1.1 命题
[基础达标]
1.命题“若a＞b，则2a＞2b”的否命题为( )
A．若a＞b，则2a≤2b B．若a≤b，则2a≤2b
C．若a≤b，则2a＞2b D．若a＞b，则2a＜2b
解析：选B.把条件和结论分别加以否定．
2.“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )
A．x＞－1 B．x＞0
C．x＞1 D．x＞2
解析：选D.x＞1x＞2，故选D.
3.给出下列命题：①a＞|b|?a2＞b2；②a＞b?a3＞b3；③|a|＞b?a2＞b2.其中正确的个数是( )
A．0 B．2
C．1 D．3
解析：选B.由不等式的性质可知①②正确．当|a|≤|b|时，③不正确．
4.已知a，b为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，下列命题中的假命题是( )
A．若a∥b，则α∥β
B．若α⊥β，则a⊥b
C．若a，b相交，则α，β相交
D．若α，β相交，则a，b相交
解析：选D.举反例如图，已知α，β为两个不同的平面，且α∩β＝c，a⊥α于点A，b⊥β于点B，a与b异面．故“若α，β相交，则a，b相交”是假命题．
5.命题“如果a，b都是奇数，则ab必为奇数”的逆否命题是( )
A．如果ab是奇数，则a，b都是奇数
B．如果ab不是奇数，则a，b不都是奇数
C．如果a，b都是奇数，则ab不是奇数
D．如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数
解析：选B.先写原命题的否命题为“如果a，b不都是奇数，则ab不是奇数，”再把否命题的条件和结论交换，得“如果ab不是奇数，则a、b不都是奇数”．
6.下列语句中是命题的有________，其中是真命题的有________(写序号)．
①北京是中国的首都；
②x＝2是方程x2－4x＋4＝0的根；
③3n不是个大数；
④sin x＞－x2；
⑤0是自然数吗？
⑥我希望明年考上北京大学．
解析：①是命题，且是真命题．
②是命题，且是真命题．
③不是命题，因为无法判断其真假．
④不是命题，因为随着x取值的不同，式子有的成立，有的不成立，即无法判断其真假．
⑤不是命题，因为它是疑问句．
⑥不是命题，因为它是祈使句．
答案：①② ①②
7.命题“已知a、x为实数，如果关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题为________．
解析：先写出逆命题，再把逆命题条件和结论交换即可．
答案：已知a、x为实数，如果a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为?
8.有下列四个命题：
①命题“若xy＝1，则x，y互为倒数”的逆命题；
②命题“面积相等的三角形全等”的否命题；
③命题“若m≤1，则x2－2x＋m＝0有实数根”的逆否命题；
④命题“若A∩B＝B，则A?B”的逆否命题．
其中是真命题的是________(填上正确命题的序号)．
解析：④中由A∩B＝B，应该得出B?A，原命题为假命题，所以逆否命题为假命题．
答案：①②③
9.判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
(1)若a＞b，则ac2＞bc2；
(2)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，b2－4ac＜0，则该二次函数图像与x轴有公共点．
解：(1)该命题为假．因为当c＝0时，ac2＝bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假．
(2)该命题为假．∵当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴无公共点．
逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有公共点，则b2－4ac＜0，为假．
否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac≥0，则该二次函数图像与x轴没有公共点，为假．
逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0，为假．
10.(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．
解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，
∵PO⊥π，aπ，∴PO⊥a，
又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，
∴a⊥平面PAO，又c平面PAO，
∴a⊥c.
(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．
[能力提升]
1.(2014·衡水高二检测)下列命题正确的个数为( )
①已知－1≤x＋y≤1，1≤x－y≤3，则3x－y的范围是[1，7]；
②若不等式2x－1＞m(x2－1)对满足|m|≤2的所有m都成立，则x的范围是(，)；
③如果正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是[8，＋∞)；
④a＝log2，b＝log3，c＝()0.5的大小关系是a＞b＞c.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选B.对①，令3x－y＝λ(x＋y)＋μ(x－y)＝(λ＋μ)x＋(λ－μ)y，得，∴
∴(3x－y)min＝1×(－1)＋2×1＝1，
(3x－y)max＝1×1＋2×3＝7，
∴3x－y∈[1，7]，①正确；
对②，令f(m)＝(x2－1)m－2x＋1，由题意f(m)＜0在[－2，2]上恒成立，即，
解得＜x＜，②正确；
对③，∵a，b∈(0，＋∞)，∴a＋b≥2，由ab＝a＋b＋3，得ab≥2＋3.
即()2－2－3≥0，解得≥3或≤－1(舍)，∴ab≥9，③不正确；
对④，∵a＜0，b＜0，c＞0，∴④不正确．
2. 设p：平面向量a，b，c互不共线，q表示下列不同的结论：
①|a＋b|＜|a|＋|b|.②a·b＝|a|·|b|.
③(a·b)c－(a·c)b与a垂直．④(a·b)c＝a(b·c)．
其中，使命题“若p，则q”为真命题的所有序号是________．
解析：由于p：平面向量a，b，c互不共线，
则必有|a＋b|＜|a|＋|b|，①正确；
由于a·b＝|a||b|cos θ＜|a||b|，②不正确；
由于[(a·b)c－(a·c)b]·a＝(a·b)(c·a)－(a·c)(b·a)＝0，所以(a·b)c－(a·c)b与a垂直，③正确；
由于平面向量的数量积不满足结合律，且a，b，c互不共线，故(a·b)c≠a(b·c)，④不正确．
综上可知真命题的序号是①③.
答案：①③
3.求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明：该命题的逆否命题为：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
∵p＋q＞2，∴(p＋q)2＞4，∴p2＋q2＞2.
即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立．
∴若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
4．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋＜1，若命题p是真命题，命题q是假命题，求实数x的取值范围．
解：由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋＜1，
得x2－4x＜0，解得0＜x＜4.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，
所以，解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
1.1 命题
[A.基础达标]
1．“若x＞1，则p”为真命题，那么p不能是( )
A．x＞－1 B．x＞0
C．x＞1 D．x＞2
解析：选D. x＞1?/ x＞2，故选D.
2．命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的逆命题是( )
A．“若x
B．“若x>a2＋b2，则x≥2ab”
C．“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”
D．“若x>2ab，则x>a2＋b2”
解析：选D.把命题“若x>a2＋b2，则x>2ab”的条件和结论互换得其逆命题为“若x>2ab，则x>a2＋b2”．
3．如果一个命题的逆命题是真命题，那么这个命题的否命题是( )
A．真命题 B．假命题
C．与所给的命题有关 D．无法判断
解析：选A.因为一个命题的逆命题、否命题是互为逆否命题，它们的真假性相同．由于逆命题是真命题，所以否命题也是真命题．
4．已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，那么下列命题中真命题的个数为( )
①M中的元素都不是P的元素；
②M中有不属于P的元素；
③M中有属于P的元素；
④M中的元素不都是P的元素．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.因为“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题，所以在M中存在不属于集合P的元素，故②③④正确，①不正确，故选C.
5．若命题p的等价命题是q，q的逆命题是r，则p与r是( )
A．互逆命题 B．互否命题
C．互逆否命题 D．不确定
解析：选B.因为p与q互为逆否命题，又因为q的逆命题是r，则p与r为互否命题．
6．命题“对顶角相等”的等价命题是________________．
解析：因为原命题和逆否命题是等价命题，所以该原命题的等价命题为“若两个角不相等，则这两个角不是对顶角”．
答案：若两个角不相等，则这两个角不是对顶角
7．命题“若x∈R，则x2＋(a－1)x＋1≥0恒成立”是真命题，则实数a的取值范围为________．
解析：由题意得：Δ≤0，即：(a－1)2－4×1×1≤0，
解得：a∈[－1，3]．
答案：[－1，3]
8．命题“若∠C＝90°，则△ABC是直角三角形”的否命题的真假性为________．
解析：该命题的否命题为“若∠C≠90°，则△ABC不是直角三角形”．因为∠A、∠B可能等于90°，所以该命题的否命题为假命题．
答案：假
9．已知命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”．写出命题的逆否命题并判断其真假．
解：逆否命题为“若x2＋x－a＝0无实根，则a<0”．因为a≥0，所以4a≥0，所以方程x2＋x－a＝0的判别式Δ＝4a＋1>0，所以方程x2＋x－a＝0有实根．故原命题“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”为真命题．
又因原命题与其逆否命题等价，所以“若a≥0，则x2＋x－a＝0有实根”的逆否命题为真．
10．(1)如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．
(2)写出上述命题的逆命题，并判断其真假(不需要证明)．
解：(1)证明：如图，设c∩b＝A，P为直线b上异于点A的任意一点，作PO⊥π，垂足为O，则O∈c，
因为PO⊥π，aπ，所以PO⊥a，
又a⊥b，b平面PAO，PO∩b＝P，
所以a⊥平面PAO，又c平面PAO，
所以a⊥c.
(2)逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是平面π外的一条直线(b不垂直于π)，c是直线b在平面π上的投影，若a⊥c，则a⊥b.逆命题为真命题．
[B.能力提升]
1．有下列四个命题：
①“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题；
②“全等三角形的面积相等”的否命题；
③“若q≤1，则x2＋2x＋q＝0有实根”的逆否命题；
④“矩形的对角线相等”的逆命题．
其中真命题为( )
A．①② B．①③
C．②③ D．③④
解析：选B.对于①：原命题为真命题，故逆否命题也为真命题．对于②：该命题的否命题为“不全等的三角形的面积不相等”，显然为假命题．对于③：该命题的逆否命题为“若x2＋2x＋q＝0无实根，则q>1”，即Δ＝4－4q<0?q>1，故③为真命题．对于④：该命题的逆命题为“对角线相等的四边形为矩形”．反例：等腰梯形，故为假命题．
2．原命题为“若＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A．真，真，真 B．假，假，真
C．真，真，假 D．假，假，假
解析：选A.＜an?an＋1＜an?{an}为递减数列．
原命题与其逆命题都是真命题，其否命题和逆否命题也都是真命题，故选A.
3．已知命题p：lg(x2－2x－2)≥0；命题q：1－x＋＜1，若命题p是真命题，命题q是假命题，则实数x的取值范围是________．
解析：由lg(x2－2x－2)≥0，得x2－2x－2≥1，
即x2－2x－3≥0，解得x≤－1或x≥3.
由1－x＋＜1，
得x2－4x＜0，解得0＜x＜4.
因为命题p为真命题，命题q为假命题，
所以，解得x≤－1或x≥4.
所以，满足条件的实数x的取值范围为(－∞，－1]∪[4，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[4，＋∞)
4．设p：平面向量a，b，c互不共线，q表示下列不同的结论：
①|a＋b|＜|a|＋|b|.②a·b＝|a|·|b|.
③(a·b)c－(a·c)b与a垂直．④(a·b)c＝a(b·c)．
其中，使命题“若p，则q”为真命题的所有序号是________．
解析：由于p：平面向量a，b，c互不共线，
则必有|a＋b|＜|a|＋|b|，①正确；
由于a·b＝|a||b|cos θ＜|a||b|，②不正确；
由于[(a·b)c－(a·c)b]·a＝(a·b)(c·a)－(a·c)(b·a)＝0，所以(a·b)c－(a·c)b与a垂直，③正确；
由于平面向量的数量积不满足结合律，且a，b，c互不共线，故(a·b)c≠a(b·c)，④不正确．
综上可知真命题的序号是①③.
