2.1.1 直线的倾斜角和斜率
[学业水平训练]
关于直线的倾斜角与斜率，下列说法正确的是( )
A．所有的直线都有倾斜角和斜率
B．所有的直线都有倾斜角但不一定都有斜率
C．直线的倾斜角和斜率有时都不存在
D．所有的直线都有斜率，但不一定有倾斜角
解析：选B.所有的直线都有倾斜角，因为斜率是倾斜角的正切值，故倾斜角为90°时，斜率不存在，故选B.
A(2，1)，B(3，－1)两点连线的斜率为( )
A．－2 B．－
C. D．2
解析：选A.kAB＝＝－2.
3．已知下列直线的倾斜角，则直线的斜率小于0的是( )
A．α＝30° B．α＝45°
C．α＝75° D．α＝115°
解析：选D.因为当0°<α<90°时，k>0；当90°<α<180°时，k<0.
直线l经过A(2，1)，B(1，m2)(m∈R)两点，那么直线l的斜率的取值范围为( )
A．[1，＋∞) B．(－∞，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1]
解析：选D.kAB＝＝－m2＋1≤1，
所以直线l的斜率的取值范围为(－∞，1]．
如图所示，直线l1、l2、l3的斜率分别是k1、k2、k3，则( )
A．k1＜k2＜k3
B．k3＜k1＜k2
C．k1＜k3＜k2
D．k3＜k2＜k1
解析：选C.由图知k2＞k3＞0＞k1.
平面直角坐标系中，一条直线的斜率等于，则此直线的倾斜角α等于________．
解析：由k＝tan α＝，
则α＝60°.
答案：60°
已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为________．
解析：
如图，因为l1⊥l2且l1的倾斜角为60°，则l2的倾斜角为90°＋60°＝150°.
答案：150°
若过P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为0°，则a＝________．
解析：若直线的倾斜角为0°，则直线平行于x轴，则1＋a＝2a，即a＝1.
答案：1
(1)当且仅当m为何值时，经过两点A(－m，6)，B(1，3m)的直线的斜率为12.
(2)当且仅当m为何值时，经过两点A(m，2)，B(－m，2m－1)的直线的倾斜角是45°.
解：(1)由题意，得＝12，
解得m＝－2.
(2)由题意，得＝1，
解得m＝.
直线l的斜率为k＝1－m2(m∈R)，求直线l的倾斜角的取值范围．
解：∵k＝1－m2≤1，
∴当0≤k≤1时，
倾斜角的取值范围为0°≤α≤45°，
当k<0时，倾斜角的取值范围为90°<α<180°.
综上，倾斜角的取值范围为[0°，45°]∪(90°，180°)．
[高考水平训练]
已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥2或k≤ B.≤k≤2
C．k≥ D．k≤2
解析：选A.
如图kPA＝＝2，
kBP＝＝，
所以，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤.
若三点A(3，3)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________．
解析：显然三点横坐标不相等，即直线的斜率存在．
∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，
即＝，∴a＋b＝ab，
两边同时除以ab(ab≠0)，
∴＋＝.
答案：
求过点M(0，2)，N(2，3m2＋12m＋13)(m∈R)的直线l的斜率k的取值范围．
解：由直线的斜率公式得k＝＝
＝
＝(m＋2)2－≥－.
所以k的取值范围为k≥－.
4．已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k＝(x2≠x1)．
求的取值范围．
解：
设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1，1)连线的斜率．如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
因为kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，
所以1≤k≤3，即的取值范围是[1，3]．
2.1.1 直线的倾斜角和斜率
[A.基础达标]
1．下列说法中正确的是( )
A．每一条直线都唯一对应一个倾斜角
B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为90°
C．若直线的倾斜角存在，则有斜率与之对应
D．若直线的倾斜角为α，则sin α＞0
解析：选A.对于B，与y轴垂直的直线的倾斜角为0°，所以B错；对于C，当倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，所以C错；对于D，当α＝0°时，sin α＝0，所以D错．
2．如图，直线l1的倾斜角是150°，l2⊥l1，l2与x轴相交于点A，l2与l1相交于点B，l1与x轴交于点C，l3平分∠BAC，则l3的倾斜角为( )
A．60° B．45°
C．30° D．20°
解析：选C.由题意知∠BAC＋∠ABC＝150°，即∠BAC＋90°＝150°，则∠BAC＝60°，于是l3的倾斜角为30°，选C.
3．若A(－2，3)，B(3，－2)，C三点共线，则m的值为( )
A. B．－
C．－2 D．2
解析：选A.k＝＝，解得m＝.
4．如图，已知△AOB是等边三角形，则直线AB的斜率等于( )
A. B．－
C. D．－
解析：选D.因为△AOB是等边三角形，所以∠ABO＝60°.于是直线AB的倾斜角为120°，故AB的斜率为tan 120°＝－.
5．如图，已知直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为( )
A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
解析：选D.设直线l1，l2，l3的倾斜角分别是α1，α2，α3，由图可知，α1＞90°＞α2＞α3＞0°，所以k1＜0＜k3＜k2.
6．已知a＞0，若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a＝________．
解析：若平面内三点共线，则kAB＝kBC，
即＝，
整理得a2－2a－1＝0，解得a＝1＋，或a＝1－(舍去)．
答案：1＋
7．已知直线l经过点A(5，10)，B(m，12)，且直线l的倾斜角是锐角，则m的取值范围是________．
解析：由于直线的倾斜角是锐角，所以kl＝kAB＝＞0，即＞0，因此m＞5.
答案：m＞5
8．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若PA的斜率是PB的斜率的两倍，则点P的坐标为________．
解析：设P(x，0)为满足题意的点，则kPA＝，kPB＝，于是＝2·，解得x＝－5.
答案：(－5，0)
9.如图所示，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，求菱形ABCD各边和两条对角线所在直线的倾斜角和斜率．
解：直线AD，BC的倾斜角为60°，直线AB，DC的倾斜角为0°，直线AC的倾斜角为30°，直线BD的倾斜角为120°，
kAD＝kBC＝，kAB＝kCD＝0，
kAC＝，kBD＝－.
10．一条光线从点A(－1，3)射向x轴，经过x轴上的点P反射后通过点B(3，1)，求P点的坐标．(提示：入射光线斜率与反射光线斜率互为相反数)
解：设P(x，0)，则kPA＝＝－，kPB＝＝，依题意得kPA＝－kPB，
即＝，解得x＝2，即P(2，0)．
[B.能力提升]
1．已知两点A(a，2)，B(3，b＋1)，且直线AB的倾斜角为90°，则a，b的值为( )
A．a＝3，b＝1 B．a＝3，b＝2
C．a＝2，b＝3 D．a＝3，b∈R，且b≠1
解析：选D.因为直线AB的倾斜角为90°，所以直线AB与x轴垂直，即直线AB的斜率不存在，因此必有即a＝3，b∈R，且b≠1.
2．已知点A(2，3)，B(－3，－2)，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是( )
A．k≥2或k≤ B.≤k≤2
C．k≥ D．k≤2
解析：选A.如图，kPA＝＝2，
kBP＝＝，
所以，若直线l过点P(1，1)与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤.
3．过两点A(m2＋2，m2－3)，B(3－m－m2，2m)的直线l的倾斜角为45°，则m的值为________．
解析：由题意得＝tan 45°＝1，
解得m＝－2或m＝－1.
又m2＋2≠3－m－m2，
所以m≠－1，且m≠，所以m＝－2.
答案：－2
4．经过点A(m，3)，B(1，2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是________．(其中m≥1)
解析：当m＝1时，直线与x轴垂直，此时斜率不存在，倾斜角为90°.当m>1时，直线的斜率为k＝＝，因为m>1，所以k>0，故直线的倾斜角的取值范围为0°<α<90°.
综上可知，直线的倾斜角α的取值范围是0°<α≤90°.
答案：(0°，90°]
5．已知A(2，4)，B(3，3)，点P(a，b)是线段AB(包括端点)上的动点，试结合斜率公式k＝(x2≠x1)，求的取值范围．
解：设k＝，则k可以看成点P(a，b)与定点Q(1，1)连线的斜率．如图，当P在线段AB上由B点运动到A点时，PQ的斜率由kBQ增大到kAQ，
因为kBQ＝＝1，kAQ＝＝3，
所以1≤k≤3，即的取值范围是[1，3]．
6．(选做题)已知坐标平面内三点A(－1，1)，B(1，1)，C(2，＋1)．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD的斜率k的变化范围．
解：(1)由斜率公式得
kAB＝＝0，
kBC＝＝，
kAC＝＝.
因为tan 0°＝0，所以直线AB的倾斜角为0°.
因为tan 60°＝，
所以直线BC的倾斜角为60°.
因为tan 30°＝，所以直线AC的倾斜角为30°.
(2)如图，当斜率k变化时，直线CD绕C点旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.
2.1.2 第1课时 直线的方程
[A.基础达标]
1．若直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析：选D.直线方程可化为y－(－2)＝－[x－(－1)]，因此直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.
2．若直线l的倾斜角是直线y＝x－3的倾斜角的两倍，且经过点(2，4)，则直线l的方程为( )
A．2x－y＝0 B．x＝4
C．x＝2 D．2x－y－3＝0
解析：选C.直线y＝x－3的斜率为1，其倾斜角等于45°，于是直线l的倾斜角等于90°，其斜率不存在，又因为它过点(2，4)，故l的方程为x＝2.
3．已知直线l的方程为y＋1＝(x－)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|等于( )
A. B.
C．4 D．7
解析：选A.由y＋1＝(x－)得a＝，令x＝0，得y＝－2，所以|a＋b|＝|－2|＝.
4．直线y＝ax－的图像可能是( )
解析：选B.由y＝ax－可知，斜率和截距必须异号，故B正确．
5．在xOy平面内，如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋4的斜率之半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是( )
A．y＝x＋8 B．y＝x＋12
C．y＝x＋4 D．y＝x＋2
解析：选A.由y＝x＋4可得该直线的斜率为，在y轴上的截距为4，则直线l的斜率为k＝，在y轴上的截距为8，故直线l的方程为y＝x＋8.
6．直线y＝－2(x－3)在y轴上的截距为________，斜率为________．
解析：直线方程y＝－2(x－3)可化为y＝－2x＋6，由斜截式方程可知，直线在y轴上的截距为6，斜率为－2.
答案：6 －2
7．直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．
解析：如图，直线y＝kx＋2过定点(0，2)，若直线不过第三象限，则k≤0.
答案：(－∞，0]
8．经过点P(2，－4)且在两坐标轴上的截距之和等于5的直线的方程为________．
解析：依题意，直线的斜率必存在，设为k，则其方程为y＋4＝k(x－2)．
令x＝0得y＝－2k－4；令y＝0得x＝＋2，所以－2k－4＋＋2＝5，解得k＝－4或k＝.
因此直线方程为y＋4＝－4(x－2)或y＋4＝(x－2)．
答案：y＋4＝－4(x－2)或y＋4＝(x－2)
9．求斜率是直线x－y＋1＝0的斜率的3倍，且分别满足下列条件的直线方程：
(1)经过点P(3，4)；
(2)在x轴上的截距是－5.
解：因为由x－y＋1＝0，得y＝x＋1，
所以直线x－y＋1＝0的斜率为1.
由题意可得，所求直线的斜率k＝3.
(1)所求直线的方程是y－4＝3(x－3)．
(2)由题知直线经过点(－5，0)，所求直线的方程是y－0＝3(x＋5)，即3x－y＋15＝0.
10．写出在y轴上的截距是－5，倾斜角是2x－2y＋1＝0的倾斜角的3倍的直线方程，并画出图形．
解：设2x－2y＋1＝0的倾斜角是α，
则tan α＝1，所以α＝45°.
所以所求直线的倾斜角为3α＝135°，
所以所求直线的斜率k＝tan 135°＝－1，
所以所求直线方程为y＝－x－5，
如图所示．
[B.能力提升]
1．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
解析：选C.法一：(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；
(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；
(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C项正确．
法二：(排除法)A选项中，直线y＝ax的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y＝x＋a在y轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B，D，从而得C正确．
2．直线ax＋by－1＝0(ab≠0)与两坐标轴围成的三角形的面积为( )
A.ab B.|ab|
C. D.
解析：选D.令x＝0，得y＝；令y＝0，得x＝；
S＝＝.所以选D.
3．已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，则直线l的方程为________．
解析：由题意知，直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋b，
l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，
所以－b－b＝1，解得b＝－，
故直线l的方程为y＝x－.
答案：y＝x－
4．已知直线方程y－1＝a(x＋2)，当x∈(－1，1)时，y＞0恒成立，则实数a的取值范围为________．
解析：整理直线方程得y＝ax＋2a＋1.
令f(x)＝ax＋2a＋1.
当x∈(－1，1)时，y＞0恒成立，只需
即
所以a≥－.
答案：
5．过点(4，－3)的直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l的方程．
解：依条件设l的方程为y＋3＝k(x－4)．
令x＝0，得y＝－4k－3；令y＝0，得x＝.
因为l在两坐标轴上的截距的绝对值相等，
所以|－4k－3|＝，即k(4k＋3)＝±(4k＋3)．
解得k1＝1，k2＝－1，k3＝－.
故所求直线l的方程为
y＝x－7或y＝－x＋1或y＝－x.
6．(选做题)等腰△ABC的顶点A(－1，2)，边AC所在直线的斜率为，点B(－3，2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线的方程．
解：由点斜式方程得y－2＝(x＋1)，即直线AC的方程为y＝x＋2＋.
因为AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，
所以BC的倾斜角α为30°或120°.
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，
∠A平分线倾斜角为120°，
所以∠A平分线所在直线方程为y＝－x＋2－.
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3，
∠A平分线倾斜角为30°，
所以∠A平分线所在直线方程为
y＝x＋2＋.
2.1.2 第2课时 直线方程的两点式和一般式
[A.基础达标]
1.如果ax＋by＋c＝0表示的直线是y轴，则系数a，b，c满足条件( )
A．bc＝0 B．a≠0
C．bc＝0且a≠0 D．a≠0且b＝c＝0
解析：选D.y轴方程表示为x＝0，所以a，b，c满足条件为a≠0且b＝c＝0.
2.直线－＋＝－1在x轴，y轴上的截距分别为( )
A．2，3 B．－2，3
C．－2，－3 D．2，－3
解析：选D.由－＋＝－1得＋＝1，则在x轴，y轴上的截距分别为2，－3.
3．若mx＋ny＋12＝0在x轴、y轴上的截距分别是－3和4，则m，n的值分别是( )
A．4，3 B．－4，3
C．4，－3 D．－4，－3
解析：选C.mx＋ny＋12＝0化为截距式为＋＝1，所以所以
4．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线x－y－＝0的倾斜角的2倍，则( )
A．a＝，b＝1 B．a＝，b＝－1
C．a＝－，b＝1 D．a＝－，b＝－1
解析：选D.直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为＝－1，解得b＝－1，又因为x－y－＝0的倾斜角为60°，所以直线ax＋by－1＝0的倾斜角为120°，从而可得斜率k＝－＝－，解得a＝－，故选D.
直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像只可能是( )
解析：选B.因为ab≠0，则
①当a>0，b>0时，其图像可能为：
此时没有符合的．
②当a>0，b<0时，其图像可能为：
因此B符合．
③当a<0，b>0时，其图像可能为：
没有符合的．
④当a<0，b<0时，其图像可能为：
也没有符合的．
综上，选B.
