(xy)≤4，－1≤lg≤2，得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2.
而lg＝2lg x－lg y＝(lg x＋lg y)＋(lg x－lg y)，
所以－1≤lg≤5.
答案：[－1,5]
三、解答题
5．已知m∈R，a＞b＞1，函数f(x)＝，试比较f(a)与f(b)的大小．
解：f(a)－f(b)＝－＝.
∵a＞b＞1，
∴(a－1)(b－1)＞0，b－a＜0.
∴当m＞0时，f(a)－f(b)＜0，即f(a)＜f(b)；
当m＝0时，f(a)＝f(b)；
当m＜0时，f(a)－f(b)＞0，即f(a)＞f(b)．
6．实数x，y，z满足x2－2x＋y＝z－1且x＋y2＋1＝0，试比较x，y，z的大小．
解：由x2－2x＋y＝z－1，得z－y＝(x－1)2≥0，即
z≥y.由x＋y2＋1＝0，得y－x＝y2＋y＋1＝2＋＞0，即y＞x.故z≥y＞x.
活页作业(二) 绝对值不等式
一、选择题
1．设ab＞0，下面四个不等式中，正确的是( )
①|a＋b|＞|a|；②|a＋b|＜|b|；③|a＋b|＜|a－b|；
④|a＋b|＞|a|－|b|.
A．①和② B．①和③
C．①和④ D．②和④
解析：∵ab＞0，∴a，b同号．
∴|a＋b|＝|a|＋|b|.
∴①和④正确．
答案：C
2．若|x|≤1时都有|ax＋b|≤1，下列不等式必成立的是( )
A．|a|≤|b|≤1 B．|b|≤|a|≤1
C．|a|≤1，|b|≤1 D．|a|＋|b|≤1
解析：取x＝0，得|b|≤1.再分别取x＝1，－1，
得|a＋b|≤1，|a－b|≤1.
故|2a|＝|(a＋b)＋(a－b)|≤|a＋b|＋|a－b|≤2.
所以|a|≤1必成立．
答案：C
3．对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为( )
A．5 B．4
C．8 D．7
解析：由题意，得|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－1)|≤
|x－1|＋|2(y－2)＋2|≤1＋2|y－2|＋2≤5，即|x－2y＋1|的最大值为5.
答案：A
4．已知x∈R，y∈R，则|x|＜1，|y|＜1是|x＋y|＋|x－y|＜2的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
解析：若|x|＜1，|y|＜1，则当(x＋y)(x－y)≥0时，|x＋
y|＋|x－y|＝|(x＋y)＋(x－y)|＝2|x|＜2；当(x＋y)
(x－y)＜0时，|x＋y|＋|x－y|＝|(x＋y)＝－(x－y)|＝
2|y|＜2.
若|x＋y|＋|x－y|＜2，则2|x|＝|(x＋y)＋(x－y)|＜
|x＋y|＋|x－y|＜2，即|x|＜1；2|y|＝|(x＋y)－(x－
y)|＜|x＋y|＋|x－y|＜2，即|y|＜1.
答案：D
二、填空题
5．已知|a＋b|＜－c(a，b，c∈R)，给出下列不等式：
①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；
⑤|a|＜－|b|－c.
其中一定成立的不等式是________(填序号)．
解析：∵|a＋b|＜－c，∴c＜a＋b＜－c.
∴a＜－b－c，a＞－b＋c，①②成立．
∵|a|－|b|≤|a＋b|＜－c，
∴|a|＜|b|－c，④成立．
答案：①②④
6．有下列三个命题：①若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则＜.其中真命题的序号是________.
解析：①∵|a|－|b|≤|a－b|＜1，∴|a|＜|b|＋1.
②∵|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，
∴|a＋b|－2|a|≤|a－b|.
③∵|y|＞3，∴＜.∵|x|＜2，∴＜.
三个命题均是真命题．
答案：①②③
三、解答题
7．求函数f(x)＝|x－4|－|x－3|的最大值，并求出取最大值时x的范围．
解：f(x)＝|x－4|－|x－3|
≤|(x－4)－(x－3)|＝1，
当且仅当
即x≤3时，函数f(x)取最大值1.
8．已知函数f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0,1]上，x1，x2∈
[0,1]，且x1≠x2，求证：
(1)f(0)＝f(1)；
(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.
证明：(1)∵f(0)＝c，f(1)＝c，
∴f(0)＝f(1)．
(2)|f(x2)－f(x1)|＝|x－x2＋c－x＋x1－c|
＝|x2－x1||x2＋x1－1|.
∵0≤x1≤1,0≤x2≤1，x1≠x2，
∴0＜x1＋x2＜2.
∴－1＜x1＋x2－1＜1.∴|x2＋x1－1|＜1.
∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.
一、选择题
1．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )
A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2
C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小
解析：当(a＋b)(a－b)≥0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；
当(a＋b)(a－b)＜0时，
|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.
答案：B
2．若关于x的不等式x2＋|2x－6|≥a对于一切实数x均成立，则实数a的最大值是( )
A．7 B．9
C．5 D．11
解析：令f(x)＝x2＋|2x－6|，
当x≥3时，f(x)＝x2＋2x－6＝(x＋1)2－7≥9；
当x＜3时，f(x)＝x2－2x＋6＝(x－1)2＋5≥5.
综上，函数f(x)的最小值为5.故原不等式恒成立，只需a≤5即可．从而实数a的最大值为5.