答案：①③
5．求证：若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
证明：该命题的逆否命题为：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
p2＋q2＝[(p＋q)2＋(p－q)2]≥(p＋q)2.
因为p＋q＞2，所以(p＋q)2＞4，所以p2＋q2＞2.
即p＋q＞2时，p2＋q2≠2成立．
所以若p2＋q2＝2，则p＋q≤2.
6．(选做题)在公比为q的等比数列{an}中，前n项的和为Sn，若Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列，则am，am＋2，am＋1成等差数列．
(1)写出这个命题的逆命题；
(2)判断公比q为何值时，逆命题为真？公比q为何值时，逆命题为假？
解：(1)逆命题：在公比为q的等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am＋2，am＋1成等差数列，则Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
(2)因为{an}为等比数列，所以an≠0，q≠0.
由am，am＋2，am＋1成等差数列．
得2am＋2＝am＋am＋1，
所以2am·q2＝am＋am·q，
所以2q2－q－1＝0.
解得q＝－或q＝1.
当q＝1时，an＝a1(n＝1，2，…)，
所以Sm＋2＝(m＋2)a1，Sm＝ma1，Sm＋1＝(m＋1)a1，
因为2(m＋2)a1≠ma1＋(m＋1)a1，
即2Sm＋2≠Sm＋Sm＋1，
所以Sm，Sm＋2，Sm＋1不成等差数列．
即q＝1时，原命题的逆命题为假命题．
当q＝－时，
2Sm＋2＝2·，
Sm＋1＝，Sm＝，
所以2Sm＋2＝Sm＋1＋Sm，
所以Sm，Sm＋2，Sm＋1成等差数列．
即q＝－时，原命题的逆命题为真命题．
1.2.1-2.2 充分条件 必要条件
[A.基础达标]
1．使不等式＞成立的充分条件是( )
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜0 D．a＞0，b＜0
解析：选D.a＞0，b＜0?＞，其他条件均推不出＞，故选D.
2．使不等式a2＞b2成立的必要条件是( )
A．a＜b B．a＞b
C．|a|＞|b| D．ab＞0
解析：选C.因为a2＞b2?|a|＞|b|，而推不出A、B、D，故选C.
3．下列说法不正确的是( )
A．a∥b是a＝b的必要条件
B．a∥b不是a＝b的充分条件
C．θ＞0是sin θ＞0的充分条件
D．θ＞0不是sin θ＞0的必要条件
解析：选C.由于θ＞0?/ sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，所以C的说法不正确，其余均正确．
若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1 B．a≥1
C．a＜1 D．a≤1
解析：选D.由题意，需x＞1?x＞a，所以a≤1，选D.
5．如果不等式|x－a|＜1成立的充分条件但不是必要条件是＜x＜，则实数a的取值范围是( )
A.＜a＜ B.≤a≤
C．a＞或a＜ D．a≥或a≤
解析：选B.|x－a|＜1?a－1＜x＜a＋1，由题意可得即a∈.
a为素数________a为奇数的充分条件(填是或不是)．
解析：由于a＝2时不成立，所以a为素数不是a为奇数的充分条件．
答案：不是
若“x2＋ax＋2＝0”是“x＝1”的必要条件，则a＝________．
解析：由题意x＝1是方程的根，所以12＋a＋2＝0，所以a＝－3.
答案：－3
命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的________条件，“a＝4n”是“a是偶数”的________条件(用“充分”、“必要”填空)．
解析：命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”是真命题，所以“a是偶数”是“a＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件．
答案：必要 充分
9．已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．
解：y＝x2－x＋1＝(x－)2＋，
因为x∈[，2]，所以≤y≤2.
所以A＝{y|≤y≤2}．
由x＋m2≥1，得x≥1－m2，
所以B＝{x|x≥1－m2}，
因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A?B，所以1－m2≤，解得m≥或m≤－，
故实数m的取值范围是(－∞，－]∪[，＋∞)．
10．分别判断下列“若p，则q”的命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．
(1)若α≠β，则sin α≠sin β；
(2)若m＞2，则方程x2＋mx＋1＝0有实数根．
解：(1)由于α＝β ?sin α＝sin β，
sin α＝sin β ?/ α＝β，
由逆否命题的真假性相同，得
sin α≠sin β ?α≠β，
α≠β ?/ sin α≠sin β，
所以α≠β不是sin α≠sin β的充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件．
(2)由方程x2＋mx＋1＝0有实数根，得
Δ＝m2－4≥0?m≤－2或m≥2.
由于m＞2?Δ＞0?方程x2＋mx＋1＝0有实数根，而反推不成立，
所以m＞2是方程x2＋mx＋1＝0有实数根的充分条件，m＞2不是方程x2＋mx＋1＝0有实数根的必要条件．
[B.能力提升]
1．已知等比数列{an}的公比为q，则下列不是{an}为递增数列的充分条件的是( )
①a1＜a2；②a1＞0，q＞1；③a1＞0，0＜q＜1；④a1＜0，0＜q＜1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①③④
解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{an}递增的充分条件，排除C；显然②是等比数列{an}递增的充分条件，排除A；当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}递增，排除D.故选B.
2．设集合U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝{(x，y)|2x－y＋m＞0}，B＝{(x，y)|x＋y－n≤0}，那么点P(2，3)∈A∩(?UB)的既是充分条件，又是必要条件的是( )
A．m＞－1，n＜5 B．m＜－1，n＜5
C．m＞－1，n＞5 D．m＜－1，n＞5
解析：选A.由P(2，3)∈A得2×2－3＋m＞0，即m＞－1；由P(2，3)∈?UB得2＋3－n＞0，即n＜5.
3．函数f(x)＝a－为奇函数的必要条件是________．
解析：因为x∈R，f(x)为奇函数．
所以f(0)＝0，即a－2＝0，所以a＝2.
答案：a＝2
4．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________条件．(填“充分”、“必要”)
解析：因为该命题的否命题为真命题，所以B?A.又因为原命题和逆否命题有相同的真假性，因为它的逆否命题是假命题，所以原命题也为假命题，故A?/ B，即A是B的必要条件．
答案：必要
5．已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，集合S＝{x||x－1|≤m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意，x∈P是x∈S的充分条件，则P?S.
由x2－8x－20≤0，解得－2≤x≤10，
所以P＝[－2，10]．
由|x－1|≤m得1－m≤x≤1＋m，
所以S＝[1－m，1＋m]．
要使P?S，则
所以所以m≥9，
所以实数m的取值范围是{m|m≥9}．
(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S?P.
由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤m＋1，
要使S?P，则所以m≤3.
所以实数m的取值范围是{m|m≤3}．
6．(选做题)设函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝x2－x.
(1)解不等式|f(x)－g(x)|≥2 015；
(2)若|f(x)－a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围．
解：(1)由|f(x)－g(x)|≥2 015得|－x＋3|≥2 015，即|x－3|≥2 015，所以x－3≥2 015或x－3≤－2 015，解得x≥2 018或x≤－2 012.
故不等式的解集为{x|x≤－2 012或x≥2 018}．
(2)依题意知：当1≤x≤2时，|f(x)－a|＜2恒成立，所以当1≤x≤2时，－2＜f(x)－a＜2恒成立，即f(x)－2＜a＜f(x)＋2恒成立．
由于当1≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a＜2＋2，即1＜a＜4，所以实数a的取值范围是(1，4)．
1.2.2 必要条件
[基础达标]
1.使不等式＞成立的充分条件是( )
A．a＜b B．a＞b
C．ab＜0 D．a＞0，b＜0
解析：选D.a＞0，b＜0?＞，其它条件均推不出＞，故选D.
2.使不等式a2＞b2成立的必要条件是( )
A．a＜b B．a＞b
C．|a|＞|b| D．ab＞0
解析：选C.∵a2＞b2?|a|＞|b|，而推不出A、B、D，故选C.
下列说法不正确的是( )
A．a∥b是a＝b的必要条件
B．a∥b是a＝b的不充分条件
C．θ＞0是sin θ＞0的充分条件
D．θ＞0是sin θ＞0的不必要条件
解析：选C.由于θ＞0sin θ＞0，例如θ＝π，sin θ＝0，∴C中命题不正确，其余均正确．
4.若“x＞1”是“x＞a”的充分条件，则实数a的取值范围是( )
A．a＞1 B．a≥1
C．a＜1 D．a≤1
解析：选D.由题意，需x＞1?x＞a，∴a≤1，选D.
5.对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是( )
A．“ac＞bc”是“a＞b”的必要条件
B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件
C．“ac＞bc”是“a＞b”的充分条件
D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件
解析：选B.
A
×
当c＜0时，a＞bac＞bc
B
√
根据等式的性质，有“a＝b?ac＝bc”
C
×
当c＜0时，ac＞bca＞b
D
×
当c＝0时，ac＝bca＝b
6.a为素数________a为奇数的充分条件(填是或不是)．
解析：由于a＝2时不成立，∴a为素数不是a为奇数的充分条件．
答案：不是
7.若“x2＋ax＋2＝0”是“x＝1”的必要条件，则a＝________．
解析：由题意x＝1是方程的根，∴12＋a＋2＝0，∴a＝－3.
答案：－3
命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”中，“a是偶数”是“a＝4n”的________条件，“a＝4n”是“a是偶数”的________条件(用充分、必要填空)．
解析：命题“已知n∈Z，若a＝4n，则a是偶数”是真命题，所以“a是偶数”是“a＝4n”的必要条件，“a＝4n”是“a是偶数”的充分条件．
答案：必要 充分
9.(1)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件？
(2)是否存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件？
解：(1)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件，则只要{x|x＜－}?{x|x＜－1或x＞3}，则只要－≤－1，即m≥2.故存在实数m≥2，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的充分条件．
(2)欲使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件，则只要{x|x＜－}?{x|x＜－1或x＞3}，这是不可能的，故不存在实数m，使2x＋m＜0是x2－2x－3＞0的必要条件．
10.分别判断下列“若p，则q”的命题中，p是否为q的充分条件或必要条件，并说明理由．
(1)若α≠β，则sin α≠sin β.
(2)若m＞2，则方程x2＋mx＋1＝0有实数根．
解：(1)由于α＝β ?sin α＝sin β，
sin α＝sin βα＝β，
由逆否命题的真假性相同，得
sin α≠sin β ?α≠β，
α≠βsin α≠sin β，
所以α≠β是sin α≠sin β的不充分条件，α≠β是sin α≠sin β的必要条件．
(2)由方程x2＋mx＋1＝0有实数根，得
Δ＝m2－4≥0?m≤－2或m≥2.
由于m＞2?Δ＞0?方程x2＋mx＋1＝0有实数根，而反推不成立，
所以m＞2是方程x2＋mx＋1＝0有实数根的充分条件，m＞2是方程x2＋mx＋1＝0有实数根的不必要条件．
[能力提升]
1.已知等比数列{an}的公比为q，则下列不是{an}为递增数列的充分条件的是( )
①a1＜a2；②a1＞0，q＞1；③a1＞0，0＜q＜1；④a1＜0，0＜q＜1.
