北师大九年级上第三章概率的进一步认识 单元测试题（含答案）

概率的进一步认识　
第Ⅰ卷　(选择题　共30分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．三张外观相同的卡片上分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是(　　)
A. B. C. D.
2．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是(　　)
A. B. C. D.
3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是(　　)
A. B. C. D.
4．有3个整式x，x＋1，2，先随机取一个整式作为分子，再从余下的整式中随机取一个作为分母，恰能组成分式的概率是(　　)
A. B. C. D.
5．在物理课上，某实验的电路图如图1所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为(　　)
/
图1
A. B. C. D.
6．如图2，两个转盘分别自由转动一次，当它们都停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为(　　)
/
图2
A. B. C. D.
7．在一个不透明的口袋里装了只有颜色不同的黄球、白球若干只．某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复这一过程．下表是活动中的一组数据，则摸到黄球的概率约是(　　)
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到黄球的次数m
52
69
96
266
393
507
摸到黄球的频率
0.52
0.46
0.48
0.53
0.49
0.51
A.0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
8．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下表格，则符合这一结果的试验最有可能的是(　　)
试验次数
100
200
300
500
800
1000
2000
频率
0.365
0.328
0.330
0.334
0.336
0.332
0.333
A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃
B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5
D．抛一枚硬币，出现反面的概率
9．为了估计不透明的袋子里装有多少个球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有球(　　)
A．10个 B．20个 C．100个 D．121个
10．有A，B两粒质地均匀的正方体骰子(骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)，小王掷骰子A，朝上的数字记作x；小张掷骰子B，朝上的数字记作y.在平面直角坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为(0，0)，(6，0)，(6，4)和(0，4)，小王、小张各掷一次所确定的点P(x，y)落在矩形内(不含矩形的边)的概率是(　　)
A. B. C. D.
请将选择题答案填入下表：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
总分
答案
第Ⅱ卷　(非选择题　共90分)
二、填空题(每小题3分，共18分)
11．一个不透明的袋子中装有2个红球，1个绿球，这些球除颜色不同外其余都相同，从袋子中随机摸出一个小球记下颜色后放回，再随机摸出一个小球，则一次摸到红球一次摸到绿球的概率为________．
12．从－1，0，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在第一象限的概率为________．
13．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个自然数，然后同时呈现出来．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；否则，小亮获胜．这个游戏对双方________．(填“公平”或“不公平”)．
14．点P的坐标是(a，b)，从－2，－1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是________．
15．在围棋盒中有x颗白色棋子和y颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取到白色棋子的概率是.若再往盒中放进3颗黑色棋子，则取到白色棋子的概率变为，原来围棋盒中有白色棋子______颗．
16．如果任意选择一对有序整数(m，n)，其中|m|≤1，|n|≤3，每一对这样的有序整数被选择的可能性是相等的，那么关于x的方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根的概率是________．
三、解答题(共72分)
17．(6分)不透明的文具袋中装有规格相同的红、黑两种颜色的通用中性笔芯，其中红色的有3支，黑色的有2支．
(1)从文具袋中随机抽取1支笔芯，求恰好抽到的是红色笔芯的概率；
(2)从文具袋中随机抽取2支笔芯，求恰好抽到的都是黑色笔芯的概率．(请用画树状图法或列表法求解)
18．(6分)研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球和黄球．怎样估算不同颜色球的数量？
操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验．摸球试验的要求：先搅拌均匀，每次摸出1个球，放回盒中再继续．
活动结果：摸球试验活动一共做了50次，统计结果如下表：
球的颜色
无记号
有记号
红色
黄色
红色
黄色
摸到的次数
18
28
2
2
由上述摸球试验可推算：
(1)盒中红球、黄球占总球数的百分比分别是多少？
(2)盒中有红球多少个？
19．(8分)甲、乙、丙三名同学站成一排进行毕业合影留念，请用列表或画树状图的方法列出所有可能的情形，并求出甲、乙两人相邻的概率是多少．