答案：C
二、填空题
3．已知函数f(x)＝3x＋1，当|x－1|＜b时，有|f(x)－4|＜a，a＞0，b＞0，则a与b满足的关系是________.
解析：因为|f(x)－4|＝|3x－3|＝3|x－1|＜a，
所以|x－1|＜.
又当|x－1|＜b时，有|f(x)－4|＜a，
即当|x－1|＜b时，有 |x－1|＜，
所以b≤，即a－3b≥0.
答案：a－3b≥0
4．已知α，β是实数，给出四个论断：
①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α－β|≤|α＋β|；
③|α|＞2，|β|＞2；④|α＋β|＞5.
以其中的两个论断为条件，其余两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.
解析：因为|α＋β|＝|α|＋|β|成立的条件为αβ≥0，
当αβ≥0时，有|α＋β|≥|α－β|，若|α|＞2，|β|＞2，
则|α＋β|＝|α|＋|β|＞4＞5.
答案：①③?②④
三、解答题
5．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的定义域为[－1,1]，且函数|f(x)|的最大值为M，
求证：|1＋b|≤M.
证明：∵M ≥|f(－1)|＝|1－a＋b|，
M ≥|f(1)|＝|1＋a＋b|，
∴2M ≥|1－a＋b|＋|1＋a＋b|
≥|(1－a＋b)＋(1＋a＋b)|＝2|1＋b|.
∴|1＋b|≤M.
6．已知a，b∈R，且|a＋b＋1|≤1，|a＋2b＋4|≤4，求|a|＋|b|的最大值．
解：|a＋b|＝|(a＋b＋1)－1|
≤|a＋b＋1|＋|－1|≤2，
|a－b|＝|3(a＋b＋1)－2(a＋2b＋4)＋5|
≤3|a＋b＋1|＋2|a＋2b＋4|＋5
≤3＋2×4＋5＝16.
①若ab≥0，则|a|＋|b|＝|a＋b|≤2；
②若ab＜0，则|a|＋|b|＝|a－b|≤16.
故当
即a＝8，b＝－8时，
|a|＋|b|取得最大值，且|a|＋|b|＝|a－b|＝16.
活页作业(三) 绝对值不等式的解法
一、选择题
1．如果＜2和|x|＞同时成立，那么实数x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：解不等式＜2，得x＜0或x＞.
解不等式|x|＞，得x＞或x＜－.
∴实数x的取值范围为.
答案：B
2．不等式2＜|2x＋3|≤4的解集为( )
A． B．
C． D．
解析：由2＜|2x＋3|≤4，可得2＜2x＋3≤4或
－4≤2x＋3＜－2.
解得－＜x≤或－≤x＜－.
答案：C
3．关于x的不等式＞a的解集为集合M，且2?M，则实数a的取值范围为( )
A． B．
C． D．
解析：因为2?M，所以2∈?RM.
所以≤a，即－a≤≤a.解得a≥.
答案：B
4．不等式|3－x|＋|x＋4|＞8的解集是( )
A． B．
C． D．R
解析：|3－x|＋|x＋4|＞8?或
或?或或
∴x＜－或x＞.
∴原不等式的解集为.
答案：C
二、填空题
5．若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则a＝________.
解析：由原不等式的解集，可知－，为原不等式对应的方程|ax－2|＝3的根，即
解得a＝－3.
答案：－3
6．已知函数f(x)＝|2x－1|＋x＋3，若f(x)≤5，则实数x的取值范围是________.
解析：由已知，有|2x－1|＋x＋3≤5，即|2x－1|≤2－x.所以x－2≤2x－1≤2－x，
即即所以－1≤x≤1.
答案：[－1,1]
三、解答题
7．已知一次函数f(x)＝ax－2.
(1)当a＝3时，解不等式|f(x)|＜4；
(2)解关于x的不等式|f(x)|＜4；
(3)若关于x的不等式|f(x)|≤3对任意x∈[0,1]恒成立，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝3时，f(x)＝3x－2，
所以|f(x)|＜4?|3x－2|＜4?－4＜3x－2＜4?
－2＜3x＜6?－＜x＜2.
所以原不等式的解集为.
(2)|f(x)|＜4?|ax－2|＜4?－4＜ax－2＜4?－2＜ax＜6.
当a＞0时，原不等式的解集为；
当a＜0时，原不等式的解集为.
(3)|f(x)|≤3?|ax－2|≤3?－3≤ax－2≤3?
－1≤ax≤5?
因为x∈[0,1]，
所以－1≤a≤5.
所以实数a的取值范围为[－1,5]．
8．已知对区间内的一切实数a，满足关于x的不等式|x－a|＜b的x也满足不等式|x－a2|＜，试求实数b的取值范围．
解：设A＝{x||x－a|＜b}，
B＝，
则A＝{x|a－b＜x＜a＋b，b＞0}，
B＝.
由题意，知当0＜a≤时，A?B．
所以
所以b≤－a2＋a＋且b≤a2－a＋.
因为0＜a≤，
所以－a2＋a＋＝－a－2＋∈，a2－a＋＝2＋∈.
所以b≤且b≤.从而b≤.
故实数b的取值范围为.
一、选择题
1．设集合A＝{x||x－a|＜1，x∈R}，B＝{x||x－b|＞2，x∈R}，若A?B，则实数a，b必满足( )
A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
解析：由|x－a|＜1，得a－1＜x＜a＋1.