A．①② B．①③
C．③④ D．①③④
解析：选B.由等比数列－1，1，－1，…知①不是等比数列{an}递增的充分条件，排除C；显然②是等比数列{an}递增的充分条件，排除A；当a1＜0，0＜q＜1时，等比数列{an}递增，排除D.故选B.
2.函数f(x)＝a－为奇函数的必要条件是________．
解析：∵x∈R，f(x)为奇函数．
∴f(0)＝0，即a－2＝0，∴a＝2.
答案：a＝2
3.已知集合P＝{x|x2－8x－20≤0}，集合S＝{x||x－1|≤m}．
(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充分条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
解：(1)由题意，x∈P是x∈S的充分条件，则P?S.
由x2－8x－20≤0，解得－2≤x≤10，
∴P＝[－2，10]．
由|x－1|≤m得1－m≤x≤1＋m，
∴S＝[1－m，1＋m]．
要使P?S，则
∴∴m≥9，
∴实数m的取值范围是{m|m≥9}．
(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S?P.
由|x－1|≤m，可得1－m≤x≤m＋1，
要使S?P，则∴m≤3.
∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．
4．设函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝x2－x.
(1)解不等式|f(x)－g(x)|≥2 014；
(2)若|f(x)－a|＜2恒成立的充分条件是1≤x≤2，求实数a的取值范围．
解：(1)由|f(x)－g(x)|≥2 014得|－x＋3|≥2 014，即|x－3|≥2 014，所以x－3≥2 014或x－3≤－2 014，解得x≥2 017或x≤－2 011.
(2)依题意知：当1≤x≤2时，|f(x)－a|＜2恒成立，所以当1≤x≤2时，－2＜f(x)－a＜2恒成立，即f(x)－2＜a＜f(x)＋2恒成立．
由于当1≤x≤2时，f(x)＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2的最大值为3，最小值为2，因此3－2＜a＜2＋2，即1＜a＜4，所以实数a的取值范围是(1，4)．
1.2.3 充要条件
[基础达标]
设x∈R，则x＞e的一个必要不充分条件是( )
A．x＞1 B．x＜1
C．x＞3 D．x＜3
解析：选A.∵x＞1x＞e，而x＞e?x＞1.
2.设α，β分别为两个不同的平面，直线lα，则“l⊥β”是“α⊥β”成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.根据两个平面垂直的判定定理知“l⊥β”是“α⊥β”的充分条件，但由两个平面垂直的性质知α⊥β时，平面α内只有和它们的交线垂直的直线才能垂直于平面β，故本题中由“α⊥β”不能得到“l⊥β”，因此选A.
设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”，是“a，b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b＝±|a||b|.
若a，b∈R，则“a＞b”是“a3＋b3＞a2b＋ab2”的( )
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分且必要条件 D．既非充分也非必要条件
解析：选D.a3＋b3－a2b－ab2＝(a＋b)(a－b)2，a＞ba3＋b3＞a2b＋ab2，故选D.
5.设{an}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{an}是递增数列”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设公比为q，由a1＜a2＜a3得a1＜a1q＜a1q2，
∴或，∴充分性成立；
当{an}递增时，则或，∴a1＜a2＜a3，必要性成立．
6.在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．
解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2Rsin A＝2Rsin B，即a＝b；反之也成立．
答案：充要
7.设A是B的充分不必要条件，C是B的必要不充分条件，D是C的充要条件，则D是A的________条件．
解析：由题意知：A?B?C?D，∴A?D.
答案：必要不充分
8.已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，则使p是q的充分不必要条件的最小整数a＝________．
解析：由题意知a＞0，设A＝{x||x－1|＞a}＝{x|x＜1－a或x＞1＋a}，B＝{x|2x2－3x＋1＞0}＝{x|x＜或x＞1}，
由题意，AB，
∴由数轴可得或.
∴a≥，故a的最小整数为1.
答案：1
9.已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么：
(1)s是q的什么条件？
(2)r是q的什么条件？
(3)p是q的什么条件？
解：如图所示，可知：
(1)因为q?s，s?r?q，所以s是q的充要条件．
(2)因为r?q，q?s?r，所以r是q的充要条件．
(3)因为q?s?r?p，而pq，所以p是q的必要不充分条件．
10.求证：关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件是m≥2.
证明：(1)充分性：因为m≥2，所以Δ＝m2－4≥0，所以方程x2＋mx＋1＝0有实根，设两根为x1，x2，由根与系数的关系知，x1·x2＝1＞0，所以x1，x2同号．
又x1＋x2＝－m≤－2＜0，所以x1，x2同为负数．即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充分条件是m≥2.
(2)必要性：因为x2＋mx＋1＝0有两个负实根，设其为x1，x2，且x1x2＝1，
所以
即所以m≥2，即x2＋mx＋1＝0有两个负实根的必要条件是m≥2.
综上可知，m≥2是x2＋mx＋1＝0有两个负实根的充要条件．
[能力提升]
1.对于数列{an}，“an＋1＞|an|(n＝1，2，…)”是“{an}为递增数列”的( )
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选B.若{an}单调递增，不一定能够说明an＋1＞|an|一定成立，
如an：{－n，－(n－1)，…，－2，－1}显然不满足an＋1＞|an|一定成立，但是该数列递增；如果an＋1＞|an|＞0，那么无论an的值取正还是取负，一定能够得到{an}单调递增，所以an＋1＞|an|是{an}为递增数列的充分不必要条件，选B.
2.设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为M和N，那
么“＝＝”是“M＝N”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：如果＝＝＞0，则M＝N；如果＝＝＜0，则M≠N，∴＝＝M＝N.
反之，若M＝N＝?，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．
因此，M＝N＝＝.
答案：既不充分也不必要
3.已知数列{an}的前n项和为Sn＝aqn＋b(a≠0，q是不等于0和1的常数)，求证数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.
证明：(1)必要性．
∵数列{an}为等比数列，
∴Sn＝＝－qn.
∵Sn＝aqn＋b，∴a＝－，b＝.
∴a＋b＝0.
(2)充分性．
∵a＋b＝0，∴Sn＝aqn＋b＝aqn－a.
∵an＝Sn－Sn－1
＝(aqn－a)－(aqn－1－a)
＝a(q－1)qn－1(n＞1)，
∴＝＝q(n＞1)．
又∵a1＝aq－a，a2＝aq2－aq，
∴＝＝q.
故数列{an}是公比为q的等比数列．
综上所述，数列{an}为等比数列的充要条件是a＋b＝0.
4．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．
解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.
∴命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．
由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.
∴命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．
显然集合B?A，即q?/p，所以p不是q的必要条件．
如果p是q的充分条件，则p?q，即A?B，所以1＋a≤3或1－a≥7.
又a＞0，所以0＜a≤2.
∴若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.
1.2.3 充要条件
[A.基础达标]
1．x2＋(y－2)2＝0是x(y－2)＝0的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为x2＋(y－2)2＝0?x＝0且y＝2，
所以x(y－2)＝0成立．
但由x(y－2)＝0?x＝0或y＝2，
所以x2＋(y－2)2＝0不一定成立．
故x(y－2)＝0x2＋(y－2)2＝0.
2．平面α∩平面β＝l，直线aα，直线bβ，则p：“a和b是异面直线”是q：“a与b均与直线l相交且交点不同”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.由p：“a和b是异面直线”，则可推出其中一条直线可能与l平行，另一条可能与l相交，故p不是q的充分条件，由a与b均与l相交且交点不同，则a与b一定异面，故p是q的必要条件．
3．设a，b都是非零向量，则“a·b＝±|a||b|”是“a，b共线”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C.设〈a，b〉＝θ，a·b＝|a||b|cos θ，当|a||b|·cos θ＝±|a||b|时，cos θ＝±1，θ＝0或π，则a与b共线，若a、b共线，则〈a，b〉＝0或π，则a·b＝±|a||b|.
4．“ω＝2”是“函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A.根据T＝＝π，得ω＝±2，故选A.
5．“a＜2”是“a2－2a＜0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.a2－2a＜0?a∈(0，2)，因为{a|0＜a＜2}{a|a＜2}，所以“a＜2”是“a2－2a＜0”的必要不充分条件．
6．函数f(x)＝a＋sin x＋cos x有零点的充要条件为a∈________．
解析：f(x)＝a＋2sin(x＋)，令f(x)＝0，得sin(x＋)＝－，因为－1≤sin(x＋)≤1，所以－2≤a≤2.
答案：[－2，2]
7．已知全集S，若p：AB，q：?SB?SA，则p是q的________条件．
解析：如图，AB??SB?SA，?SB?SA?AB?S.故p是q的充分条件，也是必要条件，即p是q的充要条件．
答案：充要
8．已知条件p：|x－1|＞a和条件q：2x2－3x＋1＞0，则使p是q的充分不必要条件的最小整数a＝________．
解析：由题意知a＞0，设A＝{x||x－1|＞a}＝{x|x＜1－a或x＞1＋a}，B＝{x|2x2－3x＋1＞0}＝{x|x＜或x＞1}，
由题意，AB，
所以由数轴可得或
所以a≥，故a的最小整数为1.
答案：1
9．求不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立的充要条件．
解：当a＝0时，2x＋1＞0不恒成立．
当a≠0时，ax2＋2x＋1＞0恒成立??a＞1.
所以不等式ax2＋2x＋1＞0恒成立的充要条件是a＞1.
10．已知命题p：|x－1|＜a(a＞0)，命题q：x2＋21＞10x，且p是q的既不充分也不必要条件，求a的取值范围．
解：由|x－1|＜a(a＞0)，解得1－a＜x＜1＋a.
所以命题p对应的集合为A＝{x|1－a＜x＜1＋a，a＞0}．
由x2＋21＞10x，解得x＜3或x＞7.
所以命题q对应的集合为B＝{x|x＜3或x＞7}．
显然集合BA，即qp，所以p不是q的必要条件．
如果p是q的充分条件，则p?q，即A?B，所以1＋a≤3或1－a≥7.
又a＞0，所以0＜a≤2.
所以若p是q的既不充分也不必要条件，应有a＞2.
[B.能力提升]
1．设a，b是实数，则“a>b”是“a2>b2”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选D.设a＝1，b＝－2，则有a>b，但a2b?/ a2>b2；设a＝－2，b＝1，显然a2>b2，但ab2?/ a>b.故“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件．
2．设0＜x＜，则“xsin2x＜1”是“xsin x＜1”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为0＜x＜，所以0＜sin x＜1.由xsin x＜1知xsin2x＜sin x＜1，因此必要性成立．由xsin2x＜1得xsin x＜，而＞1，因此充分性不成立．
3．设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1＞0和a2x2＋b2x＋c2＞0的解集分别为M和N，那么“＝＝”是“M＝N”的________条件(充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)．
解析：如果＝＝＞0，则M＝N；如果＝＝＜0，则M≠N，所以＝＝?/ M＝N.
反之，若M＝N＝?，即说明二次不等式的解集为空集、与它们的系数比无任何关系，只要求判别式小于零．
因此，M＝N＝＝.