20．(8分)九年级某班组织全班活动，班委会准备买一些奖品．班长王倩拿15元钱去商店全部用来购买圆珠笔和铅笔两种奖品，已知圆珠笔的价格为2元/支，铅笔的价格为1元/支，且每种笔至少买一支．
(1)有多少种购买方案？请列举所有可能的结果；
(2)从上述方案中任选一种方案购买，求买到的圆珠笔与铅笔数量相等的概率．
21．(10分)小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．
(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是________；
(2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用画树状图或者列表的方法来分析小明顺利通关的概率；
(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”？
22．(10分)小明、小芳做一个“配色”的游戏．如图3是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形，并涂上图中所示的颜色．同时转动两个转盘，如果转盘A转出了红色，转盘B转出了蓝色，或者转盘A转出了蓝色，转盘B转出了红色，则红色和蓝色在一起配成紫色，这种情况下小芳获胜；同样，蓝色和黄色在一起配成绿色，这种情况下小明获胜；在其他情况下不分胜负．
(1)利用列表或画树状图的方法表示此游戏所有可能出现的结果；
(2)此游戏规则对小明、小芳公平吗？试说明理由．
/
图3
23．(12分)一个暗箱中有大小相同的1个黑球和n个白球(记为白1、白2、…、白n)，每次从中取出一个球，取到白球得1分，取到黑球得2分，甲从暗箱中有放回地依次取出2个球，而乙从暗箱中一次性取出2个球．
(1)若n＝2，分别求甲取得3分的概率和乙取得3分的概率；(请用“画树状图”或“列表”等方式给出分析过程)
(2)若乙取得3分的概率小于，则白球至少有多少个？(请直接写出结果)
24．(12分)五一假期，某公司组织部分员工分别到A，B，C，D四地旅游，公司按定额购买了前往各地的车票．图4是未制作完的车票种类和数量的条形统计图，根据统计图回答下列问题：
(1)若去D地的车票占全部车票的10%，求去D地车票的数量，并补全条形统计图；
(2)若公司采用随机抽取的方式分发车票，每人抽取一张(所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀)，则员工小胡抽到去A地的车票的概率是多少？
(3)若有一张车票，小王、小李都想要，最后决定采取抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小王掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字小，车票给小王，否则给小李”．试用列表或画树状图的方法分析这个规则对双方是否公平．
/
图4

详解详析
1．A　[解析] 列表如下：
　　　第一张
结果
第二张　　　
1
2
3
1
2，1
3，1
2
1，2
3，2
3
1，3
2，3
由表格可知：随机一次性抽出两张的结果共有6种，其中，两张卡片上的数字都小于3的情况有2种，∴P(两张卡片上的数字都小于3)＝＝.
解题突破
从m(m＞2)张卡片中一次性抽出两张卡片，可以理解为先抽出一张，再从剩下的里面抽出一张，即属于“抽出不放回”试验问题，可见为两步试验问题，可用列表法求解．
2．B　[解析] 列表如下：
　小睿
小波　
数
诗
陶
数
数，数
数，诗
数，陶
诗
诗，数
诗，诗
诗，陶
陶
陶，数
陶，诗
陶，陶
共有9种等可能的结果，其中小波和小睿选到同一门课程的结果有3种，所以其概率为＝.故选B.
3．C　[解析] 画树状图如下：
/
一共有6种情况，“一红一黄”的情况有2种，
∴P(一红一黄)＝＝.故选C.
4．C　[解析] 画树状图如下：
/
共有6种等可能的结果，其中恰能组成分式的结果数为4种，
所以恰能组成分式的概率为＝.
5．B　[解析] 列表如下：
S1
S2
S3
S1
(S1，S2)
(S1，S3)
S2
(S2，S1)
(S2，S3)
S3
(S3，S1)
(S3，S2)
共有6种等可能的情况，只有闭合开关S1，S3小灯泡L才发光，即小灯泡L发光的概率是＝.故选B.
6．D　[解析] 列表如下：
1
2
3
4
1
(1，1)
(2，1)
(3，1)
(4，1)
2
(1，2)
(2，2)
(3，2)
(4，2)
3
(1，3)
(2，3)
(3，3)
(4，3)
4
(1，4)
(2，4)
(3，4)
(4，4)
∵共有16种等可能的结果，两个转盘的指针都指向2的只有1种结果，∴两个转盘的指针都指向2的概率为.故选D.
7．B　[解析] 观察表格得：通过多次摸球试验后发现摸到黄球的频率稳定在0.5左右，则P(摸到黄球)＝0.5.
8．B　[解析] A．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合题意；B.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率是，符合题意；C.抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5的概率为，不符合题意；D.抛一枚硬币，出现反面的概率为，不符合题意．故选B.
9．C　
10．B　[解析] 画树状图如下：
/
∵共有36种等可能的结果，小王、小张各掷一次所确定的点P(x，y)落在矩形内(不含矩形的边)的有15种情况，∴小王、小张各掷一次所确定的点P(x，y)落在矩形内(不含矩形的边)的概率是＝.故选B.
11.　[解析] 画树状图如下：
/
∵共有9种等可能的结果，一次摸到红球一次摸到绿球的有4种情况，∴一次摸到红球一次摸到绿球的概率是.
12.　[解析] 画树状图如下：
/
∵共有12种等可能的结果，点落在第一象限的可能是(1，2)，(2，1)两种情形，
∴该点在第一象限的概率为＝.
13．公平　[解析] 两人写的数共有奇偶、偶奇、偶偶、奇奇四种情况，因此同为奇数或同为偶数的概率为＝，一奇一偶的概率也为＝，所以这个游戏对双方公平．
14.　[解析] 画树状图如下：
/
共有20种等可能的结果，其中点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的结果数为4，所以点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率＝＝.