若A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
解析：由已知得直线AB的方程为＋＝1，A、B、C三点共线，所以＋＝1，所以＋＝－.
答案：－
若直线l经过点P(1，2)，且在y轴上的截距与直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．
解析：直线2x＋3y－9＝0在y轴上的截距等于3，即直线l经过点M(0，3)，则直线l的斜率k＝＝－1，
故直线l的方程为y＝－x＋3，即x＋y－3＝0.
答案：x＋y－3＝0
已知点P(m，n)在直线3x＋y＋2＝0上，直线y＝mx＋n恒过一定点，则该定点的坐标为________．
解析：由点P(m，n)在直线3x＋y＋2＝0上得3m＋n＋2＝0.所以n＝－3m－2.
代入直线方程得y＝mx－3m－2，即y＋2＝m(x－3)．
故直线恒过点(3，－2)．
答案：(3，－2)
已知?ABCD的顶点A(1，2)，B(2，－1)，C(3，－3)，求直线BD的方程．
解：因为平行四边形ABCD两对角线AC与BD的交点M为AC的中点，所以M，
直线BM的方程为x＝2，
即直线BD的方程为x－2＝0.
直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足什么关系时，这条直线有以下性质：
(1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x轴相交；(3)只与y轴相交；(4)是x轴所在直线；(5)是y轴所在直线．
解：(1)当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交．
(2)当A≠0，B＝0时，直线只与x轴相交．
(3)当A＝0，B≠0时，直线只与y轴相交．
(4)当A＝0，B≠0，C＝0时，直线是x轴所在直线．
(5)当A≠0，B＝0，C＝0时，直线是y轴所在直线．
[B.能力提升]
1.若直线经过点A(1，4)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍，那么直线的方程为( )
A．2x＋y－9＝0
B．y＝4x
C．y＝4x或2x＋y－9＝0
D．y＝4x或x＋2y－9＝0
解析：选D.当直线经过坐标原点时，直线在x轴、y轴上的截距都是0，符合题意，设其方程为y＝kx，又直线经过点A(1，4)，所以4＝k，即方程为y＝4x；当直线不经过坐标原点时，设其方程为＋＝1，又直线经过点A(1，4)，所以＋＝1，解得a＝，此时直线方程为＋＝1，即x＋2y－9＝0.故所求直线方程为y＝4x或x＋2y－9＝0.
2．已知直线经过A(a，0)，B(0，b)和C(1，3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线方程为( )
A．3x＋y－6＝0
B．x＋y－4＝0
C．x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
D．无法确定
解析：选C.由已知可得直线方程为＋＝1.
因为直线过C(1，3)，
则＋＝1.
又因为a，b为正整数，
所以a＝4，b＝4时适合题意，a＝2，b＝6时适合题意，
此时，方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
3.已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则该直线在y轴上的截距为________．
解析：令y＝0，则＝3，所以a＝－6.
所以直线方程为－4x＋45y＋12＝0，
令x＝0，得直线在y轴上的截距为－＝－.
答案：－
4．直线y＝x＋k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的取值范围是________．
解析：由已知得k≠0，
令x＝0，y＝k，令y＝0，x＝－2k，
则与两坐标轴围成的面积|k|·|－2k|≤1，
即k2≤1，
所以－1≤k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．
答案：[－1，0)∪(0，1]
5．已知△ABC的顶点A(5，－2)，B(7，3)且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求顶点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解：(1)设M(0，m)，N(n，0)，C(xC，yC)，
则
所以xC＝0－5＝－5，yC＝0－3＝－3，
所以点C的坐标为(－5，－3)．
(2)因为2m＝yC＋yA＝－3＋(－2)＝－5，故m＝－.
2n＝xC＋xB＝－5＋7＝2，故n＝1.
所以直线MN的方程为＋＝1，
即5x－2y－5＝0.
6．(选做题)已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l恒过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
解：(1)证明：将直线l的方程化为点斜式
y－＝a(x－)，
则l的斜率为a，且过定点A(，)，
而点A(，)在第一象限，故不论a为何值，
直线l恒过第一象限．
(2)由(1)知，直线OA的斜率k＝＝3.
要使l不经过第二象限，
需它在y轴上的截距不大于零，
即令x＝0时，
y＝－≤0，则a≥3，
即a的取值范围是[3，＋∞)．
2.1.2 第一课时 直线的方程
[学业水平训练]
直线y＝－x＋的斜率为( )
A．－ B.
C. D．－
解析：选A.由y＝－x＋，得y－＝－(x－0)，
故直线的斜率k＝－.
已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )
A．直线经过点(2，－1)，斜率为－1
B．直线经过点(1，－2)，斜率为－1
C．直线经过点(－2，－1)，斜率为1
D．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1
解析：选D.由y＋2＝－x－1，
得y－(－2)＝－[x－(－1)]，
故直线过点(－1，－2)，斜率为－1.
经过点(－1，1)，斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )
A．x＝－1 B．y＝1
C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)
解析：选C.因为直线y＝x－2的斜率为，
故所求直线的斜率是，
则由点斜式得所求直线方程为y－1＝(x＋1)．
已知直线l方程为y＋1＝(x－)，且l的斜率为a，在y轴上的截距为b，则|a＋b|等于( )
A. B.
C．4 D．7
解析：选A.由y＋1＝(x－)得a＝，令x＝0，得y＝－2，所以|a＋b|＝|－2|＝.
在xOy平面内，如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y＝x＋4的斜率之半和在y轴上截距的两倍，那么直线l的方程是( )
A．y＝x＋8 B．y＝x＋12
C．y＝＋4 D．y＝x＋2
解析：选A.由y＝x＋4可得该直线的斜率为，在y轴上的截距为4，则直线l的斜率为k＝，在y轴上的截距为8，故直线l的方程为y＝x＋8.
倾斜角为30°，且过点(0，2)的直线的斜截式方程为________．
解析：所求直线的斜率为k＝tan 30°＝，
故所求直线方程为y－2＝(x－0)，
即y＝x＋2.
答案：y＝x＋2
直线y＝kx＋3k＋2过定点________．
解析：把直线y＝kx＋3k＋2化成y－2＝k(x＋3)，
则直线过定点(－3，2)．
答案：(－3，2)
直线y＝kx＋2(k∈R)不过第三象限，则斜率k的取值范围是________．
解析：
如图，直线y＝kx＋2过定点(0，2)，若直线不过第三象限，则k≤0.
答案：(－∞，0]
直线l1过点P(－1，2)，斜率为－，把l1绕点P按顺时针方向旋转30°角得直线l2，求直线l1和l2的方程．
解：
直线l1的方程是y－2＝
－(x＋1)，
即x＋3y－6＋＝0.
∵k1＝－＝tan α1，∴α1＝150°.
如图，l1绕点P按顺时针方向旋转30°，
得到直线l2的倾斜角为α2＝150°－30°＝120°，
∴k2＝tan 120°＝－，
∴l2的方程为y－2＝－(x＋1)，
即x＋y－2＋＝0.
求满足下列条件的直线方程：(1)倾斜角为直线y＝－(x－1)的倾斜角的一半，且在y轴上的截距为－10；
(2)在x轴上的截距为4，而且与直线y＝x－3垂直．
解：(1)直线y＝－(x－1)的斜率为－，
由tan α＝－，得倾斜角α＝120°，
故所求直线的斜率k＝tan 60°＝，
直线方程为y＝x－10.
(2)在x轴上的截距为4，故直线过点(4，0)，
与直线y＝x－3垂直，故斜率为－2，
由直线的点斜式得直线方程为y＝－2(x－4)，
即y＝－2x＋8.
[高考水平训练]
在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是( )
解析：选C.法一：(1)当a>0时，直线y＝ax的倾斜角为锐角，直线y＝x＋a在y轴上的截距a>0，A，B，C，D都不成立；
(2)当a＝0时，直线y＝ax的倾斜角为0°，所以A，B，C，D都不成立；
(3)当a<0时，直线y＝ax的倾斜角为钝角且过原点，直线y＝x＋a的倾斜角为锐角，且在y轴上的截距a<0，C项正确．
法二：(排除法)A选项中，直线y＝ax的倾斜角为锐角，所以a>0，而直线y＝x＋a在y轴上的截距a<0，所以不满足．同理可排除B，D，从而得C正确．
2．经过点D(－4，－2)，倾斜角是120°的直线方程为________．
解析：因为直线的倾斜角是120°，所以斜率k＝tan 120°＝－，所以所求直线方程为y＋2＝－(x＋4)．
答案：y＋2＝－(x＋4)
已知直线l的斜率与直线3x－2y＝6的斜率相等，且直线l在x轴上的截距比在y轴上的截距大1，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l的斜率为，
故设直线l的方程为y＝x＋b，
l在x轴上的截距为－b，在y轴上的截距为b，
所以－b－b＝1，解得b＝－，
故直线l的方程为y＝x－.
4．等腰△ABC的顶点A(－1，2)，AC的斜率为，点B(－3，2)，求直线AC、BC及∠A的平分线所在直线的方程．
解：直线AC的方程为y＝x＋2＋.
∵AB∥x轴，AC的倾斜角为60°，
∴BC的倾斜角α为30°或120°.
当α＝30°时，BC方程为y＝x＋2＋，
∠A平分线倾斜角为120°，
∴∠A平分线所在直线方程为y＝－x＋2－.
当α＝120°时，BC方程为y＝－x＋2－3，
∠A平分线倾斜角为30°，
∴∠A平分线所在直线方程为
y＝x＋2＋.
2.1.2 第二课时 直线方程的两点式和一般式
[学业水平训练]
过(2，5)和(2，－5)两点的直线方程是( )
A．x＝5 B．y＝2
C．x＋y＝2 D．x＝2
解析：选D.因为点(2，5)和(2，－5)横坐标相同，因此过(2，5)和(2，－5)两点的直线方程为x＝2.
直线－＋＝－1在x轴，y轴上的截距分别为( )
A．2，3 B．－2，3
C．－2，－3 D．2，－3
解析：选D.由－＋＝－1得＋＝1，则在x轴，y轴上的截距分别为2，－3.
直线(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x轴上的截距是3，则实数m的值是( )
A. B．6
C．－ D．－6
解析：选D.令y＝0，则x＝，
由＝3，解得m＝－6.
直线x＋y－1＝0的倾斜角为( )
A．45° B．60°
C．135° D．30°
解析：选C.由x＋y－1＝0得直线的斜率为k＝－1，
则倾斜角为135°.
直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx＋y－a＝0(ab≠0)的图像只可能是( )
解析：选B.因为ab≠0，则
①当a>0，b>0时，其图像可能为：
此时没有合适的．
②当a>0，b<0时，其图像可能为：
因此B适合．
③当a<0，b>0时，其图像可能为：
无合适的．
④当a<0，b<0时，其图像可能为：
也没有合适的．
综上，选B.
若A(a，0)，B(0，b)，C(－2，－2)(ab≠0)三点共线，则＋的值为________．
解析：由已知得直线AB的方程为＋＝1，A、B、C三点共线，所以＋＝1，
∴＋＝－.
答案：－
方程mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，则实数m≠________．
解析：若mx＋(m2＋m)y＋4＝0表示一条直线，
则?m≠0.
答案：0
直线3x－2y＋6＝0的斜率为________，在y轴上的截距是________．
解析：由3x－2y＋6＝0得，
y＝x＋3，
故其斜率为，在y轴上的截距为3.
答案： 3
根据下列条件分别写出直线方程：
(1)在x轴和y轴上的截距分别是，－3；
(2)经过两点P1(3，－2)，P2(5，－4)．
解：(1)由截距式方程得＋＝1，
即2x－y－3＝0.
(2)由两点式方程得＝，
即x＋y－1＝0.
方程(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6满足下列条件，请根据条件分别确定实数m的值．
(1)方程能够表示一条直线；
(2)方程表示一条斜率为－1的直线．
解：(1)由m2－2m－3＝0，得m＝－1或3.
由2m2＋m－1＝0，得m＝－1或.
由已知得m2－2m－3与2m2＋m－1不能同时为零．
所以m≠－1.
(2)由题意得，
由①式得m≠－1且m≠，
由②式得m2＋3m＋2＝0，解得m＝－1或m＝－2，
∵m≠－1，∴m＝－2.
[高考水平训练]
已知直线经过A(a，0)，B(0，b)和C(1，3)三个点，且a，b均为正整数，则此直线方程为( )
A．3x＋y－6＝0
B．x＋y－4＝0
C．x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0
D．无法确定
解析：选C.由已知可得直线方程为＋＝1.
因为直线过C(1，3)，
则＋＝1.
又因为a，b为正整数，
所以a＝4，b＝4时适合题意，a＝2，b＝6时适合题意，
此时，方程为x＋y－4＝0或3x＋y－6＝0.
直线y＝x＋k与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的取值范围是________．
解析：由已知得k≠0，
令x＝0，y＝k，令y＝0，x＝－2k，
则与两坐标轴围成的面积|k|·|－2k|≤1，
即k2≤1，
所以－1≤k≤1.
综上，k的取值范围是[－1，0)∪(0，1]．
答案：[－1，0)∪(0，1]
直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若l的两截距之和为6，求直线l的方程．
解：设直线l的横截距为a，则纵截距为6－a，l的方程为＋＝1.
因为点(1，2)在直线l上，所以＋＝1，
即a2－5a＋6＝0，解得a1＝2，a2＝3.
当a＝2时，方程为＋＝1，直线经过第一、二、四象限，
当a＝3时直线的方程为＋＝1，
直线l经过第一、二、四象限．
综上知，直线l的方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0.
4．一条光线从点A(3，2)发出，经x轴反射，通过点B(－1，6)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解：根据题意画出平面示意图，如图所示，
点A(3，2)关于x轴的对称点为A′(3，－2)，
由两点式，得直线A′B的方程为
＝，
即2x＋y－4＝0，
同理，点B关于x轴的对称点为B′(－1，－6)，由两点式可得直线AB′的方程为2x－y－4＝0，
故入射光线所在直线的方程为2x－y－4＝0，
反射光线所在直线的方程为2x＋y－4＝0.
2.1.3 两条直线的位置关系
[学业水平训练]
下列说法正确的是( )
A．如果两条直线平行，则它们的斜率相等
B．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数
C．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直
D．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A、B忽略斜率不存在，D忽略了直线与y轴重合．
若直线l1的倾斜角为135°，直线l2经过点P(－2，－1)，Q(3，－6)，则直线l1与l2的位置关系是( )
A．垂直 B．平行
C．重合 D．平行或重合
解析：选D.直线l1的倾斜角为135°，所以kl1＝tan 135°＝－1.
kPQ＝＝－1，
所以l1和l2平行或重合．
已知直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的倾斜角为( )
A．0° B．135°
C．90° D．180°
解析：选C.直线l1的斜率为0，且l1⊥l2，则l2的斜率不存在，故其倾斜角为90°.
已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．1 B．0
C．0或2 D．0或1
解析：选D.因为AB∥CD，
所以＝，
解得m＝1.
当m＝0时，直线AB为y轴，
直线CD为x＝1，两直线平行，
故若两直线平行则m＝0或1.
若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面结论正确的个数是( )
①AB∥CD；②AB⊥AD；③AC⊥BD；④AC∥BD.
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C.由已知得，
kAB＝＝－，
kAC＝＝，
kAD＝＝，
kBD＝＝－4，
kCD＝＝－，
所以AB∥CD，AB⊥AD，AC⊥BD.