答案：既不充分也不必要
4．张老师上课时在黑板上写出三个集合：A＝，B＝{x|x2－3x－4≤0}，C＝{x|logx＞1}，然后叫甲、乙、丙三位同学到讲台上，并将“□”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能够确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：
甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件；丙：A是C成立的必要不充分条件．若老师评说三位同学都说得对，则“□”中的数为________．
解析：设“□”中的数为a，由甲的描述知a为小于6的正整数，则A＝，B＝{x|－1≤x≤4}，C＝，由乙的描述知≤4，由丙的描述知＞，所以≤a＜2，再由甲的描述知a＝1.
答案：1
5．已知p：x(x－3)＜0，q：2x－3＜m，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解：
p：x(x－3)＜0，则0＜x＜3；
q：2x－3＜m，则x＜.
令集合A＝{x|0＜x＜3}，B＝，在数轴上表示出集合A，B如图所示．由于p是q的充分不必要条件，则AB，即≥3，解得m≥3.
6．(选做题)已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a、b、c∈R，且a≠0)．证明方程f(x)＝0有两个不相等的实数根的充要条件是：存在x0∈R，使af(x0)＜0.
证明：①充分性：若存在x0∈R，使af(x0)＜0，
则b2－4ac＝b2－4a[f(x0)－ax－bx0]
＝b2＋4abx0＋4a2x－4af(x0)
＝(b＋2ax0)2－4af(x0)＞0，
所以方程f(x)＝0有两个不等实数根．
②必要性：若方程f(x)＝0有两个不等实数根，
则b2－4ac＞0，设x0＝－，
a·f(x0)＝a
＝－＋ac
＝＜0.
所以存在x0∈R，使af(x0)＜0.
1.3.1-1.3.2 全称量词与全称命题 存在量词与特称命题
[A.基础达标]
1．下列命题中，真命题是( )
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析：选B.A，C为全称命题；对于B，当x＝0时，x2＝0≤0，正确；对于D，显然错误．
3．下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A．每一个二次函数的图像都开口向上
B．存在一条直线与两个相交平面都垂直
C．存在一个实数x，使x2－3x＋6＜0
D．对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b
解析：选D.对A当二次项系数小于零时不成立，A为假命题；B、C均为特称命题．故选D.
4．下列命题是假命题的为( )
A．存在x∈R，lg ex＝0
B．存在x∈R，tan x＝x
C．任意x∈(0，)，＞cos x
D．任意x∈R，ex＞x＋1
解析：选D.对A，x＝0时成立，为真命题；对B，当x＝0时成立，为真命题；对C，因为x∈(0，)，cos x＞0，0＜sin x＜1，所以＝＞cos x，为真命题，故选D.
5．已知正四面体A-BCD的棱长为2，点E是AD的中点，则下面四个命题中正确的是( )
A．对任意的F∈BC，EF⊥AD
B．存在F∈BC，EF⊥AC
C．对任意的F∈BC，EF≥
D．存在F∈BC，EF∥AC
解析：选A.因为△ABD为等边三角形，E为AD中点，
?AD⊥平面BCE，
故AD⊥EF.
6．“对于任意的x∈Z，2x＋1是整数”的逆命题是________．
答案：若2x＋1是整数，则x∈Z
7．若对任意的x∈R，f(x)＝(a2－1)x是减函数，则a的取值范围是________．
解析：依题意有：0答案：(－，－1)∪(1，)
8．若对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a＜0，则实数a的取值范围是________．
解析：命题为真命题时，有解得a＜－1.即a的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
9．判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)任意x∈(－1，2)，x2－x＜2；
(2)存在x∈{x|x＞1}，log2x＋logx2＜2；
(3)指数函数都是单调函数；
(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．
解：(1)全称命题．由于x2－x＜2?x2－x－2＜0?－1＜x＜2，所以任意x∈(－1，2)，x2－x＜2成立．真命题．
(2)特称命题．当x∈{x|x＞1}时，log2x＞0，
故log2x＋logx2＝log2x＋≥2，当且仅当x＝2时，(log2x＋logx2)min＝2，所以不存在x∈{x|x＞1}，使log2x＋logx2＜2成立．假命题．
(3)全称命题．当a＞1时，指数函数f(x)＝ax为增函数，当0＜a＜1时，指数函数f(x)＝ax为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．
(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．
10．不等式x2－2mx－1＞0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．
解：法一：因为Δ＝4m2＋4＞0恒成立，
所以设方程x2－2mx－1＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2 .
因为{x|1≤x≤3}?{x|x2－2mx－1＞0}＝{x|x＞x2或x＜x1}，
所以方程x2－2mx－1＝0的两根x1，x2都大于3或都小于1.
因为x1x2＝－1＜0，
所以两根都小于1.
令y＝x2－2mx－1，则
解得m＜0.所以m的取值范围为{m|m＜0}．
法二：因为1≤x≤3，x2－2mx－1＞0，
所以m＜＝.
当x∈[1，3]时，函数y＝x－是增加的，
所以∈，所以m＜0.
[B.能力提升]
1．已知a>0，函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若x0满足关于x的方程2ax＋b＝0，则下列选项的命题中为假命题的是( )
A．存在x∈R，使f(x)≤f(x0)
B．存在x∈R，使f(x)≥f(x0)
C．对任意x∈R，使f(x)≤f(x0)
D．对任意x∈R，使f(x)≥f(x0)
解析：选C.由x0＝－(a>0)及抛物线的相关性质可得选项C是错误的．
2．有四个关于三角函数的命题：
p1：存在x∈R，sin2＋cos2＝；
p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：对任意的x∈[0，π], ＝sin x；
p4：sin x＝cos y?x＋y＝.
其中假命题为( )
A．p1，p4 B．p2，p4
C．p1，p3 D．p3，p4
解析：选A.由于对任意x∈R，sin2＋cos2＝1，故p1是假命题；
当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，
sin x－sin y＝sin(x－y)成立，故p2是真命题．
对于p3：任意x∈[0，π]，
＝＝|sin x|＝sin x为真命题．
对于p4：sin x＝cos y?x＋y＝为假命题，例如x＝π，y＝，满足sin x＝cos y＝0，而x＋y＝.
3．命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝＋≥，所以只需m2－m＜，即－＜m＜.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．
答案：真
4．已知定义在(－∞，3]上的减函数f(x)，使f(a2－sin x)≤f(a＋1＋cos2x)对于任意x∈R恒成立，则a的取值范围是________．
解析：由函数单调性得3≥a2－sin x≥a＋1＋cos2x对任意x∈R均成立，即对任意x∈R均成立，
则即
解得－≤a≤－.
答案：
5．若不等式t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1，1]都成立，求t的取值范围．
解：因为x∈[－π，π]，所以sin x∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a∈[－1，1]不等式t2－2at＋1≥1恒成立．
由t2－2at＋1≥1得2t·a－t2≤0.
令f(a)＝2t·a－t2，则f(a)在t≠0时是关于a的一次函数，
当t＝0时，显然f(a)≤0成立，
当t≠0时，要使f(a)≤0在a∈[－1，1]上恒成立，
则
即解得t≤－2或t≥2.
故t的取值范围是t≤－2或t＝0或t≥2.
6．(选做题)若x∈[－2，2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2，2]时，[f(x)]min≥0即可．
①当－＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2，2]上是增加的，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，又a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
[f(x)]min＝f＝≥0，
解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，所以－4≤a≤2.
③当－＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2，2]上是减少的，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4.
故a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
1.3.2 存在量词与特称命题
[基础达标]
1.下列命题为特称命题的是( )
A．偶函数的图像关于y轴对称
B．正四棱柱都是平行六面体
C．不相交的两条直线是平行直线
D．存在实数大于或等于3
解析：选D.选项D中的命题含有存在量词“存在”，因此它是特称命题．
2.下列命题中是全称命题并且是真命题的是( )
A．每一个二次函数的图像都是开口向上
B．存在一条直线与两个相交平面都垂直
C．存在一个实数x，使x2－3x＋6＜0
D．对任意c≤0，若a≤b＋c，则a≤b
解析：选D.对A当二次项系数小于零时不成立，A为假命题；B、C均为特称命题．故选D.
3.下列命题中，真命题是( )
A．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是偶函数
B．存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)是奇函数
C．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是偶函数
D．对任意m∈R，函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)都是奇函数
解析：选A.由于当m＝0时，函数f(x)＝x2＋mx＝x2为偶函数，故“存在m∈R，使函数f(x)＝x2＋mx(x∈R)为偶函数”是真命题．
下列命题是假命题的为( )
A．存在x∈R，lg ex＝0
B．存在x∈R，tan x＝x
C．任意x∈(0，)，＞cos x
D．任意x∈R，ex＞x＋1
解析：选D.对A，x＝0时成立，为真命题；对B，当x＝0时成立，为真命题；对C，∵x∈(0，)，cos x＞0，0＜sin x＜1，∴＝＞cos x，为真命题，故选D.
下列命题：
①存在x＜0，使|x|＞x；
②对于一切x＜0，都有|x|＞x；
③已知an＝2n，bn＝3n，对于任意n∈N＋，都有an≠bn；
④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝?.
其中，所有正确的命题为( )
A．①② B．②③
C．①②③ D．①②③④
解析：选C.命题①②显然为真命题；③由于an－bn＝2n－3n＝－n＜0，对于任意n∈N＋，都有an＜bn，即an≠bn，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，如n＝1，2，3时，A∩B＝{6}，故为假命题．
若“存在x∈R，x2＋2x＋2＝m”是真命题，则实数m的取值范围是________．
解析：由题意知x2＋2x＋2－m＝0有实根，∴Δ＝22－4(2－m)≥0，∴m≥1.
答案：[1，＋∞)
若对任意x∈R，都有ax2＋2x＋a＜0，则实数a的取值范围是________．
解析：命题为真命题时，有解得a＜－1.即a的取值范围是(－∞，－1)．
答案：(－∞，－1)
命题“对任意x∈R，存在m∈Z，使m2－m＜x2＋x＋1”是________命题．(填“真”或“假”)
解析：由于对任意x∈R，x2＋x＋1＝＋≥，所以只需m2－m＜，即－＜m＜.所以当m＝0或m＝1时，对任意x∈R，m2－m＜x2＋x＋1成立，因此该命题是真命题．
答案：真9.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假．
(1)任意x∈(－1，2)，x2－x＜2；
(2)存在x∈{x|x＞1}，log2x＋logx2＜2；
(3)指数函数都是单调函数；
(4)至少有一个整数，它既能被2整除，又能被5整除．
解：(1)全称命题．由于x2－x＜2?x2－x－2＜0?－1＜x＜2，所以任意x∈(－1，2)，x2－x＜2成立．真命题．
(2)特称命题．当x∈{x|x＞1}时，log2x＞0，
故log2x＋logx2＝log2x＋≥2，当且仅当x＝2时，(log2x＋logx2)min＝2，所以不存在x∈{x|x＞1}，使log2x＋logx2＜2成立．假命题．
(3)全称命题．当a＞1时，指数函数f(x)＝ax为增函数，当0＜a＜1时，指数函数f(x)＝ax为减函数，所以指数函数都是单调函数．真命题．
(4)特称命题．例如，10既能被2整除，又能被5整除，真命题．
10.不等式x2－2mx－1＞0对一切1≤x≤3都成立，求m的取值范围．
解：法一：∵Δ＝4m2＋4＞0恒成立，
∴设方程x2－2mx－1＝0的两根为x1，x2，且x1＜x2 .