由|x－b|＞2，得x＜b－2或x＞b＋2.
∵A?B，∴a－1≥b＋2或a＋1≤b－2.
∴a－b≥3或a－b≤－3.∴|a－b|≥3.
答案：D
2．若关于x的不等式|2x＋1|－|x－4|≥m恒成立，则实数m的取值范围为( )
A．(－∞，－1] B．
C． D．(－∞，－5]
解析：设F(x)＝|2x＋1|－|x－4|
＝
如图所示，F(x)min＝－－3＝－.
故m≤F(x)min＝－.
答案：C
二、填空题
3．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则实数a的取值范围是________.
解析：∵关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，
∴Δ＝12－4≥0，即＋|a|≤.
根据绝对值的几何意义，知0≤a≤.
答案：
4．若函数f(x)是R上的减函数，且函数f(x)的图像经过点A(0,3)和B(3，－1)，则不等式|f(x＋1)－1|＜2的解集是________.
解析：∵|f(x＋1)－1|＜2，∴－2＜f(x＋1)－1＜2，即－1＜f(x＋1)＜3.∴f(3)＜f(x＋1)＜f(0)．
∵函数f(x)在R上是减函数，
∴0＜x＋1＜3.解得－1＜x＜2.
答案：{x|－1＜x＜2}
三、解答题
5．如图所示，点O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点．设x表示点C与原点的距离，y表示点C到点A的距离的4倍与点C到点B的距离的6倍之和．
(1)将y表示为x的函数；
(2)要使y的值不超过70，实数x应该在什么范围内取值？
解：(1)依题意，得y＝4|x－10|＋6|x－20|,0≤x≤30.
(2)由题意，得x满足
(*)
当0≤x≤10时，不等式组(*)化为
4(10－x)＋6(20－x)≤70，解得9≤x≤10.
当10＜x＜20时，不等式组(*)化为
4(x－10)＋6(20－x)≤70，解得10＜x＜20.
当20≤x≤30时，不等式组(*)化为
4(x－10)＋6(x－20)≤70，解得20≤x≤23.
综上，实数x的取值范围是[9,23]．
6．已知函数f(x)＝|x－a|.
(1)若关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤
x≤5}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
解：法一 (1)由f(x)≤3，得|x－a|≤3.
解得a－3≤x≤a＋3.
又关于x的不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，
所以解得a＝2.
(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)，于是
g(x)＝|x－2|＋|x＋3|＝
所以当x＜－3时，g(x)＞5；
当－3≤x≤2时，g(x)＝5；
当x＞2时，g(x)＞5.
综上，函数g(x)的最小值为5.
从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m
对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．
法二 (1)同法一．
(2)由(1)，得a＝2，f(x)＝|x－2|.
设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)．
由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)，得函数g(x)的最小值为5.
从而若关于x的不等式f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)≥m
对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，5]．
活页作业(四) 平均值不等式
一、选择题
1．设0＜a＜b，a＋b＝1，则下列不等式正确的是( )
A．b＜2ab＜＜a2＋b2 B．2ab＜b＜a2＋b2＜
C．2ab＜a2＋b2＜b＜ D．2ab＜a2＋b2＜＜b
解析：∵0＜a＜b且a＋b＝1，
∴0＜a＜b＜1.
∴a2＋b2＞2ab，b＞a2＋b2，且＞b.
故2ab＜a2＋b2＜b＜.
答案：C
2．下列不等式正确的是( )
A．a＋b≥2 B．a3＋b3＋c3≥3abc
C．≥ab D．≥
解析：选项A，B，D忽视了a，b，c的条件应为正实数．
答案：C
3．设函数f(x)＝2x＋－1(x＜0)，则函数f(x)( )
A．有最大值 B．有最小值
C．是增函数 D．是减函数
解析：因为x＜0，
所以f(x)＝－－2x＋－1≤
－2－1＝－2－1，
当且仅当－2x＝，即x＝－时取等号．
所以函数f(x)有最大值－2－1.
答案：A
4．已知x＞0，y＞0，若不等式＋＞m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－2]∪[4，＋∞) B．(－∞，－4]∪[2，＋∞)
C．(－2,4) D．(－4,2)
解析：有＋≥2＝8，要使不等式＋＞m2＋2m
恒成立，则m2＋2m＜8.解得－4＜m＜2.
答案：D
二、填空题
5．若x＞0，则函数f(x)＝x＋的最小值是________.
解析：因为x＞0，所以f(x)＝x＋＝＋＋≥
3＝6，当且仅当＝＝，即x＝4时取等号．
答案：6
6．若对任意x＞0，关于x的不等式≤a恒成立，则实数a的取值范围是________.
解析：由x＞0，知原不等式等价于不等式0＜≤＝x＋＋3恒成立．
所以≤min＝5，即0＜≤5.解得a≥.
答案：
三、解答题
7．设单位圆的内接三角形的面积为，三边长分别为a，b，c且不全相等，求证：＋＋＞＋＋.
证明：∵三角形的面积S＝absin C＝，＝2，
∴abc＝1.
∴＋＋＝＋＋＝bc＋ac＋ab＝
≥c＋a＋b＝
(＋＋)＝＋＋，当且仅当a＝b＝c时取等号．
∵三边长a，b，c不全相等，
∴＋＋＞＋＋.
