3.1 变化的快慢与变化率
[基础达标]
1.将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积增加ΔS等于( )
A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
解析：选B.ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.
2.某质点的运动规律为s＝t2＋3，则在时间段(3，3＋Δt)中的平均速度等于( )
A．6＋Δt B．6＋Δt＋
C．3＋Δt D．9＋Δt
解析：选A.v＝＝
＝＝6＋Δt.
3.已知点P(2，8)是曲线y＝2x2上一点，则P处的瞬时变化率为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D.Δy＝2(2＋Δx)2－2×22＝8Δx＋2(Δx)2，
＝＝8＋2Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于常数8.
4.已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.＝
＝4＋Δt－，
当Δt无限趋近于0时，无限趋近于，∴选D.
5.物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.
又因为在某时刻的瞬时速度为零，
当Δt趋于0时，＝16－8t－4Δt无限趋近于0.
即16－8t＝0，解得t＝2.
6.某日中午12时整，甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以60 km/h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．
解析：＝＝100 km/h.
答案：100 km/h
7.一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的距离s与时间t之间的函数关系为s＝t2，则t＝2时，木块的瞬时速度为________．
解析：＝＝t＋Δt.
当t＝2，且Δt趋于0时，趋于.
答案：
8.已知曲线y＝x2＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________．
解析：Δy＝(x＋Δx)2＋1－(x2＋1)＝2xΔx＋(Δx)2，
＝＝2x＋Δx，
当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x＝－4，所以x＝－2，可得y＝5.
答案：(－2，5)
9.求函数y＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪点附近的平均变化率最大．
解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝
＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为k2＝
＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为k3＝
＝＝6＋Δx.
令Δx＝，可得k1＝，k2＝，k3＝，故函数f(x)在x＝3附近的平均变化率最大．
10.如果一个质点从定点A开始运动，关于时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3.求该质点在t＝4时的瞬时速度．
解：＝
＝
＝48＋12Δt＋(Δt)2，
当Δt无限趋近于零时，无限趋近于48.
即质点在t＝4时的瞬时速度是48.
[能力提升]
1.函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
解析：选D.因为k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定．
2.若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，则Δx的范围是________．
解析：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
3.若一物体的运动方程如下(s单位：m，t单位：s)：s＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)t∈[3，5]时，Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，∴＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
∵物体在t＝0附近的平均速度为＝＝＝＝3Δt－18，
∴物体在t＝0时的瞬时速度为v0＝ ＝ (3Δt－18)＝－18(m/s)．
(3)∵物体在t＝1时的平均速度为＝＝＝3Δt－12，
∴物体在t＝1时的瞬时速度为v＝ ＝ (3Δt－12)＝－12(m/s)．
4．质点M按规律s＝s(t)＝at2＋1做直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝＝4a＋aΔt.当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，由题易知4a＝8，解得a＝2.所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s.
3.1 变化的快慢与变化率
[A.基础达标]
1．将半径为R的球加热，若球的半径增加ΔR，则球的表面积增加ΔS等于( )
A．8πRΔR B．8πRΔR＋4π(ΔR)2
C．4πRΔR＋4π(ΔR)2 D．4π(ΔR)2
解析：选B.ΔS＝4π(R＋ΔR)2－4πR2＝8πRΔR＋4π(ΔR)2.
2.
如图，函数y＝f(x)在A、B两点间的平均变化率是( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
解析：选B.＝＝＝－1.
3．某生物生长过程中，在三个连续时段内的增长量都相等，在各时段内平均增长速度分别为v1，v2，v3，该生物在所讨论的整个时段内的平均增长速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.设三个连续时段为t1，t2，t3，各时段的增长量相等，设为M，则M＝v1t1＝v2t2＝v3t3.
整个时段内的平均增长速度为＝＝.
4．已知物体的运动方程为s＝t2＋(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t＝2时的速度为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.＝
＝4＋Δt－，
当Δt趋于0时，趋于，所以选D.
5．甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是( )
A．甲 B．乙
C．相同 D．不确定
解析：选B.在t0处，虽然W1(t0)＝W2(t0)，
但是，在t0－Δt处，W1(t0－Δt)即<，
所以，在相同时间Δt内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．
6．某日中午12时整，甲车自A处以40 km／h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以60 km／h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间的距离对时间的平均变化率为________．
解析：＝＝100 km／h.
答案：100 km／h
7．已知曲线y＝x2＋1在点M处的瞬时变化率为－4，则点M的坐标为________．
解析：Δy＝(x＋Δx)2＋1－(x2＋1)＝2xΔx＋(Δx)2，
＝＝2x＋Δx，
当Δx趋于0时，趋于2x＝－4，所以x＝－2，可得y＝5.
答案：(－2，5)
8.如图所示为一圆锥形容器，底面圆的直径等于圆锥母线长，水以每分钟9.3升的速度注入容器内，则注入水的高度在t＝分钟时的瞬时变化率为________分米/分钟．(注：π≈3.1)
解析：由题意知，圆锥轴截面为等边三角形，设经过t分钟后水面高度为h，则水面的半径为h，t分钟时，容器内水的体积为9.3t，
因为9.3t＝π(h)2·h，
所以h3＝27t，所以h＝3.
因为＝
＝
＝，
所以当Δ t趋于0时，趋于9，即h(t)在t＝处的瞬时变化率为9.
答案：9
9．求函数f(x)＝x2在x＝1，2，3附近的平均变化率，取Δx都为，哪点附近的平均变化率最大．
解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝
＝＝2＋Δx；
在x＝2附近的平均变化率为k2＝
＝＝4＋Δx；
在x＝3附近的平均变化率为k3＝
＝＝6＋Δx.
令Δx＝，可得k1＝，k2＝，k3＝，故函数f(x)在x＝3附近的平均变化率最大．
10．如果一个质点从定点A开始运动，关于时间t的位移函数为y＝f(t)＝t3＋3.求该质点在t＝4时的瞬时速度．
解：＝
＝
＝48＋12Δt＋(Δt)2，
当Δt趋于零时，趋于48.
即质点在t＝4时的瞬时速度是48.
