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资源详情
高中数学
北师大版
选修系列
2018—2019学年高中数学北师大版选修1-1试题:第四章导数应用(9份)
文档属性
名称
2018—2019学年高中数学北师大版选修1-1试题:第四章导数应用(9份)
格式
zip
文件大小
882.0KB
资源类型
教案
版本资源
北师大版
科目
数学
更新时间
2018-10-09 09:07:37
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文档简介
4.1.1 导数与函数的单调性
[基础达标]
1.函数f(x)=2x-sin x在(-∞,+∞)上( )
A.是增函数 B.是减函数
C.先增后减 D.先减后增
解析:选A.f′(x)=2-cos x,因为cos x∈[-1,1],所以2-cos x>0恒成立,即f′(x)>0恒成立,故选A.
2.函数f(x)=x2-ln x的单调递减区间为( )
A.(-1,1) B.(0,1]
C.[1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1]
解析:选B.f′(x)=x-=(x>0),由题意可知得0
3.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能为( )
解析:选D.由y=f(x)图像可知,x<0时,f(x)是增函数,f′(x)>0,x>0时,函数图像先增加后减小再增加,其对应的导数是,先有f′(x)>0,再有f′(x)<0,最后f′(x)>0,因此D符合条件.
对于R上的任意连续函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1)
D.f(0)+f(2)>2f(1)
解析:选C.由题意,当x>1时,f′(x)≥0,当x<1时,f′(x)≤0,由于函数f(x)为连续函数,所以f′(1)=0必成立.所以函数f(x)的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间为(-∞,1),所以f(0)≥f(1),f(2)≥f(1),所以f(0)+f(2)≥2f(1).
5.若函数f(x)=x2+ax+在(1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是( )
A.[-1,0] B.[-1,+∞)
C.[0,3] D.[3,+∞)
解析:选B.f′(x)=2x+a-≥0在(1,+∞)上恒成立,∴a≥-2x,∴a≥-1.
即a的取值范围是[-1,+∞).
6.函数f(x)=excos x,则f与f的大小关系为________.
解析:∵f′(x)=ex(cos x-sin x),
∴是函数f(x)的一个单调递增区间,
又0<<<,
∴f
答案:f
若函数f(x)=x2-mln x在(0,1]上为减函数,则实数m的取值范围是________.
解析:f′(x)=2x-(x>0),由题意知2x-≤0,即m≥2x2在(0,1]上恒成立,∴m≥2.即实数m的取值范围是[2,+∞).
答案:[2,+∞)
函数y=x3-ax2+x-2a在R上不是单调函数,则a的取值范围是________.
解析:由题意知,y′=x2-2ax+1有两个不相等零点,所以Δ=(-2a)2-4>0得a2>1,解得a<-1或a>1.
即a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
已知f(x)=ex-ax,求f(x)的单调递增区间.
解:因为f(x)=ex-ax,
所以f′(x)=ex-a.
令f′(x)≥0得ex≥a,
当a≤0时,有f′(x)>0在R上恒成立;
当a>0时,有x≥ln a.
综上,当a≤0时,f(x)的单调递增区间为(-∞,+∞);
当a>0时,f(x)的单调递增区间为[ln a,+∞).
(1)已知函数f(x)=x2+(x≠0,常数a∈R)在[2,+∞)上单调递增,求a的取值范围.
(2)设f(x)=-x3+x2+2ax,若f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间,求a的取值范围.
解:(1)f′(x)=2x-=.
要使f(x)在[2,+∞)上单调递增,则f′(x)≥0,
即≥0在[2,+∞)上恒成立.
∵x2>0,
∴2x3-a≥0,即a≤2x3在[2,+∞)上恒成立,
∴a≤(2x3)min.
∵函数y=2x3在[2,+∞)上是单调递增的,
∴(2x3)min=16,∴a≤16.
当a=16时,f′(x)=≥0(x∈[2,+∞))有且只有f′(2)=0,∴a的取值范围是{a|a≤16}.
(2)f′(x)=-x2+x+2a=-(x-)2++2a,
当x∈[,+∞)时,f′(x)的最大值为f′()=+2a,令+2a>0,得a>-.
即当f(x)在(,+∞)上存在单调递增区间时,a的取值范围是(-,+∞).
[能力提升]
定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图,若两个正数a,b满足f(2a+b)<1,且f(4)=1,则的取值范围是( )
A. B.∪(5,+∞)
C.(-∞,3) D.
解析:选D.由图像可知f(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)递增,所以f(2a+b)<1即2a+b<4,原题等价于,求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域(图略),利用直线斜率的意义可得∈.
设函数f(x)在R上满足f(x)+xf′(x)>0,若a=30.3·f(30.3),b=logπ3·f(logπ3),则a与b的大小关系为________.
解析:设函数F(x)=xf(x),
∴F′(x)=f(x)+xf′(x)>0,
∴F(x)=xf(x)在R上为增函数,
又∵30.3>1,logπ3<1,
∴30.3>logπ3,
∴F(30.3)>F(logπ3),
∴30.3f(30.3)>logπ3f(logπ3),
∴a>b.
答案:a>b
证明方程x-sin x=0有唯一解.
证明:设f(x)=x-sin x,当x=0时,f(0)=0,所以x=0是方程x-sin x=0的一个解.因为f′(x)=1-cos x,当x∈R时,f′(x)>0恒成立,所以函数f(x)在R上单调递增,因此曲线f(x)=x-sin x与x轴只有一个交点,即方程x-sin x=0有唯一解x=0.
4.试问是否存在实数a,使得函数f(x)=ax3+x恰有三个单调区间?如果存在,求出实数a的取值范围及这三个单调区间;如果不存在,请说明理由.
解:f′(x)=3ax2+1.
若a>0,则f′(x)>0,此时f(x)只有一个单调区间,不满足要求;
若a=0,则f′(x)=1>0,此时f(x)也只有一个单调区间,不满足要求;
若a<0,则f′(x)=3a(x+)(x-),此时f(x)恰有三个单调区间,满足要求.
综上可知,存在实数a<0,使f(x)恰有三个单调区间,其中单调递减区间为(-∞,-)和(,+∞),单调递增区间为(-,).
4.1.1 导数与函数的单调性
[A.基础达标]
1.函数y=xln x在(0,5)上( )
A.是增加的
B.是减少的
C.在(0,)上是减函数,在(,5)上是增函数
D.在(0,)上是增函数,在(,5)上是减函数
解析:选C.y′=(xln x)′=ln x+x·=ln x+1,当x=时,y′=0,
当x∈(0,)时,y′<0,当x∈(,+∞)时,y′>0,又x∈(0,5),即y在(0,)上是递减的,在(,5)上是递增的,故选C.
2.函数f(x)=ln x-x的递减区间为( )
A.(-∞,0),(1,+∞) B.(1,+∞)
C.(-∞,0) D.(0,1)
解析:选B.f′(x)=(ln x-x)′=-1=,令f′(x)<0得<0,所以x(1-x)<0,解得x>1或x<0.
又x>0,所以x>1.
3.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图像如图所示,则导函数y=f′(x)的图像可能为( )
解析:选D.由y=f(x)图像可知,当x<0时,f(x)是增函数,f′(x)>0,排除A、C.当x>0时,函数图像先增加后减少再增加,其对应的导数是,先有f′(x)>0,再有f′(x)<0,最后f′(x)>0,因此D符合条件.
4.若函数f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内是增加的,则m的取值范围是( )
A.m≥ B.m>
C.m≤ D.m<
解析:选A.f′(x)=3x2+4x+m,由题意f′(x)≥0在R上恒成立,
即对任意x∈R,3x2+4x+m≥0,所以m≥-(3x2+4x),由于-(3x2+4x)的最大值是,故m≥.
5.对于R上的任意连续函数f(x),若满足(x-1)f′(x)≥0,则必有( )
A.f(0)+f(2)<2f(1)
B.f(0)+f(2)≤2f(1)
C.f(0)+f(2)≥2f(1)
D.f(0)+f(2)>2f(1)
解析:选C.由题意,当x>1时,f′(x)≥0,当x<1时,f′(x)≤0,由于函数f(x)为连续函数,所以f′(1)=0必成立.所以当f′(x)恒为0时,函数f(x)在[1,+∞)上是增加的,在(-∞,1)上是减少的,
所以f(0)>f(1),f(2)>f(1).所以f(0)+f(2)>2f(1),
当f′(x)=0恒成立时,f(x)为常数函数,f(0)=f(2)=f(1),即f(0)+f(2)=2f(1).
所以f(0)+f(2)≥2f(1).
6.函数f(x)=excos x,则f与f的大小关系为________.