8．已知a，b，c∈R，a＋b＋c＝1，求4a＋4b＋4c2的最小值，并求出取最小值时a，b，c的值．
解：显然4a>0,4b>0,4c2＞0.
则4a＋4b＋4c2≥3，
当且仅当a＝b＝c2时取等号．
因为a＋b＋c＝1，所以a＋b＝1－c.
所以a＋b＋c2＝c2－c＋1＝2＋.
所以当c＝时，a＋b＋c2取得最小值.
从而当a＝b＝，c＝时，4a＋4b＋4c2取得最小值，且最小值为3.
一、选择题
1．给出下列不等式：①x＋≥2；②≥2；③若
0＜a＜1＜b，则logab＋logba≤－2；④若0＜a＜1＜b，则logab＋logba≥2.其中正确的是( )
A．②④ B．①②
C．②③ D．①②④
解析：①当x＞0时，x＋≥2；
当x＜0时，x＋≤－2.故①错误．
②因为x与同号，所以＝|x|＋≥2.故②正确．
③当0＜a＜1＜b时，logab＜0，logba＜0，
所以－logab＞0，－logba＞0.
所以logab＋logba＝logab＋≤－2.故③正确．
④由③，知logab＋logba≥2是错的．
答案：C
2．对于x∈，关于x的不等式＋≥16恒成立，则正数p的取值范围为( )
A．(－∞，－9] B．(－9,9]
C． (－∞，9] D．[9，＋∞)
解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t.
∵x∈，∴t∈(0,1)．
关于x的不等式＋≥16可化为
p≥(1－t)．
令y＝(1－t)，
则y＝17－
≤17－2＝9，
当且仅当＝16t，即t＝时取等号，
因此，原不等式恒成立，只需p≥9.
答案：D
二、填空题
3．已知x＞0，y＞0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________.
解析：∵2xy＝x·(2y)≤2，
∴8＝x＋2y＋2xy≤x＋2y＋2，
即(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0.
∵x＞0，y＞0，∴x＋2y≥4，当且仅当x＝2，y＝1时取等号，即x＋2y的最小值是4.
答案：4
4．已知二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，则＋的最小值为________.
解析：∵二次函数f(x)＝ax2＋2x＋c(x∈R)的值域为[0，＋∞)，
∴a＞0且c－＝0.∴c＝.
∴＋＝a2＋a＋＋≥2＋
2＝4，
当且仅当a＝，即a＝1时取等号．
答案：4
三、解答题
5．已知函数f(x)＝2x＋2－x，若对于任意x∈R，关于x的不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，求实数m的最大值．
解：由条件，知f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝[f(x)]2－2.
因为关于x的不等式f(2x)≥mf(x)－6对任意x∈R
恒成立，且f(x)＞0，
所以关于x的不等式m≤对任意x∈R恒成立．
而＝f(x)＋≥2＝4，当且仅当f(x)＝2，即x＝0时取等号，
所以m≤4.故实数m的最大值为4.
6．x，y，a，b均为正实数，x，y为变数，a，b为常数，且a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a，b的值．
解：∵x＋y＞0，a＞0，b＞0且＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)＝a＋b＋＋≥a＋b＋
2＝a＋b＋2＝(＋)2，
当且仅当＝时取等号．
此时(x＋y)min＝(＋)2＝18，
即a＋b＋2＝18.
又a＋b＝10，
联立
解得或
活页作业(五) 比较法、分析法、综合法
一、选择题
1．已知a＞b＞－1，则与的大小关系是( )
A．＞ B．＜
C．≥ D．≤
解析：∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0.
∴－＝＜0.
∴＜.
答案：B
2．设a＞0，b＞0，且ab－(a＋b)≥1，则( )
A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1
C．a－b≤(＋1)2 D．a＋b＞2(＋1)
解析：因为≤.所以ab≤(a＋b)2.
所以(a＋b)2－(a＋b)≥ab－(a＋b)≥1.
所以(a＋b) 2－4(a＋b)－4≥0.
因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥2＋2.
答案：A
3．设x＝，y＝－，z＝－，则x，y，z的大小关系是( )
A．x＞y＞z B．z＞x＞y
C．y＞z＞x D．x＞z＞y
解析：y＝－＝，z＝－＝，
∵＋＞＋＞0，∴z＞y.
∵x－z＝－＝＝＞0，
∴x＞z.∴x＞z＞y.
答案：D
4．不等式：①x2＋3＞2x(x∈R)；②a5＋b5≥a3b2＋a2b3；③a2＋b2≥2(a－b－1)．其中正确的是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
解析：①可化为(x－1)2＋2＞0，显然成立；对于②，a5＋
b5－(a3b2＋a2b3)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)，由于(a－b)2≥0，a2＋ab＋b2≥0，
而a＋b的符号不确定，②式不一定成立；③可化为
(a－1)2＋(b＋1)2≥0，显然成立．故①③正确．
答案：C
二、填空题
5．分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明“设a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，求证：＜a”，索的因应是下列式子中的________.
①a－b＞0；
②a－c＞0；
③(a－b)(a－c)＞0；
④(a－b)( a－c)＜0.
解析：要证 ＜a，只需证b2－ac＜3a2.