∵{x|1≤x≤3}?{x|x2－2mx－1＞0}＝{x|x＞x2或x＜x1}，
∴方程x2－2mx－1＝0的两根x1，x2都大于3或都小于1.
∵x1x2＝－1＜0，
∴两根都小于1.
令y＝x2－2mx－1，则
解得m＜0.∴m的取值范围为{m|m＜0}．
法二：∵1≤x≤3，x2－2mx－1＞0，
∴m＜＝.
当x∈[1，3]时，函数y＝x－单调递增，
∴∈，∴m＜0.
[能力提升]
下列命题中，真命题是( )
A．存在x0∈R，ex0≤0
B．任意x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．a>1，b>1是ab>1的充分条件
解析：选D.对于A，∵ex>0恒成立，∴A选项不正确．
对于B，当x＝2时，22＝22，∴B不正确．
对于C，当a＝b＝0时，无意义，∴C不正确．
对于D，当a>1，b>1时，ab>1显然成立，
反之，当ab>1时，以a＝，b＝4为例，易知推不出a>1且b>1.
有四个关于三角函数的命题：
p1：存在x∈R，sin2＋cos2＝；
p2：存在x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y；
p3：任意x∈[0，π], ＝sin x；
p4：sin x＝cos y?x＋y＝，其中的假命题是________．
解析：由于对任意x∈R，sin2＋cos2＝1，故p1是假命题；
当x，y，x－y有一个为2kπ(k∈Z)时，
sin x－sin y＝sin(x－y)成立，故p2是真命题．
对于p3：任意x∈[0，π]，
＝＝|sin x|＝sin x为真命题．
对于p4：sin x＝cos y?x＋y＝为假命题，例如x＝π，y＝，满足sin x＝cos y＝0，而x＋y＝.
答案：p1，p4
3.若不等式t2－2at＋1≥sin x对一切x∈[－π，π]及a∈[－1，1]都成立，求t的取值范围．
解：因为x∈[－π，π]，所以sin x∈[－1，1]，于是由题意可得对一切a∈[－1，1]不等式t2－2at＋1≥1恒成立．
由t2－2at＋1≥1得2t·a－t2≤0.
令f(a)＝2t·a－t2，则f(a)在t≠0时是关于a的一次函数，
当t＝0时，显然f(a)≤0成立，
当t≠0时，要使f(a)≤0在a∈[－1，1]上恒成立，
则
即解得t≤－2或t≥2.
故t的取值范围是t≤－2或t＝0或t≥2.
4．若x∈[－2，2]，不等式x2＋ax＋3≥a恒成立，求a的取值范围．
解：设f(x)＝x2＋ax＋3－a，则问题转化为当x∈[－2，2]时，[f(x)]min≥0即可．
①当－＜－2，即a＞4时，f(x)在[－2，2]上单调递增，[f(x)]min＝f(－2)＝7－3a≥0，解得a≤，又a＞4，所以a不存在．
②当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，
[f(x)]min＝f＝≥0，
解得－6≤a≤2.
又－4≤a≤4，
所以－4≤a≤2.
③当－＞2，即a＜－4时，f(x)在[－2，2]上单调递减，[f(x)]min＝f(2)＝7＋a≥0，解得a≥－7，又a＜－4，所以－7≤a＜－4.
故a的取值范围是{a|－7≤a≤2}．
1.3.3 全称命题与特称命题的否定
[基础达标]
已知命题p：任意x∈N，2x＋1∈N，则p的否定为( )
A．任意x∈N，2x＋1?N
B．存在x∈N，2x＋1?N
C．存在x∈N，2x＋1∈N
D．存在x?N，2x＋1∈N
解析：选B.p为全称命题，其否定为：存在x∈N，2x＋1?N.
命题“存在x∈R，x2－x＜0”的否定是( )
A．存在x∈R，x2－x≥0 B．存在x∈R，x2－2x＞0
C．任意x∈R，x2－x≥0 D．任意x∈R，x2－x＜0
解析：选C.命题“存在x∈R，x2－x＜0的否定是：任意x∈R，x2－x≥0”．
命题“原函数与反函数的图像关于y＝x对称”的否定是( )
A．原函数与反函数的图像关于y＝－x对称
B．原函数不与反函数的图像关于y＝x对称
C．存在一个函数，其原函数与反函数的图像不关于y＝x对称
D．存在原函数与反函数的图像关于y＝x对称
解析：选C.命题“任意x∈M，p(x)”的否定是“存在x∈M，非p(x)”．
对下列命题的否定说法错误的是( )
A．p：能被3整除的整数是奇数；非p：存在一个能被3整除的整数不是奇数
B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；非p：存在一个四边形的四个顶点不共圆
C．p：有的三角形为正三角形；非p：所有的三角形都不是正三角形
D．p：存在x∈R，x2＋2x＋2≤0；非p：当x2＋2x＋2＞0时，x∈R
解析：选D.特称命题的否定为全称命题．
若命题“存在x∈R，使得x2＋mx＋2m－3＜0”为假命题，则实数m的取值范围是( )
A．[－6，－2] B．[2，6]
C．(2，6) D．(－6，－2)
解析：选B.由题知，任意x∈R，x2＋mx＋2m－3≥0恒成立为真，∴Δ≤0可得m∈[2，6]，选B.
命题“对任何x∈R，|x－2|＋|x－4|＞3”的否定是________．
解析：这是一个全称命题，其否定为存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立．
答案：存在x∈R，使|x－2|＋|x－4|≤3成立
命题“存在x，y＜0，x2＋y2≥2xy”的否定为________．
解析：这是一个特称命题，其否定为：对任意x，y＜0，都有x2＋y2＜2xy.
答案：对任意x，y＜0，x2＋y2＜2xy恒成立
已知命题p：存在x∈R，x2＋2ax＋a≤0.若命题p是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：p为特称命题，又是假命题，故其否定：“对任意x∈R，x2＋2ax＋a＞0恒成立”为真命题，故Δ＝(2a)2－4a＜0，解得a∈(0，1)．
答案：(0，1)
写出下列全称命题或特称命题的否定．
(1)存在α0，β0∈Z，使sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0；
(2)对任意的x∈R，都有x2－x＋≥0；
(3)存在n∈N，2n＞1 000；
(4)每条直线在y轴上都有一个截距．
解：(1)特称命题的否定为：
对任意的α、β∈Z，使sin(α＋β)≠sin α＋sin β.
(2)全称命题的否定为：
存在x∈R，使x2－x＋＜0.
(3)特称命题的否定为：
对任意的n∈N，有2n≤1 000.
(4)全称命题的否定为：
存在一条直线在y轴上没有截距．
判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：
(1)三角形的内角和为180°；
(2)每个二次函数的图像都开口向下；
(3)存在一个四边形不是平行四边形．
解：(1)是全称命题且为真命题．
命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形其内角和不等于180°.
(2)是全称命题且为假命题．
命题的否定：存在一个二次函数的图像开口不向下．
(3)是特称命题且为真命题．
命题的否定：任意一个四边形都是平行四边形．
[能力提升]
若“任意x∈[0，]，sin x＋cos x＜m”为假命题，则实数m的取值范围为( )
A．m＜1 B．m≤1
C．m≤2 D．1≤m≤2
解析：选C.令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，x∈[0，]，
可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数，
由于f(0)＝，f()＝2，f()＝1，
所以1≤f(x)≤2，
由于“任意x∈[0，]，sin x＋cos x＜m”为假命题，则其否定“存在x∈[0，]，sin x＋cos x≥m”为真命题，所以m≤f(x)max＝2.
若“存在x∈[0，]，sin x＋cos x＜m”为假命题，则实数m的取值范围是________．
解析：令f(x)＝sin x＋cos x＝2sin(x＋)，x∈[0，]，
可知f(x)在[0，]上为增函数，在(，]上为减函数，
由于f(0)＝，f()＝2，f()＝1，所以1≤f(x)≤2，
由于“存在x∈[0，]，sin x＋cos x＜m”为假命题，则其否定“对任意x∈[0，]，sin x＋cos x≥m”为真命题，所以m≤f(x)min＝1.
答案：(－∞，1]
命题“任意x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0”是假命题，求实数m的取值范围．
解：若原命题是真命题，
即对于任意x∈{x|x≥1}，x2＋x＋m≥0恒成立，
令f(x)＝x2＋x＋m，则f(1)≥0，即2＋m≥0，解得m≥－2.
要使原命题是假命题，则实数m的取值范围是m＜－2.
4．已知两个命题：r(x)：sin x＋cos x＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0，如果对任意x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解：∵sin x＋cos x＝sin≥－，
∴当r(x)是真命题时，m＜－.
又∵对任意x∈R，s(x)是真命题时，
即x2＋mx＋1＞0恒成立，
有Δ＝m2－4＜0，
∴－2＜m＜2.
∴当r(x)为真命题，s(x)为假命题时，m＜－，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2；
当r(x)为假命题，s(x)为真命题时，m≥－，且－2＜m＜2，即－≤m＜2.
综上，m的取值范围是{m|m≤－2或－≤m＜2}．
1.4.1-1.4.2 逻辑联结词“且”逻辑联结词“或”
[A.基础达标]
1．若“p或q”是假命题，则( )
A．p是真命题，q是假命题
B．p，q均为假命题
C．p，q至少有一个是假命题
D．p，q至少有一个是真命题
解析：选B.“p或q”为假命题?p，q均为假命题．
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是( )
A．“p或q”为假，“q”为真
B．“p或q”为真，“q”为真
C．“p且q”为假，“p”为真
D．“p且q”为真，“p或q”为假
解析：选B.易知p为假命题，q为真命题，可得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，故选B.
3．若“x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}”是假命题，则x的取值范围是( )
A．5≤x≤6 B．5C．56
解析：选B.因为x∈[1，5]或x∈{x|x<3或x>6}，即x∈(－∞，5]∪(6，＋∞)，因为该命题是假命题，所以x的取值范围是(5，6]．
4．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：在△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则( )
A．p真q假 B．p且q为真
C．p或q为假 D．p假q真
解析：选D.命题p：x>0?x2>0，但x2>0?/ x>0，故p为假命题；
命题q：在△ABC中，A>B?a>b?2Rsin A>2Rsin B，即sin A>sin B，
故q为真命题，易得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
5．命题p：“方程x2＋2x＋a＝0有实数根”；命题q：“函数f(x)＝(a2－a)x是增函数”，若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，则实数a的取值范围是( )
A．a>0 B．a≥0
C．a>1 D．a≥1
解析：选B.若p为真?Δ＝4－4a≥0，即a≤1；若q为真?a2－a>0，即a∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．由题意可得p，q一真一假．
若p真q假，a∈[0，1]；若p假q真，a∈(1，＋∞)，综上所述，a∈[0，＋∞)．
6．给定下列命题：p：0不是自然数，q：是无理数，在命题“p且q”“p或q”中，真命题是________．
解析：因为0是自然数，是无理数，所以p是假命题，q是真命题，故“p且q”为假命题，“p或q”为真命题．
答案：p或q
7．已知命题p：不等式|x|≥m的解集是R，命题q：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，则实数m的范围是________．
解析：p为真，则m≤0；q为真，则2－m＞0，即m＜2.