[B.能力提升]
1．函数f(x)＝x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为k1，在x0－Δx到x0之间的平均变化率为k2，则k1，k2的大小关系是( )
A．k1＜k2 B．k1＞k2
C．k1＝k2 D．无法确定
解析：选D.因为k1＝＝2x0＋Δx，
k2＝＝2x0－Δx，
又Δx可正可负且不为零，所以k1，k2的大小关系不确定．
2．物体运动时位移s与时间t的函数关系是s＝－4t2＋16t，此物体在某一时刻的速度为零，则相应的时刻为( )
A．t＝1 B．t＝2
C．t＝3 D．t＝4
解析：选B.Δs＝－4(t＋Δt)2＋16(t＋Δt)－(－4t2＋16t)＝16Δt－8t·Δt－4(Δt)2.
又因为在某时刻的瞬时速度为零，
当Δt趋于0时，＝16－8t－4Δt趋于0.
即16－8t＝0，解得t＝2.
3．若函数f(x)＝－x2＋x在[2，2＋Δx](Δx＞0)上的平均变化率不大于－1，则Δx的范围是________．
解析：因为函数f(x)在[2，2＋Δx]上的平均变化率为：
＝
＝
＝＝－3－Δx，
所以由－3－Δx≤－1，得Δx≥－2.
又因为Δx＞0，即Δx的取值范围是(0，＋∞)．
答案：(0，＋∞)
4．当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是________．
解析：＝
＝4πr2＋4πrΔr＋π(Δr)2，
当Δr趋于0时，瞬时变化率为4πr2.
答案：4πr2
5．质点M按规律s＝s(t)＝at2＋1做直线运动(位移s的单位：m，时间t的单位：s)．问是否存在常数a，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m／s？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：假设存在常数a，则Δs＝s(2＋Δt)－s(2)＝a(2＋Δt)2＋1－a×22－1＝4a＋4aΔt＋a(Δt)2＋1－4a－1＝4aΔt＋a(Δt)2，所以＝＝4a＋aΔt.当Δt趋于0时，4a＋aΔt趋于4a，由题易知4a＝8，解得a＝2.所以存在常数a＝2，使质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m／s.
6．(选做题)若一物体的运动方程如下(s单位：m，t单位：s)：s＝
求：(1)物体在t∈[3，5]内的平均速度；
(2)物体的初速度v0；
(3)物体在t＝1时的瞬时速度．
解：(1)t∈[3，5]时，Δt＝5－3＝2，Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，所以＝＝24(m/s)．
(2)求物体的初速度v0即求物体在t＝0时的瞬时速度．
因为物体在t＝0附近的平均速度为＝＝＝＝3Δt－18，
所以当Δt趋于0时的瞬时速度为v0趋于－18，所以物体在t＝0时的瞬时速度为－18 m/s.
(3)因为物体在t＝1时的平均速度为＝＝＝3Δt－12，
当Δt趋于0时，v趋于－12，
所以物体在t＝1时的瞬时速度为－12 m/s.
3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义
[基础达标]
1.若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h都无关
解析：选B.f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，而与h无关．
2.在曲线y＝x2上点P处的切线的倾斜角为，则点P的坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设切点P的坐标为(x0，y0)，则y′|x＝x0
＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
∴2x0＝tan＝1，x0＝，y0＝，∴切点P(，)．
3.已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)及f′(5)分别为( )
A．3，3 B．3，－1
C．－1，3 D．－1，－1
解析：选B.f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.
4.设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A.∵
＝
＝a，∴f′(1)＝a，又f′(1)＝2，∴a＝2.
5.曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1，0) B．(1，0)或(－1，－4)
C．(2，8) D．(2，8)或(－1，－4)
解析：选B.设P0(x0，y0)，＝
＝
＝
＝3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2，
f′(x0)＝ ＝3x＋1，
∴3x＋1＝4，x＝1，x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，
x0＝－1时，y0＝－4，∴P0为(1，0)或(－1，－4)．
6.函数f(x)＝x－在x＝1处的导数为________．
解析：Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，
＝＝1＋，
∴ ＝ ＝2，从而f′(1)＝2.
答案：2
7.过点P(－1，2)且与曲线y＝3x2－4x＋2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程是________．
解析：f′(1)＝
＝2，
∴过点P(－1，2)且与切线平行的直线方程为y－2＝2(x＋1)，即y＝2x＋4.
答案：y＝2x＋4
8.过点(3，5)且与曲线f(x)＝x2相切的直线的方程为________．
解析：∵当x＝3时，f(3)＝32＝9，
∴点(3，5)不在曲线y＝x2上，
设切点为A(x0，y0)，即A(x0，x)，
则在点A处的切线斜率k＝f′(x0)．
∵
＝＝2x0＋Δx，
当Δx→0时，2x0＋Δx→2x0，∴k＝f′(x0)＝2x0，
∴在点A处的切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，
即2x0x－y－x＝0，又∵点(3，5)在切线上，
∴6x0－5－x＝0，即x－6x0＋5＝0，
∴x0＝1或x0＝5，∴切点为(1，1)或(5，25)，
∴切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
答案：2x－y－1＝0或10x－y－25＝0
9.利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
解：因为＝＝＝＝，
所以f′(1)＝ ＝ ＝－.
10.求曲线f(x)＝－在点P处的切线方程．
解：f′(4)＝
＝
＝
＝ ＝－.
故所求切线的斜率为－，所求切线方程为y＋＝－(x－4)，即5x＋16y＋8＝0.
[能力提升]
1.已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则
＝( )
A．3 B．－
C. D．－
解析：选B.f′(1)＝1， ＝
＝ ＋
＝－ －
＝－f′(1)－f′(1)
＝－f′(1)
＝－.
2.函数y＝在x＝1处的导数为________．
解析：作出函数y＝的图像如图．
由导数的几何意义可知，函数y＝在x＝1处的导数即为半圆在点P(1, )处的切线的斜率．
∴kl＝ －＝－＝－.
答案：－
3.设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋＋b(a＞0)．若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝x，求a，b的值．
解：f′(x)＝a－，
由题设知，f′(1)＝a－＝，
解得a＝2或a＝－(不合题意，舍去)，
将a＝2代入f(1)＝a＋＋b＝，解得b＝－1.