因为a＋b＋c＝0，所以即证(a＋c)2－ac＜3a2，即证2a2－ac－c2＞0，即证(2a＋c)(a－c)＞0，即证(a－b)(a－c)＞0.故③正确．
答案：③
6．已知x，y，z满足z＜y＜x，且xz＜0.给出下列各式：
①xy＞xz；②z(y－x)＞0；③zy2＜xy2；④xz(x－z)＜0.
其中正确式子的序号是________.
解析：①∵??xy＞xz，
∴①正确．②∵??z(y－x)＞0，
∴②正确．③∵z＜y＜x且xz＜0，∴x＞0且z＜0.
当y＝0时，zy2＝xy2；当y≠0时，zy2＜xy2.∴③不正确．
④∵x＞z，∴x－z＞0.∵xz＜0，∴(x－z)xz＜0.∴④正确．
综上，①②④正确．
答案：①②④
三、解答题
7．若不等式＋＋＞0在满足条件a＞b＞c时恒成立，求实数λ的取值范围．
解：原不等式可化为＋＞.
∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，a－c＞0.
∴不等式λ＜＋恒成立．
∵＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，
∴λ＜4.
故实数λ的取值范围是(－∞，4)．
8．设a＞b＞c＞1，记M＝a－，N＝a－，P＝2，Q＝3，试找出其中的最小者，并说明理由．
解：P最小．理由如下：
因为b＞c＞0，所以＞.所以N＜M.
又Q－P＝c＋2－3
＝c＋＋－3
≥3－3＝0，
因为a＞b＞c＞1，所以c≠.从而Q＞P.
又N－P＝2－－b
＝(2－1－)
＝[(－1)＋(－)]，
因为a＞b＞c＞1，所以P＜N.
故P最小．
一、选择题
1．设a＝lg e，b＝(lg e)2，c＝lg ，则( )
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞a＞b D．c＞b＞a
解析：由1＜e2＜10，知0＜lg e＜.
所以a＞b，a＞c.
又c－b＝lg－(lg e)2＝lg e＞0，
所以a＞c＞b.
答案：B
2．设＜b＜a＜1，则( )
A．aa＜ab＜ba B．aa＜ba＜ab
C．ab＜aa＜ba D．ab＜ba＜aa
解析：∵＜b＜a＜1，
∴0＜a＜b＜1.∴＝aa－b＞1.∴ab＜aa.
∵＝a,0＜＜1，a＞0，∴a＜1.
∴aa＜ba.∴ab＜aa＜ba.
答案：C
二、填空题
3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则下列式子正确的是________.
①a＜v＜；②v＝；
③＜v＜；④v＝.
解析：设甲、乙两地之间的距离为s.
∵a＜b，
∴v＝＝＝＜＝.
∵v－a＝－a＝＞＝0，∴v＞a.
答案：①
4．若a＞0，b＞0，则lg________[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．(选填“≥”“≤”或“＝”)
解析：[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]
＝lg[(1＋a)(1＋b)]＝lg[(1＋a)(1＋b)]，
lg＝lg.
∵a＞0，b＞0，∴a＋1＞0，b＋1＞0.
∴[(a＋1)(1＋b)]≤＝.
∴lg≥lg[(1＋a)(1＋b)]，
即lg≥[lg(1＋a)＋lg(1＋b)]．
答案：≥
三、解答题
5．已知a＋b＋c＝0，求证：ab＋bc＋ca≤0.
证明：法一 综合法．
∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0.
上式展开，得ab＋bc＋ca＝－.
∴ab＋bc＋ca≤0.
法二 分析法．
∵a＋b＋c＝0，
∴要证ab＋bc＋ca≤0，
只要证ab＋bc＋ca≤(a＋b＋c)2，
即证a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca≥0，亦即证
≥0.
而这是显然成立的，由于以上相应各步均可逆，
故原不等式成立．
法三 ∵a＋b＋c＝0，∴－c＝a＋b.
∴ab＋bc＋ca＝ab＋(b＋a)c＝ab－(a＋b)2＝－a2－b2－ab＝－≤0.
∴ab＋bc＋ca≤0.
6．已知数列{an}是首项为2、公比为的等比数列，Sn为它的前n项和．
(1)用Sn表示Sn＋1.
(2)是否存在自然数c和k，使得不等式＞2成立？
解：(1)根据题意，得Sn＝4.
所以Sn＋1＝4＝Sn＋2(n∈N＋)．
(2)要使不等式＞2成立，
只需不等式＜0成立．
因为Sk＝4＜4，
所以Sk－＝2－Sk＞0(k∈N＋)．
故只需不等式Sk－2＜c＜Sk(k∈N＋) ①成立．
因为Sk＋1＞Sk(k∈N＋)，
所以Sk－2≥S1－2＝1.
又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.
当c＝2时，因为S1＝2，
所以当k＝1时，c＜Sk不成立．从而①不成立．
当k≥2时，因为S2－2＝＞c，由Sk＜Sk＋1
(k∈N＋)，得Sk－2＜Sk＋1－2.