6．已知直线l1的倾斜角为45°，直线l2∥l1，且l2过点A(－2，－1)和B(3，a)，则a的值为________．
解析：因为l1的倾斜角为45°，
则kl1＝tan 45°＝1.
又直线l2∥l1，
所以＝1，解得a＝4.
答案：4
7．过原点作直线l的垂线，若垂足为(－2，3)，则直线l的斜率是________．
解析：过原点垂直于l的垂线的斜率为k＝－，
则直线l的斜率是.
答案：
8．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是________．
解析：由已知得kAB＝＝，
kMN＝＝4－m.
因为AB⊥MN，
所以×(4－m)＝－1，
即m2－7m＋6＝0，
解得m＝1或m＝6，
经检验m＝1或m＝6适合题意．
答案：1或6
9．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－1，2)，直线l2经过点C(1，2)，D(－2，a＋2)．若l1∥l2，求a的值．
解：设直线l1的斜率为k1，直线l2的斜率为k2，
则k1＝，k2＝＝－.
若l1∥l2，
则＝－，解得a＝1或a＝6，
经检验当a＝1或a＝6时，l1∥l2.
10．已知A(1，－1)，B(2，2)，C(3，0)三点，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD.
解：设D(x，y)，则kCD＝，
kAB＝＝3，kCB＝＝－2，kAD＝.
∵CD⊥AB，CB∥AD，
∴kCD·kAB＝－1，kCB＝kAD，
即解得即D(0，1)．
[高考水平训练]
过点P(1，4)和Q(a，2a＋2)的直线与直线2x－y－3＝0平行，则a的值( )
A．a＝1 B．a≠1
C．a＝－1 D．a≠－1
解析：选B.当a＝1时，PQ两点重合，不合题意，舍去；当a≠1时，kPQ＝＝2，直线方程：y－4＝2(x－1)即2x－y＋2＝0.
已知点M(1，－3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP＝90°，则log8(7＋y)＝________．
解析：因为∠NMP＝90°，
所以MN⊥MP.
又因为M(1，－3)，N(1，2)，
MN垂直于x轴，
所以MP平行于x轴，
所以y＝－3，
所以log8(7＋y)＝log8(7－3)＝log84＝.
答案：
已知两定点A(2，5)，B(－2，1)，M和N是过原点的直线l上的两个动点，且|MN|＝2，l∥AB，若直线AM和BN的交点C在y轴上，求M，N，C点的坐标．
解：因为A(2，5)，B(－2，1)，所以kAB＝1.
又l∥AB，所以kl＝kAB＝1，
由l过原点，得直线l的方程为y＝x.
因为M，N在l上，所以可设M(a，a)，N(b，b)，
由|MN|＝2得：
＝2，
所以|a－b|＝2，直线AM的方程为：
y－5＝(x－2)．
因为直线AM在y轴上的截距为，所以C(0，)．
又直线BN的方程为y－1＝(x＋2)，所以直线BN在y轴上的截距为，所以C(0，)，
则有＝，即a＝－b.
于是
即或
所以M(1，1)，N(－1，－1)，C(0，－3)，或M(－1，－1)，N(1，1)，C(0，1)．
4．直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
解：因为直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
又直线AB的斜率为＝，
所以AB的垂直平分线l2的斜率k2＝.
因为直线l1与l2平行，所以k1＝k2，
即＝，解得m＝4＋.
2.1.3 两条直线的位置关系
[A.基础达标]
1．下列说法正确的是( )
A．如果两条直线平行，则它们的斜率相等
B．如果两条直线垂直，则它们的斜率互为负倒数
C．如果两条直线斜率之积为－1，则这两条直线互相垂直
D．如果直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴
解析：选C.不论两直线平行还是垂直都要考虑两直线斜率不存在的情况，A、B忽略斜率不存在，D忽略了直线与y轴重合．
2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是( )
A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0
C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0
解析：选A.直线x－2y－2＝0的斜率为，所以所求直线的斜率为.故所求直线方程为y－0＝(x－1)，即x－2y－1＝0.
3．已知点A(1，2)，B(3，1)，则线段AB的垂直平分线的方程是( )
A．4x＋2y－5＝0 B．4x－2y－5＝0
C．x＋2y－5＝0 D．x－2y－5＝0
解析：选B.因为kAB＝＝－，
所以所求直线的斜率为2.
又线段AB的中点为，
故线段AB的垂直平分线方程为y－＝2(x－2)，
即4x－2y－5＝0.
4．已知点A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1，2)，D(1，0)，且直线AB与直线CD平行，则m的值为( )
A．1 B．0
C．0或2 D．0或1
解析：选D.因为AB∥CD，
所以＝，
解得m＝1.
当m＝0时，直线AB为y轴，
直线CD为x＝1，两直线平行，
故若两直线平行则m＝0或1.
5．已知点A(2，3)，B(－2，6)，C(6，6)，D(10，3)，则以A，B，C，D为顶点的四边形是( )
A．梯形 B．平行四边形
C．菱形 D．矩形
解析：选B.如图所示，易知kAB＝－，kBC＝0，kCD＝－，kAD＝0，kBD＝－，kAC＝，
所以kAB＝kCD，kBC＝kAD，kAB·kAD＝0，
kAC·kBD＝－，
故AD∥BC，AB∥CD，AB与AD不垂直，BD与AC不垂直．所以四边形ABCD为平行四边形．
6．已知直线l1：2x＋(λ＋1)y－2＝0，l2：λx＋y－1＝0，若l1∥l2，则λ的值是________．
解析：因为l1∥l2，
所以2×1－(λ＋1)λ＝0，
即λ2＋λ－2＝0，解得λ＝－2或λ＝1.
当λ＝1时，l1与l2重合，不符合题意．
所以λ＝－2.
答案：－2
7．已知直线l1过点A(－2，3)，B(4，m)，直线l2过点M(1，0)，N(0，m－4)，若l1⊥l2，则常数m的值是________．
解析：由已知得kAB＝＝，
kMN＝＝4－m.
因为AB⊥MN，
所以×(4－m)＝－1，
即m2－7m＋6＝0，
解得m＝1或m＝6，
经检验m＝1或m＝6适合题意．
答案：1或6
8．已知点P(0，－1)，点Q在直线x－y＋1＝0上，若直线PQ垂直于直线x＋2y－5＝0，则点Q的坐标是________．
解析：依题意设点Q的坐标为(a，b)，则有
解得故点Q的坐标为(2，3)．
答案：(2，3)
9．已知定点A(－1，3)，B(4，2)，以A，B为直径作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标．
解：因为以线段AB为直径的圆与x轴相交于点C，所以AC⊥CB.
据题设条件可知AC与BC的斜率均存在(如图)，
设C(x，0)，则kAC＝，kBC＝.
所以·＝－1，解得x＝1或2.
所以C(1，0)或C(2，0)．
10．已知在?ABCD中，A(1，2)，B(5，0)，C(3，4)．
(1)求点D的坐标；
(2)试判定?ABCD是否为菱形？
解：(1)设D(a，b)，由?ABCD，得kAB＝kCD，kAD＝kBC，
即解得所以D(－1，6)．
(2)因为kAC＝＝1，kBD＝＝－1，
所以kAC·kBD＝－1.所以AC⊥BD.
所以?ABCD为菱形．
[B.能力提升]
1．已知点A(－2，－5)，B(6，6)，点P在y轴上，且∠APB＝90°，则点P的坐标为( )
A．(0，－6) B．(0，7)
C．(0，－6)或(0，7) D．(－6，0)或(7，0)
解析：选C.由题意可设点P的坐标为(0，y)．因为∠APB＝90°，
所以AP⊥BP，且直线AP与直线BP的斜率都存在．
又kAP＝，kBP＝，kAP·kBP＝－1，
故·＝－1，
解得y＝－6或y＝7.
所以点P的坐标为(0，－6)或(0，7)．
2．顺次连接A(－4，3)，B(2，5)，C(6，3)，D(－3，0)四点所组成的图形是( )
A．平行四边形 B．直角梯形
C．等腰梯形 D．以上都不对
解析：选B.观察知连接后各边所在直线斜率都存在．因为kAB＝＝，kCD＝＝，所以AB∥CD.又kAD＝＝－3，kBC＝＝－，所以AD与BC不平行，且AD⊥CD.所以四边形ABCD为直角梯形．
3．若直线l经过点(a－2，－1)和(－a－2，1)且与经过点(－2，1)，斜率为－的直线垂直，则实数a的值为________．
解析：由题意知两直线的斜率均存在，且直线l与斜率为－的直线垂直，则直线l的斜率为，于是＝＝＝－，解得a＝－.
答案：－
4．已知0
解析：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时k＝.
答案：
5．已知A(－m－3，2)，B(－2m－4，4)，C(－m，m)，D(3，3m＋2)，若直线AB⊥CD，求m的值．
解：因为A，B两点纵坐标不等，所以AB与x轴不平行．因为AB⊥CD，所以CD与x轴不垂直，故m≠－3.
当AB与x轴垂直时，－m－3＝－2m－4，解得m＝－1，而m＝－1时，C，D纵坐标均为－1，所以CD∥x轴，此时AB⊥CD，满足题意．
当AB与x轴不垂直时，由斜率公式得
kAB＝＝，
kCD＝＝.
因为AB⊥CD，所以kAB·kCD＝－1，解得m＝1.
综上，m的值为1或－1.
6．(选做题)直线l的倾斜角为30°，点P(2，1)在直线l上，直线l绕点P(2，1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置，且直线l1与l2平行，l2是线段AB的垂直平分线，A(1，m－1)，B(m，2)，试求m的值．
解：因为直线l1的倾斜角为30°＋30°＝60°，
所以直线l1的斜率k1＝tan 60°＝.
又直线AB的斜率为＝，
所以AB的垂直平分线l2的斜率k2＝.
因为直线l1与l2平行，所以k1＝k2，
即＝，解得m＝4＋.
2.1.4 两条直线的交点
[学业水平训练]
若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋ky＝0相交于一点，则k的值等于( )
A．－2 B．－
C．2 D.
解析：选B.直线2x＋3y＋8＝0与x－y－1＝0的交点为A(－1，－2)，又∵x＋ky＝0过A(－1，－2)，∴－1－2k＝0，∴k＝－.
过原点和直线l1：x－3y＋4＝0与l2：2x＋y＋5＝0的交点的直线方程为( )
A．19x－9y＝0 B．9x＋19y＝0
C．3x＋19y＝0 D．19x－3y＝0
解析：选C.设所求直线方程为(x－3y＋4)＋λ(2x＋y＋5)＝0，将(0，0)代入得4＋5λ＝0，解得λ＝－.故所求直线方程为(x－3y＋4)－(2x＋y＋5)＝0，即3x＋19y＝0，故选C.
经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选A.由，得故过点(1，6)与x－2y＝0垂直的直线为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上答案均不对
解析：选C.2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为，直线x－my＋12＝0在y轴上的截距为，由＝得m＝±6.
点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是( )
A．(5，2) B．(2，5)
C．(－5，－2) D．(－2，5)
解析：选C.设对称点P′(x，y)，
则，
∴x＝－5，y＝－2.
直线y＝ax＋1与y＝x＋b交于点(1，1)，则a＝________，b＝________．
解析：因为直线y＝ax＋1与y＝x＋b的交点为(1，1)，
所以?.
答案：0 0
若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．
解析：首先解得方程组的解为，
代入直线y＝3x＋b得b＝2.
答案：2
经过两条直线2x－3y＋10＝0和3x＋4y－2＝0的交点，且垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的方程为________．
解析：由，得，
垂直于直线3x－2y＋4＝0的直线的斜率为－，
故所求的直线方程为
y－2＝－(x＋2)，
即2x＋3y－2＝0.
答案：2x＋3y－2＝0
判断下列各题中直线的位置关系，若相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0；
(2)l1：x＋y＋2＝0，l2：2x＋2y＋3＝0；
(3)l1：x－y＋1＝0，l2：2x－2y＋2＝0.
解：(1)≠，所以方程组有唯一解，两直线相交，交点坐标为(－1，－1)．
(2)＝≠，所以方程组没有解，两直线平行．
(3)＝＝，方程组有无数个解，两直线重合．
求经过两直线2x＋y－8＝0与x－2y＋1＝0的交点，且在y轴上的截距为x轴上截距的2倍的直线l的方程．
解：(1)2x＋y－8＝0在x轴、y轴上的截距分别是4和8，符合题意．
(2)当l的方程不是2x＋y－8＝0时，
设l：(x－2y＋1)＋λ(2x＋y－8)＝0，
即(1＋2λ)x＋(λ－2)y＋(1－8λ)＝0.
据题意，1＋2λ≠0，λ－2≠0.
令x＝0，得y＝－；
令y＝0，得x＝－.
所以－＝2·(－)，解得λ＝，
此时直线l的方程为2x－3y＝0.
综合(1)(2)，所求直线方程为2x＋y－8＝0或2x－3y＝0.
[高考水平训练]
直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，因为M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝，即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得x2＝4，因为点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－.故选D.
若三条直线x＋y＋1＝0，2x－y＋8＝0和ax＋3y－5＝0共有三个不同的交点，则实数a应满足的条件是________．
解析：解方程组，
得，即两直线的交点坐标为(－3，2)．
依题意知，实数a满足的条件为，
解得，
即实数a满足的条件为a∈R，且a≠且a≠3且a≠－6.
答案：a≠且a≠3且a≠－6
在△ABC中，BC边上的高所在直线的方程为x－2y＋1＝0，∠A的角平分线所在直线的方程为y＝0，若点B的坐标为(1，2)，求点A和点C的坐标．
解：
如图所示，由已知，A应是BC边上的高线所在直线与∠A的角平分线所在直线的交点．
由得，
故A(－1，0)．
又∠A的角平分线为x轴，
故kAC＝－kAB＝－1，
∴AC所在直线方程为y＝－(x＋1)，
又kBC＝－2，∴BC所在直线方程为y－2＝－2(x－1)，
由，得，
故C点坐标为(5，－6)．
4．一束平行光线从原点O(0，0)出发，经过直线l：8x＋6y＝25反射后通过点P(－4，3)，求反射光线与直线l的交点坐标．
解：设原点关于l的对称点A的坐标为(a，b)，由直线OA与l垂直和线段AO的中点在l上得
，解得，
∴A的坐标为(4，3)．
∵反射光线的反向延长线过A(4，3)，
又由反射光线过P(－4，3)，两点纵坐标相等，故反射光线所在直线方程为y＝3.
由方程组，解得，
∴反射光线与直线l的交点坐标为.
2.1.4 两条直线的交点
[A.基础达标]
1．a∈R时，直线ax＋y＋a＋2＝0必过定点( )
A．(－1，2) B．(－1，－2)
C．(1，－2) D．(1，2)
解析：选B.ax＋y＋a＋2＝0可转化为a(x＋1)＋y＋2＝0.
又因为a∈R，
所以所以
即直线ax＋y＋a＋2＝0必过定点(－1，－2)．
2．经过直线2x－y＋4＝0与x－y＋5＝0的交点，且垂直于直线x－2y＝0的直线方程是( )
A．2x＋y－8＝0 B．2x－y－8＝0
C．2x＋y＋8＝0 D．2x－y＋8＝0
解析：选A.由，得故过点(1，6)与x－2y＝0垂直的直线为y－6＝－2(x－1)，即2x＋y－8＝0.