所以a＝2，b＝－1.
4．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，
设切点坐标为(x0，x)，
则f′(x0)＝ ＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为(，)，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
3.2.1-3.2.2 导数的概念 导数的几何意义
[A.基础达标]
1．若f(x)在x＝x0处存在导数，则 ( )
A．与x0，h都有关
B．仅与x0有关，而与h无关
C．仅与h有关，而与x0无关
D．与x0，h都无关
解析：选B.f(x)在x＝x0处的导数与x0有关，而与h无关．
2．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a等于( )
A．2 B．－2
C．3 D．－3
解析：选A.因为
＝
＝a，所以f′(1)＝a，又f′(1)＝2，所以a＝2.
3．曲线f(x)＝x2＋3x在点A(2，10)处的切线斜率k等于( )
A．7 B．6
C．5 D．4
解析：选A.利用导数的定义及其几何意义直接求结果．k＝f′(2)＝7.
4．已知曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于( )
A．1 B.
C．－ D．－1
解析：选A.令y＝f(x)＝ax2，则曲线在点(1，a)处的切线斜率k＝f′(1)，即2＝k＝f′(1)＝ ＝2a，故a＝1.
5．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P0处的切线平行于直线y＝4x－1，则P0点的坐标为( )
A．(1，0) B．(1，0)或(－1，－4)
C．(2，8) D．(2，8)或(－1，－4)
解析：选B.设P0(x0，y0)，＝
＝
＝
＝3x＋1＋3x0Δx＋(Δx)2，
f′(x0)＝ ＝3x＋1，
所以3x＋1＝4，x＝1，x0＝±1，当x0＝1时，y0＝0，
x0＝－1时，y0＝－4，所以P0为(1，0)或(－1，－4)．
6．已知曲线y＝－1上两点A(2，－)，B(2＋Δx，－＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．
解析：Δy＝－1－(－)＝，kAB＝＝－，当Δx＝1时，kAB＝－.
答案：－
7．函数f(x)＝x－在x＝1处的导数为________．
解析：Δy＝(1＋Δx)－－＝Δx＋，
＝＝1＋，
所以 ＝ ＝2，从而f′(1)＝2.
答案：2
8．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为________．
解析：设切点为(x0，x)，f′(x0)＝ ＝ ＝ (2x0＋Δx)＝2x0，
由题意2x0(－)＝－1，所以x0＝2，y0＝4.kl＝4，
所以l的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
答案：4x－y－4＝0
9．利用导数的定义求函数f(x)＝在x＝1处的导数．
解：因为＝＝
＝＝，
所以f′(1)＝ ＝ ＝－.
10．求曲线f(x)＝－在点P处的切线方程．
解：f′(4)＝
＝
＝
＝ ＝－.
故所求切线的斜率为－，所求切线方程为y＋＝－(x－4)，即5x＋16y＋8＝0.
[B.能力提升]
1．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．f′(xA)与f′(xB)无法比较大小
解析：选B.根据导数的几何意义，由题中图像可知，f′(xA)2．已知函数f(x)在x＝1处的导数为1，则
＝( )
A．3 B．－
C. D．－
解析：选B.f′(1)＝1，
＝ ＝－
＝－f′(1)＝－.
3．函数y＝在x＝1处的导数为________．
解析：作出函数y＝的图像如图．
由导数的几何意义可知，函数y＝在x＝1处的导数即为半圆在点P(1, )处的切线的斜率．
所以kl＝ －＝－＝－.
答案：－
4．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，抛物线过点P的切线恰好过坐标原点，则c的值为________．
解析：根据题意可知过点P处切线的斜率为f′(－2)＝－5，又直线OP的斜率为－，据题意有－＝－5?c＝4.
答案：4
5．求过点(3，5)且与曲线f(x)＝x2相切的直线的方程．
解：因为当x＝3时，f(3)＝32＝9，
所以点(3，5)不在曲线y＝x2上，
设切点为A(x0，y0)，即A(x0，x)，
则在点A处的切线斜率k＝f′(x0)．
因为
＝ ＝2x0，
所以k＝f′(x0)＝2x0，
所以在点A处的切线方程为y－x＝2x0(x－x0)，
即2x0x－y－x＝0，又因为点(3，5)在切线上，
所以6x0－5－x＝0，即x－6x0＋5＝0，
所以x0＝1或x0＝5，所以切点为(1，1)或(5，25)，
所以切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
6．(选做题)已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
解：根据题意可知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线对应的切点到直线x－y－2＝0的距离最短，
设切点坐标为(x0，x)，
则f′(x0)＝ ＝2x0＝1，
所以x0＝，所以切点坐标为(，)，切点到直线x－y－2＝0的距离d＝＝，
所以抛物线上的点到直线x－y－2＝0的最短距离为.
3.3 计算导数
[基础达标]
1.已知函数f(x)＝，则f′(2)＝( )
A．4 B.
C．－4 D．－
解析：选D.f(x)＝x－2，f′(x)＝－2x－3，f′(2)＝－2×2－3＝－2－2＝－.
2.已知函数f(x)＝cos x，f′(x)＝－1，则x＝( )
A. B．－
C.＋2kπ，k∈Z D．－＋2kπ，k∈Z
解析：选C.f′(x)＝－sin x，则sin x＝1，
∴x＝＋2kπ，k∈Z.
曲线y＝xn(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，则n等于( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.∵y′＝nxn－1，∴函数y＝xn(x∈N＋)在x＝2处的导数为n·2n－1＝12，∴n＝3.
已知f(x)＝ln x，则f(1)＋f′(1)＝( )
A．1 B．－2
C．0 D．2
解析：选A.f(1)＝ln 1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1，
∴f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.
若对任意x∈R，f′(x)＝4x3，f(1)＝－1，则f(x)＝( )
A．x4 B．x4－2
C．4x3－5 D．x4＋2
解析：选B.设f(x)＝xn＋c，则f′(x)＝nxn－1＝4x3，∴n＝4，∴f(1)＝1＋c＝－1，∴c＝－2，故f(x)＝x4－2.