由于“p或q”为真，所以p为真或q为真，或p、q都为真，故m的取值范围是(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
8．对于命题p和命题q，给出下列说法，其中正确说法的序号是________(填序号)．
①“p且q为真”是“p或q为真”的充分条件；②“p且q为假”是“p或q为真”的充分条件；③若“p或q”为真，“p且q”为假，则q为假．
解析：利用“且”命题中全真为真，一假为假，“或”命题中一真为真，全假为假．
可得：“p且q”为真?p为真，q为真?“p或q”为真，可知①正确．
答案：①
9．(1)用逻辑联结词“且”将命题p和q联结成一个新命题，并判断其真假，其中p：是无理数，q：大于2.
(2)将命题“y＝sin 2x既是周期函数，又是奇函数”改写为含有逻辑联结词“且”的命题，并判断其真假．
解：(1)p且q：是无理数且大于2，是假命题．
(2)y＝sin 2x是周期函数且是奇函数，是真命题．
10．设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0；命题q：实数x满足x2－5x＋6≤0.
(1)若a＝1，且“p且q”为真，求实数x的取值范围；
(2)若p是q成立的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：(1)由x2－4ax＋3a2<0，
得(x－3a)·(x－a)<0，
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由x2－5x＋6≤0得2≤x≤3，
所以q为真命题时实数x的取值范围是2≤x≤3.
若“p且q”为真，则2≤x<3，
所以实数x的取值范围是[2，3)．
(2)设A＝{x|aB＝{x|2≤x≤3}，
由题意可知q是p的充分不必要条件，则BA，
所以?1[B.能力提升]
1．已知命题p：不等式||>的解集为{x|0A．p真q假 B．“p且q”为真
C．“p或q”为假 D．p假q真
解析：选A.对于p：||>，可得<0，即x∈(0，1)，故p为真命题；
对于q：a＝b?a2＝b2，但a2＝b2?/ a＝b，故q为假命题，易得“p或q”为真命题，“p且q”为假命题．
2．命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，log2x＋m＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1
解析：选C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，所以m＜1；
q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，所以m＞－1；
因为“p且q”为真命题，所以p和q都是真命题，故－1＜m＜1.
3．命题p：1是集合{x|x2若“p且q”是真命题，则a的取值范围为________．
解析：由p为真命题，可得a>1，由q为真命题，可得a>4.
当“p且q”为真命题时，p，q都为真命题，即解得{a|a>4}．
答案：{a|a>4}
4．命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(9－4a)x在R上是减函数，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：先求出命题p，q为真命题时实数a的取值范围，x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，则Δ＝(2a)2－4×1×4＜0，解得－2＜a＜2，即命题p：－2＜a＜2；函数y＝－(9－4a)x在R上是减函数，则9－4a＞1，得a＜2，即命题q：a＜2.“p或q”为真命题，则p和q至少有一个为真，“p且q”为假命题，则p和q至少有一个为假，所以p和q一真一假，所以实数a的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
5．设有两个命题：
p：关于x的不等式sin xcos x>m2＋－1的解集是R；
q：幂函数f(x)＝x7－3m在(0，＋∞)上是减函数．
若“p且q”是假命题，“p或q”是真命题，求m的取值范围．
解：因为“p且q”是假命题，所以p，q中至少有一个是假命题．
因为“p或q”是真命题，所以p，q中至少有一个是真命题．
故p和q两个命题一真一假．
若p真，则2m2＋m－2<－1，即2m2＋m－1<0，所以－1若q真，则7－3m<0，所以m>.
p真q假时，－1.
所以m的取值范围是∪.
6．(选做题)已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2，若同时满足条件：①对任意x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②存在x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，求m的取值范围．
解：将①转化为g(x)<0的解集的补集是f(x)<0解集的子集求解；②转化为f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．
若g(x)＝2x－2<0，则x<1.
又因为对任意x∈R，g(x)<0或f(x)<0，
所以[1，＋∞)是f(x)<0的解集的子集．
又由f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)<0知，m不可能大于或等于0，因此m<0.
当m<0时，f(x)<0，即(x－2m)(x＋m＋3)>0.
当2m＝－m－3，即m＝－1时，f(x)<0的解集为{x|x≠－1}，满足条件．
当2m>－m－3，即－12m或x<－m－3}．依题意2m<1，即m<，所以－1当2m<－m－3，即m<－1时，f(x)<0的解集为{x|x<2m或x>－m－3}．依题意－m－3<1，即m>－4，
所以－4因此满足①的m的取值范围是－4②中，因为当x∈(－∞，－4)时，g(x)＝2x－2<0，所以问题转化为存在x∈(－∞，－4)，f(x)>0，即f(x)>0的解集与(－∞，－4)的交集非空．又m<0，则(x－2m)(x＋m＋3)<0.
由①的解法知，当－1－m－3，即－m－3<－4，
所以m>1，此时无解．
当m＝－1时，f(x)＝－(x＋2)2恒小于或等于0，此时无解．
当m<－1时，2m<－m－3，即2m<－4，所以m<－2.
综合①②可知满足条件的m的取值范围是－41.4.3 逻辑联结词“非”
[基础达标]
1.“若x2－7x＋12≠0，则x≠3且x≠4”的否定为( )
A．若x2－7x＋12＝0，则x＝3或x＝4
B．若x2－7x＋12＝0，则x＝3且x＝4
C．若x2－7x＋12≠0，则x＝3或x＝4
D．若x2－7x＋12≠0，则x≠3且x≠4
解析：选C.不否定条件“x2－7x＋12≠0”，只否定结论“x≠3且x≠4”，此结论的否定为：“x＝3或x＝4”，故选C.
2.若p、q是两个简单命题，“p或q”的否定是真命题，则必有( )
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
解析：选B.“p或q”的否定是真命题，故“p或q”为假命题，所以p假q假．
3.若命题“p且q”为假，且非p为假，则( )
A．“p或q”为假 B．q为假
C．p为假 D．q为真
解析：选B.∵非p为假，∴p为真，又“p且q”为假，∴q必为假，故选B.
4.设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“非p”、“非q”、“p且q”、“p或q”为假命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由于Δ＞0，且两根，p为真命题，q为假，∴非p为假命题，非q为真命题；p且q为假命题，p或q为真命题，故选C.
已知全集U＝R，A?U，B?U，若命题p：a∈A∪B，则命题“非p”是( )
A．a∈A B．a∈?UB
C．a?A∩B D．a∈(?UA)∩(?UB)
解析：选D.因为(?UA)∩(?UB)正好是A∪B的补集，所以a?A∪B?a∈(?UA)∩(?UB)．
6.若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命题，则x的取值范围是________．
解析：∵原命题为假命题，
∴∴1≤x＜2.故x的取值范围是[1，2)．
答案：[1，2)
已知命题p：不等式|x|≥m的解集是R，命题q：f(x)＝在区间(0，＋∞)上是减函数，若命题“p或q”为真，则实数m的范围是________．
解析：p为真，则m≤0；q为真，则2－m＞0，即m＜2.
由于“p或q”为真，∴p为真或q为真，故m的取值范围是(－∞，0]∪(－∞，2)＝(－∞，2)．
答案：(－∞，2)
8.已知p：x＞1或x＜－，q：＞0，则非p是非q的________条件．
解析：由＞0得，x2＋4x－5＞0，∴x＜－5或x＞1，
由于{x|x＞1或x＜－}?{x|x＞1或x＜－5}, ∴p是q的必要不充分条件，即p?,?/)q，∴非q?,?/)非p，即非p是非q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
9.写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：是有理数，q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)．
解：(1)p或q：是有理数或是整数；
p且q：是有理数且是整数；
非p：不是有理数．
因为p假，q假，所以p或q为假，p且q为假，非p为真．
(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；
p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；
非p：不等式x2－2x－3＞0的解集不是(－∞，－1)．
因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真．
10.已知p：|x－4|≤6，q：x2＋3x≥0，若命题“p且q”和“非p”都为假，求x的取值范围．
解：p：－2≤x≤10，q：x≤－3或x≥0.
若命题“p且q”和“非p”都为假，则p为真q为假，∴.
∴－2≤x＜0.故x的取值范围是{x|－2≤x＜0}．
[能力提升]
已知命题p1：函数y＝－在R上为减函数，p2：函数y＝＋在R上为增函数，则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：p2或非p1，q4：p1且非p2中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：选C.因为函数y＝－2x是R上的减函数，所以命题p1是真命题；因为x＝1和x＝－1时，都有y＝＋2＝，所以函数y＝＋2x不是R上的增函数，故p2是假命题，所以p1或p2是真命题，p1且p2是假命题，p2或非p1是假命题，p1且非p2是真命题，所以真命题是q1，q4，故选C.
命题p：关于x的不等式x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立；命题q：函数y＝－(5－2a)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围为________．
解析：先求出命题p，q为真命题时实数a的取值范围，x2＋2ax＋4＞0对一切x∈R恒成立，则Δ＝(2a)2－4×1×4＜0，解得－2＜a＜2，即命题p：－2＜a＜2；函数y＝－(5－2a)x是减函数，则5－2a＞1，得a＜2，即命题q：a＜2.p或q为真命题，则p和q至少有一个为真，p且q为假命题，则p和q至少有一个为假，所以p和q一真一假，但本题中p为真时，q一定为真，故p假且q真，∴实数a的取值范围是(－∞，－2]．
答案：(－∞，－2]
已知命题p：任意的x∈[1，2]，x2－a≥0，命题q：存在x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围．
解：∵p且q为真命题，∴p和q均为真命题，
由命题p为真命题，得a≤x2，x∈[1，2]，当x∈[1，2]，x2的最小值为1，∴a≤1；
由命题q为真命题，得Δ＝(2a)2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0，∴a≤－2或a≥1，
故a的取值范围是{a|a≤1}∩{a|a≤－2或a≥1}＝{a|a≤－2或a＝1}．
4．设命题p：函数f(x)＝(a－)x是R上的减函数；命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域是[－1，3]．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求实数a的取值范围．
解：若命题p为真，则0＜a－＜1，得＜a＜，
若命题q为真，即f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域是[－1，3]，得2≤a≤4.
∵p或q为真，p且q为假，∴p，q中一真一假．
若p真q假，则得＜a＜2；
若p假q真，则得≤a≤4.
综上：实数a的取值范围为＜a＜2或≤a≤4.
1.4.3 逻辑联结词“非”
[A.基础达标]
1．“若x2－7x＋12≠0，则x≠3且x≠4”的否定为( )
A．若x2－7x＋12＝0，则x＝3或x＝4
B．若x2－7x＋12＝0，则x＝3且x＝4
C．若x2－7x＋12≠0，则x＝3或x＝4
D．若x2－7x＋12≠0，则x＝3且x＝4
解析：选C.不否定条件“x2－7x＋12≠0”，
只否定结论“x≠3且x≠4”，
此结论的否定为：“x＝3或x＝4”，故选C.