3．若两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在直线y＝－x上，那么k的值是( )
A．－4 B．3
C．3或－4 D．±4
解析：选C.由解得因此两条直线的交点为，由已知可得＝－，解得k＝3或k＝－4.
4．点P(2，5)关于直线x＋y＝0的对称点的坐标是( )
A．(5，2) B．(2，5)
C．(－5，－2) D．(－2，5)
解析：选C.设对称点P′(x，y)，
则所以x＝－5，y＝－2.
5．直线2x－y－2＝0绕它与y轴的交点逆时针旋转所得的直线方程是( )
A．x－2y＋4＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－2y－4＝0 D．x＋2y＋4＝0
解析：选D.所求直线与直线2x－y－2＝0垂直，从而所求直线的斜率k＝＝－，而2x－y－2＝0与y轴的交点为(0，－2)，
于是所求直线方程为y＝－x－2，整理得x＋2y＋4＝0.
6．直线x－ay＋1＝0与直线x＋y－1＝0的交点在y轴上，则a的值是________．
解析：由
得令x＝0，解得a＝1.
答案：1
7．若集合{(x，y)|x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}{(x，y)|y＝3x＋b}，则b＝________．
解析：首先解得方程组的解为，
代入直线y＝3x＋b得b＝2.
答案：2
8．已知直线ax＋4y－2＝0与直线2x－5y＋b＝0互相垂直，交点为(1，c)，则a＋b＋c＝________．
解析：由两直线垂直得－×＝－1，所以a＝10，将交点坐标(1，c)代入ax＋4y－2＝0，得c＝－2，再代入2x－5y＋b＝0，得b＝－12，
所以a＋b＋c＝－4.
答案：－4
9．求经过直线3x＋2y＋6＝0和直线2x＋5y－7＝0的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．
解：由方程组
得
所以两已知直线的交点为(－4，3)．
当所求直线在两坐标轴上的截距都是0时，直线的横截距、纵截距相等．
所以所求直线的方程为y＝－x，即3x＋4y＝0.
当所求直线不过原点时，
设所求直线方程为x＋y＝a，
因为点(－4，3)在直线x＋y＝a上，
所以－4＋3＝a，a＝－1，故所求直线方程为x＋y＋1＝0.
综上所述，所求直线方程为3x＋4y＝0或x＋y＋1＝0.
10．已知直线l经过直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的交点P，且垂直于直线x－2y－1＝0.
(1)求直线l的方程；
(2)求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S.
解：(1)由解得
所以点P的坐标是(－2，2)．
又所求直线l与直线x－2y－1＝0垂直，
所以可设直线l的方程为2x＋y＋C＝0.因为直线l过点P，把点P的坐标代入得2×(－2)＋2＋C＝0，即C＝2.故所求直线l的方程为2x＋y＋2＝0.
(2)由直线l的方程知，它在x轴、y轴上的截距分别是－1，－2，所以直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S＝×1×2＝1.
[B.能力提升]
1．直线l与两直线y＝1和x－y－7＝0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M(1，－1)，则直线l的斜率为( )
A. B.
C．－ D．－
解析：选D.设直线l与直线y＝1的交点为A(x1，1)，直线l与直线x－y－7＝0的交点为B(x2，y2)，因为M(1，－1)为AB的中点，所以－1＝，即y2＝－3，代入直线x－y－7＝0得x2＝4，因为点B，M都在直线l上，所以kl＝＝－.故选D.
2．定义运算＝，称＝
为将点(x，y)映到点(x′，y′)的一次变换．若＝把直线y＝kx上的各点映射到这点本身，而把直线y＝mx上的各点映到这点关于原点对称的点，则k，m，p，q的值依次是( )
A．k＝1，m＝－2，p＝3，q＝3
B．k＝1，m＝3，p＝3，q＝－2
C．k＝－2，m＝3，p＝3，q＝1
D．k＝－2，m＝1，p＝3，q＝3
解析：选B.设(1，k)是直线y＝kx上的点，在定义运算的作用下的点的坐标为(1，k)，则有设(1，m)是直线y＝mx上的点，在定义运算的作用下的点的坐标为(－1，－m)．则有两式联立解得m＝3，k＝1，q＝－2，p＝3，所以选B.
3．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与(－2，0)重合，且点(2 014，2 015)与点(m，n)重合，则m－n的值为________．
解析：点(0，2)与点(－2，0)沿某一直线对称，可判断此对称轴为y＝－x，故点(2 014，2 015)关于y＝－x对称的点应为(－2 015，－2 014)．所以m－n＝－1.
答案：－1
4．平面上有三条直线x＋2y－1＝0，x＋1＝0，x＋ky＝0，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数k的所有取值为________．(将你认为所有正确的序号都填上)
①0 ② ③1 ④2 ⑤3
解析：因为这三条直线将平面划分为六部分，所以三条直线交于一点或其中两条平行线和第三条相交，验证知k＝0，1，2满足题意．故①③④正确．
答案：①③④
5．求证：不论λ为何实数，直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3都恒过一定点．
证明：法一：取λ＝0时，得到直线l1：2x＋y＋3＝0，
取λ＝1时，得到直线l2：x＝－3.
故l1与l2的交点为P(－3，3)．
将点P(－3，3)代入(λ＋2)x－(λ－1)y中，得(λ＋2)×(－3)－(λ－1)×3＝－6λ－3.
故点P(－3，3)在直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3上．
所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．
法二：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3整理，得(2x＋y＋3)＋λ(x－y＋6)＝0，
则直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3通过直线2x＋y＋3＝0与x－y＋6＝0的交点．
由方程组解得
所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．
法三：因为(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，
所以λ(x－y＋6)＝－2x－y－3.
因为λ为任意实数，
所以关于λ的一元一次方程λ(x－y＋6)＝－2x－y－3的解集为R.
所以解得
所以直线(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3恒过一定点(－3，3)．
6．(选做题)光线通过点A(－2，4)，经直线l：2x－y－7＝0反射，若反射光线通过点B(5，8)，求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解：已知直线l：2x－y－7＝0，设光线AC经l上点C反射后为BC，点A关于l的对称点为A′(a，b)，
所以AA′⊥l，且AA′中点在直线l上．
所以
解得a＝10，b＝－2，即A′(10，－2)．
所以A′B的方程为y＋2＝(x－10)，即反射光线BC的方程为2x＋y－18＝0.
所以A′B与l的交点为C.
所以入射光线AC的方程为y－4＝(x＋2)，
即2x－11y＋48＝0.
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
[学业水平训练]
已知点A(－3，4)和B(0，b)，且|AB|＝5，则b等于( )
A．0或8 B．0或－8
C．0或6 D．0或－6
解析：选A.因为|AB|＝5.得
＝5.
整理得(4－b)2＝16，
所以4－b＝±4，
所以b＝0或b＝8.
已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：选C.由已知得＝1，
解得a＝－1或a＝－－1，
因为a＞0，所以a＝－1.
点P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，O是原点，则|OP|的最小值是( )
A. B．2
C. D．2
解析：选B.|OP|的最小值即O到直线x＋y－4＝0的距离，d＝＝2.
点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为( )
A．[0，10] B．(0，10)
C．[，] D．(－∞，0)∪[10，＋∞)
解析：选A.点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则≤3.解得0≤a≤10.
两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
解析：选C.设直线l1，l2之间的距离为d，当两直线重合时，距离最小d＝0，但两直线平行，故d>0.
当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，
d＝|PQ|＝＝5，
所以0经过点A(2，－1)且与点B(－1，1)的距离为3的直线方程为________．
解析：(1)经过点A(2，－1)斜率不存在的直线为x＝2，此时点B(－1，1)到直线x＝2的距离为3，符合题意．
(2)经过点A(2，－1)，斜率存在的直线，设为y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0，
由点到直线的距离公式得＝3.
解得k＝，则直线方程为5x－12y－22＝0.
答案：x＝2或5x－12y－22＝0
与A(－2，2)，B(2，4)两点等距离，且在x轴上的点的坐标是________．
解析：设点P(x，0)，
则|AP|＝，|BP|＝，
由于|AP|＝|BP|，∴＝，解得：x＝，∴P(，0)．
答案：(，0)
8．P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋6＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为________．
解析：直线6x＋8y＋6＝0可变形为3x＋4y＋3＝0，则|PQ|的最小值即两平行线3x＋4y－12＝0与3x＋4y＋3＝0间的距离d.又d＝＝3，所以|PQ|的最小值为3.
答案：3
9．已知点A(a，6)到直线3x－4y＝2的距离d为下列各值，求a的值或取值范围：
(1)d＝3；(2)d>4.
解：(1)由点到直线3x－4y＝2的距离公式得，
＝3，即 |3a－26|＝15，
∴3a－26＝±15，∴a＝或.
(2)∵d>4，∴>4，即|3a－26|>20，
∴3a－26>20或3a－26<－20，∴a>或a<2，
即a的取值范围是(－∞，2)∪(，＋∞)．
证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
证明：
如图所示，以顶点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有A(0，0)．设B(a，0)，D(b，c)，由平行四边形的性质得点C的坐标为(a＋b，c)．
因为|AB|2＝a2，|CD|2＝a2，|AD|2＝b2＋c2，
|BC|2＝b2＋c2，|AC|2＝(a＋b)2＋c2，
|BD|2＝(b－a)2＋c2.
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2(a2＋b2＋c2)，
|AC|2＋|BD|2＝2(a2＋b2＋c2)．
所以|AB|2＋|CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝|AC|2＋|BD|2.
因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和．
[高考水平训练]
已知A(－3，8)，B(2，2)，在x轴上有一点M，使得|MA|＋|MB|最短，则点M的坐标是( )
A．(－1，0) B．(1，0)
C．(，0) D．(0，)
解析：选B.
A(－3，8)关于x轴对称的点A′(－3，－8)，A′B与x轴的交点，就是|MA|＋|MB|最短的M点，
直线A′B的方程为
＝，
当y＝0时，得x＝1，
即此时M的坐标为(1，0)．
2．已知x＋y－3＝0，则的最小值为________．
解析：设P(x，y)，A(2，－1)，
则点P在直线x＋y－3＝0上，
且＝|PA|.
|PA|的最小值为点A(2，－1)到直线x＋y－3＝0的距离d＝＝.
答案：
3．已知点A(1，－1)，B(2，2)，点P在直线y＝x上，求|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标．
解：设P(2t，t)，则|PA|2＋|PB|2＝(2t－1)2＋(t＋1)2＋(2t－2)2＋(t－2)2＝10t2－14t＋10.
当t＝时，|PA|2＋|PB|2取得最小值，
此时有P(，)，
所以|PA|2＋|PB|2取得最小值时P点的坐标为(，)．
4．已知正方形ABCD的中心M(－1，0)和一边CD所在的直线方程为x＋3y－5＝0，求其他三边所在的直线方程．
解：因为AB∥CD，
所以可设AB边所在的直线方程为x＋3y＋m＝0.
又因为AD⊥CD，BC⊥CD，所以可设AD，BC边所在的直线方程为3x－y＋n＝0.
因为中心M(－1，0)到CD的距离为
d＝＝，
所以点M(－1，0)到AD，AB，BC的距离均为.
由＝，
得|n－3|＝6，所以n＝9或n＝－3，
由＝，得|m－1|＝6，
所以m＝7或－5(舍去)．
所以其他三边所在的直线方程分别为
x＋3y＋7＝0，3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
2.1.5 平面直角坐标系中的距离公式
[A.基础达标]
1．若点P(3，a)到直线x＋y－4＝0的距离为1，则a值为( )
A. B．－
C.或－ D.或－
解析：选D.由点到直线的距离公式可得，
1＝，解得a＝或－.
2．点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则a的取值范围为( )
A．[0，10] B．(0，10)
C．[，] D．(－∞，0)∪[10，＋∞)
解析：选A.点P(4，a)到直线4x－3y＝1的距离不大于3，则≤3.解得0≤a≤10.
3．若x轴上的点P到原点的距离等于到点M(3，－1)的距离，则点P的坐标为( )
A．(3，0) B．(－1，0)
C. D.
解析：选C.设P(x，0)，则|PO|＝|PM|，即
＝，
整理得x2＝x2－6x＋9＋1，
解得x＝，
故P.
4．直线l过点A(3，4)，且与点B(－3，2)的距离最大，则l的方程为( )
A．3x－y－5＝0 B．3x－y＋5＝0
C．3x＋y＋13＝0 D．3x＋y－13＝0
解析：选D.当l⊥AB时符合要求，因为kAB＝＝，
所以l的斜率为－3，又过A(3，4)，
故l的方程为3x＋y－13＝0.
5．两平行直线l1，l2分别过点P(－1，3)，Q(2，－1)，它们分别绕P，Q旋转，但始终保持平行，则l1，l2之间的距离的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．[0，5]
C．(0，5] D．[0，]
解析：选C.设直线l1，l2之间的距离为d，当两直线重合时，距离最小d＝0，但两直线平行，故d>0.
当l1和l2与PQ垂直时，两直线距离d最大，
d＝|PQ|＝＝5，
所以06．直线3x－4y－6＝0与3x－4y＋7＝0之间的距离d为________．
解析：d＝＝.
答案：
7．已知定点A(0，1)，点B在直线x＋y＝0上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为________．
解析：设B点的坐标为(x，y)，|AB|2＝x2＋(y－1)2，又y＝－x, 则|AB|2＝x2＋(x＋1)2＝2x2＋2x＋1
＝2＋.
当x＝－时，即在处|AB|取最小值．
即点B的坐标为(－，)．
答案：
8．若在△ABC中，A(1，3)，B(3，1)，C(－1，0)，则△ABC的面积等于________．
解析：设AB边上的高为h, 则S△ABC＝|AB|·h.
|AB|＝＝2.
AB边上的高h就是点C到AB的距离．
AB边所在直线的方程为＝，
即x＋y－4＝0.
点C(－1，0)到x＋y－4＝0的距离h＝＝.因此，S△ABC＝×2×＝5.
答案：5
9．已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－.
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
解：(1)由点斜式方程得，
y－5＝－(x＋2)，所以l的方程为3x＋4y－14＝0.
(2)设m的方程为3x＋4y＋C＝0，
则由平行直线间的距离公式得，
＝3，得C＝1或－29.
所以直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.
10．直线l经过点P(2，－5)，且与点A(3，－2)和点B(－1，6)的距离之比为1∶2，求直线l的方程．
解：由题意知，直线l的斜率存在．
设斜率为k，点A，B到直线l的距离分别为d1，d2.
因为直线l过点P(2，－5)，
所以直线l的方程为y＋5＝k(x－2)，
即kx－y－2k－5＝0.
点A到直线l的距离d1＝＝，
点B到直线l的距离d2＝＝，
又d1∶d2＝1∶2，所以＝，
化简得k2＋18k＋17＝0，解得k＝－1或k＝－17.
故所求直线l的方程为x＋y＋3＝0或17x＋y－29＝0.
[B.能力提升]
1．已知平行四边形相邻两边所在的直线方程是l1：x－2y＋1＝0和l2：3x－y－2＝0，此四边形两条对角线的交点是(2，3)，则平行四边形另外两边所在直线的方程是( )
A．2x－y＋7＝0和x－3y－4＝0
B．x－2y＋7＝0和3x－y－4＝0
C．x－2y＋7＝0和x－3y－4＝0
D．2x－y＋7＝0和3x－y－4＝0
解析：选B.法一：因为另两边分别与l1，l2平行且到P(2，3)的距离分别相等，
所以设l3：x－2y＋c1＝0，l4：3x－y＋c2＝0，由点到直线的距离公式得出c1＝7，c2＝－4.
