北师大版九年级数学上第四章相似三角形判定导学案

北师大版九年级数学上第四章相似三角形判定导学案

1、掌握相似三角形的判定定理．
2、能通过证三角形相似，证明成比例线段或进行计算．
3、能运用相似三角形的知识，解决简单的实际问题．

1．相似三角形判定定理
______三角形一边的______和其他两边______，所构成的三角形与原三角形相似．
如果两个三角形的______对应边的______，那么这两个三角形相似．
如果两个三角形的______对应边的比相等，并且______相等，那么这两个三角形相似.
如果一个三角形的______角与另一个三角形的______，那么这两个三角形相似．
2. 黄金分割
一般地，点C 把线段AB 分成两条线段 AC 和 BC（如图）， 如果，那么称线段 AB 被点 C ________， 点C 叫做线段 AB 的________，AC 与AB 的比叫做_______．

参考答案：
1．平行于，直线，相交．
三组，比相等．
两组，相应的夹角．
两个，两个角对应相等．
2. 黄金分割 黄金分割点 黄金比.

1、两角分别相等的两个三角形相似
【例1】如图，D， E 分别是△ ABC 的边 AB， AC上的点，DE ∥ BC，AB = 7，AD = 5，DE = 10， 求 BC 的长.

【解析】根据两角分别相等的两个三角形相似判定定理即可求解.
解： ∵ DE∥BC，
∴ ∠? ADE =?∠? B， ∠? AED =?∠? C
∴ △ ADE ∽ △ ABC（ 两角分别相等的两个三角形相似） .
∴
∴
总结：
两角分别相等的两个三角形相似..
练1. 在△ABC和△A′B′C′中，如果∠A＝56°，∠B＝28°，∠A′＝56°，∠C′＝28°，那么这两个三角形能否相似的结论是______．理由是________________．
【解析】根据两角分别相等的两个三角形相似判定定理即可求解.
解： △ABC∽△A’C’B’，因为这两个三角形中有两对角对应相等．
练2. 在△ABC 与△DEF 中，∠ A = ∠ D = 70° ，∠? B = 60° ，∠ E = 50° ， 这两个三角形相似吗？ 为什么？
【解析】根据两角分别相等的两个三角形相似判定定理即可求解.
解： ∴∠ A = ∠ D = 70° ，∠ B = 60° ，
∴∠ C =180°-70°-60°=50°
∴∠ A = ∠ D = 70°，∠ C =∠ E = 50°
∴△ABC ∽△DEF（ 两角分别相等的两个三角形相似）.
2．两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【例2】如图， D， E 分别是△ ABC 的边 AC， AB 上的点， AE = 1.5，AC = 2， BC = 3， 且， 求 DE 的长.

【解析】利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理求解.
解：∵ AE = 1.5， AC = 2，
∴
∵
∴
又∵ ∠? EAD = ∠? CAB，
∴ △ ADE ∽ △ ABC（ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
∴
∵
∴.
总结：
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
练3. 在△ABC和△A'B′C′中，如果∠A＝34°，AC＝5cm，AB＝4cm，∠A’＝34°，A’C’＝2cm，A’B’＝1.6cm，那么这两个三角形能否相似的结论是______，理由是____________________．
【解析】利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理求解.
解：△ABC∽△A’B’C’，
因为这两个三角形中，有两组对应边的比相等，且相应的夹角相等．
练4. 在△ ABC 中，∠?B = 39° ，AB = 1.8 cm， BC = 2.4 cm；在△ DEF 中，∠D = 39° ，DE = 3.6 cm， DF = 2.7 cm． 这两个三角 形相似吗？ 为什么 ？
【解析】利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似判定定理求解.
解： ∵AB = 1.8 cm， BC = 2.4 cm，DE = 3.6 cm， DF = 2.7 cm
∴
又∵∠?B = ∠D = 39°
∴△ ABC ∽△ DEF（ 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）．
3．三边成比例的两个三角形相似
【例3】如图， 在△ ABC 和△ ADE 中，，∠BAD = 20° ，求 ∠?CAE 的度数.