设正弦曲线y＝cos x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
解析：kl＝(cos x)′＝－sin x∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，∴倾斜角范围是[0，]∪[，π)．
答案：[0，]∪[，π)
若指数函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝________．
解析：f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，∴a＝3，故f′(－1)＝3－1ln 3＝.
答案：
8.已知f(x)＝x2，g(x)＝ln x，若f′(x)－g′(x)＝1，则x＝________．
解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝，由题意2x－＝1，即2x2－x－1＝0，∴x＝1或x＝－(舍)．
答案：1
9.求曲线y＝与抛物线y＝的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．
解：由，得＝，∴x3＝1，
∴x＝1，∴y＝1，∴两曲线的交点坐标为(1，1)．
由y＝，得y′＝(x－1)′＝－x－2，
∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k1＝y′|x＝1＝－1.
又由y＝，得y′＝(x)′＝x－，
∴该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2＝y′|x＝1＝.
10.若曲线f(x)＝acos x与曲线g(x)＝x2＋bx＋1在交点(0，m)处有公切线，求a－b的值．
解：依题意得：f′(x)＝－asin x，
g′(x)＝2x＋b，于是有f′(0)＝g′(0)，
即－asin 0＝2×0＋b，∴b＝0.
m＝f(0)＝g(0)＝1，即m＝a＝1，因此a－b＝1.
[能力提升]
设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2 014(x)等于( )
A．sin x B．－sin x
C．cos x D．－cos x
解析：选B.f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)＝cos x，
f2(x)＝f′1(x)＝－sin x，f3(x)＝f′2(x)＝－cos x.
f4(x)＝f′3(x)＝sin x.
∴f2 014(x)＝f2(x)＝－sin x.
2.设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
解析：f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x－1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z＝x－2y的最优解(0，－1)，即z的最大值为2.
答案：2
3.已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，使△ABP的面积最大．
解：
设P(x0，y0)，过点P与AB平行的直线为l，如图．由于直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，所以|AB|为定值，要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，而P点是抛物线的弧上的一点，因此点P是抛物线上平行于直线AB的切线的切点，由图知点P在x轴上方，y＝，y′＝，由题意知kAB＝.
∴kl＝＝，即x0＝1，∴y0＝1.∴P(1，1)．
4．讨论关于x的方程ln x＝kx的解的个数．
解：如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x的交点的个数．
设直线y＝kx与y＝ln x相切于P(x0，ln x0)，则kx0＝ln x0.
∵(ln x)′＝，∴k＝，kx0＝1＝ln x0.
∴x0＝e，k＝.
结合图像可知：当k≤0或k＝时，方程ln x＝kx有一解．
当0当k>时，方程ln x＝kx无解．
3.3 计算导数
[A.基础达标]
1．下列运算正确的是( )
A．(x5)′＝x5ln 5 B．(lg x)′＝
C．(π5)′＝5π4 D．(log2x)′＝
解析：选D.对A，(x5)′＝5x4，不正确；对B，(lg x)′＝＝，不正确；对C，(π5)′＝0，不正确；对D，(log2x)′＝，正确．
2．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于( )
A．4 B．－4
C．5 D．－5
解析：选A.由f(x)＝xa，可得f′(x)＝axa－1，
所以f′(－1)＝a(－1)a－1＝－4，所以a＝4.
3．已知f(x)＝ln x，则f(1)＋f′(1)＝( )
A．1 B．－2
C．0 D．2
解析：选A.f(1)＝ln 1＝0，f′(x)＝，f′(1)＝1，
所以f(1)＋f′(1)＝0＋1＝1.
4．如果函数f(x)＝x2，g(x)＝x3，f′(x)－g′(x)＝－2，则x＝( )
A. B.
C. D．不存在
解析：选C.f′(x)－g′(x)＝2x－3x2＝－2，所以x＝，所以选C.
5．下列曲线的所有切线中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是( )
A．f(x)＝ex B．f(x)＝x3
C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x
解析：选D.若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1，
因为A项中，(ex)′＝ex＞0，B项中，(x3)′＝3x2≥0，C项中，x＞0，即(ln x)′＝＞0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.
6．若f(x)＝tan x，f′(x0)＝1，则x0的值为________．
解析：因为f′(x)＝(tan x)′＝，f′(x0)＝1，
所以cos x0＝±1，所以x0＝kπ，k∈Z.
答案：kπ，k∈Z
7．若指数函数f(x)＝ax(x＞0，a≠1)满足f′(1)＝ln 27，则f′(－1)＝________.
解析：f′(x)＝axln a，f′(1)＝aln a＝3ln 3，所以a＝3，故f′(－1)＝3－1ln 3＝.
答案：
8．设余弦曲线y＝cos x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是________．
解析：kl＝(cos x)′＝－sin x∈[－1，1]，又倾斜角范围是[0，π)，所以直线l的倾斜角范围是[0，]∪[，π)．
答案：[0，]∪[，π)
9．求曲线y＝与抛物线y＝的交点坐标，并分别求在交点处的两曲线的切线的斜率．
解：由，得＝，所以x3＝1，
所以x＝1，y＝1，所以两曲线的交点坐标为(1，1)．
由y＝，得y′＝(x－1)′＝－x－2，
所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k1＝－1.
又由y＝，得y′＝(x)′＝x－，
所以该曲线在点(1，1)处的切线的斜率k2＝.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a，试求常数a的值，使f′(x)＝0且f(x)＝0.
解：f′(x)＝
＝
＝
＝ (3x2＋2ax＋3x(Δx)＋(Δx)2＋a(Δx))
＝3x2＋2ax.
令f′(x)＝0，得x＝0或－a.
由题设知：当x＝0时， f(0)＝0，
所以－a＝0，所以a＝0；
当x＝－a时， f＝0，
所以＋a－a＝0，
所以a(a2－9)＝0，所以a＝0或a＝±3.
故当a＝0或±3时，f′(x)＝0且f(x)＝0.