解析:因为f′(x)=ex(cos x-sin x)=exsin(-x),
所以是函数f(x)的一个递增区间,
又0<<<,
所以f
答案:f
7.函数y=x2-ln x的递减区间为________.
解析:因为y=x2-ln x的定义域为(0,+∞),y′=,所以由y′<0得0
答案:(0,1)
8.函数y=x3-ax2+x-2a在R上不是单调函数,则a的取值范围是________.
解析:由题意知,y′=x2-2ax+1有两个不相等零点,所以Δ=(-2a)2-4>0得a2>1,解得a<-1或a>1.
即a的取值范围是(-∞,-1)∪(1,+∞).
答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)
9.已知函数f(x)=x3-6x-1.
(1)求函数f(x)在x=2处的切线方程;
(2)求函数f(x)的单调区间.
解:(1)因为f′(x)=3x2-6,所以f′(2)=6,
因为f(2)=-5,
所以切线方程为y-(-5)=6(x-2),
所以y=6x-17,即6x-y-17=0.
(2)令f′(x)>0,则3(x2-2)>0,所以x>或x<-,同理,令f′(x)<0,则-
所以f(x)在(-∞,-),(,+∞)上是增加的,
f(x)在(-,)上是减少的.
10.已知函数f(x)满足f(x)=x3+f′()x2-x+C(其中f′()为f(x)在点x=处的导数,C为常数).
(1)求函数f(x);
(2)求函数f(x)的单调区间.
解:(1)由f(x)=x3+f′()x2-x+C,得f′(x)=3x2+2f′()x-1.
取x=,得f′()=3×()2+2f′()×()-1,
解之,得f′()=-1,
所以f(x)=x3-x2-x+C.
(2)由(1)得f′(x)=3x2-2x-1=3(x+)(x-1),
令f′(x)>0得x<-或x>1;令f′(x)<0得-
所以f(x)在(-∞,-)和(1,+∞)上是增加的;
f(x)在(-,1)上是减少的.
[B.能力提升]
1.已知函数f(x)=x3+x,x∈R,如果至少存在一个实数x,使f(a-x)+f(ax2-1)<0成立,则实数a的取值范围为( )
A.(,+∞) B.(-2,]
C.(-∞,) D.(1,)∪(-,-1)
解析:选C.f′(x)=x2+1>0,又f(-x)=-f(x),
所以f(x)为奇函数且在R上递增,
由f(a-x)+f(ax2-1)<0得f(ax2-1)
亦即ax2-x+a-1<0有实数解,
当a=0时,显然有实数解,
当a<0时,也有实数解,
当a>0时,需Δ=(-1)2-4a(a-1)>0,即4a2-4a-1<0,解得0
综上,a的取值范围是a∈(-∞,).
2.定义在R上的函数f(x),g(x)的导函数分别为f′(x),g′(x)且f′(x)
A.f(1)+g(0)
B.f(1)+g(0)>g(1)+f(0)
C.f(1)-g(0)>g(1)-f(0)
D.f(1)-g(0)
解析:选A.令h(x)=f(x)-g(x)(x∈R),因为f′(x)
所以h′(x)=f′(x)-g′(x)<0(x∈R),即h(x)=f(x)-g(x)在R上为减函数,
所以h(0)>h(1),即f(0)-g(0)>f(1)-g(1),
所以f(1)+g(0)
3.已知函数f(x)的定义域为(1,+∞),且f(2)=f(4)=1,f′(x)是f(x)的导函数,函数y=f′(x)的图像如图所示,则不等式组所表示的平面区域的面积是________.
解析:由f′(x)的图像易知,当x∈(1,3)时,f′(x)<0,当x∈(3,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在(1,3)上是递减的,在(3,+∞)上是递增的,又x∈(1,+∞)且f(2)=f(4)=1,故由f(2x+y)≤1得2≤2x+y≤4,
由画出可行域如图阴影部分所示.
S阴=×2×4-×1×2=3.
答案:3
4.已知定义域为R的函数f(x)满足f(1)=3,且f(x)的导数f′(x)<2x+1,则不等式f(2x)<4x2+2x+1的解集为________.
解析:由f(2x)<4x2+2x+1得f(2x)-(4x2+2x)+2<3.
令u=2x,则f(u)-(u2+u)+2<3.①
记F(u)=f(u)-(u2+u)+2,则F(1)=f(1)=3,则①式可化为F(u)
因为f′(x)<2x+1,
所以F′(u)=f′(u)-(2u+1)<0,所以F(u)在R上是递减的.
故由F(u)
1,即2x>1,故x>.
答案:(,+∞)
5.当0
x+.
证明:设f(x)=tan x-,
则f′(x)=′-1-x2
=-1-x2
=-1-x2
=-x2
=tan2x-x2
=(tan x+x)(tan x-x).
因为x∈,所以tan x>x>0.
所以f′(x)>0,即f(x)在内是递增的.
又f(0)=0,
所以当x∈时,f(x)>0,
即tan x>x+.
6.(选做题)已知函数f(x)=x2+2aln x.
(1)试讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=+f(x)在[1,2]上是减函数,求实数a的取值范围.
解:(1)f′(x)=2x+,定义域是(0,+∞),
f′(x)=2(),
当a≥0时,f′(x)≥0,
此时函数的递增区间为(0,+∞),没有递减区间.
当a<0时,令f′(x)=0,得x=±,因为x>0,所以x=,x∈(0,)时,f′(x)<0;x∈(,+∞)时,f′(x)>0,
此时函数的递增区间为(,+∞),递减区间为(0,).
(2)由g(x)=+f(x),g(x)=+x2+2aln x,
g′(x)=-+2x+,
g(x)在[1,2]上是递减的,所以对于x∈[1,2],g′(x)≤0恒成立,
即-+2x+≤0,x∈[1,2]恒成立,
所以a≤-x2,x∈[1,2]恒成立,
令h(x)=-x2,x∈[1,2],h′(x)=--2x,
当x∈[1,2]时,h′(x)<0,所以h(x)在[1,2]上为减函数,
则h(x)min=h(2)=-,x∈[1,2],
所以a≤-.
4.1.2 函数的极值
[基础达标]
1.如图是函数y=f(x)的导函数的图像,则正确的判断是( )
①f(x)在(-3,1)上是增函数;
②x=-1是f(x)的极小值点;
③f(x)在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数;
④x=2是f(x)的极小值点.
A.①② B.②③
C.③④ D.①④
解析:选B.由f′(x)的图像知f(x)在[-3,-1]和[2,4]上递减,在[-1,2]上递增,故①不正确,③正确;x=-1是f(x)的极小值点,x=2是f(x)的极大值点.
2.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=( )
A.1 B.3
C.2 D.4
解析:选B.f′(x)=,由题意知f′(1)==0,∴a=3.
3.设函数f(x)=+ln x,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
解析:选D.f′(x)=,由f′(x)=0得x=2,又当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,∴x=2是f(x)的极小值点.
设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点,则( )
A.a<-1 B.a>-1
C.a>- D.a<-
解析:选A.由题意y′=ex+a=0即a=-ex在(0,+∞)上有解,
令f(x)=-ex(x>0),
则f(x)∈(-∞,-1).
∴a=-ex<-1.
5.函数f(x)=x3-2ax2+3a2x在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,3)
C.(0,) D.
解析:选C.由f(x)=x3-2ax2+3a2x,得f′(x)=x2-4ax+3a2,显然a≠0,
由于f′(0)=3a2>0,Δ=16a2-12a2=4a2>0,
依题意,得0<3a<1,f′(1)>0,即0
0,解得0
6.若函数f(x)=x·2x在x0处有极小值,则x0等于________.
解析:f′(x)=x·2x·ln 2+2x=2x(x·ln 2+1).
令f′(x)=0,解得x=-.
答案:-
7.已知函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意f′(x)=ex-a=0在(0,1)上有解,∴a=ex∈(1,e).
答案:(1,e)
8.函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为________.
解析:f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0得x=-1,x=3.易知,由题意知,g(x)在[-2,5]上与x轴有三个交点,
∴,解得1≤m<8,即m的取值范围为[1,8).
答案:[1,8)
9.求函数f(x)=(x-5)2+6ln x的极值.
解:∵f(x)=(x-5)2+6ln x=x2-5x+6ln x+(x>0),
∴f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0
3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2
由此可知,f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.
已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,求函数f(x)的极值.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>0知:
当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
∴当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
[能力提升]
1.设函数f(x)=x3-4x+a,0
A.x1>-1 B.x2>0
C.x2<0 D.x3>2
解析:选B.由f′(x)=3x2-4=0得x=± .f′(x)=3x2-4<0?-
0?x<-或x>,所以f(x)在上单调递减,在,上单调递增.