法二：l1的对边与l1平行应为x－2y＋c＝0形式排除A，D；l2的对边也与l2平行，应为3x－y＋c1＝0形式排除C，所以选B.
2．已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为( )
A．11 B．10
C．9 D．8
解析：选B.直线2x－y＝0的斜率为2，x＋ay＝0的斜率为－.
因为两直线垂直，所以－＝－，
所以a＝2.
所以直线方程为x＋2y＝0，中点P(0，5)，
则OP＝5.在直角三角形中斜边的长度|AB|＝2|OP|＝2×5＝10，所以线段AB的长为10，故选B.
3．已知a，b，c为某一直角三角形的三边长，c为斜边长，若点P(m，n)在直线ax＋by＋2c＝0上，则m2＋n2的最小值为________．
解析：由题设a2＋b2＝c2，m2＋n2表示直线l：ax＋by＋2c＝0上的点P(m，n)到原点O的距离的平方，故当PO⊥l时，m2＋n2取最小值d，所以d＝＝＝4.
答案：4
4．在△ABC中，A(3，3)，B(2，－2)，C(－7，1)，则∠A的平分线AD所在直线的方程为________．
解析：设M(x，y)为∠A的平分线AD上任意一点，由已知可求得AC边所在直线的方程为x－5y＋12＝0，AB边所在直线的方程为5x－y－12＝0.
由角平分线的性质，得
＝，
所以x－5y＋12＝5x－y－12，或x－5y＋12＝y－5x＋12，即y＝－x＋6或y＝x.
结合图形可知kAC所以y＝－x＋6不合题意，舍去．
故∠A的平分线AD所在直线的方程为y＝x.
答案：y＝x
5．已知过点A(1，1)且斜率为－m(m>0)的直线l与x轴，y轴分别交于点P，Q，过点P，Q分别作直线2x＋y＝0的垂线，垂足分别为R，S，求四边形PRSQ的面积的最小值．
解：由已知得直线l的方程为y－1＝－m(x－1)，
则P，Q(0，1＋m)，从而可得直线PR，QS的方程分别为x－2y－＝0，x－2y＋2(m＋1)＝0.
又因为PR∥QS，所以|RS|＝＝，
又因为|PR|＝，|QS|＝，四边形PRSQ为直角梯形(或矩形)，
所以S四边形PRSQ＝·
＝(m＋＋)2－.
令f(m)＝m＋，可证f(m)在(0，1]上是递减的，在[1，＋∞)上是递增的．
所以f(m)min＝f(1)＝2.
所以S≥(2＋)2－＝，
即四边形PRSQ的面积的最小值为.
6．(选做题)如图所示，已知A(－2，0)，B(2，－2)，C(0，5)，过点M(－4，2)且平行于AB的直线l将△ABC分成两部分，求此两部分面积的比．
解：法一：由已知可得kAB＝－，过点M(－4，2)且平行于AB的直线l的方程为x＋2y＝0.直线AC的方程为5x－2y＋10＝0，由方程组得直线l与AC的交点坐标P，所以＝＝，
所以两部分的面积之比为＝.
法二：由两点式得直线AB的方程为＝，即x＋2y＋2＝0.设过点M(－4，2)且平行于AB的直线l的方程为x＋2y＋m＝0，将点M(－4，2)的坐标代入得m＝0，所以过点M(－4，2)且平行于AB的直线l的方程为x＋2y＝0，此直线将三角形的面积分成两部分，其中△CPQ的边PQ上的高d1＝＝2，△ABC的边AB上的高d2＝＝，△CPQ的面积与△ABC的面积之比为＝＝＝，
所以两部分的面积之比为＝.
2.2.1 圆的标准方程
[学业水平训练]
圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13的周长是( )
A.π B．2π
C．2π D．2π
解析：选B.由圆(x－3)2＋(y＋2)2＝13，得圆的半径r＝，则圆的周长C＝2πr＝2π.
已知某圆的一条直径的端点分别是A(4，0)，B(0，－6)，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
解析：选D.由中点坐标公式得圆心(2，－3)，
r＝|AB|＝ ＝，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．点P(m2，5)与圆x2＋y2＝24的位置关系是( )
A．在圆内 B．在圆外
C．在圆上 D．不确定
解析：选B.由m4＋25>24可知，
点P(m2，5)在圆x2＋y2＝24的外部．
4．已知圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程是( )
A．(x－2)2＋y2＝13
B．(x＋2)2＋y2＝17
C．(x＋1)2＋y2＝40
D．(x－1)2＋y2＝20
解析：选D.∵圆心在x轴上，
∴设圆心坐标为C(a，0)．
又∵圆C经过A(5，2)，B(－1，4)两点，
∴半径r＝|AC|＝|BC|，可得
＝，
解之得a＝1，
可得半径r＝＝，
∴圆C的标准方程是(x－1)2＋y2＝20.
5．圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离为( )
A. B.
C．1 D.
解析：选A.(x－1)2＋y2＝1的圆心为(1，0)，
则圆心到直线y＝x的距离d＝＝.
点(0，0)在圆x2＋(y－2)2＝a上，则圆的方程为________．
解析：由已知得02＋(0－2)2＝a，则a＝4，
故圆的方程为x2＋(y－2)2＝4.
答案：x2＋(y－2)2＝4
若圆心在x轴上，半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O的方程是________．
解析：设圆心坐标为(a，0)(a<0)，
则＝，
∴|a|＝5.又∵a<0，
∴a＝－5，
故圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
8．圆O的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，点(2，3)到圆上的最大距离为________．
解析：点(2，3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2，3)的距离最大，最大距离为点(2，3)到圆心(3，4)的距离加上半径长5，即为5＋.
答案：5＋
9．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)经过点P(5，1)，圆心为点C(8，－3)；
(2)经过点P(4，2)，Q(－6，－2)，且圆心在y轴上．
解：(1)圆的半径r＝|CP|＝＝5.
圆心为点C(8，－3)，
∴圆的标准方程为(x－8)2＋(y＋3)2＝25.
(2)设所求圆的方程是x2＋(y－b)2＝r2.
∵点P、Q在所求圆上，依题意有
?
∴所求圆的标准方程是x2＋(y＋)2＝.
10．求经过A(6，5)，B(0，1)两点，并且圆心C在直线3x＋10y＋9＝0上的圆的标准方程．
解：由题意知线段AB的垂直平分线方程为
3x＋2y－15＝0，
由
解得
∴圆心C(7，－3)，半径r＝|AC|＝.
∴所求圆的标准方程为(x－7)2＋(y＋3)2＝65.
[高考水平训练]
1．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为( )
A．2 B．1
C. D.
解析：选B.(x2＋y2)min＝[－14]2＝1.
2．如果直线l将圆(x－1)2＋(y－2)2＝5平分且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是________．
解析：
由题意知l过圆心(1，2)，由数形结合得0≤k≤2.
答案：[0，2]
3．已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)．
(1)求此圆的标准方程；
(2)设P(x，y)为圆C上任意一点，求点P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值和最小值．
解：(1)由题意，结合图(1)可知圆心C(3，0)，r＝2，
所以圆C的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
(2)如图(2)所示，过点C作CD垂直于直线x－y＋1＝0，
垂足为D.由点到直线的距离公式可得
|CD|＝＝2.
又P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2.
结合图形易知点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为2＋2，最小值为2－2.
4．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围．
解：(1)因为点M(6，9)在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，即a2＝10.又a＞0，所以a＝.
(2)因为|PN|＝＝，
|QN|＝＝3，
所以|PN|＞|QN|，故点P在圆外，
点Q在圆内，所以3＜a＜.
2.2.1 圆的标准方程
, [学生用书单独成册])
[A.基础达标]
1．直线x＋2y＋3＝0将圆(x－a)2＋(y＋5)2＝3的周长平分，则a等于( )
A．13 B．7
C．－13 D．以上答案都不对
解析：选B.当直线过圆心时直线才将圆的周长平分，所以将圆心(a，－5)代入直线方程x＋2y＋3＝0，得a＋2×(－5)＋3＝0.解得a＝7.
2．已知某圆的一条直径的端点分别是A(4，0)，B(0，－6)，则该圆的标准方程是( )
A．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
B．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝13
解析：选D.由中点坐标公式得圆心(2，－3)，
r＝|AB|＝ ＝，
故圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13.
3．点(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围是( )
A．0C．a>1 D．a＝1
解析：选B.由于点在圆的内部，所以(5＋1－1)2＋()2<26，即26a<26，又a≥0，解得0≤a<1.
4．以圆(x－2)2＋(y－1)2＝3的圆心关于x轴对称的点为圆心，半径与该圆相等的圆的方程为( )
A．(x＋2)2＋(y－1)2＝3
B．(x－2)2＋(y＋1)2＝3
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝3
D．(x－2)2＋y2＝3
解析：选B.由题意知(x－2)2＋(y－1)2＝3的圆心坐标为(2，1)，关于x轴对称的点为(2，－1)，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝3.
5．圆x2＋y2＝1的圆心到直线3x＋4y－25＝0的距离为( )
A．6 B．4
C．5 D．1
解析：选C.圆的半径r＝1，圆心(0，0)到直线3x＋4y－25＝0的距离d＝＝5，故所求的距离为5.
6．已知点P(4a＋1，2a)在圆(x＋1)2＋y2＝1上，则a＝________．
解析：由已知得(4a＋2)2＋(2a)2＝1，即20a2＋16a＋3＝0，
解得a＝－或a＝－.
答案：－或－
7．若圆心在x轴上，半径为的圆C位于y轴左侧，且圆心到直线x＋2y＝0的距离等于半径，则圆C的方程是________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)(a<0)，
则＝，
所以|a|＝5.又因为a<0，
所以a＝－5，
故圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5.
答案：(x＋5)2＋y2＝5
8．在y轴上的截距为2和8，且半径为5的圆C的方程是________．
解析：由题意知圆过点A(0，2)，B(0，8)，所以圆心C在弦AB的垂直平分线y＝5上，设圆心坐标为C(a，5)，所以＝5，所以a＝±4.所以所求圆的标准方程为(x±4)2＋(y－5)2＝25.
答案：(x＋4)2＋(y－5)2＝25或(x－4)2＋(y－5)2＝25
9．已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)．
(1)若点M(6，9)在圆上，求半径a；
(2)若点P(3，3)与Q(5，3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的范围．
解：(1)因为点M(6，9)在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
即a2＝10.
又a>0，所以a＝.
(2)因为|PN|＝＝.
|QN|＝＝3，
所以|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内，
所以310．已知圆C经过点A(－1，0)和B(3，0)，且圆心在直线x－y＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)求圆心到直线x＋2y＋4＝0的距离．
解：(1)AB的中点坐标为(1，0)，
所以圆心在直线x＝1上，
又知圆心在直线x－y＝0上，
所以圆心坐标是(1，1)，圆的半径是r＝，
所以圆C的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝5.
(2)圆心到直线x＋2y＋4＝0的距离d＝＝.
[B.能力提升]
1．过点A(1，2)，且与两坐标轴同时相切的圆的方程为( )
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25
B．(x－1)2＋(y－3)2＝2
C．(x－5)2＋(y－5)2＝25
D．(x－1)2＋(y－1)2＝1
解析：选A.由题意可设圆心为(a，a)，则半径r＝a，圆方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，又点A(1，2)在圆上，所以(1－a)2＋(2－a)2＝a2，解得a＝1或a＝5，所以所求圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1或(x－5)2＋(y－5)2＝25，所以选A.
2．若点P(2，－1)为圆(x－1)2＋y2＝25的弦AB的中点，则直线AB的方程是( )
A．x－y－3＝0 B．2x＋y－3＝0
C．x＋y－1＝0 D．2x－y－5＝0
解析：选A.设圆心为M，则M(1，0)，
由题意知kPM＝＝－1，
从而AB的斜率为1，
于是AB的方程为y－(－1)＝x－2，
整理得x－y－3＝0.
3．如图所示，定圆的半径为a，圆心为(b，c)，则直线ax＋by＋c＝0与直线x－y＋1＝0的交点在第________象限．
解析：由题图知，a>0，b<0，c>0，且c解方程组得交点坐标为
.
因为>0，<0，
所以交点在第三象限．
答案：三
4．在圆x2＋y2＝25上有一点P(4，3)．点E，F是y轴上两点，且满足|PE|＝|PF|，连接PE，PF，并延长分别与圆交于C，D，则直线CD的斜率是________．
解析：过P点作x轴的平行线，交圆于点G，连接OG，则G点坐标为(－4，3)，PG⊥EF.因为△PEF是以P为顶点的等腰三角形，所以PG是∠DPC的平分线，所以G是圆弧CD的中点，所以OG⊥CD.设CD与y轴交于点A，PG与CD交于点M，PG与y轴交于点N，所以∠DAO＋∠GOA＝90°，又∠AMP＋∠DAO＝90°，所以 ∠CMP＝∠GOA.所以直线CD的斜率等于tan ∠CMP＝tan ∠GOA.Rt△GON中tan ∠GOA＝＝.
答案：
5．已知平面直角坐标系中有四个点A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，D(－1，2)判断这四个点能否在同一个圆上，为什么？
解：设经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)．代入三点的坐标得解方程组，得所以经过A，B，C三点的圆的标准方程为(x－1)2＋(y－3)2＝5.将点D的坐标代入圆的标准方程，左边＝右边，所以点D在圆上，故A，B，C，D四点能在同一个圆上．
6．(选做题)已知点A(－2，－2)，B(－2，6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．
解：设P(x，y)，则x2＋y2＝4.
|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)－4y＋68＝80－4y.
因为－2≤y≤2，所以72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.
即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值为88，最小值为72.
2.2.2 圆的一般方程
[学业水平训练]
方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示的图形是( )
A．以(1，－2)为圆心，为半径的圆
B．以(1，2)为圆心，为半径的圆
C．以(－1，－2)为圆心，为半径的圆
D．以(－1，2)为圆心，为半径的圆
解析：选D.由x2＋y2＋2x－4y－6＝0，得
(x＋1)2＋(y－2)2＝11.
所以方程x2＋y2＋2x－4y－6＝0表示圆心为(－1，2)，为半径的圆．
圆的方程为(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，则圆心坐标为( )
A．(1，－1) B．(，－1)
C．(－1，2) D．(－，－1)
解析：选D.由(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y＋4)＝0，
化简得x2＋y2＋x＋2y－10＝0，
圆心为(－，－1)．
已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )
A．(0，－1) B．(1，－1)
C．(－1，0) D．(－1，1)
解析：选A.由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，
得圆的半径r＝
＝ .
所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－，－)，即(0，－1)，故选A.
已知圆x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
解析：选B.把原点(0，0)的坐标代入圆的方程得，
(a－1)2>0(0若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为( )
A．－1 B．1
C．3 D．－3
解析：选B.化圆为标准形式：(x＋1)2＋(y－2)2＝5，所以圆心为(－1，2)，代入直线3x＋y＋a＝0中，得a＝1.
点A(1，0)在圆x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上，则a的值为________．
解析：因为点A(1，0)在圆x2＋y2－2ax＋a2＋3a－3＝0上，
所以
所以所以a＝－2.