15．2　
16.　[解析] 依题意知m＝0，±1，n＝0，±1，±2，±3，∴有序整数(m，n)共有3×7＝21(种)．
∵方程x2＋nx＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝n2－4m＝0，有(0，0)，(1，2)，(1，－2)三种可能，
∴关于x的方程x2＋nx＋m＝0有两个相等实数根的概率是＝.
17．[解析] (1)由不透明的文具袋中装有规格相同的红、黑两种颜色的通用中性笔芯，其中红色的有3支，黑色的有2支，直接利用概率公式求解即可求得答案；(2)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽到的都是黑色笔芯的情况，再利用概率公式即可求得答案．
解：(1)∵不透明的文具袋中装有规格相同的红、黑两种颜色的通用中性笔芯，其中红色的有3支，黑色的有2支，∴恰好抽到的是红色笔芯的概率为＝.
(2)画树状图如下：
/
∵共有20种等可能的结果，恰好抽到的都是黑色笔芯的只有2种情况，
∴恰好抽到的都是黑色笔芯的概率为＝.
18．解：(1)由题意可知，50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次，
所以红球所占百分比为20÷50×100%＝40%，黄球所占百分比为30÷50×100%＝60%.
答：盒中红球占总球数的40%，黄球占总球数的60%.
(2)由题意可知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次，所以总球数为8÷＝100，所以红球有40%×100＝40(个)．
答：盒中有红球40个．
19．解：用树状图分析如下：
/
∵一共有6种等可能的情况，甲、乙两人相邻的有4种情况，
∴甲、乙两人相邻的概率是＝.
20．解：(1)设买圆珠笔x支，铅笔y支，
则2x＋y＝15，所以y＝15－2x.
当x＝1时，y＝13；
当x＝2时，y＝11；
当x＝3时，y＝9；
当x＝4时，y＝7；
当x＝5时，y＝5；
当x＝6时，y＝3；
当x＝7时，y＝1.
所以共有7种购买方案．
(2)在这7种方案中，买到的圆珠笔与铅笔数量相等的只有1种，所以P(买到的圆珠笔与铅笔数量相等)＝.
21．解：(1)∵第一道单选题有3个选项，
∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是.
故答案为：.
(2)分别用A，B，C表示第一道单选题的3个选项，a，b，c表示第二道单选题剩下的3个选项．
画树状图如下：
/
∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，
∴小明顺利通关的概率为.
(3)∵如果在第一题使用“求助”，小明顺利通关的概率为，如果在第二题使用“求助”，小明顺利通关的概率为，
∴建议小明在第一题使用“求助”．
解题突破
(1)直接利用概率公式求解；(2)此问属于两次试验概率问题，注意第二次试验时只有三种可能；(3)比较第一题使用“求助”小明顺利通关的概率与第二题使用“求助”小明顺利通关的概率的大小，把“求助”用在通关概率大的那一次上．
22．解：(1)用列表法将所有可能出现的结果表示如下：
　 转盘B
转盘A 　
红
蓝
黄
红
(红，红)
(红，蓝)
(红，黄)
蓝
(蓝，红)
(蓝，蓝)
(蓝，黄)
红
(红，红)
(红，蓝)
(红，黄)
黄
(黄，红)
(黄，蓝)
(黄，黄)
所有可能出现的结果共有12种．
(2)不公平．理由：上面等可能出现的12种结果中，有3种情况能配成紫色，故配成紫色的概率是，即小芳获胜的概率是；但只有2种情况能配成绿色，故配成绿色的概率是，即小明获胜的概率是.而＞，故小芳获胜的可能性大，这个“配色”游戏规则对双方是不公平的．
23．解：(1)得3分，即为取到黑球、白球各1个．
甲从暗箱中有放回地依次取出2个球，画树状图如下：
/
∴甲取得3分的概率为；
乙从暗箱中一次性取出2个球，画树状图如下：
/
∴乙取得3分的概率＝＝.
(2)若乙取得3分的概率小于，则＜，∴n＞39，∴白球至少有40个．
24．解：(1)设去D地的车票有x张，则x＝(x＋20＋40＋30)×10%，解得x＝10.
答：去D地的车票有10张．
补全条形统计图如图所示．
/
(2)小胡抽到去A地的车票的概率为＝.
答：员工小胡抽到去A地的车票的概率是.
(3)列表如下：
　 　　　　小李掷得的数字
小王掷得的数字　　　　 　
1
2
3
4
1
(1，1)
(1，2)
(1，3)
(1，4)
2
(2，1)
(2，2)
(2，3)
(2，4)
3
(3，1)
(3，2)
(3，3)
(3，4)
4
(4，1)
(4，2)
(4，3)
(4，4)
由此可知，共有16种等可能的结果，其中小王掷得的数字比小李掷得着地一面的数字小的有6种：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，
∴小王掷得着地一面的数字比小李掷得的着地一面数字小的概率为＝.
则小王掷得着地一面的数字不小于小李掷得的着地一面数字的概率为1－＝.
∵≠，∴这个规则对双方不公平．