所以f(x)的极大值点为x=-,极小值点为x=,函数y=f(x)的图像如图所示,
故x1<-<-1,x2>0,
由于f()<0,f(2)=a>0,故x3<2.
2.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)=________.
解析:f′(x)=3x2+2ax+b.∴,解得或.
当时f′(x)=3(x-1)2≥0,∴在x=1处不存在极值;当时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)(x-1),∴当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,∴符合此题意,∴f(2)=8+16-22+16=18,故答案为18.
答案:18
3.已知函数f(x)=x2+xsin x+cos x.
(1)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值;
(2)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围.
解:由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f′(x)=x(2+cos x).
(1)因为曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,所以f′(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a).
解得a=0,b=f(0)=1.
(2)令f′(x)=0,得x=0.
f(x)与f′(x)的变化情况如下:
x
(-∞,0)
0
(0,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
1
↗
所以函数f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1是f(x)的最小值.
当b≤1时,曲线y=f(x)与直线y=b最多只有一个交点;
当b>1时,f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b,
f(0)=1
所以存在x1∈(-2b,0),x2∈(0,2b),
使得f(x1)=f(x2)=b.
由于函数f(x)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且仅有两个不同交点.
综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,那么b的取值范围是(1,+∞).
4.若函数f(x)=x3+ax2+2bx+c,当x∈(0,1)时函数有极大值,当x∈(1,2)时函数有极小值,试求的取值范围.
解:由已知得f′(x)=x2+ax+2b,由于当x∈(0,1)时函数有极大值,当x∈(1,2)时函数有极小值,
所以方程f′(x)=0的两个根分别在区间(0,1)和(1,2)内,
即函数y=f′(x)的图像如图所示:
所以有
即在平面直角坐标系中画出该不等式组所表示的平面区域,
其中A(-3,1),B(-2,0),
C(-1,0),
设P(a,b)为可行域内一点,D(1,2),
则的几何意义为直线PD的斜率,
由图可知:kAD
故<<1.
即的取值范围是(,1).
4.1.2 函数的极值
[A.基础达标]
1.若函数f(x)=在x=1处取极值,则a=( )
A.1 B.3
C.2 D.4
解析:选B.f′(x)=,由题意知f′(1)==0,所以a=3.
2.设函数f(x)=+ln x,则( )
A.x=为f(x)的极大值点
B.x=为f(x)的极小值点
C.x=2为f(x)的极大值点
D.x=2为f(x)的极小值点
解析:选D.f′(x)=,由f′(x)=0得x=2,又当x∈(0,2)时,f′(x)<0,当x∈(2,+∞)时,f′(x)>0,所以x=2是f(x)的极小值点.
3.函数f(x)=ax3+bx2+cx的图像如图所示,且f(x)在x=x0与x=2处取得极值,则f(1)+f(-1)的值一定( )
A.等于0 B.大于0
C.小于0 D.小于或等于0
解析:选B.f′(x)=3ax2+2bx+c,由f(x)的图像知当x趋于+∞时,f(x)是增加的,
所以a>0,因为x0<-2,所以x0+2=-<0,所以b>0,
所以f(1)+f(-1)=a+b+c+(-a+b-c)=2b>0.
4.函数f(x)=x3-2ax2+3a2x在(0,1)内有极小值,则实数a的取值范围是( )
A.(0,+∞) B.(-∞,3)
C.(0,) D.
解析:选C.由f(x)=x3-2ax2+3a2x,得f′(x)=x2-4ax+3a2,显然a≠0,
由于f′(0)=3a2>0,Δ=16a2-12a2=4a2>0,
依题意,得0<3a<1,f′(1)>0,即0
0,解得0
5.方程x3-6x2+9x-10=0的实根的个数是( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:选C.令f(x)=x3-6x2+9x-10,
则f′(x)=3x2-12x+9.
所以f′(x)=3(x-1)(x-3).
所以当x<1或x>3时,f′(x)>0,f(x)是增加的;当1<x<3时,f′(x)<0,f(x)是减少的.
所以f(x)极大值=f(1)=-6<0.
故f(x)的极大值在x轴下方,如图,即f(x)的图像与x轴只有一个交点,原方程只有一个实根,故选C.
6.已知函数f(x)=ex-ax在区间(0,1)上有极值,则实数a的取值范围是________.
解析:由题意f′(x)=ex-a=0在(0,1)上有解,所以a=ex∈(1,e).
答案:(1,e)
7.已知函数y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,则c=________.
解析:y′=3x2-3=3(x+1)(x-1),令y′=0,得x=±1.
易判定-1为极大值点,1是极小值点,
由于y=x3-3x+c的图像与x轴恰有两个公共点,
所以有且只有一个极值点的坐标在x轴,即与x轴相切,
当极大值点坐标(-1,2+c)为与x轴切点时,c=-2;
当极小值点坐标(1,-2+c)为与x轴切点时,c=2.
答案:±2
8.函数f(x)=x3-3x2-9x+3,若函数g(x)=f(x)-m在x∈[-2,5]上有3个零点,则m的取值范围为________.
解析:f′(x)=3x2-6x-9,令f′(x)=0得x1=-1,x2=3.易知,由题意知,g(x)在[-2,5]上与x轴有三个交点,
所以解得1≤m<8,即m的取值范围为[1,8).
答案:[1,8)
9.求函数f(x)=(x-5)2+6ln x的极值.
解:因为f(x)=(x-5)2+6ln x=x2-5x+6ln x+(x>0),
所以f′(x)=x-5+=.
令f′(x)=0,解得x1=2,x2=3.当0
3时,f′(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2
由此可知,f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln 2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln 3.
10.已知函数f(x)=x-aln x(a∈R).
(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,求函数f(x)的极值.
解:函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=1-.
(1)当a=2时,f(x)=x-2ln x,f′(x)=1-(x>0),
因而f(1)=1,f′(1)=-1,
所以曲线y=f(x)在点A(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1),
即x+y-2=0.
(2)由f′(x)=1-=,x>0知:
当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a.
又当x∈(0,a)时,f′(x)<0;当x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,从而函数f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-aln a,无极大值.
所以当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-aln a,无极大值.
[B.能力提升]
1.在同一直角坐标系中,函数y=ax2-x+与y=a2x3-2ax2+x+a(a∈R)的图像不可能的是( )
解析:选B.分两种情况讨论.
当a=0时,函数为y=-x与y=x,图像为D,故D有可能.
当a≠0时,函数y=ax2-x+的对称轴为x=,对函数y=a2x3-2ax2+x+a,求导得y′=3a2x2-4ax+1=(3ax-1)(ax-1),令y′=0,则x1=,x2=.所以对称轴x=介于两个极值点x1=,x2=之间,A,C满足,B不满足,所以B是不可能的.故选B.
2.设函数f(x)=x3-4x+a,0
A.x1>-1 B.x2>0
C.x2<0 D.x3>2
解析:选B.由f′(x)=3x2-4=0得x=± .f′(x)=3x2-4<0?-
0?x<-或x>,所以f(x)在上是减少的,在,上是增加的.
所以f(x)的极大值点为x=-,极小值点为x=,函数y=f(x)的图像如图所示,
故x1<-<-1,x2>0,
由于f()<0,f(2)=a>0,故x3<2.
3.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值为10,则f(2)=________.
解析:f′(x)=3x2+2ax+b.所以解得或
当时f′(x)=3(x-1)2≥0,所以在x=1处不存在极值;当时,f′(x)=3x2+8x-11=(3x+11)·(x-1),所以当x∈时,f′(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,所以符合此题意,所以f(2)=8+16-22+16=18.
答案:18
4.已知函数f(x)=x3+ax2+2bx+c(a,b,c∈R),且函数f(x)在区间(0,1)内取得极大值,在区间(1,2)内取得极小值,则z=(a+3)2+b2的取值范围为________.
解析:f′(x)=x2+ax+2b,
由题意知f′(x)=0的两根分别在(0,1)和(1,2)内,
所以
即
化简可行域如图(不包括边界),
z为可行域中的点到P(-3,0)的距离的平方,z最小==,z最大=|AP|2=4,所以z∈.
答案:
5.已知函数f(x)=ax3-x2+1(x∈R),其中a>0.
(1)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)求函数的极大值和极小值,若函数f(x)有三个零点,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,f(x)=x3-x2+1,f′(x)=3x2-3x,
此时f(2)=3,f′(2)=6,切线方程为y=6x-9.
(2)f′(x)=3ax2-3x=3ax(x-),
可求出f(x)在(-∞,0)和上是增加的,在上是减少的,极大值为f(0)=1,
极小值为f=-+1.