答案：－2
动圆x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0的半径的取值范围是________．
解析：因为x2＋y2－2x－k2＋2k－2＝0可化为(x－1)2＋y2＝k2－2k＋3，
所以半径r＝
＝≥.
答案：[，＋∞)
若曲线x2＋y2＋a2x＋(1－a2)y－4＝0关于直线y－x＝0的对称曲线仍是其本身，则实数a＝________．
解析：若方程x2＋y2＋a2x＋(1－a2)y－4＝0的曲线关于直线y＝x的对称曲线仍是其本身，则它是一个圆心在此直线上的圆，而圆心坐标是(－，－)，
则－＝－，解得a＝±.
答案：±
求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
设圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0，
(1)求该圆的圆心坐标及半径；
(2)若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，求直线AB的方程．
解：(1)将x2＋y2－4x－5＝0配方得：
(x－2)2＋y2＝9，
所以圆心坐标为C(2，0)，半径r＝3.
(2)由题可设直线AB的斜率为k.
由圆的知识可知：CP⊥AB.
所以kCP·k＝－1.
又kCP＝＝1?k＝－1.
所以直线AB的方程为y－1＝－1(x－3)，即x＋y－4＝0.
[高考水平训练]
如果过A(2，1)的直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，则直线l的方程为( )
A．x＋y－3＝0 B．x＋2y－4＝0
C．x－y－1＝0 D．x－2y＝0
解析：选A.由x2＋y2－2x－4y＝0配方得，
(x－1)2＋(y－2)2＝5.因为所求直线l将圆平分，
故直线过圆心(1，2)，
则直线l的方程为＝，
即x＋y－3＝0.
2．已知圆x2＋y2－4x＋3＝0，则x2＋y2的最大值是________．
解析：由x2＋y2－4x＋3＝0，配方得(x－2)2＋y2＝1，
则圆心为(2，0)，所以(x2＋y2)max＝(＋1)2＝9.
答案：9
设△ABC顶点坐标A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆．
(1)求圆M的方程；
(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．
解：(1)设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
因为圆M过点A(0，a)，B(－，0)，C(，0)，
所以
解得D＝0，E＝3－a，F＝－3a，
所以圆M的方程为x2＋y2＋(3－a)y－3a＝0.
(2)圆M的方程可化为(3＋y)a－(x2＋y2＋3y)＝0.
由
解得x＝0，y＝－3.
所以圆M过定点(0，－3)．
4．已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2，3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
解：(1)因为点P(a，a＋1)在圆上，
所以a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
所以a＝4，P(4，5)，
所以|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2)因为圆心C坐标为(2，7)，
所以|QC|＝＝4.
因为圆的半径是2，
所以点Q在圆外，
所以|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.
2.2.2 圆的一般方程
[A.基础达标]
1．方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是( )
A．圆 B．直线
C．点 D．不表示任何图形
解析：选A.将方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1化为x2＋y2＋2x＋3y－＝0.则D＝2，E＝3，F＝－.计算得D2＋E2－4F＝22＋32－4×＝15>0.所以方程表示圆，故选A.
2．下列方程中表示圆的是( )
A．x2＋y2－2x＋2y＋2＝0
B．x2＋y2－2xy＋y＋1＝0
C．x2＋y2－2x＋4y＋3＝0
D．x2＋2y2－2x＋4y－1＝0
解析：选C.选项C中的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝2，表示圆，其余选项中的方程均不表示圆．
3．已知点(a＋1，a－1)在圆x2＋y2－x＋y－4＝0的外部，则a的取值范围是( )
A．(－∞，－)∪[－，＋∞)
B．(－∞，2)∪(2，＋∞)
C．(－∞，－)∪(，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
解析：选C.将圆的一般方程配方得＋＝，点在圆外，需＋>，解得a∈(－∞，－)∪(，＋∞)．
4．已知圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，当该圆的面积取最大值时，圆心坐标是( )
A．(0，－1) B．(1，－1)
C．(－1，0) D．(－1，1)
解析：选A.由x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，
得圆的半径r＝
＝ .
所以当k＝0时，r最大，此时圆的面积最大，此时圆心(－，－)，即(0，－1)，故选A.
5．若圆x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有点都在第二象限，则a的取值范围为( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(2，＋∞)
解析：选D.由x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0，得(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，其圆心坐标为(－a，2a)，半径为2，则有解得a>2.
6．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的圆心到直线x－y－2＝0的距离为________．
解析：已知圆的圆心坐标为(1，1)，由点到直线的距离公式得圆心到直线x－y－2＝0的距离d＝＝.
答案：
7．若实数x，y满足x2＋y2－6x＋8y＋24＝0，则x2＋y2的最大值等于________．
解析：依题意，点P(x，y)在圆x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，即(x－3)2＋(y＋4)2＝1，而x2＋y2表示点P与原点O距离的平方．由于已知圆的圆心为C(3，－4)，半径r＝1，
又|OC|＝5，所以点P与原点O距离的最大值为1＋5＝6，从而x2＋y2的最大值是36.
答案：36
8．点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积是________．
解析：将x2＋y2＋kx＋2y－4＝0化为＋(y＋1)2＝5＋，故圆心坐标是.由题意知，直线x－y＋1＝0过圆心，故－＋1＋1＝0，解得k＝4，此时圆的半径为3，圆的面积是9π.
答案：9π
9．求经过两点A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．
解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，
所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，
所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；
由题设，得x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)＝2，
所以D＋E＝－2.①
又A(4，2)，B(－1，3)两点在圆上，
所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，②
1＋9－D＋3E＋F＝0，③
由①②③可得D＝－2，E＝0，F＝－12，
故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0.
10．等腰三角形的顶点A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解：设底边另一个端点C的坐标是(x，y)，
依题意，得|AC|＝|AB|，由两点间距离公式得＝，
整理得(x－4)2＋(y－2)2＝10，
这是以点A(4，2)为圆心，以为半径的圆．
又因为A，B，C为三角形的三个顶点，
所以A，B，C三点不共线．即点B，C不能重合且不能为圆A的一条直径的两个端点，所以点C不能为(3，5)且≠4，≠2，即点C也不能为(5，－1)，故点C的轨迹方程为(x－4)2＋(y－2)2＝10(除去点(3，5)和(5，－1))，它的轨迹是以A(4，2)为圆心，为半径的圆，但除去(3，5)和(5，－1)两点．
[B.能力提升]
1．已知两点A(－2，0)，B(0，2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC面积的最小值是( )
A．3－ B．3＋
C．3－ D.
解析：选A.lAB：x－y＋2＝0，圆心(1，0)到l的距离d＝＝，
所以AB边上的高的最小值为－1.
又因为|AB|＝＝2，
所以S△min＝×(2)×＝3－.
故选A.
2．经过圆x2＋2x＋y2＝0的圆心C，且与直线x＋y＝0垂直的直线方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．x＋y－1＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y－1＝0
解析：选C.因为x2＋2x＋y2＝0可化为(x＋1)2＋y2＝1，所以圆心C(－1，0)．又过点C的直线与x＋y＝0垂直，所以其斜率为1.所以所求直线方程为y＝x＋1，即x－y＋1＝0.
3．设圆C的方程为x2＋y2－4x－5＝0，若此圆的一条弦AB的中点为P(3，1)，则直线AB的方程为________．
解析：由题可设直线AB的斜率为k.
由圆的知识可知：CP⊥AB.
所以kCP·k＝－1.
又kCP＝＝1?k＝－1.
所以直线AB的方程为y－1＝－(x－3)，即x＋y－4＝0.
答案：x＋y－4＝0
4．已知M(0，4)，N(－6，0)，若动点P满足PM⊥PN，则动点P的轨迹方程是________．
解析：由于PM⊥PN，所以动点P的轨迹是以线段MN为直径的圆(不包括端点M，N)，其圆心为线段MN的中点(－3，2)，直径|MN|＝＝2，于是半径等于，故轨迹方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)．
答案：(x＋3)2＋(y－2)2＝13(x≠0，且x≠－6)
5．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b(x∈R)的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C.
(1)求实数b的取值范围；
(2)求圆C的方程；
(3)问圆C是否经过某定点(其坐标与b无关)？请证明你的结论．
解：(1)令x＝0，得抛物线与y轴交点是(0，b)；
令f(x)＝x2＋2x＋b＝0，由题意b≠0且Δ>0，解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
令y＝0得x2＋Dx＋F＝0，这与x2＋2x＋b＝0是同一个方程，故D＝2，F＝b.
令x＝0得y2＋Ey＋F＝0，此方程有一个根为b，代入得出E＝－b－1.
所以圆C的方程为x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0.
(3)圆C必过定点(0，1)和(－2，1)．
证明如下：x2＋y2＋2x－(b＋1)y＋b＝0
可化为x2＋y2＋2x－y＋b(1－y)＝0，
因为过定点，则与b无关，即y＝1代入上式可得x＝0或x＝－2.所以圆C必过定点(0，1)，(－2，1)．
6．(选做题)已知Rt△AOB中，|OB|＝3，|AB|＝5，点P是△AOB内切圆上一点，求以|PA|，|PB|，|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值．
解：如图，建立平面直角坐标系，使A，B，O三点的坐标分别为A(4，0)，B(0，3)，O(0，0)．
设P(x，y)，内切圆半径为r，则有|OA|·r＋|OB|·r＋|AB|·r＝|OA||OB|，
所以r＝1.
故内切圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，
化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0.①
又|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②
由①可知x2＋y2－2y＝2x－1.
将其代入②，则有|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22，因为x∈[0，2]，
故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18，
三个圆面积之和，S＝π＋π＋π＝(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)，
×22＝，×18＝π，
所以所求面积和的最大值为，最小值为.
2.2.3 第1课时 直线与圆的位置关系
[A.基础达标]
1．直线x＋2y－1＝0与圆2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
解析：选C.圆心坐标为，半径长r＝，圆心到直线的距离d＝所以直线与圆是相交的但不过圆心，故选C.
2．在直角坐标平面内，过点P(2，1)且与圆x2＋y2＝4相切的直线( )
A．有两条 B．有且仅有一条
C．不存在 D．不能确定
解析：选A.由于22＋12>4，所以点P在圆x2＋y2＝4外，因此过点P与圆相切的直线有两条．
3．如果直线x－my＋2＝0与圆x2＋(y－1)2＝1有两个不同的交点，则( )
A．m≥ B．m>
C．m< D．m≤
解析：选B.由已知得直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d＝<1，即|m－2|<，解得m>.
4．已知圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于( )
A. B．2－
C.－1 D.＋1
解析：选C.圆心C(a，2)到直线l的距离
d＝＝，
所以＋＝4，
解得a＝－1－(舍去)，或a＝－1.故选C.
5．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线的最小长度为( )
A．1 B．2
C. D．3
解析：选C.当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小．
因圆心(3，0)到直线距离为
d＝＝2，
所以切线长的最小值是
l＝＝.
6．若点P(－1，－3)为圆C：(x－2)2＋y2＝16的弦AB的中点，则直线AB的方程为________．
解析：kPC＝＝1，由题意知AB⊥PC，所以kAB＝－1，因此直线AB的方程为y＋3＝－(x＋1)，即x＋y＋4＝0.
答案：x＋y＋4＝0
7．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．
解析：将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0配方得(x－1)2＋(y－2)2＝1，所以该圆半径为1，圆心为(1，2)．
因为直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，
所以该直线的斜率k＝＝2，
所以该直线的方程为y＝2x，即2x－y＝0.
答案：2x－y＝0
8．直线过点P(0，2)，且被圆x2＋y2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为________．
解析：如图所示，点P(0，2)是圆与y轴的一个交点，过点P作弦，使弦长为2，亦即圆心到弦所在的直线的距离为.
易知弦所在直线的斜率存在，设为k，则方程为：y＝kx＋2.
由点到直线的距离公式，可得：d＝＝，
所以1＋k2＝.所以k2＝.所以k＝±.
答案：±
9．m为何值时，直线2x－y＋m＝0与圆x2＋y2＝5，
(1)无公共点；(2)截得的弦长为2.
解：(1)由已知，圆心为O(0，0)，半径r＝，圆心到直线2x－y＋m＝0的距离d＝＝，
因为直线与圆无公共点，所以d>r，即>，所以m>5或m<－5，
故当m>5或m<－5时，直线与圆无公共点．
(2)如图，由平面几何垂径定理知r2－d2＝12，即5－＝1，得m＝±2.
故当m＝±2时，直线被圆截得的弦长为2.
10．圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)．
(1)证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；
(2)求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．
解：(1)证明：因为直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋(x＋y－4)＝0(m∈R)．
所以l过的交点M(3，1)．
又因为M到圆心C(1，2)的距离为d＝＝<5，所以点M(3，1)在圆内，所以过点M(3，1)的直线l与圆C恒交于两点．
(2)因为过点M(3，1)的所有弦中，弦心距d≤，弦心距、半弦长和半径r构成直角三角形，所以当d2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.
所以弦长AB的最小值|AB|min＝4.
此时，kCM＝－，kl＝－.
因为l⊥CM，所以·＝－1，
解得m＝－.
所以当m＝－时，取到最短弦长为4.
[B.能力提升]
1．过点P(1，1)的直线，将圆形区域{(x，y)|x2＋y2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )
A．x＋y－2＝0
B．y－1＝0
C．x－y＝0
D．x＋3y－4＝0
解析：选A.由已知得，当圆心与P的连线和过点P的直线垂直时，符合条件，圆心O与P点连线的斜率为1，所以要求直线的斜率为－1.又因为直线过P(1，1)，所以该直线方程为x＋y－2＝0.
2．圆(x＋1)2＋(y＋2)2＝8上与直线x＋y＋1＝0的距离等于的点共有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：选C.圆心到直线的距离d＝＝，r＝2，所以直线与圆相交．
又r－d＝，
所以劣弧上到直线的距离等于的点只有1个，在优弧上到直线的距离等于的点有2个．所以满足条件的点共3个．
3．圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值是________．
解析：圆心到直线x－y＝3的距离d＝＝，则圆x2＋y2＝16上的点到直线x－y＝3的距离的最大值为4＋.
答案：4＋.
4．直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交于A，B两点(其中a，b是实数)，且△AOB是直角三角形(O是坐标原点)，则点P(a，b)与点(0，1)之间距离的最大值为________．
解析：因为△AOB是直角三角形，所以圆心到直线的距离为，所以＝，即2a2＋b2＝2.所以a2＝1－，由a2＝1－≥0，得b2≤2，－≤b≤，所以点P(a，b)与点(0，1)之间距离为d＝＝＝＝，即d＝＝，因为－≤b≤，所以当b＝－时，dmax＝＝＝＝1＋.
答案：1＋
5．设点O为坐标原点，曲线x2＋y2＋2x－6y＋1＝0上有P，Q两点，满足关于直线x＋my＋4＝0对称，又满足OP⊥OQ.
(1)求m的值；
(2)求直线PQ的方程．
解：(1)曲线方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，表示圆心为(－1，3)，半径为3的圆，因为点P，Q在圆上且关于直线x＋my＋4＝0对称，所以直线x＋my＋4＝0过圆心(－1，3)，代入直线方程得m＝－1.
(2)由(1)知直线PQ与直线y＝x＋4垂直，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线PQ的方程为y＝－x＋b，将直线y＝－x＋b代入圆的方程，得2x2＋2(4－b)x＋b2－6b＋1＝0.Δ＝4(4－b)2－4×2×(b2－6b＋1)>0，即b2－4b－14<0，解得2－3由根与系数的关系得x1＋x2＝－(4－b)，x1x2＝，y1y2＝b2－b(x1＋x2)＋x1x2＝＋4b，
因为OP⊥OQ，
所以kOP·kOQ＝－1.