[B.能力提升]
1．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N＋)在点(1，1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn等于( )
A. B.
C. D．1
解析：选B.因为f′(x)＝(n＋1)xn，所以f′(1)＝n＋1，过(1，1)的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，
令y＝0得x＝，即xn＝，故x1·x2·…·xn＝×××…×＝.
2．已知函数f(x)＝x2的图像在点A(x1，f(x1))与点B(x2，f(x2))处的切线互相垂直，并交于点P，则点P的坐标可能是( )
A. B．(0，－4)
C．(2，3) D.
解析：选D.由题意知，A(x1，x)，B(x2，x)，f′(x)＝2x，
则在A，B两点处的切线斜率k1＝2x1，k2＝2x2.
又因为两切线互相垂直，
所以k1k2＝－1，即x1x2＝－.
两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x，l2：y＝2x2x－x，
联立得(x1－x2)[2x－(x1＋x2)]＝0.
因为x1≠x2，所以x＝，代入l1，
解得y＝x1x2＝－，故选D.
3．若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．
解析：设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝＝ln ＝－e－x.
所以在P点处的切线斜率为－e－x0，由题意－e－x0＝－2，即e－x0＝2，x0＝－ln 2，y0＝e－x0＝eln 2＝2，故点P的坐标为(－ln 2，2)．
答案：(－ln 2，2)
4．设函数f(x)＝D是由x轴和曲线y＝f(x)及该曲线在点(1，0)处的切线所围成的封闭区域，则z＝x－2y在D上的最大值为________．
解析：f(x)在(1，0)处的切线方程为y＝x－1，如图，可行域为阴影部分，易求出目标函数z＝x－2y的最优解(0，－1)，即z的最大值为2.
答案：2
5．求证双曲线xy＝1上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
证明：由xy＝1，得y＝，所以y′＝－.
在双曲线xy＝1上任取一点P，
则在点P处的切线斜率k＝－.
切线方程为y－＝－(x－x0)，即y＝－x＋.
设该切线与x轴，y轴分别相交于A，B两点，
则A(2x0，0)，B(0，)，故S△OAB＝|OA|·|OB|
＝|2x0|·＝2，
所以双曲线上任意一点处的切线与坐标轴围成的三角形面积为常数．
6．(选做题)讨论关于x的方程ln x＝kx的解的个数．
解：如图，方程ln x＝kx的解的个数就是直线y＝kx与曲线y＝ln x的交点的个数．
设直线y＝kx与y＝ln x相切于P(x0，ln x0)，则kx0＝ln x0.
因为(ln x)′＝，所以k＝，kx0＝1＝ln x0.
所以x0＝e，k＝.
结合图像可知：当k≤0或k＝时，方程ln x＝kx有一解．
当0当k>时，方程ln x＝kx无解．
3.4.2 导数在实际问题中的应用
[基础达标]
1.设f(x)＝xln x，若f′(x0)＝2，则x0＝( )
A．e2 B．e
C. D．ln 2
解析：选B.因为f(x)＝xln x，
所以f′(x)＝ln x＋x·＝ln x＋1，
所以由f′(x0)＝2得ln x0＋1＝2，所以x0＝e.
2.(2014·沈阳二中高二期末)函数f(x)＝·sin x的导数为( )
A．f′(x)＝2·sin x＋·cos x
B．f′(x)＝＋·cos x
C．f′(x)＝2－·cos x
D．f′(x)＝－·cos x
解析：选B.f′(x)＝()′sin x＋(sin x)′＝＋cos x.
3.曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为( )
A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1
C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2
解析：选A.∵y′＝＝，∴切线斜率k＝＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.
4.(2014·西安检测)已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为( )
A．0 B．－2
C．2 D．－4
解析：选D.∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.
5.若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)＞0的解集为( )
A．(0，＋∞) B．(－1，0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1，0)
解析：选C.由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－，
即f′(x)＝＞0，
∴x2－x－2＞0，
解得x＜－1或x＞2.又∵x＞0，
∴x＞2.
6.等比数列{an}中，a1＝2，a2＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝________．
解析：∵f(x)＝x[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]，f′(x)＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋x·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′，∴f′(0)＝(－a1)(－a2)…(－a8)＋0·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′＝a1a2…a8，∴f′(0)＝21·22·…·28＝21＋2＋…＋8＝236.故填236.
答案：236
若对任意x∈R，f′(x)＝3x2，f(－1)＝1，则f(x)＝________．
解析：由题意得，f(x)＝x3＋c，
由f(－1)＝1，得－1＋c＝1，所以c＝2，f(x)＝x3＋2.
答案：x3＋2
8.(2014·大连高二检测)函数f(x)＝x·ex在点(1，e)处的切线方程为________．
解析：由导数的几何意义，切线的斜率k＝f′(x)|x＝1＝(xex)′|x＝1＝ex(x＋1)|x＝1＝2e，
所以切线方程为y－e＝2e(x－1)，即y＝2ex－e.
答案：y＝2ex－e
9.已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx过点(1，5)，其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，求f(x)的解析式．
解：∵f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，
由f′(1)＝0，f′(2)＝0，f(1)＝5，得
解之
∴函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2x3－9x2＋12x.
10.已知函数f(x)＝ax2＋ln x的导数为f′(x)．
(1)求f(1)＋f′(1)；
(2)若曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围．
解：(1)由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，由f(x)＝ax2＋ln x，得f′(x)＝2ax＋，
所以f(1)＋f′(1)＝3a＋1.
(2)因为曲线y＝f(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为x＞0范围内导函数f′(x)＝2ax＋存在零点，
即f′(x)＝0?2ax＋＝0有正实数解，即2ax2＝－1有正实数解，故有a＜0，所以实数a的取值范围是(－∞，0)．
[能力提升]
1.等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )
A．26 B．29
C．212 D．215
解析：选C.因为f′(x)＝x′·[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x＝(x－a1)(x－a2)…(x－a8)＋[(x－a1)(x－a2)…(x－a8)]′·x，所以f′(0)＝(0－a1)(0－a2)…(0－a8)＋[(0－a1)(0－a2)·…·(0－a8)]′·0＝a1a2…a8.