若函数f(x)有三个零点,则-+1<0,解得0<a<.
6.(选做题)已知函数f(x)=x2e-x.
(1)求f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=-e-xx(x-2).①
当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(0,2)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上是减少的,在(0,2)上是增加的.
故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.
(2)设切点为(t,f(t)),则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t).
所以l在x轴上的截距为
m(t)=t-=t+=t-2++3.
由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
令h(x)=x+(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).
综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).
4.2.1 实际问题中导数的意义
[基础达标]
1.做直线运动的物体,从时刻t到t+Δt时,物体的位移为Δs,那么 为( )
A.从时刻t到t+Δt时,物体的平均速度
B.该物体在t时刻的瞬时速度
C.Δt时刻时,该物体的速度
D.从时刻t到t+Δt时,位移的平均变化率
解析:选B. 表示运动的物体在t时刻位移的导数,也即该时刻的瞬时速度.
2.自由落体的运动公式是s=gt2(g为重力加速度),则物体在下落3 s到4 s之间的平均变化率是(取g=10 m/s2)( )
A.30 B.32
C.35 D.40
解析:选C.v===g=35.
3.李华在参加一次同学聚会时,他用如图所示的圆口杯喝饮料,李华想:如果向杯子中倒饮料的速度一定(即单位时间内倒入的饮料量相同),那么杯子中饮料的高度h是关于时间t的函数h(t),则函数h(t)的图像可能是( )
解析:选B.由于圆口杯的形状是“下细上粗”,则开始阶段饮料的高度增加较快,以后高度增加得越来越慢,仅有B符合.
4.国际环保局在规定的排污达标的日期前,对甲、乙两家企业进行检查,其连续检测结果如图,(其中W1、W2分别表示甲、乙的排污量).
下列说法正确的是( )
A.甲企业治污效果好
B.乙企业治污效果好
C.甲、乙两企业治污效果相同
D.无法判定
解析:选A.由图可知甲企业治污快,效果好.
5.细杆AB的长为20 cm,M为细杆AB上的一点,AM段的质量与A到M的距离的平方成正比,当AM=2 cm时,AM的质量为8 g,那么当AM=x cm时,M处的细杆线密度ρ(x)为( )
A.2x B.3x
C.4x D.5x
解析:选C.当AM=x cm时,设AM的质量为f(x)=kx2,因为f(2)=8,所以k=2,即f(x)=2x2,故细杆线密度ρ(x)=f′(x)=4x,故选C.
6.人体血液中药物的质量浓度c=f(t)(单位:mg/mL)随时间t(单位:min)变化,若f′(2)=0.3,则f′(2)表示________________________________________________________________________
________________________________________________________________________.
答案:服药2 min时血液中药物的质量浓度以每分钟0.3 mg/mL的速度增加
7.将1 kg铁从0 ℃加热到t ℃需要的热量为Q(单位:J):Q(t)=0.000 297t2+0.440 9t.
(1)当t从10变到20时函数值Q关于t的平均变化率是________,它的实际意义是________________________________________________________________________.
(2)Q′(100)=________,它的实际意义是________________________________________________________________________.
解析:(1)当t从10变到20时,函数值Q关于t的平均变化率为≈0.449 8,它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中,平均每增加1 ℃,需要吸收热量约为0.449 8 J.
(2)Q′(t)=0.000 594t+0.440 9,则Q′(100)=0.500 3,它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃,需要吸收热量0.500 3 J.
答案:(1)0.449 8 它表示在铁块的温度从10 ℃增加到20 ℃的过程中,平均每增加1 ℃,需要吸收热量约为0.449 8 J
(2)0.500 3 它表示在铁块的温度为100 ℃这一时刻每增加1 ℃,需要吸收热量0.500 3 J
8.已知气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm),将半径r表示为体积V的函数,有r(V)=,则当空气容量从V1增加到V2时,气球的平均膨胀率为________.
解析:∵r(V1)-r(V2)=-
= .
∴平均膨胀率为:
=.
答案:
9.水以20 m3/min的速度流入一圆锥形容器,设容器深30 m,上底面直径为12 m,试求当水深为10 m时,水面上升的速度.
解:设经过t min后水深为H,则此时水面半径为.
由等体积知,20t=π··H.
∴H(t)=5,H′(t)=·t-.
∴水深10 m时水面上升的速度为H′(10)=(m/min).
10.路灯距地平面为8 m,一个身高为1.6 m的人以84 m/min的速度在地面上行走,从路灯在地面上的射影点C出发,沿某直线离开路灯,求人影长度的变化速度v.
解:如图所示,路灯距地面的距离为DC=8 m,人的身高为EB=1.6 m.
设人从C处运动到B处的路程CB为x m,时间为t s,AB为人影长度,设为y m.
∵BE∥CD,∴=.
∴=,∴y=x.
又∵84 m/min=1.4 m/s,
∴y=x=t(x=1.4t).
∴y′=,即人影长度的变化速度v为 m/s.
[能力提升]
1. 如图所示,设有定圆C和定点O,当l从l0开始在平面上绕O匀速旋转(旋转角度不超过90°)时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数,则函数的图像大致是( )
解析:选D.由于是匀速旋转,所以阴影部分的面积在开始和最后时段缓慢增加,而中间时段相对增速较快.
选项A表示面积的增速是常数,与实际不符;
选项B表示最后时段面积的增速较快,与实际不符;
选项C表示开始时段和最后时段面积的增速比中间时段面积的增速快,也与实际不符;
选项D表示开始和最后时段面积的增速缓慢,中间时段增速较快,符合实际.
2.将半径为R的球加热,若半径从R=1到R=m(m>1)时球的体积膨胀率为,则m的值为________.
解析:ΔV=m3-×13=(m3-1),∴==π.∴m2+m+1=7.∴m=2或m=-3(舍).
答案:2
3.设生产某种产品的总成本函数c(万元)与产量q(万件)之间的函数关系为c(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3.求生产水平为q=10万元时的平均成本和边际成本,并从降低成本角度看继续提高产量是否合算?
解:当q=10时,总成本c(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=100+40-20+10=130(万元).
平均成本130÷10=13(元/件),
边际成本c′(q)=4-0.4q+0.03q2,
∴c′(10)=4-0.4×10+0.03×102=4-4+3=3(元/件).
因此在生产水平为10万元时每增产一个产品,总成本增加3元,比当前的平均成本13元低,从降低成本角度看,应继续提高产量.
4.学习曲线是1936年美国康乃尔大学T.P.Wright博士在飞机制造过程中,通过对大量有关资料、案例的观察、分析、研究,首次发现并提出来的.已知某类学习任务的学习曲线为:f(t)=×100%(f(t)为该学习任务已掌握的程度,t为学习时间),且这类学习任务中的某项任务满足f(2)=60%.
(1)求f(t)的表达式,计算f(0)并说明f(0)的含义;
(2)已知2x>xln 2对任意x>0恒成立,现定义为该类学习任务在t时刻的学习效率指数.研究表明,当学习时间t∈(1,2)时,学习效率最佳,则当学习效率最佳时,求学习效率指数相应的取值范围.
解:(1)∵f(t)=×100%(t为学习时间),且f(2)=60%,∴×100%=60%,解得a=4.
∴f(t)=×100%=×100%(t≥0),
∴f(0)=×100%=37.5%,f(0)表示某项学习任务在开始学习时已掌握的程度为37.5%.
(2)令学习效率指数=y,则y===(t>0).现研究函数g(t)=t+的单调性,由于g′(t)=(t>0),又已知2x>xln 2对任意x>0恒成立,即2t-tln 2>0对任意t>0恒成立,则g′(t)>0恒成立,∴g(t)在(0,+∞)上为增函数,且g(t)为正数.
∴y==在(0,+∞)上为减函数,而y==,即当t∈(1,2)时,y=∈(,),故所求学习效率指数的取值范围是(,).
4.2.2 最大值、最小值问题(一)
[基础达标]
1.函数f(x)=x3-3x(|x|<1)( )
A.有最大值,但无最小值
B.有最大值,也有最小值
C.无最大值,但有最小值
D.既无最大值,也无最小值
解析:选D.∵-1
2.已知函数f(x)=-x2-2x+3在[a,2]上的最大值为,则a等于( )
A.- B.
C.- D.或-
解析:选C.f′(x)=-2x-2,令f′(x)=0得x=-1.
当a≤-1时,最大值为f(-1)=4,不合题意.
当-1
最大值为f(a)=-a2-2a+3=,
解得a=-或a=-(舍去).
3.函数f(x)=在x∈[2,4]上最小值为( )
A.0 B.