故当k≥2时，Sk－2＞c.从而①不成立．
当c＝3时，因为S1＝2，S2＝3，
所以当k＝1， k＝2时，c＜Sk不成立．从而①不成立．
因为S3－2＝＞c，Sk－2＜Sk＋1－2，
所以当k≥3时，Sk－2＞c.从而①不成立．
综上，不存在自然数c和k，使不等式＞2成立．
1.4 第二课时 放缩法、几何法、反证法
1．命题“函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有且只有一个零点”的结论的否定是( )
A．无零点 B．有两个零点
C．至少有两个零点 D．无零点或至少有两个零点
解析：“有且只有一个”的否定是“一个也没有或至少有两个”．
答案：D
2．下面放缩正确的是( )
A．a2＋2a＋1＞a2＋1 B．a2＋2a＋1＞a2＋2a
C．|a＋b|＞|a| D．x2＋1＞1
解析：由减少项的符号，易知选项A，C，D不正确．
答案：B
3．已知复数z满足|z|＝2，则|z－i|的最大值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析：|z|＝2表示以原点为圆心、2为半径的圆，
|z－i|表示圆上的点到点(0,1)的距离，由图易得最大值为3.
答案：B
4．已知a，b，c，d都是正数，S＝＋＋＋，则S与1的大小关系是________.
解析：S＝＋＋＋＞＋＋＋＝1.
答案：S＞1
5．用反证法证明：如果a，b，c，d为实数，a＋b＝1，c＋d＝1，且ac＋bd＞1，则a，b，c，d中至少有一个负数．
证明：假设a，b，c，d中至少有一个负数不成立，
即a，b，c，d都为非负数，即a≥0，b≥0，c≥0，d≥0.
因为a＋b＝1，c＋d＝1，
所以(a＋b)(c＋d)＝1，
即(ac＋bd)＋(bc＋ad)＝1.(*)
因为a，b，c，d均为非负数，所以bc＋ad≥0.
由(*)式可以知道ac＋bd≤1.这与已知条件中的ac＋bd＞1矛盾，所以假设不成立．
故a，b，c，d中至少有一个负数．
活页作业(六) 放缩法、几何法、反证法
一、选择题
1．实数a，b，c不全为0的等价条件是( )
A．实数a，b，c均不为0
B．实数a，b，c中至多有一个为0
C．实数a，b，c中至少有一个为0
D．实数a，b，c中至少有一个不为0
解析：实数a，b，c不全为0的含义是实数a，b，c中至少有一个不为0.
答案：D
2．设x>0，y>0，M＝，N＝＋，则M，N的大小关系是( )
A．M >N B．MC．M＝N D．不能确定
解析：N＝＋＞＋＝＝M.
答案：B
3．已知x＝a＋(a＞2)，y＝b2－2(b＜0)，则x，y之间的大小关系是( )
A．x＞y B．x＜y
C．x＝y D．不能确定
解析：易得x＝a－2＋＋2≥2＋2＝4(a＞2)，
而b2－2＞－2(b＜0)，即y＝b2－2＜－2＝4，
所以x＞y.
答案：A
4．设M＝＋＋＋…＋，则( )
A．M＝1 B．M＜1
C．M ＞1 D．M与1大小关系不定
解析：M＝＋＋…＋<
＝210×＝1.
答案：B
二、填空题
5．若a＞b＞0，m＞0，n＞0，则，，，，按由小到大的顺序排列为______________________．
解析：由a＞b＞0，m＞0，n＞0，知
＜＜1且＜＜1.
则＞＞1，即1＜＜.
答案：＜＜＜
6．已知a∈(0，＋∞)，则，，从大到小的顺序为_____________________．
解析：∵＋＞＋＝2，
＋＜＋＝2，
∴2＜＋＜2.
∴＞＞.
答案：＞＞
三、解答题
7．已知数列{an}的前n项和Sn＝(n2＋n)·3n.
求证：＋＋…＋＞3n.
证明：当n＝1时，＝a1＝S1＝6＞3；
当n＞1时，
＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝S1＋S2＋…＋Sn－1＋
＞＝·3n＞3n.
所以当n≥1时，＋＋…＋＞3n.
8．设函数f(x)定义在区间(0，＋∞)上，且f(1)＝0，导函数f′(x)＝，函数g(x)＝f(x)＋f′(x)．
(1)求函数g(x)的最小值；
(2)是否存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立？若存在，请求出x0的取值范围；若不存在，请说明理由．
解：(1)由题设，易知f(x)＝ln x，g(x)＝ln x＋.
∴g′(x)＝.令g′(x)＝0，得x＝1.
当x∈(0,1)时，g′(x)＜0，故区间(0,1)是函数
g(x)的单调递减区间；
当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＞0，故区间(1，＋∞)是函数g(x)的单调递增区间．
∴函数g(x)的最小值为g(1)＝1.
(2)满足条件的x0不存在．理由如下：
假设存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立．
由(1)，知函数g(x)的最小值为g(1)＝1.
∴当x≥1时，函数g(x)的值域为[1，＋∞)，
从而可取一个x1＞1，使g(x1)≥g(x0)＋1，
即g(x1)－g(x0)≥1.
故|g(x1)－g(x0)|≥1＞，与假设矛盾．
∴不存在x0＞0，使得不等式|g(x)－g(x0)|＜对任意x＞0恒成立．
一、选择题
1．lg 9lg 11与1的大小关系是( )
A．lg 9lg 11＞1 B．lg 9lg 11＝1
C．lg 9lg 11＜1 D．不能确定
解析：因为lg 9＞0，lg 11＞0，且lg 9≠lg 11，
所以lg 9lg 11＜2＝2＜2＝1.
答案：C
2．若|a|＜1，|b|＜1，则( )
A．＝1 B．＜1
C．≤1 D．≥1
解析：假设≥1，
则|a＋b|≥|1＋ab|
?a2＋b2＋2ab≥1＋2ab＋a2b2
?a2＋b2－1－a2b2≥0
?a2(1－b2)－ (1－b2)≥0
?(a2－1)(1－b2)≥0.