因为数列{an}为等比数列，所以a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，所以f′(0)＝84＝212.
2.若存在过点(1，0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋x－9都相切，则a等于________．
解析：设过点(1，0)的直线与曲线y＝x3相切于点(x0，x)，则切线方程为y－x＝3x(x－x0)，即y＝3xx－2x.
又点(1，0)在切线上，则x0＝0或x0＝.
当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－；
当x0＝时，由y＝x－与y＝ax2＋x－9相切可得a＝－1.
答案：－1或－
3.(2012·高考山东卷节选)已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．求k的值．
解：由f(x)＝，
得f′(x)＝，x∈(0，＋∞)．
由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，
所以f′(1)＝0，因此k＝1.
4．已知函数f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R)．
(1)若函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，求a，b的值；
(2)若函数的导函数f′(x)在区间(－1，1)内有零点，求实数a的取值范围．
解：(1)因为f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b，
所以f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)，
又函数f(x)的图像过原点，且在原点处的切线斜率是－3，
所以
解得b＝0，a＝1或b＝0，a＝－3.
(2)函数的导函数f′(x)在区间(－1，1)内有零点，根据零点存在定理，可得不等式：
f′(－1)f′(1)＜0，
即[3－2(1－a)－a(a＋2)][3＋2(1－a)－a(a＋2)]＜0，
整理，得(a＋5)(a＋1)(a－1)2＜0，
∵a＝1时上式不成立，a≠1时(a－1)2＞0，
所以不等式可转化为(a＋5)(a＋1)＜0，
解得－5＜a＜－1.
所以实数a的取值范围是(－5，－1)．
第三章 变化率与导数
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝，则f′(x)等于( )
A．－ B．0
C. D.
解析：选B.因为f(x)＝，所以f′(x)＝()′＝0.
2．已知某质点的运动规律为s＝t2＋3(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t＝3 s到t＝(3＋Δt)s这段时间内的平均速度为( )
A．(6＋Δt)m/s B．(6＋Δt＋)m/s
C．(3＋Δt)m/s D．(＋Δt)m/s
解析：选A.平均速度为＝＝(6＋Δt)m/s.
3．设f(x)为可导函数，且满足 ＝－1，则过曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为( )
A．2 B．－1
C．1 D．－2
解析：选D.k＝f′(1)＝
＝2 ＝－2.
4．已知函数f(x)在x＝1处的导数为3，则f(x)的解析式可能是( )
A．f(x)＝(x－1)3＋3(x－1)
B．f(x)＝2(x－1)
C．f(x)＝2(x－1)2
D．f(x)＝x－1
解析：选A.利用排除法，分别对四个选项求导数f′(x)，再求f′(1)．
5．已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为－，则切点的横坐标为( )
A．3 B．2
C．1 D.
解析：选B.设切点坐标为(x0，y0)，且x0＞0，
因为y′＝x－，
所以k＝x0－＝－，
所以x0＝2.
6．已知y＝2x3＋＋cos x，则y′等于( )
A．6x2＋x－－sin x
B．6x2＋x－＋sin x
C．6x2＋x－＋sin x
D．6x2＋x－－sin x
解析：选D.y′＝(2x3)′＋(x)′＋(cos x)′
＝6x2＋x－－sin x.
7．给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称函数f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′.若f″(x)＜0在D上恒成立，则称函数f(x)在D上为凸函数，以下四个函数在上不是凸函数的是( )
A．f(x)＝sin x＋cos x
B．f(x)＝ln x－2x
C．f(x)＝－x3＋2x－1
D．f(x)＝xex
解析：选D.对A，f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x＜0，
故f(x)在上是凸函数；
对B，f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数；
对C，f′(x)＝－3x2＋2，f″(x)＝－6x＜0，故f(x)在上是凸函数；
对D，f′(x)＝ex＋xex，f″(x)＝ex＋ex＋xex＝ex(2＋x)＞0，
故f(x)在上不是凸函数，选D.
8．已知曲线C：y＝2x2，点A(0，－2)及点B(3，a)，从点A观察点B，要实现不被曲线C挡住，则实数a的取值范围是( )
A．(4，＋∞) B．(－∞，4)
C．(10，＋∞) D．(－∞，10)
解析：选D.在曲线C：y＝2x2上取一点D(x0，2x)(x0＞0)，因为y＝2x2，
所以y′＝4x，所以y＝2x2在D点处切线的斜率为4x0，
令＝4x0，解得x0＝1，此时D(1，2)，所以kAD＝＝4，
所以直线AD的方程为y＝4x－2，要实现不被曲线C挡住，则实数a＜4×3－2＝10，即实数a的取值范围是(－∞，10)．
9．设a＞0，f(x)＝ax2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的倾斜角的取值范围为，则P到曲线y＝f(x)对称轴距离的取值范围为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.因为过P(x0，f(x0))的切线的倾斜角的取值范围是，且a＞0，P在对称轴的右侧，所以P到曲线y＝f(x)对称轴x＝－的距离d＝x0－＝x0＋.
又因为f′(x0)＝2ax0＋b∈[0，1]，
所以x0∈.
所以d＝x0＋∈.
10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝ln x，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
解析：选B.g′(x)＝2，h′(x)＝，φ′(x)＝3x2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x＝2，得x＝1，即a＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即ln x＝，在同一坐标系中画出函数y＝ln x，y＝的图像(图略)，可得1＜x＜e，即1＜b＜e；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x3＝3x2(x≠0)，得x＝3，即c＝3.所以c＞b＞a.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________．
解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4，
f′(－1)＝3＋2a－4＝0，所以a＝.
答案：
12．设f(x)＝ex＋x，若f′(x0)＝2，则在点(x0，y0)处的切线方程为________．
解析：f′(x)＝ex＋1，f′(x0)＝2，所以ex0＋1＝2，所以x0＝0，y0＝e0＋0＝1，所以切线方程为y－1＝2(x－0)，即2x－y＋1＝0.