C. D.
解析:选C.f′(x)==,当x∈[2,4]时,f′(x)<0,即函数f(x)在x∈[2,4]上是单调递减函数,故当x=4时,函数f(x)有最小值.
4.当函数f(x)=x+2cos x在区间上取得最大值时,x=( )
A.0 B.
C. D.
解析:选B.f′(x)=1+2(-sin x),令f′(x)=0,解得sin x=.∵0≤x≤,∴x=.当0≤x<时,f′(x)>0,函数是增加的;当<x≤时,f′(x)<0,函数是减少的,∴当x=时,函数取得极大值,也是最大值.
5.已知函数f(x)的图像过点(0,-5),它的导数f′(x)=4x3-4x,则当f(x)取得极大值-5时,x的值应为( )
A.-1 B.0
C.1 D.±1
解析:选B.∵f′(x)=4x3-4x,∴f(x)=x4-2x2+c.
∵f(x)过点(0,-5),∴f(x)=x4-2x2-5.
又f′(x)=0得x=0或x=±1,所以-1<x<0或x>1时,f′(x)>0;x<-1或0<x<1时,f′(x)<0.
∴x=0时取得极大值-5.
6.函数y=的最大值为________.
解析:函数的定义域为(0,+∞),y′==,令y′=0,得x=e,当x>e时,y′<0;当0<x<e时,y′>0,所以x=e是函数的极大值点,也是最大值点,故ymax==.
答案:
7.函数f(x)=2x3-6x2+a(a为常数)在[-2,2]上的最大值为5,那么此函数在[-2,2]上的最小值为________.
解析:f′(x)=6x2-12x=6x(x-2).
由f′(x)=0得x=0或2.
∵f(0)=a,f(2)=a-8,f(-2)=a-40.∴a=5.
此函数在[-2,2]上的最小值是5-40=-35.
答案:-35
已知函数f(x)=(x2-2x)ex,下列说法中正确的有________.
①f(x)在R上有两个极值点;
②f(x)在x=处取得最大值;
③f(x)在x=处取得最小值;
④f(x)在x=处取得极小值;
⑤函数f(x)在R上有三个不同的零点.
解析:f′(x)=ex(x2-2),令f′(x)=0,得x=±.当x<-时,f′(x)>0;当-
时,f′(x)>0.故函数在x=处取得极小值,在x=-处取得极大值,又f(-)=(2+2)e->0,f()=(2-2)·e-<0,所以函数f(x)在R上有三个不同的零点.
答案:①④⑤
9.设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0),求f(x)的最小值.
解:f′(x)=a-=,令f′(x)=0,得x=-(舍去)或x=.
当x>时,f′(x)>0,f(x)在(,+∞)上单调递增;
当0
所以当x=时,f(x)取得最小值为2+b.
10.已知f(x)=x2-aln x,求f(x)在[1,+∞)上的最小值.
解:f′(x)=2x-=(x∈[1,+∞)).
①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在[1,+∞)上单调递增,故f(x)min=f(1)=1;
②当a>0时,令f′(x)=0得
x1=-(舍去),x2=.
若≤1即0
若>1即a>2,f′(x),f(x)随x的变化情况如下表:
x
(1,)
(,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
↘
极小值
↗
故在x=时,f(x)取极小值也是最小值,
所以f(x)min=f=-ln .
综上所述:当a≤2时,f(x)min=f(1)=1;
当a>2时,f(x)min=f=-ln .
[能力提升]
1.设直线x=t与函数f(x)=x2,g(x)=ln x的图像分别交于点M,N,则当|MN|达到最小时t的值为( )
A.1 B.
C. D.
解析:选D.|MN|的最小值,即函数h(x)=x2-ln x的最小值,h′(x)=2x-=,显然x=是函数h(x)在其定义域内唯一的极小值点,也是最小值点,故t=.
2.若函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为________.
解析:f′(x)==.
令f′(x)=0,解得x=或x=-(舍去).
当x>时,f′(x)<0;当0
0;
当a≥1时,f(x)=f()max==,=<1,不合题意.
当0
答案:-1
已知函数f(x)=axsin x-(a∈R),且在[0,]上的最大值为,求函数f(x)的解析式.
解:由已知得f′(x)=a(sin x+xcos x),对任意x∈(0,),有sin x+xcos x>0,
当a=0时,f(x)=-,不合题意.
当a<0,x∈(0,)时,f′(x)<0,从而f(x)在(0,)内单调递减.
又f(x)在[0,]上的图像是连续不断的,故f(x)在[0,]上的最大值为f(0)=-,不合题意;
当a>0,x∈(0,)时,f′(x)>0,从而f(x)在(0,)内单调递增,又f(x)在[0,]上的图像是连续不断的,故f(x)在[0,]上的最大值为f(),即a-=,解得a=1.
综上所述,f(x)=xsin x-.
4.设a>0,函数f(x)=.
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)求函数f(x)在区间[a,2a]上的最小值.
解:(1)函数f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=a·,由于a>0,令f′(x)=a·>0,得0
e.
故函数f(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减.
(2)①当0<2a≤e,即0
②当a≥e时,由(1)知,函数f(x)在[a,2a]上单调递减,所以f(x)min=f(2a)=ln 2a;
③当
由于f(a)-f(2a)=ln a-ln 2a=(ln a-ln 2),
所以若
若2
f(2a),此时f(x)min=f(2a)=ln 2a.
综上所述,当0
2时,f(x)min=ln 2a.
4.2.2 最大值、最小值问题(二)
[基础达标]
1.内接于半径为R的半圆中的矩形,周长最大的矩形边长为( )
A.和R B.R和R
C.R和R D. 以上都不对
解析:选B.设矩形一边长为x,则另一边长为2,则l=2x+4(0
0,当R
2.某厂生产某种产品x件的总成本:C(x)=1 200+x3,产品单价的平方与产品件数x成反比,生产100件这样的产品的单价为50元,总利润最大时,产量应定为( )
A.25件 B.20件
C.15件 D.30件
解析:选A.设产品单价为a元,产品单价的平方与产品件数x成反比,即a2x=k,由题知k=250 000,则a2x=250 000,所以a=.总利润y=500-x3-1 200(x>0),y′=-x2.
由y′=0,得x=25,当x∈(0,25)时,y′>0;当x∈(25,+∞)时,y′<0,所以x=25时,y取最大值.
3.内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为( )
A.R B.2R
C.R D.R
解析:选C.设圆锥高为h,底面半径为r,则R2=(R-h)2+r2,∴r2=2Rh-h2,
∴V=πr2h=h(2Rh-h2)=πRh2-h3,
V′=πRh-πh2.令V′=0得h=R或h=0(舍去).
当0
0;当
因此当h=R时,圆锥体积最大.
4.如图,在等腰梯形ABCD中,CD=40,AD=40,梯形ABCD的面积最大时,AB等于( )
A.40 B.60
C.80 D.120
解析:选C.设∠BAD=θ,则AB=40+2×40cos θ,梯形高h=40sin θ.从而梯形面积S=1 600(1+cos θ)sin θ.
故S′=1 600(cos θ+cos 2θ).
令S′=0,得cos θ=-1(舍),cos θ=,
即θ=,此时AB=80,即当AB=80时,梯形有最大面积1 200.
5.设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V,则其表面积最小时,底面边长为( )
A. B.
C. D.2
解析:选C.设直棱柱的底面边长为a,高为h.
则a2·h=V,∴h=.
则表面积S(a)=3ah+a2=+a2.
S′(a)=-+a.令S′(a)=0,得a=.
当0<a<时,S′(a)<0;当a>时,S′(a)>0.
当a=时,S(a)最小.
6.用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架,若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m,则当高为______米时,容器的容积最大.
解析:由题意直接列出函数表达式,再用导数求最值,设高为x米,
则V=x(x+0.5)(3.2-2x),
V′=-6x2+4.4x+1.6=0,
解15x2-11x-4=0,
得x=1,x=-(舍去).
答案:1
7.电动车是现在比较流行的交通工具之一,电动自行车的耗电量y与速度x之间有如下关系:y=x3-x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则速度应为________.
解析:由y′=x2-39x-40=0,得x=-1或40,由于0
40时,y′>0.所以,当x=40时,y有最小值.
答案:40
8.已知函数f(x)=xln x.若对于任意x∈不等式2f(x)≤-x2+ax-3恒成立,则实数a的取值范围为________.
解析:由题意知,2xln x≤-x2+ax-3,则a≥2ln x+x+.设h(x)=2ln x+x+(x>0),则h′(x)=+1-=.当x∈时,h′(x)<0,h(x)单调递减;当x∈(1,e]时,h′(x)>0,h(x)单调递增.由h=-2++3e,h(e)=2+e+,h-h(e)=2e--4>0,可得h>h(e).所以当x∈时,h(x)的最大值为h=-2++3e.故a≥-2++3e.