由上式，知a2－1≤0,1－b2≤0或a2－1≥0,1－b2≥0.
与已知矛盾，故＜1.
答案：B
二、填空题
3．若直线y＝x＋m与曲线x＝恰有一个公共点，则实数m的取值范围是______________.
解析：
如图所示，曲线x＝ 是半圆(x≥0)，
A(1,0)，B(0，－1)，C(0,1)，kAB＝1，这时直线AB在y轴上的截距为－1(m≠－1)，
往上平移至C点时适合题意(m＝1)，往下平移至相切时在y轴上的截距为－，
所以直线y＝x＋m与曲线x＝ 恰有一个公共点时，实数m的取值范围是{m|－1＜m≤1或m＝－}．
答案：{m|－1＜m≤1或m＝－}
4．完成下列反证法证题的全过程．
题目：设a1，a2，…，a7是1,2,3，…，7的一个排列，
求证：p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．
证明：假设p为奇数，则____________________均为奇数．
因为奇数个奇数的和还是奇数，
所以奇数＝____________________＝____________________＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
解析：假设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)
均为奇数．
因为奇数个奇数的和还是奇数，
所以奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.
但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．
答案：(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)
三、解答题
5．已知x1，x2∈.
求证：tan x1＋tan x2＞2tan.
证明：不妨设x2＞x1.在单位圆中，过点A作单位圆的切线AT，在AT上取B，C两点，使∠BOA＝x1，∠COA＝x2，取∠DOA＝，E为BC的中点．
∵x 1，x2∈，
∴|OC|＞|OB|，|AB|＝tan x1，|AC|＝tan x2，
|AD|＝tan.
易得OD是∠BOC的平分线，由三角形内角平分线的性质，得＝.
∴＜1，即|BD|＜|DC|.
∴|BE|＞|BD|，|AE|＞|AD|.
∵|AE|＝(|AB|＋|AC|)，
∴(tan x1＋tan x2)＞tan，
即tan x1＋tan x2＞2tan.
6．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和，a1＝b1＝1，S2＝.
(1)若b2是a1，a3的等差中项，求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)若an∈N＋，数列{ban}是公比为9的等比数列，
求证：＋＋＋…＋＜.
(1)解：设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
因为S2＝，所以a1＋a1＋d＝.
而a1＝b1＝1，则q(2＋d)＝12.①
因为b2是a1，a3的等差中项，
所以a1＋a3＝2b2，即1＋1＋2d＝2q，
即1＋d＝q.②
联立①②，解得或
所以an＝1＋(n－1)·2＝2n－1，bn＝3n－1或an＝1＋(n－1)·(－5)＝6－5n，bn＝(－4)n－1.
(2)证明：因为an∈N＋，
ban＝b1qan－1＝q1＋(n－1)d－1＝q(n－1)d，
所以＝＝qd＝9，即qd＝32.③
由(1)，知q(2＋d)＝12，即q＝.④
因为a1＝1，an∈N＋，所以d∈N.
根据③④，知q＞1且q为正整数．
所以d可为0或1或2或4.但同时满足③④两个等式的只有d＝2，q＝3，
所以an＝2n－1，Sn＝＝n2.
所以＝＜＝(n≥2)．
当n≥2时，
＋＋…＋＜1＋＋＋＋…＋＝1＋
＋…＋＝1＋＝－
－＜.
显然，当n＝1时上式也成立．
故n∈N＋，＋＋…＋＜.
活页作业(七) 不等式的应用
一、选择题
1．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0＜t≤30)的关系大致满足f(t)＝t2＋10t＋16，则该商场前
t天平均售出的月饼最少为( )
A．18 B．27
C．20 D．16
解析：平均销售量
y＝＝＝t＋＋10≥18，
当且仅当t＝，即t＝4∈[1,30]时等号成立，
即平均销售量的最小值为18.
答案：A
2．汽车上坡时的速度为a，原路返回时的速度为b，且0＜a＜b，则汽车全程的平均速度比a，b的平均值( )
A．大 B．小
C．相等 D．不能确定
解析：设单程为s，则上坡时间t1＝，下坡时间t2＝，
平均速度为v＝＝＝＜.
答案：B
3．某车间分批生产某种产品，每批产品的生产准备费用为800元，若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 B．80件
C．100件 D．120件
解析：若每批生产x件产品，则每件产品的生产准备费用是元，仓储费用是元，总的费用是＋≥
2＝20，
当且仅当＝，即x＝80时取等号．
答案：B
4．如图，建立平面直角坐标系，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1 km，某炮位于原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx－(1＋k2)x2(k＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．则炮的最大射程为( )
A．20 km B．10 km
C．5 km D．15 km
解析：令y＝0，得kx－(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件，知x＞0，k＞0.故x＝＝≤＝10，当且仅当k＝，即k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10 km.
答案：B
二、填空题
5．设三角形的三边长分别为3,4,5，P是三角形内的一点，则点P到这个三角形三边的距离的积的最大值是________.
解析：设点P到三角形三边的距离分别为h1，h2，h3.
由题意，得三角形为直角三角形，S＝×3×4＝6.
∴h1·3＋h2·4＋h3·5＝6.