答案：2x－y＋1＝0
13．已知函数f(x)＝sin x－xcos x，若存在x∈(0，π)，使得f′(x)＞λx成立，则实数λ的取值范围是________．
解析：f′(x)＝(sin x－xcos x)′＝(sin x)′－(xcos x)′＝cos x－(cos x－xsin x)＝xsin x＞λx，因为x∈(0，π)，所以sin x＞λ，因为sin x∈(0，1]，所以λ＜1.
答案：(－∞，1)
14．抛物线y＝x2上到直线x＋2y＋4＝0距离最短的点的坐标为________．
解析：y′＝2x，设P(x0，x)处的切线平行直线x＋2y＋4＝0，则点P到直线x＋2y＋4＝0的距离最短，由抛物线y＝x2在点P(x0，x)处的切线斜率为2x0，则2x0＝－，解得x0＝－，y0＝，故所求点的坐标为(－，)．
答案：(－，)
15．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和为________．
解析：由y＝xn(1－x)得y′＝nxn－1(1－x)＋xn(－1)，
所以f′(2)＝－n·2n－1－2n.
又因为切点为(2，－2n)．
所以切线方程为：
y＋2n＝－(n·2n－1＋2n)(x－2)．
令x＝0，得an＝(n＋1)·2n.
则数列的通项公式为an＝2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)将石块投入平静的水面，使它产生同心圆波纹，若最外一圈波纹半径R以4 m/s的波速增加，求在3 s末被扰动的水面面积的增长率．
解：设被扰动水面面积为S，时间为t(t≥0)，
所以S＝πR2＝π(4t)2＝16πt2，
所以S′＝(16πt2)′＝32πt，
所以当t＝3时，水面面积的增长率为96π.
17．(本小题满分10分)求下列函数的导数．
(1)f(x)＝ln(8x)；
(2)y＝x3sin cos ；
(3)y＝.
解：(1)f(x)＝3ln 2＋ln x，
f′(x)＝(3ln 2)′＋(ln x)′＝.
(2)y＝x3sin cos ＝x3sin x，
y′＝(x3sin x)′＝(3x2sin x＋x3cos x)
＝x2sin x＋x3cos x.
(3)y＝＝x3＋x－＋x－2sin x，
所以y′＝(x3)′＋(x－)′＋(x－2sin x)′
＝3x2－x－－2x－3sin x＋x－2cos x.
18．(本小题满分10分)已知曲线C：y＝3x4－2x3－9x2＋4.
(1)求曲线C在点(1，－4)处的切线方程；
(2)对于(1)中的切线与曲线C是否还有其他公共点？若有，求出公共点；若没有，请说明理由．
解：(1)y′＝12x3－6x2－18x，所以当x＝1时，y′＝－12，所以在点(1，－4)处的切线的斜率为－12.所以所求的切线方程为y＋4＝－12(x－1)，
即y＝－12x＋8.
(2)由得3x4－2x3－9x2＋12x－4＝0，
即(x＋2)(3x－2)(x－1)2＝0，所以x1＝－2，x2＝，x3＝1.
所以除切点外，曲线和切线还有交点(－2，32)和.
19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.
所以切线方程是y＝－2.
(2)证明：函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋，
即f′(x)＝＝，
当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x－1＞0，ax－1≥0，
可得f′(x)≥0.
20．(本小题满分13分)设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，其中a＞0.曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1.
(1)确定b，c的值；
(2)设曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0，2)，证明：当x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)．
解：(1)由f(x)＝x3－x2＋bx＋c，得f(0)＝c，f′(x)＝x2－ax＋b，f′(0)＝b.
又由曲线y＝f(x)在点P(0，f(0))处的切线方程为y＝1，得f(0)＝1，f′(0)＝0.
故b＝0，c＝1.
(2)证明：f(x)＝x3－x2＋1，f′(x)＝x2－ax，
由于点(t，f(t))处的切线方程为y－f(t)＝f′(t)(x－t)，而点(0，2)在切线上，所以2－f(t)＝f′(t)(－t)，化简得t3－t2＋1＝0，即t满足的方程为t3－t2＋1＝0.
下面用反证法证明：
假设f′(x1)＝f′(x2)，由于曲线y＝f(x)在点(x1，f(x1))及(x2，f(x2))处的切线都过点(0，2)，则下列等式成立：
由③，得x1＋x2＝a.
由①－②，得x＋x1x2＋x＝a2.④
又x＋x1x2＋x＝(x1＋x2)2－x1x2＝a2－x1(a－x1)＝x－ax1＋a2＝(x1－)2＋a2≥a2，
故由④得x1＝，此时x2＝与x1≠x2矛盾，
所以f′(x1)≠f′(x2)．
第三章 变化率与导数
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知函数f(x)＝，则f′(x)等于( )
A．－ B．0
C. D.
解析：选B.∵f(x)＝，∴f′(x)＝()′＝0.
2．已知某质点的运动规律为s＝t2＋3(s的单位：m，t的单位：s)，则该质点在t＝3 s到t＝(3＋Δt)s这段时间内的平均速度为( )
A．(6＋Δt)m/s B．(6＋Δt＋)m/s
C．(3＋Δt)m/s D．(＋Δt)m/s
解析：选A.平均速度为＝＝(6＋Δt)m/s.
3．函数f(x)＝x3＋x＋1，则 ＝( )
A．1 B．4
C．5 D．0
解析：选B.由已知得f(1)＝3，故
＝ ＝f′(1)＝3x2＋1|x＝1＝4，故选B.
4．已知函数y＝f(x)的图像如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系是( )
A．f′(xA)＞f′(xB)
B．f′(xA)＜f′(xB)
C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能确定
解析：选B.由图像可知，f′(xA)＜f′(xB)．
5．下列求导运算中正确的是( )
A．(x＋)′＝1＋ B．(lg x)′＝
C．(ln x)′＝x D．(x2cos x)′＝－2xsin x
解析：选B.(x＋)′＝1－，故A错；(ln x)′＝，故C错；(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，故D错，故选B.
6．已知y＝2x3＋＋cos x，则y′等于( )
A．6x2＋x－－sin x B．6x2＋x－＋sin x
C．6x2＋x－＋sin x D．6x2＋x－－sin x
解析：选D.y′＝(2x3)′＋(x)′＋(cos x)′
＝6x2＋x－－sin x.