所以x1x2＋y1y2＝0，
即b2－6b＋1＋4b＝0，
解得b＝1∈(2－3，2＋3)，
所以直线PQ的方程是y＝－x＋1.
6．(选做题)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，
(1)若过定点(－2，0)的直线l与圆C相切，求直线l的方程；
(2)若过定点(－1，0)且倾斜角为的直线l与圆C相交于A，B两点，求线段AB的中点P的坐标；
(3)问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为EF，且以EF为直径的圆经过原点？若存在，请写出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)根据题意，设直线l的方程为：
x＝my－2，联立直线与圆的方程并整理得：(m2＋1)y2＋(4－6m)y＋4＝0，
Δ＝20m2－48m，所以20m2－48m＝0，
m1＝0，m2＝，
从而，直线l的方程为：x＝－2或5x－12y＋10＝0.
(2)根据题意，设直线l的方程为：x＝y－1代入圆C方程得：4y2＋4(1－)y－1＝0，显然Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝－1，x1＋x2＝1－，
所以点P的坐标为.
(3)假设存在这样的直线l：y＝x＋b，
联立圆的方程并整理得：2x2＋(2b＋2)x＋b2＋4b－4＝0，
当Δ＝－4(b2＋6b－9)>0?－3－3设E(x3，y3)，F(x4，y4)则x3＋x4＝－(b＋1)，x3x4＝(b2＋4b－4)，所以y3y4＝(b2＋2b－4)，因为以EF为直径的圆经过原点，所以＝(x3，y3)，＝(x4，y4)，·＝0，
所以x3x4＋y3y4＝0，即b2＋3b－4＝0，
解得b1＝1，b2＝－4，均满足－3－32.2.3 第2课时 圆与圆的位置关系
[A.基础达标]
1．已知圆C1与C2相切，圆心距为10，其中圆C1的半径为4，则圆C2的半径为( )
A．6或14 B．10
C．14 D．不确定
解析：选A.由题意知，r＋4＝10或10＝|r－4|，解得r＝6或r＝14.
2．两圆x2＋y2－2y＋3＝0与x2＋y2＋2x＝0的公共弦所在的直线方程为( )
A．2x－2y－3＝0 B．2x－2y＋3＝0
C．2x＋2y＋3＝0 D．2x＋2y－3＝0
解析：选D.两圆方程相减得2x＋2y－3＝0.即为两圆的公共弦所在的直线方程．
3．圆x2＋y2＋4x－4y＋7＝0与圆x2＋y2－4x＋10y＋13＝0的公切线的条数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选D.两圆的圆心距d＝＝，半径分别为r1＝1，r2＝4，则d>r1＋r2，所以两圆相离，因此它们有4条公切线．
4．点P在圆C1：x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆C2：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是( )
A．5 B．1
C．3－5 D．3＋5
解析：选C.圆C1的方程配方得，
(x－4)2＋(y－2)2＝9，圆心C1(4，2)，半径r1＝3.
圆C2的方程配方得，
(x＋2)2＋(y＋1)2＝4，圆心C2(－2，－1)，半径r2＝2，
两圆的连心线长为：
＝＝3>r1＋r2，
则P，Q两点间距离最小为|PQ|min＝3－5.
5．两圆相交于点A(1，3)，B(m，－1)，两圆的圆心均在直线x－y＋c＝0上，则m＋c的值为( )
A．－1 B．2
C．3 D．0
解析：选C.由题意知，AB的中点在直线x－y＋c＝0上，所以－1＋c＝0，m＋2c＝1.
又直线AB的斜率kAB＝＝＝－1，
所以m＝5，c＝－2.故m＋c＝3，故选C.
6．半径为6的圆与x轴相切，且与圆x2＋(y－3)2＝1内切，则此圆的方程为________．
解析：由题设知，圆心为(a，6)，R＝6，
所以＝6－1，所以a2＝16.所以a＝±4，
所以所求圆的方程为(x±4)2＋(y－6)2＝36.
答案：(x±4)2＋(y－6)2＝36
7．集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝4}，B＝{(x，y)|(x－3)2＋(y－4)2＝r2}，其中r>0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是________．
解析：因为A∩B中有且仅有一个元素，所以两圆相切．当两圆外切时，2＋r＝5，即r＝3；当两圆内切时，r－2＝5，即r＝7.所以r的值是3或7.
答案：3或7
8．若圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是________．
解析：由题意知O1(0，0)，O2(m，0)，且<|m|<3，又O2A⊥AO1，
所以有m2＝()2＋(2)2＝25?m＝±5，
所以|AB|＝2×＝4.
答案：4
9．求与已知圆x2＋y2－7y＋10＝0相交，所得公共弦平行于已知直线2x－3y－1＝0，且过点(－2，3)，(1，4)的圆的方程．
解：公共弦所在直线的斜率为，已知圆的圆心坐标为，故两圆圆心所在直线的方程为y－＝－x，
即3x＋2y－7＝0.
设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.
由解得
所以所求圆的方程为x2＋y2＋2x－10y＋21＝0.
10．已知圆C1：x2＋y2－4x＋2y＝0，C2：x2＋y2－2y－4＝0交于A，B两点．
(1)求过A，B两点的直线方程；
(2)求过A，B两点且圆心在直线2x＋4y＝1上的圆的方程．
解：(1)联立
两式相减并整理得：x－y－1＝0，
所以过A，B两点的直线方程为x－y－1＝0.
(2)依题意：设所求圆的方程为x2＋y2－4x＋2y＋λ(x2＋y2－2y－4)＝0，其圆心坐标为，
因为圆心在直线2x＋4y＝1上，
所以2·＋4·＝1，解得λ＝，所以所求圆的方程为：x2＋y2－3x＋y－1＝0.
[B.能力提升]
1．已知半径为1的动圆与圆(x－5)2＋(y＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )
A．(x－5)2＋(y＋7)2＝25
B．(x－5)2＋(y＋7)2＝17或(x－5)2＋(y＋7)2＝15
C．(x－5)2＋(y＋7)2＝9
D．(x－5)2＋(y＋7)2＝25或(x－5)2＋(y＋7)2＝9
解析：选D.设动圆圆心坐标为(x，y)，当两圆内切时有＝4－1，即(x－5)2＋(y＋7)2＝9，当两圆外切时有＝4＋1，即(x－5)2＋(y＋7)2＝25.
2．圆C1：x2＋y2－4x＋6y＝0与圆C2：x2＋y2－6x＝0的交点为A，B，则AB的垂直平分线方程为( )
A．x＋y＋3＝0 B．2x－5y－5＝0
C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0
解析：选C.因为圆C1：(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圆C2：(x－3)2＋y2＝9，所以圆心C1(2，－3)，C2(3，0)，因为两圆的连心线垂直平分公共弦，所以AB的垂直平分线的方程为＝，
即3x－y－9＝0.所以选C.
3．圆C1：x2＋y2－2x－3＝0和圆C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系为________．
解析：两圆的方程分别变形为(x－1)2＋y2＝4，(x－2)2＋(y＋1)2＝1，所以两圆的圆心分别为C1(1，0)和C2(2，－1)，半径分别为r1＝2，r2＝1，两圆的圆心距为d＝|C1C2|＝＝，r1＋r2＝3，|r1－r2|＝1，因为1<|C1C2|<3，所以这两个圆相交．
答案：相交
4．若点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，则圆(x－a)2＋y2＝1与圆x2＋(y－b)2＝1的位置关系是________．
解析：因为点A(a，b)在圆x2＋y2＝4上，
所以a2＋b2＝4.
又圆x2＋(y－b)2＝1的圆心C1(0，b)，
半径r1＝1，
圆(x－a)2＋y2＝1的圆心C2(a，0)，半径r2＝1，
则d＝|C1C2|＝＝＝2，
所以d＝r1＋r2，所以两圆外切．
答案：外切
5．已知圆A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，若圆B平分圆A的周长，且圆B的圆心在直线l：y＝2x上，求满足上述条件的半径最小的圆B的方程．
解：设圆B的半径为r，因为圆B的圆心在直线l：y＝2x上，所以圆B的圆心可设为(t，2t)，
所以圆B的方程是(x－t)2＋(y－2t)2＝r2，
即x2＋y2－2tx－4ty＋5t2－r2＝0. ①
因为圆A的方程为x2＋y2＋2x＋2y－2＝0， ②
所以②－①，得两圆的公共弦所在直线的方程为
(2＋2t)x＋(2＋4t)y－5t2＋r2－2＝0. ③
因为圆B平分圆A的周长，所以圆A的圆心(－1，－1)必须在公共弦上，
于是将x＝－1，y＝－1代入方程③并整理得
r2＝5t2＋6t＋6＝5＋≥，
所以当t＝－时，rmin＝.
此时，圆B的方程是
＋＝.
6．(选做题)已知圆O1的方程为x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心O2(2，1)．
(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程，并求内公切线方程；
(2)若圆O2与圆O1交于A，B两点，且|AB|＝2，求圆O2的方程．
解：(1)由两圆外切，所以|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(－1)，
故圆O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4(－1)2.
两圆的方程相减，即得两圆内公切线的方程为x＋y＋1－2＝0.
(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r，
因为圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，
此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：
4x＋4y＋r－8＝0. ①
作O1H⊥AB，则AH＝ |AB|＝，O1H＝，
由圆心(0，－1)到直线①的距离得
＝，
得r＝4或r＝20，
故圆O2的方程为：
(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.
2.3 空间直角坐标系
[学业水平训练]
点P(5，0，－2)在空间直角坐标系中的位置是( )
A．y轴上 B．xOy平面上
C．xOz平面上 D．x轴上
解析：选C.点P(5，0，－2)在xOz平面上．
在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，垂足为Q，则Q的坐标为( )
A．(0，，0) B．(0，，)
C．(1，0，) D．(1，，0)
解析：选D.过点P作平面xOy的垂线PQ，Q为垂足，则Q就在平面xOy内，则Q点的坐标为(1，，0)．
空间两点A，B的坐标分别为(x，－y，z)，(－x，－y，－z)，则A，B两点的位置关系是( )
A．关于x轴对称 B．关于y轴对称
C．关于z轴对称 D．关于原点对称
解析：选B.一般是关于谁对称，相应的坐标不变，故选B.
4．设点B是点A(2，－3，5)关于xOy坐标面的对称点，则
|AB|＝( )
A．10 B.
C. D．38
解析：选A.A(2，－3，5)关于xOy坐标面对称的点为B(2，－3，－5)，
则|AB|＝＝10.
5．已知△ABC顶点坐标分别为A(－1，2，3)，B(2，－2，3)，C(，，3)，则△ABC的形状为( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.|AB|＝＝5，
|BC|＝＝，
|AC|＝＝，
因为|AC|2＋|BC|2＝|AB|2，
所以△ABC为直角三角形．
(2014·泰州高一检测)点P(4，－3，7)关于xOy平面的对称点坐标为________．
解析：P(4，－3，7)关于xOy平面对称点的坐标为P′(4，－3，－7)．
答案：(4，－3，－7)
已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B关于点A的对称点C的坐标为________．
解析：设C点的坐标为(x，y，z)，则，解得.
则C点的坐标为(－11，5，14)．
答案：(－11，5，14)
在z轴上的点M到点A(1，0，2)与点B(1，－3，1)的距离相等，则点M的坐标为________．
解析：设M点的坐标为(0，0，z)，
则＝
解得z＝－3，
∴点M的坐标为(0，0，－3)．
答案：(0，0，－3)
9．如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中点，PA⊥底面ABCD，PA＝2.试建立适当的空间直角坐标系，求出A，B，C，D，P，E的坐标．
解：如图所示，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AP所在直线为z轴，以过点A与AB垂直的直线AG所在直线为y轴，建立空间直角坐标系．
则相关各点的坐标分别是A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(，，0)，D(，，0)，P(0，0，2)，E(1，，0)．
10．长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，D1D＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．
(1)写出点D，N，M的坐标；
(2)求线段MD，MN的长度．
解：(1)因为D是原点，则D(0，0，0)．
由AB＝BC＝2，D1D＝3，
得A(2，0，0)，B(2，2，0)，B1(2，2，3)，C1(0，2，3)．
因为N是AB的中点，所以N(2，1，0)．
同理可得M(1，2，3)．
(2)由两点间距离公式，得
|MD|＝＝，
|MN|＝＝.
[高考水平训练]
已知正方体的每条棱都平行于坐标轴，两个顶点为A(－6，－6，－6)，B(8，8，8)，且两点不在正方体的同一个面上，正方体的对角线长为( )
A．14
B．3
C．5
D．42
解析：选A.由题意可知点A、B为体对角线的两端点，则d(A，B)＝＝14.
2．已知x，y，z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：x2＋y2＋z2表示坐标原点(0，0，0)到点(x，y，z)的距离的平方，
则点(0，0，0)到(3，4，－5)的距离d＝＝5，
则x2＋y2＋z2的最小值为(5－)2＝(4)2＝32.
答案：32
3．在正四棱锥S-ABCD中，底面边长为a，侧棱长也为a，以底面中心O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，P点在侧棱SC上，Q点在底面ABCD的对角线BD上，试求P，Q两点间的最小距离．
解：由于S-ABCD是正四棱锥，所以P点在底面上的
射影R在OC上．又底面边长为a，所以OC＝a，而侧棱长也为a，所以SO＝OC，于是PR＝RC，故可设P点的坐标为(－x，x，a－x)(x>0)．又Q点在底面ABCD的对角线BD上，所以可设Q点的坐标为(y，y，0)，因此P，Q两点间的距离
|PQ|＝
＝，显然当x＝，y＝0时，|PQ|取得最小值，|PQ|的最小值等于，这时，点P为SC的中点，点Q为底面的中心．
4．已知直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图所示，建立空间直角坐标系．
(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；
(2)在MN上是否存在一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请予以说明．
解：(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等．
又A(2，0，0)，B(0，4，0)，设点P坐标为(1，2，m)，
由|PA|＝|AB|得，
＝，
所以m2＝15.
因为m∈[0，4]，所以m＝，
故平面ABB1A1内的点P(1，2，)使得△ABP为等边三角形．
(2)设MN上的点Q(0，2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，
所以|QF|＝|AB|.又F(1，2，0)，
则
＝ ，
整理得，＝，所以n2＝4.
因为n∈[0，4]，所以n＝2.
故在MN上存在点Q(0，2，2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．
2.3 空间直角坐标系
[A.基础达标]
1．若P(a，b，c)既在平面xOy内，又在平面yOz内，则一定有( )
A．a＝b＝0 B．a＝c＝0
C．b＝c＝0 D．a＝b＝c＝0
解析：选B.平面xOy内的点，z坐标为0；平面yOz内的点，x坐标为0.
2．在空间直角坐标系中，设A(1，2，a)，B(2，3，4)，若|AB|＝，则实数a的值是( )
A．3或5 B．－3或－5
C．3或－5 D．－3或5
解析：选A.由已知得＝，解得a＝3或a＝5.
3．若△ABC的顶点坐标分别为A(2，3，1)，B(4，1，－2)，C(6，3，7)，则△ABC的重心坐标为( )
A. B.
C. D.
解析：选B.设三角形的三个顶点坐标分别为A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，C(x3，y3，z3)，其重心坐标为，故所求重心坐标为.