【解析】利用三边成比例的两个三角形相似的判定定理求解即可．
解： ∵，
∴ △ABC ∽△ADE（ 三边成比例的两个三角形相似）．
∴ ∠? BAC =?∠? DAE ．
∴ ∠? BAC - ∠? DAC =?∠? DAE - ∠? DAC ，
即 ∠? BAD =?∠? CAE ．
∵ ∠? BAD = 20°，
∴ ∠? CAE = 20° ．
练5. 在△ABC和△DEF中，如果AB＝4，BC＝3，AC＝6；DE＝2.4，EF＝1.2，FD＝1.6，那么这两个三角形能否相似的结论是____________，理由是__________________．
【解析】利用三边成比例的两个三角形相似的判定定理求解即可．
解： △ABC∽△DFE．
因为这两个三角形中，三组对应边的比相等．
练6. 如图，△ ABC 与 △ EFG 相似吗？ 为什么 ？

【解析】利用三边成比例的两个三角形相似的判定定理求解即可．
解：设每个方格长度为1，
∴△ ABC中 ，
△ EFG中
∴
∴
∴△ ABC ∽ △ EFG（ 三边成比例的两个三角形相似）．
3．黄金分割
【例4】计算黄金比.
【解析】根据黄金分割的定义，即可求解．
解：由，得 AC2 = AB · BC.
设 AB = 1， AC = x， 则 BC = 1 - x．
∴ x2 = 1 ×（1- x）， 即 x2 + x - 1 = 0．
解这个方程， 得
（不合题意，舍去）
∴黄金比.
练7．采用如下方法可以得到黄金分割点： 如图， 设AB是已知线段， 经过点 B 作 BD⊥ AB， 使BD = AB；连接 DA， 在 DA 上截取 DE = DB； 在 AB 上截取 AC = AE． 点 C 就是线段 AB 的黄金分割点．你能说说其中的道理吗？

【解析】根据黄金分割的定义，即可求解．
解：设BD=a，AB=2a，
∴
∴，
∴
∴
∴点 C 就是线段 AB 的黄金分割点.
练8．（2015?郑州市期末）如图， 乐器上的一根弦 AB = 80 cm， 两个端点 A， B 固定在乐器板面上， 支撑点C 是靠近点B 的黄金分割点， 支撑点D 是靠近点 A 的黄金分割点． 试确定支撑点 C 到端点 B 的距离 以及支撑点 D 到端点 A 的距离 ．

【解析】根据黄金分割的定义，即可求解．
解：∵支撑点 C 是靠近点 B 的黄金分割点，
∴cm
∴
∵支撑点D 是靠近点 A 的黄金分割点．
∴cm.
【例5】如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且DF∥AC，EF∥BC．

求证：(1)OD∶OA＝OE∶OB；
(2)△ODE∽△OAB；
(3)△ABC∽△DEF．
【解析】利用相似三角形判定定理即可求解．
解：（1）∵DF∥AC，
∴OD∶OA＝OF∶OC，
∵EF∥BC，
∴OE∶OB＝OF∶OC
∴OD∶OA＝OE∶OB.
（2）∵OD∶OA＝OE∶OB，∠DOE＝∠AOB，
∴△ODE∽△OAB
（3）∵DF∥AC，EF∥BC，
∴DF∶AC＝EF∶BC＝DE∶AB
∴△ABC∽△DEF．
练9．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是( )

A．5 B．8.2
C．6.4 D．1.8
【解析】运用相似三角形判定定理即可求解．
解：∵△CBF∽△CDE，
∴
∴
故选D.
练10．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )


【解析】三边成比例的两个三角形相似定理即可求解．
解：设每格长度为1，
计算可得，
∴选A.
4. 相似三角形应用
【例6】11．在一次数学活动课上，李老师带领学生去测教学楼的高度，在阳光下，测得身高为1.65m的黄丽同学BC的影长BA为1.1m，与此同时，测得教学楼DE的影长DF为12.1m，如图所示，请你根据已测得的数据，测出教学楼DE的高度．(精确到0.1m)