∴3h1＋4h2＋5h3＝12≥3.
∴h1h2h3≤＝.
答案：
6．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为____________m.
解析：如图，过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点F.易知＝＝＝?AF＝x?FH＝40－x.则S＝x(40－x)≤2，当且仅当40－x＝x，即x＝20时取等号．所以满足题意的边长x为20 m.
答案：20
三、解答题
7．某渔业公司今年年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞，第一年需各种费用12万元，从第二年开始包括维修费在内，每年所需费用均比上一年增加4万元，该船每年捕捞的总收入为50万元．
(1)该船捕捞几年后开始盈利(即总收入减去成本及所有费用之差为正值)?
(2)该船捕捞若干年后，处理方案有两种：
①当年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．
哪一种方案较为合算？请说明理由．
解：(1)设捕捞n年后开始盈利，盈利为y元，则
y＝50n－－98
＝－2n2＋40n－98.
由y＞0，得n2－20n＋49＜0.
解得10－＜n＜10＋(n∈N＋)．
所以3≤n≤17.
故捕捞3年后开始盈利．
(2)①由(1)，得y＝－2n2＋40n－98.所以平均盈利为
＝－2n－＋40≤－2＋40＝12，
当且仅当2n＝，即n＝7时，年平均盈利最大．
故经过7年捕捞后平均盈利最大，共盈利12×7＋26＝110(万元)．
②由(1)，得y＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102.
所以当n＝10时，函数y的最大值为102.
故经过10年捕捞后盈利总额最大，共盈利102＋8＝110(万元)．
因为两种方案盈利相等，但方案②的时间长，
所以方案①合算．
8．某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和矩形EFGH构成的面积是200 m2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ上建一花坛，造价为4 200元/m2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m2.
(1)设总造价为S元，AD的边长为x m，试建立S关于x的函数解析式；
(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？
解：(1)设DQ＝y m，则x2＋4xy＝200，即
y＝.
所以S＝4 200x2＋210×4xy＋80×4×y2
＝38 000＋4 000x2＋(0＜x＜10)．
(2)由(1)，得S＝38 000＋4 000x2＋
≥38 000＋2＝118 000，
当且仅当4 000x2＝，即x＝时取等号．
因为118 000元＝11.8万元，
所以计划至少要投入11.8万元才能建造这个休闲小区．
一、选择题
1．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外，每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )
A．10 B．11
C．13 D．21
解析：设该企业需要更新设备的年数为x，设备年平均费用为y万元，则x年后的设备维护费用为2＋4＋…＋
2x＝[x(x＋1)]万元，所以x年的年平均费用为y＝＝x＋＋1.5万元．由平均值不等式，得y＝x＋＋1.5＋1.5＝21.5，当且仅当x＝，即x＝10时取等号．
答案：A
2．设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x＜100，x∈N＋)人去进行新开发的产品B的生产．分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )
A．15 B．16
C．17 D．18
解析：由题意，得分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t万元．则
解得0＜x≤.
因为x∈N＋，所以x的最大值为16.
答案：B
二、填空题
3．制造一个容积为 m3的无盖圆柱形桶，用来做底面的金属板的价格为每平方米30元，做侧面的金属板的价格为每平方米20元，则当圆柱形桶的底面半径为________m、高为________m时，所使用的材料成本最低．
解析：设此圆柱形桶的底面半径为rm，高为h m，则底面面积为πr2m2，侧面积为2πrh m2.
设原料成本为y元，则y＝30πr2＋40πrh.
因为桶的容积为 m3，
所以πr2h＝，即rh＝.
所以y＝30πr2＋π＝10π≥10π·3，
当且仅当3r2＝，即r＝时等号成立，此时h＝.
答案：
4．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为________.
解析：设底面边长为x，高为h，则x2h＝V，即h＝.
所以S表＝2×x2＋3xh
＝x2＋3x·＝x2＋
＝＝
≥×3＝3·，
当且仅当x2＝，即x＝ 时取等号．
答案：
三、解答题
5．如图(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．
(1) (2)
解：设正六棱柱容器的底面边长为x(x＞0)，高为h，由下图，可得2h＋x＝.
所以h＝(1－x)，V＝S底·h＝6×x2h＝
x2·(1－x)＝2×···(1－x)≤93＝，
当且仅当＝1－x，即x＝时等号成立．
所以当底面边长为时，正六棱柱容器容积最大，为.
6．某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料200 kg，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管与其他费用为平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元．
(1)该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少？
(2)若提供饲料的公司规定：当一次购买饲料不少于5 t时其价格可享受八五折优惠(即为原价的85%)．该厂是否可以考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应隔x(x∈N＋)天购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y1元．
因为饲料的保管与其他费用每天比前一天少200×0.03＝6(元)，
所以x天饲料的保管与其他费用共
6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6＝(3x2－3x)元．
从而有y1＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8
＝＋3x＋357≥417，
当且仅当＝3x，即x＝10时取等号．
故每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少．
(2)该厂可以考虑利用此优惠条件．理由如下：若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料．
设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2元，则
y2＝(3x2－3x＋300)＋200×1.8×0.85
＝＋3x＋303(x≥25)．
因为y′2＝－＋3，
所以当x≥25时，y2′＞0，即函数y2在区间[25，＋∞)上是增函数．
则当x＝25时，函数y2取得最小值为390.
而390＜417，
故该厂可以考虑利用此优惠条件．