2．若命题“p且q”为假，且非p为假，则( )
A．“p或q”为假 B．q为假
C．p为假 D．q为真
解析：选B.因为非p为假，所以p为真，又“p且q”为假，所以q必为假，故选B.
3．设命题p：方程x2＋3x－1＝0的两根符号不同；命题q：方程x2＋3x－1＝0的两根之和为3，判断命题“非p”、“非q”、“p且q”、“p或q”为假命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.由于Δ＞0，且两根，p为真命题，q为假，所以非p为假命题，非q为真命题；p且q为假命题，p或q为真命题，故选C.
4．给定两个命题p，q，若綈p是q的必要不充分条件，则p是綈q的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为綈p是q的必要不充分条件，所以q?綈p但綈pq，所以p?綈q但綈qp，
故p是綈q的充分不必要条件．
5．命题p：“若aA．否命题：若a≥b，则2a≥2b，否定：若aB．否命题：若aC．否命题：若2a<2b，则aD．否命题：若a>b，则2a>2b，否定：若a2b
解析：选A.否命题是对原命题的条件和结论均否定；写否命题时大前提不变．故选A.
6．命题p：x＝2且y＝3，则綈p为________．
解析：綈p：x≠2或y≠3.
答案：x≠2或y≠3
7．已知全集为R，命题p：0∈N，q：{0}??RQ，则下述判断：
①“p且q”为真；②“p或q”为真；③綈p为真；④綈q为假．其中正确的序号为________．
解析：易知p为真命题，q为假命题；故“p且q”为假，“p或q”为真，綈p为假，綈q为真．
答案：②
8．设命题p：函数y＝sin 2x的最小正周期为；命题q：函数y＝cos x的图像关于直线x＝对称．则下列判断正确的是________．(填序号)
①p为真；②非q为假；③p且q为假；④p或q为真．
解析：因为p为假命题，q也为假命题，故p且q为假命题．
答案：③
9．写出下列各组命题构成的“p或q”、“p且q”以及“非p”形式的命题，并判断它们的真假．
(1)p：是有理数，q：是整数；
(2)p：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)，q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)．
解：(1)p或q：是有理数或是整数；
p且q：是有理数且是整数；
非p：不是有理数．
因为p假，q假，所以“p或q”为假，“p且q”为假，非p为真．
(2)p或q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)或不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；
p且q：不等式x2－2x－3＞0的解集是(－∞，－1)且不等式x2－2x－3＞0的解集是(3，＋∞)；
非p：不等式x2－2x－3＞0的解集不是(－∞，－1)．
因为p假，q假，所以p或q假，p且q假，非p为真．
10．已知命题p：|m＋1|≤2成立；命题q：方程x2－2mx＋1＝0有实数根．若綈p为假命题，p且q为假命题，求实数m的取值范围．
解：|m＋1|≤2?－2≤m＋1≤2?－3≤m≤1，
即命题p：－3≤m≤1.
方程x2－2mx＋1＝0有实数根?Δ＝(－2m)2－4≥0
?m≥1或m≤－1，即q：m≥1或m≤－1.
因为綈p为假命题，“p且q”为假命题，
则p为真命题，所以q为假命题，
綈q为真命题，綈q：－1由?－1即m的取值范围是(－1，1)．
[B.能力提升]
1．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(綈p)或(綈q) B．p或(綈q)
C．(綈p)且(綈q) D．p或q
解析：选A.綈p是“甲没降落在指定范围”；綈q是“乙没降落在指定范围”．
命题“至少有一位学员没降落在指定范围”包括：“甲降落在指定范围，乙没降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙降落在指定范围”或“甲没降落在指定范围，乙没降落在指定范围”，故该命题可表示为(綈p)或(綈q)．
2．已知命题p1：函数y＝－在R上为减函数，p2：函数y＝＋在R上为增函数，则在命题q1：p1或p2，q2：p1且p2，q3：p2或非p1，q4：p1且非p2中，真命题是( )
A．q1，q3 B．q2，q3
C．q1，q4 D．q2，q4
解析：选C.因为函数y＝－2x是R上的减函数，所以命题p1是真命题；因为x＝1和x＝－1时，都有y＝＋2＝，所以函数y＝＋2x不是R上的增函数，故p2是假命题，所以p1或p2是真命题，p1且p2是假命题，p2或非p1是假命题，p1且非p2是真命题，所以真命题是q1，q4，故选C.
3．设p：|4x－3|≤1，q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若綈p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
解析：由已知得若p成立，则≤x≤1，若q成立，则a≤x≤a＋1.又綈p是綈q的必要不充分条件，即q是p的必要不充分条件，所以所以0≤a≤.
答案：[0，]
4．已知p：x＞1或x＜－，q：＞0，则非p是非q的________条件．
解析：由＞0得，x2＋4x－5＞0，所以x＜－5或x＞1，
由于{x|x＞1或x＜－}{x|x＞1或x＜－5}, 所以p是q的必要不充分条件，即pq，所以非q非p，即非p是非q的充分不必要条件．
答案：充分不必要
5．已知p：|4－x|≤6，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若非p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：綈p即|4－x|>6，解得x>10或x<－2，记A＝{x|x>10或x<－2}，
q：x2－2x＋1－a2≥0，解得x≥1＋a或x≤1－a，记B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}，綈p?q，即A是B的真子集，
所以解得06．(选做题)设命题p：函数f(x)＝(a－)x是R上的减函数，命题q：函数f(x)＝x2－4x＋3在[0，a]上的值域为[－1，3]．
若“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，求a的取值范围．
解：当p为真时，由0当q为真时，因为f(x)＝(x－2)2－1在[0，a]上的值域为[－1，3]，所以2≤a≤4.又因为“p且q”为假命题，“p或q”为真命题，所以p，q一真一假．若p真q假，则综上可得，a的取值范围是.
第一章 常用逻辑用语
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“任意x∈R，ex＞x2”的否定是( )
A．存在x∈R，使得ex≤x2
B．任意x∈R，使得ex≤x2
C．存在x∈R，使得ex＞x2
D．不存在x∈R，使得ex＞x2
解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，ex≤x2”．
2．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．aα，b⊥β，α∥β D．aα，b∥β，α⊥β
解析：选C.∵b⊥β，α∥β，∴b⊥α，又aα，∴a⊥b.
3．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是( )
A．(非p)或q B．p且q
C．(非p)且(非q) D．(非p)或(非q)
解析：选D.∵p真q假，∴非p假，非q真，故选D.
4．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是( )
A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题
B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题
C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题
D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题
解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．
5．已知平面α，直线lα，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B.l∥α，lα，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，lα，mα，则l∥α.
6．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.∵p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.
7．已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线m、n，则下列命题不正确的是( )
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m∥n，nβ，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
解析：选D.对D，m与n可能平行，也可能异面，D不正确，A、B、C中命题均正确．
8．下列命题中，真命题是( )
A．任意x∈R，x2≥x
B．命题“若x＝1，则x2＝1”的逆命题
C．存在x∈R，x2≥x
D．命题“若x≠y，则sin x≠sin y”的逆否命题
解析：选C.对A，当x∈(0，1)时，A为假命题；B的逆命题为：“若x2＝1，则x＝1”，此命题为假命题，B为假命题；对C，当x＝1时成立，C为真命题；对D，D的逆否命题为：“若sin x＝sin y，则x＝y”．此命题为假，例如sin 30°＝sin 150°，但30°≠150°，D为假命题，故选C.
9．已知a、b为非零向量，则“a⊥b”是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)＝a·bx2＋(b2－a2)x－a·b，若“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”，则a·b＝0，即“a⊥b”；若“a⊥b”，当a2＝b2时，f(x)＝0，就不是一次函数，故“a⊥b”，是“函数f(x)＝(xa＋b)·(xb－a)为一次函数”的必要不充分条件．
10．命题p：“任意x∈[1，2]，2x2－x－m＞0”，命题q：“存在x∈[1，2]，log2x＋m＞0”，若“p且q”为真命题，则实数m的取值范围是( )
A．m＜1 B．m＞－1
C．－1＜m＜1 D．－1≤m≤1
解析：选C.p为真时，m＜2x2－x，x∈[1，2]恒成立，2x2－x在x∈[1，2]上的最小值为1，∴m＜1；
q为真时，m＞－log2x，x∈[1，2]能成立，－log2x在[1，2]上的最小值为－1，∴m＞－1；
∵p且q为真命题，∴p和q都是真命题，故－1＜m＜1.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________．
解析：由题意x＝2?x2－2x＋c＝0，∴22－2×2＋c＝0，∴c＝0.
答案：0
12．若命题“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：∵“存在x＜2 014，x＞a”是假命题，∴其否定：“对任意x＜2 014，x≤a”为真命题，∴a≥2 014.
答案：[2 014，＋∞)
13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．
解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b－c)，则a·(b－c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c?a⊥(b－c)．
答案：充要
14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假，则实数m的取值范围是________．
解析：p或q为假，则非p和非q均为真．
非p：对任意x∈R，mx2＋1＞0为真时，m≥0；非q：存在x∈R，x2＋m＋1≤0为真时，Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2，故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤－2或m≥2}＝{m|m≥2}．
答案：[2，＋∞)
15．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.
其中真命题的编号是________．
解析：对①，P在直线BC1上运动时，S△AD1P为定值，C到底面AD1P的距离为定值，①为真命题；
对②，P在直线BC1上运动时，P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变，但线段OA的长是变化的；∴②是假命题；
对③，由于BC1∥AD1，③为真命题；
对④，由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等，又D1A1平面A1B1C1D1，④为真命题．
答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假：
(1)“π是无理数”，及其逆命题；
(2)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
(3)命题“任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．
解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；
(2)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真；
(3)原命题的否定为：存在x∈(0，＋∞)，使x≥4或x2＋5x－24≠0显然为真命题．
17．(本小题满分10分)设命题p：(4x－3)2≤1；命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若非p是非q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．
解：设A＝{x|(4x－3)2≤1}，
B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，
易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．
由非p是非q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即A是B的真子集，
∴(等号不同时成立)
故所求实数a的取值范围是[0，]．
18．(本小题满分10分)已知命题p：函数y＝(a－1)x在R上单调递增，命题q：不等式x＋|x－3a|＞1的解集为R，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．
解：若p真，则a－1＞1?a＞2，
q真?x＋|x－3a|＞1恒成立，设h(x)＝x＋|x－3a|，则h(x)min＞1.
∵h(x)＝，易知h(x)min＝3a，
∴3a＞1，即a＞.