答案:[-2++3e,+∞)
9.一矩形铁皮的长为8 cm,宽为5 cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问小正方形的边长为多少时,盒子容积最大?
解:设小正方形的边长为x cm,则盒子底面长为(8-2x) cm,宽为(5-2x) cm.
V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x(0
V′=12x2-52x+40,令V′=0,得x=1或x=(舍去).
V极大值=V(1)=18,在定义域内仅有一个极大值,
∴Vmax=18.
即小正方形边长为1 cm时,盒子容积最大为18 cm3.
10.某商品每件成本5元,售价14元,每星期卖出75件.如果降低价格,销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数m与商品单价的降价值x(单位:元,0≤x<9)的平方成正比,已知商品单价降低1元时,一星期多卖出5件.
(1)将一星期的商品销售利润y表示成x的函数;
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大?
解:(1)依题意,设m=kx2,由已知有5=k·12,从而k=5.
∴m=5x2.
∴y=(14-x-5)(75+5x2).
=-5x3+45x2-75x+675(0≤x<9).
(2)∵y′=-15x2+90x-75=-15(x-1)(x-5).
由y′>0得1
可知函数y在[0,1)上递减,在(1,5)递增,在(5,9)上递减,
从而函数y取得最大值的可能位置为x=0或是x=5.
∵y(0)=675,y(5)=800,
∴当x=5时,ymax=800.
所以商品每件定价为9元时,可使一个星期的商品销售利润最大.
[能力提升]
1.函数ln x≤xem2-m-1对任意的正实数x恒成立,则m的取值范围是( )
A.(-∞,0]∪[1,+∞) B.[0,1]
C.[e,2e] D.(-∞,e)∪[2e,+∞)
解析:选A.由题意知em2-m-1≥在(0,+∞)上恒成立,设f(x)=(x>0),f′(x)=,当x∈(0,e)时,f′(x)>0,当x∈(e,+∞)时,f′(x)<0,f(x)最大=f(e)=,∴em2-m-1≥e-1,∴m2-m-1≥-1,即m2-m≥0,解得m≤0或m≥1.
2.要做一个底面为长方形的带盖的箱子,其体积为72 cm3,其底面两邻边边长之比为1∶2,那么长为________,宽为________,高为________时,可使表面积最小.
解析:设体积为V,相邻两边长分别为x cm,2x cm,高为y cm,则V=2x2·y,
∴y==,
∴S=2(2x2+xy+2xy)=4x2+6xy=4x2+.
∴S′=8x-,
令S′=0,得x=3.
∴长为6 cm,宽为3 cm,高为4 cm时可使表面积最小.
答案:6 cm 3 cm 4 cm
3.已知f(x)=2ax-,是否存在正数a,使对任意x1,x2∈[,1],|f(x1)-f(x2)|<1都成立?
解:∵f′(x)=2a+,x∈[,1],a>0,
∴f′(x)>0,即f(x)在上是增函数.
∴f(x)的最大值为f(1)=2a-1,f(x)的最小值为f=a-4.
由已知,得
得a<-2,与a是正数矛盾,故不存在这样的正数a.
4. 如图,有一块半椭圆形钢板,其长半轴长为2,短半轴长为1,计划将此钢板切割成等腰梯形的形状,下底AB是半椭圆的短轴,上底CD的端点在椭圆上,记|CD|=2x,梯形的面积为S.
(1)求面积S以x为自变量的函数解析式,并写出其定义域;
(2)求面积S的最大值.
解:
(1)依题意,以AB的中点O为原点,AB所在的直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示,则点C(x,y)满足方程x2+=1,且x>0,y>0,∴y=2(0
∴S=(2x+2)·2=2(x+1)(0
(2)令f(x)=S2=4(x+1)2(1-x2)(0
当0
0,f(x)为增函数;
当
∴f()是f(x)在区间(0,1)上的极大值,也是最大值,且f()=,此时S=.故当x=时,S取得最大值.
第四章 导数应用
(时间:100分钟,满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.使函数f(x)=x+cos x在[0,]上取最大值的x为( )
A.0 B.
C. D.
解析:选B.f′(x)=1-sin x,∴f(x)在[0,]上单调递增,[,]上单调递减,∴选B.
2.定义在R上的函数f(x)的图像如图所示,则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为( )
A.(-2,-1)∪(1,2) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:选C.当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,
f′(x)>0,又xf′(x)<0,
∴x∈(-∞,-1).
当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,
又xf′(x)<0,
∴x∈(0,1).综上可知解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选C.
3.函数f(x)=x-a在x∈[1,4]上单调递减,则实数a的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选D.依题意得,当x∈[1,4]时,f′(x)=1-≤0,即a≥2恒成立.注意到x∈[1,4]时,y=2的最大值是2=4,因此,实数a的最小值为4,选D.
4.f′(x)是f(x)的导函数,若f′(x)的图像如图所示,则f(x)的图像可能是( )
解析:选C.由导函数的图像可知,当x<0时,f′(x)>0,即函数f(x)为增函数;当0
x1时,f′(x)>0,即函数f(x)为增函数.观察选项易知C正确.
5.函数f(x)=x3-3ax-a在(0,1)内有最小值,则a的取值范围为( )
A.0≤a<1 B.0
C.-1
解析:选B.f′(x)=3x2-3a=3(x2-a),当a≤0时,f(x)在(0,1)上单调递增,无最值,排除A、C,当a>0时,令f′(x)=0得x=-(舍),x=,由题意知0<<1.
∴0
6.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
解析:选C.当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),则f′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx-1,所以f′(1)=e-1≠0,所以f(1)不是极值.
当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,
则f′(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=ex(x2-1)-2(x-1)=(x-1)[ex(x+1)-2],
所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0;在x=1附近的左侧,f′(x)<0,所以f(1)是极小值.
7.已知函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值,若m,n∈[-1,1],则f(m)+f′(n)的最小值为( )
A.-13 B.-15
C.10 D.15
解析:选A.f′(x)=-3x2+2ax,由题意f′(2)=-12+4a=0,∴a=3.∴f′(x)=-3x2+6x,其对称轴x=1,开口向下,当n∈[-1,1]时,
f′(n)最小=f′(-1)=-9,
令f′(x)=-3x(x-2)=0,则x=0或x=2,
当x∈(-1,0)时,f′(x)<0,当x∈(0,1)时,f′(x)>0,
∴当m∈[-1,1]时,f(m)最小=f(0)=-4,
故f(m)+f′(n)的最小值为-13.
8.如果圆柱轴截面的周长l为定值,则体积的最大值为( )
A.()3π B.()3π
C.()3π D.()3π
解析:选A.设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,∴h=,V=πr2h=πr2-2πr3(0
0,∴r=是其唯一的极值点.当r=时,V取得最大值,最大值为()3π,故选A.
9. 函数f(x)=axm(1-x)n在区间[0,1]上的图像如图所示,则m,n的值可能是( )
A.m=1,n=1
B.m=1,n=2
C.m=2,n=1
D.m=3,n=1
解析:选B.观察图像易知,a>0,f(x)在[0,1]上先增后减,但在上有增有减且不对称.
对于选项A,m=1,n=1时,f(x)=ax(1-x)是二次函数,图像应关于直线x=对称,不符合题意.
对于选项B,m=1,n=2时,f(x)=ax(1-x)2=a(x3-2x2+x),f′(x)=a(3x2-4x+1)=a(x-1)(3x-1),
令f′(x)≥0,得x≥1或x≤,
∴f(x)在上单调递增,符合题意.
对于选项C,m=2,n=1时,f(x)=ax2(1-x)=a(x2-x3),f′(x)=a(2x-3x2)=ax(2-3x),
令f′(x)≥0,得0≤x≤,
∴f(x)在上单调递增,不符合题意.
对于选项D,m=3,n=1时,f(x)=ax3(1-x)=a(x3-x4),f′(x)=a(3x2-4x3)=ax2(3-4x),
令f′(x)≥0,得0≤x≤,
∴f(x)在上单调递增,不符合题意.
10.已知函数f(x)=|xex|,关于x的方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个不等实数根,则t的取值范围为( )
A.(,+∞) B.(2,)
C.(-,-2) D.(-∞,-)
解析:选D.设g(x)=xex,g′(x)=ex(1+x),当x>-1时,g′(x)>0,g(x)单调递增,
当x<-1时,g′(x)<0,g(x)单调递减,且x→-∞,g(x)→0.
g(x)最小=g(-1)=-,g(0)=0,∴f(x)=|xex|的图像如图,
由题意知,f(x)有两个不等正值使方程成立.设为a,b(a
.