4．已知点A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，则△ABC的形状是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：选C.|AB|＝＝，|BC|＝＝，|AC|＝＝，所以|AB|2＝|BC|2＋|AC|2.所以△ABC为直角三角形．
5．不在正方体的同一表面上的两个顶点分别是A(1，0，4)，B(3，－2，6)，则该正方体的棱长等于( )
A．1 B.
C．2 D.
解析：选C.依题意，正方体的对角线的长为|AB|＝＝2，设正方体的棱长为a，则有a＝2，解得a＝2.
6．已知点A(－3，1，4)，B(5，－3，－6)，则点B关于点A的对称点C的坐标为________．
解析：设C点的坐标为(x，y，z)，则，解得.
则C点的坐标为(－11，5，14)．
答案：(－11，5，14)
7．设点P在x轴上，它到P1(0，，3)的距离为到点P2(0，1，－1)的距离的两倍，则点P的坐标为________．
解析：因为点P在x轴上，
所以设点P的坐标为(x，0，0)．由题意|PP1|＝2|PP2|，
所以
＝2，
解得x＝±1.所以所求点的坐标为(1，0，0)或(－1，0，0)．
答案：(1，0，0)或(－1，0，0)
8．已知A(4，3，1)，B(7，1，2)，C(5，2，3)，则△ABC是________三角形．(填三角形的形状)
解析：|AB|＝＝，
|AC|＝＝，
|BC|＝＝，
所以|AC|＝|BC|，由三边长度关系知能构成三角形，所以△ABC是等腰三角形．
答案：等腰
9．在三棱锥S-ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，且SA＝AB＝AC＝a，D为BC的中点，E为SD的中点，建立适当的坐标系，求点S，A，B，C，D，E的坐标．
解：因为在三棱锥S-ABC中，SA⊥AB，SA⊥AC，AB⊥AC，所以以点A为坐标原点，AB，AC，AS所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
因为SA＝AB＝AC＝a，D为BC的中点，所以A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，S(0，0，a)，D，连接AD，
因为SA⊥AB，SA⊥AC，AB∩AC＝A，所以SA⊥平面ABC，则有平面SAD⊥平面ABC，交线为AD，过点E作EF⊥AD，垂足为F，则EF⊥平面ABC.
因为E为SD的中点，所以F为AD的中点，所以EF＝AS，
所以E，
即点S(0，0，a)，A(0，0，0)，B(a，0，0)，C(0，a，0)，D，E.
10．已知点A，B，C的坐标分别为A(3，－2，－1)，B(－1，－3，2)，C(－5，－4，5)，求证：A，B，C三点共线．
证明：由点A，B，C的坐标，得
|AB|＝＝，
|AC|＝＝2，
|BC|＝＝，
所以|AC|＝|AB|＋|BC|，所以A，B，C三点共线．
[B.能力提升]
1．已知三点A，B，C的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于( )
A．28 B．－28
C．14 D．－14
解析：选D.因为AB⊥AC，所以△ABC为直角三角形，∠A＝90 °.所以|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.而|BC|2＝λ2－2λ＋146，|AB|2＝44，|AC|2＝(3－λ)2＋37，解得λ＝－14.
2.如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO-A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为( )
A.a
B.a
C．a
D.a
解析：选B.因为A′(a，0，a)，C(0，a，0)，
E点坐标为，而F.
所以|EF|＝＝a，所以选B.
3．如图所示，在长方体OABC-O1A1B1C1中，|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，M是OB1与BO1的交点，则M点坐标为________．
解析：因为|OA|＝2，|AB|＝3，|AA1|＝2，所以A(0，0，2)，A1(0，2，2)，B(3，0，2)，B1(3，2，2)．M是OB1的中点，所以M点坐标为，即.
答案：
4．已知x，y，z满足方程C：(x－3)2＋(y－4)2＋(z＋5)2＝2，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
解析：x2＋y2＋z2表示坐标原点(0，0，0)到点(x，y，z)的距离的平方，
则点(0，0，0)到(3，4，－5)的距离d＝＝5，
则x2＋y2＋z2的最小值为(5－)2＝(4)2＝32.
答案：32
5．在空间直角坐标系中，已知A(3，0，1)和B(1，0，－3)，试问：
(1)在y轴上是否存在点M，满足|MA|＝|MB|?
(2)在y轴上是否存在点M，使△MAB为等边三角形？若存在，试求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．
解：(1)假设在y轴上存在点M，满足|MA|＝|MB|.
因M在y轴上，可设M(0，y，0)，由|MA|＝|MB|，可得＝，
显然，此式对任意y∈R恒成立．这就是说y轴上所有点都满足关系|MA|＝|MB|.
(2)假设在y轴上存在点M，使△MAB为等边三角形．
由(1)可知，y轴上任一点都有|MA|＝|MB|，所以只要|MA|＝|AB|就可以使得△MAB是等边三角形．
因为|MA|＝＝，
|AB|＝＝，
于是＝，解得y＝±.
故y轴上存在点M使△MAB为等边三角形，且点M坐标为(0，，0)或(0，－，0)．
6．(选做题)已知直三棱柱ABC-A1B1C1(侧棱与底面垂直)中，AC＝2，CB＝CC1＝4，E，F，M，N分别是A1B1，AB，C1B1，CB的中点．如图所示，建立空间直角坐标系．
(1)在平面ABB1A1内找一点P，使△ABP为等边三角形；
(2)在线段MN上是否存在一点Q，使△AQB为以AB为斜边的直角三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请予以说明．
解：(1)因为EF是AB的中垂线，在平面ABB1A1内只有EF上的点与A，B两点的距离相等．
又A(2，0，0)，B(0，4，0)，设点P坐标为(1，2，m)，
由|PA|＝|AB|得，
＝，
所以m2＝15.
因为m∈[0，4]，所以m＝，
故平面ABB1A1内的点P(1，2，)使得△ABP为等边三角形．
(2)设MN上的点Q(0，2，n)满足题意，由△AQB为直角三角形，其斜边上的中线长必等于斜边长的一半，
所以|QF|＝|AB|.又F(1，2，0)，
则
＝ ，
整理得，＝，所以n2＝4.
因为n∈[0，4]，所以n＝2.
故在MN上存在点Q(0，2，2)使得△AQB为以AB为斜边的直角三角形．
第二章 解析几何初步
(时间：100分钟，满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线ax＋2y－1＝0与x＋(a－1)y＋2＝0平行，则a等于( )
A. B．2
C．－1 D．2或－1
解析：选D.由a·(a－1)－2×1＝0得a2－a－2＝0，所以a＝2或－1，经检验均适合题意．
2．已知A(－4，2，3)关于xOz平面的对称点为A1，A1关于z轴的对称点为A2，则|AA2|等于( )
A．8 B．12
C．16 D．19
解析：选A.A1(－4，－2，3)，A2(4，2，3)，
所以|AA2|＝＝8.
3．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：选B.圆心(0，0)到直线y＝x＋1的距离d＝＝<1，所以直线与圆相交，圆心不在y＝x＋1上．
4．不论m为何实数，直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0恒过定点( )
A．(－2，3) B．(2，－3)
C．(1，0) D．(0，－2)
解析：选A.直线(m－1)x－y＋2m＋1＝0可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0，
由得所以直线过定点(－2，3)．
5．两圆x2＋y2＝1与x2＋y2－2x＝0的公共弦所在直线的方程是( )
A．x＝1 B．x＝
C．y＝x D．x＝
解析：选B.将两圆方程相减可直接求得公共弦所在直线的方程为x＝.
6．圆x2＋y2－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程是( )
A．(x＋3)2＋(y－2)2＝
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝
C．(x＋3)2＋(y－2)2＝2
D．(x－3)2＋(y＋2)2＝2
解析：选C.圆x2＋y2－2x－1＝0可化为(x－1)2＋y2＝2.
设圆心(1，0)关于2x－y＋3＝0的对称点为(a，b)，
则
解得所以所求圆的方程为(x＋3)2＋(y－2)2＝2.
7．设实数x，y满足(x－2)2＋y2＝3，那么的最大值是( )
A. B.
C. D.
解析：选D.如图所示，设过原点的直线方程为y＝kx，则与圆有交点的直线中，kmax＝，所以的最大值为.故选D.
8．过点P(4，2)作圆x2＋y2＝4的两条切线，切点分别为A，B，O为坐标原点，则△OAB的外接圆方程是( )
A．(x－2)2＋(y－1)2＝5
B．(x－4)2＋(y－2)2＝20
C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5
D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20
解析：选A.由条件O，A，B，P四点共圆，从而OP的中点(2，1)为所求圆的圆心，半径r＝|OP|＝，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
9．在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0，1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：选B.由(x－1)2＋(y－3)2＝10，可知圆心为O(1，3)，半径为，过E(0，1)的最长弦为圆的直径2，最短弦为以E为中点的弦，其长为2＝2.因两条弦互相垂直，故四边形ABCD的面积为×2×2＝10.
10．已知点A(－1，0)，B(0，2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值是( )
A．2 B.
C. D.
解析：选B.AB所在直线方程为－x＋＝1，即2x－y＋2＝0.|AB|＝＝，圆心(1，0)到直线AB的距离d＝，点P到直线AB的最大距离为d′＝d＋1＝＋1.所以△PAB面积的最大值是××＝.
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)
11．l1，l2是分别经过A(1，1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当两条平行直线与A，B两点连线垂直时两条平行直线的距离最大．因为A(1，1)，B(0，－1)，kAB＝＝2，所以两平行线的斜率为k＝－，直线l1的方程是y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
12．若垂直于直线2x＋y＝0，且与圆x2＋y2＝5相切的切线方程为ax＋2y＋c＝0，则ac的值为________．
解析：已知直线斜率k1＝－2，直线ax＋2y＋c＝0的斜率为－.因为两直线垂直，所以(－2)·＝－1，得a＝－1.圆心到切线的距离为，即＝，所以c＝±5，故ac＝±5.
答案：±5
13．已知两条直线y＝ax－2与y＝(2＋a)x＋1互相垂直，则垂足的坐标为________．
解析：由已知得a·(2＋a)＝－1，解得a＝－1，则两条直线的方程分别为y＝－x－2与y＝x＋1，
解得故垂足的坐标为.
答案：
14．直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，则直线l的斜率取值范围是________．
解析：方程x2＋y2－2x－4y＝0化为(x－1)2＋(y－2)2＝5，圆心(1，2)，r＝，由题意知l过圆心，又不过第四象限，所以满足条件的直线应位于l1与l2之间(包含l1，l2，如图)，k1＝0，k2＝＝2，所以0≤kl≤2.
答案：[0，2]
15．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．
解析：圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，
圆心为(4，0)．
由题意知(4，0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，
即≤2.
整理，得3k2－4k≤0，解得0≤k≤.
故k的最大值是.
答案：
三、解答题(本大题共5小题，共55分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分10分)三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)．
(1)求BC边上的高所在直线的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程；
(3)求BC边的垂直平分线的方程．
解：(1)BC边所在的直线的斜率k＝＝，因为BC边上的高与BC垂直，所以BC边上的高所在直线的斜率为－.又BC边上的高经过点A(4，0)，所以BC边上的高所在的直线方程为y－0＝－(x－4)，即3x＋2y－12＝0.
(2)由已知得，BC边中点E的坐标是(3，5)．
又A(4，0)，所以直线AE的方程为＝，即5x＋y－20＝0.
(3)由(1)得，BC边所在的直线的斜率k＝，所以BC边的垂直平分线的斜率为－，
由(2)得，BC边中点E的坐标是(3，5)，所以BC边的垂直平分线的方程是y－5＝－(x－3)，即3x＋2y－19＝0.
17．(本小题满分10分)当m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.
(1)倾斜角为45°；
(2)在x轴上的截距为1.
解：(1)倾斜角为45°，则斜率为1.
所以－＝1，解得m＝－1，m＝1(舍去)，
直线方程为2x－2y－5＝0符合题意，所以m＝－1.
(2)当y＝0时，x＝＝1，
解得m＝－，或m＝2，
当m＝－，m＝2时都符合题意，
所以m＝－或m＝2.
18．(本小题满分10分)在三棱柱ABO-A′B′O′中，∠AOB＝90 °，侧棱OO′⊥平面OAB，OA＝OB＝OO′＝2.若C为线段O′A的中点，在线段BB′上求一点E，使|EC|最小．
解：如图所示，以三棱柱的O点为坐标原点，以OA、OB、OO′所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系O-xyz.由OA＝OB＝OO′＝2，得A(2，0，0)、B(0，2，0)、O(0，0，0)，A′(2，0，2)、B′(0，2，2)、O′(0，0，2)．
由C为线段O′A的中点得C点坐标为(1，0，1)，设E点坐标为(0，2，z)，根据空间两点间距离公式得
|EC|＝＝，
故当z＝1时，|EC|取得最小值，为，
此时E(0，2，1)为线段BB′的中点．
19．(本小题满分12分)圆x2＋y2＝8内有一点P(－1，2)，AB为过点P且倾斜角为α的弦，
(1)当α＝135 °时，求|AB|；
(2)当弦AB被点P平分时，求出直线AB的方程；
(3)设过P点的弦的中点为M，求点M的坐标所满足的关系式．
解：(1)过点O作OG⊥AB于G，连接OA，
当α＝135 °时，直线AB的斜率为－1，故直线AB的方程为x＋y－1＝0，
所以|OG|＝d＝＝.
又因为r＝2，所以|AG|＝＝＝，
所以|AB|＝2|AG|＝.
(2)当弦AB被P平分时，OP⊥AB，此时kOP＝－2，
所以AB的点斜式方程为y－2＝(x＋1)，即x－2y＋5＝0.
(3)设AB的中点为M(x，y)，AB的斜率为k，OM⊥AB，则
消去k，得：x2＋y2－2y＋x＝0，当AB的斜率k不存在时也成立，故过点P的弦的中点的轨迹方程为x2＋y2－2y＋x＝0.
20．(本小题满分13分)已知圆C的圆心在直线y＝－4x上，且与直线x＋y－1＝0相切于点P(3，－2)．
(1)求圆C的方程；
(2)点M(0，1)与点N关于直线x－y＝0对称．是否存在过点N的直线l，l与圆C相交于E，F两点，且使S△OEF＝2(O为坐标原点)？若存在，求出直线l的方程；若不存在，用计算过程说明理由．
解：(1)过切点P(3，－2)且与x＋y－1＝0垂直的直线为y＋2＝x－3，即y＝x－5.
将y＝x－5与直线y＝－4x联立可得圆心坐标为(1，－4)．
所以半径r＝＝2.
故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)设N(a，b)，因为M(0，1)与N关于x－y＝0对称，
所以解得a＝1，b＝0，即N(1，0)．
①当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，原点到直线的距离d＝1.将x＝1代入圆的方程得y＝－4±2，所以|EF|＝4，于是S△OEF＝×1×4＝2，满足题意，此时直线l的方程为x＝1.
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x－1)，即kx－y－k＝0.
圆心C(1，－4)到直线l的距离d＝＝，
设EF的中点为D，连接CD，则必有CD⊥EF，
在Rt△CDE中，|DE|＝＝＝，
所以|EF|＝.
因为原点到直线的距离d1＝，
所以S△OEF＝··＝＝2，
整理得3k2＋1＝0，不存在这样的实数k.
综上所述，所求的直线方程为x＝1.