∵p或q为真，p且q为假，∴p，q一真一假．
①若p真q假，则a＞2且a≤，矛盾．
②若p假q真，则a≤2且a＞?＜a≤2，
综上可知，a的取值范围是(，2]．
19．(本小题满分12分)已知集合M＝{x|x＜－3或x＞5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．
(1)求实数a的取值范围，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件．
解：(1)由M∩P＝{x|5＜x≤8}，结合集合M，P可得－3≤a≤5.故－3≤a≤5是M∩P＝{x|5＜x≤8}的必要条件．下面证明这个条件也是充分的．
证明：当－3≤a≤5时，集合P＝{x|a≤x≤8}，集合M＝{x|x＜－3或x＞5}，故M∩P＝{x|5＜x≤8}．
综上可知，－3≤a≤5是M∩P＝{x|5＜x≤8}的充要条件．
(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件，就是在集合{a|－3≤a≤5}中取一个值，如取a＝0，此时必有M∩P＝{x|5＜x≤8}；反之，M∩P＝{x|5＜x≤8}未必有a＝0，故a＝0是M∩P＝{x|5＜x≤8}的一个充分不必要条件．
20．(本小题满分13分)已知f(x)＝ax2＋bx＋c的图像过点(－1，0)，是否存在常数a，b，c使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立？
解：假设存在常数a，b，c使题设命题成立．
∵f(x)图像过点(－1，0)，∴a－b＋c＝0，
∵x≤f(x)≤对一切x∈R均成立，
∴当x＝1时，也成立，
即1≤a＋b＋c≤1，
故有a＋b＋c＝1.
∴b＝，c＝－a.
∴f(x)＝ax2＋x＋－a，
∴x≤ax2＋x＋－a≤对一切x∈R成立，
即恒成立
?
∴a＝.∴c＝－a＝.
∴存在一组常数a＝，b＝，c＝，使不等式x≤f(x)≤对一切实数x均成立．
第一章 常用逻辑用语
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．命题“任意x∈R，ex＞x2”的否定是( )
A．存在x∈R，使得ex≤x2
B．任意x∈R，使得ex≤x2
C．存在x∈R，使得ex＞x2
D．不存在x∈R，使得ex＞x2
解析：选A.此命题是全称命题，其否定为：“存在x∈R，使得ex≤x2”．
2．原命题“若x≤－3，则x＜0”的逆否命题是( )
A．若x＜－3，则x≤0
B．若x＞－3，则x≥0
C．若x＜0，则x≤－3
D．若x≥0，则x＞－3
解析：选D.逆否命题是对原命题的条件和结论否定后再对换，故该命题的逆否命题为“若x≥0，则x＞－3”．
3．已知条件p：x＞0，条件q：x≥1，则p是q成立的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.因为{x|x≥1}{x|x＞0}，所以p是q的必要不充分条件．
4．设a，b是两条直线，α，β是两个平面，则a⊥b的一个充分条件是( )
A．a⊥α，b∥β，α⊥β B．a⊥α，b⊥β，α∥β
C．aα，b⊥β，α∥β D．aα，b∥β，α⊥β
解析：选C.因为b⊥β，α∥β，所以b⊥α，又aα，所以a⊥b.
5．命题p：将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝sin(2x－)的图像；命题q：函数y＝sin(x＋)cos(－x)的最小正周期是π，则命题“p或q”“p且q”“非p”中真命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C.将函数y＝sin 2x的图像向右平移个单位长度得到函数y＝sin 2(x－)＝sin(2x－)的图像，所以命题p是假命题，“非p”是真命题，“p且q”是假命题．
函数y＝sin(x＋)cos(－x)＝cos(－x－)·cos(－x)＝cos2(－x)＝＋，最小正周期为π，命题q为真命题，所以“p或q”为真命题，故真命题有2个，故选C.
6．命题“存在x∈R，2x＋x2≤1”的否定是( )
A．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，假命题
B．对于任意的x∈R，2x＋x2＞1，真命题
C．存在x∈R，2x＋x2＞1，假命题
D．存在x∈R，2x＋x2＞1，真命题
解析：选A.因为x＝0时，20＋02＝1≤1，所以该命题的否定“对于任意的x∈R，2x＋x2＞1”是假命题．
7．已知平面α，直线l?α，直线mα，则“直线l∥α”是“l∥m”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.l∥α，l?α，mα，l与m可能平行或异面；反过来，若l∥m，l?α，mα，则l∥α.
8．命题p：“若x2－3x＋2≠0，则x≠2”，若p为原命题，则p的逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选B.因为p真，其逆否命题为真；逆命题为假，否命题也为假，故选B.
9．已知命题p：函数f(x)＝|sin 2x|的最小正周期为π；命题q：若函数f(x＋1)为偶函数，则f(x)关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是( )
A．p且q B．p或q
C．(非p)且(非q) D．p或(非q)
解析：选B.函数f(x)＝|sin 2x|的最小正周期为知命题p为假命题；若函数f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)，所以f(x)关于x＝1对称，据此可知命题q为真命题，根据真值表可得“p或q”为真命题．
10．下列判断正确的是( )
A．命题“a，b都是偶数，则a＋b是偶数”的逆否命题是“若a＋b不是偶数，则a，b都不是偶数”
B．若“p或q”为假命题，则“非p且非q”是假命题
C．已知a，b，c是实数，关于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，必有a＞0且Δ≤0
D．x2≠y2?x≠y且x≠－y
解析：选D.对于A：其逆否命题为“若a＋b不是偶数，则a，b不都是偶数”，排除A.
对于B.若“p或q”为假命题，则p、q均为假命题，非p、非q均为真命题，故非p且非q为真命题，排除B.
对于C：ax2＋bx＋c≤0的解集是空集，
当a＝0时，可得b＝0，c＞0，
当a≠0时，可得，排除C，故选D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)
11．若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝________.
解析：由题意x＝2?x2－2x＋c＝0，所以22－2×2＋c＝0，所以c＝0.
答案：0
12．若命题“存在x＜2 015，x＞a”是假命题，则实数a的取值范围是________．
解析：因为“存在x＜2 015，x＞a”是假命题，所以其否定：“对任意x＜2 015，x≤a”为真命题，所以a≥2 015.
答案：[2 015，＋∞)
13．若a与b－c都是非零向量，则“a·b＝a·c”是“a⊥(b－c)”的________条件．
解析：若a·b＝a·c，则a·b－a·c＝0，即a·(b－c)＝0，所以a⊥(b－c)；反之，若a⊥(b－c)，则a·(b－c)＝0，即a·b－a·c＝0，所以a·b＝a·c.从而有a·b＝a·c?a⊥(b－c)．
答案：充要
14．已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0；q：对任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若“p或q”为假，则实数m的取值范围是________．
解析：“p或q”为假，则非p和非q均为真．
非p：对任意x∈R，mx2＋1＞0为真时，m≥0；非q：存在x∈R，x2＋mx＋1≤0为真时，Δ＝m2－4≥0，m≤－2或m≥2，故m的取值范围是{m|m≥0}∩{m|m≤－2或m≥2}＝{m|m≥2}．
答案：[2，＋∞)
15．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1，则下列四个命题：
①P在直线BC1上运动时，三棱锥A-D1PC的体积不变；
②P在直线BC1上运动时，直线AP与平面ACD1所成角的大小不变；
③P在直线BC1上运动时，二面角P-AD1-C的大小不变；
④M是平面A1B1C1D1上到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是过D1点的直线D1A1.
其中真命题的编号是________．
解析：对①，P在直线BC1上运动时，S△AD1P为定值，C到底面AD1P的距离为定值，①为真命题；
对②，P在直线BC1上运动时，P到底面ACD1的距离PO(O为垂足)不变，但线段OA的长是变化的；所以②是假命题；
对③，由于BC1∥AD1，③为真命题；
对④，由于直线D1A1上任一点到点D和C1距离相等，又D1A1平面A1B1C1D1，④为真命题．
答案：①③④
三、解答题(本大题共5小题，共55分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)判断下列命题的真假．
(1)“π是无理数”，及其逆命题；
(2)“若实数a，b不都为0，则a2＋b2≠0”；
(3)命题“对于任意x∈(0，＋∞)，有x＜4且x2＋5x－24＝0”的否定．
解：(1)原命题为真命题，其逆命题为：无理数是π，为假命题；
(2)原命题的逆否命题为“若a2＋b2＝0，则实数a，b同时为0”，显然为真，故原命题为真；
(3)原命题的否定为：存在x∈(0，＋∞)，使x≥4或x2＋5x－24≠0显然为真命题．
17．(本小题满分10分)已知命题p：实数x满足x2－2x－8≤0；命题q：实数x满足|x－2|≤m(m＞0)．
(1)当m＝3时，若“p且q”为真，求实数x的取值范围；
(2)若“非p”是“非q”的必要不充分条件，求实数m的取值范围．
解：(1)若p真：－2≤x≤4；当m＝3时，若q真：－1≤x≤5，
因为“p且q”为真，所以
所以实数x的取值范围为[－1，4]．
(2)因为非p是非q的必要不充分条件，所以p是q的充分不必要条件，
因为若q真：2－m≤x≤2＋m，
所以且等号不同时取得，
所以m≥4.
18．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m0，使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若存在一个实数x0，使不等式m－f(x0)＞0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m0＋f(x)＞0可化为m0＞－f(x)，即m0＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m0＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m0＞－4即可．
故存在实数m0使不等式m0＋f(x)＞0对于任意x∈R恒成立，此时需m0＞－4.
(2)不等式m－f(x0)＞0可化为m＞f(x0)，
若存在一个实数x0使不等式m＞f(x0)成立，只需m＞f(x0)min.
又f(x0)＝(x0－1)2＋4，
所以f(x0)min＝4，
所以m＞4.
所以所求实数m的取值范围是(4，＋∞)．
19．(本小题满分12分)已知p：≥2，q：x2－ax≤x－a，若非p是非q的充分条件，求实数a的取值范围．
解：因为p：≥2，
所以≤0，所以1≤x＜3.
因为q：x2－ax≤x－a，
所以x2－(a＋1)x＋a≤0.
①当a＜1时，a≤x≤1；
②当a＝1时，x＝1；
③当a＞1时，1≤x≤a.
因为非p是非q的充分条件，
所以q是p的充分条件．
设q对应集合A，p对应集合B，则A?B，
当a＜1时，AB，不合题意；
当a＝1时，A?B，符合题意；
当a＞1时，1≤x≤a，要使A?B，则1＜a＜3.
综上，a的取值范围为a∈[1，3)．
20．(本小题满分13分)已知a＞0，函数f(x)＝ax－bx2.
(1)当b＞0时，若对任意x∈R，都有f(x)≤1，证明：a≤2；
(2)当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
证明：(1)此题等价于对所有x∈R有ax－bx2≤1，即bx2－ax＋1≥0，
因为b＞0，所以Δ＝a2－4b≤0.
又因为a＞0，所以a≤2.
(2)①必要性：设对所有x∈[0，1]，有|f(x)|≤1，即－1≤ax－bx2≤1.
令x＝1∈[0，1]，则有－1≤a－b≤1，即b－1≤a≤b＋1.
因为b＞1，所以－≤≤＋.
这说明∈[0，1]．
所以f≤1，即－b·≤1.
所以a2≤4b，a≤2.
综上所述，有b－1≤a≤2.
②充分性：设b－1≤a≤2.
因为b＞1，所以＝·＜1.
所以当x∈[0，1]时f(x)的最大值为f(x)max＝f＝a·－b·＝＜1.
又因为f(x)的图像是开口向下的抛物线，
所以当x∈[0，1]时，f(x)的最小值f(x)min＝
min{f(0)，f(1)}＝min{0，a－b}≥－1.
所以当x∈[0，1]时，|f(x)|≤1.
综合①②可知，当b＞1时，对任意x∈[0，1]有|f(x)|≤1的充要条件是b－1≤a≤2.