由根与系数的关系,
∴-t=a+b=a+在(0,)递减,a+>e+,故t<-(e+),即t的取值范围为(-∞,-).所以选D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中横线上)
11.两车在十字路口相遇后,又沿不同方向继续行驶,已知A车向北行驶速度为30 km/h,B车向东行驶速度为40 km/h,那么A、B两车间直线距离的增加速度是________ km/h.
解析:设A、B两车的行驶时间为t小时,则A、B两车间的直线距离s==50t(km).
∵s′(t)=50,∴A、B两车间直线距离的增加速度为50km/h.
答案:50
12.一个边长为12 cm的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,要使方盒的容积最大,x的值应为________.
解析:V=4x(6-x)2=4(x3-12x2+36x)(0
答案:2 cm
13.已知函数f(x)=x2ln x,则函数f(x)的单调减区间是________.
解析:f′(x)=2xln x+x2·=x(2ln x+1)(x>0),令f′(x)<0得,0
∴f(x)的单调减区间是(0,e-).
答案:(0,e-)(写成(0,e-]也正确)
14.已知m∈[1,6],n∈[1,6],则函数y=mx3-nx+1在[1,+∞)上为增函数的概率是________.
解析:
y′=2mx2-n,由题意知2mx2-n≥0在[1,+∞)上恒成立,
∴x∈(-∞,-)或x∈,故需 ≤1,即n≤2m.如图,P==.
答案:
15.已知函数f(x)=4x+(x>0,a>0)在x=3时取得最小值,则a=________.
解析:f(x)=4x+≥2=4(x>0,a>0),当且仅当4x=,即x=时等号成立,此时f(x)取得最小值4.又由已知x=3时,f(x)min=4,
∴=3,即a=36.
答案:36
三、解答题(本大题共5小题,共55分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分10分)已知f(x)=ax3+bx2+c的图像经过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x.
(1)求y=f(x)的解析式;
(2)求y=f(x)的单调递增区间.
解:(1)f(x)=ax3+bx2+c的图像经过点(0,1),则c=1,
f′(x)=3ax2+2bx,f′(1)=3a+2b=1.
切点为(1,1),则f(x)=ax3+bx2+c的图像经过点(1,1),
所以a+b+c=1解得a=1,b=-1即f(x)=x3-x2+1.
(2)f′(x)=3x2-2x>0得x<0或x>.
单调递增区间为(-∞,0),(,+∞).
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b的图像关于原点成中心对称,求f(x)在区间[-4,5]上的最值.
解:∵函数f(x)的图像关于原点成中心对称,则f(x)是奇函数,所以a=1,b=0.
于是f(x)=x3-27x,f′(x)=3x2-27.
∴当x∈(-3,3)时,f′(x)<0;当x∈(-4,-3)和(3,5)时,f′(x)>0.
又∵函数f(x)在[-4,5]上是连续函数.
∴f(x)在(-3,3)上是单调递减函数,在(-4,-3)和(3,5)上是单调递增函数.
∴f(x)的最大值是f(-3)=54,f(x)的最小值是f(3)=-54.
18.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x-1-ln x对任意x∈(0,+∞),f(x)+2≥bx恒成立,求实数b的取值范围.
解:依题意对任意x∈(0,+∞),f(x)+2≥bx恒成立
等价于x-1-ln x+2≥bx在(0,+∞)上恒成立.
可得b≤1+-在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=1+-,
g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=e2.
列表如下:
x
(0,e2)
e2
(e2,+∞)
g′(x)
-
0
+
g(x)
↘
1-
↗
∴函数y=g(x)的最小值为g(e2)=1-,
根据题意b的取值范围为{b|b≤1-}.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x2e-x.
(1)求f(x)的极小值和极大值;
(2)当曲线y=f(x)的切线l的斜率为负数时,求l在x轴上截距的取值范围.
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),
f′(x)=-e-xx(x-2).①
当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f′(x)<0;
当x∈(0,2)时,f′(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减,在(0,2)上单调递增.
故当x=0时,f(x)取得极小值,极小值为f(0)=0;当x=2时,f(x)取得极大值,极大值为f(2)=4e-2.
(2)设切点为(t,f(t)),则l的方程为y=f′(t)(x-t)+f(t).
所以l在x轴上的截距为
m(t)=t-=t+=t-2++3.
由已知和①得t∈(-∞,0)∪(2,+∞).
令h(x)=x+(x≠0),则当x∈(0,+∞)时,h(x)的取值范围为[2,+∞);当x∈(-∞,-2)时,h(x)的取值范围是(-∞,-3).
所以当t∈(-∞,0)∪(2,+∞)时,m(t)的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).
综上,l在x轴上的截距的取值范围是(-∞,0)∪[2+3,+∞).
20.(本小题满分13分)已知函数f(x)=ex,x∈R.
(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图像相切,求实数k的值;
(2)设x>0,讨论曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数.
解:(1)f(x)的反函数为g(x)=ln x.设直线y=kx+1与g(x)=ln x的图像在P(x0,y0)处相切,则有y0=kx0+1=ln x0,k=g′(x0)=,解得x0=e2,k=e-2,所以k=e-2.
(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)的公共点个数即方程f(x)=mx2根的个数.
由f(x)=mx2?m=,令ν(x)=?ν′(x)=,
则ν(x)在(0,2)上单调递减,这时ν(x)∈(ν(2),+∞);
ν(2)是y=ν(x)的极小值,也是最小值.
所以对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数,讨论如下:
当m∈时,有0个公共点;
当m=时,有1个公共点;
当m∈时有2个公共点.
综上所述,当x>0时,若0
,曲线y=f(x)与y=mx2有两个公共点.
第四章 导数应用
(时间:100分钟,满分:120分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.使函数f(x)=x+cos x在[0,]上取最大值的x为( )
A.0 B.
C. D.
解析:选B.f′(x)=1-sin x,所以f(x)在[0,]上是递增的,在[,]上是递减的,所以选B.
2.定义在R上的函数y=f(x)的图像如图所示,则关于x的不等式xf′(x)<0的解集为( )
A.(-2,-1)∪(1,2) B.(-1,0)∪(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,1) D.(-∞,-2)∪(2,+∞)
解析:选C.当x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)时,
f′(x)>0,又xf′(x)<0,
所以x∈(-∞,-1).
当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,
又xf′(x)<0,
所以x∈(0,1).综上可知解集为(-∞,-1)∪(0,1).故选C.
3.函数f(x)=x-a在x∈[1,4]上是递减的,则实数a的最小值为( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:选D.依题意得,当x∈[1,4]时,f′(x)=1-≤0,即a≥2恒成立.注意到x∈[1,4]时,y=2的最大值是2=4,因此,实数a的最小值为4,选D.
4.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值集合为( )
A.{a|-1
C.{a|a<-1,或a>2} D.{a|a<-3,或a>6}
解析:选D.f′(x)=3x2+2ax+(a+6),
因为函数f(x)有极大值和极小值,
所以f′(x)=0有两个不同实根,
即Δ>0,(2a)2-4×3(a+6)>0,
解得a<-3或a>6.
5.若函数f(x)=x2-mln x在(,+∞)内是递增的,则实数m的取值范围是( )
A.m= B.0
C.m≥ D.m≤
解析:选D.f′(x)=x-≥0在(,+∞)上恒成立,即m≤x2,设h(x)=x2,x∈(,+∞)的值域为(,+∞),所以m≤.
6.函数f(x)=ex(sin x+cos x)在区间[0,]上的值域为( )
A.[,e] B.(,e)
C.[1,e] D.(1,e)
解析:选A.因为f(x)=ex(sin x+cos x)
=exsin(x+),
所以f′(x)=exsin(x+)+excos(x+)
=exsin(x+)=excos x.
在区间[0,]上f′(x)=excos x≥0,
所以f(x)在区间[0,]上的值域为[f(0),f()]=[,e],故选A.
7.对于R上可导的任意函数f(x),若满足f(x)+xf′(x)>0且f(-1)=0,则f(x)>0解集是( )
A.(-∞,-1) B.(0,+∞)
C.(-∞,-1)∪(0,+∞) D.(-1,0)
解析:选C.令F(x)=xf(x),由f(x)+xf′(x)>0知F′(x)>0,F(x)在R上是递增的,又f(-1)=0,所以F(-1)=0,当x∈(-∞,-1)时,F(x)=xf(x)<0,f(x)>0;
当x∈(-1,+∞)时,F(x)=xf(x)>0,若x∈(-1,0]时,f(x)≤0,若x∈(0,+∞)时f(x)>0.