【解析】利用相似三角形判定定理即可求解．
解：∵EF∥AC，∴∠CAB＝∠EFD．
又∠CBA＝∠EDF＝90°，∴△ABC∽△FDE．


故教学楼的高度约为18.2m．
练11．如图所示，AB是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距离墙角1.6m，梯上点D距离墙1.4m，BD长0.55m，则梯子长为( )




A．3.85m B．4.00m C．4.40m D．4.50m.
【解析】利用相似三角形判定定理即可求解．
解：由题可得，
m
故选C.
练12．如图所示，有点光源S在平面镜上面，若在P点看到点光源的反射光线，并测得AB＝10m，BC＝20cm，PC⊥AC，且PC＝24cm，则点光源S到平面镜的距离即SA的长度为______cm．

【解析】将方程整理后，再按照平方根的定义求解即可．
解：由题意可得，
△SAB∽△PCB
∴
∴SA=12cm.


1．如图所示，△ABC的高AD，BE交于点F，则图中的相似三角形共有______对．

2．如图所示，□ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有______对．

3．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为点B，点D是⊙O上的一点，且AD∥OC．
求证：AD·BC＝OB·BD．

4．如图所示，为了测量一棵树AB的高度，测量者在D点立一高CD＝2m的标杆，现测量者从E处可以看到杆顶C与树顶A在同一条直线上，如果测得BD＝20m，FD＝4m，EF＝1.8m，则树AB的高度为______m．

5. 已知：如图所示，要在高AD＝80mm，底边BC＝120mm的三角形余料中截出一个正方形板材PQMN．求它的边长．



1. 如图所示，不能判定△ABC∽△DAC的条件是( )

A．∠B＝∠DAC B．∠BAC＝∠ADC C．AC2＝DC·BC D．AD2＝BD·BC
2. 一斜坡长70m，它的高为5m，将某物从斜坡起点推到坡上20m处停止下，停下地点的高度为( )
A． B． C． D．

3. 如图所示阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE＝1.8m，窗户下檐距地面的距离BC＝1m，EC＝1.2m，那么窗户的高AB为( )

A．1.5m B．1.6m C．1.86m D．2.16m

4．如果课本上正文字的大小为4mm×3.5mm(高×宽)，一学生座位到黑板的距离是5m，教师在黑板上写多大的字，才能使该学生望去时，同他看书桌上相距30cm垂直放置的课本上的字感觉相同?




5. 一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，请算一下这棵树的高是多少?








6． (针孔成像问题)根据图中尺寸(如图，AB∥A′B′)，可以知道物像A′B′的长与物AB的长之间有什么关系?你能说出其中的道理吗?







7．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AH⊥BC于H，以AB和AC为边在Rt△ABC外作等边△ABD和△ACE，试判断△BDH与△AEH是否相似，并说明理由．













参考答案：

当堂检测
1．答案:6对.
2．答案: 6对.
3．答案：关键是证明△OBC∽△ADB．
∵AB是⊙O的直径，∴∠D＝90°．
∵BC是⊙O的切线，∴OB⊥BC．
∴∠OBC＝90° ∴∠D＝∠OBC．
∵AD∥OC， ∴∠A＝∠BOC．∴△ADB∽△OBC．
∴AD·BC＝OB·BD．
4．答案：3.
5. 答案：48mm．
家庭作业
1. 答案：D.
2. 答案：B.
3. 答案：A
4. 答案：教师在黑板上写的字的大小约为7cm×6cm(高×宽)．
5. 答案：树高7.45m．
6. 答案：
7. 答案：相似．
解：由△BHA∽△AHC得再有BA＝BD，AC＝AE．
则：再有∠HBD＝∠HAE，得△BDH∽△AEH．