7．已知曲线y＝x3－1与曲线y＝3－x2在x＝x0处的切线互相垂直，则x0的值为( )
A. B.
C. D.
解析：选D.因为y＝x3－1?y′＝3x2，y＝3－x2?y′＝－x，由题意得3x·(－x0)＝－1，解得x＝，即x0＝＝，故选D.
8．已知函数y＝f(x)的图像是下列四个图像之一，且其导函数y＝f′(x)的图像如图所示，则该函数的图像是( )
解析：选B.从导函数的图像可以看出，导函数值先增大后减小，x＝0时最大，所以函数f(x)的图像的变化率也先增大后减小，在x＝0时变化率最大．A项，在x＝0时变化率最小，故错误；C项，变化率是越来越大的，故错误；D项，变化率是越来越小的，故错误．B项正确．
9．在函数y＝x3－8x的图像上，其切线的倾斜角小于的点中，坐标为整数的点的个数是( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选D.由于y′＝(x3－8x)′＝3x2－8，由题意，得0＜3x2－8＜1，＜x2＜3，解得－＜x＜－，＜x＜，所以整数x不存在，故不等式的整数解有0个．
10．定义方程f(x)＝f′(x)的实数根x0叫做函数f(x)的“新驻点”，若函数g(x)＝2x，h(x)＝ln x，φ(x)＝x3(x≠0)的“新驻点”分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为( )
A．a＞b＞c B．c＞b＞a
C．a＞c＞b D．b＞a＞c
解析：选B.g′(x)＝2，h′(x)＝，φ′(x)＝3x2(x≠0)．解方程g(x)＝g′(x)，即2x＝2，得x＝1，即a＝1；解方程h(x)＝h′(x)，即ln x＝，在同一坐标系中画出函数y＝ln x，y＝的图像(图略)，可得1＜x＜e，即1＜b＜e；解方程φ(x)＝φ′(x)，即x3＝3x2(x≠0)，得x＝3，即c＝3.所以c＞b＞a.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)等于________．
解析：f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0得
f′(0)＝3f′(0)，∴f′(0)＝0，
f′(x)＝x2，∴f′(1)＝1.
答案：1
12．正弦曲线y＝sin x上切线斜率等于的点的横坐标为________．
解析：y′＝cos x，令cos x＝，x＝2kπ±，k∈Z.
答案：2kπ±，k∈Z
13．f(x)＝x3－x2＋bx＋c的图像存在与直线y＝1平行的切线，则b的取值范围是________．
解析：由题意知，存在x使f′(x)＝3x2－x＋b＝0，故Δ＝1－12b≥0，得b≤.
答案：(－∞，]
14．已知a为实数，f(x)＝(x2－4)(x－a)，且f′(－1)＝0，则a＝________．
解析：f(x)＝x3－ax2－4x＋4a，f′(x)＝3x2－2ax－4，
f′(－1)＝3＋2a－4＝0，∴a＝.
答案：
15．对正整数n，设曲线y＝xn(1－x)在x＝2处的切线与y轴交点的纵坐标为an，则数列的前n项和的公式为________．
解析：由y＝xn(1－x)得y′＝nxn－1(1－x)＋xn(－1)，
∴f′(2)＝－n·2n－1－2n.
又∵切点为(2，－2n)．
∴切线方程为：
y＋2n＝－(n·2n－1＋2n)(x－2)．
令x＝0，得an＝(n＋1)·2n.
则数列的通项公式为2n，由等比数列前n项和公式求得其和为2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ln(8x)；
(2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)；
(3)f(x)＝.
解：(1)f(x)＝2ln 2＋ln x，
f′(x)＝(2ln 2)′＋(ln x)′＝.
(2)f(x)＝x(x＋1)(x2－x＋1)＝x(x3＋1)＝x4＋x，
∴f′(x)＝4x3＋1.
(3)法一：f′(x)＝＝.
法二：因为f(x)＝＝1＋，
所以f′(x)＝＝.
17．(本小题满分10分)某物体按照s(t)＝3t2＋2t＋4的规律作直线运动，求物体运动4 s时的瞬时速度．
解：由于Δs＝3(t＋Δt)2＋2(t＋Δt)＋4－(3t2＋2t＋4)＝(2＋6t)Δt＋3(Δt)2.
＝2＋6t＋3Δt，
所以当t趋于4s时，即Δt趋于0时，平均变化率趋于26，s′(4)＝26 m/s.
导数s′(4)表示当t＝4 s时物体运动的瞬时变化率，即运动的瞬时速度．
18．(本小题满分10分)求曲线y＝和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．
解：由得x＝1，y＝1.即交点为(1，1)，y′＝()′＝－，y′＝(x2)′＝2x，
y′|x＝1＝－1，y′|x＝1＝2，过交点的切线为y－1＝－(x－1)和y－1＝2(x－1)．
令y＝0分别得x＝2和x＝，即它们与x轴的交点分别为(2，0)和(，0)，三角形面积S＝×1×|2－|＝.
19．(本小题满分12分)设y＝f(x)是二次函数，方程f(x)＝0有两个相等的实根，且f′(x)＝2x＋1.求y＝f(x)的函数表达式．
解：∵f′(x)＝2x＋1，
∴f(x)＝x2＋x＋c(c为常数)，
又∵方程f(x)＝0有两个相等的实根，即x2＋x＋c＝0有两个相等的实根，Δ＝12－4c＝0，即c＝，
∴f(x)的表达式为f(x)＝x2＋x＋.
20．(本小题满分13分)已知函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x.
(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2)当a≥1时，求证：当x∈[1，e]时，f′(x)≥0，其中e为自然对数的底数．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝x2－3x＋ln x，f′(x)＝2x－3＋，因为f′(1)＝0，f(1)＝－2.
所以切线方程是y＝－2.
(2)证明：函数f(x)＝ax2－(a＋2)x＋ln x的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－(a＋2)＋，
即f′(x)＝＝，
当a≥1时，在x∈[1，e]上，2x－1＞0，ax－1≥0，
可得f′(x)≥0.