故f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(0,+∞).
8.已知函数g(x)=ax3+bx2+cx(a∈R且a≠0),g(-1)=0,且g(x)的导函数f(x)满足f(0)f(1)≤0.若方程f(x)=0有两个实根,则的取值范围为( )
A.[-,2] B.[,1]
C.[-,1] D.[-,3]
解析:选C.因为g(x)=ax3+bx2+cx,
所以g(-1)=-a+b-c=0,即c=b-a.
又f(x)=g′(x)=3ax2+2bx+c,
由f(0)f(1)≤0,得c(3a+2b+c)≤0,
所以(b-a)(3b+2a)≤0.
因为a≠0,所以(-1)(3·+2)≤0,
解得-≤≤1.
又3ax2+2bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=(2b)2-4·3a·c=4b2-12a(b-a)=4(b-a)2+3a2>0,满足题意,所以的取值范围是[-,1].
9.已知e为自然对数的底数,设函数f(x)=(ex-1)(x-1)k(k=1,2),则( )
A.当k=1时,f(x)在x=1处取到极小值
B.当k=1时,f(x)在x=1处取到极大值
C.当k=2时,f(x)在x=1处取到极小值
D.当k=2时,f(x)在x=1处取到极大值
解析:选C.当k=1时,f(x)=(ex-1)(x-1),则f′(x)=ex(x-1)+(ex-1)=exx-1,所以f′(1)=e-1≠0,所以f(1)不是极值.
当k=2时,f(x)=(ex-1)(x-1)2,
则f′(x)=ex(x-1)2+2(ex-1)(x-1)=ex(x2-1)-2(x-1)=(x-1)[ex(x+1)-2],
所以f′(1)=0,且当x>1时,f′(x)>0;在x=1附近的左侧,f′(x)<0,所以f(1)是极小值.
10.已知函数f(x)=|xex|,关于x的方程f2(x)+tf(x)+1=0(t∈R)有四个不等实数根,则t的取值范围为( )
A.(,+∞) B.(2,)
C.(-,-2) D.(-∞,-)
解析:选D.设g(x)=xex,g′(x)=ex(1+x),当x>-1时,g′(x)>0,g(x)是递增的,
当x<-1时,g′(x)<0,g(x)是递减的,且x趋于-∞,g(x)趋于0.
g(x)最小=g(-1)=-,g(0)=0,所以f(x)=y=|xex|的图像如图,
由题意知,f(x)有两个不等正值使方程成立.设为a,b(a
.
由根与系数的关系,
所以-t=a+b=a+在(0,)是递减的,a+>e+,故t<-(e+),即t的取值范围为(-∞,-).所以选D.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)
11.一个边长为12 cm的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,要使方盒的容积最大,x的值应为________.
解析:V=4x(6-x)2=4(x3-12x2+36x)(0
答案:2 cm
12.已知函数f(x)=x2ln x,则函数f(x)的递减区间是________.
解析:f′(x)=2xln x+x2·=x(2ln x+1)(x>0),令f′(x)<0得,0
所以f(x)的递减区间是(0,e-).
答案:(0,e-)(写成(0,e-]也正确)
13.已知函数f(x)是定义在区间(-1,1)上的奇函数,且对于x∈(-1,1)恒有f′(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,则实数a的取值范围是________.
解析:因为当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,
所以f(x)在(-1,1)上是减少的.
由题意,得f(-2a2+2)<-f(a2+2a+1).
又f(x)为奇函数,
所以f(-2a2+2)
即所以-1
答案:(-1,-)
14.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间[-1,1]上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为________.
解析:f′(x)=3x2+2x-a,由题意知f′(x)在[-1,1]内有一个变号零点,有三种情况:
(1)若f′(-1)f′(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,所以1
(2)若,即所以a=1.
(3)若即无解,
故a的取值范围是[1,5).
答案:[1,5)
15.已知函数f(x)=x3-x2-3x+,直线l:9x+2y+c=0,若当x∈[-2,2]时,函数y=f(x)的图像恒在直线l的下方,则c的取值范围是________.
解析:由题意知h(x)=f(x)+<0在[-2,2]上恒成立,
h′(x)=x2-2x+=(x-1)2+>0,h(x)在[-2,2]上是递增的,h(x)最大=h(2)=3+<0,
所以c<-6.
答案:(-∞,-6)
三、解答题(本大题共5小题,共55分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(本小题满分10分)已知函数f(x)=(x2+a)·ex(x∈R)在点A(0,f(0))处的切线l的斜率为-3.
(1)求a的值以及切线l的方程;
(2)求f(x)在R上的极大值和极小值.
解:(1)f(x)=(x2+a)·ex?f′(x)=(x2+2x+a)·ex,
所以f′(0)=-3?a=-3,
所以f(0)=-3,切线方程为3x+y+3=0.
(2)f(x)=(x2+a)·ex?f′(x)=(x2+2x-3)·ex=(x+3)(x-1)ex,由f′(x)=0?x=-3或x=1.
当x∈(-∞,-3)时,f′(x)>0,f(x)是递增的,
当x∈(-3,1)时,f′(x)<0,f(x)是递减的,
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是递增的,
所以极大值为f(-3)=6e-3,极小值为f(1)=-2e.
17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x3+2x2-4x+5.
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值.
解:(1)f(x)=x3+2x2-4x+5,
所以f′(x)=3x2+4x-4,
令f′(x)>0,则x<-2或x>,令f′(x)<0,则-2
所以递增区间为(-∞,-2),(,+∞),递减区间为(-2,).
(2)令f′(x)=0,得x=-2或x=,
x
[-3,-2)
-2
(-2,)
(,1]
f′(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
13
↘
↗
所以x=-2为极大值点,x=为极小值点,
又f(-3)=8,f(-2)=13,f()=,f(1)=4,
所以y=f(x)在[-3,1]上的最大值为13,最小值为.
18.(本小题满分10分)已知函数f(x)=x-1-ln x对任意x∈(0,+∞),f(x)+2≥bx恒成立,求实数b的取值范围.
解:依题意对任意x∈(0,+∞),f(x)+2≥bx恒成立
等价于x-1-ln x+2≥bx在(0,+∞)上恒成立.
可得b≤1+-在(0,+∞)上恒成立,
令g(x)=1+-,
g′(x)=,
令g′(x)=0,得x=e2.
列表如下:
x
(0,e2)
e2
(e2,+∞)
g′(x)
-
0
+
g(x)
↘
1-
↗
所以函数y=g(x)的最小值为g(e2)=1-,
根据题意b的取值范围为{b|b≤1-}.
19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x3+ax2-4x+3(x∈R).
(1)当a=2时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)若函数f(x)在区间(1,2)上为减函数,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=2时,由f(x)=x3+2x2-4x+3知f′(x)=3x2+4x-4,f′(1)=3,
又f(1)=2,故所求切线方程为y-2=3(x-1),即3x-y-1=0.
(2)由f(x)=x3+ax2-4x+3知f′(x)=3x2+2ax-4,
因为f(x)在区间(1,2)上是递减的,所以f′(x)≤0在(1,2)上恒成立,
即3x2+2ax-4≤0?a≤-x,
设h(x)=-x,x∈(1,2),
所以a≤h(x)min=h(2)=-2,
故实数a的取值范围为(-∞,-2].
20.(本小题满分13分)如图,在半径为10 cm的半圆形(O为圆心)铁皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上,将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),记圆柱形罐子的体积为V(cm3).
(1)按下列要求建立函数关系式:
①设AD=x cm,将V表示为x的函数;
②设∠AOD=θ(rad),将V表示为θ的函数;
(2)请您用(1)问中的一个函数关系,求圆柱形罐子的最大体积.
解:(1)①AB=2=2πr,r=,
V=f(x)=π()2·x=(-x3+300x),0
②AD=10sin θ,AB=20cos θ=2πr,r=,
V=g(θ)=π()2·10sin θ
=sin θcos2θ,0<θ<.
(2)选用f(x):f′(x)=-(x2-100)
=-(x+10)(x-10),0
令f′(x)=0,则x=10.
列表得:
x
(0,10)
10
(10,10)
f′(x)
+
0
-
f(x)
↗
极大值
↘
所以f(x)max=f(10)=;
选用g(θ):令t=sin θ,0<θ<,0
所以h′(t)=(-3t2+1)=-(t+)(t-),
令h′(t)=0,则t=.
列表得:
t
(0,)
(,1)
h′(t)
+
0
-
h(t)
↗
极大值
↘
所以h(t)max=h()=,即g(θ)max=.
即圆柱形罐子的最大体积为.
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